Une fonction rationnelle est une fraction de la forme dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes ou des produits de polynômes.

Exemple 1. Étape 2.

.

On multiplie les coefficients indéterminés par des polynômes qui ne sont pas dans cette fraction individuelle, mais qui sont dans d'autres fractions résultantes :

Nous ouvrons les parenthèses et assimilons le numérateur de l'intégrande d'origine à l'expression résultante :

Des deux côtés de l'égalité, nous recherchons des termes avec les mêmes puissances de x et composons à partir d'eux un système d'équations :

.

Nous annulons tous les X et obtenons système équivalentéquations :

.

Ainsi, le développement final de l'intégrande dans la somme fractions simples:

.

Exemple 2. Étape 2. A l'étape 1, nous avons obtenu la décomposition suivante de la fraction originale en somme de fractions simples à coefficients indéterminés aux numérateurs :

.

Nous commençons maintenant à rechercher des coefficients incertains. Pour ce faire, nous assimilons le numérateur de la fraction d'origine dans l'expression de la fonction au numérateur de l'expression obtenue après réduction de la somme des fractions à un dénominateur commun :

Vous devez maintenant créer et résoudre un système d’équations. Pour ce faire, on assimile les coefficients de la variable au degré correspondant au numérateur de l'expression originale de la fonction et aux coefficients similaires dans l'expression obtenue à l'étape précédente :

On résout le système résultant :

Donc, à partir d'ici

.

Exemple 3. Étape 2. A l'étape 1, nous avons obtenu la décomposition suivante de la fraction originale en somme de fractions simples à coefficients indéterminés aux numérateurs :

Nous commençons à rechercher des coefficients incertains. Pour ce faire, nous assimilons le numérateur de la fraction d'origine dans l'expression de la fonction au numérateur de l'expression obtenue après réduction de la somme des fractions à un dénominateur commun :

Comme dans les exemples précédents, nous composons un système d'équations :

On réduit les x et on obtient un système d'équations équivalent :

En résolvant le système, on obtient valeurs suivantes coefficients incertains :

On obtient la décomposition finale de l'intégrande en somme de fractions simples :

.

Exemple 4. Étape 2. A l'étape 1, nous avons obtenu la décomposition suivante de la fraction originale en somme de fractions simples à coefficients indéterminés aux numérateurs :

.

Nous savons déjà grâce aux exemples précédents comment assimiler le numérateur de la fraction originale à l'expression au numérateur obtenue après avoir décomposé la fraction en la somme de fractions simples et ramené cette somme à un dénominateur commun. Par conséquent, juste à des fins de contrôle, nous présentons le système d’équations résultant :

En résolvant le système, on obtient les valeurs suivantes des coefficients incertains :

On obtient la décomposition finale de l'intégrande en somme de fractions simples :

Exemple 5. Étape 2. A l'étape 1, nous avons obtenu la décomposition suivante de la fraction originale en somme de fractions simples à coefficients indéterminés aux numérateurs :

.

Nous réduisons indépendamment cette somme à un dénominateur commun, assimilant le numérateur de cette expression au numérateur de la fraction originale. Le résultat devrait être prochain systèmeéquations :

En résolvant le système, on obtient les valeurs suivantes des coefficients incertains :

.

On obtient la décomposition finale de l'intégrande en somme de fractions simples :

.

Exemple 6. Étape 2. A l'étape 1, nous avons obtenu la décomposition suivante de la fraction originale en somme de fractions simples à coefficients indéterminés aux numérateurs :

Nous effectuons les mêmes actions avec ce montant que dans les exemples précédents. Le résultat devrait être le système d’équations suivant :

En résolvant le système, on obtient les valeurs suivantes des coefficients incertains :

.

On obtient la décomposition finale de l'intégrande en somme de fractions simples :

.

Exemple 7. Étape 2. A l'étape 1, nous avons obtenu la décomposition suivante de la fraction originale en somme de fractions simples à coefficients indéterminés aux numérateurs :

.

Après certaines actions avec le montant résultant, le système d'équations suivant doit être obtenu :

En résolvant le système, on obtient les valeurs suivantes des coefficients incertains :

On obtient la décomposition finale de l'intégrande en somme de fractions simples :

.

Exemple 8. Étape 2. A l'étape 1, nous avons obtenu la décomposition suivante de la fraction originale en somme de fractions simples à coefficients indéterminés aux numérateurs :

.

Apportons quelques modifications aux actions qui ont déjà été amenées à l'automaticité pour obtenir un système d'équations. Il existe une technique artificielle qui, dans certains cas, permet d'éviter des calculs inutiles. En ramenant la somme des fractions à un dénominateur commun, on obtient et en assimilant le numérateur de cette expression au numérateur de la fraction originale, on obtient.

MINISTÈRE DES SCIENCES ET DE L'ÉDUCATION DE LA RÉPUBLIQUE DE BASHKORTO STAN

SAOU SPO Collège Bachkir d'Architecture et de Génie Civil

Khaliullin Askhat Adelzyanovich,

professeur de mathématiques à Bachkirsky

Collège d'architecture et de génie civil

UFA

2014

Introduction _________________________________________________3

Chapitre JE. Aspects théoriques en utilisant la méthode coefficients incertains ______________________________________________4

Chapitre II. Recherches de solutions aux problèmes de polynômes par la méthode des coefficients indéfinis_________________________________7

2.1.Facturation d'un polynôme_____________________ 7

2.2. Problèmes avec les paramètres_________________________________ 10

2.3. Résolution d'équations________________________________________________________14

2.4. Équations fonctionnelles______________________________19

Conclusion_________________________________________________23

Liste de la littérature utilisée________________________________________________________24

Application ________________________________________________25

Introduction.

Ce travail est consacré aux aspects théoriques et pratiques de l'introduction de la méthode des coefficients indéfinis dans le cours de mathématiques scolaire. La pertinence de ce sujet est déterminée par les circonstances suivantes.

Personne ne contestera le fait que les mathématiques en tant que science ne se situent pas au même endroit, qu'elles évoluent constamment et que de nouveaux problèmes apparaissent complexité accrue, ce qui pose souvent quelques difficultés puisque ces tâches sont généralement liées à la recherche. De telles tâches dans dernières années ont été proposés à l'école, au district et à la république olympiades mathématiques, ils sont également disponibles en Options d'examen d'État unifié. Il fallait donc méthode spéciale, ce qui permettrait de résoudre au moins certains d’entre eux de la manière la plus rapide, la plus efficace et la plus abordable. Cet ouvrage présente clairement le contenu de la méthode des coefficients indéfinis, largement utilisée dans une grande variété de domaines des mathématiques, allant des questions incluses dans le cours de formation générale jusqu'à ses parties les plus avancées. En particulier, les applications de la méthode des coefficients indéfinis dans la résolution de problèmes avec des paramètres, des équations rationnelles et fonctionnelles fractionnaires sont particulièrement intéressantes et efficaces ; ils peuvent facilement intéresser toute personne intéressée par les mathématiques. Objectif principal du travail proposé et de la sélection des problèmes est de fournir de nombreuses opportunités pour affiner et développer la capacité à trouver des solutions courtes et innovantes.

Ce travail se compose de deux chapitres. La première aborde les aspects théoriques de l’utilisation

méthode des coefficients incertains, et d'autre part, les aspects pratiques et méthodologiques de cette utilisation.

L'annexe aux travaux contient les conditions tâches spécifiques Pour décision indépendante.

Chapitre je . Aspects théoriques de l'utilisation méthode des coefficients incertains

"L'homme... est né pour être un maître,

souverain, roi de la nature, mais sagesse,

avec lequel il doit gouverner ne lui est pas donné

dès la naissance : cela s'acquiert par l'apprentissage"

N.I.Lobatchevski

Il y a diverses manières et des méthodes pour résoudre des problèmes, mais l'une des plus pratiques, des plus efficaces, des plus originales, des plus élégantes et en même temps très simple et compréhensible pour tous est la méthode des coefficients indéfinis. La méthode des coefficients indéterminés est une méthode utilisée en mathématiques pour trouver les coefficients d'expressions dont la forme est connue à l'avance.

Avant d’envisager l’application de la méthode des coefficients indéfinis à la résolution de divers types de problèmes, nous présentons un certain nombre d’informations théoriques.

Qu'ils soient donnés

UN n (x) = un 0 x n + un 1 x n-1 + un 2 x n-2 + ··· + un n-1 x + un n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

polynômes relatifs X avec toutes les chances.

Théorème. Deux polynômes dépendant de un et les mêmes arguments sont identiques si et seulement sin = m et leurs coefficients correspondants sont égauxun 0 = b 0 , un 1 = b 1 , un 2 = b 2 ,··· , un n -1 = b m -1 , un n = b m Et T. d.

Évidemment, les polynômes égaux prennent pour toutes les valeurs X mêmes valeurs. A l'inverse, si les valeurs de deux polynômes sont égales pour toutes les valeurs X, alors les polynômes sont égaux, c'est-à-dire leurs coefficients à degrés égaux X correspondre.

Par conséquent, l’idée d’appliquer la méthode des coefficients indéfinis à la résolution de problèmes est la suivante.

Sachons qu'à la suite de certaines transformations l'expression est obtenue certain type et seuls les coefficients de cette expression sont inconnus. Ensuite ces coefficients sont désignés par des lettres et considérés comme des inconnues. Un système d'équations est ensuite construit pour déterminer ces inconnues.

Par exemple, dans le cas des polynômes, ces équations sont faites à partir de la condition que les coefficients soient égaux pour les mêmes puissances X pour deux polynômes égaux.

Nous montrerons ce qui a été dit ci-dessus dans la suite exemples spécifiques, et commençons par le plus simple.

Ainsi, par exemple, sur la base de considérations théoriques, la fraction

peut être représenté comme une somme

, Où un , b Et c - coefficients à déterminer. Pour les trouver, on assimile la deuxième expression à la première :

=

et se libérer du dénominateur et rassembler les termes avec les mêmes pouvoirs à gauche X, on obtient :

(un + b + c )X 2 + ( b - c )x - une = 2X 2 – 5 X– 1

Puisque la dernière égalité doit être vraie pour toutes les valeurs X, alors les coefficients aux mêmes degrésX la droite et la gauche devraient être identiques. Ainsi, trois équations sont obtenues pour déterminer les trois coefficients inconnus :

a+b+c = 2

b - c = - 5

UN= 1, d'où un = 1 , b = - 2 , c = 3

Ainsi,

=
,

la validité de cette égalité est facile à vérifier directement.

Supposons que vous deviez également représenter une fraction

sous la forme un + b
+ c
+ d
, Où un , b , c Et d- inconnu coefficients rationnels. Nous assimilons la deuxième expression à la première :

un + b
+ c
+ d
=
ou, se débarrasser du dénominateur, supprimer, si possible, les facteurs rationnels sous les signes des racines et apporter membres similaires sur le côté gauche, on obtient :

(un- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b-c + d )
= 1 +
-
.

Mais une telle égalité n'est possible que dans le cas où les termes rationnels des deux parties et les coefficients des mêmes radicaux sont égaux. Ainsi, quatre équations sont obtenues pour trouver les coefficients inconnus un , b , c Et d :

un- 2b+ 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0, d'où un = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= , c'est
= -
+
.

Chapitre II. Recherches de solutions aux problèmes avec les polynômes méthode des coefficients indéterminés.

« Rien ne contribue mieux à la maîtrise d’un sujet que

le genre d'action avec lui dans différentes situations »

Académicien B.V. Gnedenko

2. 1. Factorisation d'un polynôme.

Méthodes de factorisation des polynômes :

1) placer le facteur commun entre parenthèses ; 2) méthode de regroupement ; 3) demande formules de base multiplication; 4) introduction de termes auxiliaires ; 5) transformation préliminaire d'un polynôme donné à l'aide de certaines formules ; 6) expansion en trouvant les racines d'un polynôme donné ; 7) méthode de saisie du paramètre ; 8)méthode des coefficients indéterminés.

Problème 1. Factoriser le polynôme en facteurs réels X 4 + X 2 + 1 .

Solution. Il n’y a pas de racine parmi les diviseurs du terme libre de ce polynôme. On ne peut pas trouver les racines du polynôme par d'autres moyens élémentaires. Par conséquent, il n’est pas possible d’effectuer le développement requis en trouvant d’abord les racines de ce polynôme. Reste à chercher une solution au problème soit en introduisant des termes auxiliaires, soit par la méthode des coefficients indéterminés. C'est évident que X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Les trinômes quadratiques résultants n'ont pas de racines et ne peuvent donc pas être décomposables en facteurs linéaires réels.

La méthode décrite est techniquement simple, mais difficile en raison de son caractère artificiel. En effet, il est très difficile de trouver les termes auxiliaires requis. Seule une supposition nous a permis de retrouver cette décomposition. Mais

il y en a plus méthodes fiables des solutions à de tels problèmes.

On pourrait procéder ainsi : supposer que le polynôme donné se décompose en produit

(X 2 + UN X + b )(X 2 + c X + d )

deux trinômes carrés à coefficients entiers.

Ainsi, nous aurons cela

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + UN X + b )(X 2 + c X + d )

Reste à déterminer les coefficientsun , b , c Et d .

En multipliant les polynômes du côté droit de la dernière égalité, on obtient :X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + UN c + d ) X 2 + (annonce + avant JC ) x + bd .

Mais comme nous devons côté droit cette égalité s'est transformée en le même polynôme, qui est du côté gauche, nous exigeons la réalisation conditions suivantes:

a + c = 0

b + UN c + d = 1

annonce + avant JC = 0

bd = 1 .

Le résultat est un système de quatre équations à quatre inconnuesun , b , c Et d . Il est facile de trouver les coefficients de ce systèmeun = 1 , b = 1 , c = -1 Et d = 1.

Le problème est désormais complètement résolu. Nous avons reçu :

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Problème 2. Factoriser le polynôme en facteurs réels X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Solution. Représentons ce polynôme sous la forme

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + UN )(X 2 + bx + c) , Où un , b Et Avec - coefficients non encore déterminés. Puisque deux polynômes sont identiquement égaux si et seulement si les coefficients de mêmes puissancesX sont alors égaux, égalisant respectivement les coefficients pourX 2 , X et conditions gratuites, nous obtenons le système trois équations avec trois inconnues :

a+b= - 6

ab + c = 14

ca = - 15 .

La solution de ce système sera grandement simplifiée si l'on prend en compte que le nombre 3 (diviseur du terme libre) est la racine équation donnée, et doncun = - 3 ,

b = - 3 Et Avec = 5 .

Alors X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

La méthode appliquée des coefficients indéfinis, par rapport à la méthode ci-dessus d'introduction des termes auxiliaires, ne contient rien d'artificiel, mais elle nécessite l'utilisation de nombreux dispositions théoriques et s'accompagne de calculs assez volumineux. Pour les polynômes plus haut degré Cette méthode des coefficients indéterminés conduit à des systèmes d’équations encombrants.

2.2.Tâches et avec des paramètres.

Ces dernières années, les versions de l'examen d'État unifié ont proposé des tâches paramétrées. Leur solution pose souvent certaines difficultés. Lors de la résolution de problèmes avec des paramètres, ainsi que d'autres méthodes, vous pouvez utiliser très efficacement la méthode des coefficients indéfinis. Exactement cette méthode vous permet de simplifier grandement leur solution et d'obtenir rapidement une réponse.

Tâche 3. Déterminer à quelles valeurs du paramètre UNéquation 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + UN – 3 = 0 a exactement deux racines.

Solution. 1 façon. Utiliser un dérivé.

Représentons cette équation sous la forme de deux fonctions

2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – UN .

f (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X– 3 et φ( X ) = – UN .

Explorons la fonctionf (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 en utilisant la dérivée et construire schématiquement son graphe (Fig. 1.).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). La fonction n'est ni paire ni impaire.

3. Trouvons points critiques fonction, ses intervalles d'augmentation et de diminution, extrema. f / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. D (f / ) = R. , on trouvera donc tous les points critiques de la fonction en résolvant l'équation f / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 par théorème, inverse du théorème Vieta.

f / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ maximum - min +

2 3 x

f / (x) > 0 pour tous X< – 2 et X > 3 et la fonction est continue en certains pointsX =– 2 et X = 3, donc, il augmente sur chacun des intervalles (- ; - 2] et [ 3 ; ).

f / (x ) < 0 à - 2 < X< 3, donc, il diminue sur l'intervalle [- 2; 3 ].

X = - 2ème point maximum, car à ce stade, le signe de la dérivée change de"+" à "-".

f (– 2) = 2· (– 8) – 3·4 – 36·(– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

X = 3 points minimum, car à ce stade le signe de la dérivée change"-" à "+".

f (3) = 2·27 – 3·9 – 36·3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84.

Graphique de la fonction φ(X ) = – UN est une droite parallèle à l'axe des x et passant par le point de coordonnées (0; – UN ). Les graphiques ont deux points communsà -UN= 41, soit une =– 41 et – UN= – 84, soit UN = 84 .

à

41φ( X)

2 3 X

3 f ( x ) = 2x3 – 3 X 2 – 36 X – 3

Méthode 2. Méthode des coefficients indéterminés.

Puisque, selon les conditions du problème, cette équation ne doit avoir que deux racines, l'égalité est évidente :

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + UN – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + UN – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 avant JC ) x + b 2 c ,

Égalisant maintenant les coefficients aux mêmes degrés X, on obtient un système d'équations

4 b + c = - 3

2b 2 + 2avant JC = - 36

b 2 c = un – 3 .

A partir des deux premières équations du système, on trouveb 2 + b – 6 = 0, d'où b 1 = - 3 ou b 2 = 2 . Valeurs correspondantesAvec 1 et Avec 2 facile à trouver à partir de la première équation du système :Avec 1 = 9 ou Avec 2 = - 11 . Enfin, la valeur souhaitée du paramètre peut être déterminée à partir de la dernière équation du système :

UN = b 2 c + 3 , un 1 = - 41 ou un 2 = 84.

Réponse : cette équation a exactement deux valeurs différentes

racine à UN= - 41 et UN= 84 .

Problème 4.Trouver valeur la plus élevée paramètreUN , pour lequel l'équationX 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0

à coefficients entiers a trois racines différentes dont l’une est égale à – 2.

Solution. 1 façon. Remplacement X= - 2V côté gaucheéquations, on obtient

8 + 20 – 2 UN + b= 0, ce qui signifie b = 2 un – 12 .

Puisque le nombre - 2 est une racine, on peut retirer multiplicateur commun X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Oh + (2 un – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Oh + (2 un – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (un – 6)(x +2) - 2(un – 6)+ (2 un - 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (un – 6) ) .

Par condition, il existe deux autres racines de l'équation. Cela signifie que le discriminant du deuxième facteur est positif.

D =3 2 - 4 (un – 6) = 33 – 4 un > 0, c'est-à-dire UN < 8,25 .

Il semblerait que la réponse serait une = 8. Mais en remplaçant le chiffre 8 par équation originale on obtient :

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

c'est-à-dire que l'équation n'a que deux racines différentes. Mais quand une = 7 produit en fait trois racines différentes.

Méthode 2. Méthode des coefficients indéterminés.

Si l'équation X 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0 a une racine X = - 2, alors vous pouvez toujours récupérer les chiffresc Et d pour que devant tout le mondeX l'égalité était vraie

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = (X + 2)(X 2 + Avec x + d ).

Pour trouver des numérosc Et d Ouvrons les parenthèses sur le côté droit, ajoutons des termes similaires et obtenons

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + (2 + Avec ) X 2 +(2 s + d ) X + 2 d

Égalisation des coefficients aux puissances correspondantes X nous avons un système

2 + Avec = 5

2 Avec + d = un

2 d = b , où c = 3 .

Ainsi, X 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 ou

d < 2,25, donc d (- ; 2 ].

Les conditions du problème sont satisfaites par la valeur d = 1. La valeur finale souhaitée du paramètreUN = 7.

RÉPONSE : quand une = 7 cette équation a trois racines différentes.

2.3. Résoudre des équations.

"N'oubliez pas qu'en résolvant de petits problèmes, vous

préparez-vous à affronter des défis importants et difficiles

de nouvelles tâches.

Académicien S.L. Sobolev

Lorsque vous résolvez certaines équations, vous pouvez et devez faire preuve d'ingéniosité et d'esprit et utiliser des techniques spéciales. La maîtrise de diverses techniques de transformation et la capacité d'effectuer un raisonnement logique sont d'une grande importance en mathématiques. L’une de ces astuces consiste à ajouter et à soustraire une expression ou un nombre bien choisi. Le fait énoncé lui-même, bien entendu, est bien connu de tous - la principale difficulté est de voir dans une configuration spécifique les transformations d'équations auxquelles il est pratique et opportun de l'appliquer.

Illustrons-en un en utilisant une simple équation algébrique technique non standard résoudre des équations.

Problème 5. Résoudre l'équation

=
.

Solution. Multiplions les deux côtés de cette équation par 5 et réécrivons-la comme suit

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 ou
= 0

Résolvons les équations résultantes en utilisant la méthode des coefficients indéterminés

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ah + b )(x 2 + CX + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + UN c + d ) X 2 + (annonce + avant JC ) x+ + bd

Égaliser les coefficients à X 3 , X 2 , X et conditions gratuites, nous obtenons le système

a + c = -1

b + UN c + d = 0

annonce + avant JC = -7

bd = -3, d'où on trouve :UN = -2 ; b = - 1 ;

Avec = 1 ; d = 3 .

Donc X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 ou X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
pas de racines.

De même nous avons

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

où X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Répondre: X 1,2 =

Problème 6. Résoudre l'équation

= 10.

Solution. Pour résoudre cette équation, vous devez sélectionner des nombresUN Et b de sorte que les numérateurs des deux fractions sont les mêmes. On a donc le système :

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

La tâche est donc de trouver les nombresUN Et b , pour lequel l'égalité vaut

(un + 6) X 2 + ah – 5 = X 2 + (5 + 2 b ) x + b

Or, selon le théorème sur l'égalité des polynômes, il faut que le côté droit de cette égalité se transforme en le même polynôme qui se trouve du côté gauche.

En d'autres termes, les relations doivent être satisfaites

un + 6 = 1

UN = 5 + 2 b

– 5 = b , d'où l'on trouve les valeursUN = - 5 ;

b = - 5 .

A ces valeursUN Et b égalité UN + b = - 10 est également juste.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 ou X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Répondre: X 1,2 =
, X 3,4 =

Problème 7. Résoudre l'équation

= 4

Solution. Cette équation est plus complexe que les précédentes et nous allons donc la regrouper ainsi : X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

De la condition d'égalité de deux polynômes

Oh 2 + (un + 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) x – 3 b ,

nous obtenons et résolvons un système d'équations pour des coefficients inconnusUN Et b :

UN = 1

un + 6 = b + 11

12 = – 3 b , où une = 1 , b = - 4 .

Polynômes - 3 – 6X + CX 2 + 8 CX Et X 2 + 21 + 12 d – dx sont égaux entre eux à l’identique seulement lorsque

Avec = 1

8 Avec - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , Avec = 1 , d = - 2 .

Avec des valeursune = 1 , b = - 4 , Avec = 1 , d = - 2

égalité
= - 4 est correct.

En conséquence, cette équation prend la forme suivante :

= 0 ou
= 0 ou
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

D'après les exemples considérés, il ressort clairement à quel point l'utilisation habile de la méthode des coefficients indéfinis,

aide à simplifier la solution d’une équation plutôt complexe et inhabituelle.

2.4. Équations fonctionnelles.

« Nomination la plus élevée les mathématiques... consistent

est de trouver l'ordre caché dans

le chaos qui nous entoure"

N. Viner

Les équations fonctionnelles sont très classe généraleéquations dans lesquelles la fonction requise est une certaine fonction. Sous l'équation fonctionnelle dans au sens étroit les mots comprennent des équations dans lesquelles les fonctions recherchées sont liées à fonctions connues une ou plusieurs variables utilisant l'opération de formation d'une fonction complexe. Une équation fonctionnelle peut également être considérée comme l'expression d'une propriété caractérisant une classe particulière de fonctions.

[par exemple, équation fonctionnelle f ( x ) = f (- x ) caractérise la classe des fonctions paires, l'équation fonctionnellef (x + 1) = f (x ) – classe de fonctions ayant la période 1, etc.].

L'une des équations fonctionnelles les plus simples est l'équationf (x + oui ) = f (x ) + f (oui ). Les solutions continues de cette équation fonctionnelle ont la forme

f (x ) = Cx . Cependant, en classe fonctions discontinues cette équation fonctionnelle a d'autres solutions. Associées à l'équation fonctionnelle considérée sont

f (x + oui ) = f (x ) · f (oui ), f (x oui ) = f (x ) + f (oui ), f (x oui ) = f (x )· f (oui ),

solutions continues, qui ont respectivement la forme

e CX , AVECdansx , x α (x > 0).

Alors ces équations fonctionnelles peut être utilisé pour déterminer des fonctions exponentielles, logarithmiques et de puissance.

Le plus répandu obtenu des équations en fonctions complexes dont sont les fonctions externes recherchées. Théorique et applications pratiques

ce sont précisément ces équations qui ont incité mathématiciens exceptionnelsà leur étude.

Ainsi, par exemple, à alignement

f 2 (x) = f (x - oui)· f (x + oui)

N.I.Lobatchevskiutilisé pour déterminer l'angle de parallélisme dans ma géométrie.

Ces dernières années, les problèmes liés à la résolution d'équations fonctionnelles sont assez souvent proposés lors des Olympiades mathématiques. Leur solution ne nécessite pas de connaissances dépassant le cadre du programme de mathématiques écoles secondaires. Cependant, la résolution d’équations fonctionnelles pose souvent certaines difficultés.

L'un des moyens de trouver des solutions aux équations fonctionnelles est la méthode des coefficients indéfinis. Il peut être utilisé lorsque apparence les équations peuvent être déterminées vue générale la fonction souhaitée. Cela s'applique tout d'abord aux cas où les solutions d'équations doivent être recherchées parmi des nombres entiers ou des fractions. fonctions rationnelles.

Décrivons l'essence de cette technique en résolvant les problèmes suivants.

Tâche 8. Fonctionf (x ) est défini pour tout réel x et satisfait pour toutX R. condition

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Trouverf (x ).

Solution. Puisque sur le côté gauche de cette équation sur la variable indépendante x et les valeurs de la fonctionf sont exécutés uniquement opérations linéaires, et le côté droit de l’équation est fonction quadratique, alors il est naturel de supposer que la fonction souhaitée est également quadratique :

f (X) = hache 2 + bx + c , Oùun, b, c – des coefficients à déterminer, c'est-à-dire des coefficients incertains.

En substituant la fonction dans l'équation, on arrive à l'identité :

3(hache 2 + bx+c) – 2(un(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

hache 2 + (5 b + 4 un) x + (c – 2 un – 2 b) = x 2 .

Deux polynômes seront identiquement égaux s'ils sont égaux

coefficients pour les mêmes puissances de la variable :

un = 1

5b + 4un = 0

c– 2 un – 2 b = 0.

De ce système on trouve les coefficients

un = 1 , b = - , c = , Aussisatisfaitégalité

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 sur un ensemble de tous nombres réels. En même temps, il y a un telx 0 Tâche 9. Fonctiony =f(x) car tout x est défini, continu et satisfait à la conditionf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Trouvez deux de ces fonctions.

Solution. Deux actions sont effectuées sur la fonction souhaitée - l'opération de composition d'une fonction complexe et

soustraction. Considérant que le côté droit de l’équation est une fonction linéaire, il est naturel de supposer que la fonction souhaitée est également linéaire :f(x) = ah +b , OùUN Etb – coefficients incertains. En remplaçant cette fonction parf (f ( (x ) = - X - 1 ;

f 2 (x ) = 2 X+ , qui sont des solutions de l'équation fonctionnellef (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Conclusion.

En conclusion, il convient de noter que ce travail contribuera certainement à une étude plus approfondie de la version originale et méthode efficace des solutions à divers problèmes mathématiques, qui sont des tâches difficulté accrue et nécessite une connaissance approfondie du cursus scolaire en mathématiques et une culture logique élevée. Quiconque souhaite approfondir de manière autonome ses connaissances en mathématiques trouvera également dans ce travail du matériel de réflexion et de réflexion. tâches intéressantes, dont la solution apportera bénéfice et satisfaction.

En travail au sein de l’existant programme scolaire et sous une forme accessible pour une perception efficace, la méthode des coefficients indéfinis est présentée, ce qui permet d'approfondir le cours scolaire en mathématiques.

Bien entendu, toutes les possibilités de la méthode des coefficients indéfinis ne peuvent être démontrées dans un seul ouvrage. En fait, la méthode nécessite encore des études et des recherches plus approfondies.

Liste de la littérature utilisée.

Glazer G.I..Histoire des mathématiques à l'école.-M. : Education, 1983.

Gomonov S.A. Équations fonctionnelles dans cours scolaire mathématiques // Les mathématiques à l'école. – 2000. –№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.H.. Un manuel de mathématiques - M. : Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Équations algébriques de degrés arbitraires - M. : Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M.. Introduction élémentaire aux équations fonctionnelles. – Saint-Pétersbourg. : Lan, 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. Dictionnaire explicatif des termes mathématiques.-M. : Éducation, 1971

Modenov V.P.. Un manuel de mathématiques. Partie 1.-M. : Université d'État de Moscou, 1977.

Modenov V.P.. Problèmes avec les paramètres - M. : Examen, 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I.. Algèbre et analyse des fonctions élémentaires - M. : Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Vous pouvez le résoudre plus facilement // Mathématiques à l'école. – 2003 . - №8 .

Khalioulline.

4. Développez le polynôme 2X 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 pour les multiplicateurs à coefficients entiers.

5. A quelle valeur UN X 3 + 6X 2 + Oh+ 12 par X+ 4 ?

6. A quelle valeur du paramètreUN équationX 3 +5 X 2 + + Oh + b = 0 à coefficients entiers a deux racines différentes dont l'une est 1 ?

7. Parmi les racines du polynôme X 4 + X 3 – 18X 2 + Oh + b avec des coefficients entiers, il existe trois entiers égaux. Trouver la valeur b .

8. Trouvez la plus grande valeur entière du paramètre UN,à laquelle l'équation X 3 – 8X 2 + ah +b = 0 à coefficients entiers a trois racines différentes dont l'une est égale à 2.

9. À quelles valeurs UN Et b la division s'effectue sans reste X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Oh + b sur X 2 – 3X + 2 ?

10. Factoriser les polynômes :

UN)X 4 + 2 X 2 – X + 2 V)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 d)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Résolvez les équations :

UN)
= 2 = 2 f (1 – X ) = X 2 .

Trouver f (X) .

13. Fonction à= f (X) devant tout le monde X défini, continu et satisfait à la condition f ( f (X)) = f (X) + X. Trouvez deux de ces fonctions.

La méthode est applicable pour minimiser les fonctions d'algèbre logique d'un nombre quelconque de variables.

Considérons le cas de trois variables. Une fonction booléenne dans DNF peut être représentée sous la forme de toutes sortes de termes conjonctifs pouvant être inclus dans DNF :

où kО(0,1) sont des coefficients. La méthode consiste à sélectionner les coefficients de telle sorte que le DNF résultant soit minimal.

Si nous définissons maintenant toutes les valeurs possibles des variables de 000 à 111, nous obtenons 2 n (2 3 =8) équations pour déterminer les coefficients k:

Considérant les ensembles pour lesquels la fonction prend une valeur nulle, déterminez les coefficients égaux à 0 et rayez-les des équations dont le côté droit contient 1. Parmi les coefficients restants dans chaque équation, un coefficient est égal à un, ce qui détermine la conjonction du rang le plus bas. Les coefficients restants sont égaux à 0. Ainsi, les coefficients unitaires k déterminer la forme minimale appropriée.

Exemple. Réduire une fonction donnée

si les valeurs sont connues :
;
;
;
;
;
;
;
.

Solution.

Après avoir barré les coefficients zéro on obtient :

=1;

=1;

=1;

=1.

Assumons le coefficient à l'unité , correspondant à la conjonction du rang le plus bas et faisant passer les quatre dernières équations à 1, et dans la première équation il convient d'assimiler le coefficient à 1 . Les coefficients restants sont mis à 0.

Répondre: type de fonction minimisée.

Il convient de noter que la méthode des coefficients indéfinis est efficace lorsque le nombre de variables est faible et ne dépasse pas 5-6.

Cube multidimensionnel

Considérons une représentation graphique d'une fonction sous la forme d'un cube multidimensionnel. Chaque sommet n Un cube dimensionnel peut être mis en correspondance avec le constituant de l'unité.

Le sous-ensemble des sommets marqués est un mappage sur n-cube dimensionnel d'une fonction booléenne de n variables dans SDNF.

Pour afficher la fonction de n variables présentées dans tout DNF, il est nécessaire d'établir une correspondance entre ses minitermes et ses éléments n-cube dimensionnel.

Miniterme du (n-1)ème rang
peut être considéré comme le résultat du collage de deux miniterms n-ème rang, c'est-à-dire

=

Sur n-cube dimensionnel cela correspond au remplacement de deux sommets qui ne diffèrent que par les valeurs de coordonnées X je, reliant ces sommets avec une arête (on dit qu'une arête recouvre les sommets qui lui sont incidents).

Ainsi, les miniterms ( n Le -1)ième ordre correspond aux arêtes d’un cube à n dimensions.

De même, la correspondance des miniterms ( n-2)ème visages d'ordre n-cube dimensionnel, dont chacun couvre quatre sommets (et quatre arêtes).

Éléments n-cube dimensionnel, caractérisé par S les mesures sont appelées S-cubes

Ainsi, les sommets sont des cubes 0, les arêtes sont des cubes 1, les faces sont des cubes 2, etc.

Pour résumer, on peut dire que le miniterme ( n-S) rang en DNF pour la fonction n variables affichées S-cube, chacun S-cube couvre tous les cubes de dimension inférieure qui sont connectés uniquement à ses sommets.

Exemple. Sur la fig. étant donné la cartographie

Voici les miniterms
Et
correspondent à 1 cubes ( S=3-2=1), et miniterme X 3 affiché sur 2 cubes ( S=3-1=2).

Ainsi, tout DNF est mappé à n-cube dimensionnel au total S-cubes qui couvrent tous les sommets correspondant aux unités constitutives (0-cube).

Constituants. Pour les variables X 1 ,X 2 ,…X n expression
est appelé le constituant de l’unité, et
- constituant de zéro ( signifie soit , ou ).

Ce constituant de un (zéro) se transforme en un (zéro) seulement avec un ensemble correspondant de valeurs de variables, qui est obtenu si toutes les variables sont prises égales à un (zéro) et leurs négations égales à zéro (un).

Par exemple : unité constituante
correspond à l'ensemble (1011), et le constituant est nul
- ensemble (1001).

Puisque SD(K)NF est une disjonction (conjonction) des constituants de un (zéro), on peut affirmer que la fonction booléenne qu'elle représente f(x 1 , x 2 ,…, x n) devient un (zéro) uniquement pour les ensembles de valeurs variables x 1 , x 2 ,…, x n, correspondant à ces copstituées. Sur d'autres postes, cette fonction passe à 0 (un).

L'affirmation inverse est également vraie, sur laquelle elle est basée manière de représenter n'importe quel Fonction booléenne spécifiée par la table.

Pour ce faire, il faut écrire des disjonctions (conjonctions) des constituants de un (zéro), correspondant à des ensembles de valeurs de variables sur lesquelles la fonction prend une valeur égale à un (zéro).

Par exemple, une fonction donnée par une table

correspondre

Les expressions résultantes peuvent être converties sous une autre forme basée sur les propriétés de l’algèbre logique.

L'affirmation inverse est également vraie : si une collection S-cubes couvre l'ensemble de tous les sommets correspondant aux valeurs unitaires de la fonction, puis la disjonction correspondant à celles-ci S-cubes de miniterms est l'expression de cette fonction dans DNF.

On dit qu'une telle collection S-cubes (ou leurs minitermes correspondants) forment une couverture de la fonction. Le désir d'une forme minimale s'entend intuitivement comme la recherche d'un tel revêtement, le nombre S-dont il y aurait moins de cubes, et leurs dimensions S- plus. La couverture correspondant à la forme minimale est appelée couverture minimale.

Par exemple, pour la fonction à=
le revêtement correspond à une forme non minimale :

riz a) à=,

un enrobage sur du riz b) à=
, riz c) à=
minimal.

Riz. Couverture fonctionnelle à=:

a) non minime ; b), c) minimum.

Afficher une fonction sur n-dimensionnellement clairement et simplement avec n3. Un cube à quatre dimensions peut être représenté comme le montre la Fig., qui montre la fonction de quatre variables et sa couverture minimale correspondant à l'expression à=

Utiliser cette méthode lorsque n>4 nécessite des constructions tellement complexes qu'il perd tous ses avantages.

Intégration fonction rationnelle fractionnaire.
Méthode du coefficient incertain

Nous continuons à travailler sur l'intégration des fractions. Nous avons déjà examiné les intégrales de certains types de fractions dans la leçon, et cette leçon, en un sens, peut être considérée comme une continuation. Pour bien comprendre le matériel, des compétences de base en intégration sont requises, donc si vous venez de commencer à étudier les intégrales, c'est-à-dire que vous êtes débutant, vous devez alors commencer par l'article Intégrale indéfinie. Exemples de solutions.

Curieusement, nous ne nous intéresserons plus tant à la recherche d'intégrales, mais... à la résolution de systèmes équations linéaires. À cet égard instamment Je recommande d'assister au cours. À savoir, vous devez bien connaître les méthodes de substitution (méthode « l'école » et la méthode d'addition (soustraction) terme par terme des équations système).

Qu'est-ce qu'une fonction rationnelle fractionnaire ? En mots simples, une fonction fractionnaire-rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes ou des produits de polynômes. De plus, les fractions sont plus sophistiquées que celles évoquées dans l'article Intégrer certaines fractions.

Intégrer une fonction fractionnaire-rationnelle appropriée

Immédiatement un exemple et algorithme standard solutions à l’intégrale d’une fonction rationnelle fractionnaire.

Exemple 1

Étape 1. La première chose que nous faisons TOUJOURS lors de la résolution de l’intégrale d’une fonction rationnelle fractionnaire est de découvrir question suivante: la fraction est-elle correcte ? Cette étape se fait oralement, et maintenant je vais vous expliquer comment :

Nous regardons d'abord le numérateur et découvrons diplôme supérieur polynôme:

La puissance principale du numérateur est deux.

Maintenant, regardons le dénominateur et découvrons diplôme supérieur dénominateur. La solution la plus évidente consiste à ouvrir les supports et à amener termes similaires, mais vous pouvez le faire plus facilement, en chaque trouver le diplôme le plus élevé entre parenthèses

et multipliez mentalement : - ainsi, le degré le plus élevé du dénominateur est égal à trois. Il est bien évident que si nous ouvrons effectivement les parenthèses, nous n’obtiendrons pas un degré supérieur à trois.

Conclusion: Degré majeur du numérateur STRICTEMENT est inférieur à la puissance la plus élevée du dénominateur, ce qui signifie que la fraction est propre.

Si dans dans cet exemple le numérateur contenait le polynôme 3, 4, 5, etc. degrés, alors la fraction serait faux.

Nous ne considérerons maintenant que les fonctions rationnelles fractionnaires correctes. Nous examinerons le cas où le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur à la fin de la leçon.

Étape 2. Factorisons le dénominateur. Regardons notre dénominateur :

D’une manière générale, cela est déjà le produit de facteurs, mais nous nous demandons néanmoins : est-il possible d’étendre autre chose ? L'objet de la torture sera sans aucun doute le trinôme carré. Décidons équation quadratique:

Discriminant supérieur à zéro, ce qui signifie que le trinôme peut réellement être factorisé :

Règle générale: TOUT ce qui peut être pris en compte dans le dénominateur - nous le prenons en compte

Commençons par formuler une solution :

Étape 3. En utilisant la méthode des coefficients indéfinis, nous développons l'intégrande en une somme de fractions simples (élémentaires). Maintenant, ce sera plus clair.

Regardons notre fonction intégrande :

Et, vous savez, d'une manière ou d'une autre, une pensée intuitive surgit selon laquelle ce serait bien d'avoir notre grande fraction se transformer en plusieurs petits. Par exemple, comme ceci :

La question se pose : est-il même possible de faire cela ? Poussons un soupir de soulagement, le théorème correspondant analyse mathématique affirme - C'EST POSSIBLE. Une telle décomposition existe et est unique.

Il n'y a qu'un seul piège, les chances sont Au revoir Nous ne le savons pas, d’où le nom – la méthode des coefficients indéfinis.

Comme vous l’avez deviné, les mouvements ultérieurs du corps sont comme ça, ne ricanez pas ! visera simplement à les RECONNAÎTRE - à découvrir à quoi ils sont égaux.

Attention, je ne vous expliquerai en détail qu'une seule fois !

Alors, commençons à danser à partir de :

Sur le côté gauche, nous réduisons l'expression à un dénominateur commun :

Nous pouvons maintenant nous débarrasser en toute sécurité des dénominateurs (puisqu'ils sont les mêmes) :

Sur le côté gauche on ouvre les parenthèses, mais ne touche pas pour l'instant aux coefficients inconnus :

En même temps, nous répétons la règle scolaire de multiplication des polynômes. Quand j'étais enseignant, j'ai appris à prononcer cette règle avec un visage impassible : Pour multiplier un polynôme par un polynôme, vous devez multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme de l'autre polynôme.

Du point de vue explication claire Il vaut mieux mettre les coefficients entre parenthèses (même si personnellement je ne fais jamais ça pour gagner du temps) :

Nous composons un système d'équations linéaires.
Nous recherchons d’abord des diplômes supérieurs :

Et on écrit les coefficients correspondants dans la première équation du système :

Rappelez-vous bien le point suivant. Que se passerait-il s’il n’y avait aucun s sur le côté droit ? Disons, est-ce que cela s'afficherait sans aucun carré ? Dans ce cas, dans l'équation du système il faudrait mettre un zéro à droite : . Pourquoi zéro ? Mais parce qu'à droite vous pouvez toujours attribuer zéro à ce même carré : S'il n'y a pas de variables à droite et/ou membre gratuit, puis on met des zéros sur les membres droits des équations correspondantes du système.

On écrit les coefficients correspondants dans la deuxième équation du système :

Et enfin, l'eau minérale, nous sélectionnons les membres gratuits.

Eh... je plaisantais un peu. Blague à part, les mathématiques sont une science sérieuse. Dans notre groupe d'institut, personne n'a ri lorsque le professeur adjoint a dit qu'elle disperserait les termes le long de la droite numérique et choisirait les plus grands. Soyons sérieux. Bien que... celui qui vivra pour voir la fin de cette leçon sourira toujours tranquillement.

Le système est prêt :

On résout le système :

(1) À partir de la première équation, nous l'exprimons et la substituons dans les 2e et 3e équations du système. En fait, il était possible d'exprimer (ou une autre lettre) à partir d'une autre équation, mais en dans ce cas il est avantageux d'exprimer précisément à partir de la 1ère équation, puisqu'il y a les plus petites chances.

(2) Nous présentons des termes similaires dans les 2e et 3e équations.

(3) On additionne les 2ème et 3ème équations terme par terme, obtenant l'égalité , d'où il résulte que

(4) Nous substituons dans la deuxième (ou troisième) équation, d'où nous trouvons que

(5) Remplacez et dans la première équation, obtenant .

Si vous rencontrez des difficultés avec les méthodes de résolution du système, pratiquez-les en classe. Comment résoudre un système d'équations linéaires ?

Après avoir résolu le système, il est toujours utile de vérifier - remplacer les valeurs trouvées chaqueéquation du système, du coup tout devrait « converger ».

Presque là. Les coefficients ont été trouvés, et :

Le travail terminé devrait ressembler à ceci :

Comme vous pouvez le constater, la principale difficulté de la tâche était de composer (correctement !) et de résoudre (correctement !) un système d'équations linéaires. Et au stade final, tout n'est pas si difficile : on utilise les propriétés de linéarité intégrale indéfinie et intégrer. Veuillez noter que sous chacune des trois intégrales nous avons « gratuit » fonction complexe, j'ai parlé des caractéristiques de son intégration en classe Méthode de changement de variable en intégrale indéfinie.

Vérifier : Différenciez la réponse :

La fonction intégrale d'origine a été obtenue, ce qui signifie que l'intégrale a été trouvée correctement.
Lors de la vérification, nous avons dû réduire l'expression à un dénominateur commun, et ce n'est pas un hasard. La méthode des coefficients indéfinis et la réduction d'une expression à un dénominateur commun sont des actions mutuellement inverses.

Exemple 2

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Revenons à la fraction du premier exemple : . Il est facile de remarquer qu’au dénominateur tous les facteurs sont DIFFÉRENTS. La question se pose, que faire si, par exemple, la fraction suivante est donnée : ? Ici, nous avons les degrés au dénominateur, ou, mathématiquement, multiples. De plus, il existe un trinôme quadratique qui ne peut être factorisé (il est facile de vérifier que le discriminant de l'équation est négatif, donc le trinôme ne peut pas être factorisé). Ce qu'il faut faire? Le développement en une somme de fractions élémentaires ressemblera à quelque chose comme avec des coefficients inconnus en haut ou autre chose ?

Exemple 3

Introduire une fonction

Étape 1. Vérifier si nous avons une fraction appropriée
Numérateur majeur : 2
Degré le plus élevé du dénominateur : 8
, ce qui signifie que la fraction est correcte.

Étape 2. Est-il possible de prendre en compte quelque chose dans le dénominateur ? Evidemment non, tout est déjà prévu. Trinôme carré ne se décompose pas en œuvre pour les raisons évoquées ci-dessus. Capot. Moins de travail.

Étape 3. Imaginons une fonction fractionnaire-rationnelle comme une somme de fractions élémentaires.
Dans ce cas, le développement a la forme suivante :

Regardons notre dénominateur :
Lors de la décomposition d'une fonction fractionnaire-rationnelle en une somme de fractions élémentaires, trois points fondamentaux peuvent être distingués :

1) Si le dénominateur contient un facteur « solitaire » à la puissance première (dans notre cas), alors on met un coefficient indéfini en haut (dans notre cas). Les exemples n° 1 et 2 ne concernaient que de tels facteurs « solitaires ».

2) Si le dénominateur a multiple multiplicateur, alors vous devez le décomposer comme ceci :
- c'est-à-dire parcourir séquentiellement tous les degrés de « X » du premier au nième degré. Dans notre exemple, il y a deux facteurs multiples : et , regardez à nouveau l'expansion que j'ai donnée et assurez-vous qu'ils sont développés exactement selon cette règle.

3) Si le dénominateur contient un polynôme indécomposable du deuxième degré (dans notre cas), alors lors de la décomposition au numérateur, vous devez écrire fonction linéaireà coefficients incertains (dans notre cas à coefficients incertains et ).

En fait, il existe un autre 4ème cas, mais je garderai le silence à ce sujet, car en pratique c'est extrêmement rare.

Exemple 4

Introduire une fonction comme somme de fractions élémentaires à coefficients inconnus.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.
Suivez strictement l'algorithme !

Si vous comprenez les principes selon lesquels vous devez développer une fonction fractionnaire-rationnelle en une somme, vous pouvez parcourir presque toutes les intégrales du type considéré.

Exemple 5

Trouvez l'intégrale indéfinie.

Étape 1. La fraction est évidemment correcte :

Étape 2. Est-il possible de prendre en compte quelque chose dans le dénominateur ? Peut. Voici la somme des cubes . Factoriser le dénominateur à l'aide de la formule de multiplication abrégée

Étape 3. En utilisant la méthode des coefficients indéfinis, nous développons l'intégrande en une somme de fractions élémentaires :

Attention, le polynôme ne peut pas être factorisé (vérifier que le discriminant est négatif), donc en haut on met une fonction linéaire à coefficients inconnus, et pas seulement une lettre.

Nous ramenons la fraction à un dénominateur commun :

Composons et résolvons le système :

(1) Nous exprimons à partir de la première équation et la substituons dans la deuxième équation du système (c'est la manière la plus rationnelle).

(2) Nous présentons des termes similaires dans la deuxième équation.

(3) On additionne terme par terme les deuxième et troisième équations du système.

Tous les calculs ultérieurs sont, en principe, oraux, puisque le système est simple.

(1) Nous notons la somme des fractions conformément aux coefficients trouvés.

(2) Nous utilisons les propriétés de linéarité de l'intégrale indéfinie. Que s'est-il passé dans la deuxième intégrale ? Vous pouvez vous familiariser avec cette méthode dans le dernier paragraphe de la leçon. Intégrer certaines fractions.

(3) Encore une fois, nous utilisons les propriétés de linéarité. Dans la troisième intégrale, nous commençons à isoler carré parfait(avant-dernier paragraphe de la leçon Intégrer certaines fractions).

(4) On prend la deuxième intégrale, dans la troisième on sélectionne le carré complet.

(5) Prenez la troisième intégrale. Prêt.

Ce service est conçu pour décomposer des fractions de la forme :

Pour la somme de fractions simples. Ce service sera utile pour résoudre des intégrales. voir exemple.

Instructions. Entrez le numérateur et le dénominateur de la fraction. Cliquez sur le bouton Résoudre.

Règles de saisie d'une fonction

Règles de saisie d'une fonction

Algorithme pour la méthode des coefficients incertains

1. Factoriser le dénominateur.
2. Décomposition d'une fraction comme somme de fractions simples à coefficients indéterminés.
3. Regrouper le numérateur avec les mêmes puissances de x.
4. Obtention d'un système d'équations algébriques linéaires avec des coefficients indéterminés comme inconnues.
5. Solution de SLAE : méthode de Cramer, méthode de Gauss, méthode matricielle inverse ou méthode d'élimination des inconnues.

Exemple. Nous utilisons la méthode de décomposition en plus simples. Décomposons la fonction dans ses termes les plus simples :


Égalons les numérateurs et tenons compte du fait que les coefficients aux mêmes puissances X, debout à gauche et à droite doit correspondre
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A -2B + C + 4D = 0
En le résolvant, nous trouvons :
A = 1/16 ;B = - 1/9 ;C = - 5/12 ;D = 7/144 ;