Réduire les expressions avec des fractions en ligne. Réduire des fractions algébriques

Pour comprendre comment réduire des fractions, regardons d’abord un exemple.

Réduire une fraction signifie diviser le numérateur et le dénominateur par la même chose. 360 et 420 se terminent par un chiffre, nous pouvons donc réduire cette fraction de 2. Dans la nouvelle fraction, 180 et 210 sont également divisibles par 2, nous réduisons donc cette fraction de 2. Dans les nombres 90 et 105, la somme des chiffres est divisible par 3, donc ces deux nombres sont divisibles par 3, on réduit la fraction par 3. Dans la nouvelle fraction, 30 et 35 se terminent par 0 et 5, ce qui signifie que les deux nombres sont divisibles par 5, donc on réduit la fraction par 5. La fraction résultante de six septièmes est irréductible. C'est la réponse finale.

Nous pouvons arriver à la même réponse d’une manière différente.

360 et 420 se terminent par zéro, ce qui signifie qu'ils sont divisibles par 10. Nous réduisons la fraction de 10. Dans la nouvelle fraction, le numérateur 36 et le dénominateur 42 sont divisés par 2. Nous réduisons la fraction de 2. Dans la fraction suivante, le numérateur 18 et le dénominateur 21 sont divisés par 3, ce qui signifie que nous réduisons la fraction de 3. Nous sommes arrivés au résultat - six septièmes.

Et encore une solution.

La prochaine fois, nous examinerons des exemples de fractions réductrices.

Pratique et simple calculateur en ligne fractions avec solutions détaillées Peut être:

• Ajouter, soustraire, multiplier et diviser fractions en ligne,
• Recevoir solution toute faite fractions avec une image et il est pratique de la transférer.

Le résultat de la résolution des fractions sera ici...

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Notre calculateur de fractions en ligne permet une saisie rapide. Pour résoudre des fractions, par exemple, écrivez simplement 1/2+2/7 dans la calculatrice et appuyez sur la touche " Résoudre des fractions". La calculatrice vous écrira solution détaillée fractions et émettra une image facile à copier.

Signes utilisés pour écrire dans une calculatrice

Caractéristiques du calculateur de fractions en ligne

Si vous devez résoudre des fractions négatives, utilisez simplement les propriétés de moins. Lors de la multiplication et de la division fractions négatives deux négatifs font un affirmatif. Autrement dit, le produit et la division des fractions négatives sont égaux au produit et à la division des mêmes fractions positives. Si une fraction est négative lors de la multiplication ou de la division, supprimez simplement le moins, puis ajoutez-le à la réponse. Lorsque vous ajoutez des fractions négatives, le résultat sera le même que si vous ajoutiez la même chose. fractions positives. Si vous ajoutez une fraction négative, cela revient à soustraire la même fraction positive.
Lors de la soustraction de fractions négatives, le résultat sera le même que si elles étaient échangées et rendues positives. Autrement dit, moins par moins dans dans ce cas donne un plus, mais réorganiser les termes ne change pas la somme. Nous utilisons les mêmes règles pour soustraire des fractions dont l’une est négative.

Pour résoudre des fractions mixtes (fractions dans lesquelles la partie entière est isolée), insérez simplement la partie entière dans la fraction. Pour ce faire, multipliez la partie entière par le dénominateur et ajoutez au numérateur.

Si vous devez résoudre 3 fractions ou plus en ligne, vous devez les résoudre une par une. Commencez par compter les 2 premières fractions, puis résolvez la fraction suivante avec la réponse que vous obtenez, et ainsi de suite. Effectuez les opérations une par une, 2 fractions à la fois, et vous finirez par obtenir la bonne réponse.

La réduction des fractions est nécessaire afin de réduire la fraction à plus vue simple, par exemple, dans la réponse obtenue à la suite de la résolution d'une expression.

Fractions réductrices, définition et formule.

Qu’est-ce que la réduction des fractions ? Que signifie réduire une fraction ?

Définition:
Réduire les fractions- c'est la division du numérateur et du dénominateur d'une fraction en une seule et même chose nombre positif n'est pas égal à zéro et un. À la suite de la réduction, une fraction avec un numérateur et un dénominateur plus petits est obtenue, égale à la fraction précédente selon.

Formule pour réduire les fractions propriété principale nombres rationnels.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Regardons un exemple :
Réduire la fraction \(\frac(9)(15)\)

Solution:
Nous pouvons étendre la fraction en facteurs premiers et réduire les facteurs communs.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Réponse : après réduction, nous avons obtenu la fraction \(\frac(3)(5)\). Selon la propriété fondamentale des nombres rationnels, les fractions originales et résultantes sont égales.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Comment réduire des fractions ? Réduire une fraction à sa forme irréductible.

Pour obtenir une fraction irréductible, il faut trouver le plus grand diviseur commun(HOCHER LA TÊTE) pour le numérateur et le dénominateur de la fraction.

Il existe plusieurs façons de trouver GCD ; dans l'exemple, nous utiliserons la décomposition des nombres en facteurs premiers.

Obtenez la fraction irréductible \(\frac(48)(136)\).

Solution:
Trouvons GCD(48, 136). Écrivons les nombres 48 et 136 en facteurs premiers.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
PGCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

La règle pour réduire une fraction à une forme irréductible.

1. Vous devez trouver le plus grand commun diviseur du numérateur et du dénominateur.
2. Vous devez diviser le numérateur et le dénominateur par le plus grand diviseur commun pour obtenir une fraction irréductible.

Exemple:
Réduisez la fraction \(\frac(152)(168)\).

Solution:
Trouvons GCD(152, 168). Écrivons les nombres 152 et 168 en facteurs premiers.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
PGCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Réponse : \(\frac(19)(21)\) fraction irréductible.

Réduire les fractions impropres.

Comment réduire une fraction impropre ?
Les règles de réduction des fractions sont les mêmes pour les fractions propres et impropres.

Regardons un exemple :
Réduisez la fraction impropre \(\frac(44)(32)\).

Solution:
Écrivons le numérateur et le dénominateur en facteurs simples. Et puis nous réduirons les facteurs communs.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Réduire les fractions mélangées.

Les fractions mixtes suivent les mêmes règles que les fractions ordinaires. La seule différence est que nous pouvons ne touchez pas la partie entière, mais réduisez la partie fractionnaire ou Convertissez la fraction mixte en une fraction impropre, réduisez-la et reconvertissez-la en une fraction propre.

Regardons un exemple :
Annulez la fraction mixte \(2\frac(30)(45)\).

Solution:
Résolvons-le de deux manières :
Première façon :
Écrivons la partie fractionnaire en facteurs simples, mais nous n'aborderons pas la partie entière.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Deuxième manière :
Convertissons-le d'abord en fraction impropre, puis écrivons-le en facteurs premiers et réduisons-le. Convertissons la fraction impropre résultante en une fraction propre.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Questions connexes:
Pouvez-vous réduire des fractions lors de l’addition ou de la soustraction ?
Réponse : non, vous devez d'abord ajouter ou soustraire des fractions selon les règles, puis les réduire seulement. Regardons un exemple :

Évaluez l’expression \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Solution:
Ils font souvent l’erreur d’abréger mêmes numéros Dans notre cas, le numérateur et le dénominateur portent le nombre 20, mais ils ne peuvent être réduits que lorsque vous avez terminé l'addition et la soustraction.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

De quels nombres pouvez-vous réduire une fraction ?
Réponse : Vous pouvez réduire une fraction du plus grand commun diviseur ou du commun diviseur du numérateur et du dénominateur. Par exemple, la fraction \(\frac(100)(150)\).

Écrivons les nombres 100 et 150 en facteurs premiers.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Le plus grand diviseur commun sera le nombre pgcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Nous avons la fraction irréductible \(\frac(2)(3)\).

Mais il n'est pas toujours nécessaire de diviser par PGCD ; une fraction irréductible n'est pas toujours nécessaire ; vous pouvez réduire la fraction par un simple diviseur du numérateur et du dénominateur. Par exemple, les nombres 100 et 150 ont un diviseur commun de 2. Réduisons la fraction \(\frac(100)(150)\) de 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Nous avons la fraction réductible \(\frac(50)(75)\).

Quelles fractions peuvent être réduites ?
Réponse : Vous pouvez réduire les fractions dont le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun. Par exemple, la fraction \(\frac(4)(8)\). Les nombres 4 et 8 ont un nombre par lequel ils sont tous deux divisibles - le nombre 2. Par conséquent, une telle fraction peut être réduite du nombre 2.

Exemple:
Comparez les deux fractions \(\frac(2)(3)\) et \(\frac(8)(12)\).

Ces deux fractions sont égales. Regardons de plus près la fraction \(\frac(8)(12)\) :

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\fois 1=\frac(2)(3)\)

De là, nous obtenons, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Deux fractions sont égales si et seulement si l’une d’elles est obtenue en réduisant l’autre fraction de multiplicateur commun numérateur et dénominateur.

Exemple:
Si possible, réduisez les fractions suivantes : a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Solution:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 fois 3 fois 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) fraction irréductible
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ fois 5)=\frac(2)(5)\)

Ainsi, nous savons déjà que le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être multipliés et divisés par le même nombre, la fraction ne changera pas. Considérons trois approches :

Approchez-en un.

Pour réduire, divisez le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun. Regardons des exemples :

Raccourcissons :

Dans les exemples donnés, on voit immédiatement quels diviseurs prendre pour la réduction. Le processus est simple : nous passons par 2,3,4,5 et ainsi de suite. Dans la plupart des exemples de cours scolaires, cela suffit amplement. Mais si c'est une fraction :

Ici, le processus de sélection des diviseurs peut prendre beaucoup de temps ;). Bien sûr, de tels exemples ne font pas partie du programme scolaire, mais il faut être capable d'y faire face. Ci-dessous, nous verrons comment cela se fait. Pour l'instant, revenons au processus de réduction des effectifs.

Comme indiqué ci-dessus, afin de réduire une fraction, nous avons divisé par le(s) diviseur(s) commun(s) que nous avons déterminé. Tout est correct! Il suffit d'ajouter des signes de divisibilité des nombres :

- si le nombre est pair, alors il est divisible par 2.

- si un nombre composé des deux derniers chiffres est divisible par 4, alors le nombre lui-même est divisible par 4.

— si la somme des chiffres qui composent le nombre est divisible par 3, alors le nombre lui-même est divisible par 3. Par exemple, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Douze est divisible par 3, donc 123031 est divisible par 3.

- si la fin d'un nombre est 5 ou 0, alors le nombre est divisible par 5.

— si la somme des chiffres qui composent le nombre est divisible par 9, alors le nombre lui-même est divisible par 9. Par exemple, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Dix-huit est divisible par 9, ce qui signifie que 623032 est divisible par 9.

Deuxième approche.

Pour le dire brièvement, en fait, toute l'action se résume à factoriser le numérateur et le dénominateur puis à réduire des facteurs égaux au numérateur et au dénominateur (cette approche est une conséquence de la première approche) :

Visuellement, afin d'éviter toute confusion et erreur, les facteurs égaux sont simplement barrés. Question : comment factoriser un nombre ? Il est nécessaire de déterminer tous les diviseurs par recherche. C'est un sujet à part, ce n'est pas compliqué, recherchez les informations dans un manuel ou sur Internet. Vous ne rencontrerez pas de gros problèmes avec la factorisation des nombres présents dans les fractions scolaires.

Formellement, le principe de réduction peut s’écrire comme suit :

Approchez-en trois.

Voici la chose la plus intéressante pour les avancés et ceux qui veulent le devenir. Réduisons la fraction 143/273. Essayez-le vous-même ! Eh bien, comment est-ce arrivé rapidement ? Maintenant regarde !

On le retourne (on change les places du numérateur et du dénominateur). Divisez la fraction résultante avec un coin et convertissez-la en nombre mixte, c'est-à-dire que nous sélectionnons toute la partie :

C'est déjà plus facile. On voit que le numérateur et le dénominateur peuvent être réduits de 13 :

Maintenant, n'oubliez pas de retourner la fraction, écrivons toute la chaîne :

Vérifié - cela prend moins de temps que de rechercher et de vérifier les diviseurs. Revenons à nos deux exemples :

D'abord. En divisant avec un coin (pas sur une calculatrice), on obtient :

Cette fraction est bien sûr plus simple, mais la réduction pose encore une fois un problème. Maintenant, nous analysons séparément la fraction 1273/1463 et la retournons :

C'est plus facile ici. On peut considérer un diviseur tel que 19. Le reste ne convient pas, c'est clair : 190 :19 = 10, 1273 :19 = 67. Hourra ! Écrivons :

Exemple suivant. Raccourcissons 88179/2717.

Divisons, on obtient :

Séparément, nous analysons la fraction 1235/2717 et la retournons :

On peut considérer un diviseur tel que 13 (jusqu'à 13 ne convient pas) :

Numérateur 247:13=19 Dénominateur 1235:13=95

*Au cours du processus, nous avons vu un autre diviseur égal à 19. Il s'avère que :

Maintenant, nous notons le numéro d'origine :

Et peu importe ce qui est le plus grand dans la fraction - le numérateur ou le dénominateur, si c'est le dénominateur, alors nous le retournons et agissons comme décrit. De cette façon, nous pouvons réduire n'importe quelle fraction ; la troisième approche peut être qualifiée d'universelle.

Bien entendu, les deux exemples évoqués ci-dessus ne sont pas des exemples simples. Essayons cette technologie sur les fractions « simples » que nous avons déjà envisagées :

Deux quarts.

Soixante-douze années soixante. Le numérateur est supérieur au dénominateur, il n'est pas nécessaire de l'inverser :

Bien entendu, la troisième approche a été appliquée à de tels exemples simples juste comme alternative. La méthode, comme déjà dit, est universelle, mais pas pratique ni correcte pour toutes les fractions, en particulier les plus simples.

La variété des fractions est grande. Il est important que vous compreniez les principes. Il n’existe tout simplement pas de règle stricte pour travailler avec des fractions. Nous avons regardé, compris comment il serait plus pratique d'agir et sommes allés de l'avant. Avec la pratique, l’habileté viendra et vous les casserez comme des graines.

Conclusion:

Si vous voyez un ou plusieurs diviseurs communs pour le numérateur et le dénominateur, utilisez-les pour réduire.

Si vous savez comment factoriser rapidement un nombre, factorisez le numérateur et le dénominateur, puis réduisez.

Si vous ne parvenez pas à déterminer le diviseur commun, utilisez la troisième approche.

*Pour réduire des fractions, il est important de maîtriser les principes de réduction, de comprendre la propriété de base d'une fraction, de connaître les approches de résolution et d'être extrêmement prudent lors des calculs.

Et rappelez-vous! Il est d'usage de réduire une fraction jusqu'à ce qu'elle s'arrête, c'est-à-dire de la réduire tant qu'il existe un diviseur commun.

Cordialement, Alexandre Krutitskikh.

Si nous devons diviser 497 par 4, alors lors de la division, nous verrons que 497 n'est pas divisible également par 4, c'est-à-dire le reste de la division demeure. Dans de tels cas, on dit que c'est terminé division avec reste, et la solution s'écrit comme suit :
497 : 4 = 124 (1 reste).

Les composantes de division du côté gauche de l'égalité sont appelées de la même manière que dans la division sans reste : 497 - dividende, 4 - diviseur. Le résultat de la division divisée par un reste est appelé privé incomplet. Dans notre cas, il s'agit du nombre 124. Et enfin, le dernier composant, qui n'est pas dans division ordinaire, - reste. Dans les cas où il n’y a pas de reste, on dit qu’un nombre est divisé par un autre. sans laisser de trace, ou complètement. On pense qu'avec une telle division, le reste égal à zéro. Dans notre cas, le reste est 1.

Le reste est toujours inférieur au diviseur.

La division peut être vérifiée par multiplication. Si, par exemple, il existe une égalité 64 : 32 = 2, alors la vérification peut se faire comme ceci : 64 = 32 * 2.

Souvent, dans les cas où une division avec un reste est effectuée, il est pratique d'utiliser l'égalité
une = b * n + r,
où a est le dividende, b est le diviseur, n est le quotient partiel, r est le reste.

Le quotient des nombres naturels peut s’écrire sous forme de fraction.

Le numérateur d'une fraction est le dividende et le dénominateur est le diviseur.

Puisque le numérateur d’une fraction est le dividende et le dénominateur est le diviseur, croire que la ligne d'une fraction signifie l'action de division. Parfois, il est pratique d’écrire la division sous forme de fraction sans utiliser le signe « : ».

Le quotient de la division des nombres naturels m et n peut s'écrire sous la forme d'une fraction \(\frac(m)(n) \), où le numérateur m est le dividende et le dénominateur n est le diviseur :
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Les règles suivantes sont vraies :

Pour obtenir la fraction \(\frac(m)(n)\), vous devez diviser l'unité en n parties égales (actions) et prendre m de ces parties.

Pour obtenir la fraction \(\frac(m)(n)\), vous devez diviser le nombre m par le nombre n.

Pour trouver une partie d'un tout, il faut diviser le nombre correspondant au tout par le dénominateur et multiplier le résultat par le numérateur de la fraction qui exprime cette partie.

Pour trouver un tout à partir de sa partie, il faut diviser le nombre correspondant à cette partie par le numérateur et multiplier le résultat par le dénominateur de la fraction qui exprime cette partie.

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés par le même nombre (sauf zéro), la valeur de la fraction ne changera pas :
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont divisés par le même nombre (sauf zéro), la valeur de la fraction ne changera pas :
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Cette propriété est appelée propriété principale d'une fraction.

Les deux dernières transformations sont appelées réduire une fraction.

Si les fractions doivent être représentées comme des fractions avec le même dénominateur, alors cette action est appelée réduire les fractions à dénominateur commun .

Fractions propres et impropres. Numéros mixtes

Vous savez déjà qu'une fraction peut être obtenue en divisant un tout en parties égales et en prenant plusieurs de ces parties. Par exemple, la fraction \(\frac(3)(4)\) signifie trois quarts de un. Dans de nombreux problèmes du paragraphe précédent, les fractions étaient utilisées pour représenter des parties d’un tout. Bon sens suggère que la partie doit toujours être inférieure au tout, mais qu'en est-il des fractions telles que, par exemple, \(\frac(5)(5)\) ou \(\frac(8)(5)\) ? Il est clair que cela ne fait plus partie de l'unité. C'est probablement pourquoi les fractions dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur sont appelées fractions impropres. Les fractions restantes, c'est-à-dire les fractions dont le numérateur est inférieur au dénominateur, sont appelées fractions correctes.

Comme vous le savez, n'importe quel fraction commune, à la fois correct et incorrect, peut être considéré comme le résultat de la division du numérateur par le dénominateur. Ainsi, en mathématiques, contrairement à langage ordinaire, le terme « fraction impropre » ne signifie pas que nous avons fait quelque chose de mal, mais seulement que le numérateur de cette fraction est supérieur ou égal au dénominateur.

Si un nombre est constitué d’une partie entière et d’une fraction, alors les fractions sont appelées mixtes.

Par exemple:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 est la partie entière et \(\frac(2)(3) \) est la partie fractionnaire.

Si le numérateur de la fraction \(\frac(a)(b) \) est divisible par un entier naturel n, alors pour diviser cette fraction par n, il faut diviser son numérateur par ce nombre :
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Si le numérateur de la fraction \(\frac(a)(b)\) n'est pas divisible par un entier naturel n, alors pour diviser cette fraction par n, il faut multiplier son dénominateur par ce nombre :
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Notez que la deuxième règle est également vraie lorsque le numérateur est divisible par n. On peut donc l’utiliser lorsqu’il est difficile de déterminer au premier coup d’œil si le numérateur d’une fraction est divisible par n ou non.

Actions avec des fractions. Additionner des fractions.

Avec les nombres fractionnaires, comme avec les nombres naturels, vous pouvez faire opérations arithmétiques. Voyons d'abord ajouter des fractions. Ajoutez facilement des fractions avec mêmes dénominateurs. Trouvons, par exemple, la somme de \(\frac(2)(7)\) et \(\frac(3)(7)\). Il est facile de comprendre que \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur identique.

À l'aide de lettres, la règle d'addition de fractions ayant des dénominateurs similaires peut s'écrire comme suit :
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Si vous devez ajouter des fractions avec différents dénominateurs, alors il faut d’abord les ramener à un dénominateur commun. Par exemple:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Pour les fractions, comme pour les nombres naturels, commutatifs et propriétés associatives ajout.

Ajouter des fractions mixtes

Les notations telles que \(2\frac(2)(3)\) sont appelées fractions mélangées. Dans ce cas, le chiffre 2 est appelé partie entière fraction mixte, et le nombre \(\frac(2)(3)\) est son partie fractionnaire . L’entrée \(2\frac(2)(3)\) se lit comme suit : « deux et deux tiers ».

En divisant le nombre 8 par le nombre 3, vous pouvez obtenir deux réponses : \(\frac(8)(3)\) et \(2\frac(2)(3)\). Ils expriment le même nombre fractionnaire, c'est-à-dire \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Ainsi, la fraction impropre \(\frac(8)(3)\) est représentée comme une fraction mixte \(2\frac(2)(3)\). Dans de tels cas, on dit que fraction impropre a mis en évidence toute la partie.

Soustraire des fractions (nombres fractionnaires)

Soustraction nombres fractionnaires, comme les naturels, est déterminé sur la base de l'action d'addition : en soustraire un autre à un nombre signifie trouver un nombre qui, ajouté au second, donne le premier. Par exemple:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) puisque \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

La règle pour soustraire des fractions avec des dénominateurs similaires est similaire à la règle pour additionner de telles fractions :
Pour trouver la différence entre des fractions ayant les mêmes dénominateurs, vous devez soustraire le numérateur de la seconde du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur identique.

En utilisant des lettres, cette règle s'écrit ainsi :
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Multiplier des fractions

Pour multiplier une fraction par une fraction, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs et écrire le premier produit comme numérateur et le second comme dénominateur.

À l'aide de lettres, la règle de multiplication des fractions peut s'écrire comme suit :
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

À l'aide de la règle formulée, vous pouvez multiplier une fraction par un nombre naturel, par une fraction mixte, ainsi que multiplier des fractions mixtes. Pour ce faire, vous devez écrire un nombre naturel sous forme de fraction avec un dénominateur 1 et une fraction mixte sous forme de fraction impropre.

Le résultat de la multiplication doit être simplifié (si possible) en réduisant la fraction et en isolant toute la partie de la fraction impropre.

Pour les fractions, comme pour les nombres naturels, les propriétés commutatives et combinatoires de la multiplication, ainsi que la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition, sont valables.

Division de fractions

Prenons la fraction \(\frac(2)(3)\) et « retournons-la », en échangeant le numérateur et le dénominateur. On obtient la fraction \(\frac(3)(2)\). Cette fraction est appelée inverse fractions \(\frac(2)(3)\).

Si nous « inversons » maintenant la fraction \(\frac(3)(2)\), nous obtiendrons la fraction originale \(\frac(2)(3)\. Par conséquent, des fractions telles que \(\frac(2)(3)\) et \(\frac(3)(2)\) sont appelées mutuellement inverse.

Par exemple, les fractions \(\frac(6)(5) \) et \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) et \(\frac (18 )(7)\).

Utiliser des lettres mutuellement fractions réciproques peut s'écrire comme suit : \(\frac(a)(b) \) et \(\frac(b)(a) \)

Il est clair que le produit des fractions réciproques est égal à 1. Par exemple : \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

En utilisant des fractions réciproques, vous pouvez réduire la division de fractions à la multiplication.

La règle pour diviser une fraction par une fraction est :
Pour diviser une fraction par une autre, vous devez multiplier le dividende par l’inverse du diviseur.

À l'aide de lettres, la règle de division des fractions peut s'écrire comme suit :
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Si le dividende ou le diviseur est entier naturel ou fraction mixte, puis pour utiliser la règle de division des fractions, elle doit d'abord être représentée comme une fraction impropre.