Qu'est-ce qu'un ensemble flou ? Concepts de base de la théorie des ensembles flous

Ensemble flou- notion clé logique floue. Laisser E- ensemble universel, X- élément E, un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement) UN ensemble universel E, dont les éléments satisfont à la propriété R est défini comme l'ensemble des paires ordonnées

UNE = ( µUN(x) / x},

Où µA (x) —fonction caractéristique, prenant la valeur 1 si X satisfait la propriété R, et 0 sinon.

Le sous-ensemble flou est différent de sujets réguliers, qui concerne les éléments X depuis E il n’y a pas de réponse claire par oui ou par non concernant la propriété R. À cet égard, le sous-ensemble flou UN ensemble universel E est défini comme l'ensemble des paires ordonnées

UNE = ( µUN(x) / x},

Où µA (x) — fonction d'appartenance caractéristique(ou juste fonction d'adhésion), prenant des valeurs dans un ensemble complètement ordonné M.(Par exemple, M. = ).

La fonction d'appartenance indique le degré (ou niveau) d'appartenance d'un élément X sous-ensemble UN. Beaucoup M. appelé un ensemble d'accessoires. Si M.= (0, 1), alors le sous-ensemble flou UN peut être considéré comme un ensemble ordinaire ou croustillant.

Exemples d'écriture d'un ensemble flou

Laisser E = {x 1 , x 2 , xz,x 4 , x5), M = ; UN est un ensemble flou pour lequel μ A ( x 1 )= 0,3 ; μUNE ( x2)= 0; μUNE ( X 3) = 1 ; μA (x 4) = 0,5 ; μUNE ( x5)= 0,9.

Alors UN peut être représenté sous la forme

UNE ={0,3/x 1 ; 0/X 2 ; 1/X 3 ; 0,5/X 4 ; 0,9/X 5 } ,

ou

UN={0,3/x 1 +0/X 2 +1/X 3 +0,5/X 4 +0,9/X 5 },

ou

Commentaire. Ici, le signe « + » ne désigne pas l’opération d’addition, mais a le sens d’union.

Caractéristiques de base des ensembles flous

Laisser M.= et UN- ensemble flou avec des éléments de l'ensemble universel E et de nombreux accessoires M.

La quantité s'appelle hauteur ensemble flou UN. Ensemble flou C'est bon si sa hauteur est 1, c'est-à-dire limite supérieure sa fonction d'appartenance est 1 (= 1). À< 1нечеткое множество называется subnormal.

Ensemble flou vide, si ∀ xϵE μ UN ( x) = 0. Un ensemble subnormal non vide peut être normalisé à l'aide de la formule

Ensemble flou unimodal, Si μ UN ( x) = 1 sur un seul X depuis E.

. Transporteur ensemble flou UN est un sous-ensemble ordinaire avec la propriété μ UN ( x)>0, c'est-à-dire transporteur A = {x/x ϵE, μ UN ( x)>0}.

Éléments xϵE, pour lequel μ UN ( x) = 0,5 , sont appelés points de transition ensembles UN.

Exemples d'ensembles flous

1. Laissez E = {0, 1, 2, . . ., 10}, M =. Ensemble flou« Plusieurs » peut être défini comme suit :

« Plusieurs » = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8 ; ses caractéristiques :hauteur = 1, transporteur = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, points de transition — {3, 8}.

2. Laissez E = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). L’ensemble flou « Petit » peut être défini :

3. Laissez E= (1, 2, 3,..., 100) et correspond au concept « Âge », alors l'ensemble flou « Jeune » peut être défini à l'aide de

Ensemble flou « Young » sur le plateau universel E"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) est spécifié à l'aide de la fonction d'appartenance μ Jeune ( x) sur E =(1, 2, 3, ..., 100) (âge), appelé en relation avec E" fonction de compatibilité, avec :

Où X— L’âge de SIDOROV.

4. Laissez E= (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...) - un ensemble de marques de voitures, et E"= est l'ensemble universel « Coût », puis sur E" on peut définir des ensembles flous du type :

Riz. 1.1. Exemples de fonctions d'adhésion

« Pour les pauvres », « Pour les classes moyennes », « Prestigieux », avec des fonctions d'affiliation comme la Fig. 1.1.

Avoir ces fonctions et connaître le coût des voitures de E V à l'heure actuelle temps, nous déterminerons ainsi E" ensembles flous portant les mêmes noms.

Ainsi, par exemple, l'ensemble flou « Pour les pauvres », défini sur l'ensemble universel E =(ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...), se présente comme indiqué sur la Fig. 1.2.

Riz. 1.2. Un exemple de spécification d'un ensemble flou

De même, vous pouvez définir l'ensemble flou « High-speed », « Medium », « Slow-speed », etc.

5. Laissez E- ensemble d'entiers :

E= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Alors le sous-ensemble flou des nombres, selon valeur absolue proche de zéro peut être défini, par exemple, comme ceci :

UNE ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

Sur les méthodes de construction de fonctions d'appartenance d'ensembles flous

Les exemples ci-dessus utilisés droit méthodes lorsqu'un expert définit simplement pour chaque X ϵ E signification μA (x), ou définit une fonction de compatibilité. En règle générale, des méthodes directes pour spécifier la fonction d'appartenance sont utilisées pour des concepts mesurables tels que la vitesse, le temps, la distance, la pression, la température, etc., ou lorsque des valeurs polaires sont distinguées.

Dans de nombreux problèmes, lors de la caractérisation d'un objet, il est possible de sélectionner un ensemble de caractéristiques et pour chacune d'elles de déterminer des valeurs polaires correspondant aux valeurs de la fonction d'appartenance, 0 ou 1.

Par exemple, dans la tâche de reconnaissance faciale, on peut distinguer les échelles données dans le tableau. 1.1.

Tableau 1.1. Échelles dans la tâche de reconnaissance faciale

Pour une personne spécifiqueUNl'expert, en fonction de l'échelle donnée, fixeμ UN(x)ϵ, formant la fonction d'appartenance vectorielle (μ UN(x1) , μ UN(x2),…, μ UN(x9)}.

Avec les méthodes directes, les méthodes directes de groupe sont également utilisées, lorsque, par exemple, un groupe d'experts se voit présenter une personne spécifique et que chacun doit donner l'une des deux réponses suivantes : « cette personne est chauve » ou « cette personne n'est pas chauve », puis le nombre de réponses affirmatives réparties sur nombre total experts, donne du sens μ chauve ( de cette personne). (Dans cet exemple, vous pouvez agir via la fonction de compatibilité, mais vous devrez alors compter le nombre de cheveux sur la tête de chaque personne présentée à l'expert.)

Indirect les méthodes de détermination des valeurs de la fonction d'appartenance sont utilisées dans les cas où il n'existe pas de propriétés élémentaires mesurables à travers lesquelles l'ensemble flou qui nous intéresse est déterminé. En règle générale, il s’agit de méthodes de comparaison par paires. Si les valeurs des fonctions d'appartenance nous étaient connues, par exemple, μ UN(X-je) = ωje , je= 1, 2, ..., n, alors les comparaisons par paires peuvent être représentées par une matrice de relations UN= ( une ij ), où un ij= ω je/ j(opération de division).

En pratique, l'expert forme lui-même la matrice UN, dans ce cas on suppose que les éléments diagonaux sont égaux à 1, et pour les éléments symétriques par rapport à la diagonale a ij = 1/a ij , c'est-à-dire si un élément est évalué à α fois plus fort que l’autre, alors ce dernier doit être 1/α fois plus fort que le premier. DANS cas général le problème se réduit à trouver un vecteur ω qui satisfait une équation de la forme Oh= λmax w, où λ max est la plus grande valeur propre de la matrice UN. Puisque la matrice UN est positif par construction, une solution à ce problème existe et est positive.

Deux autres approches peuvent être notées :

• utilisation de formulaires standards courbes de spécification des fonctions d'appartenance (sous forme de type (L-R) - voir ci-dessous) avec clarification de leurs paramètres conformément aux données expérimentales ;
• utilisation de fréquences relativesselon l'expérience comme valeurs d'adhésion.

Ensemble flou est un ensemble d'éléments de nature arbitraire, à propos desquels il est impossible de dire avec toute certitude si l'un ou l'autre élément de l'ensemble considéré appartient ou non à un ensemble donné. En d'autres termes, un ensemble flou diffère d'un ensemble ordinaire en ce que pour tout ou partie de ses éléments il n'y a pas de réponse univoque à la question : « Si tel ou tel élément appartient ou n'appartient pas à l'ensemble flou considéré ».

Pour construire modèles flous systèmes eux-mêmes concept de flou les ensembles doivent être strictement définis afin d’éliminer toute ambiguïté dans l’interprétation de certaines de ses propriétés. Le moyen le plus naturel et le plus intuitif consiste à spécifier la plage de valeurs d'une fonction telle que l'intervalle de nombres réels entre 0 et 1 (y compris ces valeurs elles-mêmes).

Définition mathématique d'un ensemble flou. Formellement, un ensemble flou est défini comme un ensemble de paires ordonnées ou de tuples de la forme :
, Où est un élément d'un ensemble universel, ou univers
, UN
– fonction d’appartenance qui attribue chacun des éléments
quelques nombre réel de l'intervalle
, c'est-à-dire cette fonction est défini sous forme d'affichage :

Dans ce cas, la valeur
pour certains
signifie que l'élément appartient définitivement à l'ensemble flou , et la valeur
signifie que l'élément n'appartient certainement pas à l'ensemble flou .

Formellement, un ensemble flou fini dans le cas général a la forme :

Univers
est un ensemble contenant tous les éléments possibles dans un certain contexte. Formellement, il est pratique de supposer que la fonction d'appartenance de l'univers en tant qu'ensemble flou est identiquement égale à un pour tous les éléments sans exception :
.

Ensemble flou vide, ou un ensemble qui ne contient pas un seul élément, est noté et est formellement défini comme un ensemble flou dont la fonction d'appartenance est identiquement égale à zéro pour tous les éléments sans exception :

La définition formelle d'un ensemble flou n'impose aucune restriction sur le choix d'une fonction d'appartenance spécifique pour sa représentation. Cependant, dans la pratique, il est pratique d'utiliser ceux d'entre eux qui permettent une représentation analytique sous la forme d'une fonction mathématique simple. Cela simplifie non seulement les calculs numériques correspondants, mais réduit également les ressources de calcul nécessaires pour stocker les valeurs individuelles de ces fonctions d'appartenance.

Fonction d'adhésion– une fonction mathématique qui détermine le degré auquel les éléments d'un certain ensemble appartiennent à un ensemble flou donné. Cette fonction attribue à chaque élément de l'ensemble flou un nombre réel de l'intervalle
Définir un ensemble flou spécifique signifie déterminer la fonction d’appartenance correspondante.

Lors de la construction de fonctions d'appartenance pour des ensembles flous, il convient de respecter certaines règles prédéterminées par la nature de l'incertitude qui se produit lors de la construction de modèles flous spécifiques.

D'un point de vue pratique, il convient d'associer à chaque ensemble flou une certaine propriété qui caractérise l'ensemble considéré des objets de l'univers. De plus, par analogie avec les ensembles classiques, la propriété considérée peut générer un certain prédicat, qu'il est tout à fait naturel d'appeler un prédicat flou. Ce prédicat flou peut prendre non pas l'une des deux valeurs de vérité (« vrai » ou « faux »), mais tout un continuum de valeurs de vérité, qui, pour plus de commodité, sont sélectionnées dans l'intervalle
Dans ce cas, la valeur « vrai » correspond toujours au chiffre 1, et la valeur « faux » correspond toujours au chiffre 0.

En substance, cela signifie ce qui suit : plus un élément
a la propriété considérée, plus la valeur de vérité du prédicat flou correspondant doit être proche de 1. Et vice versa, moins il y a d'élément
a la propriété en question, plus la valeur de vérité de ce prédicat flou doit être proche de 0. Si élément
n'a définitivement pas la propriété en question, alors le prédicat flou correspondant prend la valeur « faux » (ou le chiffre 0). Si l'élément
possède définitivement la propriété en question, alors le prédicat flou correspondant prend la valeur « vrai » (ou le chiffre 1).

Ensuite, dans le cas général, définir un ensemble flou à l’aide d’une propriété spéciale équivaut à spécifier une fonction d’appartenance qui représente de manière significative le degré de vérité du prédicat flou à une place correspondant.

Concept relation floue ainsi que le concept d'ensemble flou lui-même doivent être attribués à fondamentaux toute la théorie des ensembles flous. Basés sur des relations floues, toute une série de notions supplémentaires, utilisé pour construire des modèles flous de systèmes complexes.

Dans le cas général, une relation floue définie sur des ensembles (univers)
, est un sous-ensemble flou fixe du produit cartésien de ces univers. En d’autres termes, si nous désignons une relation floue arbitraire par , alors par définition, où
- fonction d'appartenance à une relation floue donnée, qui est définie comme une cartographie. À travers
désigne un tuple de des éléments dont chacun est sélectionné dans son propre univers :

La logique floue, qui sert de base à la mise en œuvre de méthodes de contrôle floues, décrit plus naturellement la nature de la pensée humaine et le déroulement de son raisonnement que les systèmes logiques formels traditionnels. C’est pourquoi l’étude et l’utilisation d’outils mathématiques pour représenter des informations initiales floues nous permettent de construire des modèles qui reflètent le plus adéquatement divers aspects de l’incertitude constamment présente dans la réalité qui nous entoure.

La logique floue vise à formaliser les capacités humaines pour un raisonnement imprécis ou approximatif, ce qui nous permet de décrire de manière plus adéquate des situations d'incertitude. La logique classique ignore par nature le problème de l’incertitude, puisque toutes les déclarations et tous les raisonnements dans les systèmes logiques formels ne peuvent avoir que la valeur « vérité » ( ET,1) ou faux ( L,0). En revanche, dans la logique floue, la vérité du raisonnement est évaluée dans une certaine mesure, ce qui peut prendre d'autres formes.
significations. La logique floue utilise les concepts de base de la théorie des ensembles flous pour formaliser des connaissances imprécises et effectuer un raisonnement approximatif dans un domaine particulier.

Dans la version de logique floue proposée par L. Zade, l'ensemble des valeurs de vérité des énoncés est généralisé à l'intervalle des valeurs réelles
, ce qui permet à l'instruction de prendre n'importe quelle valeur de vérité de cet intervalle. Cette valeur numérique est évaluation quantitative le degré de vérité d'une affirmation dont il est impossible de conclure avec une totale certitude si elle est vraie ou fausse. Utiliser un intervalle comme ensemble de valeurs de vérité
vous permet de construire un système logique dans lequel il s'est avéré possible de raisonner avec incertitude et d'évaluer la véracité des déclarations.

Le concept initial de logique floue est le concept d’énoncé flou élémentaire.

Déclaration floue élémentaire est une phrase déclarative exprimant une pensée complète, dont on ne peut juger de la vérité ou de la fausseté qu'avec un certain degré de certitude. En logique floue degré de vérité d'une instruction floue élémentaire prend une valeur dans un intervalle fermé
, 0 et 1 étant les valeurs extrêmes du degré de vérité et coïncidant respectivement avec les valeurs « faux » et « vrai ».

Implication floue ou implication d'énoncés flous A et B(lit « SI A, ALORS B ») – est appelée opération logique binaire dont le résultat est un énoncé flou dont la vérité peut prendre une valeur, par exemple, déterminée par la formule proposée par E. Mamdani :

Cette forme d'implication floue est également appelée implication floue de Mamdani ou implication floue corrélation minimale.

La science et la technologie modernes ne peuvent être imaginées sans l'utilisation généralisée de la modélisation mathématique, car les expériences à grande échelle ne peuvent pas toujours être réalisées, elles sont souvent trop coûteuses et nécessitent un temps considérable, et dans de nombreux cas, elles sont associées à des risques et à d'importantes conséquences matérielles ou morales. frais. L'essence de la modélisation mathématique est de remplacer un objet réel par son « image » - un modèle mathématique - et d'approfondir l'étude du modèle à l'aide d'algorithmes informatiques et logiques mis en œuvre sur des ordinateurs. L'exigence la plus importante pour modèle mathématique, est la condition de son adéquation (correspondance correcte) à l'objet réel étudié par rapport au système choisi de ses propriétés. Cela signifie tout d'abord une description quantitative correcte des propriétés de l'objet considéré. La construction de tels modèles quantitatifs est possible pour des systèmes simples.

La situation est différente avec les systèmes complexes. Pour obtenir des conclusions significatives sur le comportement systèmes complexes il est nécessaire d'abandonner une grande précision et une grande rigueur lors de la construction d'un modèle et d'utiliser des approches de nature approximative lors de sa construction. L’une de ces approches est associée à l’introduction de variables linguistiques qui décrivent le reflet flou d’une personne sur le monde qui l’entoure. Afin qu'une variable linguistique devienne un objet mathématique à part entière, le concept d'ensemble flou a été introduit.

Dans la théorie des ensembles croustillants, la fonction caractéristique d'un ensemble croustillant a été considérée dans l'espace universel
, égal à 1 si élément satisfait la propriété et appartient donc à l'ensemble , et égal à 0 sinon. Ainsi, nous parlions d'un monde clair (algèbre booléenne), dans lequel la présence ou l'absence d'une propriété donnée est déterminée par les valeurs 0 ou 1 (« non » ou « oui »).

Cependant, tout dans le monde ne peut pas être divisé uniquement entre le blanc et le noir, la vérité et le mensonge. Ainsi, même le Bouddha a vu un monde rempli de contradictions, les choses pouvaient être vraies dans une certaine mesure et, dans une certaine mesure, fausses en même temps. Platon a jeté les bases de ce qui allait devenir la logique floue en soulignant qu'il existait un troisième domaine (au-delà de la vérité et du mensonge) où ces contradictions sont relatives.

Le professeur Zadeh de l'Université de Californie a publié l'article « Fuzzy Sets » en 1965, dans lequel il a étendu l'estimation à deux valeurs de 0 ou 1 à une estimation multi-valuée illimitée au-dessus de 0 et en dessous de 1 dans un intervalle fermé et a introduit pour la première fois le concept de un « ensemble flou ». Au lieu du terme « fonction caractéristique », Zadeh a utilisé le terme « fonction d’appartenance ». Ensemble flou (on conserve la même notation que pour le crisp set) dans l'espace universel
via la fonction d'adhésion
(même notation que pour la fonction caractéristique) est défini comme suit

(3.1)

La fonction d'appartenance est le plus souvent interprétée comme suit : la valeur
moyens évaluation subjective degré d'appartenance à l'élément ensemble flou , Par exemple,
signifie que Détenu à 80% . Par conséquent, il doit y avoir « ma fonction d’appartenance », « votre fonction d’appartenance », « la fonction d’appartenance du spécialiste », etc. La représentation graphique d’un ensemble flou, un diagramme de Venn, est représentée par des cercles concentriques sur la Fig. 1. La fonction d'appartenance d'un ensemble flou a un graphique en forme de cloche, contrairement à la fonction caractéristique rectangulaire d'un ensemble clair, Fig. 1.

Vous devez faire attention à la connexion entre les ensembles nets et flous. Deux valeurs (0,1) de la fonction caractéristique appartiennent à un intervalle fermé de valeurs de la fonction d'appartenance. Par conséquent, un ensemble net est un cas particulier d’un ensemble flou, et le concept d’ensemble flou est un concept étendu qui couvre également le concept d’ensemble net. En d’autres termes, un ensemble net est aussi un ensemble flou.

Un ensemble flou est strictement défini à l’aide de la fonction d’appartenance et ne contient aucune imprécision. Le fait est qu'un ensemble flou est strictement défini à l'aide des valeurs estimées d'un intervalle fermé, et c'est la fonction d'appartenance. Si le kit universel
se compose d'un ensemble fini discret d'éléments, puis, sur la base de considérations pratiques, indiquez la valeur de la fonction d'appartenance et l'élément correspondant à l'aide des signes de séparation / et +. Par exemple, supposons que l'ensemble universel soit constitué d'entiers inférieurs à 10, alors l'ensemble flou les « petits nombres » peuvent être représentés par

A=1/0 + 1/1 + 0,8/2 + 0,5/3 + 0,1/4

Ici, par exemple, 0,8/2 signifie
. Le signe + désigne une union. Lors de l'écriture d'un ensemble flou sous la forme ci-dessus, les éléments de l'ensemble universel sont omis
avec des valeurs de fonction d'appartenance égales à zéro. Habituellement, tous les éléments de l'ensemble universel sont écrits avec les valeurs correspondantes de la fonction d'appartenance. Une notation d'ensemble flou est utilisée, comme dans la théorie des probabilités,

Définition. En général, un sous-ensemble flou ensemble universel
est défini comme l'ensemble des paires ordonnées

. (3.2)

Cours 4. Modélisation et prise de décision en SIG.

1. Ensembles flous

2. Méthodes d'optimisation

Ensembles flous

La propriété la plus marquante intelligence humaine est la capacité d'accepter bonnes décisions dans un environnement d’informations incomplètes et peu claires. Construire des modèles de raisonnement humain approximatif et les utiliser dans systèmes informatiques présente aujourd'hui l'un des tâches importantes développement des SIG, notamment dans leur application dans divers domaines gestion.

Des progrès significatifs dans cette direction ont été réalisés il y a 30 ans par le prophète de l'Université de Californie (Berkeley) Lotfi A. Zadeh. Son travail « Fuzzy Sets », paru en 1965 dans la revue Information and Control, n° 8, a jeté les bases de la modélisation de l'activité intellectuelle humaine et a été l'impulsion initiale pour le développement d'une nouvelle théorie mathématique.

Qu’a proposé Zadeh ? Premièrement, il a élargi le concept classique d’ensemble de Cantor, en admettant que la fonction caractéristique (la fonction d’appartenance d’un élément à un ensemble) peut prendre n’importe quelle valeur dans l’intervalle (0,1)), et non comme dans théorie classique uniquement les valeurs 0 ou 1. De tels ensembles étaient appelés flous.

Il a également défini les opérations sur ensembles flous et des généralisations de méthodes connues d'inférence logique sont proposées.

Considérons quelques principes de base de la théorie des ensembles flous.

Soit E un ensemble universel, X-élément E, UN À- des biens. Sous-ensemble régulier (nettement) UN ensemble universel E, dont les éléments satisfont à la propriété R., est défini comme l'ensemble des paires ordonnées, où - fonction caractéristique, en prenant la valeur 1 , Si X satisfait la propriété R., Et 0 - sinon.

Un sous-ensemble flou diffère d'un sous-ensemble régulier en ce sens que pour les éléments X depuis E il n'y a pas de réponse claire "Pas vraiment" concernant la propriété R.. À cet égard, le sous-ensemble flou UN ensemble universel E est défini comme l'ensemble des paires ordonnées, où - fonction d'appartenance caractéristique(ou simplement une fonction d'appartenance) prenant des valeurs dans un ensemble bien ordonné M.(par exemple, M = ). La fonction d'appartenance indique le degré (ou niveau) d'appartenance d'un élément X sous-ensemble UN. Beaucoup M. appelé de nombreux accessoires. Si M = (0,1), alors le sous-ensemble flou UN peut être considéré comme un ensemble ordinaire ou croustillant.

Laisser M = Et UN- ensemble flou avec des éléments de l'ensemble universel E et de nombreux accessoires M..

La quantité s'appelle hauteur ensemble flou UN. Ensemble flou Est-ce que ça va, si sa hauteur est 1 , c'est-à-dire que la borne supérieure de sa fonction d'appartenance est égale à 1 ( =1 ). À< 1 нечеткое множест­во называется субнормальным.

Ensemble flou vide, Si Un ensemble subnormal non vide peut être normalisé par la formule

Les exemples ci-dessus utilisés droit méthodes lorsque l'expert fixe simplement la valeur de chacune ou définit une fonction de compatibilité. Généralement, des méthodes directes pour spécifier la fonction d'appartenance sont utilisées pour des concepts mesurables tels que la vitesse, le temps, la distance, la pression, la température, etc., ou lorsque des valeurs polaires sont extraites.

Indirect les méthodes de détermination des valeurs de la fonction d'appartenance sont utilisées dans les cas où il n'existe pas de propriétés élémentaires mesurables à travers lesquelles l'ensemble flou qui nous intéresse est déterminé. Il s’agit généralement de méthodes de comparaison par paires. Si les valeurs des fonctions d'appartenance nous étaient connues, par exemple, alors les comparaisons par paires peuvent être représentées par une matrice de relations , Où(opération de division).

En pratique, l'expert forme lui-même la matrice UN, on suppose que les éléments diagonaux sont égaux à 1, et pour les éléments symétriques par rapport à la diagonale, = 1/, c'est-à-dire que si un élément est évalué une fois plus haut qu'un autre, alors ce dernier devrait être 1/ fois plus fort. Dans le cas général, le problème revient à trouver un vecteur qui satisfait une équation de la forme , où est le plus grand valeur propre matrices UN.

L'introduction du concept de variable linguistique et l'hypothèse selon laquelle les ensembles flous agissent comme ses valeurs (termes) permettent en fait de créer un appareil pour décrire les processus de l'activité intellectuelle, y compris le flou et l'incertitude des expressions.

Puisque la matrice UN positif défini par construction, la solution à ce problème existe pour valeur acceptée() et est positif. C(T), où C(T) est l'ensemble des termes générés, est appelé l'ensemble des termes étendus d'une variable linguistique ;

M est une procédure sémantique qui permet de transformer chaque nouvelle valeur d'une variable linguistique générée par la procédure C en une variable floue, c'est-à-dire de former un ensemble flou correspondant.

En introduisant le concept de variable linguistique et en supposant que ses valeurs (termes) sont des ensembles flous, il permet en réalité de créer un appareil pour décrire les processus de l'activité intellectuelle, y compris le flou et l'incertitude des expressions.

Un ensemble flou est un ensemble de paires , où x prend une valeur informative, et m(x) mappe x dans un segment unitaire, prenant des valeurs de 0 à 1. De plus, m(x) représente le degré d'appartenance de x à quelque chose (0 - n'appartient pas , 1 - appartient à 100%).

Ainsi, par exemple, vous pouvez définir un ensemble pour le chiffre 7 :

<0/1>,<0.4/3>,<1/7>Cet ensemble indique que 7 est 0 % un, 40 % trois et 100 % sept.

La variable floue est définie comme .

A - nom de la variable,

X=(x) - domaine de définition d'une variable, ensemble des valeurs possibles de x,

Ca=( ) est un ensemble flou qui décrit les restrictions sur les valeurs possibles de la variable A (sémantique).

Exemple:<"Семь",{1,3,7},{<0/1>,<0.4/3>,<1/7>)>. Avec cette entrée, nous avons déterminé la correspondance entre le mot et certains nombres. De plus, tant dans le nom de la variable que dans les valeurs x, tous les enregistrements contenant des informations peuvent être utilisés.

La variable linguistique est définie comme .

B - nom de la variable.

T est l'ensemble de ses valeurs (ensemble de termes de base), constitué des noms de variables floues dont le domaine de définition de chacune est l'ensemble X.

G est une procédure syntaxique (grammaire) qui permet d'opérer avec des éléments de l'ensemble de termes T, notamment pour générer de nouveaux termes significatifs. T`=T U G(T) spécifie un ensemble de termes étendus (U est un signe d'union).

M est une procédure sémantique qui permet d'attribuer une sémantique floue à chaque nouvelle valeur d'une variable linguistique en formant un nouvel ensemble flou.

Un ensemble flou (ou nombre flou) décrit certains concepts sous une forme fonctionnelle, c'est-à-dire des concepts tels que « approximativement égal à 5 ​​», « vitesse légèrement supérieure à 300 km/h », etc., comme vous pouvez le constater, ces concepts ne peuvent pas être représentés par un au nombre, même si en réalité les gens les utilisent très souvent.

Une variable floue est la même chose qu'un nombre flou, seulement avec l'ajout d'un nom qui formalise le concept décrit par ce nombre.

Une variable linguistique est un ensemble de variables floues, elle est utilisée pour donner description verbale un nombre flou obtenu à la suite de certaines opérations. Autrement dit, grâce à certaines opérations, la valeur la plus proche de la variable linguistique est sélectionnée.

Je veux donner quelques conseils pour votre programme. Il est préférable de stocker les nombres flous sous la forme d'un ensemble trié de paires (triés par support), ce qui vous permet d'accélérer l'exécution de toutes les opérations logiques et mathématiques. Lorsque vous mettez en œuvre des opérations arithmétiques, vous devez prendre en compte l'erreur de calcul, soit 2/4<>1/2 pour un ordinateur, quand j'ai rencontré cela, j'ai dû rendre un peu plus difficile la comparaison des paires, et je dois faire beaucoup de comparaisons. Les porteuses en nombres flous doivent être des multiples d'un certain nombre, sinon les résultats sont erronés. les opérations seront « laides », c'est-à-dire que le résultat sera inexact, cela est particulièrement évident lors de la multiplication.

En stockant les nombres flous sous forme triée, je me suis assuré que les opérations arithmétiques étaient effectuées selon une dépendance presque linéaire (dans le temps), c'est-à-dire qu'à mesure que la quantité de vapeur augmentait, la vitesse des calculs diminuait linéairement. J'ai trouvé et mis en œuvre l'arif exact. opérations dans lesquelles le nombre et la multiplicité des porteurs n'ont pas d'importance, le résultat sera toujours précis et « beau », c'est-à-dire si les nombres d'origine étaient similaires à une parabole inversée, alors le résultat sera similaire, mais avec des opérations ordinaires, il s'avère être par étapes. J'ai également introduit le concept de « nombres flous inverses » (même si je ne les ai pas pleinement mis en œuvre), à ​​quoi servent-ils ? Comme vous le savez, lors d'une soustraction ou d'une division, le nombre auquel l'autre est soustrait doit être plus large, et c'est un gros problème lors de la résolution d'équations complexes, mais les « nombres flous inverses » vous permettent de le faire.

Opérations de base sur les ensembles flous.

UNION : un nouvel ensemble est créé à partir d'éléments des ensembles d'origine, et pour éléments identiques l'adhésion est considérée comme maximale.

UNE U B = ( ) Maub(x) = max (Ma(x), Mb(x)) INTERSECTION : un nouvel ensemble est créé à partir d'éléments identiques aux ensembles d'origine, dont l'appartenance est considérée comme minimale. UN P B = ( ) Mapb(x) = min (Ma(x), Mb(x)) ADDENDUM : l'appartenance de chaque élément est inversée. ) Ma-b(x) = Ma(x)-Mb(a), si Ma(x)>Mb(x) sinon 0 CARRIER : est constitué d'éléments de l'ensemble d'origine dont l'appartenance est supérieure à zéro. Supp(A) = (x|x?X /\ Ma(x)>0) MULTIPLICATION PAR NUMÉRO : les appartenances aux éléments sont multipliées par le nombre. q*A = () SUPREMUM : Sup - précis

bord supérieur

(valeur d'appartenance maximale présente dans l'ensemble).

NORMALISATION : un ensemble flou est normal si le supremum de l'ensemble est égal à un. Pour normaliser, les affiliations des éléments sont relues :

M"a(x) = Ma(x)/(Sup Ma(x)) ALPHA CUT : ensemble de niveaux alpha - les éléments de l'ensemble d'origine dont l'appartenance est supérieure ou égale à un seuil donné. Le seuil égal à 1/ 2 est appelé le point de transition . Aq = (x|x?X /\ Ma(x)>q) INCLUSION FUZZY : degré d'inclusion d'un ensemble flou V(A1,A2) = (Ma1(x0)->Ma2(. x0))&(Ma1(x1) ->Ma2(x1))&.. D'après Lukasiewicz : Ma1(x)->Ma2(x) = 1&(1-Ma1(x)+Ma2(x)) D'après Zade : Ma1(x)->Ma2(x ) = (1-Ma1(x)) \/ Ma2(x) ÉGALITÉ FUZZE : degré d'égalité floue R(A1,A2) = V(A1,A2) & V( A2,A1)

Dictionnaire ADAPTATION - Tout changement dans la structure ou la fonction d'un organisme qui lui permet de survivre dans son environnement extérieur. ALLÈS -

Valeurs possibles gènes. GA-

Algorithme génétique

. Exploration intelligente de la recherche aléatoire. . Introduction de Hollande 1975.

ISLAND MODEL GA (IMGA) - Une population GA est divisée en plusieurs sous-populations, dont chacune est initialisée de manière aléatoire et effectue une GA séquentielle indépendante sur sa propre sous-population. Parfois, des branches de décision viables migrent entre les sous-populations. [Par exemple. Levine 1994].

GÈNES - Variables sur un chromosome.

DÉRIVE GÉNÉTIQUE – Les membres d’une population convergent vers un certain point de l’espace des solutions en dehors de l’optimum en raison de l’accumulation d’erreurs stochastiques. GÉNOTYPE - Structure réelle. Chromosome codé. Médecin généraliste -

Programmation génétique

. Programmes d'application utilisant les principes d'adaptation évolutive à la conception de code procédural.

DIPLOÏDE – Chaque région du chromosome contient une paire de gènes. Cela permet de conserver la mémoire à long terme.

KGA - GA compact (CGA). Dans CGA, deux ou plusieurs assemblages de gènes interagissent et évoluent constamment.

CROSSINGOVER - Échange de segments de chromosomes des parents. Dans la fourchette de 75 à 95 %, les meilleurs individus apparaissent.

LOCUS - La position d'un gène sur un chromosome.

MUTATION - Modification arbitraire d'un chromosome.

CONVERGENCE - Progression vers une homogénéité croissante. Un gène est considéré comme convergent lorsque 95 % de la population a la même valeur.

UNN - Réseau neuronal unifié.

FONCTION DE FITNESS - Une valeur qui est la valeur fonctionnelle cible d'une solution. On l'appelle également fonction d'évaluation ou fonction objectif dans les problèmes d'optimisation.

PHÉNOTYPE - Expression physique structures. Ensemble de gènes décodés.

CHROMOSOME - Un vecteur constitutif, une chaîne ou une solution.

• D.-E. Bastens, V.M. Van Den Berg, D. Wood. .Réseaux de neurones et marchés financiers.., Moscou, maison d'édition scientifique TVP., 1997.
• Galushkin A. I. Neuroordinateurs et leur application. Livre 1. Théorie réseaux de neurones.. Moscou, Maison d'édition du magazine Radio Engineering., 2000.
• Teivo Kohonen, Guido Debok. Analyse des données financières à l'aide de cartes auto-organisées Moscou, Maison d'édition Alpina, 2001.
• F. Wasserman. .Technologie neuro-informatique., Moscou, maison d'édition.Mir., 1992.
• Shumsky S. A. Neurocomputing et ses applications en économie et en affaires., Moscou, maison d'édition MEPhI, 1998.
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