Lequel des intervalles est affiché sur la ligne ? Fonction.Graphique de fonction

B) Droite numérique

Considérons la droite numérique (Fig. 6) :

Considérons l'ensemble des nombres rationnels

Chaque nombre rationnel est représenté par un point sur axe des nombres. Ainsi, les chiffres sont marqués sur la figure.

Prouvons-le.

Preuve. Soit une fraction : . On est en droit de considérer cette fraction comme irréductible. Puisque , alors - le nombre est pair : - impair. En substituant son expression, on trouve : , d'où il résulte que - nombre pair. Nous avons obtenu une contradiction qui prouve cette affirmation.

Ainsi, tous les points sur l’axe des nombres ne représentent pas nombres rationnels. Les points qui ne représentent pas des nombres rationnels représentent des nombres appelés irrationnel.

Tout nombre de la forme , , est soit un nombre entier, soit un nombre irrationnel.

Intervalles numériques

Les segments numériques, les intervalles, les demi-intervalles et les rayons sont appelés intervalles numériques.

Représentons les nombres sur la ligne de coordonnées un Et b, ainsi que le numéro x entre eux.

L'ensemble de tous les nombres qui remplissent la condition une ≤ x ≤ b, appelé segment numérique ou juste un segment. Il est désigné comme suit : [ un; b] - Cela se lit comme ceci : un segment de a à b.

L'ensemble des nombres qui remplissent la condition un< x < b , appelé intervalle. Il est désigné comme suit : ( un; b)

Cela se lit comme ceci : intervalle de a à b.

Ensembles de nombres satisfaisant les conditions a ≤ x< b или un<x ≤ b, sont appelés demi-intervalles. Désignations :

Définir a ≤ x< b обозначается так:[un; b), se lit ainsi : demi-intervalle de unà b, y compris un.

Beaucoup un<x ≤ b est indiqué comme suit :( un; b], se lit comme ceci : demi-intervalle de unà b, y compris b.

Imaginons maintenant faisceau avec un point un, à droite et à gauche duquel se trouve un ensemble de chiffres.

un, remplissant la condition x ≥ une, appelé faisceau numérique.

Il est désigné comme suit : [ un; +∞)-Se lit comme ceci : un rayon numérique de unà plus l'infini.

Ensemble de nombres à droite d'un point un, correspondant à l'inégalité x>un, appelé faisceau de nombres ouvert.

Il est désigné comme suit : ( un; +∞)-Se lit comme ceci : un rayon numérique ouvert de unà plus l'infini.

un, remplissant la condition x ≤ une, appelé rayon numérique de moins l'infini àun .

Il est désigné comme suit :( - ∞ ; un]-Se lit comme ceci : un rayon numérique de moins l'infini à un.

Ensemble de nombres à gauche du point un, correspondant à l'inégalité x< a , appelé rayon numérique ouvert de moins l'infini àun .

Il est désigné comme suit : ( - ∞ ; un)-Se lit comme ceci : un rayon numérique ouvert de moins l'infini à un.

L'ensemble des nombres réels est représenté par la ligne de coordonnées entière. Ils l'appellent droite numérique. Il est désigné comme suit : ( - ∞; + ∞ )

3) Équations linéaires et inégalités à une variable, leurs solutions :

Une équation contenant une variable est appelée une équation à une variable ou une équation à une inconnue. Par exemple, une équation avec une variable est 3(2x+7)=4x-1.

La racine ou solution d'une équation est la valeur d'une variable à laquelle l'équation devient une véritable égalité numérique. Par exemple, le nombre 1 est une solution de l’équation 2x+5=8x-1. L'équation x2+1=0 n'a pas de solution, car le côté gauche de l’équation est toujours supérieur à zéro. L'équation (x+3)(x-4) =0 a deux racines : x1= -3, x2=4.

Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses racines ou prouver qu’il n’y a pas de racines.

Les équations sont dites équivalentes si toutes les racines de la première équation sont des racines de la deuxième équation et vice versa, toutes les racines de la deuxième équation sont des racines de la première équation ou si les deux équations n'ont pas de racines. Par exemple, les équations x-8=2 et x+10=20 sont équivalentes, car la racine de la première équation x=10 est également la racine de la deuxième équation, et les deux équations ont la même racine.

Lors de la résolution d'équations, les propriétés suivantes sont utilisées :

Si vous déplacez un terme d'une équation d'une partie à une autre, en changeant son signe, vous obtiendrez une équation équivalente à celle donnée.

Si les deux côtés d’une équation sont multipliés ou divisés par le même nombre non nul, vous obtenez une équation équivalente à celle donnée.

L'équation ax=b, où x est une variable et a et b sont des nombres, est appelée une équation linéaire à une variable.

Si a¹0, alors l’équation a une solution unique.

Si a=0, b=0, alors l'équation est satisfaite par n'importe quelle valeur de x.

Si a=0, b¹0, alors l'équation n'a pas de solution, car 0x=b n’est exécuté pour aucune valeur de la variable.
Exemple 1. Résolvez l'équation : -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Ouvrons les parenthèses des deux côtés de l'équation, déplaçons tous les termes avec x vers le côté gauche de l'équation, et les termes qui ne contiennent pas x vers la droite, nous obtenons :

16x-15x=88-40-12

Exemple 2. Résolvez les équations :

x3-2x2-98x+18=0;

Ces équations ne sont pas linéaires, mais nous montrerons comment de telles équations peuvent être résolues.

3x2-5x=0 ; x(3x-5)=0. Le produit est égal à zéro, si l'un des facteurs est égal à zéro, on obtient x1=0 ; x2= .

Réponse : 0 ; .

Factorisez le côté gauche de l’équation :

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), c'est-à-dire (x-2)(x-3)(x+3)=0. Cela montre que les solutions de cette équation sont les nombres x1=2, x2=3, x3=-3.

c) Imaginons 7x comme 3x+4x, alors nous avons : x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, donc x1=-3, x2=- 4.

Réponse : -3 ; - 4.
Exemple 3. Résolvez l'équation : ½x+1ç+½x-1ç=3.

Rappelons la définition du module d'un nombre :

Par exemple : ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.

Dans cette équation, sous le signe du module se trouvent les nombres x-1 et x+1. Si x est inférieur à –1, alors le nombre x+1 est négatif, alors ½x+1½=-x-1. Et si x>-1, alors ½x+1½=x+1. À x=-1 ½x+1½=0.

Ainsi,

De même

a) Considérez équation donnée½x+1½+½x-1½=3 pour x£-1, c'est équivalent à l'équation -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, ce nombre appartient à l'ensemble x£-1 .

b) Soit -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Considérons le cas x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Ce nombre appartient à l'ensemble x>1.

Réponse : x1=-1,5 ; x2=1,5.
Exemple 4. Résolvez l'équation :½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Nous allons vous montrer brève note résoudre l'équation, révélant le signe du module « sur intervalles ».

x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)

Réponse : [-2 ; 0]
Exemple 5. Résolvez l'équation : (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), pour toutes les valeurs du paramètre a.

Il y a en fait deux variables dans cette équation, mais considérons x comme l'inconnue et a comme le paramètre. Il est nécessaire de résoudre l'équation de la variable x pour toute valeur du paramètre a.

Si a=1, alors l'équation a la forme 0×x=0 ; tout nombre satisfait cette équation.

Si a=-1, alors l'équation ressemble à 0×x=-2 ; aucun nombre ne satisfait cette équation.

Si a¹1, a¹-1, alors l'équation a une solution unique.

Réponse : si a=1, alors x est n'importe quel nombre ;

si a=-1, alors il n'y a pas de solutions ;

si a¹±1, alors .

B) Inégalités linéaires à une variable.

Si la variable x reçoit une valeur numérique, alors nous obtenons inégalité numérique, exprimant une déclaration vraie ou fausse. Soit par exemple l'inégalité 5x-1>3x+2. Pour x=2 on obtient 5·2-1>3·2+2 – déclaration vraie(indication du numéro correct); à x=0, nous obtenons 5·0-1>3·0+2 – une fausse déclaration. Toute valeur d'une variable à laquelle cette inégalité avec une variable se transforme en une véritable inégalité numérique est appelée une solution à l'inégalité. Résoudre une inégalité avec une variable revient à trouver l’ensemble de toutes ses solutions.

Deux inégalités de même variable x sont dites équivalentes si les ensembles de solutions de ces inégalités coïncident.

L'idée principale pour résoudre l'inégalité est la suivante : on remplace l'inégalité donnée par une autre, plus simple, mais équivalente à celle donnée ; nous remplaçons à nouveau l'inégalité résultante par une inégalité plus simple qui lui est équivalente, etc.

Ces remplacements sont effectués sur la base des déclarations suivantes.

Théorème 1. Si n'importe quel terme d'une inégalité à une variable est transféré d'une partie de l'inégalité à une autre avec signe opposé, en laissant le signe de l'inégalité inchangé, nous obtenons une inégalité équivalente à celle donnée.

Théorème 2. Si les deux côtés d'une inégalité à une variable sont multipliés ou divisés par le même nombre positif, en laissant le signe de l'inégalité inchangé, alors une inégalité équivalente à celle donnée sera obtenue.

Théorème 3. Si les deux côtés d'une inégalité avec une variable sont multipliés ou divisés par le même nombre négatif, en changeant le signe de l'inégalité par le signe opposé, nous obtenons une inégalité équivalente à celle donnée.

Une inégalité de la forme ax+b>0 est dite linéaire (respectivement ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Exemple 1. Résolvez l'inégalité : 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

En ouvrant les parenthèses, on obtient 2x-6+5-5x³6x-15,

Réponse - L'ensemble (-∞;+∞) est appelé une droite numérique, et tout nombre est un point sur cette droite. Laissez un - point arbitraire droite numérique et δ

Nombre positif. L'intervalle (a-δ; a+δ) est appelé le δ-voisinage du point a.

Un ensemble X est borné par le haut (par le bas) s'il existe un nombre c tel que pour tout x ∈ X l'inégalité x≤с (x≥c) est vraie. Le nombre c dans ce cas est appelé la limite supérieure (inférieure) de l'ensemble X. Un ensemble limité à la fois au-dessus et au-dessous est appelé limité. La plus petite (la plus grande) des limites supérieures (inférieures) d’un ensemble est appelée la limite supérieure (inférieure) exacte de cet ensemble.

Un intervalle numérique est un ensemble connexe de nombres réels, c'est-à-dire tel que si 2 nombres appartiennent à cet ensemble, alors tous les nombres entre eux appartiennent également à cet ensemble. Il existe plusieurs types quelque peu différents de non-vides intervalles numériques: Droit, faisceau ouvert, faisceau fermé, segment, demi-intervalle, intervalle

Droite numérique

L’ensemble de tous les nombres réels est également appelé droite numérique. Ils écrivent.

En pratique, il n'est pas nécessaire de faire la distinction entre la notion de coordonnée ou de droite numérique au sens géométrique et la notion de droite numérique introduite par cette définition. Ces différents concepts sont donc désignés par le même terme.

Faisceau ouvert

L'ensemble de nombres tel qu'on l'appelle un rayon numérique ouvert. Ils écrivent ou en conséquence : .

Poutre fermée

L’ensemble de nombres tel que l’on appelle une droite numérique fermée. Ils écrivent ou en conséquence :.

Un ensemble de nombres est appelé un segment numérique.

Commentaire. La définition ne le précise pas. On suppose que le cas est possible. Ensuite, l'intervalle numérique se transforme en point.

Intervalle

Un ensemble de nombres appelé intervalle numérique.

Commentaire. La coïncidence des désignations d'une poutre ouverte, d'une ligne droite et d'un intervalle n'est pas fortuite. Un rayon ouvert peut être compris comme un intervalle dont l'une des extrémités est éloignée à l'infini, et une droite numérique - comme un intervalle dont les deux extrémités sont éloignées à l'infini.

Demi-intervalle

Un ensemble de nombres comme celui-ci est appelé un demi-intervalle numérique.

Ils écrivent ou, respectivement,

3.Fonction.Graphique de la fonction. Méthodes de spécification d'une fonction.

Réponse - Si deux variables x et y sont données, alors la variable y est dite fonction de la variable x si une telle relation est donnée entre ces variables qui permet à chaque valeur de déterminer de manière unique la valeur de y.

La notation F = y(x) signifie qu'on considère une fonction qui permet à n'importe quelle valeur de la variable indépendante x (parmi celles que l'argument x peut généralement prendre) de trouver la valeur correspondante de la variable dépendante y.

Méthodes de spécification d'une fonction.

La fonction peut être spécifiée par une formule, par exemple :

y = 3x2 – 2.

La fonction peut être spécifiée par un graphique. À l'aide d'un graphique, vous pouvez déterminer quelle valeur de fonction correspond à une valeur d'argument spécifiée. Il s'agit généralement d'une valeur approximative de la fonction.

4.Principales caractéristiques de la fonction : monotonie, parité, périodicité.

Répondre - Définition de la périodicité. Une fonction f est dite périodique s'il existe un tel nombre
, que f(x+
)=f(x), pour tout x D(f). Naturellement, ces chiffres sont innombrables. Le plus petit nombre positif ^ T est appelé la période de la fonction. Exemples. A. y = cos x, T = 2 . V. y = tg x, T = . S. y = (x), T = 1. D. y = , cette fonction n'est pas périodique. Définition de la parité. Une fonction f est appelée même si la propriété f(-x) = f(x) est valable pour tout x dans D(f). Si f(-x) = -f(x), alors la fonction est dite impaire. Si aucune des relations indiquées n’est satisfaite, alors la fonction est appelée fonction générale. Exemples. A. y = cos (x) - pair ; V. y = tg (x) - impair ; S.y = (x); y=sin(x+1) – fonctions de forme générale. Définition de la monotonie. Une fonction f : X -> R est appelée croissante (décroissante) si pour tout
la condition est remplie :
Définition. Une fonction X -> R est dite monotone sur X si elle est croissante ou décroissante sur X. Si f est monotone sur certains sous-ensembles de X, alors on l’appelle monotone par morceaux. Exemple. y = cos x - fonction monotone par morceaux.

Intervalles numériques. Contexte. Définition

Une égalité (équation) a un point sur la droite numérique (bien que ce point dépende des transformations effectuées et de la racine choisie). La solution de l’équation elle-même sera un ensemble numérique (parfois constitué d’un seul nombre). Cependant, tout cela se trouve sur la droite numérique (visualisation de l'ensemble nombres réels) ne sera affiché que par points, mais il y en a aussi d'autres types génériques relations entre deux nombres - inégalités. En eux, la droite numérique est divisée par un certain nombre et en est coupée. certaine partie- les valeurs d'une expression ou d'un intervalle numérique.

Il est logique de discuter du sujet des intervalles numériques avec les inégalités, mais cela ne signifie pas qu'il est uniquement lié à eux. Les intervalles numériques (intervalles, segments, rayons) sont un ensemble de valeurs variables qui satisfont une certaine inégalité. Autrement dit, il s'agit essentiellement d'un ensemble de tous les points de la droite numérique, limités par une sorte de cadre. Par conséquent, le sujet des intervalles numériques est le plus étroitement lié au concept variable. Là où il y a une variable, ou un point arbitraire x sur la droite numérique, et qu'elle est utilisée, il y a aussi des intervalles numériques, les intervalles sont des valeurs x. Souvent, la valeur peut être n'importe quoi, mais il s'agit également d'un intervalle numérique couvrant toute la droite numérique.

Présentons le concept intervalle numérique. Parmi ensembles de nombres, c'est-à-dire des ensembles dont les objets sont des nombres, il existe ce qu'on appelle des intervalles numériques. Leur intérêt est qu'il est très facile d'imaginer un ensemble correspondant à un intervalle numérique spécifié, et vice versa. Par conséquent, avec leur aide, il est pratique d’écrire de nombreuses solutions à une inégalité. Alors que l'ensemble des solutions de l'équation ne sera pas un intervalle numérique, mais simplement plusieurs nombres sur la droite numérique, avec des inégalités, c'est-à-dire des restrictions sur la valeur d'une variable, des intervalles numériques apparaissent.

Un intervalle numérique est l'ensemble de tous les points sur la droite numérique, limités par un ou plusieurs nombres donnés (points sur la droite numérique).

Un intervalle numérique de toute nature (un ensemble de valeurs x comprises entre certains nombres) peut toujours être représenté de trois manières notation mathématique: notations spéciales pour les intervalles, les chaînes d'inégalités (inégalité simple ou inégalité double) ou géométriquement sur la droite numérique. Pour l’essentiel, toutes ces désignations ont la même signification. Ils fournissent une ou plusieurs contraintes sur les valeurs d'un objet mathématique, taille variable(une variable, toute expression avec une variable, une fonction, etc.).

De ce qui précède, on peut comprendre que puisqu'il est possible de limiter l'aire de la droite numérique de différentes manières (il existe différents types inégalités), alors il existe différents types d’intervalles numériques.

Types d'intervalles numériques

Chaque type d'intervalle numérique a nom propre, désignation spéciale. Pour indiquer les intervalles numériques, des crochets et des crochets sont utilisés. Une parenthèse signifie que le point final définissant la limite sur la droite numérique (fin) de cette parenthèse n'est pas inclus dans l'ensemble des points de cet intervalle. Crochet carré signifie que la fin entre dans l'espace. Avec l'infini (de ce côté l'intervalle n'est pas limité) utilisez une parenthèse. Parfois à la place parenthèses vous pouvez écrire un carré, tourné vers l'intérieur revers: (une;b) ⇔]une;b[

Il peut y avoir une confusion avec les noms des intervalles : il y a quantité énorme possibilités. Il est donc toujours préférable de les indiquer avec précision. Dans la littérature anglaise, seul le terme est utilisé intervalle ("intervalle") - ouvert, fermé, semi-ouvert (à moitié fermé). Il existe de nombreuses variantes.

L'utilisation d'intervalles en mathématiques dénote très grand nombre choses : il y a des intervalles d'isolement lors de la résolution d'équations, des intervalles d'intégration, des intervalles de convergence des séries. Lors de l'étude d'une fonction, les intervalles sont toujours utilisés pour désigner sa plage de valeurs et son domaine de définition. Les lacunes sont très importantes, il y a par exemple Théorème de Bolzano-Cauchy(vous pouvez en savoir plus sur Wikipédia).

Systèmes et ensembles d’inégalités

Système d'inégalités

Ainsi, une variable x ou la valeur d'une expression peut être comparée à une certaine valeur constante- c'est une inégalité, mais vous pouvez comparer cette expression avec plusieurs quantités - une double inégalité, une chaîne d'inégalités, etc. C'est exactement ce qui a été montré ci-dessus - comme un intervalle et un segment. Les deux sont système d'inégalités.

Donc, si la tâche consiste à trouver l'ensemble solutions générales deux ou plusieurs inégalités, alors on peut parler de résolution d'un système d'inégalités (tout comme avec les équations - même si on peut dire que les équations sont un cas particulier).

Il est alors évident que la valeur de la variable utilisée dans les inégalités, à laquelle chacune d'elles devient vraie, est appelée la solution du système d'inégalités.

Toutes les inégalités incluses dans le système sont réunies accolade bouclée- "(". Parfois, ils sont écrits sous la forme double inégalité(comme indiqué ci-dessus) ou même chaîne d'inégalités. Exemple d'entrée type : f x ≤ 30 g x 5 .

Solution système inégalités linéaires avec une variable dans cas général se résume à ces 4 types : x > a x > b (1) x > a x< b (2) x < a x >b(3)x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > une.

Tout système peut être résolu graphiquement à l’aide de la droite numérique. Là où les solutions des inégalités qui composent le système se croisent, il y aura une solution pour le système lui-même.

Présentons une solution graphique pour chaque cas.