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DÉRIVÉ– dérivée de la fonction oui = F(X), donné sur un certain intervalle ( un, b) au point X de cet intervalle est appelée la limite vers laquelle tend le rapport de l'incrément de la fonction Fà ce stade à l'incrément correspondant de l'argument lorsque l'incrément de l'argument tend vers zéro.

La dérivée est généralement notée comme suit :

D'autres désignations sont également largement utilisées :

Vitesse instantanée.

Laissons le point M se déplace en ligne droite. Distance s point mobile, compté à partir d'une position initiale M 0 , ça dépend du temps t, c'est à dire. s il y a une fonction du temps t: s= F(t). Laissez à un moment donné t point en mouvement Métait à distance s depuis position initiale M 0, et à un instant suivant t+D t s'est retrouvée dans une position M 1 - à distance s+D sà partir de la position initiale ( voir photo.).

Ainsi, sur une période de temps D t distance s modifié du montant D s. Dans ce cas, ils disent que pendant la période D t ordre de grandeur s incrément reçu D s.

La vitesse moyenne ne peut pas dans tous les cas caractériser avec précision la vitesse de déplacement d'un point Mà un moment donné t. Si, par exemple, le corps au début de l'intervalle D t s'est déplacé très vite, et à la fin très lentement, puis vitesse moyenne ne pourra pas refléter les caractéristiques spécifiées du mouvement de la pointe et donner une idée de​​la véritable vitesse de son mouvement pour le moment t. Pour exprimer plus précisément la vitesse réelle en utilisant la vitesse moyenne, vous devez prendre une période de temps plus courte D t. Caractérise le plus complètement la vitesse de déplacement d'un point à l'heure actuelle t la limite vers laquelle tend la vitesse moyenne en D t® 0. Cette limite est appelée vitesse de déplacement en ce moment:

Ainsi, la vitesse de déplacement à un instant donné est appelée limite du rapport d'incrémentation de trajectoire D sà l'incrément de temps D t, lorsque l'incrément de temps tend vers zéro. Parce que

Signification géométrique de la dérivée. Tangente au graphique d'une fonction.

La construction de droites tangentes est l’un de ces problèmes qui ont conduit à la naissance du calcul différentiel. Le premier ouvrage publié relatif au calcul différentiel et péruvien Leibniz, avait pour nom Nouvelle méthode les maxima et les minima, ainsi que les tangentes, pour lesquelles ni les quantités fractionnaires ni irrationnelles, et un type spécial de calcul pour cela, ne servent d'obstacle.

Laissez la courbe être le graphique de la fonction oui =F(X)V système rectangulaire coordonnées ( cm. riz.).

À une certaine valeur X la fonction compte oui =F(X). Ces valeurs X Et oui le point sur la courbe correspond M 0(X, oui). Si l'argument X donner incrément D X, alors la nouvelle valeur de l'argument X+D X correspond à la nouvelle valeur de la fonction y+ D oui = F(X + D X). Le point correspondant de la courbe sera le point M 1(X+D X,oui+D oui). Si vous dessinez une sécante M 0M 1 et noté j l'angle formé par une transversale avec la direction positive de l'axe Bœuf, il ressort immédiatement de la figure que .

Si maintenant D X tend vers zéro, alors le point M 1 se déplace le long de la courbe, se rapprochant du point M 0 et angle j change avec D X. À Dx® 0 l'angle j tend vers une certaine limite a et la droite passant par le point M 0 et la composante avec la direction positive de l'axe des x, l'angle a, sera la tangente souhaitée. Sa pente est :

Ainsi, F´( X) = tga

ceux. valeur dérivée F´( X) pour une valeur d'argument donnée X est égal à la tangente de l'angle formé par la tangente au graphique de la fonction F(X) au point correspondant M 0(X,oui) avec direction d'axe positive Bœuf.

Différentiabilité des fonctions.

Définition. Si la fonction oui = F(X) a une dérivée au point X = X 0, alors la fonction est différentiable à ce stade.

Continuité d'une fonction ayant une dérivée. Théorème.

Si la fonction oui = F(X) est différentiable à un moment donné X = X 0, alors il est continu à ce stade.

Ainsi, la fonction ne peut pas avoir de dérivée aux points de discontinuité. La conclusion opposée est incorrecte, c'est-à-dire du fait qu'à un moment donné X = X 0 fonction oui = F(X) est continue ne signifie pas qu'elle est différentiable à ce stade. Par exemple, la fonction oui = |X| continu pour tout le monde X(–Ґ x x = 0 n'a pas de dérivée. À ce stade, il n'y a pas de tangente au graphique. Il y a une tangente droite et une tangente gauche, mais elles ne coïncident pas.

Quelques théorèmes sur les fonctions différentiables. Théorème sur les racines de la dérivée (théorème de Rolle). Si la fonction F(X) est continu sur le segment [un,b], est différenciable en tout points internes de ce segment et aux extrémités X = un Et X = b va à zéro ( F(un) = F(b) = 0), puis à l'intérieur du segment [ un,b] il y a au moins un point X= Avec, un c b, dans lequel la dérivée Fў( X) tend vers zéro, c'est-à-dire Fў( c) = 0.

Théorème de l'incrément fini (théorème de Lagrange). Si la fonction F(X) est continue sur l'intervalle [ un, b] et est différentiable en tous points intérieurs de ce segment, puis à l'intérieur du segment [ un, b] il y a au moins un point Avec, un c b ça

F(b) – F(un) = Fў( c)(b– un).

Théorème sur le rapport des incréments de deux fonctions (théorème de Cauchy). Si F(X) Et g(X) – deux fonctions continues sur le segment [un, b] et différentiable en tous les points intérieurs de ce segment, et gў( X) ne disparaît nulle part à l'intérieur de ce segment, puis à l'intérieur du segment [ un, b] il y a un tel point X = Avec, un c b ça

Dérivés de diverses commandes.

Laissez la fonction oui =F(X) est différentiable sur un certain intervalle [ un, b]. Valeurs dérivées F ў( X), d’une manière générale, dépendent de X, c'est à dire. dérivé F ў( X) est également fonction de X. En différenciant cette fonction, on obtient ce qu'on appelle la dérivée seconde de la fonction F(X), ce qui est noté F ўў ( X).

Dérivé n-ème ordre de fonction F(X) est appelée la dérivée (du premier ordre) de la dérivée n- 1- e et est désigné par le symbole oui(n) = (oui(n– 1))ў.

Différentiels de divers ordres.

Fonction différentielle oui = F(X), Où X– variable indépendante, oui mourir = F ў( X)dx, certaines fonctions de X, mais de X seul le premier facteur peut dépendre F ў( X), le deuxième facteur ( dx) est l'incrément de la variable indépendante X et ne dépend pas de la valeur de cette variable. Parce que mourir il y a une fonction de X, alors nous pouvons déterminer la différentielle de cette fonction. La différentielle de la différentielle d'une fonction est appelée différentielle du second ordre ou différentielle du second ordre de cette fonction et est notée d 2oui:

d(dx) = d 2oui = F ўў( X)(dx) 2 .

Différentiel n- du premier ordre est appelé la première différentielle du différentiel n- 1- ème commande:

jn o = d(dn–1oui) = F(n)(X)dx(n).

Dérivée partielle.

Si une fonction ne dépend pas d'un, mais de plusieurs arguments x je(je varie de 1 à n,je= 1, 2,… n),F(X 1,X 2,… xn), puis dans calculs différentiels le concept de dérivée partielle est introduit, qui caractérise le taux de changement d'une fonction de plusieurs variables lorsqu'un seul argument change, par exemple, x je. dérivée partielle du 1er ordre par rapport à x je est défini comme une dérivée ordinaire, et on suppose que tous les arguments sauf x je, sauvegarder valeurs constantes. Pour les dérivées partielles, la notation est introduite

Les dérivées partielles du 1er ordre ainsi définies (en fonctions des mêmes arguments) peuvent, à leur tour, avoir aussi des dérivées partielles, ce sont des dérivées partielles du second ordre, etc. De telles dérivées tirées d'arguments différents sont dites mixtes. Les dérivées mixtes continues du même ordre ne dépendent pas de l'ordre de différenciation et sont égales les unes aux autres.

Anna Tchougainova

Créer un ratio et calculer la limite.

D'où vient-il? tableau des dérivés et règles de différenciation? Merci à la seule limite. Cela semble magique, mais en réalité, il s’agit d’un tour de passe-passe et non d’une fraude. À la leçon Qu'est-ce qu'un dérivé ? J'ai commencé à regarder des exemples spécifiques, où, en utilisant la définition, j'ai trouvé les dérivées de linéaire et fonction quadratique. Aux fins de l'échauffement cognitif, nous continuerons à perturber tableau des dérivés, peaufinant l'algorithme et les solutions techniques :

Exemple 1

En gros, vous devez prouver cas particulier dérivé fonction de puissance, qui apparaît généralement dans le tableau : .

Solution techniquement formalisé de deux manières. Commençons par la première approche, déjà familière : l'échelle commence par une planche et la fonction dérivée commence par la dérivée en un point.

Considérons quelques point (spécifique) appartenant à domaine de définition fonction dans laquelle il y a une dérivée. Fixons l'incrément à ce stade (bien sûr, dans le cadres/o -JE) et composez l'incrément correspondant de la fonction :

Calculons la limite :

L'incertitude 0:0 est éliminée par une technique standard, envisagée au premier siècle avant JC. Multipliez le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée :

La technique pour résoudre une telle limite est discutée en détail à leçon d'introduction sur les limites des fonctions.

Puisque vous pouvez choisir N'IMPORTE QUEL point de l'intervalle comme qualité, alors, après avoir effectué le remplacement, nous obtenons :

Répondre

Réjouissons-nous encore une fois des logarithmes :

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction en utilisant la définition de la dérivée

Solution: Considérons une approche différente pour promouvoir la même tâche. C'est exactement la même chose, mais plus rationnel en termes de design. L'idée est de supprimer l'indice au début de la solution et d'utiliser la lettre à la place de la lettre.

Considérons arbitraire point appartenant à domaine de définition fonction (intervalle) et définissez l’incrément dedans. Mais ici, d'ailleurs, comme dans la plupart des cas, vous pouvez le faire sans aucune réserve, puisque fonction logarithmique différentiable en tout point du domaine de définition.

Alors l’incrément correspondant de la fonction est :

Trouvons la dérivée :

La simplicité du design est contrebalancée par la confusion qui peut survenir pour les débutants (et pas seulement). Après tout, nous sommes habitués au fait que la lettre « X » change dans la limite ! Mais ici tout est différent : - une statue antique, et - un visiteur vivant, marchant d'un pas vif dans le couloir du musée. Autrement dit, « x » est « comme une constante ».

Je commenterai l'élimination de l'incertitude étape par étape :

(1) Nous utilisons la propriété du logarithme .

(2) Entre parenthèses, divisez le numérateur par le dénominateur terme par terme.

(3) Au dénominateur, on multiplie et divise artificiellement par « x » pour profiter de limite remarquable , tandis que infinitésimal se démarque.

Répondre: par définition de dérivée :

Ou en bref :

Je propose de construire vous-même deux autres formules de tableau :

Exemple 3

DANS dans ce cas il est pratique d'amener immédiatement l'incrément composé à dénominateur commun. Échantillon approximatif terminer le devoir à la fin de la leçon (première méthode).

Exemple 3 :Solution  : considérez un point , appartenant au domaine de définition de la fonction . Fixons l'incrément à ce stade et composez l'incrément correspondant de la fonction :

Trouvons la dérivée au point :


Depuis qu'en tant que vous pouvez sélectionner n'importe quel point domaine de fonction , Que Et
Répondre : par définition de dérivé

Exemple 4

Trouver la dérivée par définition

Et ici, tout doit être réduit à merveilleuse limite . La solution est formalisée de la deuxième manière.

Un certain nombre d'autres dérivés tabulaires. Liste complète peuvent être trouvés dans manuel scolaire, ou, par exemple, le 1er volume de Fichtenholtz. Je ne vois pas beaucoup d'intérêt à copier des preuves de règles de différenciation à partir de livres - elles sont également générées par la formule.

Exemple 4 :Solution , appartenir à , et définissez l'incrément dedans

Trouvons la dérivée :

Utiliser une merveilleuse limite

Répondre : un prieuré

Exemple 5

Trouver la dérivée d'une fonction , en utilisant la définition de la dérivée

Solution: nous utilisons le premier style de conception. Considérons un point appartenant à et spécifions l'incrément de l'argument correspondant. Alors l’incrément correspondant de la fonction est :

Peut-être que certains lecteurs n’ont pas encore pleinement compris le principe selon lequel des augmentations doivent être réalisées. Prenez un point (nombre) et trouvez la valeur de la fonction qu'il contient : , c'est-à-dire dans la fonction au lieu de"X" devrait être remplacé. Maintenant, nous prenons également un nombre très spécifique et le substituons dans la fonction au lieu de"iksa": . On note la différence, et c'est nécessaire mettre complètement entre parenthèses.

Incrément de fonction compilé Il peut être avantageux de simplifier immédiatement. Pour quoi? Faciliter et raccourcir la solution à une limite supplémentaire.

On utilise des formules, on ouvre les parenthèses et on réduit tout ce qui peut être réduit :

La dinde est éviscérée, pas de problème avec le rôti :

Finalement:

Puisque vous pouvez choisir n'importe quelle qualité nombre réel, puis nous effectuons le remplacement et obtenons .

Répondre: un-prieuré.

À des fins de vérification, trouvons la dérivée en utilisant règles et tableaux de différenciation:

Il est toujours utile et agréable de connaître à l’avance la bonne réponse, il est donc préférable de différencier la fonction proposée de manière « rapide », soit mentalement, soit dans un brouillon, au tout début de la solution.

Exemple 6

Trouver la dérivée d'une fonction par définition de la dérivée

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Le résultat est évident :

Exemple 6 :Solution  : considérez un point , appartenir à , et définissez l'incrément de l'argument qu'il contient . Alors l’incrément correspondant de la fonction est :


Calculons la dérivée :


Ainsi:
Parce que vous pouvez choisir n'importe quel nombre réel, alors Et
Répondre : un-prieuré.

Revenons au style n°2 :

Exemple 7

Voyons immédiatement ce qui devrait se passer. Par règle de différenciation fonction complexe :

Solution: considérer point arbitraire, appartenant à , définissez l'incrément de l'argument et composez l'incrément de la fonction :

Trouvons la dérivée :


(1) Utilisation formule trigonométrique .

(2) Sous le sinus nous ouvrons les parenthèses, sous le cosinus nous présentons des termes similaires.

(3) Sous le sinus on réduit les termes, sous le cosinus on divise le numérateur par le dénominateur terme par terme.

(4) En raison de l'étrangeté du sinus, nous supprimons le « moins ». Sous le cosinus on indique que le terme .

(5) On effectue une multiplication artificielle au dénominateur afin d'utiliser première limite merveilleuse. Ainsi, l’incertitude est éliminée, mettons de l’ordre dans le résultat.

Répondre: a-prieuré

Comme vous pouvez le constater, la principale difficulté du problème considéré réside dans la complexité de la limite elle-même + une légère unicité du packaging. Dans la pratique, les deux méthodes de conception sont utilisées, c'est pourquoi je décris les deux approches de manière aussi détaillée que possible. Ils sont équivalents, mais néanmoins, selon mon impression subjective, il est plus conseillé aux nuls de s'en tenir à l'option 1 avec « X-zéro ».

Exemple 8

À l'aide de la définition, trouvez la dérivée de la fonction

Exemple 8 :Solution : considérons un point arbitraire , appartenir à , définissons l'incrément dedans et composez l'incrément de la fonction :

Trouvons la dérivée :

Nous utilisons la formule trigonométrique et la première limite remarquable :

Répondre : un prieuré

Examinons une version plus rare du problème :

Exemple 9

Trouvez la dérivée de la fonction au point en utilisant la définition de la dérivée.

Premièrement, quel devrait être le résultat final ? Nombre

Calculons la réponse de manière standard:

Solution: du point de vue de la clarté, cette tâche est beaucoup plus simple, puisque la formule considère plutôt une valeur spécifique.

Définissons l'incrément au point et composons l'incrément correspondant de la fonction :

Calculons la dérivée au point :

Nous utilisons une formule de différence tangente très rare et encore une fois nous réduisons la solution à la première limite merveilleuse:

Répondre: par définition de dérivée en un point.

Le problème n’est pas si difficile à résoudre et « en vue générale" - il suffit de remplacer par ou simplement en fonction de la méthode de conception. Dans ce cas, il est clair que le résultat ne sera pas un nombre, mais une fonction dérivée.

Exemple 10

À l'aide de la définition, trouvez la dérivée de la fonction en un point (dont l'un peut s'avérer infini), dont je parle Plan général déjà dit leçon théorique sur la dérivée.

Quelques fonctions définies par morceaux sont également différenciables aux points de « jonction » du graphique, par exemple, catdog a une dérivée commune et une tangente commune (axe des x) au point. Courbe, mais différenciable par ! Les personnes intéressées peuvent le vérifier par elles-mêmes à l’aide de l’exemple que nous venons de résoudre.

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Si vous suivez la définition, alors la dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport de l'incrément de la fonction Δ ouià l'incrément d'argument Δ X:

Tout semble clair. Mais essayez d'utiliser cette formule pour calculer, disons, la dérivée de la fonction F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X péché X. Si vous faites tout par définition, après quelques pages de calculs, vous vous endormirez simplement. Il existe donc des moyens plus simples et plus efficaces.

Pour commencer, notons que parmi toute la variété des fonctions, on peut distinguer les fonctions dites élémentaires. C'est relatif expressions simples, dont les dérivés sont calculés depuis longtemps et répertoriés dans le tableau. De telles fonctions sont assez faciles à mémoriser – ainsi que leurs dérivées.

Dérivées de fonctions élémentaires

Les fonctions élémentaires sont toutes celles listées ci-dessous. Les dérivées de ces fonctions doivent être connues par cœur. De plus, il n'est pas du tout difficile de les mémoriser - c'est pourquoi ils sont élémentaires.

Donc les dérivés fonctions élémentaires:

Si une fonction élémentaire est multipliée par une constante arbitraire, alors la dérivée de la nouvelle fonction est également facilement calculée :

(C · F)’ = C · F ’.

En général, les constantes peuvent être soustraites du signe de la dérivée. Par exemple:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Bien évidemment, les fonctions élémentaires peuvent s’ajouter les unes aux autres, se multiplier, se diviser – et bien plus encore. C'est ainsi qu'apparaîtront de nouvelles fonctions, non plus particulièrement élémentaires, mais aussi différenciées selon certaines règles. Ces règles sont discutées ci-dessous.

Dérivée de la somme et de la différence

Soit les fonctions données F(X) Et g(X), dont les dérivés nous sont connus. Par exemple, vous pouvez prendre les fonctions élémentaires évoquées ci-dessus. Ensuite, vous pouvez trouver la dérivée de la somme et de la différence de ces fonctions :

1. (F + g)’ = F ’ + g ’
2. (F − g)’ = F ’ − g ’

Ainsi, la dérivée de la somme (différence) de deux fonctions est égale à la somme (différence) des dérivées. Il peut y avoir plus de termes. Par exemple, ( F + g + h)’ = F ’ + g ’ + h ’.

À proprement parler, il n’existe pas de concept de « soustraction » en algèbre. Il existe une notion d'« élément négatif ». Donc la différence F − g peut être réécrit comme une somme F+ (−1) g, et il ne reste alors qu'une seule formule - la dérivée de la somme.

F(X) = X 2 + péché x ; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Fonction F(X) est la somme de deux fonctions élémentaires, donc :

F ’(X) = (X 2 + péché X)’ = (X 2)’ + (péché X)’ = 2X+ cosx ;

On raisonne de la même manière pour la fonction g(X). Seulement il y a déjà trois termes (du point de vue de l'algèbre) :

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Répondre:
F ’(X) = 2X+ cosx ;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Dérivé du produit

Les mathématiques sont une science logique, c'est pourquoi beaucoup de gens croient que si la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées, alors la dérivée du produit grève">égal au produit de dérivés. Mais allez vous faire foutre ! La dérivée d'un produit se calcule selon une toute autre formule. A savoir :

(F · g) ’ = F ’ · g + F · g ’

La formule est simple, mais elle est souvent oubliée. Et pas seulement les écoliers, mais aussi les étudiants. Le résultat est des problèmes mal résolus.

Tâche. Trouver des dérivées de fonctions : F(X) = X 3 cosx ; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Fonction F(X) est le produit de deux fonctions élémentaires, donc tout est simple :

F ’(X) = (X 3 parce que X)’ = (X 3)' parce que X + X 3 (car X)’ = 3X 2 parce que X + X 3 (−péché X) = X 2 (3cos X − X péché X)

Fonction g(X) le premier facteur est un peu plus compliqué, mais régime général cela ne change pas. Évidemment, le premier facteur de la fonction g(X) est un polynôme et sa dérivée est la dérivée de la somme. Nous avons:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Répondre:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X péché X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Veuillez noter qu'à la dernière étape, la dérivée est factorisée. Formellement, cela n'est pas nécessaire, mais la plupart des dérivées ne sont pas calculées seules, mais pour examiner la fonction. Cela signifie qu'en outre la dérivée sera assimilée à zéro, ses signes seront déterminés, et ainsi de suite. Dans un tel cas, il est préférable de factoriser une expression.

S'il y a deux fonctions F(X) Et g(X), et g(X) ≠ 0 sur l'ensemble qui nous intéresse, on peut définir une nouvelle fonction h(X) = F(X)/g(X). Pour une telle fonction vous pouvez également trouver la dérivée :

Pas faible, hein ? D'où vient le moins ? Pourquoi g 2 ? Et comme ça ! C'est l'un des plus formules complexes- Tu ne peux pas le comprendre sans bouteille. Il est donc préférable de l'étudier sur exemples spécifiques.

Tâche. Trouver des dérivées de fonctions :

Le numérateur et le dénominateur de chaque fraction contiennent des fonctions élémentaires, il suffit donc de connaître la formule de la dérivée du quotient :

Selon la tradition, factorisons le numérateur - cela simplifiera grandement la réponse :

Une fonction complexe n’est pas nécessairement une formule d’un demi-kilomètre. Par exemple, il suffit de prendre la fonction F(X) = péché X et remplacez la variable X, disons, sur X 2 + ln X. Cela va fonctionner F(X) = péché ( X 2 + ln X) - c'est une fonction complexe. Il a également un dérivé, mais il ne sera pas possible de le trouver en utilisant les règles évoquées ci-dessus.

Que dois-je faire? Dans de tels cas, remplacer une variable et une formule par la dérivée d'une fonction complexe permet de :

F ’(X) = F ’(t) · t', Si X est remplacé par t(X).

En règle générale, la situation concernant la compréhension de cette formule est encore plus triste qu'avec la dérivée du quotient. Par conséquent, il est également préférable de l'expliquer avec des exemples précis, avec Description détaillée chaque étape.

Tâche. Trouver des dérivées de fonctions : F(X) = e 2X + 3 ; g(X) = péché ( X 2 + ln X)

Notez que si dans la fonction F(X) au lieu de l'expression 2 X+ 3 sera facile X, alors on obtient une fonction élémentaire F(X) = e X. Par conséquent, nous effectuons un remplacement : soit 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = e t. On recherche la dérivée d'une fonction complexe à l'aide de la formule :

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Et maintenant, attention ! Nous effectuons le remplacement inverse : t = 2X+ 3. On obtient :

F ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Voyons maintenant la fonction g(X). Il faut évidemment le remplacer X 2 + ln X = t. Nous avons:

g ’(X) = g ’(t) · t' = (péché t)’ · t' = cos t · t ’

Remplacement inversé : t = X 2 + ln X. Alors:

g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

C'est tout! Comme le montre la dernière expression, tout le problème a été réduit au calcul de la somme dérivée.

Répondre:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) parce que ( X 2 + ln X).

Très souvent dans mes cours, au lieu du terme « dérivé », j'utilise le mot « premier ». Par exemple, une prime du montant égal à la somme coups. Est-ce plus clair ? Bon, c'est bien.

Ainsi, calculer la dérivée revient à s'affranchir de ces mêmes coups selon les règles évoquées ci-dessus. Comme dernier exemple Revenons à la puissance dérivée avec un exposant rationnel :

(X n)’ = n · X n − 1

Peu de gens savent que dans le rôle n pourrait bien agir un nombre fractionnaire. Par exemple, la racine est X 0,5. Et s’il y avait quelque chose d’extraordinaire sous la racine ? Encore une fois, le résultat sera une fonction complexe - ils aiment donner de telles constructions à essais et les examens.

Tâche. Trouvez la dérivée de la fonction :

Tout d’abord, réécrivons la racine sous la forme d’une puissance avec un exposant rationnel :

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Maintenant, nous effectuons un remplacement : laissez X 2 + 8X − 7 = t. On trouve la dérivée à l'aide de la formule :

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Faisons le remplacement inverse : t = X 2 + 8X− 7. Nous avons :

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Enfin, revenons aux sources :

Qu'est-ce qu'un dérivé ?

Tableau des dérivés.

La dérivée est l'un des concepts principaux mathématiques supérieures. Dans cette leçon, nous présenterons ce concept. Faisons simplement connaissance, sans stricte formulations mathématiques et des preuves.

Cette connaissance vous permettra de :

Comprendre l'essence des tâches simples avec des dérivés ;

Résoudre avec succès ces mêmes problèmes tâches difficiles;

Préparez-vous à des leçons plus sérieuses sur les produits dérivés.

Tout d'abord, une agréable surprise.)

La définition stricte de la dérivée repose sur la théorie des limites et la chose est assez compliquée. C'est bouleversant. Mais l'application pratique des dérivés, en règle générale, ne nécessite pas des connaissances aussi étendues et approfondies !

Pour réussir la plupart des tâches à l'école et à l'université, il suffit de savoir juste quelques termes- comprendre la tâche, et juste quelques règles- pour le résoudre. C'est tout. Ceci me rend heureux.

Commençons par faire connaissance ?)

Termes et désignations.

Il existe de nombreuses opérations mathématiques différentes en mathématiques élémentaires. Addition, soustraction, multiplication, exponentiation, logarithme, etc. Si vous ajoutez une opération supplémentaire à ces opérations, les mathématiques élémentaires deviennent plus élevées. Cette nouvelle opération s'appelle différenciation. La définition et la signification de cette opération seront discutées dans des leçons séparées.

Il est important de comprendre ici que la différenciation est simplement opération mathématique sur la fonction. Nous prenons n'importe quelle fonction et, selon Certaines règles, transformez-le. Le résultat sera nouvelle fonctionnalité. Cette nouvelle fonction s'appelle : dérivé.

Différenciation- action sur une fonction.

Dérivé- le résultat de cette action.

Tout comme, par exemple, somme- le résultat de l'addition. Ou privé- le résultat de la division.

Connaissant les termes, vous pouvez au moins comprendre les tâches.) Les formulations sont les suivantes : trouver la dérivée d'une fonction ; prenons la dérivée ; différencier la fonction ; calculer la dérivée et ainsi de suite. C'est tout même. Bien entendu, il existe également des tâches plus complexes, dans lesquelles la recherche de la dérivée (différenciation) ne sera qu'une des étapes de la résolution du problème.

La dérivée est indiquée par un tiret en haut à droite de la fonction. Comme ça: oui" ou f"(x) ou St) et ainsi de suite.

En lisant igrek coup, ef coup de x, es coup de te, eh bien, tu comprends...)

Un nombre premier peut également indiquer la dérivée d'une fonction particulière, par exemple : (2x+3)", (X 3 )" , (péché)" etc. Les dérivées sont souvent notées à l'aide de différentielles, mais nous ne considérerons pas une telle notation dans cette leçon.

Supposons que nous ayons appris à comprendre les tâches. Il ne reste plus qu'à apprendre à les résoudre.) Je vous le rappelle encore une fois : trouver la dérivée est transformation d'une fonction selon certaines règles.Étonnamment, ces règles sont très peu nombreuses.

Pour trouver la dérivée d’une fonction, il suffit de connaître trois choses. Trois piliers sur lesquels repose toute différenciation. Voici ces trois piliers :

1. Tableau des dérivées (formules de différenciation).

3. Dérivée d'une fonction complexe.

Commençons dans l'ordre. Dans cette leçon, nous examinerons le tableau des dérivées.

Tableau des dérivés.

Dans le monde - ensemble infini les fonctions. Parmi cette variété, certaines fonctions sont les plus importantes pour application pratique. Ces fonctions se retrouvent dans toutes les lois de la nature. A partir de ces fonctions, comme à partir de briques, on peut construire toutes les autres. Cette classe de fonctions est appelée fonctions élémentaires. Ce sont ces fonctions qui sont étudiées à l'école - linéaire, quadratique, hyperbole, etc.

Différenciation des fonctions « from scratch », c'est-à-dire Basé sur la définition de la dérivée et la théorie des limites, c'est une chose qui demande beaucoup de travail. Et les mathématiciens sont aussi des gens, oui, oui !) Alors ils ont simplifié leur vie (et celle de nous). Ils ont calculé avant nous les dérivées des fonctions élémentaires. Le résultat est un tableau de dérivées, où tout est prêt.)

La voici, cette plaque pour les fonctions les plus populaires. A gauche se trouve une fonction élémentaire, à droite sa dérivée.

	Fonction oui	Dérivée de la fonction y oui"
1	C ( constante)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - n'importe quel nombre)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x2)" = 2x
4	péché x	(péché x)" = cosx
	parce que x	(cos x)" = - péché x
	tgx
	ctg x
5	arc péché x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	un X
	e X
5	enregistrer un X
	lnx ( une = e)

Je recommande de prêter attention au troisième groupe de fonctions dans ce tableau de dérivées. La dérivée d’une fonction puissance est l’une des formules les plus courantes, sinon la plus courante ! Comprenez-vous l'indice ?) Oui, il est conseillé de connaître le tableau des dérivées par cœur. Soit dit en passant, ce n'est pas aussi difficile qu'il y paraît. Essayez de décider plus d'exemples, la table elle-même restera dans les mémoires !)

Comme vous le comprenez, trouver la valeur de table de la dérivée n'est pas la tâche la plus difficile. Par conséquent, très souvent, de telles tâches nécessitent des puces supplémentaires. Soit dans le libellé de la tâche, soit dans la fonction originale, qui ne semble pas être dans le tableau...

Regardons quelques exemples :

1. Trouvez la dérivée de la fonction y = x 3

Il n'y a pas une telle fonction dans le tableau. Mais il existe une dérivée d'une fonction puissance sous forme générale (troisième groupe). Dans notre cas n=3. Nous substituons donc trois au lieu de n et notons soigneusement le résultat :

(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

C'est ça.

Répondre: y" = 3x 2

2. Trouvez la valeur de la dérivée de la fonction y = sinx au point x = 0.

Cette tâche signifie que vous devez d'abord trouver la dérivée du sinus, puis substituer la valeur x = 0 dans ce même dérivé. Exactement dans cet ordre ! Sinon, il arrive qu'ils substituent immédiatement zéro dans la fonction d'origine... On nous demande de trouver non pas la valeur de la fonction d'origine, mais la valeur son dérivé. Permettez-moi de vous rappeler que la dérivée est une nouvelle fonction.

A l'aide de la tablette on trouve le sinus et la dérivée correspondante :

y" = (péché x)" = cosx

Nous substituons zéro dans la dérivée :

y"(0) = cos 0 = 1

Ce sera la réponse.

3. Différencier la fonction :

Quoi, ça inspire ?) Une telle fonction n'existe pas dans le tableau des dérivées.

Je vous rappelle que différencier une fonction, c'est simplement trouver la dérivée de cette fonction. Si vous oubliez la trigonométrie élémentaire, rechercher la dérivée de notre fonction est assez fastidieux. Le tableau n'aide pas...

Mais si nous voyons que notre fonction est cosinus double angle , alors tout s'améliore tout de suite !

Oui oui! N'oubliez pas que transformer la fonction d'origine avant différenciation tout à fait acceptable ! Et cela rend la vie beaucoup plus facile. En utilisant la formule du cosinus à double angle :

Ceux. notre fonction délicate n'est rien de plus que y = cosx. Et c'est - fonction de table. On obtient immédiatement :

Répondre: y" = - péché x.

Exemple pour les diplômés avancés et les étudiants :

4. Trouvez la dérivée de la fonction :

Bien entendu, une telle fonction n’existe pas dans le tableau des dérivées. Mais si tu te souviens mathématiques de base, actions avec degrés... Il est alors tout à fait possible de simplifier cette fonction. Comme ça:

Et x à la puissance un dixième est déjà une fonction tabulaire ! Troisième groupe, n=1/10. On écrit directement selon la formule :

C'est tout. Ce sera la réponse.

J'espère que tout est clair avec le premier pilier de différenciation - le tableau des dérivés. Reste à s'occuper des deux baleines restantes. Dans la prochaine leçon, nous apprendrons les règles de différenciation.

(\large\bf Dérivée d'une fonction)

Considérez la fonction y=f(x), spécifié sur l'intervalle (un B). Laisser X- n'importe quel point fixe de l'intervalle (un B), UN Δx - nombre arbitraire, tel que la valeur x+Δx appartient également à l'intervalle (un B). Ce nombre Δx appelé incrément d’argument.

Définition. Incrément de fonction y=f(x)à ce point X, correspondant à l'incrément d'argument Δx, appelons le numéro

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Nous croyons cela Δx ≠ 0. Considérer en un point fixe donné X le rapport de l'incrément de fonction à ce stade à l'incrément d'argument correspondant Δx

Nous appellerons cette relation la relation de différence. Puisque la valeur X on considère fixe, le rapport de différence est fonction de l'argument Δx. Cette fonction est définie pour toutes les valeurs d'argument Δx, appartenant à un quartier suffisamment petit du point Δx=0, à l'exception du point lui-même Δx=0. Ainsi, on est en droit de se poser la question de l'existence d'une limite fonction spécifiéeà Δx → 0.

Définition. Dérivée d'une fonction y=f(x) en un point fixe donné X appelé la limite à Δx → 0 rapport de différence, c'est-à-dire

À condition que cette limite existe.

Désignation. y′(x) ou f′(x).

Signification géométrique de la dérivée: Dérivée d'une fonction f(x)à ce point Xégale à la tangente de l'angle entre l'axe Bœuf et une tangente au graphique de cette fonction au point correspondant :

f′(x 0) = \tgα.

Signification mécanique de la dérivée: La dérivée du chemin par rapport au temps est égale à la vitesse mouvement rectiligne points:

Équation d'une tangente à une droite y=f(x)à ce point M 0 (x 0 ,y 0) prend la forme

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

La normale à une courbe en un point donné est la perpendiculaire à la tangente en ce même point. Si f′(x 0)≠ 0, alors l'équation de la normale à la droite y=f(x)à ce point M 0 (x 0 ,y 0) s'écrit ainsi :

Le concept de différentiabilité d'une fonction

Laissez la fonction y=f(x) défini sur un certain intervalle (un B), X- une valeur d'argument fixe de cet intervalle, Δx- tout incrément de l'argument tel que la valeur de l'argument x+Δx ∈ (a, b).

Définition. Fonction y=f(x) appelé différentiable en un point donné X, si incrément Δy cette fonction au point X, correspondant à l'incrément d'argument Δx, peut être représenté sous la forme

Δy = A Δx +αΔx,

Où UN- un nombre indépendant de Δx, UN α - fonction argument Δx, qui est infinitésimal à Δx→ 0.

Puisque le produit de deux fonctions infinitésimales αΔx est infinitésimal plus ordre élevé, comment Δx(propriété de 3 fonctions infinitésimales), alors on peut écrire :

Δy = A Δx +o(Δx).

Théorème. Pour que la fonction y=f(x)était différentiable à un moment donné X, il est nécessaire et suffisant qu'il ait une dérivée finie en ce point. Où UNE=f′(x), c'est

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

L'opération consistant à trouver la dérivée est généralement appelée différenciation.

Théorème. Si la fonction y=f(x) X, alors il est continu à ce stade.

Commentaire. De la continuité de la fonction y=f(x)à ce point X, d'une manière générale, la différentiabilité de la fonction ne suit pas f(x)à ce point. Par exemple, la fonction y=|x|- continu en un point x=0, mais n'a pas de dérivée.

Concept de fonction différentielle

Définition. Fonction différentielle y=f(x) le produit de la dérivée de cette fonction et de l'incrément de la variable indépendante est appelé X:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Pour la fonction y = x on a dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, c'est dx=Δx- le différentiel d'une variable indépendante est égal à l'incrément de cette variable.

Ainsi, nous pouvons écrire

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Différentiel mourir et incrémenter Δy les fonctions y=f(x)à ce point X, tous deux correspondant au même incrément d'argument Δx, d’une manière générale, ne sont pas égaux les uns aux autres.

Signification géométrique du différentiel: La différentielle d'une fonction est égale à l'incrément de l'ordonnée de la tangente au graphe de cette fonction lorsque l'argument est incrémenté Δx.

Règles de différenciation

Théorème. Si chacune des fonctions u(x) Et v(x) différentiable en un point donné X, puis la somme, la différence, le produit et le quotient de ces fonctions (quotient à condition que v(x)≠ 0) sont également différentiables à ce stade, et les formules sont valables :

Considérons la fonction complexe y=f(φ(x))≡ F(x), Où y=f(u), u=φ(x). Dans ce cas toi appelé argument intermédiaire, X - variable indépendante.

Théorème. Si y=f(u) Et u=φ(x) sont des fonctions différentiables de leurs arguments, alors la dérivée d'une fonction complexe y=f(φ(x)) existe et est égal au produit de cette fonction par rapport à l'argument intermédiaire et à la dérivée de l'argument intermédiaire par rapport à la variable indépendante, c'est-à-dire

Commentaire. Pour une fonction complexe qui est une superposition de trois fonctions y=F(f(φ(x))), la règle de différenciation a la forme

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

où sont les fonctions v = φ (x), u=f(v) Et y=F(u)- les fonctions différentiables de leurs arguments.

Théorème. Laissez la fonction y=f(x) augmente (ou diminue) et est continue dans un certain voisinage du point x0. Soit en plus cette fonction dérivable au point indiqué x0 et sa dérivée à ce stade f′(x 0) ≠ 0. Puis dans un certain voisinage du point correspondant oui 0 =f(x 0) l'inverse est défini pour y=f(x) fonction x=f -1 (y), et le indiqué fonction inverse différentiable au point correspondant oui 0 =f(x 0) et pour sa dérivée à ce stade oui la formule est valide

Tableau des dérivés

Invariance de la forme du premier différentiel

Considérons la différentielle d'une fonction complexe. Si y=f(x), x=φ(t)- les fonctions de leurs arguments sont différentiables, alors la dérivée de la fonction y=f(φ(t)) exprimé par la formule

y′ t = y′ x x′ t.

Prieuré A dy=y′ t dt, alors on obtient

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Nous avons donc prouvé

Propriété d'invariance de la forme de la première différentielle d'une fonction: comme dans le cas où l'argument X est une variable indépendante, et dans le cas où l'argument X elle-même est une fonction différentiable de la nouvelle variable, la différentielle mourir les fonctions y=f(x) est égal à la dérivée de cette fonction multipliée par la différentielle de l'argument dx.

Application du différentiel dans les calculs approximatifs

Nous avons montré que le différentiel mourir les fonctions y=f(x), d’une manière générale, n’est pas égal à l’incrément Δy cette fonction. Cependant, avec une précision allant jusqu'à l'infini petite fonction ordre de petitesse plus élevé que Δx, l'égalité approximative est valide

Δy ≈ dy.

Le rapport s'appelle l'erreur relative de l'égalité de cette égalité. Parce que Δy-dy=o(Δx), Que erreur relative de cette égalité devient arbitrairement petite à mesure que nous diminuons |Δх|.

Étant donné que Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f′(x)Δx, on a f(x+δx)-f(x) ≈ f′(x)Δx ou

f(x+δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Cette égalité approximative permet avec erreur o(Δx) remplacer la fonction f(x) dans un petit quartier de la pointe X(c'est-à-dire pour les petites valeurs Δx) fonction linéaire argument Δx, debout sur le côté droit.

Dérivés d'ordre supérieur

Définition. Dérivée seconde (ou dérivée du second ordre) d'une fonction y=f(x) est appelée la dérivée de sa dérivée première.

Notation pour la dérivée seconde d'une fonction y=f(x):

Signification mécanique de la dérivée seconde. Si la fonction y=f(x) décrit la loi du mouvement point matériel en ligne droite, alors la dérivée seconde f″(x)égal à l'accélération d'un point en mouvement à un instant donné X.

Les dérivées troisième et quatrième sont déterminées de la même manière.

Définition. nème dérivée (ou dérivée n(ème ordre) fonctions y=f(x) s'appelle sa dérivée n-1ème dérivée :

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Désignations : y", et IV, et V etc.