Conférence n°3.
Mouvement dans un champ magnétique non uniforme. Approximation de la dérive - conditions d'applicabilité, vitesse de dérive. Dérive dans un champ magnétique non uniforme. Invariant adiabatique. Mouvement dans des champs électriques et magnétiques croisés. Cas général champs croisés de toute force et champ magnétique.
III. Mouvement de dérive des particules chargées
§3.1. Mouvement dans des champs homogènes traversés.
Considérons le mouvement des particules chargées dans des champs croisés
dans l'approximation de la dérive. L'approximation de la dérive est applicable s'il est possible d'identifier une certaine vitesse de dérive constante, identique pour toutes les particules du même type, indépendante de la direction des vitesses des particules :
, Où
- vitesse de dérive. Montrons que cela peut être fait pour le mouvement de particules chargées dans des directions croisées.
champs. Comme nous l’avons montré précédemment, le champ magnétique n’affecte pas le mouvement des particules dans la direction du champ magnétique. Par conséquent, la vitesse de dérive ne peut être dirigée que perpendiculairement à la vitesse magnétique, c'est-à-dire soit :
, et
, Où
. Équation du mouvement :
(on écrit toujours le multiplicateur dans le SGH). Alors pour la composante transversale de la vitesse :
, on substitue le développement en termes de vitesse de dérive :
, c'est-à-dire
. Remplaçons cette équation par deux pour chaque composante et en tenant compte
, c'est-à-dire
, on obtient l'équation de la vitesse de dérive :
. En multipliant vectoriellement par le champ magnétique, on obtient :
. Compte tenu de la règle, on obtient
, où:

- vitesse de dérive. (3.1)

.
La vitesse de dérive ne dépend pas du signe de la charge ni de la masse, c'est-à-dire le plasma se déplace dans son ensemble. D’après la relation (3.1), il ressort clairement que lorsque
la vitesse de dérive devient supérieure à la vitesse de la lumière, ce qui signifie qu'elle perd son sens. Et le fait n’est pas qu’il soit nécessaire de prendre en compte des corrections relativistes. À
la condition sera violée approximation de la dérive. La condition de l'approximation de la dérive pour la dérive des particules chargées dans un champ magnétique est que l'influence de la force provoquant la dérive doit être insignifiante pendant la période de révolution de la particule dans le champ magnétique, seulement dans ce cas la vitesse de dérive sera être constant. Cette condition peut s’écrire :
, à partir de laquelle nous obtenons la condition d'applicabilité du mouvement de dérive dans
champs :
.

Pour déterminer trajectoires possibles particules chargées dans
champs, considérons l'équation du mouvement pour la composante de vitesse de rotation :
, où
. Laissez l'avion ( x,oui) est perpendiculaire au champ magnétique. Vecteur tourne avec fréquence
(l'électron et l'ion tournent dans différents côtés) dans l'avion ( x,oui), restant constant en module.

Si vitesse initiale les particules tombent dans ce cercle, puis la particule se déplacera le long de l'épicycloïde.

Zone 2. Le cercle donné par l'équation
, correspond à une cycloïde. Lors de la rotation du vecteur le vecteur vitesse à chaque période passera par l'origine, c'est-à-dire que la vitesse sera égale à zéro. Ces moments correspondent à des points à la base de la cycloïde. La trajectoire est similaire à celle décrite par un point situé sur la jante d'une roue de rayon
. La hauteur de la cycloïde est , c'est-à-dire proportionnel à la masse de la particule, donc les ions se déplaceront le long d'une cycloïde beaucoup plus élevée que les électrons, ce qui ne correspond pas à la représentation schématique de la Fig. 3.2.

Zone 3. La zone en dehors du cercle dans laquelle
, correspond à une trochoïde à anses (hypocycloïde) dont la hauteur
. Correspondance des boucles valeurs négatives composantes de vitesse lorsque les particules se déplacent dans la direction opposée.

À PROPOS zone 4 : Point
(
) correspond à une droite. Si vous avez lancé une particule avec une vitesse initiale
, alors la force de la force électrique et magnétique à chaque instant est équilibrée, de sorte que la particule se déplace de manière rectiligne. On peut imaginer que toutes ces trajectoires correspondent au mouvement de points situés sur une roue de rayon
, donc pour toutes les trajectoires la période spatiale longitudinale
. Pour la période
Pour toutes les trajectoires, une compensation mutuelle des effets des champs électriques et magnétiques se produit. L'énergie cinétique moyenne de la particule reste constante
. Il est important de noter encore une fois que

Toutes les conclusions tirées ci-dessus sont correctes si au contraire force électrique
utiliser la force arbitraire , agissant sur la particule, et
. Vitesse de dérive dans un champ de force arbitraire :

(3.2)

dépend de la charge. Par exemple, pour force gravitationnelle
:
- vitesse de dérive gravitationnelle.

§3.2. Mouvement de dérive de particules chargées dans un champ magnétique non uniforme.

Si le champ magnétique change lentement dans l'espace, alors une particule s'y déplaçant fera de nombreux tours de Larmor, s'enroulant autour de la ligne de champ magnétique avec un rayon de Larmor changeant lentement. Nous pouvons considérer le mouvement non pas de la particule elle-même, mais de son centre de rotation instantané, appelé centre directeur. Description du mouvement d'une particule comme le mouvement d'un centre directeur, c'est-à-dire L'approximation de la dérive est applicable si la variation du rayon de Larmor au cours d'un tour est nettement inférieure au rayon de Larmor lui-même. Cette condition sera évidemment remplie si l'échelle spatiale caractéristique du changement de champ dépasse significativement le rayon de Larmor :
, ce qui équivaut à la condition :
. Évidemment, cette condition est satisfaite, mieux c'est valeur plus grande l'intensité du champ magnétique, puisque le rayon de Larmor diminue en proportion inverse de l'intensité du champ magnétique. Considérons quelques cas d'intérêt général, puisque de nombreux types de mouvements de particules chargées dans des champs magnétiques inhomogènes peuvent y être réduits.

Considérons le problème du mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique avec un saut, à gauche et à droite du plan dont le champ magnétique est uniforme et identiquement dirigé, mais a différentes tailles(voir Fig. 3.5), qu'il y ait H 2 > H 1 . Lorsqu'une particule se déplace, son cercle de Larmor coupe le plan de choc. La trajectoire est constituée de cercles de Larmor avec un rayon de Larmor variable, à la suite desquels la particule « dérive » le long du plan de choc. Comme le montre la figure 3.5, la dérive est perpendiculaire à la direction du champ magnétique et à son gradient, et les particules de charges opposées dérivent dans des directions différentes. Pour simplifier, laissez la particule couper le plan de choc le long de la normale. Puis avec le temps égal à la somme Demi-cycles de Larmor

Figure 3.5. Dérive du gradient à la frontière avec saut du champ magnétique.

pour la zone de gauche et de droite : la particule est déplacée le long de ce plan d'une longueur . La vitesse de dérive peut être définie comme . Où  H H 2  H 1  l'ampleur du saut du champ magnétique, et  H H 2 + H 1  - sa valeur moyenne.

La dérive se produit également lorsque le champ magnétique à gauche et à droite d'un certain plan ne change pas d'ampleur, mais change de direction (voir Fig. 3.6). À gauche et à droite de la frontière, les particules tournent dans des cercles de Larmor de même rayon, mais avec direction opposée rotation. La dérive se produit lorsque le cercle de Larmor coupe le plan d'interface. Laissez la particule couper le plan de la couche le long de la normale, puis le cercle de Larmor doit être « coupé » le long de la normale.

Figure 3.6. Dérive de gradient lors du changement de direction du champ magnétique

diamètre vertical puis moitié droite doit être reflété vers le haut pour l’électron et vers le bas pour l’ion, comme le montre la figure 3.6. Dans ce cas, pendant la période de Larmor, le déplacement le long de la couche est évidemment de deux diamètres de Larmor, donc la vitesse de dérive dans ce cas est : .

§3.3. Dérive dans un champ magnétique à courant continu.
Dérive de particules chargées dans un champ magnétique non uniforme conducteur droit le courant est principalement associé au fait que le champ magnétique est inversement proportionnel à la distance du courant, il y aura donc une dérive graduelle d'une particule chargée s'y déplaçant. De plus, la dérive est associée à la courbure des lignes de champ magnétique. Considérons deux composantes de cette force provoquant une dérive, et nous obtenons ainsi deux composantes de dérive.
clause 3.3.1. Dérive diamagnétique (gradient).
Le mécanisme de dérive de gradient est que la particule a différents rayons de rotation dans différents points trajectoires : une partie du temps qu'elle passe dans un domaine plus fort, une partie dans un domaine plus champ faible. La modification du rayon de rotation crée une dérive (Fig. 3.7). Une particule chargée tournant autour d’une ligne de champ peut être considérée comme dipôle magnétiqueéquivalent courant circulaire. L'expression de la vitesse de dérive du gradient peut être obtenue à partir de expression célèbre pour la force agissant sur un dipôle magnétique dans un champ non uniforme :
- force diamagnétique qui pousse un dipôle magnétique hors de champ fort, Où
,
, Où composante transversale au champ magnétique énergie cinétique particules. Pour un champ magnétique, comme on peut le montrer, la relation suivante est valable :
, Où R. cr- rayon de courbure de la ligne de force, - vecteur normal unitaire.

La vitesse de dérive diamagnétique (gradient), où - binormal à la ligne électrique. La direction de dérive le long de la binormale est différente pour les électrons et les ions.

Conférence n° 3. MOUVEMENT DE DÉRIVE DE PARTICULES CHARGÉES Mouvement dans un champ magnétique non uniforme. approximation de dérive - conditions d'applicabilité, cours n°3.
MOUVEMENT DE DÉRIVE DES PARTICULES CHARGÉES
Mouvement dans un champ magnétique non uniforme. Approximation de la dérive - conditions d'applicabilité,
vitesse de dérive. Dérive dans un champ magnétique non uniforme. Invariant adiabatique.
Mouvement dans des champs électriques et magnétiques croisés.
Mouvement dans des champs E H homogènes croisés.
L'approximation de la dérive est applicable s'il est possible de distinguer
une vitesse constante identique pour toutes les particules du même type
dérive, indépendante de la direction des vitesses des particules. Le champ magnétique n'est pas
influence le mouvement des particules dans la direction du champ magnétique. Donc la vitesse
la dérive ne peut être dirigée que perpendiculairement au champ magnétique.
E.H.
Vdr c
H2
- vitesse de dérive.
Condition d’applicabilité du mouvement de dérive E H
dans les domaines :
E
V
H
c
Pour déterminer les trajectoires possibles des particules chargées dans les champs, considérons
équation du mouvement pour la composante de vitesse de rotation :
. q
mu
c
euh

Si la condition d'approximation de la dérive n'est pas remplie, c'est-à-dire que l'action du champ électrique n'est pas compensée par l'action du magnésium

Mouvement de dérive de particules chargées dans un champ magnétique non uniforme.

Dérive de particules chargées le long du plan d’un saut de champ magnétique. Dérive de gradient.

Dérive dans un champ magnétique à courant continu.

Dérive centrifuge (inertielle).

Dérive de polarisation.

10. Dérive toroïdale et transformation rotationnelle

Conférence n°3.

Mouvement dans un champ magnétique non uniforme. Approximation de la dérive - conditions d'applicabilité, vitesse de dérive. Dérive dans un champ magnétique non uniforme. Invariant adiabatique. Mouvement dans des champs électriques et magnétiques croisés. Le cas général des champs croisés de toute intensité et d'un champ magnétique.

III. Mouvement de dérive des particules chargées

§3.1. Mouvement dans des champs homogènes traversés.

Considérons le mouvement des particules chargées dans des champs croisés dans l'approximation de la dérive. L'approximation de la dérive est applicable s'il est possible d'identifier une certaine vitesse de dérive constante, identique pour toutes les particules du même type, indépendante de la direction des vitesses des particules :
, Où
- vitesse de dérive. Montrons que cela peut être fait pour le mouvement de particules chargées dans des directions croisées.
champs. Comme nous l’avons montré précédemment, le champ magnétique n’affecte pas le mouvement des particules dans la direction du champ magnétique. Par conséquent, la vitesse de dérive ne peut être dirigée que perpendiculairement à la vitesse magnétique, c'est-à-dire soit :
, et
, Où
. Équation du mouvement :
(on écrit toujours le multiplicateur dans le SGH). Alors pour la composante transversale de la vitesse :
, on substitue le développement en termes de vitesse de dérive :
, c'est-à-dire
. Remplaçons cette équation par deux pour chaque composante et en tenant compte
, c'est-à-dire
, on obtient l'équation de la vitesse de dérive :
. En multipliant vectoriellement par le champ magnétique, on obtient :
. Compte tenu de la règle, on obtient
, où:

- vitesse de dérive. (3.1)

.

La vitesse de dérive ne dépend pas du signe de la charge ni de la masse, c'est-à-dire le plasma se déplace dans son ensemble. D’après la relation (3.1), il ressort clairement que lorsque
la vitesse de dérive devient supérieure à la vitesse de la lumière, ce qui signifie qu'elle perd son sens. Et le fait n’est pas qu’il soit nécessaire de prendre en compte des corrections relativistes. À
la condition d’approximation de dérive sera violée. La condition de l'approximation de la dérive pour la dérive des particules chargées dans un champ magnétique est que l'influence de la force provoquant la dérive doit être insignifiante pendant la période de révolution de la particule dans le champ magnétique, seulement dans ce cas la vitesse de dérive sera être constant. Cette condition peut s’écrire :
, à partir de laquelle nous obtenons la condition d'applicabilité du mouvement de dérive dans
champs :
.

Déterminer les trajectoires possibles des particules chargées dans
champs, considérons l'équation du mouvement pour la composante de vitesse de rotation :
, où
. Laissez l'avion ( x,oui) est perpendiculaire au champ magnétique. Vecteur tourne avec fréquence
(l'électron et l'ion tournent dans des directions différentes) dans le plan ( x,oui), restant constant en module.

Si la vitesse initiale de la particule se situe dans ce cercle, alors la particule se déplacera le long d’une épicycloïde.

Zone 2. Le cercle donné par l'équation
, correspond à une cycloïde. Lors de la rotation du vecteur le vecteur vitesse à chaque période passera par l'origine, c'est-à-dire que la vitesse sera égale à zéro. Ces moments correspondent à des points à la base de la cycloïde. La trajectoire est similaire à celle décrite par un point situé sur la jante d'une roue de rayon.
. La hauteur de la cycloïde est , c'est-à-dire proportionnel à la masse de la particule, donc les ions se déplaceront le long d'une cycloïde beaucoup plus élevée que les électrons, ce qui ne correspond pas à la représentation schématique de la Fig. 3.2.

Zone 3. La zone en dehors du cercle dans laquelle
, correspond à une trochoïde à anses (hypocycloïde) dont la hauteur
. Les boucles correspondent aux valeurs négatives de la composante de vitesse lorsque les particules se déplacent dans la direction opposée.

À PROPOS zone 4 : Point
(
) correspond à une droite. Si vous avez lancé une particule avec une vitesse initiale
, alors la force de la force électrique et magnétique à chaque instant est équilibrée, de sorte que la particule se déplace de manière rectiligne. On peut imaginer que toutes ces trajectoires correspondent au mouvement de points situés sur une roue de rayon
, donc pour toutes les trajectoires la période spatiale longitudinale
. Pour la période
Pour toutes les trajectoires, une compensation mutuelle des effets des champs électriques et magnétiques se produit. L'énergie cinétique moyenne de la particule reste constante
. Il est important de noter encore une fois que

Riz. 3.2. Trajectoires caractéristiques des particules dans
champs : 1) trochoïde sans anses ; 2) cycloïde ; 3) trochoïde avec boucles ; 4) droit.

Dérive de particules chargées, mouvement dirigé relativement lent de particules chargées sous l'influence diverses raisons, superposé au mouvement principal. Ainsi, par exemple, en passant courant électrique Grâce au gaz ionisé, les électrons, en plus de la vitesse de leur mouvement thermique aléatoire, acquièrent une petite vitesse dirigée le long du champ électrique. Dans ce cas, nous parlons de vitesse de dérive actuelle. Le deuxième exemple est D. z. y compris dans les champs croisés, lorsque la particule est soumise à des champs électriques et magnétiques mutuellement perpendiculaires. La vitesse d'une telle dérive est numériquement égale cE/H, Où Avec- la vitesse de la lumière, E- intensité du champ électrique en Système SGH unités , N- intensité du champ magnétique en Örstedach . Cette vitesse est dirigée perpendiculairement à E Et N et se superpose à la vitesse thermique des particules.

L.A. Artsimovich.

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Dans les problèmes astrophysiques et thermonucléaires intérêt important représente le comportement des particules dans un champ magnétique variant dans l'espace. Souvent, ce changement est assez faible, et une bonne approximation est la solution des équations du mouvement par la méthode de perturbation, obtenue pour la première fois par Alfvén. Le terme « suffisamment faible » signifie que la distance sur laquelle B change de manière significative en ampleur ou en direction est grande par rapport au rayon a de rotation de la particule. Dans ce cas, dans l'approximation zéro, on peut supposer que les particules se déplacent en spirale autour des lignes de champ magnétique avec une fréquence de rotation déterminée par

ampleur locale du champ magnétique. Dans l'approximation suivante, des changements lents dans l'orbite apparaissent, qui peuvent être représentés comme une dérive de leur centre principal (centre de rotation).

Le premier type de changement de champ spatial que nous considérerons est un changement dans la direction perpendiculaire à B. Soit un gradient de l'amplitude du champ dans la direction vecteur unitaire, perpendiculaire à B, donc . Alors, en première approximation, la fréquence de rotation peut s’écrire sous la forme

voici la coordonnée dans la direction et l'expansion s'effectue au voisinage de l'origine des coordonnées, pour laquelle Puisque B ne change pas de direction, le mouvement le long de B reste uniforme. Nous ne considérerons donc que le changement mouvement latéral. Après l'avoir écrit sous la forme , où est la vitesse transversale dans un champ uniforme, a est une petite correction, on substitue (12.102) dans l'équation du mouvement

(12.103)

Alors, en ne gardant que les termes du premier ordre, on obtient l'équation approchée

Des relations (12.95) et (12.96), il s'ensuit que dans un champ uniforme, la vitesse transversale et la coordonnée sont liées par les relations

(12.105)

où X est la coordonnée du centre de rotation dans le milieu non perturbé mouvement circulaire(ici Si dans (12.104) on exprime par alors on obtient

Cette expression montre qu'en plus du terme oscillant, il a une valeur moyenne non nulle égale à

Pour déterminer taille moyenne il suffit de tenir compte du fait que les composantes cartésiennes varient sinusoïdalement avec une amplitude a et un déphasage de 90°. Par conséquent, la valeur moyenne n’est affectée que par la composante parallèle, donc

(12.108)

Ainsi, la vitesse de dérive « gradient » est donnée par

(12.109)

ou sous forme vectorielle

L'expression (12.110) montre que pour des gradients de champ suffisamment faibles, lorsque la vitesse de dérive est faible par rapport à vitesse orbitale.

Figue. 12.6. Dérive de particules chargées due au gradient transversal du champ magnétique.

Dans ce cas, la particule tourne rapidement autour du centre principal, qui se déplace lentement dans la direction perpendiculaire à B et à la classe B. Direction de dérive particule positive est déterminé par l’expression (12.110). Pour une particule chargée négativement, la vitesse de dérive a signe opposé; ce changement de signe est associé à la définition de la dérive de gradient et peut être expliqué qualitativement en considérant le changement du rayon de courbure de la trajectoire lorsque la particule se déplace dans des régions où l'intensité du champ est supérieure et inférieure à la moyenne. Sur la fig. La figure 12.6 montre qualitativement le comportement de particules avec différents signes de charge.

Un autre type de changement de champ qui conduit à la dérive du centre principal d'une particule est la courbure des lignes de champ. Considérons ce qui est montré sur la Fig. 12.7 champ bidimensionnel indépendant de . Sur la fig. 12.7, a montre un champ magnétique uniforme parallèle à l'axe. La particule tourne autour d'une ligne de force dans un cercle de rayon a avec vitesse et se déplace simultanément avec. vitesse constante le long de la ligne électrique. Nous considérerons ce mouvement comme une approximation nulle du mouvement d'une particule dans le champ avec des lignes de champ courbes illustrées à la Fig. 12.7b, où le rayon de courbure local des lignes de champ R est grand par rapport à a.

Figue. 12.7. Dérive des particules chargées due à la courbure des lignes de champ. a - dans un champ magnétique uniforme constant, la particule se déplace en spirale le long des lignes de force ; b - la courbure des lignes de champ magnétique provoque une dérive, perpendiculaire au plan

La correction de première approximation peut être trouvée comme suit. Puisque la particule a tendance à se déplacer en spirale autour de la ligne de champ et que la ligne de champ est courbée, alors pour le mouvement du centre principal, cela équivaut à l'apparence accélération centrifuge On peut supposer que cette accélération se produit sous l'influence d'un champ électrique effectif

(12.111)

comme s'il était ajouté à un champ magnétique. Mais, d’après (12.98), la combinaison d’un champ électrique et d’un champ magnétique aussi efficaces conduit à une dérive centrifuge avec une vitesse

(121,2)

En utilisant la notation, nous écrivons l'expression de la vitesse de dérive centrifuge sous la forme

La direction de la dérive est déterminée produit vectoriel, dans lequel R est le rayon vecteur dirigé du centre de courbure vers l'emplacement de la particule. Le signe in (12.113) correspond à charge positive particules et ne dépend pas du signe de For particule négative la valeur devient négative et le sens de la dérive s'inverse.

Une dérivation plus précise, mais moins élégante, de la relation (12.113) peut être obtenue en résolvant directement les équations du mouvement. Si vous entrez coordonnées cylindriques avec l'origine des coordonnées au centre de courbure (voir Fig. 12.7, b), alors le champ magnétique n'aura qu'une composante -. Il est facile de montrer que. équation vectorielle le mouvement est réduit aux trois équations scalaires suivantes :

(12-114)

Si dans l’approximation zéro la trajectoire est une spirale avec un rayon petit par rapport au rayon de courbure, alors dans l’ordre le plus bas, à partir de la première équation (12.114) nous obtenons l’expression approximative suivante : Les particules de plasma gaussiennes avec température ont. une vitesse de dérive de cm/sec. Cela signifie qu'en une petite fraction de seconde, ils atteindront les parois de la chambre en raison de la dérive. Pour un plasma plus chaud, la vitesse de dérive est encore plus grande. Une façon de compenser la dérive de la géométrie toroïdale consiste à plier le tore en forme de huit. Puisque la particule fait habituellement de nombreuses révolutions à l'intérieur d'un tel système fermé, puis il traverse des régions où la courbure et le gradient ont tous deux divers signes, et dérive alternativement dans diverses directions. Par conséquent, au moins au premier ordre, la dérive moyenne qui en résulte s’avère être égal à zéro. Cette méthode d'élimination de la dérive provoquée par les changements spatiaux du champ magnétique est utilisée dans installations thermonucléaires type stellarateur. Le confinement du plasma dans de telles installations, contrairement aux installations utilisant l'effet pincement (voir chapitre 10, § 5-7), est réalisé à l'aide d'un fort champ magnétique longitudinal externe.