Spécifié partout axe des nombres formule

X.f. la variable aléatoire X, par définition, est X. f. sa distribution de probabilité

La méthode associée à l'utilisation de X. f. a été utilisée pour la première fois par A. M. Lyapunov et est devenue plus tard l'une des principales méthodes analytiques. méthodes de théorie des probabilités. Il est utilisé particulièrement efficacement pour prouver des théorèmes limites en théorie des probabilités, par exemple. le théorème central limite pour les variables aléatoires indépendantes de distribution identique à 2 moments se réduit à la relation élémentaire

Propriétés de base de X. f. 1) et défini positif, c'est-à-dire

Pour tout ensemble fini nombres complexes et arguments

2) uniformément continu sur tout l'axe

4)en particulier, il n'accepte que de vraies valeurs(et est même fonction) si et seulement si la probabiliste correspondante est symétrique, c'est-à-dire où

5) X.f. définit sans ambiguïté la mesure ; il y a un appel :

Pour tout intervalle (a, 6) dont les extrémités ont une m-mesure nulle. S'il est intégrable (absolument, si on l'entend au sens riemannien) alors fonction correspondante la distribution a ri

6) X.f. la convolution de deux mesures de probabilité (la somme de deux variables aléatoires indépendantes) est leur X. f.

Les trois propriétés suivantes expriment le lien entre l'existence de moments d'une variable aléatoire et le degré de régularité de sa fonction X.

7) Si pour du naturel P, alors pour tous les naturels, il existe des dérivées d'ordre r à partir de X. f. variable aléatoire X et l'égalité est vraie

8) Si existe alors

9) Si pour tout le monde

alors ça vaut pour tout le monde

En utilisant la méthode X.f. est principalement basé sur les propriétés ci-dessus des fonctions X., ainsi que sur les deux théorèmes suivants.
Théorème de Bochner (description de la classe des fonctions X.). Soit la fonction f donnée sur et f(0)=1. Pour que f soit X. f. une certaine mesure de probabilité, il est nécessaire et suffisant qu'elle soit continue et définie positive.
Théorème de Levy (correspondance). Soit une séquence de mesures de probabilité, et soit une séquence de leurs X.f. Puis converge faiblement vers une certaine mesure de probabilité (c'est-à-dire pour un continu arbitraire fonction limitée si et seulement si en chaque point converge vers un certain essaim fonction continue F; dans le cas de convergence, la fonction Il s'ensuit que le relatif (au sens faible convergence) d'une famille de mesures de probabilité équivaut à l'équicontinuité en zéro de la famille des fonctions X. correspondantes.
Le théorème de Bochner nous permet d'examiner la transformée de Fourier-Stieltjes entre un semi-groupe (par rapport à l'opération de convolution) de mesures de probabilité dans et un semi-groupe (par rapport à la multiplication ponctuelle) de fonctions continues définies positives égales à un à zéro. le théorème déclare que cela est algébrique. l'isomorphisme est également topologique. homéomorphisme, si dans le semi-groupe des mesures de probabilité on prend en compte la topologie de convergence faible, et dans le semi-groupe elle est positive certaines fonctions- topologie convergence uniforme sur ensembles limités.
Les expressions de X. f. maladies probabilistes de base (voir,), par exemple, X. f. La mesure gaussienne avec une variance moyenne est
Pour les variables aléatoires entières non négatives X, Avec X. f., son analogue est utilisé -

Associé à X. f. rapport
X. f. une mesure de probabilité dans un espace de dimension finie est définie de la même manière :

Où x> moyens . Les faits formulés ci-dessus sont également vrais pour X. f. mesures de probabilité dans

Allumé.: Lukach E., Fonctions caractéristiques, trad. de l'anglais, M., 1979 ; Feller V., Introduction à la théorie des probabilités et ses applications, vol 2. trans. de l'anglais, M., 1967 ; Prokhorov Yu., Rozanov Yu., Théorie des probabilités. Concepts de base. Théorèmes limites. Processus aléatoires, 2e éd., M., 1973 ; 3olotarev V. M., unidimensionnel répartition stable, M., 1983.
N.H.. Vakhanie.

Encyclopédie mathématique. - M. : Encyclopédie soviétique.

I.M. Vinogradov.

1977-1985.

Voyez ce qu'est « FONCTION CARACTÉRISTIQUE » dans d'autres dictionnaires : Fonction caractéristique : La fonction caractéristique en thermodynamique est une fonction par laquelle les propriétés thermodynamiques d'un système sont déterminées. La fonction caractéristique d'un ensemble est une fonction qui établit l'appartenance d'un élément à un ensemble... ... Wikipédia ;

En thermodynamique, fonction de l'état de paramètres indépendants qui déterminent l'état de la thermodynamique. systèmes. À X. f. inclure les potentiels thermodynamiques et entropiques. Par X... Encyclopédie physique fonction caractéristique- Fonction d'état système thermodynamique

paramètres thermodynamiques indépendants correspondants, caractérisé par le fait qu'à travers cette fonction et ses dérivées par rapport à ces paramètres, toute la thermodynamique... ...- dans la théorie des jeux coopératifs, un ratio qui détermine le montant des gains minimum pour toute coalition participant au jeu. Lorsque deux coalitions s'unissent, la valeur de H.f. ne sera pas inférieur à la somme de ces fonctions pour des fonctions non combinées... ... Dictionnaire économique et mathématique

En thermodynamique, fonction de l'état de paramètres indépendants qui déterminent l'état de la thermodynamique. systèmes. À X. f. inclure les potentiels thermodynamiques et entropiques. Par X...- būdingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visas termodinaminės sistemos savybes. atitikmenys : engl. fonction caractéristique rus. fonction caractéristique... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

En thermodynamique, fonction de l'état de paramètres indépendants qui déterminent l'état de la thermodynamique. systèmes. À X. f. inclure les potentiels thermodynamiques et entropiques. Par X...- būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys : engl. fonction caractéristique vok. Charakteristische Funktion, f rus. fonction caractéristique, f pranc. fonction caractéristique, f… Fizikos terminų žodynas - les ensembles de l'Espace X sont une fonction égale à 1 at et égale à 0 at (où CE est le complément de Ev X). Toute fonction avec des valeurs entre (0, 1) est une fonction X. d'un certain ensemble, à savoir un ensemble, Propriétés de X. fonctions : disjointes deux à deux, alors 6) si alors... Encyclopédie mathématique

L'espérance mathématique et ses propriétés.

Caractéristiques numériques des variables aléatoires.

Fonction caractéristique.

Conférence n°5

Section 2. Variables aléatoires.

Sujet 1. Fonction de distribution, densité de probabilité et caractéristiques numériques Variable aléatoire.

Objectif de la conférence : donner des connaissances sur les façons de décrire les variables aléatoires.

Questions du cours :

Littérature:

L1 - Bocharov P.P., Pechinkin A.V. Théorie des probabilités. Statistiques mathématiques. - 2e éd. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 296 p.

L2 - Gmurman, V. E. Théorie des probabilités et statistiques mathématiques : Manuel. manuel pour les universités/V. E. Gmurman. - 9e éd., effacé. - M. : Plus haut. école, 2005. - 479 p. : ill.

L3 - Nakhman A.D., Kosenkova I.V. Lignes. Théorie des probabilités et statistiques mathématiques. Développements méthodologiques. – Tambov : Maison d'édition TSTU, 2009.

L4 - Plotnikova S.V. Statistiques mathématiques. Développements méthodologiques. – Tambov : Maison d'édition TSTU, 2005. (fichier pdf)

Lors de la résolution de nombreux problèmes, au lieu de la fonction de distribution F(x) et p.v. p(x) la fonction caractéristique est appliquée. A l'aide de cette caractéristique, il s'avère opportun, par exemple, de déterminer certaines caractéristiques numériques du mot. et z.r. fonctions s.v.

Fonction caractéristique sl.v. est appelée la transformée de Fourier de son a.e. p(x):

, (2.6.1)

où est le paramètre qui est l'argument de la fonction caractéristique, - m.o. sl.v. (voir § 2.8.).

En postulant conversion inverse Fourier, on obtient une formule qui détermine a.e. sl.v. par sa fonction caractéristique

. (2.6.2)

Depuis la dimension p(x) inverse de dimension X, alors la quantité , et donc, sont sans dimension. L'argument a la dimension inverse X.

Utiliser la représentation (2.5.7) a.e. p(x) sous la forme d'une somme de fonctions delta, nous pouvons étendre la formule (1) aux r.v.

. (2.6.3)

Parfois, au lieu de la fonction caractéristique, il s'avère pratique d'en utiliser le logarithme :

Oui. (2.6.4)

Fonction Oui peut être appelé le deuxième ( logarithmique)fonction caractéristique sl.v. .

Notons le plus propriétés importantes fonction caractéristique.

. (2.6.5)

2. Pour une distribution symétrique, lorsque p(x)= p(-x), la partie imaginaire dans (1) est nulle, et donc la fonction caractéristique est une fonction paire réelle . Au contraire, si elle ne prend que des valeurs réelles, alors elle est paire et la distribution correspondante est symétrique.

3. Si s.v. est fonction linéaire sl.v. , alors sa fonction caractéristique est déterminée par l'expression

, (2.6.6)

Où un Et b- permanent.

4. Fonction caractéristique de la somme indépendant s.v. est égal au produit des fonctions caractéristiques des termes, c'est-à-dire si

. (2.6.7)

Cette propriété est particulièrement utile, car sinon, trouver a.e. montant de sl.v. est associée à de multiples répétitions de convolution, ce qui pose parfois des difficultés.

Ainsi, compte tenu de la relation sans ambiguïté entre la fonction de distribution, la densité de probabilité et la fonction caractéristique, cette dernière dans également peut être utilisé pour décrire s.v.

Discret s.v. peut prendre trois valeurs (aucune des impulsions n'est supprimée), (une impulsion est supprimée), (les deux impulsions sont supprimées). Les probabilités de ces valeurs sont respectivement égales :

D'ailleurs, vous venez de préconiser que l'étudiant ne connaisse rien à la continuité uniforme, et maintenant vous lui proposez des fonctions delta ? Correctement, je ne dirai rien.

Je suis heureux de vous revoir sur le sujet avec une volonté d'échanger quelles que soient les caractéristiques qui me concernent personnellement. Je suis intéressé par toi. L'étudiant doit savoir tout ce qui peut lui être demandé, mais il doit avant tout maîtriser le système de concepts, leur caractérisation et les relations entre eux et ne doit pas se limiter au cercle étroit de la section de la discipline qu'il étudie. dans ce moment et il ne devrait pas non plus s'agir d'un ouvrage de référence ambulant qui rappelle constamment un grand nombre de fonctions qui ne satisfont pas à l'une ou l'autre condition.
Dans le problème initial, il était nécessaire de déterminer si la fonction HF donnée était une variable aléatoire. L'étudiant se voit confier une telle tâche lorsque le concept de HF est introduit. Et le but de la décision tâches similaires est de consolider la compréhension de la relation entre CP et PR, ainsi que de consolider les connaissances sur les propriétés du CP.
Il existe deux manières de montrer qu'une fonction donnée est une HF : soit trouver la fonction qui lui correspond selon Fourier et vérifier qu'elle satisfait à la condition de normalisation et est positive, soit prouver une définition non négative fonction donnée et se référer au théorème de Bochner-Khinchin. En même temps, l'utilisation de théorèmes sur la représentation d'un SV sous la forme d'une combinaison linéaire d'autres SV de Rademacher ne contribue en rien à la compréhension des propriétés fondamentales du HF d'ailleurs, comme je l'ai indiqué plus haut, votre solution contient ; une série de Fourier voilée, c'est-à-dire qu'elle correspond effectivement à la première méthode.
Lorsqu'il faut montrer qu'une fonction donnée ne peut être un HF d'aucune SV, alors il suffit d'établir la défaillance d'une des propriétés du HF : une valeur unitaire à zéro, module borné par un, obtenant des valeurs correctes ​​pour les instants du PDF, continuité uniforme. Vérifier l'exactitude des valeurs des moments calculées via une fonction donnée équivaut mathématiquement à vérifier une continuité uniforme dans le sens où le fait de ne pas satisfaire l'une de ces propriétés peut servir la même base reconnaître l’inadéquation d’une fonction donnée. Cependant, la vérification de l'exactitude des valeurs de moment est formalisée : différencier et vérifier. Continuité uniforme, dans cas général, nous devons prouver que le succès de la résolution du problème dépend de potentiel créatifétudiant, sur sa capacité à « deviner ».
Dans le cadre de la discussion sur la « construction » du SV, je propose de considérer tâche simple: construisons un SV avec un HF de la forme : Où

les variables aléatoires sont liées de manière unique Transformée de Fourier. Par exemple, la densité de distribution f (x) d'une variable aléatoire X est exprimée de manière unique à travers sa fonction caractéristique en utilisant transformée de Fourier inverse:

où υ X (k) (0) est la valeur de la kème dérivée de la fonction caractéristique à t = 0.

variables aléatoires est égal au produit des fonctions caractéristiques des termes :

CONFÉRENCE 8 Variables aléatoires bidimensionnelles. Loi de distribution bidimensionnelle

Une variable aléatoire bidimensionnelle (X,Y) est un ensemble de deux variables aléatoires unidimensionnelles qui prennent des valeurs à la suite de la même expérience.

Les variables aléatoires bidimensionnelles sont caractérisées par des ensembles de valeurs Ω X , Ω Y de leurs composantes et une loi de distribution conjointe (bidimensionnelle). Selon le type de composantes X,Y, on distingue des variables aléatoires bidimensionnelles discrètes, continues et mixtes.

Une variable aléatoire bidimensionnelle (X, Y) peut être représentée géométriquement comme point aléatoire(X,Y) sur le plan x0y ou comme vecteur aléatoire dirigé de l'origine vers le point (X,Y).

Fonction de distribution bidimensionnelle variable aléatoire bidimensionnelle

(X ,Y ) est égal à la probabilité d'exécution conjointe de deux événements (X<х } и {Y < у }:

F(x, y) = p((X< x} { Y< y} ) .

Fonction de distribution géométriquement bidimensionnelle F(x, y)

Propriétés de la fonction de distribution bidimensionnelle :

1. 0 ≤ F (x ,y )≤ 1.

est la probabilité

. (x,y)

Preuve. La propriété découle de la définition de la fonction de distribution comme une probabilité : la probabilité est un nombre non négatif ne dépassant pas 1.

2. F (–∞, y) =F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), si x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), si y 2 >y 1 .

Preuve. Montrons que F (x ,y ) est une fonction non décroissante par rapport à

variable x. Considérez la probabilité

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

Puisque p(X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

De même pour y.

4. Transition vers des caractéristiques unidimensionnelles :

Matrice de distribution

Une variable aléatoire bidimensionnelle (X,Y) est discrète si les ensembles de valeurs de ses composantes Ω X et Ω Y sont des ensembles dénombrables. Pour descriptif caractéristiques probabilistes de ces quantités, une fonction de distribution bidimensionnelle et une matrice de distribution sont utilisées.

Matrice de distribution représente table rectangulaire, qui contient les valeurs de la composante X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ) , les valeurs de la composante Y − Ω Y =( y 1 ,y 2 , …, y m ) et les probabilités de toutes les paires de valeurs possibles p ij =p (X =x i ,Y =y j ),i = 1, …,n ,j = 1, …,m .

je = 1

Densité de distribution bidimensionnelle

Une variable aléatoire bidimensionnelle (X ,Y ) est continue si elle

la fonction de distribution F (x, y) est une fonction continue et différentiable pour chacun des arguments et il existe une seconde

dérivée mixte ∂ 2 F (x, y).

∂ x ∂y

Densité de distribution bidimensionnelle f(x, y ) caractérise la densité de probabilité au voisinage d'un point de coordonnées ( x, y ) et est égal à la dérivée mixte seconde de la fonction de distribution :

∫∫ f(x, y) dxdy.

Propriétés de la densité bidimensionnelle :

1. f (x ,y )≥ 0.

2. Condition de normalisation :

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) ré x ré y= 1 .