Le calcul des volumes de figures spatiales est l'un des tâches importantes stéréométrie. Dans cet article, nous examinerons la question de la détermination du volume d'un polyèdre tel qu'une pyramide, et en donnerons également un régulier hexagonal.
Pyramide hexagonale
Voyons d’abord quel est le chiffre qui sera discuté dans l’article.
Disons un hexagone arbitraire dont les côtés ne sont pas nécessairement égaux les uns aux autres. Supposons également que nous ayons choisi un point de l'espace qui n'est pas dans le plan de l'hexagone. En reliant tous les coins de ce dernier avec le point sélectionné, on obtient une pyramide. Deux pyramides différentes ayant base hexagonale, sont illustrés dans la figure ci-dessous.
On peut voir qu'en plus de l'hexagone, la figure est constituée de six triangles dont le point de connexion est appelé sommet. La différence entre les pyramides représentées est que la hauteur h de celle de droite ne coupe pas la base hexagonale en son niveau. centre géométrique, et la hauteur de la figure de gauche tombe exactement dans ce centre. Grâce à ce critère, la pyramide de gauche était dite droite, et la pyramide de droite était dite inclinée.
Puisque la base de la figure de gauche sur la figure est formée par un hexagone avec des côtés et des angles égaux, elle est dite régulière. Plus loin dans l'article, nous parlerons uniquement de cette pyramide.
Pour calculer le volume d’une pyramide arbitraire, on a formule suivante:
Ici h est la longueur de la hauteur de la figure, S o est l'aire de sa base. Utilisons cette expression pour déterminer le volume d'une pyramide régulière hexagonale.
Puisque la base de la figure en question est un hexagone équilatéral, pour calculer son aire vous pouvez utiliser la formule suivante expression générale pour n-gon :
S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)
Ici n est un entier égal au nombre de côtés (angles) du polygone, a est la longueur de son côté, la fonction cotangente est calculée à l'aide des tableaux appropriés.
En appliquant l'expression pour n = 6, on obtient :
S 6 = 6/4 * une 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * une 2
Il ne reste plus qu'à substituer cette expression par formule générale pour le tome V :
V 6 = S 6 * h = √3/2 * h * a 2
Ainsi, pour calculer le volume de la pyramide en question, il faut connaître ses deux paramètre linéaire: longueur du côté de la base et hauteur de la figure.
Exemple de solution de problème
Montrons comment l'expression résultante pour V 6 peut être utilisée pour résoudre le problème suivant.
On sait que le volume correct est de 100 cm 3 . Il faut déterminer le côté de la base et la hauteur de la figure si l'on sait qu'ils sont liés entre eux par l'égalité suivante :
Étant donné que la formule du volume ne comprend que a et h, vous pouvez y substituer n'importe lequel de ces paramètres, exprimé par rapport à l'autre. Par exemple, en remplaçant a, on obtient :
V 6 = √3/2*h*(2*h) 2 =>
h = ∛(V 6 /(2*√3))
Pour trouver la hauteur d’une figure, il faut prendre la troisième racine du volume, qui correspond à la dimension de la longueur. On substitue la valeur du volume V 6 de la pyramide à partir des conditions problématiques, on obtient la hauteur :
h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm
Puisque le côté de la base, conformément à la condition du problème, est deux fois plus grand que la valeur trouvée, on obtient la valeur de celui-ci :
une = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm
Volume pyramide hexagonale se retrouve non seulement à travers la hauteur de la figure et la valeur du côté de sa base. Il suffit de connaître deux paramètres linéaires différents de la pyramide pour la calculer, par exemple l'apothème et la longueur du bord latéral.
Dates : 2015-01-19
Si tu as besoin instructions étape par étape Comment construire une analyse pyramidale, alors je vous demande de rejoindre notre leçon. Tout d’abord, évaluez si votre pyramide est déployée de la même manière que dans la figure 1.
Si vous le faites pivoter de 90 degrés, alors le bord marqué sur la figure comme « valeurs réelles connues » dans votre cas se trouve sur la projection de profil que vous devrez construire. Dans mon cas, ce n'est pas obligatoire ; nous disposons déjà de toutes les quantités nécessaires à la construction. Il est important de ne pas oublier que dans ce dessin, seuls les bords SA et SD de la projection frontale sont affichés en taille réelle. Tous les autres sont projetés avec une distorsion de longueur. De plus, dans la vue de dessus, tous les côtés de l’hexagone sont également projetés en taille réelle. Sur cette base, continuons.
1. Pour plus de beauté, traçons la première ligne horizontalement (Figure 1). Ensuite, traçons un large arc de rayon R=a, c'est-à-dire rayon égal à la longueur bord latéral de la pyramide. Obtenons le point A. À l'aide d'un compas, nous ferons une entaille sur l'arc à partir de celui-ci, de rayon r=b (la longueur du côté de la base de la pyramide). Passons au point B. Nous avons déjà la première face de la pyramide !
2. À partir du point B, nous faisons une autre encoche avec le même rayon - nous obtenons le point C et en le reliant aux points B et S, nous obtenons la deuxième face latérale de la pyramide (Figure 2).
3. Répéter ces étapes quantité requise une fois (tout dépend du nombre de faces de votre pyramide), nous obtiendrons un éventail comme celui-ci (Figure 3). S'il est construit correctement, vous devriez obtenir tous les points de base et les points extrêmes doivent être répétés.
4. Ce n'est pas toujours obligatoire, mais c'est quand même nécessaire : ajouter la base de la pyramide au développement de la surface latérale. Je pense que tous ceux qui ont lu jusqu'ici savent comment dessiner un pentagone six-huit (la façon de dessiner un pentagone est décrite en détail dans la leçon). La difficulté réside dans le fait que la figure doit être dessinée au bon endroit. et à angle droit. Nous dessinons un axe passant par le milieu de n’importe quel visage. A partir du point d'intersection avec la droite de la base, on trace la distance m, comme le montre la figure 4. 
En traçant une perpendiculaire passant par ce point, on obtient les axes du futur hexagone. À partir du centre obtenu, nous dessinons un cercle, comme vous l'avez fait lors de la construction de la vue de dessus. Attention, le cercle doit passer par deux points sur la face latérale (dans mon cas ce sont F et A)
5. La figure 5 montre la vue finale du développement d'un prisme hexagonal. 
Ceci termine la construction de la pyramide. Construisez vos développements, apprenez à trouver des solutions, soyez minutieux et n'abandonnez jamais. Merci d'être passé. N'oubliez pas de nous recommander à vos amis :) Bonne chance !
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Les pyramides sont : triangulaires, quadrangulaires, etc., selon la base - triangle, quadrangle, etc.
Une pyramide est dite régulière (Fig. 286, b) si, d'une part, sa base est un polygone régulier, et, d'autre part, sa hauteur passe par le centre de ce polygone.
Sinon, la pyramide est dite irrégulière (Fig. 286, c). Tout est dans la bonne pyramide côtes latéraleségaux les uns aux autres (comme enclin à projections égales). Donc tout faces latérales pyramide régulière il existe des triangles isocèles égaux.
Analyse des éléments d'une pyramide hexagonale régulière et leur représentation dans un dessin complexe (Fig. 287).
UN) Dessin complexe pyramide hexagonale régulière. La base de la pyramide est située sur le plan P 1 ; deux côtés de la base de la pyramide sont parallèles au plan de projection P 2.
b) La base ABCDEF est un hexagone situé dans le plan de projection P 1.
c) La face latérale d'ASF est un triangle situé dans le plan général.
d) La face latérale du FSE est un triangle situé dans le plan de projection du profil.
e) Edge SE est un segment en position générale.
f) Côte SA - segment frontal.
g) Le sommet S de la pyramide est un point dans l'espace.
Les figures 288 et 289 montrent des exemples d'opérations graphiques séquentielles lors de la réalisation d'un dessin complexe et d'images visuelles (axonométrie) des pyramides.
Donné:
1. La base est située sur le plan P 1.
2. L'un des côtés de la base est parallèle à l'axe des x 12.
I. Dessin complexe.
Moi, un. Nous dessinons la base de la pyramide - un polygone, selon cet état
se trouvant dans le plan P1.
Nous concevons un sommet - un point situé dans l'espace. La hauteur du point S est égale à la hauteur de la pyramide. La projection horizontale S 1 du point S sera au centre de la projection de la base de la pyramide (par condition).
Moi, b. Nous concevons les bords de la pyramide - les segments ; Pour ce faire, on relie les projections des sommets de la base ABCDE avec les projections correspondantes du sommet de la pyramide S par des lignes droites. Nous représentons les projections frontales S 2 C 2 et S 2 D 2 des bords de la pyramide avec des lignes pointillées, comme invisibles, fermées par les bords de la pyramide (SА et SAE). Moi, c. Étant donné une projection horizontale K 1 du point K sur la face latérale de SBA, il faut trouver sa projection frontale. Pour ce faire, tracez une ligne auxiliaire S 1 F 1 passant par les points S 1 et K 1, trouvez sa projection frontale et utilisez
ligne verticale connexion, on détermine l'emplacement de la projection frontale souhaitée K 2 du point K. II. Développement de la surface de la pyramide - silhouette plate
, constitué de faces latérales - triangles isocèles identiques, dont un côté est égal au côté de la base et les deux autres sont égaux aux bords latéraux, et de
polygone régulier 1
- terrains. Les dimensions naturelles des côtés de la base se révèlent sur sa projection horizontale. Les dimensions naturelles des nervures n'étaient pas révélées sur les projections. Hypoténuse S 2 ¯A 2 (Fig. 288, , b) triangle rectangle
S 2 O 2 ¯A 2, qui a une grande patte égal à la hauteur S 2 O 2 de la pyramide, et la petite est la projection horizontale du bord. S 1 A 1 est la taille naturelle du bord de la pyramide. La construction du balayage doit être effectuée dans l'ordre suivant : a) de point arbitraire
S (sommets) tracent un arc de rayon R, égal au bord pyramides;
b) sur l'arc dessiné on trace cinq cordes de taille R 1 égal au côté terrains;
d) nous attachons la base de la pyramide - un pentagone - à n'importe quelle face en utilisant la méthode de triangulation, par exemple à la face DSE.
Le transfert du point K au balayage s'effectue par une droite auxiliaire en utilisant la dimension B 1 F 1 prise sur la projection horizontale et la dimension A 2 K 2 prise sur la grandeur naturelle de la côte.
III.
Une représentation visuelle d'une pyramide en isométrie. 1
III, a.
Nous représentons la base de la pyramide en utilisant les coordonnées selon (Fig. 288, 1
III, a.
, UN).
Nous représentons le sommet de la pyramide en utilisant les coordonnées selon (Fig. 288,
III, b.
Donné:
Nous représentons les bords latéraux de la pyramide, reliant le sommet aux sommets de la base. Le bord S"D" et les côtés de la base C"D" et D"E" sont représentés par des lignes pointillées, comme invisibles, fermées par les bords de la pyramide C"S"B", B"S"A" et A"S"E".
III, e.
On détermine le point K sur la surface de la pyramide en utilisant les dimensions y F et x K. Pour une image dimétrique d'une pyramide, la même séquence doit être suivie.
Image d’une pyramide triangulaire irrégulière. 1. La base est située sur le plan P 1. 2. Le côté BC de la base est perpendiculaire à l’axe X.
I. Dessin complexe
Moi, un.
Concevoir la base de la pyramide -
triangle isocèle , situé dans le plan P 1, et le sommet S est un point situé dans l'espace dont la hauteur est égale à la hauteur de la pyramide. Moi, b.
Nous concevons les bords de la pyramide - des segments pour lesquels nous connectons les lignes droites des projections du même nom des sommets de base avec les projections du même nom du sommet de la pyramide. Nous représentons la projection horizontale du côté de la base de l'avion avec une ligne pointillée, comme invisible, recouverte par deux faces de la pyramide ABS, ACS.
a) tracer un triangle isocèle - face CSB dont la base est égale au côté de la base de la pyramide CB, et côtés- taille naturelle de la côte SC ;
b) on attache deux triangles aux côtés SC et SB du triangle construit - les faces de la pyramide CSA et BSA, et à la base CB du triangle construit - la base CBA de la pyramide, on obtient ainsi un complet développement de la surface de cette pyramide.
Le transfert du point D vers le scan s'effectue dans l'ordre suivant : d'abord, sur le scan de la face latérale ASC, on trace une ligne horizontale en utilisant la dimension R 1 puis on détermine l'emplacement du point D sur la ligne horizontale en utilisant la dimension R2.
III. Une représentation visuelle de la pyramide et projection dimétrique frontale
III, a. Nous représentons la base A"B"C et le sommet S" de la pyramide, en utilisant les coordonnées selon (
Un dessin est la première et très importante étape dans la résolution problème géométrique. À quoi devrait ressembler le dessin d’une pyramide régulière ?
Rappelons-nous d'abord propriétés de conception parallèle:
- des segments parallèles de la figure sont représentés segments parallèles;
— le rapport entre les longueurs des segments de lignes parallèles et des segments d'une même ligne droite est conservé.
Dessin d'une pyramide triangulaire régulière
Nous dessinons d’abord la base. Depuis quand conception parallèle les angles et les rapports de longueur ne sont pas segments parallèles ne sont pas enregistrés, le triangle régulier à la base de la pyramide est représenté comme un triangle arbitraire.
Centre triangle régulier est le point d'intersection des médianes du triangle. Puisque les médianes au point d'intersection sont divisées dans un rapport de 2:1, en comptant à partir du sommet, nous connectons mentalement le sommet de la base avec le milieu du côté opposé, le divisons approximativement en trois parties et plaçons un point à une distance de 2 parties du sommet. De ce point vers le haut, nous traçons une perpendiculaire. C'est la hauteur de la pyramide. Nous dessinons une perpendiculaire d'une longueur telle que le bord latéral ne recouvre pas l'image de la hauteur.
Dessin correct pyramide quadrangulaire
Nous commençons également à dessiner une pyramide quadrangulaire régulière à partir de la base. Puisque le parallélisme des segments est préservé, mais pas les grandeurs des angles, le carré à la base est représenté comme un parallélogramme. De préférence angle aigu réduisez ce parallélogramme, les faces latérales seront alors plus grandes. Le centre d'un carré est le point d'intersection de ses diagonales. Nous dessinons des diagonales et restituons une perpendiculaire à partir du point d'intersection. Cette perpendiculaire est la hauteur de la pyramide. On choisit la longueur de la perpendiculaire pour que les nervures latérales ne se confondent pas.
Dessin d'une pyramide hexagonale régulière
Étant donné que lors de la conception parallèle, le parallélisme des segments est préservé, la base d'une pyramide hexagonale régulière - un hexagone régulier - est représentée comme un hexagone dont les côtés opposés sont parallèles et égaux. Le centre d’un hexagone régulier est le point d’intersection de ses diagonales. Afin de ne pas encombrer le dessin, nous ne dessinons pas de diagonales, mais trouvons ce point approximativement. À partir de là, nous restituons la perpendiculaire - la hauteur de la pyramide - afin que les nervures latérales ne se confondent pas.
