Classe: 8a Article: Algèbre
Sujet de la leçon : Multiplication et division fractions algébriques. Élever une fraction algébrique à une puissance.
Cible: rappelez-vous les règles de multiplication et de division fractions numériques; expliquer les règles de multiplication et de division des fractions algébriques ; apprendre à effectuer les opérations de multiplication et de division de fractions algébriques ; développer la capacité d'effectuer des opérations avec des fractions algébriques.
Format du cours : leçon d’apprentissage de nouveau matériel.
Méthode d'enseignement: problématique, avec recherche indépendante solutions.
Équipement: Ordinateur, projecteur.
Pendant les cours
La leçon est enseignée à l'aide d'une présentation informatique.
Je. Organisation des cours.
Oui. Mise à jour connaissances de base afin de se préparer à l'étude d'un nouveau sujet.
Oralement:
(Les réponses sont affichées à l'aide d'un ordinateur.)
1. Factoriser :
2. Réduire la fraction :
3. Multiplier des fractions :
Comment s’appellent ces numéros ? (Nombres réciproques)
Trouver l'inverse d'un nombre
Quels sont les deux nombres appelés réciproques ? (Deux nombres sont appelés réciproques si leur produit est 1.)
Trouvez la fraction réciproque :
Diviser des fractions :
Parler des règles de multiplication et de division fractions ordinaires. 
ΙΙΙ. Nouveau sujet
S'adressant à l'affiche, l'enseignant dit : a B c d-V dans ce cas Nombres. Et s'ils le sont expressions algébriques Comment s’appellent ces fractions ? (Fractions algébriques)
Les règles de leur multiplication et de leur division restent les mêmes.
Suivez ces étapes:
Les premier et deuxième exemples sont donnés indépendamment, suivis par les élèves qui écrivent la solution au tableau. L’enseignant montre la solution du troisième exemple au tableau.
ΙV. Consolidation
1) Travailler selon le cahier de problèmes : n° 5.4 (a, c), n° 5.7 (a, c), n° 5.12 (a, c)
2) Travaillez en binôme à l'aide de cartes :
(Les solutions et les réponses sont reflétées à travers le projecteur.)
V. Résumé de la leçon
N° 5.16(a,c) et 5.19(a,c) – s’il reste du temps
VI. Devoirs
N° 5.8 ; N° 5.10 ; N° 5.13(a, b).
Leçon vidéo « Multiplication et division de fractions algébriques. Élever une fraction algébrique à une puissance" - aide donner un cours de mathématiques sur ce sujet. À l'aide d'une leçon vidéo, il est plus facile pour un enseignant de développer chez les élèves la capacité de multiplier et de diviser des fractions algébriques. L'aide visuelle contient une description détaillée et compréhensible d'exemples dans lesquels des opérations de multiplication et de division sont effectuées. Le matériel peut être démontré lors de l'explication de l'enseignant ou devenir partie séparée leçon.
Pour développer la capacité à résoudre des problèmes de multiplication et de division de fractions algébriques, des commentaires importants sont donnés au fur et à mesure que la solution est décrite ; les points qui nécessitent une mémorisation et une compréhension approfondie sont mis en évidence à l'aide de couleurs, de caractères gras et de pointeurs. À l'aide d'une leçon vidéo, l'enseignant peut augmenter l'efficacité de la leçon. Donné matériel visuel vous aidera à atteindre rapidement et efficacement vos objectifs d’apprentissage.
La leçon vidéo commence par l'introduction du sujet. Après cela, il est indiqué que les opérations de multiplication et de division avec des fractions algébriques sont effectuées de la même manière que les opérations avec des fractions ordinaires. L'écran montre les règles de multiplication, de division et d'exponentiation des fractions. La multiplication des fractions est démontrée à l'aide d'options de lettres. Il est à noter que lors de la multiplication de fractions, les numérateurs ainsi que les dénominateurs sont multipliés. Cela donne la fraction résultante a/b·c/d=ac/bd. La division des fractions est démontrée en utilisant l'expression a/b:c/d comme exemple. Il est indiqué que pour effectuer l'opération de division il faut écrire au numérateur le produit du numérateur du dividende et du dénominateur du diviseur. Le dénominateur d'un quotient est le produit du dénominateur du dividende et du numérateur du diviseur. Ainsi, l'opération de division se transforme en une opération de multiplication de la fraction du dividende et de l'inverse du diviseur. Élever une fraction à une puissance équivaut à une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont élevés à la puissance assignée.
La solution aux exemples est discutée ci-dessous. Dans l'exemple 1, il faut réaliser les actions (5x-5y)/(x-y)·(x 2 -y 2)/10x. Pour résoudre cet exemple, le numérateur de la deuxième fraction incluse dans le produit est factorisé. À l'aide de formules de multiplication abrégées, la transformation x 2 -y 2 = (x+y)(x-y) est effectuée. Ensuite, les numérateurs des fractions et les dénominateurs sont multipliés. Après avoir effectué les opérations, il est clair que le numérateur et le dénominateur ont des facteurs qui peuvent être réduits en utilisant la propriété de base d'une fraction. À la suite des transformations, la fraction (x+y) 2 /2x est obtenue. Ici, nous considérons également l'exécution des actions 7a 3 b 5 /(3a-3b)·(6b 2 -12ab+6a 2)/49a 4 b 5. Tous les numérateurs et dénominateurs sont pris en compte pour la possibilité de factorisation et d'identification de facteurs communs. Ensuite, les numérateurs et les dénominateurs sont multipliés. Après multiplication, des réductions sont effectuées. Le résultat de la transformation est la fraction 2(a-b)/7a.
Un exemple est considéré dans lequel il est nécessaire d'effectuer les actions (x 3 -1)/8y:(x 2 +x+1)/16y 2. Pour résoudre l'expression, il est proposé de transformer le numérateur de la première fraction en utilisant la formule de multiplication abrégée x 3 -1=(x-1)(x 2 +x+1). Selon la règle de division des fractions, la première fraction est multipliée par l'inverse de la deuxième fraction. Après avoir multiplié les numérateurs et les dénominateurs, on obtient une fraction qui contient les mêmes facteurs au numérateur et au dénominateur. Ils rétrécissent. Le résultat est la fraction (x-1)2y. La solution de l'exemple (a 4 -b 4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2) est également décrite ici. Semblable à l'exemple précédent, la formule de multiplication abrégée est utilisée pour convertir le numérateur. Le dénominateur de la fraction est également converti. La première fraction est ensuite multipliée par l'inverse de la deuxième fraction. Après multiplication, des transformations sont effectuées, réduisant le numérateur et le dénominateur par des facteurs communs. Le résultat est la fraction -(a+b)(a 2 +b 2)/(b-3). L'attention des élèves est attirée sur la façon dont les signes du numérateur et du dénominateur changent lors de la multiplication.
Dans le troisième exemple, vous devez effectuer des opérations avec des fractions ((x+2)/(3x 2 -6x)) 3:((x 2 +4x+4)/(x 2 -4x+4)) 2 . Dans la décision cet exemple La règle pour élever une fraction à une puissance s’applique. La première et la deuxième fraction sont élevées à une puissance. Ils sont convertis en élevant le numérateur et le dénominateur de la fraction à une puissance. De plus, pour convertir les dénominateurs des fractions, la formule de multiplication abrégée est utilisée, en mettant en évidence multiplicateur commun. Pour diviser la première fraction par la seconde, il faut multiplier la première fraction par fraction réciproqueà la seconde. Le numérateur et le dénominateur forment des expressions qui peuvent être abrégées. Après transformation, on obtient la fraction (x-2)/27x 3 (x+2).
Leçon vidéo « Multiplication et division de fractions algébriques. Élever une fraction algébrique à une puissance" est utilisé pour augmenter l'efficacité d'un cours de mathématiques traditionnel. Le matériel peut être utile à un enseignant enseignant à distance. Une description détaillée et claire des solutions aux exemples aidera les étudiants qui maîtrisent le sujet de manière indépendante ou qui ont besoin d'une formation supplémentaire.
Sur Cette leçon Les règles de multiplication et de division des fractions algébriques seront abordées, ainsi que des exemples d'application de ces règles. Multiplier et soustraire des fractions algébriques n’est pas différent de multiplier et diviser des fractions ordinaires. Dans le même temps, la présence de variables conduit à un peu plus de manière complexe simplification des expressions résultantes. Malgré le fait qu'il soit plus facile de multiplier et de diviser des fractions que de les additionner et de les soustraire, l'étude de ce sujet doit être abordée de manière extrêmement responsable, car elle comporte de nombreux pièges auxquels on ne prête généralement pas attention. Dans le cadre de la leçon, nous étudierons non seulement les règles de multiplication et de division des fractions, mais analyserons également les nuances qui peuvent survenir lors de leur utilisation.
Sujet:Fractions algébriques. Opérations arithmétiques sur les fractions algébriques
Leçon:Multiplier et diviser des fractions algébriques
1. Règles de multiplication et de division des fractions ordinaires et algébriques
Les règles de multiplication et de division des fractions algébriques sont absolument similaires aux règles de multiplication et de division des fractions ordinaires. Rappelons-leur :
Autrement dit, pour multiplier des fractions, il faut multiplier leurs numérateurs (ce sera le numérateur du produit) et multiplier leurs dénominateurs (ce sera le dénominateur du produit).
La division par fraction est une multiplication par une fraction inversée, c'est-à-dire que pour diviser deux fractions, il faut multiplier la première d'entre elles (le dividende) par la seconde inversée (le diviseur).
2. Cas particuliers d'application des règles de multiplication et de division des fractions
Malgré la simplicité de ces règles, de nombreuses personnes font des erreurs dans un certain nombre de cas particuliers lorsqu'elles résolvent des exemples sur ce sujet. Regardons de plus près ces cas particuliers :
Dans toutes ces règles nous avons utilisé le fait suivant : .
3. Exemples de multiplication et de division de fractions ordinaires
Résolvons quelques exemples de multiplication et de division de fractions ordinaires pour nous rappeler comment utiliser ces règles.
Exemple 1
Remarque : lors de la réduction de fractions, nous avons utilisé la décomposition du nombre en facteurs premiers. Rappelons que nombres premiers sont ces nombres naturels qui ne sont divisibles que par eux-mêmes. Les numéros restants sont appelés composite. Le nombre n'est ni premier ni composé. Exemples nombres premiers: 
.
Exemple 2
Considérons maintenant un des cas particuliers des fractions ordinaires.
Exemple 3
Comme vous pouvez le constater, multiplication et division de fractions ordinaires, dans le cas application correcte Les règles ne sont pas compliquées.
4. Exemples de multiplication et de division de fractions algébriques (cas simples)
Regardons la multiplication et la division de fractions algébriques.
Exemple 4
Exemple 5
A noter qu'il est possible et même nécessaire de réduire des fractions après multiplication selon les mêmes règles que nous avons évoquées précédemment dans les leçons consacrées à la réduction de fractions algébriques. Regardons quelques-uns exemples simples pour des cas particuliers.
Exemple 6
Exemple 7
Considérons maintenant un peu plus exemples complexes sur la multiplication et la division de fractions.
Exemple 8
Exemple 9
Exemple 10
Exemple 11
Exemple 12
Exemple 13
5. Exemples de multiplication et de division de fractions algébriques (cas difficiles)
Auparavant, nous avons examiné des fractions dans lesquelles le numérateur et le dénominateur étaient des monômes. Cependant, dans certains cas, il est nécessaire de multiplier ou de diviser des fractions dont les numérateurs et les dénominateurs sont des polynômes. Dans ce cas, les règles restent les mêmes, mais pour réduire il faut utiliser des formules de multiplication abrégées et des parenthèses.
Exemple 14
Exemple 15
Exemple 16
Exemple 17
Exemple 18
Dans cette leçon, nous avons examiné Règles pour multiplier et diviser des fractions algébriques, ainsi que l'application de ces règles à des exemples spécifiques.
Bibliographie
1. Bashmakov M.I. Algèbre 8e année. - M. : Éducation, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. Algèbre 8. - 5e éd. - M. : Éducation, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algèbre 8e année. Tutoriel pour les établissements d'enseignement. - M. : Éducation, 2006.
1. Portail pour toute la famille.
2. Fête idées pédagogiques « Leçon publique» .
3. Toutes les mathématiques élémentaires.
Devoirs
1. N° 73-77, 80. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. Algèbre 8. - 5e éd. - M. : Éducation, 2010.
2. Effectuez la multiplication : a), b)
3. Effectuer la division : a) , b)
Dans cet article, nous continuons à explorer les opérations de base qui peuvent être effectuées avec des fractions algébriques. Ici, nous examinerons la multiplication et la division : nous dérivons d'abord règles nécessaires, puis illustrez-les avec des solutions aux problèmes.
Comment diviser et multiplier correctement des fractions algébriques
Pour multiplier des fractions algébriques ou diviser une fraction par une autre, il faut utiliser les mêmes règles que pour les fractions ordinaires. Rappelons leur formulation.
Lorsque nous devons multiplier une fraction ordinaire par une autre, nous effectuons une multiplication séparée des numérateurs et des dénominateurs séparés, après quoi nous notons la fraction finale, en mettant en place les produits correspondants. Un exemple d'un tel calcul :
2 3 4 7 = 2 4 3 7 = 8 21
Et lorsque nous devons diviser des fractions ordinaires, nous le faisons en multipliant par la fraction inverse du diviseur, par exemple :
2 3 : 7 11 = 2 3 11 7 = 22 7 = 1 1 21
La multiplication et la division de fractions algébriques suivent les mêmes principes. Formulons une règle :
Définition 1
Pour multiplier deux ou plusieurs fractions algébriques, vous devez multiplier les numérateurs et les dénominateurs séparément. Le résultat sera une fraction dont le numérateur sera le produit des numérateurs et le dénominateur sera le produit des dénominateurs.
Sous forme littérale, la règle peut s'écrire sous la forme a b · c d = a · c b · d. Ici a, b, c et d représentera certains polynômes, et b et d ne peut pas être nul.
Définition 2
Afin de diviser une fraction algébrique par une autre, vous devez multiplier la première fraction par l’inverse de la seconde.
Cette règle peut également s'écrire sous la forme a b : c d = a b · d c = a · d b · c. Lettres a, b, c et d désigne ici les polynômes, dont a, b, c et d ne peut pas être nul.
Arrêtons-nous séparément sur ce qu'est une fraction algébrique inverse. C’est une fraction qui, multipliée par la fraction originale, donne un. Autrement dit, ces fractions seront mutuellement similaires nombres réciproques. Sinon, on peut dire que la fraction algébrique réciproque est constituée des mêmes valeurs que celle d'origine, mais son numérateur et son dénominateur changent de place. Ainsi, par rapport à la fraction a · b + 1 a 3, la fraction a 3 a · b + 1 sera l'inverse.
Résoudre des problèmes impliquant la multiplication et la division de fractions algébriques
Dans ce paragraphe, nous verrons comment appliquer correctement les règles ci-dessus dans la pratique. Commençons par un exemple simple et clair.
Exemple 1
Condition: multipliez la fraction 1 x + y par 3 · x · y x 2 + 5, puis divisez une fraction par l'autre.
Solution
Faisons d'abord la multiplication. Selon la règle, vous devez multiplier les numérateurs et les dénominateurs séparément :
1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 1 3 x y (x + y) (x 2 + 5)
Nous avons nouveau polynôme, qu'il faut amener à vue générale. Finissons les calculs :
1 3 x y (x + y) (x 2 + 5) = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y
Voyons maintenant comment diviser correctement une fraction par une autre. Selon la règle, il faut remplacer cette action en multipliant par la fraction réciproque x 2 + 5 3 x x y :
1 x + y : 3 x y x 2 + 5 = 1 x + y x 2 + 5 3 x y
Réduisons la fraction résultante à la forme standard :
1 x + y x 2 + 5 3 x y = 1 x 2 + 5 (x + y) 3 x y = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2
Répondre: 1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y ; 1 x + y : 3 x y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2.
Très souvent, le processus de division et de multiplication de fractions ordinaires produit des résultats qui peuvent être abrégés, par exemple 2 9 · 3 8 = 6 72 = 1 12. Lorsque nous faisons ces choses avec des fractions algébriques, nous pouvons également obtenir des résultats réductibles. Pour ce faire, il est utile de décomposer d’abord le numérateur et le dénominateur du polynôme d’origine en facteurs distincts. Si nécessaire, relisez l'article pour savoir comment procéder correctement. Regardons un exemple de problème dans lequel vous devrez réduire des fractions.
Exemple 2
Condition: multipliez les fractions x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 et 6 · x x 2 - 1 .
Solution
Avant de calculer le produit, on factorise le numérateur de la première fraction originale et le dénominateur de la seconde. Pour ce faire, nous avons besoin de formules de multiplication abrégées. On calcule :
x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1
Nous avons une fraction qui peut être réduite :
x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = x + 1 3 x 2 (x - 1)
Nous avons expliqué comment cela se fait dans un article consacré à la réduction des fractions algébriques.
En multipliant le monôme et le polynôme par le dénominateur, nous obtenons le résultat dont nous avons besoin :
x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2
Voici une transcription de l’intégralité de la solution sans explication :
x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1 = = x + 1 3 · x 2 · (x - 1) = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2
Répondre: x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 3 x 3 - 3 x 2 .
Dans certains cas, il est pratique de transformer les fractions originales avant de multiplier ou de diviser pour rendre les calculs ultérieurs plus rapides et plus faciles.
Exemple 3
Condition: divisez 2 1 7 · x - 1 par 12 · x 7 - x .
Solution : Commençons par simplifier la fraction algébrique 2 1 7 x - 1 pour nous débarrasser de coefficient fractionnaire. Pour ce faire, on multiplie les deux parties de la fraction par sept (cette action est possible grâce à la propriété principale de la fraction algébrique). En conséquence, nous obtiendrons ce qui suit :
2 1 7 x - 1 = 7 2 7 1 7 x - 1 = 14 x - 7
Nous voyons que le dénominateur de la fraction 12 x 7 - x, par lequel nous devons diviser la première fraction, et le dénominateur de la fraction résultante sont des expressions opposées l'une à l'autre. En changeant les signes du numérateur et du dénominateur 12 x 7 - x, on obtient 12 x 7 - x = - 12 x x - 7.
Après toutes les transformations, nous pouvons enfin passer directement à la division de fractions algébriques :
2 1 7 x - 1 : 12 x 7 - x = 14 x - 7 : - 12 x x - 7 = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = = 14 - 12 x = 2 7 - 2 2 3 x = 7 - 6 x = - 7 6 x
Répondre: 2 1 7 x - 1 : 12 x 7 - x = - 7 6 x .
Comment multiplier ou diviser une fraction algébrique par un polynôme
Pour effectuer une telle action, nous pouvons utiliser les mêmes règles que celles données ci-dessus. Vous devez d’abord représenter le polynôme sous la forme d’une fraction algébrique avec un au dénominateur. Cette action est similaire à la conversion entier naturel en une fraction commune. Par exemple, vous pouvez remplacer le polynôme x 2 + x − 4 sur x 2 + x − 4 1. Les expressions résultantes seront identiques.
Exemple 4
Condition: divisez la fraction algébrique par le polynôme x + 4 5 · x · y : x 2 - 16.
Solution
x + 4 5 x y : x 2 - 16 = x + 4 5 x y : x 2 - 16 1 = x + 4 5 x y 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 x y 1 (x - 4) x + 4 = (x + 4) 1 5 x y (x - 4) (x + 4) = 1 5 x y x - 4 = = 1 5 x 2 y - 20 x y
Répondre: x + 4 5 x y : x 2 - 16 = 1 5 x 2 y - 20 x y.
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