Matrices équivalentes. Transformations du système élémentaire

Matrices équivalentes

Comme mentionné ci-dessus, le mineur d'une matrice d'ordre s est le déterminant d'une matrice formée d'éléments de la matrice d'origine situés à l'intersection de toutes les s lignes et s colonnes sélectionnées.

Définition. Dans une matrice d’ordre mn, un mineur d’ordre r est dit basique s’il n’est pas égal à zéro, et tous les mineurs d'ordre r+1 et supérieur sont égaux à zéro ou n'existent pas du tout, c'est-à-dire r correspond au plus petit de m ou n.

Les colonnes et les lignes de la matrice sur lesquelles repose la base mineure sont également appelées base.

Une matrice peut avoir plusieurs bases mineures différentes qui ont le même ordre.

Définition. L'ordre de la base mineure d'une matrice est appelé rang de la matrice et est noté Rg A.

Très propriété importante Les transformations matricielles élémentaires sont qu’elles ne changent pas le rang de la matrice.

Définition. Les matrices obtenues à la suite d'une transformation élémentaire sont dites équivalentes.

Il convient de noter que les matrices égales et les matrices équivalentes sont des concepts complètement différents.

Théorème. Le plus grand nombre les colonnes linéairement indépendantes dans une matrice sont égales au nombre de lignes linéairement indépendantes.

Parce que les transformations élémentaires ne changent pas le rang de la matrice, le processus de recherche du rang de la matrice peut alors être considérablement simplifié.

Exemple. Déterminez le rang de la matrice.

2. Exemple : Déterminer le rang de la matrice.

Si, à l'aide de transformations élémentaires, il n'est pas possible de trouver une matrice équivalente à celle d'origine, mais de taille plus petite, alors pour trouver le rang de la matrice, il faut commencer par calculer les mineurs de l'ordre le plus élevé possible. Dans l'exemple ci-dessus, il s'agit de mineurs d'ordre 3. Si au moins l'un d'entre eux n'est pas égal à zéro, alors le rang de la matrice est égal à l'ordre de ce mineur.

Le théorème sur la base mineure.

Théorème. Dans une matrice arbitraire A, chaque colonne (ligne) est une combinaison linéaire des colonnes (lignes) dans lesquelles se trouve la base mineure.

Donc le rang matrice arbitraire A est égal à nombre maximum lignes (colonnes) linéairement indépendantes dans une matrice.

Si A est une matrice carrée et det A = 0, alors au moins une des colonnes est une combinaison linéaire des colonnes restantes. Il en va de même pour les chaînes. Cette déclaration découle de la propriété dépendance linéaire avec le déterminant égal à zéro.

Résolution de systèmes arbitraires d'équations linéaires

Comme indiqué ci-dessus, méthode matricielle et la méthode de Cramer ne sont applicables qu'à ces systèmes équations linéaires, dans laquelle le nombre d’inconnues est égal au nombre d’équations. Ensuite, nous considérons des systèmes arbitraires d'équations linéaires.

Définition. Système de m équations à n inconnues dans vue générale s'écrit ainsi :

où aij sont des coefficients et bi sont des constantes. Les solutions du système sont n nombres qui, une fois substitués dans le système, transforment chacune de ses équations en une identité.

Définition. Si un système a au moins une solution, on l’appelle joint. Si un système n’a pas de solution unique, on dit qu’il est incohérent.

Définition. Un système est dit déterminé s’il n’a qu’une seule solution et indéfini s’il en a plusieurs.

Définition. Pour un système d'équations linéaires, la matrice

A = est appelée la matrice du système, et la matrice

A*= est appelée la matrice étendue du système

Définition. Si b1, b2, …,bm = 0, alors le système est dit homogène. système homogène toujours ensemble, parce que a toujours une solution nulle.

Transformations du système élémentaire

Les transformations élémentaires comprennent :

1) Ajouter aux deux côtés d'une équation les parties correspondantes de l'autre, multipliées par le même nombre, non égal à zéro.

2) Réorganiser les équations.

3) Supprimer du système les équations qui sont des identités pour tous x.

Théorème de Kronecker-Kapeli (condition de cohérence du système).

(Léopold Kronecker (1823-1891) mathématicien allemand)

Théorème : Un système est cohérent (a au moins une solution) si et seulement si le rang de la matrice système est égal au rang de la matrice étendue.

Évidemment, le système (1) peut être écrit sous la forme .

Laisser R. Et S deux espaces vectoriels dimensions n Et m respectivement sur le champ numérique K, et laisse UN opérateur linéaire affichage R. V S. Découvrons comment la matrice des opérateurs change UN lors du changement de base dans les espaces R. V S.

Choisissons des bases arbitraires dans les espaces R. V S et désignent par et respectivement. Alors (voir opérateurs linéaires) l'égalité vectorielle

correspond à l'égalité matricielle

Où X Et à vecteurs x Et oui, présentés sous forme de colonnes de coordonnées dans les bases et, respectivement.

Choisissons maintenant dans les espaces R. Et S d'autres bases Et . Dans les nouvelles bases, l'égalité vectorielle (1) correspondra à l'égalité matricielle

Alors, en tenant compte de (3) et (4), on a

Définition 1. Deux matrices rectangulaires A et B mêmes tailles sont dits équivalents s’il existe deux matrices carrées non singulières P. Et T de telle sorte que l'égalité soit vraie

Notez que si UN-matrice d'ordre m×n, Que P. Et T matrices d'ordre carré m Et n, respectivement.

De (6) il résulte que deux matrices correspondant au même opérateur linéaire UN pour différents choix de bases dans les espaces R. Et S sont équivalents les uns aux autres. L’inverse est également vrai. Si la matrice A correspond à l'opérateur UN, et la matrice B est équivalent à la matrice UN, alors cela correspond au même opérateur linéaire UN pour d'autres bases en R. Et S.

Voyons dans quelles conditions deux matrices sont équivalentes.

Théorème. Pour que deux matrices de même taille soient équivalentes, il faut et il suffit qu’elles aient le même rang.

Preuve. Nécessité. Puisque multiplier une matrice par une matrice carrée non singulière ne peut pas changer le rang de la matrice, alors d'après (7) nous avons :

Adéquation. Soit un opérateur linéaire UN, représentant l'espace R. V S et que cet opérateur soit répondu par la matrice UN taille m×n dans les bases en R. et dans S, respectivement. Notons par r le nombre est linéaire vecteurs indépendants parmi Aé 1 , Aé 2 ,..., Aén. Soit les premiers linéairement indépendants r vecteurs Aé 1 , Aé 2 ,..., Aér. Puis le reste n-r les vecteurs sont exprimés linéairement en fonction de ces vecteurs :

Définissons une nouvelle base dans l'espace R.:

Complétons ces vecteurs par quelques vecteurs se baser dans S.

Alors la matrice des opérateurs UN dans de nouvelles bases , selon (9) et (10) aura la forme suivante :

où dans la matrice E" - sur la diagonale principale, ils se tiennent r unités, et les éléments restants sont nuls.

Puisque les matrices UN Et E" correspond au même opérateur UN, alors ils sont équivalents les uns aux autres. Nous avons montré ci-dessus que les matrices équivalentes ont le même rang, d'où le rang de la matrice d'origine UN est égal r.

De ce qui précède, il s'ensuit que l'arbitraire m×n matrice de classement r est équivalent à la matrice E" - commande m×n. Mais E" - est déterminé de manière unique en spécifiant la dimension m×n matrice et son rang r. Par conséquent, toutes les matrices rectangulaires d’ordre m×n et rang r sont équivalents à la même matrice E" et sont donc équivalents les uns aux autres.

Document : c.-à-d. Le rang de la matrice est conservé lors de la réalisation des opérations suivantes :

1. Changer l'ordre des lignes.

2. Multiplier une matrice par un nombre autre que zéro.

3. Transposition.

4. Éliminer une chaîne de zéros.

5. Ajout d'une autre chaîne à une chaîne, multipliée par un nombre arbitraire.

La première transformation laissera certains mineurs inchangés, mais changera le signe de certains à l'opposé. La deuxième transformation laissera également certains mineurs inchangés, tandis que d'autres seront multipliés par un nombre autre que zéro. La troisième transformation préservera tous les mineurs. Ainsi, lors de l’application de ces transformations, le rang de la matrice sera également conservé (deuxième définition). L'élimination d'une ligne nulle ne peut pas changer le rang de la matrice, car une telle ligne ne peut pas entrer un mineur non nul. Considérons la cinquième transformation.

Nous supposerons que la base mineure Δp ​​est située dans les p premières lignes. Supposons qu'une chaîne arbitraire b soit ajoutée à la chaîne a, qui est l'une de ces chaînes, multipliée par un certain nombre λ. Ceux. à la chaîne a est ajoutée une combinaison linéaire de chaînes contenant la base mineure. Dans ce cas, la base mineure Δp ​​restera inchangée (et différente de 0). Les autres mineurs placés dans les premières lignes p restent également inchangés, il en va de même pour tous les autres mineurs. Que. V dans ce cas le rang (selon la deuxième définition) sera conservé. Considérons maintenant le mineur Ms, qui n'a pas toutes les lignes parmi les premières p lignes (et peut-être n'en a-t-il pas).

En ajoutant une chaîne arbitraire b à la chaîne ai, multipliée par le nombre λ, on obtient un nouveau mineur Ms', et Ms'=Ms+λ Ms, où

Si s>p, alors Ms=Ms=0, car tous les mineurs d'ordre supérieur à p de la matrice d'origine sont égaux à 0. Mais alors Ms'=0, et le rang des transformations matricielles n'augmente pas. Mais il ne pouvait pas non plus diminuer, puisque la mineure de base n'a subi aucune modification. Le rang de la matrice reste donc inchangé.

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Les trois premiers paragraphes de ce chapitre sont consacrés à la doctrine de l'équivalence des matrices polynomiales. Sur cette base, dans les trois paragraphes suivants, nous construisons la théorie analytique des diviseurs élémentaires, c'est-à-dire la théorie de la réduction d'une matrice carrée constante (peu nomiale) à forme normale. Les deux derniers paragraphes du chapitre donnent deux méthodes pour construire une matrice de transformation.

§ 1. Transformations élémentaires d'une matrice polynomiale

Définition 1. Une matrice polynomiale ou -matrice est une matrice rectangulaire dont les éléments sont des polynômes en :

voici le plus grand degré des polynômes.

on peut représenter une matrice polynomiale comme un polynôme matriciel par rapport à , c'est-à-dire comme un polynôme à coefficients matriciels :

Introduisons en considération les opérations élémentaires suivantes sur une matrice polynomiale :

1. Multiplier certaines lignes, par exemple th, par un nombre.

2. Ajouter à certaines, par exemple la ème ligne, une autre, par exemple la ème ligne, préalablement multipliée par un polynôme arbitraire.

3. Échangez deux lignes, par exemple la ième et la ième ligne.

Nous invitons le lecteur à vérifier que les opérations 1, 2, 3 équivalent respectivement à multiplier une matrice polynomiale de gauche par les matrices carrées d'ordre suivantes :

(1)

c'est-à-dire qu'à la suite de l'application des opérations 1, 2, 3, la matrice est transformée respectivement en matrices , , . Par conséquent, les opérations de type 1, 2, 3 sont appelées opérations élémentaires de gauche.

Les bonnes opérations élémentaires sur une matrice polynomiale sont définies de manière tout à fait similaire (ces opérations s'effectuent non pas sur les lignes, mais sur les colonnes de la matrice polynomiale) et les matrices correspondantes (d'ordre ) :

Suite à l'application de la bonne opération élémentaire, la matrice est multipliée à droite par la matrice correspondante.

Nous appellerons les matrices de type (ou, ce qui revient au même, type ) matrices élémentaires.

Déterminant tout matrice élémentaire ne dépend pas de zéro et est différent de zéro. Par conséquent, pour chaque opération élémentaire gauche (droite) il y a opération inverse, qui est aussi une opération élémentaire gauche (respectivement droite).

Définition 2. Deux matrices polynomiales sont appelées 1) équivalent gauche, 2) équivalent droit, 3) équivalent si l'une d'elles est obtenue de l'autre en appliquant respectivement 1) opérations élémentaires gauche, 2) opérations élémentaires droite, 3) gauche et bonnes opérations élémentaires.

Supposons que la matrice soit obtenue en utilisant des opérations élémentaires de gauche correspondant aux matrices. Alors

. (2).

Désignant par le produit , on écrit l'égalité (2) sous la forme

, (3)

où , comme chacune des matrices, a un déterminant constant non nul.

Dans le paragraphe suivant, il sera prouvé que chaque matrice carrée avec un déterminant constant non nul peut être représenté comme un produit de matrices élémentaires. Par conséquent, l’égalité (3) est équivalente à l’égalité (2) et signifie donc l’équivalence gauche des matrices et .

En cas d'équivalence de droit matrices polynomiales et au lieu de l'égalité (3) nous aurons l'égalité

, (3")

et en cas d’équivalence (bilatérale) – égalité

Ici encore et ce sont des matrices à déterminants non nuls et indépendants.

Ainsi, la définition 2 peut être remplacée par une définition équivalente.

Définition 2". Deux matrices rectangulaires et sont appelés 1) équivalent gauche, 2) équivalent droit, 3) équivalent si, respectivement

1) , 2) , 3) ,

où et sont des matrices carrées polynomiales avec des déterminants constants et non nuls.

Nous illustrons tous les concepts introduits ci-dessus à l’aide de l’exemple important suivant.

Considérons un système de linéaire homogène équations différentielles-ème ordre avec des fonctions d'argument inconnues à coefficients constants :

(4)

Équation Mu d'une nouvelle fonction inconnue ; la deuxième opération élémentaire signifie l'introduction d'une nouvelle fonction inconnue (au lieu de ); la troisième opération consiste à changer de place dans les équations des termes contenant et (c'est-à-dire ).

Notre objectif immédiat est de prouver que toute matrice peut être réduite à une certaine types standards. Le langage des matrices équivalentes est utile dans cette voie.

Qu'il en soit ainsi. On dira qu'une matrice est l_équivalent (n_equivalent ou équivalent) à une matrice et désignera (ou) si la matrice peut être obtenue à partir d'une matrice en utilisant nombre fini transformations élémentaires de ligne (colonne ou ligne et colonne, respectivement). Il est clair que les matrices l_equivalent et n_equivalent sont équivalentes.

Nous allons d’abord montrer que toute matrice peut être réduite à type spécial, dit réduit.

Qu'il en soit ainsi. Une ligne non nulle de cette matrice est dite avoir la forme réduite si elle contient un élément égal à 1 tel que tous les éléments de la colonne autres que soient égaux à zéro, . Nous appellerons l’élément unique marqué de la ligne l’élément principal de cette ligne et l’enfermerons dans un cercle. Autrement dit, une ligne d'une matrice a la forme réduite si cette matrice contient une colonne de la forme

Par exemple, dans la matrice suivante

la ligne a la forme suivante, puisque. Faisons attention au fait que dans cet exemple, un élément prétend également être l'élément principal de la ligne. À l'avenir, si une ligne du type donné contient plusieurs éléments qui ont des propriétés principales, nous n'en sélectionnerons qu'un seul de manière arbitraire.

Une matrice est dite de forme réduite si chacune de ses lignes non nulles a une forme réduite. Par exemple, la matrice

a la forme suivante.

Proposition 1.3 Pour toute matrice il existe une matrice équivalente de forme réduite.

En effet, si la matrice a la forme (1.1) et, alors après y avoir effectué des transformations élémentaires

on obtient la matrice

dans lequel la chaîne a la forme suivante.

Deuxièmement, si la ligne de la matrice a été réduite, alors après avoir effectué les transformations élémentaires (1.20) la ligne de la matrice sera réduite. En effet, puisque donnée, il existe une colonne telle que

mais alors et, par conséquent, après avoir effectué les transformations (1.20) la colonne ne change pas, c'est-à-dire . La ligne a donc la forme suivante.

Il est maintenant clair qu’en transformant tour à tour chaque ligne non nulle de la matrice de la manière ci-dessus, après un nombre fini d’étapes, nous obtiendrons une matrice de forme réduite. Puisque seules des transformations élémentaires de lignes ont été utilisées pour obtenir la matrice, elle est l_équivalente à une matrice. >

Exemple 7. Construire une matrice de forme réduite, l_équivalent à la matrice