Signification physique du module d'un nombre. Déterminer le module d'un nombre

Instructions

Si le module est présenté sous la forme fonction continue, alors la valeur de son argument peut être positive ou négative : |x| = x, x ≥ 0 ; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + je(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + je(y1 - y2);

Il est facile de voir que l’addition et la soustraction de nombres complexes suivent la même règle que l’addition et .

Le produit de deux nombres complexes est égal à :

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Puisque i^2 = -1, alors résultat finalégal à :

(x1*x2 - y1*y2) + je(x1*y2 + x2*y1).

Les opérations d'exponentiation et d'extraction de racine pour les nombres complexes sont définies de la même manière que pour les nombres réels. Cependant, dans la région complexe, pour tout nombre, il existe exactement n nombres b tels que b^n = a, c'est-à-dire n racines du nième degré.

Cela signifie notamment que tout équation algébrique le nième degré avec une variable a exactement n racines complexes, dont certains peuvent être et .

Vidéo sur le sujet

Sources :

• Conférence " Nombres complexes" en 2019

Une racine est une icône qui représente opération mathématique trouver un nombre dont l'élévation à la puissance indiquée avant le signe racine devrait donner le nombre indiqué sous ce même signe. Souvent, pour résoudre des problèmes impliquant des racines, il ne suffit pas de simplement calculer la valeur. Il est nécessaire d'effectuer des opérations supplémentaires, dont la saisie d'un nombre, d'une variable ou d'une expression sous le signe racine.

Instructions

Déterminez l’exposant racine. Un exposant est un entier indiquant la puissance à laquelle il faut élever le résultat du calcul de la racine pour obtenir l'expression radicale (le nombre dont cette racine est extraite). L'exposant racine en exposant avant l'icône racine. Si celui-ci n'est pas précisé, c'est racine carrée, dont le degré est deux. Par exemple, l'exposant de la racine √3 est deux, l'exposant de ³√3 est trois, l'exposant de la racine ⁴√3 est quatre, etc.

Élevez le nombre que vous souhaitez saisir sous le signe racine à une puissance, égal à l'indicateur cette racine que vous avez déterminée à l’étape précédente. Par exemple, si vous devez saisir le nombre 5 sous le signe de la racine ⁴√3, alors l'indice du degré racine est quatre et vous avez besoin du résultat de l'élévation de 5 à la puissance quatrième 5⁴=625. Vous pouvez le faire de la manière qui vous convient - dans votre tête, à l'aide d'une calculatrice ou des services correspondants hébergés.

Entrez la valeur obtenue à l'étape précédente sous le signe racine comme multiplicateur de l'expression radicale. Pour l'exemple utilisé à l'étape précédente avec l'ajout de ⁴√3 5 (5*⁴√3) sous la racine, cette action peut être effectuée comme ceci : 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Simplifiez l’expression radicale résultante si possible. Pour un exemple des étapes précédentes, il vous suffit de multiplier les nombres sous le signe racine : 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Ceci termine l'opération de saisie du numéro sous la racine.

Si le problème contient des variables inconnues, les étapes décrites ci-dessus peuvent être effectuées dans vue générale. Par exemple, si vous devez saisir une variable inconnue x sous la quatrième racine et que l'expression radicale est 5/x³, alors la séquence entière d'actions peut être écrite comme suit : x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Sources :

• comment s'appelle le signe racine ?

Les nombres réels ne suffisent pas pour résoudre une équation quadratique. Le plus simple de équations quadratiques, n'ayant pas de racines parmi les nombres réels - c'est x^2+1=0. En le résolvant, il s'avère que x=±sqrt(-1), et selon les lois de l'algèbre élémentaire, extraire la racine d'un degré pair du négatif Nombres c'est interdit.

Module des nombres ce numéro lui-même est appelé s'il est non négatif, ou le même numéro avec signe opposé, s'il est négatif.

Par exemple, le module du nombre 5 est 5, et le module du nombre –5 est également 5.

Autrement dit, par module d'un nombre, nous entendons valeur absolue, valeur absolue ce numéro sans tenir compte de son signe.

Noté comme suit : |5|, | X|, |UN| etc.

Règle:

Explication:

|5| = 5
Cela se lit comme ceci : le module du nombre 5 est 5.

|–5| = –(–5) = 5
Cela se lit comme ceci : le module du nombre –5 est 5.

|0| = 0
Cela se lit comme ceci : le module de zéro est nul.

Propriétés des modules :

Signification géométrique du module.

Le module d'un nombre est la distance de zéro à ce nombre.

Par exemple, reprenons le chiffre 5. La distance de 0 à 5 est la même que de 0 à –5 (Fig. 1). Et quand il est important pour nous de connaître uniquement la longueur du segment, alors le signe a non seulement un sens, mais aussi un sens. Cependant, ce n'est pas tout à fait vrai : nous mesurons la distance uniquement en nombres positifs - ou nombres non négatifs. Supposons que le prix de division de notre échelle soit de 1 cm. Ensuite, la longueur du segment de zéro à 5 est de 5 cm, de zéro à –5 est également de 5 cm.

Dans la pratique, la distance est souvent mesurée non seulement à partir de zéro - le point de référence peut être n'importe quel nombre (Fig. 2). Mais cela ne change rien au fond. Notation de la forme |a – b| exprime la distance entre les points UN Et b sur la droite numérique.

Exemple 1. Résoudre l'équation | X – 1| = 3.

Solution .

La signification de l'équation est que la distance entre les points X et 1 est égal à 3 (Fig. 2). Par conséquent, à partir du point 1, nous comptons trois divisions à gauche et trois divisions à droite - et nous voyons clairement les deux valeurs X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Nous pouvons le calculer.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Répondre : X 1 = –2; X 2 = 4.

Exemple 2. Module Rechercher une expression :

Solution .

Voyons d’abord si l’expression est positive ou négative. Pour ce faire, nous transformons l'expression pour qu'elle soit constituée de nombres homogènes. Ne cherchons pas la racine de 5, c'est assez difficile. Faisons plus simple : élevons 3 et 10 à la racine. Comparons ensuite la grandeur des nombres qui composent la différence :

3 = √9. Donc 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

On voit que le premier nombre est inférieur au second. Cela signifie que l'expression est négative, c'est-à-dire que sa réponse est inférieure à zéro :

3√5 – 10 < 0.

Mais selon la règle, le module d'un nombre négatif est le même nombre de signe opposé. Nous avons expression négative. Par conséquent, il est nécessaire de changer son signe pour le signe opposé. L’expression opposée pour 3√5 – 10 est –(3√5 – 10). Ouvrons les parenthèses et obtenons la réponse :

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Répondre .

Module d'un nombre rationnel ils appellent la distance de l'origine au point sur la ligne de coordonnées correspondant à ce numéro.

Puisque la distance (longueur d’un segment) ne peut être exprimée que sous forme d’un nombre positif ou nul, on peut dire que le module d’un nombre ne peut pas être négatif.

Propriétés des modules :

Le module d'un nombre positif est égal au nombre lui-même.
|une| = une, si une > 0 ;

Le module d'un nombre négatif est égal au nombre opposé.
|-une| = un si un< 0;

Module zéro égal à zéro.
|0| = 0 si a = 0 ;

Numéros opposés ont des modules égaux.
|-une| = |une|;

Exemples de modules nombres rationnels:

4.Méthodes de solution de base équations irrationnelles et les inégalités.

On appelle irrationnelle une équation ou une inégalité si elle contient une variable sous les radicaux, c'est-à-dire sous les signes de la racine du carré, du cube, etc. Les équations et inégalités irrationnelles ont une certaine spécificité.

Rappelons que la plage de valeurs admissibles (en abrégé VA) d'une équation ou d'une inégalité est l'ensemble des valeurs d'une variable pour lesquelles les deux côtés équation donnée ou les inégalités ont du sens. Dans n'importe quelle tâche, vous pouvez vous passer de rechercher (et de mentionner) ODZ, ce concept n'est donc pas particulièrement nécessaire. Mais il n’y a pas non plus de mal à cela ; De plus, dans certaines situations, retrouver ODZ s’avère très utile. Ainsi, dans certaines équations et inégalités irrationnelles, cela ne se résume pas à des techniques spécifiques - juste un examen attentif et la prise en compte de l'ODZ.

Transformations équivalentes

Nous passons à l'examen types standardséquations et inégalités irrationnelles. Ici, une recherche préliminaire de DZ s'avère, en règle générale, une étape inutile ; Ces problèmes sont résolus plus efficacement à l'aide de transitions équivalentes appropriées. Équations de la forme √ A = √ B

Commençons par un exemple.

Supposons que nous devions résoudre l'équation √ x = √ 2x + 1. En raison de la monotonie de la fonction √ x, les expressions radicales doivent être égales : x = 2x+1, d'où x = −1. Cependant, la substitution de cette valeur x dans l'équation donne nombres négatifs sous les radicaux ; par conséquent, x = −1 n’est pas une racine de cette équation et n’a donc pas de solution. Considérons maintenant situation générale. Soit une équation √ A = √ B, où A et B sont des expressions contenant une variable. Alors, premièrement, les expressions radicales doivent être égales : A = B. Deuxièmement, les deux expressions radicales doivent être non négatives ; mais en vertu de leur égalité, il suffit d'exiger que l'un d'eux soit non négatif. Ainsi, on a : √ A = √ B ⇔ (A = B, A > 0 ou √ A = √ B ⇔ (A = B, B > 0. Dans ce cas, il est naturel d'exiger que l'expression la plus simple n'est pas négatif.

5. Représenter graphiquement une fonction, expressions analytiques dont le module contient :

Le module d'un nombre est la distance du point de référence au point correspondant à ce point.

Algorithme de tracé y=|f(x)|.

1.Construire un graphique y=f(x)

2. Laissez inchangées les sections du graphique situées au-dessus de l’axe des abscisses.

3. Les zones situées sous l'axe des x sont reflétées par rapport à cet axe.

Algorithme de tracé y=f(|x|).

1. Construisons un graphique y=f(x).

2. supprimez tous les points situés à gauche de l'axe OY.

3. Tous les points situés sur l'axe de l'ampli-op et à sa droite seront réfléchis symétriquement par rapport à l'axe de l'ampli-op.

Algorithme de traçage |y|=|f(x)|

1.Construisez un graphique y=f(x).

2.construire un graphe y=|f(x)|.

3.Faites-en une image miroir par rapport à l'axe Ox.

6. Propriétés et calendrier fonction carrée y=ax+bx+c

Une fonction qui peut être spécifiée par la formule y=ax2+bx+c, où a,b,c∈R et a≠0,

appelée fonction quadratique.

Le domaine de définition de la fonction y=ax2+bx+c ( valeurs acceptables les arguments x) sont tous nombres réels(R).

Calendrier fonction quadratique est une parabole.

L'abscisse du sommet d'une parabole (xo;yo) peut être calculée à l'aide de la formule :

Pour tracer une fonction quadratique, vous devez :

1) calculer les coordonnées du sommet de la parabole : x0=−b/2a et y0, que l'on trouve en substituant la valeur x0 dans formule de fonction,

2) marquer le sommet de la parabole sur plan de coordonnées, tracez l'axe de symétrie de la parabole,

3) déterminer la direction des branches de la parabole,

4) marquer le point d'intersection de la parabole avec Axe Oy,

5) créer un tableau de valeurs en sélectionnant valeurs requises argument x.

Après avoir résolu l'équation quadratique ax2+bx+c=0, on obtient les points d'intersection de la parabole avec l'axe Ox ou les racines de la fonction (si le discriminant D>0)

si D<0, то точек пересечения параболы с осью Ox не существует,

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Le module de nombre est un nouveau concept en mathématiques. Examinons de plus près ce qu'est un module numérique et comment l'utiliser ?

Regardons un exemple :

Nous avons quitté la maison pour aller au magasin. Nous avons marché 300 m, mathématiquement cette expression peut s'écrire +300, la signification du nombre 300 du signe « + » ne changera pas. La distance ou module d'un nombre en mathématiques est la même chose et peut s'écrire ainsi : |300|=300. Le signe du module d'un nombre est indiqué par deux lignes verticales.

Et puis nous avons marché 200 m dans la direction opposée. Mathématiquement, nous pouvons écrire le chemin de retour sous la forme -200. Mais nous ne disons pas « nous sommes allés moins deux cents mètres », même si nous sommes revenus, car la distance en tant que quantité reste positive. A cet effet, la notion de module a été introduite en mathématiques. Vous pouvez écrire la distance ou le module du nombre -200 comme ceci : |-200|=200.

Propriétés des modules.

Définition:
Module d'un nombre ou valeur absolue d'un nombre est la distance entre le point de départ et le point de destination.

Le module d'un entier différent de zéro est toujours un nombre positif.

Le module s'écrit ainsi :

1. Le module d'un nombre positif est égal au nombre lui-même.
| une|=un

2. Le module d'un nombre négatif est égal au nombre opposé.
|- une|=un

3. Le module de zéro est égal à zéro.
|0|=0

4. Les modules de nombres opposés sont égaux.
| une|=|-une|=un

Questions connexes :
Quel est le module d'un nombre ?
Réponse : Le module est la distance entre le point de départ et le point de destination.

Si vous mettez un signe « + » devant un entier, que se passe-t-il ?
Réponse : le nombre ne changera pas de signification, par exemple 4=+4.

Si vous mettez un signe « - » devant un nombre entier, que se passe-t-il ?
Réponse : le nombre deviendra, par exemple, 4 et -4.

Quels nombres ont le même module ?
Réponse : les nombres positifs et zéro auront le même module. Par exemple, 15=|15|.

Quels nombres ont le module du nombre opposé ?
Réponse : pour les nombres négatifs, le module sera égal au nombre opposé. Par exemple, |-6|=6.

Exemple n°1 :
Trouver le module des nombres : a) 0 b) 5 c) -7 ?

Solution:
une) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Exemple n°2 :
Existe-t-il deux nombres différents dont les modules sont égaux ?

Solution:
|10|=10
|-10|=10

Les modules des nombres opposés sont égaux.

Exemple n°3 :
Quels sont les deux nombres opposés qui ont un module 9 ?

Solution:
|9|=9
|-9|=9

Réponse : 9 et -9.

Exemple n°4 :
Suivez ces étapes : a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Solution:
une) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Exemple n°5 :
Trouvez : a) le module du nombre 2 b) le module du nombre 6 c) le module du nombre 8 d) le module du nombre 1 e) le module du nombre 0.
Solution:

a) le module du nombre 2 est noté |2| ou |+2| c'est la même chose.
|2|=2

b) le module du nombre 6 est noté |6| ou |+6| c'est la même chose.
|6|=6

c) le module du nombre 8 est noté |8| ou |+8| c'est la même chose.
|8|=8

d) le module du nombre 1 est noté |1| ou |+1| c'est la même chose.
|1|=1

e) le module du nombre 0 est noté |0|, |+0| ou |-0| c'est la même chose.
|0|=0