Quel est le cosinus de x ? Formules de base de la trigonométrie

Dans cet article, nous allons jeter un regard complet. Les identités trigonométriques de base sont des égalités qui établissent une connexion entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle, et permettent de trouver l'une de ces fonctions trigonométriques à travers un autre connu.

Listons immédiatement les principales identités trigonométriques que nous analyserons dans cet article. Écrivons-les dans un tableau, et ci-dessous nous donnerons le résultat de ces formules et fournirons les explications nécessaires.

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Relation entre le sinus et le cosinus d'un angle

Parfois, ils ne parlent pas des principales identités trigonométriques énumérées dans le tableau ci-dessus, mais d'une seule. identité trigonométrique de base gentil . L'explication de ce fait est assez simple : les égalités sont obtenues à partir de l'identité trigonométrique principale après avoir divisé ses deux parties par et respectivement, et les égalités Et découlent des définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente. Nous en parlerons plus en détail dans les paragraphes suivants.

C'est, un intérêt particulier représente précisément l'égalité, à laquelle on a donné le nom d'identité trigonométrique principale.

Avant de prouver l'identité trigonométrique principale, donnons sa formulation : la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est identiquement égale à un. Maintenant, prouvons-le.

L'identité trigonométrique de base est très souvent utilisée lorsque transformation expressions trigonométriques . Il permet de remplacer la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle par un. Non moins souvent, l'identité trigonométrique de base est utilisée dans ordre inverse: l'unité est remplacée par la somme des carrés du sinus et du cosinus de n'importe quel angle.

Tangente et cotangente par sinus et cosinus

Identités reliant la tangente et la cotangente au sinus et au cosinus d'un angle de vue et découlent immédiatement des définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente. En effet, par définition, le sinus est l'ordonnée de y, le cosinus est l'abscisse de x, la tangente est le rapport de l'ordonnée à l'abscisse, soit , et la cotangente est le rapport de l'abscisse à l'ordonnée, c'est-à-dire .

Grâce à une telle évidence des identités et La tangente et la cotangente sont souvent définies non pas par le rapport de l'abscisse et de l'ordonnée, mais par le rapport du sinus et du cosinus. Ainsi, la tangente d'un angle est le rapport du sinus au cosinus de cet angle, et la cotangente est le rapport du cosinus au sinus.

En conclusion de ce paragraphe, il convient de noter que les identités et avoir lieu pour tous les angles sous lesquels les fonctions trigonométriques qu'ils contiennent ont un sens. Donc la formule est valable pour tout autre que (sinon le dénominateur aura zéro, et nous n'avons pas défini la division par zéro), et la formule - pour tout , différent de , où z est quelconque .

Relation entre tangente et cotangente

Encore plus évident identité trigonométrique que les deux précédents, est l'identité reliant la tangente et la cotangente d'un angle de la forme . Il est clair que cela est valable pour tous les angles autres que , sinon la tangente ou la cotangente ne sont pas définies.

Preuve de la formule très simple. Par définition et d'où . La preuve aurait pu être réalisée un peu différemment. Depuis , Que .

Ainsi, la tangente et la cotangente du même angle sous lequel elles ont un sens sont .

Trigonométrie - coupe science mathématique, qui explore les fonctions trigonométriques et leur utilisation en géométrie. Le développement de la trigonométrie a commencé à l'époque la Grèce ancienne. Au Moyen Âge, les scientifiques du Moyen-Orient et de l’Inde ont apporté d’importantes contributions au développement de cette science.

Cet article est dédié à concepts de base et définitions de la trigonométrie. Il discute des définitions des fonctions trigonométriques de base : sinus, cosinus, tangente et cotangente. Leur signification est expliquée et illustrée dans le contexte de la géométrie.

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Initialement, les définitions des fonctions trigonométriques dont l'argument est un angle étaient exprimées en termes de rapports d'aspect triangle rectangle.

Définitions des fonctions trigonométriques

Le sinus d'un angle (sin α) est le rapport de la jambe opposée à cet angle à l'hypoténuse.

Le cosinus de l'angle (cos α) est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

Angle tangent (t g α) - rapport le côté opposéà celui adjacent.

Angle cotangent (c t g α) - le rapport du côté adjacent au côté opposé.

Ces définitions sont données pour l'angle aigu d'un triangle rectangle !

Donnons une illustration.

DANS triangle ABC avec angle droit C sinus de l'angle A égal au rapport jambe BC à l’hypoténuse AB.

Les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente permettent de calculer les valeurs de ces fonctions à partir des longueurs connues des côtés du triangle.

Important à retenir !

La plage de valeurs du sinus et du cosinus est de -1 à 1. En d'autres termes, le sinus et le cosinus prennent des valeurs de -1 à 1. La plage de valeurs de la tangente et de la cotangente est la droite numérique entière, c'est-à-dire que ces fonctions peuvent prendre n'importe quelle valeur.

Les définitions données ci-dessus s'appliquent aux angles aigus. En trigonométrie, on introduit la notion d'angle de rotation dont la valeur, contrairement à un angle aigu, n'est pas limitée à 0 à 90 degrés. L'angle de rotation en degrés ou en radians est exprimé par tout nombre réel compris entre - ∞ et + ∞.

DANS dans ce contexte Vous pouvez définir le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle de taille arbitraire. Imaginons cercle unitaire centré à l’origine du repère cartésien.

Le point initial A de coordonnées (1, 0) tourne autour du centre du cercle unité d'un certain angle α et va au point A 1. La définition est donnée en fonction des coordonnées du point A 1 (x, y).

Sinus (sin) de l'angle de rotation

Le sinus de l'angle de rotation α est l'ordonnée du point A 1 (x, y). péché α = y

Cosinus (cos) de l'angle de rotation

Le cosinus de l'angle de rotation α est l'abscisse du point A 1 (x, y). cos α = x

Tangente (tg) de l'angle de rotation

La tangente de l'angle de rotation α est le rapport de l'ordonnée du point A 1 (x, y) à son abscisse. t g α = y x

Cotangente (ctg) de l'angle de rotation

La cotangente de l'angle de rotation α est le rapport de l'abscisse du point A 1 (x, y) à son ordonnée. c t g α = x y

Le sinus et le cosinus sont définis pour n'importe quel angle de rotation. C'est logique, car l'abscisse et l'ordonnée d'un point après rotation peuvent être déterminées sous n'importe quel angle. La situation est différente avec la tangente et la cotangente. La tangente est indéfinie lorsqu'un point après rotation va à un point d'abscisse nulle (0, 1) et (0, - 1). Dans de tels cas, l'expression de la tangente t g α = y x n'a tout simplement pas de sens, puisqu'elle contient une division par zéro. La situation est similaire avec la cotangente. La différence est que la cotangente n'est pas définie dans les cas où l'ordonnée d'un point tend vers zéro.

Important à retenir !

Le sinus et le cosinus sont définis pour tout angle α.

La tangente est définie pour tous les angles sauf α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

La cotangente est définie pour tous les angles sauf α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Au moment de décider exemples pratiques ne dites pas "sinus de l'angle de rotation α". Les mots « angle de rotation » sont simplement omis, ce qui implique que le contexte montre déjà clairement de quoi il s’agit.

Nombres

Qu’en est-il de la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d’un nombre, et non de l’angle de rotation ?

Sinus, cosinus, tangente, cotangente d'un nombre

Sinus, cosinus, tangente et cotangente d'un nombre t est un nombre respectivement égal au sinus, au cosinus, à la tangente et à la cotangente dans t radian.

Par exemple, le sinus du nombre 10 π égal au sinus angle de rotation de 10 π rad.

Il existe une autre approche pour déterminer le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un nombre. Regardons-le de plus près.

N'importe qui nombre réel t un point du cercle unité est associé au centre à l'origine du repère cartésien rectangulaire. Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont déterminés grâce aux coordonnées de ce point.

Le point de départ du cercle est le point A de coordonnées (1, 0).

Nombre positif t

Nombre négatif t correspond au point auquel ira le point de départ s'il se déplace autour du cercle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et je suivrai le chemin t.

Maintenant que le lien entre un nombre et un point sur un cercle est établi, passons à la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente.

Sinus (péché) de t

Sinus d'un nombre t- ordonnée d'un point sur le cercle unité correspondant au nombre t. péché t = y

Cosinus (cos) de t

Cosinus d'un nombre t- abscisse du point du cercle unité correspondant au nombre t. cos t = x

Tangente (tg) de t

Tangente d'un nombre t- le rapport de l'ordonnée à l'abscisse d'un point du cercle unité correspondant au nombre t. t g t = y x = sin t cos t

Les dernières définitions sont conformes et ne contredisent pas la définition donnée au début de ce paragraphe. Point sur le cercle correspondant au numéro t, coïncide avec le point auquel va le point de départ après avoir tourné d'un angle t radian.

Fonctions trigonométriques d'argument angulaire et numérique

Chaque valeur de l'angle α correspond à une certaine valeur du sinus et du cosinus de cet angle. Tout comme tous les angles α autres que α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) correspondent à une certaine valeur tangente. La cotangente, comme indiqué ci-dessus, est définie pour tout α sauf α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

On peut dire que sin α, cos α, t g α, c t g α sont des fonctions de l'angle alpha, ou des fonctions de l'argument angulaire.

De même, on peut parler de sinus, cosinus, tangente et cotangente en fonctions d'un argument numérique. Chaque nombre réel t correspond à une certaine valeur du sinus ou du cosinus d'un nombre t. Tous les nombres autres que π 2 + π · k, k ∈ Z, correspondent à une valeur tangente. De même, la cotangente est définie pour tous les nombres sauf π · k, k ∈ Z.

Fonctions de base de la trigonométrie

Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont les fonctions trigonométriques de base.

Il ressort généralement du contexte quel argument de la fonction trigonométrique ( argument d'angle ou argument numérique) nous négocions avec.

Revenons aux définitions données au tout début et à l'angle alpha, qui est compris entre 0 et 90 degrés. Définitions trigonométriques le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont tout à fait cohérents avec définitions géométriques, donné en utilisant les proportions d'un triangle rectangle. Montrons-le.

Prenez un cercle unité dont le centre est un rectangle Système cartésien coordonnées Faisons pivoter le point de départ A (1, 0) d'un angle allant jusqu'à 90 degrés et traçons une perpendiculaire à l'axe des abscisses à partir du point résultant A 1 (x, y). Dans le triangle rectangle résultant, l'angle A 1 O H égal à l'angle tour α, la longueur de la jambe O H est égale à l'abscisse du point A 1 (x, y). La longueur de la jambe opposée à l'angle est égale à l'ordonnée du point A 1 (x, y), et la longueur de l'hypoténuse est égale à un, puisqu'il s'agit du rayon du cercle unité.

Conformément à la définition de la géométrie, le sinus de l'angle α est égal au rapport du côté opposé à l'hypoténuse.

péché α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Cela signifie que déterminer le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle à travers le rapport d'aspect équivaut à déterminer le sinus de l'angle de rotation α, alpha étant compris entre 0 et 90 degrés.

De même, la correspondance des définitions peut être montrée pour le cosinus, la tangente et la cotangente.

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La solution la plus simple équations trigonométriques.

Résoudre des équations trigonométriques de tout niveau de complexité revient en fin de compte à résoudre les équations trigonométriques les plus simples. Et dans ce meilleure aide encore une fois, il s'agit d'un cercle trigonométrique.

Rappelons les définitions du cosinus et du sinus.

Le cosinus d'un angle est l'abscisse (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point du cercle unité correspondant à une rotation d'un angle donné.

Le sinus d'un angle est l'ordonnée (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point du cercle unité correspondant à une rotation d'un angle donné.

Direction positive du mouvement le long cercle trigonométrique Un mouvement dans le sens antihoraire est pris en compte. Une rotation de 0 degré (ou 0 radian) correspond à un point de coordonnées (1;0)

Nous utilisons ces définitions pour résoudre des équations trigonométriques simples.

1. Résolvez l'équation

Cette équation est satisfaite par toutes les valeurs de l'angle de rotation qui correspondent aux points du cercle dont l'ordonnée est égale à .

Marquons un point d'ordonnée sur l'axe des ordonnées :

Réalisons ligne horizontale parallèle à l'axe des x jusqu'à ce qu'il croise le cercle. On obtient deux points situés sur le cercle et ayant une ordonnée. Ces points correspondent aux angles de rotation en et en radians :

Si on, en quittant le point correspondant à l'angle de rotation en radians, faire le tour cercle complet, on arrivera alors à un point correspondant à l'angle de rotation par radian et ayant la même ordonnée. Autrement dit, cet angle de rotation satisfait également notre équation. Nous pouvons faire autant de révolutions « à vide » que nous le souhaitons, en revenant au même point, et toutes ces valeurs d'angle satisferont notre équation. Le nombre de tours « au ralenti » sera désigné par la lettre (ou). Puisque nous pouvons faire ces révolutions à la fois en positif et en sens négatif, (ou ) peut prendre n’importe quelle valeur entière.

Autrement dit, la première série de solutions équation originale a la forme :

, , - ensemble d'entiers (1)

De même, la deuxième série de solutions a la forme :

, Où , . (2)

Comme vous l'avez peut-être deviné, cette série de solutions est basée sur le point du cercle correspondant à l'angle de rotation de .

Ces deux séries de solutions peuvent être combinées en une seule entrée :

Si nous prenons (c'est-à-dire pair) cette entrée, nous obtiendrons alors la première série de solutions.

Si nous prenons (c'est-à-dire impair) cette entrée, alors nous obtenons la deuxième série de solutions.

2. Résolvons maintenant l'équation

Puisqu'il s'agit de l'abscisse d'un point sur le cercle unité obtenu en tournant d'un angle, on marque le point avec l'abscisse sur l'axe :

Réalisons ligne verticale parallèle à l'axe jusqu'à ce qu'il coupe le cercle. Nous obtiendrons deux points situés sur un cercle et ayant une abscisse. Ces points correspondent aux angles de rotation en et en radians. Rappelons qu'en nous déplaçant dans le sens des aiguilles d'une montre, nous obtenons un angle de rotation négatif :

Écrivons deux séries de solutions :

,

,

(On arrive au point souhaité en partant du cercle complet principal, bien sûr.

Combinons ces deux séries en une seule entrée :

3. Résolvez l'équation

La tangente passe par le point de coordonnées (1,0) du cercle unité parallèle à l'axe OY

Marquons dessus un point avec une ordonnée égale à 1 (on recherche la tangente dont les angles sont égaux à 1) :

Relions ce point à l'origine des coordonnées par une ligne droite et marquons les points d'intersection de la ligne avec le cercle unité. Les points d'intersection de la droite et du cercle correspondent aux angles de rotation sur et :

Puisque les points correspondant aux angles de rotation qui satisfont notre équation se trouvent à une distance de radians les uns des autres, nous pouvons écrire la solution de cette façon :

4. Résolvez l'équation

La ligne des cotangentes passe par le point dont les coordonnées du cercle unité sont parallèles à l'axe.

Marquons un point d'abscisse -1 sur la ligne des cotangentes :

Relions ce point à l'origine de la ligne droite et continuons-le jusqu'à ce qu'il coupe le cercle. Cette droite coupera le cercle en des points correspondant aux angles de rotation en et en radians :

Puisque ces points sont séparés les uns des autres par une distance égale à , alors décision commune On peut écrire cette équation comme ceci :

Dans les exemples donnés illustrant la solution des équations trigonométriques les plus simples, nous avons utilisé valeurs du tableau fonctions trigonométriques.

Cependant, si le côté droit de l’équation contient une valeur non tabulaire, alors nous substituons la valeur dans la solution générale de l’équation :

SOLUTIONS SPÉCIALES :

Marquons les points sur le cercle dont l'ordonnée est 0 :

Marquons un seul point sur le cercle dont l'ordonnée est 1 :

Marquons un seul point sur le cercle dont l'ordonnée est égale à -1 :

Puisqu'il est d'usage d'indiquer les valeurs les plus proches de zéro, on écrit la solution comme suit :

Marquons les points sur le cercle dont l'abscisse est égale à 0 :

5.
Marquons un seul point sur le cercle dont l'abscisse est égale à 1 :

Marquons un seul point sur le cercle dont l'abscisse est égale à -1 :

Et des exemples un peu plus complexes :

1.

Sinus égal à un, si l'argument est égal

L'argument de notre sinus est égal, nous obtenons donc :

Divisons les deux côtés de l'égalité par 3 :

Répondre:

2.

Cosinus égal à zéro, si l'argument cosinus est égal à

L'argument de notre cosinus est égal à , on obtient donc :

Exprimons , pour ce faire on se déplace d'abord vers la droite avec le signe opposé :

Simplifions le côté droit :

Divisez les deux côtés par -2 :

Notez que le signe devant le terme ne change pas, puisque k peut prendre n'importe quelle valeur entière.

Répondre:

Et enfin, regardez le didacticiel vidéo « Sélection de racines dans une équation trigonométrique à l'aide de cercle trigonométrique"

Ceci conclut notre conversation sur la résolution d’équations trigonométriques simples. La prochaine fois, nous parlerons de la manière de décider.

Les notions de sinus (), cosinus (), tangente (), cotangente () sont inextricablement liées à la notion d'angle. Pour bien les comprendre, à première vue, notions complexes(qui provoquent un état d’horreur chez de nombreux écoliers), et pour nous assurer que « le diable n’est pas aussi effrayant qu’on le peint », commençons par le tout début et comprenons le concept d’angle.

Notion d'angle : radian, degré

Regardons la photo. Le vecteur a « tourné » par rapport au point d’un certain montant. Donc la mesure de cette rotation par rapport à la position initiale sera coin.

Que devez-vous savoir d’autre sur le concept d’angle ? Et bien sûr, les unités d'angle !

L'angle, tant en géométrie qu'en trigonométrie, peut être mesuré en degrés et en radians.

Un angle de (un degré) est appelé angle central dans un cercle, basé sur un arc de cercle égal à une partie du cercle. Ainsi, le cercle entier est constitué de « morceaux » d'arcs de cercle, ou l'angle décrit par le cercle est égal.

Autrement dit, la figure ci-dessus montre un angle égal à, c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle de la taille de la circonférence.

Un angle en radians est l'angle au centre d'un cercle sous-tendu par un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle. Eh bien, avez-vous compris ? Sinon, comprenons-le à partir du dessin.

La figure montre donc un angle égal à un radian, c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle (la longueur est égale à la longueur ou au rayon égal à la longueur arcs). Ainsi, la longueur de l'arc est calculée par la formule :

Où est l’angle central en radians.

Eh bien, sachant cela, pouvez-vous répondre combien de radians sont contenus dans l’angle décrit par le cercle ? Oui, pour cela, vous devez vous rappeler la formule de la circonférence. Elle est là:

Eh bien, corrélons maintenant ces deux formules et constatons que l’angle décrit par le cercle est égal. Autrement dit, en corrélant la valeur en degrés et en radians, nous obtenons cela. Respectivement, . Comme vous pouvez le constater, contrairement à « degrés », le mot « radian » est omis, car l'unité de mesure ressort généralement clairement du contexte.

Combien y a-t-il de radians ? C'est exact!

J'ai compris? Alors allez-y et corrigez-le :

Vous rencontrez des difficultés ? Alors regarde réponses:

Triangle rectangle : sinus, cosinus, tangente, cotangente d'un angle

Nous avons donc compris le concept d'angle. Mais qu’est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ? Voyons cela. Pour ce faire, un triangle rectangle nous aidera.

Comment s’appellent les côtés d’un triangle rectangle ? C'est vrai, l'hypoténuse et les jambes : l'hypoténuse est le côté qui se trouve à l'opposé de l'angle droit (dans notre exemple c'est le côté) ; les jambes sont les deux côtés restants et (ceux adjacents à angle droit), et, si l'on considère les jambes par rapport à l'angle, alors la jambe est la jambe adjacente et la jambe est l'opposée. Alors maintenant, répondons à la question : que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ?

Sinus d'angle- c'est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à l'hypoténuse.

Dans notre triangle.

Cosinus de l'angle- c'est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l'hypoténuse.

Dans notre triangle.

Tangente de l'angle- c'est le rapport du côté opposé (éloigné) au côté adjacent (proche).

Dans notre triangle.

Cotangente d'angle- c'est le rapport entre la jambe adjacente (proche) et la jambe opposée (éloignée).

Dans notre triangle.

Ces définitions sont nécessaires souviens-toi! Pour qu'il soit plus facile de se rappeler quelle jambe diviser en quoi, vous devez clairement comprendre que dans tangente Et cotangente seules les jambes sont assises et l'hypoténuse n'apparaît que dans sinus Et cosinus. Et puis vous pouvez créer une chaîne d’associations. Par exemple, celui-ci :

Cosinus → toucher → toucher → adjacent ;

Cotangente → toucher → toucher → adjacent.

Tout d'abord, vous devez vous rappeler que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, comme les rapports des côtés d'un triangle, ne dépendent pas des longueurs de ces côtés (au même angle). Ne crois pas? Assurez-vous ensuite en regardant la photo :

Prenons par exemple le cosinus d’un angle. Par définition, à partir d'un triangle : , mais on peut calculer le cosinus d'un angle à partir d'un triangle : . Vous voyez, les longueurs des côtés sont différentes, mais la valeur du cosinus d'un angle est la même. Ainsi, les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente dépendent uniquement de la grandeur de l'angle.

Si vous comprenez les définitions, alors allez-y et consolidez-les !

Pour le triangle représenté dans la figure ci-dessous, nous trouvons.

Eh bien, tu l'as eu ? Alors essayez-le vous-même : calculez la même chose pour l’angle.

Cercle unitaire (trigonométrique)

Comprenant les notions de degrés et de radians, nous avons considéré un cercle de rayon égal à. Un tel cercle s'appelle célibataire. Ce sera très utile lors de l’étude de la trigonométrie. Par conséquent, regardons-le un peu plus en détail.

Comme vous pouvez le voir, cercle donné construit dans un système de coordonnées cartésiennes. Le rayon du cercle est égal à un et le centre du cercle se trouve à l'origine, position de départ Le vecteur rayon est fixé le long de la direction positive de l'axe (dans notre exemple, il s'agit du rayon).

Chaque point du cercle correspond à deux nombres : la coordonnée de l'axe et la coordonnée de l'axe. Quels sont ces numéros de coordonnées ? Et de manière générale, qu’ont-ils à voir avec le sujet abordé ? Pour ce faire, nous devons nous souvenir du triangle rectangle considéré. Dans la figure ci-dessus, vous pouvez voir deux triangles rectangles entiers. Considérons un triangle. Il est rectangulaire car perpendiculaire à l’axe.

A quoi est égal le triangle ? C'est exact. De plus, nous savons qu’il s’agit du rayon du cercle unité, ce qui signifie . Remplaçons cette valeur dans notre formule du cosinus. Voici ce qui se passe :

A quoi est égal le triangle ? Oui bien sur, ! Remplacez la valeur du rayon dans cette formule et obtenez :

Alors, pouvez-vous dire quelles sont les coordonnées d’un point appartenant à un cercle ? Eh bien, pas question ? Et si vous vous rendiez compte de cela et que vous n’étiez que des chiffres ? A quelle coordonnée correspond-il ? Et bien sûr, les coordonnées ! Et à quelle coordonnée correspond-elle ? C'est vrai, les coordonnées ! Donc point final.

À quoi valent donc et sont égaux ? C'est vrai, utilisons les définitions correspondantes de tangente et de cotangente et obtenons cela, a.

Et si l'angle est plus grand ? Par exemple, comme sur cette photo :

Qu'est-ce qui a changé dans dans cet exemple? Voyons cela. Pour ce faire, revenons à un triangle rectangle. Considérons un triangle rectangle : angle (comme adjacent à un angle). Quelles sont les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour un angle ? C'est vrai, nous adhérons aux définitions correspondantes des fonctions trigonométriques :

Eh bien, comme vous pouvez le constater, la valeur du sinus de l'angle correspond toujours à la coordonnée ; la valeur du cosinus de l'angle - la coordonnée ; et les valeurs de tangente et de cotangente aux rapports correspondants. Ainsi, ces relations s’appliquent à toute rotation du rayon vecteur.

Il a déjà été mentionné que la position initiale du rayon vecteur se situe dans la direction positive de l’axe. Jusqu’à présent, nous avons fait pivoter ce vecteur dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, mais que se passe-t-il si nous le faisons pivoter dans le sens des aiguilles d’une montre ? Rien d'extraordinaire, vous obtiendrez aussi un angle d'une certaine valeur, mais seulement il sera négatif. Ainsi, en faisant tourner le rayon vecteur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous obtenons angles positifs , et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre - négatif.

Ainsi, nous savons qu’une révolution entière du rayon vecteur autour d’un cercle est ou. Est-il possible de faire pivoter le rayon vecteur vers ou vers ? Bien sûr que tu peux! Dans le premier cas donc, le rayon vecteur fera un tour complet et s'arrête en position ou.

Dans le deuxième cas, c'est-à-dire que le rayon vecteur fera trois tours complets et s'arrêtera en position ou.

Ainsi, à partir des exemples ci-dessus, nous pouvons conclure que les angles qui diffèrent par ou (où est un nombre entier) correspondent à la même position du rayon vecteur.

La figure ci-dessous montre un angle. La même image correspond au coin, etc. Cette liste peut être poursuivie indéfiniment. Tous ces angles peuvent être écrits par la formule générale ou (où est un nombre entier)

Maintenant, connaissant les définitions des fonctions trigonométriques de base et en utilisant le cercle unité, essayez de répondre quelles sont les valeurs :

Voici un cercle unitaire pour vous aider :

Vous rencontrez des difficultés ? Alors découvrons-le. Nous savons donc que :

A partir de là, on détermine les coordonnées des points correspondant à certaines mesures d'angle. Bon, commençons dans l'ordre : l'angle à correspond à un point avec des coordonnées, donc :

N'existe pas;

De plus, en adhérant à la même logique, nous découvrons que les coins correspondent respectivement à des points avec des coordonnées. Sachant cela, il est facile de déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques aux points correspondants. Essayez-le vous-même d'abord, puis vérifiez les réponses.

Réponses:

N'existe pas

N'existe pas

N'existe pas

N'existe pas

Ainsi, nous pouvons faire le tableau suivant :

Il n’est pas nécessaire de mémoriser toutes ces valeurs. Il suffit de rappeler la correspondance entre les coordonnées des points sur le cercle unité et les valeurs des fonctions trigonométriques :

Mais les valeurs des fonctions trigonométriques des angles dans et, données dans le tableau ci-dessous, il faut se souvenir:

N'ayez pas peur, nous allons maintenant vous montrer un exemple assez simple pour retenir les valeurs correspondantes:

Pour utiliser cette méthode, il est essentiel de mémoriser les valeurs du sinus pour les trois mesures d'angle (), ainsi que la valeur de la tangente de l'angle. Connaissant ces valeurs, il est assez simple de restituer l'intégralité du tableau - les valeurs du cosinus sont transférées conformément aux flèches, soit :

Sachant cela, vous pouvez restaurer les valeurs de. Le numérateur " " correspondra et le dénominateur " " correspondra. Les valeurs cotangentes sont transférées conformément aux flèches indiquées sur la figure. Si vous comprenez cela et que vous vous souvenez du diagramme avec les flèches, il suffira alors de mémoriser toutes les valeurs du tableau.

Coordonnées d'un point sur un cercle

Est-il possible de trouver un point (ses coordonnées) sur un cercle, connaître les coordonnées du centre du cercle, son rayon et son angle de rotation?

Bien sûr que tu peux! Sortons-le formule générale trouver les coordonnées d'un point.

Par exemple, voici un cercle devant nous :

On nous dit que le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut trouver les coordonnées d'un point obtenues en faisant pivoter le point de degrés.

Comme le montre la figure, la coordonnée du point correspond à la longueur du segment. La longueur du segment correspond à la coordonnée du centre du cercle, c'est-à-dire qu'elle est égale. La longueur d'un segment peut être exprimée en utilisant la définition du cosinus :

Ensuite, nous avons cela pour la coordonnée du point.

En utilisant la même logique, nous trouvons la valeur de coordonnée y du point. Ainsi,

Alors, dans vue générale les coordonnées des points sont déterminées par les formules :

Coordonnées du centre du cercle,

Rayon du cercle,

L'angle de rotation du rayon vectoriel.

Comme vous pouvez le constater, pour le cercle unité que nous considérons, ces formules sont considérablement réduites, puisque les coordonnées du centre sont égales à zéro et le rayon est égal à un :

Eh bien, essayons ces formules en nous entraînant à trouver des points sur un cercle ?

1. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.

2. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.

3. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.

4. Le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut retrouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.

5. Le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut retrouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.

Vous avez du mal à trouver les coordonnées d'un point sur un cercle ?

Résolvez ces cinq exemples (ou apprenez à les résoudre) et vous apprendrez à les trouver !

1.

Vous pouvez le remarquer. Mais on sait ce qui correspond à une révolution complète point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage. Sachant cela, on trouve les coordonnées recherchées du point :

2. Le cercle unité est centré en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :

Vous pouvez le remarquer. On sait ce qui correspond à deux tours complets du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage. Sachant cela, on trouve les coordonnées recherchées du point :

Le sinus et le cosinus sont des valeurs de tableau. Nous rappelons leurs significations et obtenons :

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

3. Le cercle unité est centré en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :

Vous pouvez le remarquer. Représentons l'exemple en question dans la figure :

Le rayon fait des angles égaux à et avec l'axe. Sachant que les valeurs du tableau du cosinus et du sinus sont égales, et ayant déterminé que le cosinus prend ici Sens négatif, et le sinus est positif, on a :

Plus de détails exemples similaires sont compris lors de l'étude des formules de réduction des fonctions trigonométriques dans le sujet.

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

4.

Angle de rotation du rayon du vecteur (par condition)

Pour déterminer les signes correspondants du sinus et du cosinus, nous construisons un cercle et un angle unitaires :

Comme vous pouvez le voir, la valeur est positive et la valeur est négative. Connaissant les valeurs tabulaires des fonctions trigonométriques correspondantes, on obtient que :

Remplaçons les valeurs obtenues dans notre formule et trouvons les coordonnées :

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

5. Pour résoudre ce problème, nous utilisons des formules sous forme générale, où

Coordonnées du centre du cercle (dans notre exemple,

Rayon du cercle (par condition)

Angle de rotation du rayon du vecteur (par condition).

Remplaçons toutes les valeurs dans la formule et obtenons :

et - les valeurs du tableau. Rappelons-les et substituons-les dans la formule :

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

RÉSUMÉ ET FORMULES DE BASE

Le sinus d'un angle est le rapport entre la jambe opposée (lointaine) et l'hypoténuse.

Le cosinus d'un angle est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l'hypoténuse.

La tangente d'un angle est le rapport entre le côté opposé (éloigné) et le côté adjacent (proche).

La cotangente d'un angle est le rapport entre le côté adjacent (proche) et le côté opposé (éloigné).

Exemples:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument et signification

Cosinus d'un angle aigu

Cosinus d'un angle aigu peut être déterminé à l'aide d'un triangle rectangle - il est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

Exemple :

1) Soit un angle donné et nous devons déterminer le cosinus de cet angle.

2) Complétons n’importe quel triangle rectangle sur cet angle.

3) Après avoir mesuré, fêtes nécessaires, on peut calculer le cosinus.

Cosinus d'un nombre

Le cercle numérique vous permet de déterminer le cosinus de n'importe quel nombre, mais vous trouvez généralement le cosinus des nombres lié d'une manière ou d'une autre à : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Par exemple, pour le nombre \(\frac(π)(6)\) - le cosinus sera égal à \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Et pour le nombre \(-\)\(\frac(3π)(4)\) il sera égal à \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (environ \ (-0,71\)).

Pour le cosinus d'autres nombres souvent rencontrés dans la pratique, voir.

La valeur du cosinus est toujours comprise entre \(-1\) et \(1\). Dans ce cas, le cosinus peut être calculé pour absolument n'importe quel angle et n'importe quel nombre.

Cosinus de n'importe quel angle

Grâce au cercle numérique, vous pouvez déterminer le cosinus non seulement d'un angle aigu, mais aussi d'un angle obtus, négatif et même supérieur à \(360°\) (tour complet). Comment faire cela est plus facile à voir une fois qu'à entendre \(100\) fois, alors regardez l'image.

Maintenant une explication : supposons que nous devions déterminer le cosinus de l'angle KOA Avec mesure de degré en \(150°\). Combiner le point À PROPOS avec le centre du cercle et le côté D'ACCORD– avec l’axe \(x\). Après cela, réservez \(150°\) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Puis l'ordonnée du point UN va nous montrer le cosinus de cet angle.

Si l'on s'intéresse à un angle avec une mesure en degré, par exemple en \(-60°\) (angle KOV), faites de même, mais réglez \(60°\) dans le sens des aiguilles d'une montre.

Et enfin, l'angle est supérieur à \(360°\) (angle CBS) - tout est semblable au stupide, seulement après avoir fait un tour complet dans le sens des aiguilles d'une montre, nous passons au deuxième cercle et "obtenons le manque de degrés". Plus précisément, dans notre cas, l'angle \(405°\) est tracé comme \(360° + 45°\).

Il est facile de deviner que pour tracer un angle, par exemple en \(960°\), il faut faire deux tours (\(360°+360°+240°\)), et pour un angle en \(2640 °\) - sept entiers.

Comment pourriez-vous remplacer à la fois le cosinus d'un nombre et le cosinus angle arbitraire est défini de manière presque identique. Seule la façon dont le point est trouvé sur le cercle change.

Signes cosinus par quarts

À l'aide de l'axe des cosinus (c'est-à-dire l'axe des abscisses, surligné en rouge sur la figure), il est facile de déterminer les signes des cosinus le long du cercle numérique (trigonométrique) :

Là où les valeurs sur l'axe vont de \(0\) à \(1\), le cosinus aura un signe plus (quarts I et IV - zone verte),
- où les valeurs sur l'axe vont de \(0\) à \(-1\), le cosinus aura un signe moins (quarts II et III - zone violette).

Relation avec d'autres fonctions trigonométriques :

Solution de l'équation \(\cos⁡x=a\)

La solution de l'équation \(\cos⁡x=a\), où \(a\) est un nombre non supérieur à \(1\) et non inférieur à \(-1\), c'est-à-dire \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Si \(a>1\) ou \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Résolvons l'équation en utilisant le cercle numérique. Pour ça:
1) Construisons les axes.
2) Construisons un cercle.
3) Sur l'axe cosinus (axe \(y\)) marquez le point \(\frac(1)(2)\) .
4) Tracez une perpendiculaire à l’axe du cosinus passant par ce point.
5) Marquez les points d'intersection de la perpendiculaire et du cercle.
6) Signons les valeurs de ces points : \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Notons toutes les valeurs correspondant à ces points à l'aide de la formule \(x=t+2πk\), \(k∈Z\) :
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Répondre: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Fonction \(y=\cos(x)\)

Si l'on trace les angles en radians le long de l'axe \(x\), et les valeurs de cosinus correspondant à ces angles le long de l'axe \(y\), on obtient le graphique suivant :

Ce graphe est appelé et possède les propriétés suivantes :

Le domaine de définition est n'importe quelle valeur de x : \(D(\cos(⁡x))=R\)
- plage de valeurs – de \(-1\) à \(1\) inclus : \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- même : \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- périodique de période \(2π\) : \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- points d'intersection avec les axes de coordonnées :
axe des abscisses : \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), où \(n ϵ Z\)
Axe Y : \((0;1)\)
- intervalles de constance de signe :
la fonction est positive sur les intervalles : \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), où \(n ϵ Z\)
la fonction est négative sur les intervalles : \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), où \(n ϵ Z\)
- intervalles d'augmentation et de diminution :
la fonction augmente sur les intervalles : \((π+2πn;2π+2πn)\), où \(n ϵ Z\)
la fonction décroît sur les intervalles : \((2πn;π+2πn)\), où \(n ϵ Z\)
- les maximums et les minimums de la fonction :
la fonction a une valeur maximale \(y=1\) aux points \(x=2πn\), où \(n ϵ Z\)
la fonction a une valeur minimale \(y=-1\) aux points \(x=π+2πn\), où \(n ϵ Z\).