Budget municipal établissement d'enseignement
"Moyenne Siverskaya lycée N°3"
en mathématiques.
Fait le travail
élève de 8e-1re année
Emeline Pavel
Superviseur scientifique
professeur de mathématiques
Tupitsyna Natalia Alekseevna
Village Siverski
2014
Les mathématiques sont toutes imprégnées de beauté et d'harmonie,
Il vous suffit de voir cette beauté.
B.Mandelbrot
Introduction__________________________________________3-4pp.
Chapitre 1.histoire de l'émergence des fractales._______5-6pp.
Chapitre 2. Classification des fractales ______6-10pp.
Fractales géométriques
Fractales algébriques
Fractales stochastiques
Chapitre 3. "Géométrie fractale de la nature"______11-13pp.
Chapitre 4. Application des fractales_______________13-15pp.
Chapitre 5 Travaux pratiques__________________16-24pp.
Conclusion_________________________________25.page
Liste de références et ressources Internet________26 pages.
Introduction
Mathématiques,
si vous le regardez correctement,
reflète non seulement la vérité,
mais aussi d'une beauté incomparable.
Bertrand Russel
Le mot « fractal » est quelque chose dont beaucoup de gens parlent ces jours-ci, des scientifiques aux lycéens. Il apparaît sur les couvertures de nombreux manuels de mathématiques, revues scientifiques et coffrets avec ordinateur logiciel. Les images couleur des fractales peuvent être trouvées partout aujourd'hui : des cartes postales, des T-shirts aux images sur le bureau d'un ordinateur personnel. Alors, quelles sont ces formes colorées que l’on voit autour ?
Mathématiques – science ancienne. Il semblait à la plupart des gens que la géométrie dans la nature se limitait à de tels chiffres simples, comme une ligne, un cercle, un polygone, une sphère, etc. Il s'est avéré que beaucoup systèmes naturels sont si complexes qu’utiliser uniquement des objets familiers de géométrie ordinaire pour les modéliser semble désespéré. Comment, par exemple, construire un modèle géométrique d’une chaîne de montagnes ou d’une cime d’arbre ? Comment décrire cette diversité diversité biologique que l'on observe dans le monde végétal et animal ? Comment imaginer la complexité du système circulatoire, composé de nombreux capillaires et vaisseaux et distribuant le sang à chaque cellule corps humain? Imaginez la structure des poumons et des reins, rappelant la structure des arbres à cime ramifiée ?
Les fractales sont des outils appropriés pour explorer ces questions. Souvent, ce que nous voyons dans la nature nous intrigue par la répétition sans fin du même motif, augmenté ou diminué plusieurs fois. Par exemple, un arbre a des branches. Sur ces branches se trouvent des branches plus petites, etc. Théoriquement, l’élément de branchement se répète une infinité de fois, devenant de plus en plus petit. La même chose peut être constatée en regardant la photographie. terrain montagneux. Essayez de zoomer un peu plus près de la chaîne de montagnes : vous verrez à nouveau les montagnes. C'est ainsi que se manifeste la propriété d'autosimilarité caractéristique des fractales.
L'étude des fractales ouvre de merveilleuses possibilités, tant dans l'étude d'un nombre infini d'applications que dans le domaine des mathématiques. Les applications des fractales sont très étendues ! Après tout, ces objets sont si beaux qu'ils sont utilisés par des designers, des artistes, à l'aide d'eux de nombreux éléments sont dessinés graphiquement : arbres, nuages, montagnes, etc. Mais les fractales sont même utilisées comme antennes dans de nombreux téléphones portables.
Pour de nombreux chaologistes (scientifiques qui étudient les fractales et le chaos), ce n’est pas facile. nouvelle zone les connaissances qui combinent mathématiques, physique théorique, art et technologie informatique sont une révolution. C'est la découverte d'un nouveau type de géométrie, la géométrie qui décrit le monde qui nous entoure et que l'on peut voir non seulement dans les manuels scolaires, mais aussi dans la nature et partout dans l'univers sans limites..
Dans mon travail, j'ai aussi décidé de « toucher » le monde de la beauté et j'ai déterminé par moi-même...
But du travail: créer des objets dont les images sont très similaires aux images naturelles.
Méthodes de recherche: analyse comparative, synthèse, modélisation.
Tâches:
connaissance du concept, de l'histoire d'origine et des recherches de B. Mandelbrot,
G. Koch, V. Sierpinsky et autres ;
connaissance de divers types d'ensembles fractals ;
étudier la littérature scientifique populaire sur cette question, se familiariser avec
hypothèses scientifiques;
trouver la confirmation de la théorie de la fractalité du monde environnant ;
étudier l'utilisation des fractales dans d'autres sciences et dans la pratique ;
mener une expérience pour créer vos propres images fractales.
Question fondamentale travaux:
Pour montrer que les mathématiques ne sont pas une matière aride et sans âme, elles peuvent exprimer le monde spirituel d'une personne individuellement et de la société dans son ensemble.
Sujet de recherche: Géométrie fractale.
Objet d'étude: les fractales en mathématiques et dans le monde réel.
Hypothèse: Tout ce qui existe dans le monde réel est une fractale.
Méthodes de recherche: analytique, recherche.
Pertinence Le thème énoncé est déterminé avant tout par le sujet de recherche, qui est la géométrie fractale.
Résultats attendus : Au cours de mon travail, je pourrai élargir mes connaissances dans le domaine des mathématiques, voir la beauté de la géométrie fractale et commencer à travailler sur la création de mes propres fractales.
Le résultat du travail sera la création présentation informatique, bulletin d'information et brochure.
Chapitre 1. Histoire
B 
quand Mandelbrot
Le concept de « fractale » a été inventé par Benoît Mandelbrot. Le mot vient du latin « fractus », qui signifie « cassé, brisé ».
Fractale (lat. fractus - écrasé, brisé, brisé) est un terme désignant une figure géométrique complexe qui a la propriété d'auto-similarité, c'est-à-dire composée de plusieurs parties, dont chacune est similaire à la figure entière.
Les objets mathématiques auxquels il fait référence se caractérisent par des propriétés extrêmement intéressantes. En géométrie ordinaire, une ligne a une dimension, une surface a deux dimensions et une figure spatiale a trois dimensions. Les fractales ne sont pas des lignes ou des surfaces, mais, si vous pouvez l'imaginer, quelque chose entre les deux. À mesure que la taille augmente, le volume de la fractale augmente également, mais sa dimension (exposant) n'est pas une valeur entière, mais une valeur fractionnaire, et donc la limite de la figure fractale n'est pas une ligne : à fort grossissement, il devient clair que il est flou et se compose de spirales et de boucles, répétant à faible grossissement la figure elle-même. Cette régularité géométrique est appelée invariance d'échelle ou auto-similarité. C'est ce qui détermine la dimension fractionnaire des figures fractales.
Avant l’avènement de la géométrie fractale, la science traitait de systèmes contenus dans trois dimensions spatiales. Grâce à Einstein, il est devenu clair que l'espace tridimensionnel n'est qu'un modèle de réalité, et non la réalité elle-même. En fait, notre monde se situe dans un continuum espace-temps à quatre dimensions.
Grâce à Mandelbrot, il est devenu clair à quoi ressemble l'espace à quatre dimensions, au sens figuré, le visage fractal du Chaos. Benoit Mandelbrot a découvert que la quatrième dimension inclut non seulement les trois premières dimensions, mais aussi (c'est très important !) les intervalles entre elles.
La géométrie récursive (ou fractale) remplace la géométrie euclidienne. Une nouvelle science peut décrire vraie nature corps et phénomènes. La géométrie euclidienne ne concernait que des objets artificiels et imaginaires appartenant à trois dimensions. Seule la quatrième dimension peut les transformer en réalité.
Liquide, gaz, solide- trois familiers condition physique substance qui existe dans le monde tridimensionnel. Mais quelle est la dimension d’un nuage de fumée, d’un nuage, ou plus précisément de leurs limites, continuellement érodées par les mouvements turbulents de l’air ?
Fondamentalement, les fractales sont classées en trois groupes :
Fractales algébriques
Fractales stochastiques
Fractales géométriques
Examinons de plus près chacun d'eux.
Chapitre 2. Classification des fractales
Fractales géométriques
Benoit Mandelbrot a proposé un modèle fractal, qui est déjà devenu un classique et est souvent utilisé pour démontrer à la fois un exemple typique d'une fractale elle-même et pour démontrer la beauté des fractales, qui attire également des chercheurs, des artistes et simplement des personnes intéressées.
C’est ici que commence l’histoire des fractales. Ce type de fractale est obtenu grâce à des constructions géométriques simples. Habituellement, lors de la construction de ces fractales, ils font ceci : ils prennent une « graine » - un axiome - un ensemble de segments sur la base desquels la fractale sera construite. Ensuite, un ensemble de règles est appliqué à cette « graine », qui la transforme en une sorte de figure géométrique. Ensuite, le même ensemble de règles est à nouveau appliqué à chaque partie de cette figure. À chaque étape, la figure deviendra de plus en plus complexe, et si nous réalisons (du moins dans notre esprit) nombre infini transformations - nous obtenons une fractale géométrique.
Les fractales de cette classe sont les plus visuelles, car l'autosimilarité y est immédiatement visible à n'importe quelle échelle d'observation. Dans le cas bidimensionnel, de telles fractales peuvent être obtenues en spécifiant une ligne brisée appelée générateur. En une étape de l'algorithme, chacun des segments qui composent la polyligne est remplacé par une polyligne génératrice, à l'échelle appropriée. Grâce à la répétition sans fin de cette procédure (ou, plus précisément, en allant à la limite), une courbe fractale est obtenue. Malgré l'apparente complexité de la courbe obtenue, son aspect général n'est déterminé que par la forme de la génératrice. Des exemples de telles courbes sont : la courbe de Koch (Fig. 7), la courbe de Peano (Fig. 8), la courbe de Minkowski.
Au début du XXe siècle, les mathématiciens recherchaient des courbes qui ne comportent en aucun point une tangente. Cela signifiait que la courbe changeait brusquement de direction et, de plus, avec un impact colossal grande vitesse(la dérivée est égale à l'infini). La recherche de ces courbes n’a pas été provoquée uniquement par l’intérêt vain des mathématiciens. Le fait est qu’au début du XXe siècle, il y a eu un développement très rapide mécanique quantique. Le chercheur M. Brown a esquissé la trajectoire des particules en suspension dans l'eau et a expliqué ce phénomène comme suit : des atomes liquides en mouvement aléatoire heurtent les particules en suspension et les mettent ainsi en mouvement. Après cette explication Mouvement brownien Les scientifiques ont été confrontés à la tâche de trouver une courbe qui permettrait de la meilleure façon possible a montré le mouvement des particules browniennes. Pour ce faire, la courbe devait répondre aux propriétés suivantes : ne pas avoir de tangente en aucun point. Le mathématicien Koch a proposé une telle courbe.
À 
La courbe de Koch est une fractale géométrique typique. Le processus de sa construction est le suivant : prendre segment unitaire, divisez en trois parties égales et remplacez intervalle moyen un triangle équilatéral sans ce segment. Le résultat est une ligne brisée composée de quatre maillons de longueur 1/3. A l'étape suivante, on répète l'opération pour chacun des quatre liens résultants, etc...
La courbe limite est Courbe de Koch.
Flocon de neige Koch. En effectuant une transformation similaire sur les côtés d'un triangle équilatéral, vous pouvez obtenir une image fractale d'un flocon de neige de Koch.
T 
Un autre représentant simple d'une fractale géométrique est Place Sierpinski. Sa construction est assez simple : le carré est divisé par des lignes droites parallèles à ses côtés en 9 carrés égaux. La place centrale est retirée de la place. Le résultat est un ensemble composé des 8 carrés de « premier rang » restants. En faisant exactement la même chose avec chacun des carrés du premier rang, on obtient un ensemble constitué de 64 carrés du deuxième rang. En poursuivant ce processus indéfiniment, nous obtenons une séquence infinie ou carré de Sierpinski. 
Fractales algébriques
C'est le plus grand groupe fractales. Les fractales algébriques tirent leur nom du fait qu'elles sont construites à l'aide de simples formules algébriques.
Ils sont obtenus à l'aide de processus non linéaires dans n-espaces dimensionnels. On sait que les systèmes dynamiques non linéaires possèdent plusieurs états stables. L'état dans lequel se trouve le système dynamique après un certain nombre d'itérations dépend de son état initial. Par conséquent, chaque état stable (ou, comme on dit, attracteur) possède une certaine région d'états initiaux, à partir de laquelle le système tombera nécessairement dans les états finaux considérés. Ainsi, espace des phases le système est divisé en zones d'attraction attracteurs. Si l’espace des phases est bidimensionnel, alors en colorant les zones d’attraction avec des couleurs différentes, on peut obtenir portrait en phase de couleur ce système (processus itératif). En modifiant l'algorithme de sélection des couleurs, vous pouvez obtenir des motifs fractals complexes avec des motifs multicolores bizarres. Ce qui a surpris les mathématiciens, c’est la capacité de générer des structures très complexes à l’aide d’algorithmes primitifs.
A titre d’exemple, considérons l’ensemble de Mandelbrot. Ils le construisent en utilisant des nombres complexes.
Une section de la limite de l'ensemble de Mandelbrot, agrandie 200 fois.
L'ensemble de Mandelbrot contient des points qui, au coursinfini le nombre d'itérations ne va pas à l'infini (points noirs). Points appartenant à la limite de l'ensemble(c'est là que naissent les structures complexes) vont à l'infini en un nombre fini d'itérations, et les points situés en dehors de l'ensemble vont à l'infini après plusieurs itérations (fond blanc).
P. 
Un exemple d'une autre fractale algébrique est l'ensemble de Julia. Il existe 2 variétés de cette fractale.Étonnamment, les ensembles de Julia sont formés en utilisant la même formule que l'ensemble de Mandelbrot. L'ensemble Julia a été inventé par le mathématicien français Gaston Julia, qui lui a donné son nom.
ET 
fait intéressant, certaines fractales algébriques ressemblent étonnamment à des images d'animaux, de plantes et d'autres objets biologiques, c'est pourquoi elles sont appelées biomorphes.
Fractales stochastiques
Une autre classe bien connue de fractales sont les fractales stochastiques, qui sont obtenues si certains de leurs paramètres sont modifiés de manière aléatoire au cours d'un processus itératif. Dans ce cas, les objets résultants sont très similaires aux objets naturels - arbres asymétriques, côtes accidentées, etc.
Un représentant typique de ce groupe de fractales est le « plasma ».
D 
Pour le construire, prenez un rectangle et attribuez une couleur à chacun de ses coins. Ensuite, le point central du rectangle est trouvé et peint dans une couleur égale à la moyenne arithmétique des couleurs aux coins du rectangle plus un nombre aléatoire. Plus le nombre aléatoire est grand, plus le tirage sera « irrégulier ». Si nous supposons que la couleur du point correspond à la hauteur au-dessus du niveau de la mer, nous obtenons une chaîne de montagnes au lieu d'un plasma. C'est sur ce principe que les montagnes sont modélisées dans la plupart des programmes. À l'aide d'un algorithme similaire au plasma, une carte de hauteur est construite, divers filtres y sont appliqués, une texture est appliquée et des montagnes photoréalistes sont prêtes
E 
Si nous regardons cette fractale en coupe transversale, nous verrons que cette fractale est volumétrique, et a une « rugosité », précisément à cause de cette « rugosité », il y a une application très importante de cette fractale.
Disons que vous devez décrire la forme d'une montagne. Les figures ordinaires de la géométrie euclidienne n'aideront pas ici, car elles ne tiennent pas compte de la topographie de la surface. Mais en combinant la géométrie conventionnelle avec la géométrie fractale, vous pouvez obtenir la « rugosité » même d’une montagne. Nous devons appliquer du plasma sur un cône régulier et nous obtiendrons le relief d'une montagne. De telles opérations peuvent être réalisées avec de nombreux autres objets dans la nature ; grâce aux fractales stochastiques, la nature elle-même peut être décrite.
Parlons maintenant des fractales géométriques.
.
Chapitre 3 "Géométrie fractale de la nature"
" Pourquoi la géométrie est-elle souvent appelée « froide » et « sèche » ? L'une des raisons est qu'elle ne peut pas décrire la forme d'un nuage, d'une montagne, d'un littoral ou d'un arbre. Les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les côtes ne sont pas des cercles, l'écorce des arbres. n'est pas lisse, la foudre ne se déplace pas en ligne droite. Plus généralement, je soutiens que de nombreux objets dans la nature sont si irréguliers et fragmentés que, comparés à Euclide - terme qui dans cet ouvrage désigne toute géométrie standard - la nature n'a pas seulement une plus grande complexité. , mais une complexité à un niveau complètement différent. Le nombre d’échelles de longueur différentes d’objets naturels est, à toutes fins pratiques, infini.
(Benoît Mandelbrot "Géométrie fractale de la nature" ).
À 
La beauté des fractales est double : elle ravit l'œil, comme en témoigne l'exposition d'images fractales qui a fait le tour du monde, organisé par un groupe Mathématiciens de Brême sous la direction de Peitgen et Richter. Plus tard, les éléments de cette exposition grandiose ont été capturés dans les illustrations du livre des mêmes auteurs, « La beauté des fractales ». Mais il y a un autre aspect, plus abstrait ou sublime, de la beauté des fractales, ouvert, selon R. Feynman, uniquement au regard mental d'un théoricien en ce sens, les fractales sont belles d'une beauté difficile ; problème mathématique. Benoit Mandelbrot a signalé à ses contemporains (et probablement à ses descendants) une lacune gênante dans les Éléments d'Euclide, à travers laquelle, sans remarquer l'omission, près de deux millénaires de l'humanité ont compris la géométrie du monde environnant et ont appris la rigueur mathématique de la présentation. Bien entendu, les deux aspects de la beauté des fractales sont étroitement liés et ne s'excluent pas, mais se complètent, bien que chacun d'eux se suffise à lui-même.
La géométrie fractale de la nature selon Mandelbrot est une véritable géométrie qui satisfait à la définition de la géométrie proposée dans le programme d'Erlangen par F. Klein. Le fait est qu'avant l'avènement de la géométrie non euclidienne, N.I. Lobatchevski - L. Bolyai, il n'y avait qu'une seule géométrie - celle qui était énoncée dans les "Principes", et la question de savoir ce qu'est la géométrie et laquelle des géométries est la géométrie du monde réel ne s'est pas posée et n'a pas pu surgir. Mais avec l’avènement d’une autre géométrie, la question s’est posée de savoir ce qu’est la géométrie en général et laquelle des nombreuses géométries correspond au monde réel. Selon F. Klein, la géométrie s'occupe de l'étude de telles propriétés d'objets qui sont invariantes sous transformations : Euclidienne - invariants du groupe de mouvements (transformations qui ne modifient pas la distance entre deux points, c'est-à-dire représentant une superposition transferts parallèles et rotations avec ou sans changement d'orientation), géométrie de Lobatchevski-Bolyai - invariants du groupe de Lorentz. La géométrie fractale traite de l'étude des invariants du groupe des transformations auto-affines, c'est-à-dire propriétés exprimées par des lois de puissance.
Quant à la correspondance avec le monde réel, la géométrie fractale décrit une classe très large de processus et de phénomènes naturels, et nous pouvons donc, à la suite de B. Mandelbrot, parler à juste titre de la géométrie fractale de la nature. Nouveau : les objets fractals ont des propriétés inhabituelles. Les longueurs, aires et volumes de certaines fractales sont nuls, tandis que d'autres se tournent vers l'infini.
La nature crée souvent des fractales étonnantes et magnifiques, avec une géométrie idéale et une telle harmonie que vous vous figez simplement d'admiration. Et voici leurs exemples :
Coquillages
Foudre admirer par leur beauté. Les fractales créées par la foudre ne sont ni arbitraires ni régulières
Forme fractale sous-espèce de chou-fleur(Brassica cauliflora). Ce genre spécial est une fractale particulièrement symétrique.
P. 
fougère est aussi bon exemple fractale parmi la flore.
Paons tout le monde est connu pour son plumage coloré, dans lequel se cachent de solides fractales.
Glace, motifs givrés sur les fenêtres ce sont aussi des fractales
À PROPOS 
image agrandie feuille, jusqu'à branches d'arbre- les fractales peuvent être trouvées dans tout
Les fractales sont partout et partout dans la nature qui nous entoure. L’Univers entier est construit selon des lois étonnamment harmonieuses et d’une précision mathématique. Est-il possible après cela de penser que notre planète est un enchaînement aléatoire de particules ? À peine.
Chapitre 4. Application des fractales
On trouve de plus en plus de fractales une plus grande application en sciences. La principale raison en est qu'ils décrivent monde réel parfois même mieux que la physique ou les mathématiques traditionnelles. Voici quelques exemples :
À PROPOS 
les jours où les applications les plus puissantes des fractales se situent infographie
. Il s'agit d'une compression d'image fractale. La physique et la mécanique modernes commencent tout juste à étudier le comportement des objets fractals.
Les avantages des algorithmes de compression d'images fractales sont la très petite taille du fichier compressé et le court temps de récupération de l'image. Les images fractales peuvent être mises à l'échelle sans apparition de pixellisation (mauvaise qualité d'image - grands carrés). Mais le processus de compression prend beaucoup de temps et dure parfois des heures. L'algorithme de packaging fractal avec perte vous permet de définir le niveau de compression, similaire au format jpeg. L’algorithme est basé sur la recherche de grandes parties d’une image similaires à certaines petites parties. Et seulement quel morceau est similaire à celui qui est écrit dans le fichier de sortie. Lors de la compression, une grille carrée est généralement utilisée (les pièces sont des carrés), ce qui entraîne une légère angulaire lors de la restauration de l'image, une grille hexagonale ne présente pas cet inconvénient ;
Iterated a développé un nouveau format d'image, "Sting", qui combine la compression sans perte fractale et "onde" (comme jpeg). Le nouveau format vous permet de créer des images avec la possibilité d'une mise à l'échelle ultérieure de haute qualité, et le volume des fichiers graphiques représente 15 à 20 % du volume des images non compressées.
En mécanique et physique Les fractales sont utilisées en raison de leur propriété unique de répéter les contours de nombreux objets naturels. Les fractales vous permettent d'approcher les arbres, les surfaces de montagnes et les fissures avec une plus grande précision que les approximations utilisant des ensembles de segments ou de polygones (avec la même quantité de données stockées). Les modèles fractaux, comme les objets naturels, ont une « rugosité », et cette propriété est préservée quel que soit le grossissement du modèle. La présence d'une mesure uniforme sur les fractales permet d'appliquer l'intégration, la théorie du potentiel et de les utiliser à la place des objets standards dans les équations déjà étudiées.
T 
La géométrie fractale est également utilisée pour concevoir des dispositifs d'antenne. Celui-ci a été utilisé pour la première fois par l'ingénieur américain Nathan Cohen, qui vivait alors dans le centre de Boston, où l'installation d'antennes extérieures sur les bâtiments était interdite. Cohen a découpé une forme de courbe de Koch dans du papier d'aluminium, puis l'a collée sur un morceau de papier et l'a ensuite fixée au récepteur. Il s'est avéré qu'une telle antenne ne fonctionne pas moins bien qu'une antenne ordinaire. Et bien que principes physiques De telles antennes n'ont pas encore été étudiées ; cela n'a pas empêché Cohen de créer sa propre entreprise et de lancer leur production en série. Actuellement, la société américaine « Fractal Antenna System » a développé un nouveau type d'antenne. Vous pouvez désormais arrêter d’utiliser des antennes externes saillantes dans les téléphones mobiles. L'antenne dite fractale est située directement sur la carte principale à l'intérieur de l'appareil.
Il existe également de nombreuses hypothèses sur l'utilisation des fractales - par exemple, les systèmes lymphatique et circulatoire, les poumons et bien d'autres encore ont également des propriétés fractales.
Chapitre 5. Travaux pratiques.
Tout d'abord, regardons les fractales « Collier », « Victoire » et « Carré ».
D'abord - "Collier"(Fig.7). L'initiateur de cette fractale est un cercle. Ce cercle est constitué d'un certain nombre de cercles identiques, mais de tailles plus petites, et il est lui-même l'un de plusieurs cercles identiques, mais de tailles plus grandes. Le processus d'éducation est donc sans fin et peut être réalisé aussi bien en individuel qu'en revers. Ceux. la figure peut être agrandie en prenant juste un petit arc, ou elle peut être réduite en considérant sa construction à partir d'arcs plus petits.
riz. 7.
« Collier » fractal
La deuxième fractale est "Victoire"(Fig. 8). Il a reçu ce nom car il ressemble à la lettre latine « V », c'est-à-dire « victoire ». Cette fractale est constituée d'un certain nombre de petits « v » qui composent un grand « V », et dans la moitié gauche, dans laquelle les petits sont placés de manière à ce que leurs moitiés gauches forment une seule ligne droite, côté droit est construit de la même manière. Chacun de ces « v » est construit de la même manière et continue cela à l’infini.
Figure 8. "Victoire" fractale
La troisième fractale est "Carré" (Fig. 9). Chacun de ses côtés est constitué d'une rangée de cellules, en forme de carrés, dont les côtés représentent également des rangées de cellules, etc.
Fig. 9. « Carré » fractal
La fractale a été nommée « Rose » (Fig. 10), en raison de sa ressemblance extérieure avec cette fleur. La construction d'une fractale implique la construction d'une série de cercles concentriques dont le rayon varie proportionnellement à un rapport donné (en dans ce cas R m / R b = ¾ = 0,75.). Après cela, un hexagone régulier est inscrit dans chaque cercle, dont le côté est égal au rayon du cercle décrit autour de lui.
Riz. 11. Fractale « Rose* »
Passons ensuite à un pentagone régulier, dans lequel nous dessinons ses diagonales. Ensuite, dans le pentagone résultant, à l'intersection des segments correspondants, nous dessinons à nouveau des diagonales. Continuons ce processusà l'infini et nous obtenons la fractale du « Pentagramme » (Fig. 12).
Introduisons un élément de créativité et notre fractale prendra la forme d'un objet plus visuel (Fig. 13).
R. 
est. 12. « Pentagramme » fractal.
Riz. 13. Fractal « Pentagramme * »
Riz. 14 fractales « Trou noir »
Expérience n°1 « Arbre »
Maintenant que j'ai compris ce qu'est une fractale et comment en construire une, j'ai essayé de créer mes propres images fractales. Dans Adobe Photoshop, j'ai créé un petit sous-programme ou action, la particularité de cette action est qu'elle répète les actions que je fais, et c'est ainsi que j'obtiens une fractale.
Pour commencer, j'ai créé un arrière-plan pour notre future fractale avec une résolution de 600 par 600. Ensuite, j'ai dessiné 3 lignes sur ce fond - la base de notre future fractale.
AVEC L'étape suivante consiste à écrire le script.
dupliquez le calque ( calque > dupliquer) et changez le type de fusion en " Écran" .
Appelons-le " fr1". Copiez ce calque (" fr1") Encore 2 fois.
Nous devons maintenant passer à la dernière couche (fr3) et fusionnez-le deux fois avec le précédent ( Ctrl+E). Diminuer la luminosité des calques ( Image > Réglages > Luminosité/Contraste , réglage de la luminosité 50% ). Fusionnez à nouveau avec le calque précédent et coupez les bords de l'ensemble du dessin pour supprimer les parties invisibles.
La dernière étape consistait à copier cette image et à la coller plus petite et pivotée. C'est ce qui s'est passé dans résultat final.
Conclusion
Cet ouvrage est une introduction au monde des fractales. Nous n'avons considéré que la plus petite partie de ce que sont les fractales et sur quels principes elles sont construites.
Les graphiques fractals ne sont pas simplement un ensemble d’images auto-répétitives, c’est un modèle de la structure et du principe de toute chose existante. Toute notre vie est représentée par des fractales. Toute la nature qui nous entoure en est constituée. Il est impossible de ne pas noter l'utilisation généralisée des fractales dans les jeux informatiques, où les reliefs du terrain sont souvent des images fractales basées sur des modèles tridimensionnels d'ensembles complexes. Les fractales facilitent grandement le dessin d'infographies ; à l'aide des fractales, de nombreux effets spéciaux, diverses images fabuleuses et incroyables, etc. De plus, les arbres, les nuages, les rivages et toute autre nature sont dessinés à l'aide de la géométrie fractale. Les graphiques fractals sont nécessaires partout, et le développement des « technologies fractales » est aujourd’hui l’une des tâches importantes.
À l’avenir, j’ai l’intention d’apprendre à construire des fractales algébriques une fois que j’aurai étudié plus en détail les nombres complexes. Je veux aussi essayer de construire mes propres images fractales dans le langage de programmation Pascal en utilisant des boucles.
Il convient de noter l'utilisation de fractales dans technologies informatiques, au-delà de la simple création de belles images sur un écran d'ordinateur. Les fractales en technologie informatique sont utilisées dans les domaines suivants :
1. Compresser des images et des informations
2. Cacher des informations dans l’image, le son,…
3. Cryptage des données à l'aide d'algorithmes fractals
4. Faire de la musique fractale
5. Modélisation du système
Tous les domaines ne sont pas couverts par nos travaux. connaissance humaine, où la théorie des fractales a trouvé son application. Nous voulons seulement dire que pas plus d'un tiers de siècle s'est écoulé depuis l'apparition de la théorie, mais pendant ce temps, pour de nombreux chercheurs, les fractales sont devenues une lumière soudaine et brillante dans la nuit, qui a éclairé des faits et des modèles jusqu'alors inconnus dans des domaines spécifiques de données. . Avec l'aide de la théorie des fractales, ils ont commencé à expliquer l'évolution des galaxies et le développement des cellules, l'émergence des montagnes et la formation des nuages, l'évolution des prix en bourse et le développement de la société et de la famille. Peut-être qu'au début, cette passion pour les fractales était même trop intense et que les tentatives pour tout expliquer en utilisant la théorie des fractales étaient injustifiées. Mais, sans aucun doute, cette théorie a le droit d'exister, et nous regrettons qu'en dernièrement il fut en quelque sorte oublié et resta le lot de quelques élus. En préparant ce travail, il nous a été très intéressant de trouver des applications de la THÉORIE dans la PRATIQUE. Parce que très souvent on a le sentiment que connaissances théoriques se tenir à l'écart de la réalité de la vie.
Ainsi, le concept de fractales devient non seulement une partie de la science « pure », mais aussi un élément de la culture humaine universelle. La science fractale est encore très jeune et a un bel avenir devant elle. La beauté des fractales est loin d'être épuisée et nous offrira encore de nombreux chefs-d'œuvre - ceux qui ravissent les yeux et ceux qui apportent un véritable plaisir à l'esprit.
10. Références
Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fractales et multifractales. RHD 2001 .
Vitolin D. Application des fractales dans graphiques de machines. // Computerworld-Russie.-1995
Mandelbrot B. Ensembles fractals auto-affines, « Fractals in Physics ». M. : Mir 1988
Mandelbrot B. Géométrie fractale de la nature. - M. : "Institut de Recherche Informatique", 2002.
Morozov A.D. Introduction à la théorie des fractales. N. Novgorod : Maison d'édition Nijni Novgorod. Université 1999
Peitgen H.-O., Richter P. H. La beauté des fractales. - M. : « Mir », 1993.
Ressources Internet
http://www.ghcube.com/fractals/determin.html
http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/
http://fractals.nsu.ru/animations.htm
http://www.cootey.com/fractals/index.html
http://fraktals.ucoz.ru/publ
http://sakva.narod.ru
http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/
http://www.cnam.fr/fractals/
http://www.softlab.ntua.gr/mandel/
http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html
J'ai découvert cette fractale en observant l'interférence des vagues à la surface d'une rivière. La vague se dirige vers le rivage, se reflète et se superpose à elle-même. Y a-t-il de l’ordre dans les motifs créés par les vagues ? Essayons de le trouver. Ne considérons pas l'onde entière, mais seulement le vecteur de son mouvement. Rendons les « rivages » lisses pour simplifier l'expérience.
L'expérience peut être réalisée sur une feuille de papier ordinaire provenant d'un cahier d'écolier.
Ou en utilisant l'implémentation JavaScript de l'algorithme.
Prenons un rectangle de côtés q et p. Envoyons un rayon (vecteur) d'un coin à l'autre. Le faisceau se déplace d’un côté du rectangle, est réfléchi et continue de se déplacer vers le côté suivant. Cela continue jusqu'à ce que le faisceau touche l'un des coins restants. Si les tailles des côtés q et p sont des nombres relativement premiers, alors un motif est obtenu (comme nous le verrons plus tard - une fractale).
Sur l’image, nous pouvons clairement voir comment fonctionne cet algorithme.
Animations GIF :
Le plus étonnant est qu’avec différents côtés du rectangle, nous obtenons des motifs différents.
Pourquoi est-ce que j'appelle ces modèles des fractales ? Comme vous le savez, une « fractale » est une figure géométrique qui possède des propriétés d’autosimilarité. Une partie de l’image répète l’image entière. Si l’on augmente considérablement les dimensions des côtés Q et P, il est clair que ces motifs ont des propriétés d’autosimilarité.
Essayons de l'augmenter. Nous l'augmenterons de manière astucieuse. Prenons par exemple le motif 17x29. Les motifs suivants seront : 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Un côté : F(n) ;
Deuxième côté : F(n+1)=F(n)+F(n-1) ;
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Comme les nombres de Fibonacci, uniquement avec des premier et deuxième membres différents de la séquence : F(0)=17, F(1)=29.
Si le plus grand côté est pair, le résultat est le motif suivant :
Si le côté le plus court est pair :
Si les deux côtés sont impairs, nous obtenons un motif symétrique :
Selon la manière dont le faisceau démarre :
ou
Je vais essayer d'expliquer ce qui se passe dans ces rectangles.
Séparons le carré du rectangle et voyons ce qui se passe à la frontière.
Le faisceau sort au même point par lequel il est entré.
Dans le même temps, le nombre de carrés traversés par le rayon est toujours un nombre pair.
Par conséquent, si vous coupez un carré d'un rectangle, une partie inchangée de la fractale restera.
Si vous séparez les carrés de la fractale autant de fois que possible, vous pouvez accéder au « début » de la fractale.
Cela ressemble-t-il à une spirale de Fibonacci ?
Les fractales peuvent également être obtenues à partir des nombres de Fibonacci.
En mathématiques, les nombres de Fibonacci (série de Fibonacci, séquence de Fibonacci) sont les nombres :
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Par définition, les deux premiers chiffres de la séquence de Fibonacci sont 0 et 1, et chaque nombre suivant est égal à la somme des deux précédents.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1
Allons-y:
Comme nous pouvons le constater, plus le rapport hauteur/largeur se rapproche du nombre d’or, plus la fractale est détaillée.
Dans ce cas, la fractale répète une partie de la fractale, augmentée de .
Au lieu des nombres de Fibonacci, vous pouvez utiliser des tailles de côtés irrationnelles :
Nous obtenons la même fractale.
Les mêmes fractales peuvent être obtenues dans un carré si vous tirez le faisceau sous un angle différent :
Que pouvez-vous dire en conclusion ?
Le chaos est aussi l'ordre. Avec ses propres lois. Cet ordre n'a pas été étudié, mais se prête tout à fait à l'étude. Et tout le désir de la science est de découvrir ces modèles. Et finalement, reliez les pièces du puzzle pour avoir une vue d’ensemble.
Regardons la surface de la rivière. Si vous lui jetez une pierre, des vagues viendront. Des cercles tout à fait propices à l'étude. Vitesse, période, longueur d'onde - tout cela peut être calculé. Mais jusqu'à ce que la vague atteigne le rivage, elle ne se reflète pas et commence à se chevaucher. Nous obtenons un chaos (interférence), déjà difficile à étudier.
Et si nous partions de la direction opposée ? Simplifiez au maximum le comportement de la vague. Simplifiez, trouvez un modèle puis essayez de le décrire image complète ce qui se passe.
Que peut-on simplifier ? Évidemment, rendez la surface réfléchissante droite, sans courbures. Ensuite, au lieu de l’onde elle-même, utilisez uniquement le vecteur de mouvement de l’onde. En principe, cela suffit pour construire un algorithme simple et simuler le processus sur un ordinateur. Et c’est même suffisant pour créer un « modèle » du comportement des vagues sur une feuille de papier à carreaux ordinaire.
Qu’avons-nous comme résultat ? En conséquence, nous constatons que dans processus ondulatoires(les mêmes ondulations à la surface de la rivière), nous n'avons pas de chaos, mais une superposition de fractales (structures auto-similaires) les unes sur les autres.
Considérons un autre type de vagues. Comme on le sait, onde électromagnétique se compose de trois vecteurs - le vecteur d'onde et le vecteur électrique et champ magnétique. Comme nous pouvons le voir, si vous « attrapez » une telle vague zone fermée– là où ces vecteurs se croisent, nous obtenons des structures fermées assez claires. Peut-être particules élémentaires– est-ce que ce sont les mêmes fractales ?
Toutes les fractales dans les rectangles de 1 à 80 (6723x6723 px) : 
Zones fermées dans les fractales (6723x6723 px) : 
Juste une belle fractale (4078x2518 px) : 
Bonjour à tous! Mon nom est Ribenek Valérie, Oulianovsk et aujourd'hui je publierai plusieurs de mes articles scientifiques sur le site du LCI.
Mon premier article scientifique dans ce blog sera consacré à fractales. Je dirai tout de suite que mes articles sont conçus pour presque tous les publics. Ceux. J'espère qu'ils intéresseront aussi bien les écoliers que les étudiants.
J'ai récemment découvert des objets aussi intéressants monde mathématique comme les fractales. Mais ils n’existent pas seulement en mathématiques. Ils nous entourent partout. Les fractales sont naturelles. Je parlerai de ce que sont les fractales, des types de fractales, d'exemples de ces objets et de leurs applications dans cet article. Pour commencer, je vais vous expliquer brièvement ce qu’est une fractale.
Fractale(du latin fractus - écrasé, brisé, brisé) est une figure géométrique complexe qui a la propriété d'auto-similarité, c'est-à-dire composée de plusieurs parties, dont chacune est similaire à la figure entière. En plus au sens large Les fractales sont comprises comme des ensembles de points dans l'espace euclidien qui ont une dimension métrique fractionnaire (au sens de Minkowski ou Hausdorff), ou une dimension métrique différente de la dimension topologique. À titre d'exemple, j'insérerai une image représentant quatre fractales différentes.
Je vais vous parler un peu de l'histoire des fractales. Les concepts de fractale et de géométrie fractale, apparus à la fin des années 70, se sont solidement implantés parmi les mathématiciens et les programmeurs depuis le milieu des années 80. Le mot « fractale » a été inventé par Benoît Mandelbrot en 1975 pour désigner les structures irrégulières mais auto-similaires qui l'intéressent. La naissance de la géométrie fractale est généralement associée à la publication du livre de Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, en 1977. Ses travaux utilisent les résultats scientifiques d'autres scientifiques ayant travaillé dans la période 1875-1925 dans le même domaine (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Mais ce n’est qu’à notre époque qu’il a été possible de combiner leurs travaux en un seul système.
Il existe de nombreux exemples de fractales car, comme je l’ai dit, elles nous entourent partout. À mon avis, même notre Univers tout entier est une énorme fractale. Après tout, tout, de la structure de l'atome à la structure de l'Univers lui-même, se répète exactement. Mais il existe bien sûr des exemples plus spécifiques de fractales provenant de différents domaines. Les fractales, par exemple, sont présentes dans des dynamiques complexes. Là, ils apparaissent naturellement dans l'étude des phénomènes non linéaires. systèmes dynamiques. Le cas le plus étudié est celui où le système dynamique est spécifié par des itérations polynôme ou holomorphe fonction d'un complexe de variables dans un avion. Certaines des fractales les plus célèbres de ce type sont l’ensemble de Julia, l’ensemble de Mandelbrot et les pools de Newton. Ci-dessous, dans l'ordre, les images représentent chacune des fractales ci-dessus.
Un autre exemple de fractales sont les courbes fractales. Il est préférable d'expliquer comment construire une fractale en utilisant l'exemple des courbes fractales. L’une de ces courbes est ce qu’on appelle le flocon de neige de Koch. Il existe une procédure simple pour obtenir des courbes fractales sur un plan. Définissons une ligne brisée arbitraire avec nombre fini liens, appelé générateur. Ensuite, nous remplaçons chaque segment par un générateur (plus précisément, une ligne brisée semblable à un générateur). Dans la ligne brisée résultante, nous remplaçons à nouveau chaque segment par un générateur. En continuant vers l'infini, à la limite on obtient une courbe fractale. Ci-dessous se trouve le flocon de neige de Koch (ou courbe).
Il existe également une grande variété de courbes fractales. Les plus célèbres d'entre eux sont le flocon de neige de Koch déjà mentionné, ainsi que la courbe de Levy, la courbe de Minkowski, la ligne brisée du Dragon, la courbe de Piano et l'arbre de Pythagore. Je pense que vous pouvez facilement trouver une image de ces fractales et de leur histoire sur Wikipédia si vous le souhaitez.
Le troisième exemple ou type de fractales sont les fractales stochastiques. Ces fractales comprennent la trajectoire du mouvement brownien dans un plan et dans l'espace, l'évolution de Schramm-Löwner, divers types de fractales aléatoires, c'est-à-dire des fractales obtenues à l'aide d'une procédure récursive dans laquelle un paramètre aléatoire est introduit à chaque étape.
Il existe également des fractales purement mathématiques. Il s'agit par exemple de l'ensemble Cantor, de l'éponge Menger, du Triangle Sierpinski et autres.
Mais les fractales les plus intéressantes sont peut-être les fractales naturelles. Fractales naturelles- ce sont des objets dans la nature qui ont des propriétés fractales. Et ici, la liste est déjà longue. Je ne vais pas tout énumérer, car il est probablement impossible de tous les énumérer, mais je vais vous en parler de quelques-uns. Par exemple, dans la nature vivante, ces fractales incluent notre système circulatoire et les poumons. Et aussi les couronnes et les feuilles des arbres. Cela inclut également les étoiles de mer, les oursins, les coraux, les coquillages et certaines plantes comme le chou ou le brocoli. Plusieurs de ces fractales naturelles provenant de la nature vivante sont clairement illustrées ci-dessous.
Si nous considérons la nature inanimée, alors il y a exemples intéressants bien plus que dans la vraie vie. Foudre, flocons de neige, nuages, motifs bien connus sur les fenêtres les jours de gel, cristaux, chaînes de montagnes- ce sont tous des exemples de fractales naturelles de la nature inanimée.
Nous avons examiné des exemples et des types de fractales. Quant à l’utilisation des fractales, elles sont utilisées dans divers domaines de la connaissance. En physique, les fractales apparaissent naturellement lors de la modélisation de processus non linéaires, tels que l'écoulement de fluides turbulents, les processus complexes de diffusion-adsorption, les flammes, les nuages, etc. Les fractales sont utilisées lors de la modélisation de matériaux poreux, par exemple en pétrochimie. En biologie, ils sont utilisés pour modéliser des populations et décrire des systèmes d’organes internes (le système vasculaire). Après la création de la courbe de Koch, il a été proposé de l'utiliser pour calculer la longueur du littoral. Les fractales sont également activement utilisées dans l'ingénierie radio, les sciences de l'information et l'informatique, les télécommunications et même l'économie. Et bien sûr, la vision fractale est activement utilisée dans l’art et l’architecture modernes. Voici un exemple de modèles fractals :
Et ainsi, je pense compléter mon histoire sur un phénomène mathématique aussi inhabituel qu'une fractale. Aujourd'hui, nous avons appris ce qu'est une fractale, comment elle est apparue, les types et les exemples de fractales. J'ai également parlé de leur application et démontré visuellement certaines fractales. J'espère que vous avez apprécié cette petite excursion dans le monde des objets fractals étonnants et fascinants.
Souvent de brillantes découvertes, perfectionné en science, peut changer radicalement nos vies. Par exemple, l’invention d’un vaccin peut sauver de nombreuses personnes, mais la création de nouvelles armes conduit au meurtre. Hier (à l’échelle de l’histoire) l’homme a « apprivoisé » l’électricité, et aujourd’hui il ne peut plus imaginer sa vie sans elle. Cependant, il y a aussi des découvertes qui, comme on dit, restent dans l'ombre, même si elles ont aussi un impact particulier sur nos vies. L'une de ces découvertes était la fractale. La plupart des gens n’ont jamais entendu parler de ce concept et ne seront pas en mesure d’en expliquer la signification. Dans cet article, nous essaierons de comprendre la question de savoir ce qu'est une fractale et de considérer la signification de ce terme du point de vue de la science et de la nature.
L'ordre dans le chaos
Afin de comprendre ce qu'est une fractale, nous devrions commencer le débriefing du point de vue des mathématiques, mais avant d'y plonger, nous allons philosopher un peu. Chaque personne a une curiosité naturelle, grâce à laquelle il apprend le monde qui nous entoure. Souvent, dans sa quête de connaissances, il essaie d’utiliser la logique dans ses jugements. Ainsi, en analysant les processus qui se produisent autour de lui, il tente de calculer les relations et d'en déduire certains modèles. Les plus grands esprits de la planète s’emploient à résoudre ces problèmes. En gros, nos scientifiques recherchent des modèles là où il n’y en a pas, et il ne devrait pas y en avoir. Et pourtant, même dans le chaos, il existe un lien entre certains événements. Cette connexion est ce qu’est la fractale. À titre d’exemple, considérons une branche cassée qui traîne sur la route. Si nous le regardons attentivement, nous verrons qu’avec toutes ses branches et brindilles, il ressemble lui-même à un arbre. Cette similitude d'une partie séparée avec un tout unique indique ce qu'on appelle le principe d'autosimilarité récursive. Les fractales peuvent être trouvées partout dans la nature, car de nombreuses formes inorganiques et organiques se forment de la même manière. Ce sont des nuages, des coquillages, des coquilles d’escargots, des cimes d’arbres et même le système circulatoire. Cette liste peut être poursuivie indéfiniment. Toutes ces formes aléatoires sont facilement décrites par un algorithme fractal. Nous en sommes maintenant venus à considérer ce qu’est une fractale du point de vue des sciences exactes.
Quelques faits secs
Le mot « fractal » lui-même est traduit du latin par « partiel », « divisé », « fragmenté », et quant au contenu de ce terme, il n'y a pas de formulation en tant que telle. Il est généralement interprété comme un ensemble auto-similaire, une partie du tout, qui répète sa structure au niveau micro. Ce terme a été inventé dans les années soixante-dix du XXe siècle par Benoît Mandelbrot, reconnu comme le père. Aujourd'hui, le concept de fractale désigne une image graphique d'une certaine structure qui, une fois agrandie, sera semblable à elle-même. Cependant, la base mathématique de la création de cette théorie a été posée avant même la naissance de Mandelbrot lui-même, mais elle n'a pu se développer qu'après l'apparition des ordinateurs électroniques.
Contexte historique, ou Comment tout a commencé
Au tournant des XIXe et XXe siècles, l’étude de la nature des fractales était sporadique. Cela s'explique par le fait que les mathématiciens ont préféré étudier des objets pouvant être étudiés sur la base de théories générales et les méthodes. En 1872, le mathématicien allemand K. Weierstrass a construit un exemple de fonction continue qui n'est différentiable nulle part. Cependant, cette construction s’est révélée entièrement abstraite et difficile à percevoir. Vint ensuite le Suédois Helge von Koch, qui construisit en 1904 une courbe continue sans tangente nulle part. Il est assez facile à dessiner et s'avère avoir des propriétés fractales. L'une des variantes de cette courbe porte le nom de son auteur - « flocon de neige de Koch ». De plus, l'idée d'autosimilarité des figures a été développée par le futur mentor de B. Mandelbrot, le Français Paul Levy. En 1938, il publie l'article « Courbes et surfaces planes et spatiales constituées de parties semblables au tout ». Il y décrit nouveau look- Courbe C de Levi. Toutes les figures ci-dessus sont classiquement classées comme fractales géométriques.
Fractales dynamiques ou algébriques
L'ensemble de Mandelbrot appartient à cette classe. Les premiers chercheurs dans cette direction furent les mathématiciens français Pierre Fatou et Gaston Julia. En 1918, Julia publia un article basé sur l'étude des itérations de logiques rationnelles. fonctions complexes. Il décrit ici une famille de fractales étroitement liées à l’ensemble de Mandelbrot. Bien que ce travail glorifiait l'auteur parmi les mathématiciens, elle fut vite oubliée. Et seulement un demi-siècle plus tard, grâce aux ordinateurs, le travail de Julia a reçu une seconde vie. Les ordinateurs ont permis de rendre visible à chacun la beauté et la richesse du monde des fractales que les mathématiciens pouvaient « voir » en les affichant à travers des fonctions. Mandelbrot a été le premier à utiliser un ordinateur pour effectuer des calculs (un tel volume ne peut être effectué manuellement) permettant de construire une image de ces chiffres.
Une personne avec une imagination spatiale
Mandelbrot a commencé son carrière scientifique au Centre de recherche IBM. Explorer les possibilités de transfert de données vers longues distances, les scientifiques ont été confrontés au fait de pertes importantes dues aux interférences sonores. Benoit cherchait des moyens de résoudre ce problème. En parcourant les résultats des mesures, il a remarqué une tendance étrange, à savoir : les graphiques de bruit se ressemblaient à différentes échelles de temps.
Une image similaire a été observée à la fois pendant une journée et pendant sept jours ou pendant une heure. Benoît Mandelbrot lui-même a souvent répété qu'il ne travaillait pas avec des formules, mais jouait avec des images. Ce scientifique était différent pensée imaginative, il a traduit tout problème algébrique dans le domaine géométrique, où la bonne réponse est évidente. Il n’est donc pas surprenant qu’il soit riche et qu’il soit devenu le père de la géométrie fractale. Après tout, la conscience de cette figure ne peut venir que lorsque vous étudiez les dessins et réfléchissez à la signification de ces étranges tourbillons qui forment le motif. Les modèles fractaux ne comportent pas d’éléments identiques, mais ils sont similaires à toutes les échelles.
Julia-Mandelbrot
L'un des premiers dessins de cette figure était une interprétation graphique de l'ensemble, née de l'œuvre de Gaston Julia et développée par Mandelbrot. Gaston a essayé d'imaginer à quoi ressemblerait un ensemble basé sur une formule simple itérée dans une boucle retour. Essayons d'expliquer ce qui a été dit en langage humain, pour ainsi dire, sur les doigts. Pour un spécifique valeur numérique en utilisant la formule, nous trouvons la nouvelle valeur. Nous le substituons dans la formule et trouvons ce qui suit. Le résultat est volumineux. Pour représenter un tel ensemble, vous devez effectuer cette opération. quantité énorme fois : des centaines, des milliers, des millions. C'est ce qu'a fait Benoît. Il a traité la séquence et transféré les résultats à forme graphique. Par la suite, il a coloré la figure obtenue (chaque couleur correspond à un certain nombre d'itérations). Cette image graphique est appelée la « fractale de Mandelbrot ».
L. Carpenter : l'art créé par la nature
La théorie fractale rapidement trouvée application pratique. Puisqu’il est très étroitement lié à la visualisation d’images auto-similaires, les artistes ont été les premiers à adopter les principes et les algorithmes permettant de construire ces formes inhabituelles. La première d'entre elles était la future fondatrice de Pixar, Lauren Carpenter. Alors qu'il travaillait sur une présentation de prototypes d'avions, il a eu l'idée d'utiliser une image de montagnes comme arrière-plan. Aujourd'hui, presque tous les utilisateurs d'ordinateurs peuvent faire face à une telle tâche, mais dans les années soixante-dix du siècle dernier, les ordinateurs n'étaient pas en mesure d'effectuer de tels processus, car à cette époque, il n'existait pas d'éditeurs graphiques ni d'applications pour les graphiques tridimensionnels. Et puis Loren est tombé sur le livre de Mandelbrot « Fractals : Form, Randomness and Dimension ». Benoit y donne de nombreux exemples, démontrant que les fractales existent dans la nature (fyva), décrit leurs formes variées et prouve qu'elles sont facilement décrites par des expressions mathématiques. Le mathématicien a cité cette analogie comme argument en faveur de l’utilité de la théorie qu’il développait en réponse aux nombreuses critiques de ses collègues. Ils ont soutenu qu'une fractale est simplement belle photo, n'ayant aucune valeur, étant un sous-produit du travail machines électroniques. Carpenter a décidé d'essayer cette méthode dans la pratique. Après avoir étudié attentivement le livre, le futur animateur a commencé à chercher un moyen de mettre en œuvre la géométrie fractale en infographie. Il ne lui a fallu que trois jours pour restituer une image totalement réaliste du paysage de montagne sur son ordinateur. Et aujourd'hui, ce principe est largement utilisé. Il s’avère que créer des fractales ne demande pas beaucoup de temps et d’efforts.
La solution du menuisier
Le principe utilisé par Lauren était simple. Cela consiste à diviser les plus grands en petits éléments, et ceux-ci en éléments plus petits similaires, et ainsi de suite. Carpenter, à l'aide de grands triangles, les a divisés en 4 petits, et ainsi de suite, jusqu'à obtenir un paysage de montagne réaliste. Ainsi, il est devenu le premier artiste à utiliser un algorithme fractal en infographie pour construire l’image requise. Aujourd'hui, ce principe est utilisé pour imiter diverses formes naturelles réalistes.
La première visualisation 3D utilisant un algorithme fractal
En quelques années, Lauren a appliqué ses développements dans projet à grande échelle- vidéo d'animation Vol Libre, diffusée sur Siggraph en 1980. Cette vidéo en a choqué plus d'un et son créateur a été invité à travailler chez Lucasfilm. Ici, l'animateur a pu réaliser tout son potentiel : il a créé des paysages en trois dimensions (une planète entière) pour le long métrage "Star Trek". Tout programme moderne (« Fractals ») ou application de création de graphiques 3D (Terragen, Vue, Bryce) utilise le même algorithme pour modéliser les textures et les surfaces.
Tom Bédard
Ancien physicien du laser et maintenant artiste et artiste numérique, Beddard a créé un certain nombre de formes géométriques très intrigantes, qu'il a appelées fractales de Fabergé. Extérieurement, ils ressemblent à des œufs décoratifs d'un bijoutier russe ; ils ont le même motif brillant et complexe. Beddard a utilisé une méthode de modèle pour créer ses rendus numériques des modèles. Les produits obtenus étonnent par leur beauté. Bien que beaucoup refusent de comparer le produit fait soi-même Avec programme informatique mais il faut admettre que les formes qui en résultent sont extrêmement belles. Le point culminant est que n’importe qui peut construire une telle fractale en utilisant la bibliothèque logicielle WebGL. Il vous permet d'explorer diverses structures fractales en temps réel.
Fractales dans la nature
Peu de gens y prêtent attention, mais ceux-ci des chiffres étonnants sont présents partout. La nature est créée d'elle-même chiffres similaires, nous ne le remarquons tout simplement pas. Il suffit de regarder à la loupe notre peau ou une feuille d'arbre, et nous verrons des fractales. Ou prenez, par exemple, un ananas ou même une queue de paon - ils sont constitués de figures similaires. Et la variété de brocoli Romanescu frappe généralement par son apparence, car on peut vraiment la qualifier de miracle de la nature.
Pause musicale
Il s’avère que les fractales ne sont pas seulement des formes géométriques, elles peuvent aussi être des sons. Ainsi, le musicien Jonathan Colton écrit de la musique en utilisant des algorithmes fractals. Elle prétend correspondre à l’harmonie naturelle. Le compositeur publie toutes ses œuvres sous une licence CreativeCommons Attribution-Non commerciale, qui prévoit la distribution, la copie et le transfert gratuits des œuvres à des tiers.
Indicateur fractal
Cette technique a trouvé une application très inattendue. Sur cette base, un outil d'analyse du marché boursier a été créé et, par conséquent, il a commencé à être utilisé sur le marché Forex. De nos jours, l'indicateur fractal se retrouve sur toutes les plateformes de trading et est utilisé dans une technique de trading appelée rupture de prix. Cette technique a été développée par Bill Williams. Comme l'auteur commente son invention, cet algorithme est une combinaison de plusieurs « bougies », dans laquelle celle centrale reflète le point extrême maximum ou, à l'inverse, le point extrême minimum.
En conclusion
Nous avons donc examiné ce qu'est une fractale. Il s'avère que dans le chaos qui nous entoure, il existe réellement formes parfaites. La nature est le meilleur architecte, constructeur et ingénieur idéal. C’est organisé de manière très logique, et si nous ne trouvons pas de modèle, cela ne veut pas dire qu’il n’existe pas. Peut-être devrions-nous regarder à une autre échelle. Nous pouvons affirmer avec certitude que les fractales recèlent encore de nombreux secrets que nous n'avons pas encore découvert.
Qu’ont en commun un arbre, un bord de mer, un nuage ou les vaisseaux sanguins de notre main ? À première vue, il peut sembler que tous ces objets n’ont rien en commun. Cependant, en fait, il existe une propriété de structure inhérente à tous les objets répertoriés : ils sont auto-similaires. D'une branche, comme d'un tronc d'arbre, s'étendent des pousses plus petites, d'autres encore plus petites, etc., c'est-à-dire qu'une branche est semblable à l'arbre entier. Le système circulatoire est structuré de la même manière : des artérioles partent des artères, et d'elles partent les plus petits capillaires par lesquels l'oxygène pénètre dans les organes et les tissus. Regardons images de l'espace côte maritime : nous verrons des baies et des péninsules ; Regardons-le, mais à vol d'oiseau : nous verrons des baies et des caps ; Imaginons maintenant que nous sommes sur la plage et que nous regardons nos pieds : il y aura toujours des cailloux qui dépassent plus loin dans l’eau que les autres. Autrement dit, le littoral, lorsqu'on zoome, reste semblable à lui-même. Le mathématicien américain (bien qu'il ait grandi en France) Benoit Mandelbrot a appelé cette propriété des objets fractalité, et ces objets eux-mêmes - fractales (du latin fractus - brisés).
Ce concept n'a pas de définition stricte. Par conséquent, le mot « fractale » n’est pas terme mathématique. Typiquement, une fractale est une figure géométrique qui satisfait une ou plusieurs des propriétés suivantes : Elle a une structure complexe à n'importe quelle augmentation d'échelle (contrairement, par exemple, à une ligne droite, dont n'importe quelle partie est la figure géométrique la plus simple - un segment ). Est (approximativement) auto-similaire. Il a une dimension Hausdorff (fractale) fractionnaire, qui est plus grande que la dimension topologique. Peut être construit à l’aide de procédures récursives.
Géométrie et algèbre
L’étude des fractales au tournant des XIXe et XXe siècles était plus épisodique que systématique, car auparavant les mathématiciens étudiaient principalement les « bons » objets qui pouvaient être étudiés à l’aide de méthodes et de théories générales. En 1872, le mathématicien allemand Karl Weierstrass a construit un exemple de fonction continue qui n'est nulle part différentiable. Cependant, sa construction était entièrement abstraite et difficile à comprendre. C'est pourquoi, en 1904, le Suédois Helge von Koch a proposé une courbe continue qui n'a de tangente nulle part et qui est assez facile à dessiner. Il s’est avéré qu’il possède les propriétés d’une fractale. Une variante de cette courbe est appelée « flocon de neige de Koch ».
L'idée d'autosimilarité des figures a été reprise par le Français Paul Pierre Lévy, futur mentor de Benoit Mandelbrot. En 1938, son article « Courbes et surfaces planes et spatiales constituées de parties similaires au tout » a été publié, qui décrivait une autre fractale - la courbe C de Levy. Toutes ces fractales énumérées ci-dessus peuvent être conditionnellement classées comme une classe de fractales constructives (géométriques).
Une autre classe est celle des fractales dynamiques (algébriques), qui incluent l'ensemble de Mandelbrot. Les premières recherches dans ce sens ont commencé au début du 20e siècle et sont associées aux noms Mathématiciens français Gaston Julia et Pierre Fatu. En 1918, les mémoires de près de deux cents pages de Julia furent publiées, consacrées aux itérations de complexes fonctions rationnelles, qui décrit les ensembles de Julia, toute une famille de fractales étroitement liées à l'ensemble de Mandelbrot. Ce travail a été récompensé par un prix Académie française Cependant, il ne contenait aucune illustration, il était donc impossible d'apprécier la beauté des objets ouverts. Malgré le fait que ce travail ait rendu Julia célèbre parmi les mathématiciens de l'époque, il fut rapidement oublié. L'attention s'y est à nouveau tournée seulement un demi-siècle plus tard avec l'avènement des ordinateurs : ce sont eux qui ont rendu visible la richesse et la beauté du monde des fractales.
Dimensions fractales
Comme vous le savez, la dimension (nombre de dimensions) d'une figure géométrique est le nombre de coordonnées nécessaire pour déterminer la position d'un point se trouvant sur cette figure.
Par exemple, la position d'un point sur une courbe est déterminée par une coordonnée, sur une surface (pas nécessairement un plan) par deux coordonnées et dans un espace tridimensionnel par trois coordonnées.
D'un point de vue plus général point mathématique D'un point de vue topologique, on peut définir la dimension de cette manière : une augmentation des dimensions linéaires, disons, d'un facteur deux, pour des objets unidimensionnels (d'un point de vue topologique) (segment) entraîne une augmentation en taille (longueur) d'un facteur deux, pour les dimensions bidimensionnelles (un carré), la même augmentation des dimensions linéaires entraîne une augmentation de la taille (surface) de 4 fois, pour les dimensions tridimensionnelles (cube) - de 8 fois . C'est-à-dire que la dimension « réelle » (dite Hausdorff) peut être calculée comme le rapport du logarithme de l'augmentation de la « taille » d'un objet au logarithme de l'augmentation de sa taille linéaire. Autrement dit, pour un segment D=log (2)/log (2)=1, pour un plan D=log (4)/log (2)=2, pour un volume D=log (8)/log (2 )=3.
Calculons maintenant la dimension de la courbe de Koch, pour construire laquelle un segment unitaire est divisé en trois parties égales et l'intervalle médian est remplacé par un triangle équilatéral sans ce segment. Lorsque les dimensions linéaires du segment minimum augmentent trois fois, la longueur de la courbe de Koch augmente de log (4)/log (3) ~ 1,26. Autrement dit, la dimension de la courbe de Koch est fractionnaire !
Sciences et arts
En 1982, le livre de Mandelbrot « Fractal Geometry of Nature » a été publié, dans lequel l'auteur a rassemblé et systématisé presque toutes les informations disponibles à l'époque sur les fractales et les a présentées de manière simple et accessible. Mandelbrot a mis l'accent dans sa présentation non pas sur des formules lourdes et des constructions mathématiques, mais sur l'intuition géométrique des lecteurs. Grâce aux illustrations obtenues à l'aide d'un ordinateur et d'histoires historiques, avec lesquelles l'auteur a habilement dilué la composante scientifique de la monographie, le livre est devenu un best-seller et les fractales sont devenues connues du grand public. Leur succès auprès des non-mathématiciens est en grande partie dû au fait que, avec l'aide de très dessins simples et des formules que même un lycéen peut comprendre, les images résultantes sont étonnantes de complexité et de beauté. Lorsque les ordinateurs personnels sont devenus suffisamment puissants, même toute une direction artistique est apparue - la peinture fractale, et presque tous les propriétaires d'ordinateurs pouvaient le faire. Désormais, sur Internet, vous pouvez facilement trouver de nombreux sites consacrés à ce sujet.
Schéma d'obtention de la courbe de Koch
Guerre et Paix
Comme indiqué ci-dessus, l'un des objets naturels possédant des propriétés fractales est le littoral. Il y a une histoire intéressante qui y est liée, ou plus précisément, avec une tentative de mesurer sa longueur, qui a constitué la base article scientifique Mandelbrot, et est également décrit dans son livre « Fractal Geometry of Nature ». Il s'agit deà propos d'une expérience réalisée par Lewis Richardson, un mathématicien, physicien et météorologue très talentueux et excentrique. L'un des axes de ses recherches était de tenter de trouver une description mathématique des causes et de la probabilité d'un conflit armé entre deux pays. Parmi les paramètres qu’il a pris en compte figurait la longueur de la frontière commune des deux pays en guerre. Lorsqu'il a collecté des données pour des expériences numériques, il a découvert que différentes sources les données sur la frontière commune de l’Espagne et du Portugal diffèrent considérablement. Cela l'a conduit à la découverte suivante : la longueur des frontières d'un pays dépend du souverain avec lequel on les mesure. Plus l’échelle est petite, plus la frontière est longue. Cela est dû au fait qu'avec un grossissement plus important, il devient possible de prendre en compte de plus en plus de nouveaux virages de la côte, auparavant ignorés en raison de la grossièreté des mesures. Et si, à chaque augmentation d'échelle, des courbures de lignes jusqu'alors inexpliquées sont révélées, alors il s'avère que la longueur des frontières est infinie ! Il est vrai que cela ne se produit pas réellement : la précision de nos mesures a une limite finie. Ce paradoxe s'appelle l'effet Richardson.
Fractales constructives (géométriques)
Algorithme de construction d'une fractale constructive dans cas général c'est comme ça. Tout d’abord, nous avons besoin de deux formes géométriques appropriées, appelons-les la base et le fragment. Dans un premier temps, la base de la future fractale est représentée. Ensuite, certaines de ses parties sont remplacées par un fragment pris à une échelle appropriée - c'est la première itération de la construction. Ensuite, la figure résultante change à nouveau certaines parties en figures similaires au fragment, etc. Si nous continuons ce processus à l'infini, alors à la limite nous obtiendrons une fractale.
Examinons ce processus en utilisant la courbe de Koch comme exemple (voir l'encadré de la page précédente). Vous pouvez prendre n'importe quelle courbe comme base pour la courbe de Koch (pour le « flocon de neige de Koch », il s'agit d'un triangle). Mais nous nous limiterons au cas le plus simple : un segment. Le fragment est une ligne brisée, représentée en haut de la figure. Après la première itération de l'algorithme, dans ce cas le segment d'origine coïncidera avec le fragment, puis chacun de ses segments constitutifs sera lui-même remplacé par une ligne brisée semblable au fragment, etc. La figure montre les quatre premières étapes de cet algorithme. processus.
Dans le langage mathématique : fractales dynamiques (algébriques)
Des fractales de ce type apparaissent lors de l'étude de systèmes dynamiques non linéaires (d'où leur nom). Le comportement d'un tel système peut être décrit par une fonction non linéaire complexe (polynôme) f (z). Prenons un point initial z0 sur plan complexe(voir encadré). Considérons maintenant une telle séquence infinie de nombres sur le plan complexe, dont chacun suivant est obtenu à partir du précédent : z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). Selon le point initial z0, une telle suite peut se comporter différemment : tendre vers l'infini lorsque n -> ∞ ; converger vers certains point final; prendre cycliquement une série de valeurs fixes ; Des options plus complexes sont également possibles.
Nombres complexes
Un nombre complexe est un nombre composé de deux parties - réelle et imaginaire, c'est-à-dire la somme formelle x + iy (x et y ici - nombres réels). je suis le soi-disant unité imaginaire, c'est-à-dire un nombre qui satisfait l'équation je^ 2 = -1. Les opérations mathématiques de base sur les nombres complexes sont définies : addition, multiplication, division, soustraction (seule l'opération de comparaison n'est pas définie). Pour afficher des nombres complexes, une représentation géométrique est souvent utilisée - sur le plan (on l'appelle complexe), la partie réelle est tracée le long de l'axe des abscisses, et la partie imaginaire est tracée le long de l'axe des ordonnées, et le point avec correspondra à le nombre complexe Coordonnées cartésiennes x et y.
Ainsi, tout point z du plan complexe a son propre comportement lors des itérations de la fonction f (z), et le plan entier est divisé en parties. De plus, les points situés aux limites de ces parties ont la propriété suivante : avec un déplacement arbitrairement petit, la nature de leur comportement change fortement (ces points sont appelés points de bifurcation). Ainsi, il s’avère que les ensembles de points ayant un type de comportement spécifique, ainsi que les ensembles de points de bifurcation, ont souvent des propriétés fractales. Ce sont les ensembles de Julia pour la fonction f (z).
Famille de dragons
En faisant varier la base et le fragment, vous pouvez obtenir une étonnante variété de fractales constructives.
De plus, des opérations similaires peuvent être effectuées dans espace tridimensionnel. Des exemples de fractales volumétriques incluent « l'éponge de Menger », la « pyramide de Sierpinski » et d'autres.
La famille des dragons est également considérée comme une fractale constructive. Parfois, ils sont appelés du nom de leurs découvreurs « dragons Heavy-Harter » (dans leur forme, ils ressemblent à des dragons chinois). Il existe plusieurs façons de construire cette courbe. Le plus simple et le plus visuel d'entre eux est le suivant : il faut prendre une bande de papier assez longue (plus le papier est fin, mieux c'est) et la plier en deux. Pliez-le ensuite à nouveau en deux dans le même sens que la première fois. Après plusieurs répétitions (généralement après cinq ou six plis, la bande devient trop épaisse pour être pliée davantage), vous devez replier la bande et essayer de créer des angles de 90° au niveau des plis. Puis de profil vous obtiendrez la courbe d’un dragon. Bien entendu, ce ne sera qu’une approximation, comme toutes nos tentatives de représentation d’objets fractals. L'ordinateur permet de représenter de nombreuses autres étapes de ce processus, et le résultat est une très belle figure.
L’ensemble de Mandelbrot est construit un peu différemment. Considérons la fonction fc (z) = z 2 +c, où c est un nombre complexe. Construisons une séquence de cette fonction avec z0=0 selon le paramètre c, elle peut diverger à l'infini ou rester limitée. De plus, toutes les valeurs de c pour lesquelles cette suite est limitée forment l'ensemble de Mandelbrot. Il a été étudié en détail par Mandelbrot lui-même et par d'autres mathématiciens, qui ont découvert de nombreuses propriétés intéressantes de cet ensemble.
On peut voir que les définitions des ensembles de Julia et de Mandelbrot sont similaires. En fait, ces deux ensembles sont étroitement liés. À savoir, l'ensemble de Mandelbrot est constitué de toutes les valeurs du paramètre complexe c pour lesquelles l'ensemble de Julia fc (z) est connexe (un ensemble est dit connexe s'il ne peut pas être divisé en deux parties disjointes, avec quelques conditions supplémentaires).
Fractales et vie
De nos jours, la théorie des fractales est largement utilisée dans divers domaines activité humaine. En plus d'un objet de recherche purement scientifique et de la peinture fractale déjà mentionnée, les fractales sont utilisées dans la théorie de l'information pour compresser des données graphiques (la propriété d'autosimilarité des fractales est principalement utilisée ici - après tout, pour mémoriser un petit fragment d'image et les transformations avec lesquelles vous pouvez obtenir les parties restantes nécessitent beaucoup moins de mémoire que pour stocker l'intégralité du fichier). En ajoutant des perturbations aléatoires aux formules qui définissent une fractale, vous pouvez obtenir des fractales stochastiques qui véhiculent de manière très plausible certains objets réels - des éléments de relief, la surface de réservoirs, certaines plantes, ce qui est utilisé avec succès en physique, en géographie et en infographie pour obtenir une plus grande similitude des objets simulés avec le réel. En radioélectronique, au cours de la dernière décennie, des antennes de forme fractale ont commencé à être produites. Prenant peu de place, ils assurent une réception du signal de haute qualité. Les économistes utilisent des fractales pour décrire les courbes de fluctuation des devises (cette propriété a été découverte par Mandelbrot il y a plus de 30 ans). Ceci conclut cette courte excursion dans le monde incroyablement beau et diversifié des fractales.
