La distribución de Rayleigh fue introducida por J. W. Rayleigh (1880) en relación con el problema de la suma. vibraciones armónicas con fases espirales. La ley de Rayleigh se utiliza para describir cantidades no negativas, en particular cuando la variable aleatoria es un vector de radio bajo una distribución gaussiana bidimensional. En la industria del tejido, la ley de Rayleigh se utiliza ampliamente para el análisis. forma geometrica, por ejemplo, falta de redondez, falta de cilindricidad, excentricidad del devanado en ejes de urdido y vigas de tejido. También se encuentra en aplicaciones de la teoría de la probabilidad, por ejemplo en ingeniería de radio.
La distribución es suma geométrica variables aleatorias sujetas a la ley de Gauss con parámetros: .
La densidad de probabilidad de la distribución de Rayleigh tiene la forma:
(2.3.1)
donde esta el promedio Desviación Estándar original distribución bidimensional=). El valor es un parámetro de la ley de Rayleigh.
El valor máximo de la densidad es igual y se logra en (la Fig. 2.3.1 muestra gráficos de la densidad de distribución de Rayleigh para diferentes ) .
Fig. 2.3.1 Gráficos de densidad de distribución de Rayleigh para diferentes
La función de distribución tiene la forma: 
(2.3.2)
Al reemplazar una nueva variable, obtenemos la función de densidad y distribución de probabilidad de la ley de Rayleigh normalizada:
(2.3.3)
(2.3.4)
En la figura 1 se muestran gráficos de funciones de distribución y densidad de probabilidad normalizadas. 2.3.2.
La curva diferencial (Fig. 2.3.2, a) tiene una asimetría positiva y un pico más agudo que la distribución gaussiana.
Fig.2.3.2. Densidad de probabilidad (a) y función de distribución (b) de la ley de Rayleigh normalizada.
calculemos valor esperado, varianza y desviación estándar:
1. Expectativa matemática.
Por eso, 
(2.3.5)
2. Variación.
.
.
Por eso,
(2.3.6)
3. Desviación estándar.
(2.3.7).
Calculemos la asimetría y la curtosis:
1.Asimetría.
, Dónde .
Por eso,
(2.3.8)
2. Exceso.
, Dónde .
Por eso,
(2.3.9)
La distribución de Rayleigh normalizada no depende del parámetro y se tabula fácilmente.
Fin del trabajo -
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En capítulos siguientes conoceremos varios varios tipos variables aleatorias. En esta sección, enumeramos estas nuevas variables aleatorias que ocurren con frecuencia, sus PDF, PDF y momentos. Comenzaremos con la distribución binomial, que es la distribución de lo discreto. variable aleatoria y luego imagine la distribución de algunas variables aleatorias continuas.
Distribución binomial. Sea una variable aleatoria discreta que toma dos valores posibles, por ejemplo o , con probabilidad y respectivamente. El PDF correspondiente se muestra en la Fig. 2.1.6.
Arroz. 2.1.6. Función de distribución de probabilidad
Ahora supongamos que
donde , , son variables aleatorias estadísticamente independientes y distribuidas idénticamente con la PDF que se muestra en la Fig. 2.1.6. ¿Cuál es la función de distribución?
Para responder a esta pregunta, tenga en cuenta que inicialmente es una serie de números enteros del 0 al . La probabilidad de que , es simplemente igual a la probabilidad de que todo . Como son estadísticamente independientes, entonces
.
La probabilidad de que , sea igual a la probabilidad de que un término sea , y el resto sean iguales a cero. Dado que este evento puede ocurrir de varias maneras,
.
(2.1.84)
varias combinaciones que conducen al resultado, obtenemos
donde está el coeficiente binomial. Por lo tanto, el PDF se puede expresar como
, (2.1.87)
donde significa el número entero más grande tal que .
IFR (2.1.87) caracteriza Distribución binomial variable aleatoria.
Los dos primeros momentos son iguales.
y la función característica
. (2.1.89)
Distribución uniforme. La PDF y la IDF de una variable aleatoria distribuida uniformemente se muestran en la figura. 2.1.7.
Arroz. 2.1.7. Gráficos de PDF e IFR para una variable aleatoria distribuida uniformemente
Los dos primeros momentos son iguales.
,
, (2.1.90)
,
y la función característica es igual a
(2.1.91)
Distribución gaussiana. La PDF de una variable aleatoria gaussiana o distribuida normalmente está determinada por la fórmula
, (2.1.92)
donde es la expectativa matemática y es la varianza de la variable aleatoria. FMI es igual a
¿Dónde está la función de error, que está determinada por la expresión?
. (2.1.94)
El PDF y el PFR se ilustran en la Fig. 2.1.8.
Arroz. 2.1.8. Gráficas de PDF (a) e IDF (b) de una variable aleatoria gaussiana
El IGF también se puede expresar en términos de una función de error adicional, es decir
,
. (2.1.95)
Darse cuenta de 
, , Y . Porque la función de error adicional es proporcional al área bajo la parte de la PDF gaussiana. Para valores grandes, se puede aproximar una función de error adicional mediante la serie
, (2.1.96)
y el error de aproximación es menor que el último término retenido.
La función que normalmente se utiliza para el área bajo la parte de la FDP gaussiana se denota y se define como
, . (2.1.97)
Comparando (2.1.95) y (2.1.97), encontramos
. (2.1.98)
La función característica de una variable aleatoria gaussiana con media y varianza es igual a
Los momentos centrales de una variable aleatoria gaussiana son
(2.1.100)
y los momentos ordinarios se pueden expresar a través de puntos centrales
. (2.1.101)
La suma de variables aleatorias gaussianas estáticamente independientes también es una variable aleatoria gaussiana. Para demostrar esto, supongamos
donde , son variables aleatorias independientes con media y varianzas. Usando el resultado (2.1.79), encontramos que la función característica es igual a
Por tanto, es una variable aleatoria gaussiana con media y varianza.
Distribución chi-cuadrado. Una variable aleatoria con distribución chi-cuadrado es generada por una variable aleatoria gaussiana, en el sentido de que su formación puede considerarse como una transformación de esta última. Para ser específico, sea , donde es una variable aleatoria gaussiana. Luego tiene una distribución chi-cuadrado. Distinguimos entre dos tipos de distribución chi-cuadrado. La primera se llama distribución chi-cuadrado central y se obtiene cuando tiene media cero. La segunda se llama distribución chi-cuadrado no central y se obtiene cuando tiene una media distinta de cero.
Consideremos primero la distribución central de chi-cuadrado. Sea una variable aleatoria gaussiana con media y varianza cero. Dado que , el resultado viene dado por la función (2.1.47) con parámetros y . Así obtenemos el PDF en el formulario
, . (2.1.105)
que no se puede expresar de forma cerrada. Función característica, sin embargo, se puede expresar en forma cerrada:
. (2.1.107)
Ahora supongamos que la variable aleatoria se define como
donde , , son variables aleatorias gaussianas estadísticamente independientes e idénticamente distribuidas con media y varianza cero. Debido a independencia estadística función característica
. (2.1.109)
La transformación inversa de esta función característica da la PDF
, , (2.1.110)
¿Dónde se define la función gamma como
,
Entero, , (2.1.111)
Esta PDF es una generalización de (2.1.105) y se llama PDF chi-cuadrado (o gamma) con grados de libertad. Se ilustra en la Fig. 2.1.9.
El caso cuando son iguales.
Los dos primeros momentos son iguales.
, (2.1.112)
FMI es igual a
, (2.1.113)
Arroz. 2.1.9 Gráficos PDF para una variable aleatoria con una distribución chi-cuadrado para varios valores de grados de libertad
Esta integral se convierte en una función gamma incompleta, que fue tabulada por Pearson (1965).
Si es par, la integral (2.11.113) se puede expresar en forma cerrada.
En particular, sea , donde sea un número entero. Luego, usando integración repetida por partes, obtenemos
, . (2.1.114)
Consideremos ahora la distribución chi-cuadrado no central, que es el resultado de elevar al cuadrado una variable aleatoria gaussiana con media distinta de cero. Si es una variable aleatoria gaussiana con media y varianza, la variable aleatoria tiene una PDF
, (2.1.115)
Este resultado se obtiene utilizando (2.1.47) para una FDP gaussiana con distribución (2.1.92). Función característica para PDF
. (2.1.116)
Para generalizar los resultados, supongamos que es la suma de los cuadrados de las variables aleatorias gaussianas definidas por (2.1.108). Se supone que todos son estadísticamente independientes con medias y varianzas iguales. Entonces la función característica obtenida de (2.1.116), usando la relación (2.1.79), es igual a
. (2.1.117)
La transformada inversa de Fourier de esta función característica da la PDF
donde se introduce la designación
a es una función de Bessel modificada de primer tipo, que puede representarse mediante una serie infinita
, . (2.1.120)
La PDF definida por (2.1.118) se denomina distribución chi-cuadrado no central con grados de libertad. El parámetro se denomina parámetro de no centralidad de distribución. IDF para distribución de chi-cuadrado no central con grados de libertad
Esta integral no se expresa en forma cerrada. Sin embargo, si es un número entero, el IDF se puede expresar en términos de la función generalizada de Marcum, que se define como
, (2.1.122)
, (2.1.123)
Si reemplazamos la variable de integración en (1.2.121) con , y y asumimos que , entonces podemos encontrar fácilmente
. (2.1.124)
En conclusión, observamos que los dos primeros momentos de la distribución central chi-cuadrado de variables aleatorias son iguales a
,
.
Distribución de Rayleigh. La distribución de Rayleigh se utiliza a menudo como modelo para señales estadísticas transmitidas a través de canales de radio, como en las comunicaciones por radio celulares. Esta distribución está estrechamente relacionada con la distribución central de chi-cuadrado. Para ilustrar esto, supongamos que , donde y son variables aleatorias gaussianas estadísticamente independientes con media cero y varianza igual. De lo anterior se deduce que tiene una distribución chi-cuadrado con dos grados de libertad. Por lo tanto, el PDF para
, . (2.1.126)
Ahora supongamos que definimos una nueva variable aleatoria
. (2.1.127)
Habiendo realizado transformaciones simples en (2.1.126), obtenemos para el PDF
, . (2.1.128)
Este es el PDF de la variable aleatoria de Rayleigh. El FMI correspondiente es igual a
, . (2.1.129)
Los momentos son iguales.
, (2.1.130)
y dispersión
. (2.1.131)
Función característica para una variable aleatoria distribuida de Rayleigh
. (2.1.132)
Esta integral se puede expresar de la siguiente manera:
¿Dónde está la función hipergeométrica degenerada definida como
, … (2.1.134)
Bowley (1990) demostró que se puede expresar como
. (2.1.135)
Como generalización de las expresiones obtenidas anteriormente, considere la variable aleatoria
donde , , son variables aleatorias gaussianas estadísticamente independientes, distribuidas idénticamente y con media cero. Está claro que tiene una distribución chi-cuadrado con grados de libertad. Su PDF viene dado por la fórmula (2.1.100). Conversiones simples variable en (2.1.110) lleva a PDF para en el formulario
, . (2.1.137)
Como consecuencia de la relación fundamental entre la distribución chi-cuadrado central y la distribución de Rayleigh, la IDF correspondiente es bastante simple. Por tanto, para cualquier IFR, for puede representarse como una función gamma incompleta. En un caso especial, cuando esté claro, es decir. cuando, el FMI para se puede representar en forma cerrada
, . (2.1.138)
En conclusión, presentamos la fórmula para el momento.
, , (2.1.139)
justo para cualquiera.
Distribución de arroz. Mientras que la distribución de Rayleigh está relacionada con la distribución chi-cuadrado central, la distribución de Rice está relacionada con la distribución chi-cuadrado no central. Para ilustrar esta relación, establezcamos donde y son variables aleatorias gaussianas estadísticamente independientes con media y la misma varianza. De la discusión anterior, sabemos que una distribución chi-cuadrado no central tiene un parámetro de desviación. El PDF para se obtiene de (2.1.118), y para encontramos
, . (2.1.140)
Ahora introduzcamos una nueva variable.
El PDF para se obtiene de (2.1.140) reemplazando la variable
, . (2.1.141)
La función (2.1.141) se llama distribución de Rice.
Como se mostrará en el Cap. 5, este PDF caracteriza las estadísticas de la envolvente de una señal armónica expuesta a ruido gaussiano de banda estrecha. También se utiliza para estadísticas de la señal transmitida a través de algunos canales de radio. La IFR para es fácil de encontrar en (2.1.124) para el caso en que . Esto da
, , (2.1.142)
donde está definido por (2.1.123).
Para generalizar el resultado anterior, definamos mediante (2.1.136), donde son variables aleatorias estadísticamente independientes con media y varianzas idénticas. La variable aleatoria tiene una distribución chi-cuadrado no central con un parámetro no central de -grados de libertad, definido por (2.1.119). Su PDF está determinada por (2.1.118), por lo tanto, la PDF para es igual a
, , (2.1.143)
y la FMI correspondiente
donde está definido por (2.1.121). En el caso especial cuando es un número entero, tenemos
, , (2.1.145)
que se sigue de (2.1.124). En conclusión, observamos que el vigésimo momento de
, , (2.1.146)
¿Dónde está la función hipergeométrica degenerada?
-Distribución Nakagami. Tanto la distribución de Rayleigh como la de Rice se utilizan a menudo para describir las estadísticas de las fluctuaciones de la señal en la salida de un canal multitrayecto que se desvanece. Este modelo de canal se analiza en el capítulo. 14. Otra distribución que se utiliza a menudo para caracterizar señales estadísticas transmitidas por canales con desvanecimiento por trayectos múltiples es la distribución de Nakagami. El PDF para esta distribución lo proporciona Nakagami (1960)
, , (2.1.147)
donde se define como
y el parámetro se define como la relación de momentos y se llama parámetro de desvanecimiento:
, . (2.1.149)
Se puede obtener una versión normalizada de (2.1.147) introduciendo otra variable aleatoria (consulte el problema 2.15). el enésimo momento de es igual a
.
Se puede ver que (2.1.147) conduce a la distribución de Rayleigh. Para valores que satisfacen la condición, obtenemos una PDF que tiene colas más largas que con la distribución de Rayleigh. En valores, las colas de la PDF de la distribución de Nakagami disminuyen más rápido que las de la distribución de Rayleigh. La Figura 2.1.10 ilustra el PDF para diferentes significados.
Distribución gaussiana multivariada. De las muchas distribuciones multivariadas o multivariadas que se pueden definir, la distribución gaussiana multivariable es la más importante y la más utilizada en la práctica. Introduzcamos esta distribución y consideremos sus propiedades básicas.
Supongamos que son variables aleatorias gaussianas con medias, varianzas y covarianzas. Está claro que , . Sea una matriz de covarianza de dimensión con elementos. Definamos el vector columna de variables aleatorias y denotemos el vector columna de valores promedio, . La PDF conjunta de las variables aleatorias gaussianas, , se define de la siguiente manera. Vemos que si las variables aleatorias gaussianas no están correlacionadas, también son estadísticamente independientes. no están correlacionados y por lo tanto son estadísticamente independientes. en la forma es diagonal. Por lo tanto, debemos exigir que obtengamos los vectores propios.
Por eso,
.
Es fácil demostrar que y , donde los elementos de la diagonal son iguales a y .
Agencia Federal de Educación
Institución educativa estatal de educación profesional superior "Universidad Técnica Estatal de los Urales-UPI que lleva el nombre del primer presidente de Rusia B.N. "Yeltsin"
Departamento de Fundamentos Teóricos de la Ingeniería de Radio
DISTRIBUCIÓN RAYLEIGH
en la disciplina "Modelos probabilísticos"
Grupo: R-37072
Estudiante: Reshetnikova N.E.
Profesor: Trukhin M.P.
Ekaterimburgo, 2009
Historia de origen 3
Función de densidad de probabilidad 4
Función de distribución acumulativa 6
Momentos centrales y absolutos 8
Función característica 10
Acumulantes (semi-invariantes) 11
Área de aplicación 12
Referencias 13
Historia de la apariencia
El 12 de noviembre de 1842 nacía en Langford Grove (Essex) Lord John William Rayleigh, físico inglés. Premio Nobel. Recibió educación en el hogar. Se graduó en el Trinity College de la Universidad de Cambridge y trabajó allí hasta 1871. En 1873, creó un laboratorio en la finca familiar de Terlin Place. En 1879 se convirtió en profesor de física experimental en la Universidad de Cambridge, en 1884, secretario de la Universidad de Londres. Sociedad de la realeza. En 1887-1905. - Profesor de la Royal Association, desde 1905 - Presidente de la Royal Society de Londres, desde 1908 - Presidente de la Universidad de Cambridge.
Como científico natural ampliamente erudito, se distinguió en muchas ramas de la ciencia: teoría de las vibraciones, óptica, acústica, teoría de la radiación térmica, física molecular, hidrodinámica, electricidad y otras áreas de la física. Al investigar las vibraciones acústicas (vibraciones de cuerdas, varillas, placas, etc.), formuló una serie de teoremas fundamentales de la teoría lineal de las vibraciones (1873), que permitieron sacar conclusiones cualitativas sobre las frecuencias naturales de los sistemas oscilatorios, y desarrolló un método de perturbación cuantitativa para encontrar frecuencias naturales sistema oscilatorio. Rayleigh fue el primero en señalar la especificidad de los sistemas no lineales capaces de realizar oscilaciones no amortiguadas sin influencia externa periódica, y la naturaleza especial de estas oscilaciones, que más tarde se denominaron autooscilaciones.
Explicó la diferencia entre grupo y velocidades de fase y obtuvo una fórmula para la velocidad del grupo (fórmula de Rayleigh).
La distribución de Rayleigh apareció en 1880 como resultado de considerar el problema de sumar un conjunto de oscilaciones con fases aleatorias, en el que obtuvo una función de distribución para la amplitud resultante. El método desarrollado por Rayleigh durante mucho tiempo determinó el desarrollo posterior de la teoría de los procesos aleatorios.
Función de densidad de probabilidad
Tipo de función de distribución:
parámetro σ.
Por lo tanto, dependiendo del parámetro σ, no solo cambia la amplitud, sino también la dispersión de la distribución. A medida que σ disminuye, la amplitud aumenta y la gráfica se “estrecha”, y a medida que σ aumenta, la dispersión aumenta y la amplitud disminuye.
Función de distribución acumulativa
La función de distribución acumulativa, por definición igual a la integral de la densidad de probabilidad, es igual a:
Gráfica de la función de distribución integral para varios parámetros σ:
Dependiendo de σ, la gráfica de la función de distribución se ve así:
Por tanto, cuando cambia el parámetro σ, la gráfica cambia. A medida que σ disminuye, la gráfica se vuelve más pronunciada y a medida que σ aumenta, se vuelve más plana:
Momentos centrales y absolutos
Las leyes de distribución describen completamente una variable aleatoria. X Con punto probabilístico visión (contiene información completa sobre la variable aleatoria). En la práctica, a menudo no es necesario esto. descripción completa, basta con indicar los valores de parámetros individuales (características numéricas) que determinan determinadas propiedades de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.
Entre las características numéricas, la expectativa matemática juega el papel más importante y se considera como resultado de la aplicación. operaciones de promediado
a una variable aleatoria X, denotado como 
.
El momento inicials - primer orden variable aleatoria X llamada expectativa matemática s – ésima potencia de esta cantidad:
.
Para una variable aleatoria continua:
La expectativa matemática para un valor distribuido según la ley de Rayleigh es:
El valor de la expectativa matemática para diferentes valores del parámetro σ:
Variable aleatoria centrada X su desviación de la expectativa matemática se llama .
Momento central
s
–
primer orden variable aleatoria X llamada expectativa matemática s– ésimo grado de la cantidad centrada
:
Para una variable aleatoria continua
.
Segundo punto central. Dispersión Hay característica de dispersión variable aleatoria sobre su expectativa matemática
Para una variable aleatoria distribuida según la ley de Rayleigh, la dispersión (segundo momento central) es igual a:
Función característica
La función característica de una variable aleatoria X es la función
- esta función representa la expectativa matemática de alguna variable aleatoria compleja 
, que es una función de la variable aleatoria X. Al resolver muchos problemas, es más conveniente utilizar la función característica que la ley de distribución.
Conociendo la ley de distribución, puedes encontrar la función característica usando la fórmula:
. Como podemos ver, esta fórmula no es más que la transformada inversa de Fourier de la función de densidad de distribución. Obviamente, con la ayuda conversión directa Fourier puede utilizar la función característica para encontrar la ley de distribución.
Función característica para una variable aleatoria distribuida según la ley de Rayleigh:
,
Dónde 
- integral de la probabilidad de un argumento complejo.
Acumulantes (semi-invariantes)
Función 
se llama función acumulativa de la variable aleatoria X. La función acumulativa es una característica probabilística completa de la variable aleatoria, al igual que. El objetivo de introducir la función acumulativa es que esta función a menudo resulta ser la más simple entre las características probabilísticas completas.
En este caso, el número se llama acumulante del orden de la variable aleatoria X.
Área de aplicación
La distribución de Rayleigh se utiliza para describir una gran cantidad de problemas, por ejemplo:
El problema de sumar oscilaciones con fases aleatorias;
Distribución de energía de radiación del cuerpo negro;
Describir las leyes de confiabilidad;
Describir algunas señales de radio;
La ley de distribución de Rayleigh regula los valores de amplitud de las oscilaciones del ruido (interferencias) en un receptor de radio;
Se utiliza para describir la envolvente aleatoria de un proceso aleatorio de banda estrecha (ruido).
Lista de literatura usada
RN Wadzinski "Manual de distribuciones de probabilidad", S.-P.
"Ciencia", 2001. GEORGIA. Samusevich, tutorial
“Teoría de la probabilidad y estadística matemática”, USTU-UPI, 2007.
Si mide el parámetro controlado continuamente, puede trazar su gráfico de densidad de distribución. Sin embargo, en la práctica, las mediciones se toman sólo en determinados períodos de tiempo y no de todos los productos, sino sólo de algunos. Por lo tanto, a partir de los resultados de la medición, generalmente se construye un histograma, una figura escalonada, cuyos contornos dan una idea aproximada del gráfico de densidad, es decir, la naturaleza de la distribución del parámetro en estudio.
gráfico de barras es un gráfico de barras utilizado para representación grafica información cuantitativa disponible.
Normalmente, la base para construir un histograma es una tabla de intervalos de frecuencias, en la que todo el rango de valores medidos de una variable aleatoria se divide en un cierto número de intervalos, y para cada intervalo el número de valores que caen dentro este intervalo está indicado.
La secuencia de construcción de un histograma es la siguiente.
1. Encuentra el más grande ( xmax) y el más pequeño ( Xmín) valores de la variable aleatoria y calcular el rango de cambio R
R=xmax– Xmín.
2. Establezca una cierta cantidad de dígitos k. En norte< Se pueden aceptar 100k = 6.
3. Determinar el ancho del dígito. h =. Para simplificar los cálculos, el valor resultante h redondo en cualquier dirección.
4. Establezca los límites de los dígitos y cuente el número de medidas en cada uno de ellos. Al calcular el valor X, ubicado en el límite del vertedero, siempre debe asignarse al vertedero ubicado a la izquierda o a la derecha.
5. Instalar yo yo– número de valores X incluidos en esta categoría.
6. Determinar la frecuencia de aparición del valor. Pi en esta categoría
Pi = ,
Dónde norte– el número total de todos los datos experimentales.
7. En el sistema de coordenadas. p i =F(X) en el ancho de bits h dejar de lado el valor Pi como la altura y construye un rectángulo.
El resultado se ingresa en la tabla.
Mesa. Histograma de distribución
|
Ejes intermedios |
||||||
|
yo yo |
||||||
|
p i = |
Evidentemente, el área de un rectángulo elemental.
si yo = hola yo = Pi,
y el área de todo el histograma
S = = = 1.
Por tanto, un histograma es una colección de rectángulos.
Arroz. Gráfico de barras ( 1 ) y polígono ( 2 ) distribución de valor X
El análisis de un histograma se reduce a compararlo con casos típicos.
tipo regular(simétrico o en forma de campana). Frecuencia más alta termina en el medio de la parte inferior del histograma (y disminuye gradualmente hacia ambos extremos). La forma es simétrica. este histograma apariencia se acerca a una curva normal (gaussiana), y se puede suponer que ninguno de los factores que influyen en el proceso en estudio domina sobre los demás.
Esta forma de histograma es la más común. En este caso, el valor promedio de la variable aleatoria (en relación con una operación tecnológica, este es un indicador del nivel de sentimiento) está cerca de la mitad de la base del histograma, y el grado de su dispersión en relación con el El valor promedio (para operaciones tecnológicas, este es un indicador de precisión) se caracteriza por la pendiente de la disminución en las columnas.
Arroz. Tipo de histograma regular
Peine(tipo multimodal). Las clases hasta el uno tienen frecuencias más bajas.
Esta forma de histograma ocurre cuando el número de observaciones individuales que pertenecen a una clase varía de una clase a otra o cuando cierta regla redondeo de datos Puede ser necesario estratificar los datos, es decir, determinar características adicionales para agrupar los valores observados.
Arroz. Peine
Distribución sesgada positiva (negativamente). El valor promedio del histograma se encuentra a la derecha (izquierda) del centro de la base del histograma. Las frecuencias caen bastante bruscamente
Al moverse hacia la izquierda (derecha) y, por el contrario, lentamente hacia la derecha (izquierda). La forma es asimétrica.
Esta forma de histograma ocurre cuando el límite inferior (superior) se ajusta teóricamente o mediante un valor de tolerancia, o cuando el valor izquierdo (derecho) es inalcanzable. En este caso también se puede suponer que el proceso está influenciado predominantemente por algún factor; en particular, una forma similar ocurre cuando hay un desgaste lento (acelerado) de la herramienta de corte.
Un histograma similar también es típico de la distribución de Rayleigh, que caracteriza la forma o asimetría del producto.
Arroz. Distribución sesgada positivamente
Distribución con ruptura por la izquierda(a la derecha). La media aritmética del histograma se localiza muy a la izquierda (derecha) del centro de la base. Las frecuencias caen bruscamente cuando se mueve hacia la izquierda (derecha) y, a la inversa, lentamente hacia la derecha (izquierda). La forma es asimétrica.
Arroz. Distribución con descanso por la izquierda
Esta es una de esas formas que a menudo ocurre con el cribado del 100% de los productos debido a la mala reproducibilidad del proceso, y también cuando aparece una asimetría positiva (negativa) pronunciada.
Meseta(distribuciones uniformes y rectangulares). Frecuencias en diferentes clases forman una meseta porque todas las clases tienen más o menos las mismas frecuencias esperadas.
Arroz. Meseta
Esta forma se produce en una mezcla de varias distribuciones que tienen diferentes medios, pero también puede indicar algún factor predominante, como el desgaste uniforme de la herramienta de corte.
Tipo de doble pico(tipo bimodal). En las proximidades del centro de la base, la frecuencia es baja, pero hay un pico a cada lado.
Esta forma ocurre cuando se mezclan dos distribuciones con medias muy separadas, lo que significa que tiene sentido estratificar los datos. La misma forma del histograma también se puede observar en el caso de que algún factor predominante cambie sus características, por ejemplo, si la herramienta de corte primero se desgasta de manera acelerada y luego lenta.
Arroz. Tipo de doble pico
Distribución con pico aislado. Junto a la distribución tipográfica habitual, aparece un pequeño pico aislado.
Arroz. Distribución de picos aislados
Esta forma aparece cuando hay pequeñas inclusiones de datos de otra distribución o error de medición. Al obtener dicho histograma, primero debe verificar la confiabilidad de los datos y, en el caso de que los resultados de la medición estén fuera de toda duda, considerar la validez del método elegido para dividir los valores observados en intervalos.
Además, el histograma se puede utilizar para evaluar el proceso.
Cuando se utilizan histogramas para evaluar la calidad de un proceso, en la escala de valores del parámetro observado, se marcan los límites inferior y superior del campo de tolerancia (campos de especificación) y se colocan dos líneas rectas paralelas a las columnas del histograma. dibujado a través de estos puntos.
Si todo el histograma está dentro de los límites de tolerancia, el proceso es estadísticamente estable y no requiere ninguna intervención.
Si los límites izquierdo y derecho del histograma coinciden con los límites del campo de tolerancia, entonces es deseable reducir la dispersión del proceso, ya que cualquier impacto puede provocar la aparición de productos que no cumplan con la tolerancia.
Si algunas de las columnas del histograma están fuera de la zona de tolerancia, entonces es necesario ajustar el proceso para que el promedio se acerque al centro del campo y se permitan reducir las variaciones para lograr una menor dispersión.
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución
, x ³ 0;
Punto estimado parámetro de la ley de distribución
.
Ley de distribución de Erlang (distribución gamma)
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución
, x ³ 0;
Estimación puntual de los parámetros de la ley de distribución:
y por k" k se toma como el entero más cercano (k=1, 2, 3,...); 
.
Ley de distribución de Weibull
Función de densidad de probabilidad
función de distribución
, x ³ 0;
Estimación puntual de los parámetros de la ley de distribución.
;
En sistemas con requisitos de prioridad, se hace una distinción entre prioridad relativa (sin interrupción del servicio), cuando cuando llega una solicitud con mayor prioridad, se acepta para el servicio después de que se completa el servicio previamente iniciado de una solicitud con menor prioridad, y prioridad absoluta, cuando el canal se libera inmediatamente para atender una solicitud entrante con una prioridad más alta.
La escala de prioridades se puede construir con base en algunos criterios externos al sistema de servicios o en indicadores relacionados con el funcionamiento del propio sistema de servicios. Significado práctico tener siguientes tipos prioridades:
prioridad dada a los requisitos menos tiempo servicio. La eficacia de esta prioridad se puede demostrar en siguiente ejemplo. Se recibieron dos solicitudes secuencialmente con una duración de servicio de 6,0 y 1,0 horas, respectivamente. Cuando son aceptadas para el servicio por un canal vacío en el orden de llegada, el tiempo de inactividad será de 6,0 horas para la 1.ª solicitud y 6,0 + 1,0 = 7 para la primera solicitud. el segundo 0,0 horas o un total de 13,0 horas para dos requisitos. Si le da prioridad al segundo requisito y lo acepta para servicio primero, entonces su tiempo de inactividad será de 1,0 horas y el tiempo de inactividad del otro será 1,0 + 6,0 =. 7,0 horas o en total para dos requisitos 8,0 horas La ganancia de la prioridad asignada será una reducción de 5,0 horas (13-8) en el tiempo de inactividad de los requisitos en el sistema;
Se da prioridad a los requisitos con una relación mínima entre el tiempo de servicio y la potencia (rendimiento) de la fuente de demanda, por ejemplo, a la capacidad de carga de un vehículo.
El mecanismo de servicio se caracteriza por los parámetros de los canales de servicio individuales, el rendimiento del sistema en su conjunto y otros datos sobre los requisitos del servicio. La capacidad del sistema está determinada por la cantidad de canales (dispositivos) y el rendimiento de cada uno de ellos.
45. Determinación de intervalos de confianza de variables aleatorias.
Estimación de intervalo El parámetro de distribución de una variable aleatoria está determinado por el hecho de que con probabilidad g
abs(P – Pm) ≤d,
donde P es el valor exacto (verdadero) del parámetro;
P m – estimación de parámetros basada en la muestra;
d – precisión (error) de la estimación del parámetro P.
Los valores más comúnmente aceptados son g de 0,8 a 0,99.
Intervalo de confianza parámetro es el intervalo en el que el valor del parámetro cae con probabilidad g. Por ejemplo, sobre esta base se encuentra el tamaño de muestra requerido de una variable aleatoria, lo que proporciona una estimación de la expectativa matemática con precisión d con probabilidad g. El tipo de conexión está determinado por la ley de distribución de la variable aleatoria.
La probabilidad de que una variable aleatoria caiga en un intervalo dado [Х 1 , Х 2 ] está determinada por el incremento de la función de distribución integral en el intervalo considerado F(Х 2)–F(Х 1). En base a esto, cuando función conocida distribución, puede encontrar el mínimo garantizado esperado X gn (x≥ X gn) o valor máximo X gv (x≤ X gv) variable aleatoria c probabilidad dada g (Figura 2.15). El primero de ellos es el valor que la variable aleatoria será mayor que con probabilidad g, y el segundo es que la variable aleatoria con probabilidad g será menor que este valor. El valor mínimo garantizado de X gv con probabilidad g está asegurado en F(x)= 1-g y el máximo X gv en F(x)=g. Así, los valores de X gn y X gv se encuentran mediante las expresiones:
X gn = F -1 (1-g);
X gv = F -1 (g).
Ejemplo. La variable aleatoria tiene una distribución exponencial con la función 
.
Se requiere encontrar los valores de X r y X r para los cuales la variable aleatoria X con probabilidad g=0,95, respectivamente, mayor que X gv y menor que X gv.
Basado en el hecho de que F -1 (α) = -1/l ln(1- α) (ver conclusión anterior) y α = 1-g = 0.05 obtenemos
X gn = -1/l ln(1- α) = -1/0,01 ln(1-0,05)=-100 (-,0513)=5,13.
Para X gv α = g = 0,95 tenemos de manera similar
X gv = -1/l ln(1- α) = -1/0,01 ln(1-0,95)=-100 (-2,996)=299,6.
Para ley normal Las distribuciones de los valores de X gv y X gv se pueden calcular utilizando las fórmulas.
X gramo = x metro + s U 1- gramo = x metro - s U gramo;
X gv = x m + s U g,
donde x m es la expectativa matemática de una variable aleatoria; s – desviación estándar de una variable aleatoria; U g – cuantil unilateral de la ley de distribución normal con probabilidad g.
Figura 2.15 – Interpretación gráfica de la definición de X gn y X gv
46.Descripción de los flujos de requisitos de servicios.
El flujo entrante es una secuencia de requisitos (aplicaciones) que llegan al sistema de servicio y se caracteriza por la frecuencia de recepción de requisitos por unidad de tiempo (intensidad) y la ley de distribución de la intensidad del flujo. El flujo entrante también se puede describir mediante intervalos de tiempo entre los momentos de recepción de solicitudes y la ley de distribución de estos intervalos.
Las solicitudes de un flujo pueden llegar de una en una (flujos ordinarios) o en grupos (flujos no ordinarios).
La propiedad de un flujo ordinario es que sólo puede llegar una solicitud en un momento dado. En otras palabras, la propiedad es que la probabilidad de recibir más de una solicitud en un corto período de tiempo es un valor infinitesimal.
En el caso de recepción grupal de necesidades, se especifica la intensidad de recepción de grupos de demandas y la ley de su distribución, así como el tamaño de los grupos y la ley de su distribución.
La intensidad de recepción de requerimientos puede variar en el tiempo (flujos no estacionarios) o depende únicamente de la unidad de tiempo adoptada para determinar la intensidad (flujos estacionarios). Un flujo se llama estacionario si la probabilidad de que aparezcan n solicitudes durante un período de tiempo (t 0 , t 0 +Δt) no depende de t 0 , sino que depende sólo de Δt.
En un flujo inestable, la intensidad cambia con el tiempo de forma no periódica o patrón periódico(por ejemplo, procesos estacionales), y también pueden tener períodos correspondientes a retrasos parciales o totales del flujo.
Dependiendo de si existe una conexión entre el número de solicitudes que ingresan al sistema antes y después de un determinado momento, el flujo puede tener un efecto posterior o ningún efecto posterior.
Un flujo ordinario y estacionario de demandas sin efectos posteriores es lo más simple.
47. Criterios de acuerdo de Pearson y Romanovsky
