Concepts de base et définitions de la théorie des ensembles flous. Ensembles flous dans les systèmes de contrôle

À l'aide d'ensembles flous, il est possible de définir formellement des concepts imprécis et ambigus tels que « haute température », « jeune homme », « taille moyenne » ou « Grande ville" Avant de formuler la définition d’un ensemble flou, il est nécessaire de définir ce qu’on appelle l’univers du discours. Dans le cas du concept ambigu de « beaucoup d'argent », un montant sera considéré comme important si l'on se limite à la fourchette et un montant complètement différent - dans la fourchette. L'aire du raisonnement, appelée désormais espace ou ensemble, sera le plus souvent désignée par le symbole. Il ne faut pas oublier qu'il s'agit d'un ensemble clair.

Définition 3.1

Un ensemble flou dans un espace (non vide), noté , est un ensemble de paires

Fonction appartenance floue ensembles. Cette fonction attribue à chaque élément le degré de son appartenance à un ensemble flou, et trois cas peuvent être distingués :

1) désigne l'appartenance complète d'un élément à un ensemble flou, c'est-à-dire ;

2) signifie que l'élément n'appartient pas à un ensemble flou, c'est-à-dire ;

3) signifie que l'élément appartient partiellement à un ensemble flou.

Dans la littérature, une description symbolique des ensembles flous est utilisée. Si est un espace avec un nombre fini d'éléments, c'est-à-dire , alors l’ensemble flou s’écrit sous la forme

L'entrée ci-dessus est symbolique. Le signe « – » ne signifie pas division, mais signifie attribuer des degrés d'appartenance à des éléments spécifiques. Autrement dit, le dossier

ça veut dire un couple

De même, le signe « + » dans l’expression (3.3) ne signifie pas une opération d’addition, mais est interprété comme une sommation multiple d’éléments (3.5). Il convient de noter que les ensembles croustillants peuvent également être écrits de la même manière. Par exemple, beaucoup notes scolaires peut être symboliquement représenté comme

ce qui équivaut à écrire

Si est un espace avec un nombre infini d’éléments, alors l’ensemble flou s’écrit symboliquement sous la forme

Exemple 3.1

Supposons qu'il existe un ensemble nombres naturels. Définissons la notion d'ensemble des nombres naturels « proches du nombre 7 ». Cela peut être fait en définissant l’ensemble flou suivant :

Exemple 3.2

Si , où est l’ensemble des nombres réels, alors l’ensemble nombres réels, « proche du nombre 7 », peut être défini par une fonction d’appartenance de la forme

Par conséquent, l’ensemble flou des nombres réels « proches du nombre 7 » est décrit par l’expression

Remarque 3.1

Ensembles flous les nombres naturels ou réels « proches du chiffre 7 » peuvent s'écrire de diverses manières. Par exemple, la fonction d'appartenance (3.10) peut être remplacée par l'expression

En figue. 3.1a et 3.1b présentent deux fonctions d'appartenance pour l'ensemble flou des nombres réels « proches du nombre 7 ».

Riz. 3.1. Illustration par exemple 3.2 : fonctions d'appartenance d'un ensemble flou de nombres réels « proches du nombre 7 ».

Exemple 3.3

Formalisons la définition imprécise de « température propice à la baignade en mer Baltique ». Définissons le domaine du raisonnement sous la forme d'un ensemble. Moi le vacancier, qui se sent mieux à une température de 21°, définirais lui-même un ensemble flou

Le Vacancier II, qui préfère une température de 20°, proposerait une définition différente de cet ensemble :

À l’aide d’ensembles flous, nous avons formalisé la définition imprécise du concept de « température propice à la baignade en mer Baltique ». Certaines applications utilisent des formes standard de fonctions d'adhésion. Précisons ces fonctions et considérons leurs interprétations graphiques.

1. La fonction d'appartenance à une classe (Fig. 3.2) est définie comme

Où . La fonction d'appartenance appartenant à cette classe a une représentation graphique (Fig. 3.2), rappelant la lettre « », et sa forme dépend de la sélection des paramètres , et . À un moment donné, la fonction d'appartenance à une classe prend une valeur égale à 0,5.

2. La fonction d'appartenance à la classe (Fig. 3.3) est déterminée par la fonction d'appartenance à la classe :

Riz. 3.2. Fonction d'appartenance à une classe.

Riz. 3.3. Fonction d'appartenance à une classe.

La fonction d'appartenance à une classe prend des valeurs nulles pour et . Aux points, sa valeur est de 0,5.

3. La fonction d'appartenance à une classe (Fig. 3.4) est donnée par l'expression

Le lecteur remarquera facilement l'analogie entre les formes des fonctions d'appartenance à une classe et .

4. La fonction d'appartenance à une classe (Fig. 3.5) est définie comme

Riz. 3.4. Fonction d'appartenance à une classe.

Riz. 3.5. Fonction d'appartenance à une classe.

Dans certaines applications, la fonction d'appartenance à une classe peut constituer une alternative à la fonction de classe.

5. La fonction d'appartenance à la classe (Fig. 3.6) est déterminée par l'expression

Exemple 3.4

Considérons trois formulations imprécises :

1) « faible vitesse du véhicule » ;

2) " vitesse moyenne voiture";

3) « vitesse élevée du véhicule ».

Comme domaine de raisonnement, nous prendrons la plage , où est la vitesse maximale. En figue. 3.7 présente les ensembles flous , et , correspondant aux formulations ci-dessus. Notez que la fonction d'appartenance d'un ensemble a un type , les ensembles ont un type et les ensembles ont un type . A un point fixe km/h, la fonction d'appartenance de l'ensemble flou « basse vitesse de la voiture » prend la valeur 0,5, soit . La fonction d’appartenance à l’ensemble flou « vitesse moyenne des voitures » prend la même valeur, c’est-à-dire , alors que .

Exemple 3.5

En figue. La figure 3.8 montre la fonction d’appartenance de l’ensemble flou « big money ». C'est une fonction de la classe, et , , .

Riz. 3.6. Fonction d'appartenance à une classe.

Riz. 3.7. Illustration par exemple 3.4 : fonctions d'appartenance aux ensembles flous « petite », « moyenne », « haute » vitesse de la voiture.

Riz. 3.8. Illustration par exemple 3.5 : Fonction d'appartenance à l'ensemble flou « big money ».

Par conséquent, les montants supérieurs à 10 000 roubles peuvent certainement être considérés comme « importants », puisque les valeurs de la fonction d'adhésion deviennent égales à 1. Les montants inférieurs à 1 000 roubles ne sont pas considérés comme « importants », puisque les valeurs correspondantes de la fonction d'adhésion sont égaux à 0. Bien entendu, une telle définition de l’ensemble flou « gros argent » est subjective. Le lecteur peut avoir sa propre compréhension du concept ambigu de « gros argent ». Cette représentation sera reflétée par d'autres valeurs des paramètres et fonctions de la classe.

Définition 3.2

L'ensemble des éléments spatiaux pour lesquels , est appelé support d'un ensemble flou et est noté (support). Sa notation formelle a la forme

Définition 3.3

La hauteur d'un ensemble flou est notée et définie comme

Exemple 3.6

Définition 3.4

Un ensemble flou est dit normal si et seulement si . Si l’ensemble flou n’est pas normal, alors il peut être normalisé en utilisant la transformation

où est la hauteur de cet ensemble.

Exemple 3.7

Ensemble flou

après normalisation, il prend la forme

Définition 3.5

Un ensemble flou est appelé vide et est noté si et seulement si pour chaque .

Définition 3.6

Un ensemble flou est contenu dans un ensemble flou, qui s'écrit , si et seulement si

pour chaque .

Un exemple d'inclusion (contenu) d'un ensemble flou dans un ensemble flou est illustré sur la Fig. 3.9. La notion de degré d’inclusion des ensembles flous se retrouve également dans la littérature. Le degré d'inclusion d'un ensemble flou dans un ensemble flou dans la Fig. 3,9 est égal à 1 (inclusion totale). Ensembles flous présentés dans la Fig. 3.10 ne satisfont pas à la dépendance (3.27) il n'y a donc pas d'inclusion au sens de la définition (3.6) ; Cependant, un ensemble flou est contenu dans un ensemble flou dans la mesure où

La condition est remplie

Riz. 3.12. Ensemble convexe flou.

Riz. 3.13. Ensemble concave flou.

Riz. La figure 3.13 illustre un ensemble concave flou. Il est facile de vérifier qu'un ensemble flou est convexe (concave) si et seulement si toutes ses -coupes sont convexes (concave).

Par un ensemble clair ou simplement un ensemble, nous entendons généralement un certain ensemble d'objets définis et distinguables de notre intuition et de notre intellect, conçus comme un tout unique. DANS Cette déclaration Notons le point suivant : l'ensemble A est une collection certains objets. Cela signifie que pour tout x, on peut dire sans ambiguïté s’il appartient ou non à l’ensemble A.

La condition pour qu'un élément x appartienne à l'ensemble A peut être écrite en utilisant le concept de fonction d'appartenance m(x), à savoir

Par conséquent, l'ensemble peut être spécifié comme un ensemble de paires : un élément et la valeur de sa fonction d'appartenance

UNE = ((x|m(x)) (1)

Exemple 1. Le département propose cinq cours au choix x1 , x2 , x3 , x4 et x5 . Conformément au programme, trois cours sont obligatoires. L'étudiant a choisi les cours x 2, x 3 et x 5 pour étudier. Écrivons ce fait en utilisant la fonction d'adhésion

où le premier élément de chaque paire désigne le nom du cours, et le second décrit le fait qu'il appartient au sous-ensemble choisi par l'étudiant donné (« oui » ou « non »).

Il existe une infinité d'exemples d'ensembles croustillants : liste des étudiants groupe d'étude, de nombreuses maisons dans une rue donnée de la ville, de nombreuses molécules dans une goutte d'eau, etc.

Pendant ce temps, un énorme volume connaissance humaine et les liens avec monde extérieur inclure de tels concepts qui ne peuvent pas être appelés ensembles au sens de (1). Il convient plutôt de les considérer comme des classes aux frontières floues, lorsque le passage de l’appartenance à une classe à l’appartenance à une autre se fait progressivement et non brusquement. Ainsi, on suppose que la logique du raisonnement humain n'est pas basée sur une logique classique à deux valeurs, mais sur une logique avec des valeurs de vérité floues - des connecteurs flous et des règles d'inférence floues. En voici quelques exemples : la longueur de l'article est d'environ 12 pages, la plupart de territoire, supériorité écrasante dans le jeu, un groupe de plusieurs personnes.

Attardons-nous sur dernier exemple. Il est clair qu'un groupe de personnes de 3, 5 ou 9 personnes appartient au concept : « un groupe de personnes composé de plusieurs personnes ». Cependant, ils n’auront pas le même degré de confiance dans leur appartenance à ce concept, qui dépend de diverses circonstances, notamment subjectives. Ces circonstances peuvent être formalisées si l'on suppose que la fonction d'appartenance peut prendre n'importe quelle valeur sur l'intervalle. De plus valeurs extrêmes sont prescrits si l'élément n'appartient définitivement pas ou appartient définitivement ce concept. En particulier, un ensemble de personnes A constitué de plusieurs personnes peut être décrit par une expression de la forme :

A = ((1½0), 2½0,1), 3½0,4), (4½1), (5½1), (6½1), (7½0,8), (8½0,3), (9½0,1), (a½0)

Donnons la définition d'un ensemble flou donnée par le fondateur de la théorie des ensembles flous L.A. Zade. Soit x un élément d'un ensemble universel spécifique (dit de base) E. Alors flou multitude (floue) UN défini sur l'ensemble de base E est l'ensemble des paires ordonnées

UN= (xúm UN((x)), "x О E,

où m UN(X) - fonction d'adhésion, mappant l'ensemble E dans un intervalle unitaire, c'est-à-dire m UN (x) : E®.

Évidemment, si la plage de valeurs m UN (x) est limité à deux nombres 0 et 1, alors cette définition coïncidera avec le concept d'un ensemble ordinaire (net).

La fonction d'appartenance d'un ensemble flou peut être spécifiée non seulement en listant toutes ses valeurs pour chaque élément de l'ensemble de base, mais également sous la forme expression analytique. Par exemple, beaucoup nombres réels Z très proche du chiffre 2, peut être donné ainsi :

Z= (xúm Z(x)), "x О R,

où m Z(x) = .

L’ensemble des nombres réels Y suffisamment proches du nombre 2 est

Oui= (xúm Oui(x)), "x О R,

MON Z(x) = .

Image graphique ces deux fonctions d'appartenance sont données sur la figure 3.9.

Définition. Ensemble flou UN appelé sous-ensemble flou B, si UN Et B sont définis sur le même ensemble de base E et "x О E : m UN(x) millions de livres sterling B(x), qui est noté UNÌ B.

Conditions d'égalité de deux ensembles flous UN Et B, défini sur le même ensemble de base E, a la forme suivante

UN = B ou "x О E : m UN(x) = m B(X).

Commentaire. Il existe une certaine similitude entre les concepts intrinsèquement différents de « flou » et de « probabilité ». Premièrement, ces concepts sont utilisés dans des tâches où il existe une incertitude ou une inexactitude de nos connaissances ou une impossibilité fondamentale prédictions précises résultats des décisions. Deuxièmement, les intervalles de changement et les fonctions de probabilité et d'appartenance coïncident :

et P О et m UN(x) О .

Dans le même temps, la probabilité est une caractéristique objective et les conclusions obtenues sur la base de l’application de la théorie des probabilités peuvent, en principe, être testées expérimentalement.

La fonction d'appartenance est déterminée subjectivement, même si elle reflète généralement les relations réelles entre les objets considérés. L'efficacité de l'utilisation de méthodes basées sur la théorie des ensembles flous est généralement jugée après l'obtention de résultats spécifiques.

Si la théorie des probabilités suppose que la probabilité événement fiableégal à un, c'est-à-dire

alors la somme correspondante de toutes les valeurs de la fonction d'appartenance peut prendre n'importe quelle valeur de 0 à ¥.

Donc, pour définir un ensemble flou UN doit être déterminé ensemble de baseéléments de E, et forment une fonction d'appartenance m UN(x), qui est une mesure subjective de confiance avec laquelle chaque élément x de E appartient à un ensemble flou donné UN.

Ensemble flou- concept clé logique floue. Laisser E- ensemble universel, X- élément E, un R est une propriété. Sous-ensemble régulier (nettement) UN ensemble universel E, dont les éléments satisfont à la propriété R est défini comme l'ensemble des paires ordonnées

UNE = ( µUN(X) / X},

Où µA (x) —fonction caractéristique, prenant la valeur 1 si X satisfait la propriété R, et 0 sinon.

Le sous-ensemble flou est différent de sujets réguliers, qui concerne les éléments X depuis E il n’y a pas de réponse claire par oui ou par non concernant la propriété R. À cet égard, le sous-ensemble flou UN ensemble universel E est défini comme l'ensemble des paires ordonnées

UNE = ( µUN(X) / X},

Où µA (x) — fonction d'appartenance caractéristique(ou simplement fonction d'adhésion), prenant des valeurs dans un ensemble complètement ordonné M(Par exemple, M = ).

La fonction d'appartenance indique le degré (ou niveau) d'appartenance d'un élément X sous-ensemble UN. Un tas de M appelé un ensemble d'accessoires. Si M= (0, 1), alors le sous-ensemble flou UN peut être considéré comme un ensemble ordinaire ou croustillant.

Exemples d'écriture d'un ensemble flou

Laisser E = {X 1 , X 2 , xz,X 4 , x5), M = ; UN est un ensemble flou pour lequel μ A ( X 1 )= 0,3 ; μUNE ( x2)= 0; μUNE ( X 3) = 1 ; µA (x 4) = 0,5 ; μUNE ( x5)= 0,9.

Alors UN peut être représenté sous la forme

UNE ={0,3/X 1 ; 0/X 2 ; 1/X 3 ; 0,5/X 4 ; 0,9/X 5 } ,

ou

UN={0,3/X 1 +0/X 2 +1/X 3 +0,5/X 4 +0,9/X 5 },

ou

Commentaire. Ici, le signe « + » ne désigne pas l’opération d’addition, mais a le sens d’union.

Caractéristiques de base des ensembles flous

Laisser M= et UN- ensemble flou avec des éléments de l'ensemble universel E et de nombreux accessoires M.

La quantité s'appelle hauteur ensemble flou UN. Ensemble flou C'est bon si sa hauteur est 1, c'est-à-dire limite supérieure sa fonction d'appartenance est 1 (= 1). À< 1нечеткое множество называется subnormal.

Ensemble flou vide si ∀ XϵE μ UN ( X) = 0. Un ensemble subnormal non vide peut être normalisé à l'aide de la formule

Ensemble flou unimodal, Si μ UN ( X) = 1 sur un seul X depuis E.

. Transporteur ensemble flou UN est un sous-ensemble ordinaire avec la propriété μ UN ( X)>0, c'est-à-dire transporteur A = {X/x ϵE, μ UN ( X)>0}.

Éléments XϵE, Pour qui μ UN ( X) = 0,5 , sont appelés points de transition ensembles UN.

Exemples d'ensembles flous

1. Laissez E = {0, 1, 2, . . ., 10}, M =. Ensemble flou« Plusieurs » peut être défini comme suit :

« Plusieurs » = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8 ; ses caractéristiques :hauteur = 1, transporteur = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, points de transition — {3, 8}.

2. Laissez E = {0, 1, 2, 3,…, n,… ). L’ensemble flou « Petit » peut être défini :

3. Laissez E= (1, 2, 3,..., 100) et correspond au concept « Âge », alors l'ensemble flou « Jeune » peut être défini à l'aide de

Ensemble flou « Young » sur le plateau universel E"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) est spécifié à l'aide de la fonction d'appartenance μ Jeune ( X) sur E =(1, 2, 3, ..., 100) (âge), appelé en relation avec E" fonction de compatibilité, avec :

Où X— L’âge de SIDOROV.

4. Laissez E= (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES,...) - un ensemble de marques de voitures, et E"= est l'ensemble universel « Coût », puis sur E" on peut définir des ensembles flous du type :

Riz. 1.1. Exemples de fonctions d'adhésion

« Pour les pauvres », « Pour les classes moyennes », « Prestigieux », avec des fonctions d'affiliation comme la Fig. 1.1.

Avoir ces fonctions et connaître le coût des voitures de E V ce moment temps, nous déterminerons ainsi E" ensembles flous portant les mêmes noms.

Ainsi, par exemple, l'ensemble flou « Pour les pauvres », défini sur l'ensemble universel E =(ZAPOROZHETZ, ZHIGULI, MERCEDES,...), se présente comme indiqué sur la Fig. 1.2.

Riz. 1.2. Un exemple de spécification d'un ensemble flou

De même, vous pouvez définir l'ensemble flou « High-speed », « Medium », « Slow-speed », etc.

5. Laissez E- ensemble d'entiers :

E= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

Alors le sous-ensemble flou des nombres, selon valeur absolue proche de zéro peut être défini, par exemple, comme ceci :

UNE ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

Sur les méthodes de construction de fonctions d'appartenance d'ensembles flous

Les exemples ci-dessus utilisés droit méthodes lorsqu'un expert définit simplement pour chaque X ϵ E signification μA (x), ou définit une fonction de compatibilité. En règle générale, des méthodes directes pour spécifier la fonction d'appartenance sont utilisées pour des concepts mesurables tels que la vitesse, le temps, la distance, la pression, la température, etc., ou lorsque des valeurs polaires sont distinguées.

Dans de nombreux problèmes, lors de la caractérisation d'un objet, il est possible de sélectionner un ensemble de caractéristiques et pour chacune d'elles de déterminer des valeurs polaires correspondant aux valeurs de la fonction d'appartenance, 0 ou 1.

Par exemple, dans la tâche de reconnaissance faciale, on peut distinguer les échelles données dans le tableau. 1.1.

Tableau 1.1. Échelles dans la tâche de reconnaissance faciale

Pour une personne spécifiqueUNl'expert, en fonction de l'échelle donnée, fixeμ UN(x)ϵ, formant la fonction d'appartenance vectorielle (μ UN(x1) , μ UN(x2),…, μ UN(x9)}.

Avec les méthodes directes, les méthodes directes de groupe sont également utilisées, lorsque, par exemple, un groupe d'experts se voit présenter une personne spécifique et que chacun doit donner l'une des deux réponses suivantes : « cette personne est chauve » ou « cette personne n'est pas chauve », puis le nombre de réponses affirmatives réparties sur nombre total experts, donne du sens μ chauve ( de cette personne). (Dans cet exemple, vous pouvez agir via la fonction de compatibilité, mais vous devrez alors compter le nombre de cheveux sur la tête de chaque personne présentée à l'expert.)

Indirect les méthodes de détermination des valeurs de la fonction d'appartenance sont utilisées dans les cas où il n'existe pas de propriétés élémentaires mesurables à travers lesquelles l'ensemble flou qui nous intéresse est déterminé. En règle générale, il s’agit de méthodes de comparaison par paires. Si les valeurs des fonctions d'appartenance nous étaient connues, par exemple, μ UN(X-je) = ωje , je= 1, 2, ..., n, alors les comparaisons par paires peuvent être représentées par une matrice de relations UN= ( une ij ), où un ij= ωje/ j(opération de division).

En pratique, l'expert forme lui-même la matrice UN, dans ce cas on suppose que les éléments diagonaux sont égaux à 1, et pour les éléments symétriques par rapport à la diagonale a ij = 1/a ij , c'est-à-dire si un élément est évalué à α fois plus fort que l’autre, alors ce dernier doit être 1/α fois plus fort que le premier. DANS cas général le problème se réduit à trouver un vecteur ω qui satisfait une équation de la forme Oh= λmax w, où λ max est la plus grande valeur propre de la matrice UN. Puisque la matrice UN est positif par construction, une solution à ce problème existe et est positive.

Deux autres approches peuvent être notées :

• utilisation de formulaires standards courbes de spécification des fonctions d'appartenance (sous forme de type (L-R) - voir ci-dessous) avec clarification de leurs paramètres conformément aux données expérimentales ;
• utilisation de fréquences relativesselon l'expérience comme valeurs d'adhésion.

La science et la technologie modernes ne peuvent être imaginées sans l'utilisation généralisée de la modélisation mathématique, car les expériences à grande échelle ne peuvent pas toujours être réalisées, elles sont souvent trop coûteuses et nécessitent un temps considérable, et dans de nombreux cas, elles sont associées à des risques et à d'importantes conséquences matérielles ou morales. frais. L'essence de la modélisation mathématique est de remplacer un objet réel par son « image » - un modèle mathématique - et d'approfondir l'étude du modèle à l'aide d'algorithmes informatiques et logiques mis en œuvre sur des ordinateurs. L'exigence la plus importante pour un modèle mathématique est la condition de son adéquation (correspondance correcte) à l'objet réel étudié par rapport au système sélectionné de ses propriétés. Cela signifie tout d'abord une description quantitative correcte des propriétés de l'objet considéré. La construction de tels modèles quantitatifs est possible pour des systèmes simples.

La situation est différente avec les systèmes complexes. Pour obtenir des conclusions significatives sur le comportement systèmes complexes il est nécessaire d'abandonner une grande précision et une grande rigueur lors de la construction d'un modèle et d'utiliser des approches de nature approximative lors de sa construction. L’une de ces approches est associée à l’introduction de variables linguistiques qui décrivent le reflet flou d’une personne sur le monde qui l’entoure. Afin qu'une variable linguistique devienne un objet mathématique à part entière, le concept d'ensemble flou a été introduit.

Dans la théorie des ensembles croustillants, la fonction caractéristique d'un ensemble croustillant dans l'espace universel a été considérée , égal à 1 si l'élément satisfait à la propriété et appartient donc à l'ensemble, et égal à 0 sinon. Ainsi, nous parlions d'un monde clair (algèbre booléenne), dans lequel la présence ou l'absence d'une propriété donnée est déterminée par les valeurs 0 ou 1 (« non » ou « oui »).

Cependant, tout dans le monde ne peut pas être divisé uniquement entre le blanc et le noir, la vérité et le mensonge. Ainsi, même le Bouddha a vu un monde rempli de contradictions, les choses pouvaient être vraies dans une certaine mesure et, dans une certaine mesure, fausses en même temps. Platon a jeté les bases de ce qui allait devenir la logique floue en soulignant qu'il existait un troisième domaine (au-delà de la vérité et du mensonge) où ces contradictions sont relatives.

Le professeur Zadeh de l'Université de Californie a publié l'article « Fuzzy Sets » en 1965, dans lequel il a étendu l'estimation à deux valeurs de 0 ou 1 à une estimation multi-valuée illimitée au-dessus de 0 et en dessous de 1 dans un intervalle fermé et a introduit pour la première fois le concept de un « ensemble flou ». Au lieu du terme « fonction caractéristique », Zadeh a utilisé le terme « fonction d’appartenance ». Un ensemble flou (la même notation est laissée que pour l'ensemble net) dans l'espace universel via la fonction d'appartenance (la même notation que pour la fonction caractéristique) est défini comme suit

La fonction d'appartenance est le plus souvent interprétée comme suit : la valeur signifie Estimation subjective le degré d'appartenance d'un élément à un ensemble flou, par exemple, signifie qu'il en appartient à 80 %. Par conséquent, il doit y avoir « ma fonction d’appartenance », « votre fonction d’appartenance », « la fonction d’appartenance du spécialiste », etc. La représentation graphique d’un ensemble flou, un diagramme de Venn, est représentée par des cercles concentriques sur la Fig. 1. La fonction d'appartenance d'un ensemble flou a un graphique en forme de cloche, contrairement à la fonction caractéristique rectangulaire d'un ensemble clair, Fig. 1.

Vous devez faire attention à la connexion entre les ensembles nets et flous. Deux valeurs (0,1) de la fonction caractéristique appartiennent à un intervalle fermé de valeurs de la fonction d'appartenance. Par conséquent, un ensemble net est un cas particulier d’un ensemble flou, et le concept d’ensemble flou est un concept étendu qui couvre également le concept d’ensemble net. En d’autres termes, un ensemble net est aussi un ensemble flou.

Un ensemble flou est strictement défini à l’aide de la fonction d’appartenance et ne contient aucune imprécision. Le fait est qu'un ensemble flou est strictement défini à l'aide des valeurs estimées d'un intervalle fermé, et c'est la fonction d'appartenance. Si l'ensemble universel est constitué d'un ensemble fini discret d'éléments, alors, sur la base de considérations pratiques, indiquez la valeur de la fonction d'appartenance et l'élément correspondant à l'aide des signes de séparation / et +. Par exemple, supposons que l’ensemble universel soit constitué d’entiers inférieurs à 10, alors l’ensemble flou « petits nombres » peut être représenté comme

A=1/0 + 1/1 + 0,8/2 + 0,5/3 + 0,1/4

Ici, par exemple, 0,8/2 signifie . Le signe + désigne une union. Lors de l'écriture d'un ensemble flou sous la forme ci-dessus, les éléments de l'ensemble universel avec des valeurs de fonction d'appartenance égales à zéro sont omis. Habituellement, tous les éléments de l'ensemble universel sont écrits avec les valeurs correspondantes de la fonction d'appartenance. Une notation d'ensemble flou est utilisée, comme dans la théorie des probabilités,

Définition. En général, un sous-ensemble flou d'un ensemble universel est défini comme un ensemble de paires ordonnées

Traditionnellement, les ensembles clairs sont généralement illustrés par des cercles aux limites bien définies. Les ensembles flous sont des cercles formés de points individuels : au centre du cercle il y a de nombreux points, et plus près de la périphérie, leur densité diminue jusqu'à zéro ; le cercle semble être ombré sur les bords. De tels « décors flous » peuvent être vus... sur un stand de tir - sur le mur où sont accrochées les cibles. Formulaire de marques de puces aléatoire ensembles dont les mathématiques sont connues. Il s'est avéré que pour la chirurgie ensembles flous l'appareil d'ensembles aléatoires, développé depuis longtemps, convient...

Concept de flou set - tentative formalisation mathématique informations floues dans le but de les utiliser dans la construction modèles mathématiques systèmes complexes. Ce concept repose sur l'idée que les éléments qui composent un ensemble donné et qui ont propriété commune, peuvent avoir cette propriété à des degrés divers et, par conséquent, appartenir à un ensemble donné à des degrés divers.

L'un des moyens les plus simples description mathématique ensemble flou – caractérisation du degré d'appartenance d'un élément à un ensemble par un nombre, par exemple issu de l'intervalle. Laisser X– un certain ensemble d’éléments. Dans ce qui suit, nous considérerons des sous-ensembles de cet ensemble.

Ensemble flou A dans X est appelé une collection de paires de la forme ( X, m Hache)), Où xÎX, et M UN- fonction X®, appelé fonction d'adhésion ensemble flou UN. valeur m Hache) cette fonction pour un X est appelé le degré d'appartenance de cet élément à l'ensemble flou UN.

Comme le montre cette définition, un ensemble flou est entièrement décrit par sa fonction d'appartenance, nous utiliserons donc souvent cette fonction comme désignation d'un ensemble flou.

Les ensembles ordinaires constituent une sous-classe de la classe des ensembles flous. En effet, la fonction d’appartenance d’un ensemble ordinaire BÌ X est sa fonction caractéristique : m B(x)=1 si XÎ B et M B(x)=0 si XÏ B. Alors, conformément à la définition d’un ensemble flou, l’ensemble ordinaire DANS peut également être défini comme un ensemble de paires de la forme ( X, m B(x)). Ainsi, un ensemble flou est plus notion large qu'un ensemble ordinaire, dans le sens où la fonction d'appartenance d'un ensemble flou peut, d'une manière générale, être une fonction arbitraire ou même une application arbitraire.

Nous parlons ensemble flou. Et beaucoup quoi ? Si nous sommes cohérents, nous devons affirmer qu'un élément d'un ensemble flou s'avère être... un nouvel ensemble flou de nouveaux ensembles flous, etc. Tournons-nous vers exemple classique- À tas de céréales. Un élément de cet ensemble flou sera millions de grains, Par exemple. Mais un million de grains, ce n'est pas clair du tout élément, et nouveau ensemble flou. Après tout, lorsqu’on compte les grains (manuellement ou automatiquement), il n’est pas surprenant de se tromper – en prenant par exemple 999 997 grains pour un million. Ici, nous pouvons dire que l'élément 999 997 a une valeur de fonction d'appartenance pour l'ensemble « million » égale à 0,999997. De plus, le grain lui-même n'est pas non plus un élément, mais un nouvel ensemble flou : il existe un grain à part entière, et il y a deux grains fusionnés, un grain sous-développé ou simplement une enveloppe. Lorsqu’on compte les grains, une personne doit en rejeter certains, prendre deux grains pour un, et dans un autre cas, un grain pour deux. Un ensemble flou n'est pas si facile à intégrer dans un ordinateur numérique avec les langages classiques : les éléments d'un tableau (vecteur) doivent être de nouveaux tableaux de tableaux (vecteurs et matrices imbriqués, si l'on parle de Mathcad). Les mathématiques classiques (théorie des nombres, arithmétique, etc.) sont le crochet par lequel homme raisonnable se fixe (se détermine) dans le monde glissant et flou qui l'entoure. Et un crochet, comme vous le savez, est un outil plutôt rudimentaire, qui gâche souvent ce à quoi il s'accroche. Termes représentant des ensembles flous – « beaucoup », « légèrement », « un peu », etc. etc. - il est également difficile de le « mettre » dans un ordinateur parce qu'ils dépendant du contexte. C’est une chose de dire « Donnez-moi des graines » à une personne qui a un verre de graines, et une autre chose de dire à une personne assise au volant d’un camion avec des graines.

Sous-ensemble flou UN ensembles X caractérisé par la fonction d'appartenance m UN:X →, qui attribue à chaque élément XÎ X numéro m Hache)à partir de l'intervalle caractérisant le degré d'appartenance de l'élément X sous-ensemble UN. De plus, 0 et 1 représentent respectivement les valeurs les plus basses et les plus élevées. plus haut degré appartenance d'un élément à un sous-ensemble spécifique.

Donnons des définitions de base.

· Valeur supplémentaire m UN(X) appelé hauteur ensemble flou UN. Ensemble flou UN Bien , si sa hauteur est 1 , c'est à dire. la limite supérieure de sa fonction d’appartenance est 1. Quand souper mUN(X)<1 l'ensemble flou est appelé subnormal.

Un ensemble flou s’appelle vide, si sa fonction d'appartenance est égale à zéro sur l'ensemble X, c'est à dire. m 0 (x)= 0 " XÎ X.

Ensemble flou vide , Si " XÎ E m UNE ( X)=0 . Un ensemble subnormal non vide peut être normalisé par la formule

(Fig. 1).

Fig. 1. Normalisation d'un ensemble flou avec une fonction d'appartenance. .

Transporteur ensemble flou UN(désignation supplément A) avec fonction d'appartenance m Hache) appelé un ensemble de la forme supA={x|xÎ X, m Un(x)> 0). Pour Applications pratiques les porteurs d'ensembles flous sont toujours limités. Ainsi, le porteur d'un ensemble flou de modes admissibles pour un système peut être un sous-ensemble clair (intervalle), pour lequel le degré d'admissibilité n'est pas égal à zéro (Fig. 2).

Riz. 3. Noyau, transporteur et α- section d'un ensemble flou

Signification α appelé α -niveau. Le porteur (noyau) peut être considéré comme une section d'un ensemble flou sur zéro (unité) α -niveau.

Riz. 3 illustre les définitions porteur, noyau,α - sections etα - niveau ensemble flou.