Pendule mathématique appelé point matériel, suspendu à un fil en apesanteur et inextensible attaché à la suspension et situé dans le champ de gravité (ou autre force).
Nous étudions les oscillations d'un pendule mathématique dans système inertiel référence par rapport à laquelle le point de sa suspension est au repos ou se déplace uniformément en ligne droite. On négligera la force de résistance de l'air (pendule mathématique idéal). Initialement, le pendule est au repos dans la position d'équilibre C. Dans ce cas, la force de gravité \(\vec F\) agissant sur lui et la force élastique \(\vec F_(ynp)\) du fil sont mutuellement compensé.
Retirons le pendule de la position d'équilibre (en le déviant, par exemple, vers la position A) et relâchons-le sans vitesse initiale(Fig. 13.11). Dans ce cas, les forces \(\vec F\) et \(\vec F_(ynp)\) ne s'équilibrent pas. La composante tangentielle de la gravité \(\vec F_\tau\), agissant sur le pendule, lui indique accélération tangentielle\(\vec a_\tau\) (composant pleine accélération, dirigé le long de la tangente à la trajectoire du pendule mathématique), et le pendule commence à se déplacer vers la position d'équilibre avec une vitesse croissante en valeur absolue. La composante tangentielle de la gravité \(\vec F_\tau\) est donc une force de rappel. La composante normale \(\vec F_n\) de la force de gravité est dirigée le long du fil contre la force élastique \(\vec F_(ynp)\). La résultante des forces \(\vec F_n\) et \(\vec F_(ynp)\) confère l'accélération normale \(~a_n\) au pendule, qui change la direction du vecteur vitesse, et le pendule se déplace le long d'un arc A B C D.
Plus le pendule se rapproche de la position d'équilibre C, plus la valeur de la composante tangentielle \(~F_\tau = F \sin \alpha\) devient petite. En position d'équilibre, elle est nulle et la vitesse atteint valeur maximum, et le pendule se déplace plus loin par inertie, s'élevant vers le haut selon un arc. Dans ce cas, la composante \(\vec F_\tau\) est dirigée contre la vitesse. Avec l'augmentation de l'angle de déviation a, le module de force \(\vec F_\tau\) augmente et le module de vitesse diminue, et au point D la vitesse du pendule devient égal à zéro. Le pendule s'arrête un instant puis commence à se déplacer dans la direction opposée à la position d'équilibre. L'ayant repassé par inertie, le pendule, ralentissant son mouvement, atteindra le point A (il n'y a pas de frottement), c'est-à-dire complétera un swing complet. Après cela, le mouvement du pendule sera répété dans la séquence déjà décrite.
Obtenons une équation décrivant les oscillations libres d'un pendule mathématique.
Laisse entrer le pendule ce moment le temps est au point B. Son déplacement S par rapport à la position d'équilibre à ce moment est égal à la longueur de l'arc SV (c'est-à-dire S = |SV|). Notons la longueur du fil de suspension je, et la masse du pendule est m.
D'après la figure 13.11, il est clair que \(~F_\tau = F \sin \alpha\), où \(\alpha =\frac(S)(l).\) Aux petits angles \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому
\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)
Le signe moins est placé dans cette formule car la composante tangentielle de la gravité est dirigée vers la position d'équilibre et le déplacement est compté à partir de la position d'équilibre.
D'après la deuxième loi de Newton \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Projetons les quantités vectorielles de cette équation sur la direction de la tangente à la trajectoire du pendule mathématique
\(~F_\tau = ma_\tau .\)
De ces équations on obtient
\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - équation dynamique du mouvement d'un pendule mathématique. L'accélération tangentielle d'un pendule mathématique est proportionnelle à son déplacement et dirigée vers la position d'équilibre. Cette équation peut s'écrire sous la forme \. En le comparant avec l'équation. vibrations harmoniques\(~a_x + \omega^2x = 0\) (voir § 13.3), on peut conclure que le pendule mathématique effectue des oscillations harmoniques. Et comme les oscillations considérées du pendule se sont produites uniquement sous l'influence Forces internes, alors c'étaient des oscillations libres du pendule. Ainsi, les oscillations libres d'un pendule mathématique avec de petites déviations sont harmoniques.
Notons \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) D'où \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) est la fréquence cyclique du pendule.
La période d'oscillation du pendule est \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Par conséquent,
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)
Cette expression s'appelle La formule de Huygens. Il détermine la période d'oscillations libres d'un pendule mathématique. Il résulte de la formule qu'à de petits angles d'écart par rapport à la position d'équilibre, la période d'oscillation d'un pendule mathématique : 1) ne dépend pas de sa masse et de l'amplitude de ses oscillations ; 2) proportionnel à la racine carrée de la longueur du pendule et inversement proportionnel à la racine carrée de l'accélération chute libre. Ceci est cohérent avec les lois expérimentales des petites oscillations d'un pendule mathématique, découvertes par G. Galileo.
Nous soulignons que cette formule peut être utilisée pour calculer la période si deux conditions sont simultanément remplies : 1) les oscillations du pendule doivent être faibles ; 2) le point de suspension du pendule doit être au repos ou se déplacer uniformément en ligne droite par rapport au référentiel inertiel dans lequel il se trouve.
Si le point de suspension d'un pendule mathématique se déplace avec une accélération \(\vec a\), alors la force de tension du fil change, ce qui entraîne une modification de la force de rappel et, par conséquent, de la fréquence et de la période des oscillations. Comme le montrent les calculs, la période d'oscillation du pendule dans ce cas peut être calculée à l'aide de la formule
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)
où \(~g"\) est l'accélération « effective » du pendule dans un référentiel non inertiel. Elle est égale à la somme géométrique de l'accélération de la gravité \(\vec g\) et du vecteur opposé à le vecteur \(\vec a\), c'est-à-dire qu'il peut être calculé à l'aide de la formule
\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)
Littérature
Aksenovich L. A. Physique au lycée : Théorie. Tâches. Tests : Manuel. allocation pour les établissements dispensant un enseignement général. environnement, éducation / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino ; Éd. KS Farino. - Mn. : Adukatsiya i viakhavanne, 2004. - P. 374-376.
Imaginez un certain système mécanique constitué d'un certain point matériel (corps) suspendu à un fil inextensible en apesanteur (la masse du fil est négligeable par rapport à la masse du corps). Ce système mécanique est un pendule ou oscillateur, comme on l'appelle aussi. Cependant, il peut exister d'autres types de tels dispositifs. Pourquoi un pendule ou un oscillateur mathématique nous intéresse-t-il ? Le fait est qu’avec son aide, vous pouvez avoir un aperçu de nombreux phénomènes naturels intéressants en physique.
Oscillations d'un pendule mathématique
La formule de la période d'oscillation d'un pendule mathématique a été découverte pour la première fois par le scientifique néerlandais Huygens au XVIIe siècle. Contemporain d'Isaac Newton, Huygens était très fasciné par ces pendules, si fasciné qu'il a même inventé une horloge spéciale avec des mécanismes à pendule, et ces horloges étaient parmi les plus précises de l'époque.
Pendule Huygens.
L'apparition d'une telle invention a été d'une grande utilité pour la physique, en particulier dans le domaine des expériences physiques, où la mesure précise du temps est un facteur très important.
Mais revenons au pendule, donc, la base du travail du pendule, ce sont ses oscillations, qui peuvent être exprimées par une formule, plus précisément par l'équation différentielle suivante :
x + w2 péché x = 0
Où x (t) est une fonction inconnue (c'est l'angle de déviation par rapport à la position d'équilibre inférieure à l'instant t, exprimé en radians) ; w est une constante positive, déterminée à partir des paramètres du pendule (w = √ g/L, où g est l'accélération de la chute libre et L est la longueur du pendule mathématique (suspension).
En plus des oscillations elles-mêmes, le pendule peut également être dans une position d'équilibre, tandis que la force de gravité agissant sur lui sera équilibrée par la force de tension du fil. Un pendule plat ordinaire reposant sur un fil inextensible est un système à deux degrés de liberté. Mais si, par exemple, le fil est remplacé par une tige, alors notre pendule deviendra un système à un seul degré de liberté, puisque ses mouvements seront bidimensionnels et non tridimensionnels.
Mais si notre pendule reste toujours sur la corde et fait en même temps d'intenses oscillations de haut en bas, alors le système mécanique acquiert une position stable appelée « à l'envers » ; on l'appelle aussi le pendule Kapitsa ;
Propriétés d'un pendule
Le pendule possède un certain nombre de propriétés intéressantes, confirmées par les lois physiques. Ainsi, la période d'oscillation de tout pendule dépend de facteurs tels que sa taille, la forme de son corps et la distance entre le centre de gravité et le point de suspension. Par conséquent, déterminer la période d’un pendule n’est pas une tâche facile. Mais la période d’un pendule mathématique peut être calculée exactement à l’aide de la formule ci-dessous.
Lors des observations de pendules, les modèles suivants ont été dérivés :
- Si différents poids avec des poids différents sont suspendus à un pendule, tout en conservant la même longueur du pendule, alors la période de son oscillation sera la même quelle que soit la masse de la charge.
- Si, lors du démarrage des oscillations, le pendule est dévié selon des angles pas très grands, mais toujours différents, alors il commencera à osciller dans la même période, mais avec des amplitudes différentes. Par conséquent, la période d'oscillation d'un tel pendule ne dépend pas de l'amplitude de l'oscillation ; ce phénomène était appelé isochronisme, qui peut être traduit du grec ancien par « chronos » - temps, « iso » - égal, c'est-à-dire « égale dans le temps ».
Période d'un pendule mathématique
La période d'un pendule est un indicateur qui représente la période des oscillations réelles du pendule, leur durée. La formule de la période d’un pendule mathématique peut s’écrire comme suit.
Où L est la longueur du fil d'un pendule mathématique, g est l'accélération de la gravité et π est le nombre Pi, une constante mathématique.
La période des petites oscillations d'un pendule mathématique ne dépend en aucun cas de la masse du pendule et de l'amplitude de l'oscillation ; dans cette situation, il se déplace comme un pendule mathématique d'une longueur donnée.
Application pratique d'un pendule mathématique
Passons maintenant à la chose la plus intéressante : pourquoi nous avons besoin d’un pendule mathématique et quelle est son application pratique dans la vie. Tout d'abord, l'accélération d'un pendule mathématique est utilisée pour l'exploration géologique, avec son aide, pour rechercher des minéraux. Comment cela peut-il arriver? Le fait est que l'accélération de la gravité change avec la latitude géographique, car la densité de la croûte à différents endroits de notre planète est loin d'être la même et là où se trouvent des roches de densité plus élevée, l'accélération sera légèrement plus grande. Cela signifie qu'en comptant simplement le nombre d'oscillations d'un pendule, vous pouvez trouver du minerai ou du charbon dans les entrailles de la Terre, car ils ont une densité plus élevée que les autres roches meubles.
En outre, le pendule mathématique a été utilisé par de nombreux scientifiques exceptionnels du passé, depuis l'Antiquité, notamment Archimède, Aristote, Platon, Plutarque. Ainsi, Archimède a même utilisé un pendule mathématique dans tous ses calculs, et certaines personnes pensaient même que le pendule pouvait influencer le destin des gens et essayaient de faire des prédictions sur l'avenir avec son aide.
Pendule mathématique, vidéo
Et enfin, une vidéo pédagogique sur le sujet de notre article.
Mouvement oscillatoire- mouvement périodique ou quasi périodique d'un corps dont la coordonnée, la vitesse et l'accélération à intervalles de temps égaux prennent approximativement les mêmes valeurs.
Les vibrations mécaniques se produisent lorsque, lorsqu'un corps est éloigné d'une position d'équilibre, une force apparaît qui tend à ramener le corps en arrière.
Le déplacement x est l'écart du corps par rapport à la position d'équilibre.
L'amplitude A est le module du déplacement maximal du corps.
Période d'oscillation T - temps d'une oscillation :
Fréquence d'oscillation
Le nombre d'oscillations effectuées par un corps par unité de temps : Lors des oscillations, la vitesse et l'accélération changent périodiquement. En position d'équilibre, la vitesse est maximale et l'accélération est nulle. Aux points de déplacement maximum, l'accélération atteint son maximum et la vitesse devient nulle.
HORAIRE DE VIBRATION HARMONIQUE
Harmonique les vibrations qui se produisent selon la loi du sinus ou du cosinus sont appelées :
où x(t) est le déplacement du système à l'instant t, A est l'amplitude, ω est la fréquence cyclique des oscillations.
Si l'écart du corps par rapport à la position d'équilibre est tracé le long de l'axe vertical et le temps le long de l'axe horizontal, vous obtiendrez un graphique d'oscillation x = x(t) - la dépendance du déplacement du corps au temps. Pour les oscillations harmoniques libres, il s’agit d’une onde sinusoïdale ou cosinusoïdale. La figure montre des graphiques de la dépendance du déplacement x, des projections de la vitesse V x et de l'accélération a x sur le temps.
Comme le montrent les graphiques, au déplacement maximum x, la vitesse V du corps oscillant est nulle, l'accélération a, et donc la force agissant sur le corps, est maximale et dirigée à l'opposé du déplacement. En position d'équilibre, le déplacement et l'accélération deviennent nuls et la vitesse est maximale. La projection de l'accélération a toujours le signe opposé au déplacement.
ÉNERGIE DU MOUVEMENT VIBRATIONNEL
L'énergie mécanique totale d'un corps oscillant est égale à la somme de ses énergies cinétique et potentielle et, en l'absence de frottement, reste constante :
Au moment où le déplacement atteint un maximum x = A, la vitesse, et avec elle l'énergie cinétique, tend vers zéro.
Dans ce cas, l’énergie totale est égale à l’énergie potentielle :
L'énergie mécanique totale d'un corps oscillant est proportionnelle au carré de l'amplitude de ses oscillations.
Lorsque le système passe la position d'équilibre, le déplacement et l'énergie potentielle sont nuls : x = 0, E p = 0. Par conséquent, l'énergie totale est égale à l'énergie cinétique :
L'énergie mécanique totale d'un corps oscillant est proportionnelle au carré de sa vitesse en position d'équilibre. Ainsi:
PENDULE MATHÉMATIQUE
1. Pendule mathématique est un point matériel suspendu à un fil inextensible en apesanteur.
En position d'équilibre, la force de gravité est compensée par la tension du fil. Si le pendule est dévié et relâché, alors les forces cesseront de se compenser et une force résultante apparaîtra, dirigée vers la position d'équilibre. Deuxième loi de Newton :
Pour les petites oscillations, lorsque le déplacement x est bien inférieur à l, le point matériel se déplacera presque le long de l'axe horizontal x. Alors du triangle MAB on obtient :
Parce que péché a = x/l, alors la projection de la force résultante R sur l'axe des x est égale à
Le signe moins montre que la force R est toujours dirigée à l'opposé du déplacement x.
2. Ainsi, lors des oscillations d'un pendule mathématique, ainsi que lors des oscillations pendule à ressort, la force de rappel est proportionnelle au déplacement et est dirigée dans le sens opposé.
Comparons les expressions de la force de rappel des pendules mathématiques et à ressort :
On peut voir que mg/l est un analogue de k. Remplacer k par mg/l dans la formule pour la période d'un pendule à ressort
on obtient la formule de la période d'un pendule mathématique :
La période des petites oscillations d'un pendule mathématique ne dépend pas de l'amplitude.
Un pendule mathématique est utilisé pour mesurer le temps et déterminer l'accélération de la gravité à un endroit donné de la surface de la Terre.
Les oscillations libres d'un pendule mathématique à de petits angles de déviation sont harmoniques. Ils se produisent grâce à force agissante la force de gravité et de tension du fil, ainsi que l'inertie de la charge. La résultante de ces forces est la force de rappel.
Exemple. Déterminez l'accélération due à la gravité sur une planète où un pendule de 6,25 m de long a une période d'oscillation libre de 3,14 s.
La période d'oscillation d'un pendule mathématique dépend de la longueur du fil et de l'accélération de la gravité :
En mettant au carré les deux côtés de l’égalité, on obtient :
Répondre: l'accélération de la gravité est de 25 m/s 2 .
Tâches et tests sur le thème "Thème 4. "Mécanique. Oscillations et vagues.
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Dans la technologie et dans le monde qui nous entoure, nous devons souvent faire face à périodique(ou presque périodique) processus qui se répètent à intervalles réguliers. De tels processus sont appelés oscillatoire.
Les oscillations sont l’un des processus les plus courants dans la nature et dans la technologie. Les ailes d'insectes et d'oiseaux en vol, les immeubles de grande hauteur et les fils à haute tension sous l'influence du vent, le pendule d'une horloge à remontage et d'une voiture sur ressorts en roulant, le niveau de la rivière tout au long de l'année et la température de l'eau. corps humain pendant la maladie, le son est constitué de fluctuations de la densité et de la pression de l'air, les ondes radio sont des changements périodiques dans l'intensité des champs électriques et magnétiques, la lumière visible est également des vibrations électromagnétiques, mais avec des longueurs d'onde et des fréquences légèrement différentes, les tremblements de terre sont des vibrations du sol, le pouls ce sont des contractions périodiques du muscle cardiaque humain, etc.
Les oscillations peuvent être mécaniques, électromagnétiques, chimiques, thermodynamiques et diverses autres. Malgré une telle diversité, ils ont tous beaucoup de points communs.
Phénomènes oscillatoires de divers nature physique obéir aux lois générales. Par exemple, les oscillations du courant dans un circuit électrique et les oscillations d'un pendule mathématique peuvent être décrites par les mêmes équations. La généralité des schémas vibratoires permet de considérer processus oscillatoires de natures différentes d'un point de vue unique. Un signe de mouvement oscillatoire est son périodicité.
Vibrations mécaniques –Cemouvements répétés exactement ou approximativement à intervalles réguliers.
Exemples de simples systèmes oscillatoires peut servir de charge sur un ressort (pendule à ressort) ou de bille sur une corde (pendule mathématique).
Lors des vibrations mécaniques, les énergies cinétiques et potentielles changent périodiquement.
À écart maximal corps à partir de sa position d'équilibre, de sa vitesse, et donc l'énergie cinétique tend vers zéro. Dans cette position énergie potentielle corps oscillant atteint la valeur maximale. Pour une charge sur un ressort, l’énergie potentielle est l’énergie de déformation élastique du ressort. Pour un pendule mathématique, il s’agit de l’énergie du champ gravitationnel de la Terre.
Lorsqu'un corps, dans son mouvement, traverse Position d'équilibre, sa vitesse est maximale. Le corps dépasse la position d'équilibre selon la loi de l'inertie. En ce moment, il a énergie cinétique maximale et énergie potentielle minimale. Une augmentation de l'énergie cinétique se produit en raison d'une diminution de l'énergie potentielle.
Avec un mouvement ultérieur, l'énergie potentielle commence à augmenter en raison d'une diminution de l'énergie cinétique, etc.
Ainsi, lors des oscillations harmoniques, une transformation périodique de l'énergie cinétique en énergie potentielle et vice versa se produit.
S'il n'y a pas de frottement dans le système oscillatoire, alors l'énergie mécanique totale lors des vibrations mécaniques reste inchangée.
Pour charge à ressort:
A la position de déviation maximale, l'énergie totale du pendule est égale à l'énergie potentielle du ressort déformé :
Lors du passage par la position d'équilibre, l'énergie totale est égale à l'énergie cinétique de la charge :
Pour les petites oscillations d'un pendule mathématique:
A la position de déviation maximale, l'énergie totale du pendule est égale à l'énergie potentielle du corps élevé à une hauteur h :
Lors du passage par la position d'équilibre, l'énergie totale est égale à l'énergie cinétique du corps :
Ici h m– la hauteur maximale du pendule dans le champ gravitationnel terrestre, xm et υ m = ω 0 xm– les valeurs maximales de l’écart du pendule par rapport à la position d’équilibre et de sa vitesse.
Oscillations harmoniques et leurs caractéristiques. Équation de vibration harmonique.
Le type de processus oscillatoire le plus simple est simple vibrations harmoniques, qui sont décrits par l'équation
X = xm cos(ω t + φ 0).
Ici X– déplacement du corps depuis la position d'équilibre,
xm– l'amplitude des oscillations, c'est-à-dire le déplacement maximal par rapport à la position d'équilibre,
ω – fréquence cyclique ou circulaire hésitation,
t- temps.
Caractéristiques du mouvement oscillatoire.
Décalage x –écart d'un point oscillant par rapport à sa position d'équilibre. L'unité de mesure est 1 mètre.
Amplitude d'oscillation A – l'écart maximal d'un point oscillant par rapport à sa position d'équilibre. L'unité de mesure est 1 mètre.
Période d'oscillationT– l'intervalle de temps minimum pendant lequel une oscillation complète se produit est appelé. L'unité de mesure est 1 seconde.
T=t/N
où t est le temps d'oscillation, N est le nombre d'oscillations effectuées pendant ce temps.
A partir du graphique des oscillations harmoniques, vous pouvez déterminer la période et l'amplitude des oscillations :
Fréquence d'oscillation ν – une grandeur physique égale au nombre d'oscillations par unité de temps.
ν=N/t
La fréquence est l’inverse de la période d’oscillation :
Fréquence oscillations ν indique le nombre d'oscillations qui se produisent en 1 s. L'unité de fréquence est. hertz(Hz).
Fréquence cyclique ω– nombre d'oscillations en 2π secondes.
La fréquence d'oscillation ν est liée à fréquence cyclique ω et période d'oscillation T ratios :
Phase processus harmonique - une quantité sous le signe sinus ou cosinus dans l'équation des oscillations harmoniques φ = ω t + φ 0 . À t= 0 φ = φ 0 , donc φ 0 appelé phase initiale.
Graphique harmonique représente une onde sinusoïdale ou cosinusoïdale.
Dans les trois cas pour les courbes bleues φ 0 = 0 :
seulement plus grand amplitude(x" m > x m);
la courbe rouge est différente de la bleue seulement signification période(T" = T/2);
la courbe rouge est différente de la bleue seulement signification phase initiale(content).
À mouvement oscillatoire corps le long d'une ligne droite (axe BŒUF) le vecteur vitesse est toujours dirigé le long de cette droite. La vitesse de mouvement du corps est déterminée par l'expression
En mathématiques, la procédure pour trouver la limite du rapport Δх/Δt à Δ t→ 0 s'appelle calculer la dérivée de la fonction X(t) par heure t et est noté X"(t).La vitesse est égale à la dérivée de la fonction x( t) par heure t.
Pour la loi harmonique du mouvement X = xm cos(ω t+ φ 0) le calcul de la dérivée conduit au résultat suivant :
υ X =X"(t)= ω xm péché (ω t + φ 0)
L'accélération est déterminée de la même manière un x corps lors de vibrations harmoniques. Accélération un est égal à la dérivée de la fonction υ( t) par heure t, ou la dérivée seconde de la fonction X(t). Les calculs donnent :
et x = υ x "(t) =X""(t)= -ω 2 xm cos(ω t+ φ 0)=-ω 2 X
Le signe moins dans cette expression signifie que l'accélération un(t) a toujours un signe, signe opposé compensations X(t), et donc, selon la deuxième loi de Newton, la force qui amène le corps à effectuer des oscillations harmoniques est toujours dirigée vers la position d’équilibre ( X = 0).
La figure montre des graphiques des coordonnées, de la vitesse et de l'accélération d'un corps effectuant des oscillations harmoniques.
Graphiques des coordonnées x(t), de la vitesse υ(t) et de l'accélération a(t) d'un corps effectuant des oscillations harmoniques.
Pendule à ressort.
Pendule à ressortest une charge d'une certaine masse m attachée à un ressort de raideur k, dont la deuxième extrémité est fixée fixement.
Fréquence naturelleω 0 les oscillations libres de la charge sur le ressort se trouvent par la formule :
Période T les vibrations harmoniques de la charge sur le ressort sont égales à
Cela signifie que la période d'oscillation d'un pendule à ressort dépend de la masse de la charge et de la raideur du ressort.
Propriétés physiques du système oscillatoire déterminer uniquement la fréquence propre des oscillations ω 0 et la période T . Paramètres du processus d'oscillation tels que l'amplitude xm Et phase initialeφ 0 sont déterminés par la manière dont le système a été déséquilibré au moment initial.
Pendule mathématique.
Pendule mathématiqueappelé petit corps suspendu à un fil fin et inextensible dont la masse est négligeable par rapport à la masse du corps.
En position d'équilibre, lorsque le pendule est suspendu à l'aplomb, la force de gravité est équilibrée par la force de tension du fil N. Lorsque le pendule est dévié de la position d'équilibre d'un certain angle φ, une composante tangentielle de la force de gravité apparaît F τ = – mg péché φ. Le signe moins dans cette formule signifie que la composante tangentielle est dirigée dans la direction opposée à la déviation du pendule.
Pendule mathématique.φ – déviation angulaire du pendule par rapport à la position d'équilibre,
X= lφ – déplacement du pendule le long de l'arc
La fréquence naturelle des petites oscillations d'un pendule mathématique est exprimée par la formule :
Période d'oscillation d'un pendule mathématique :
Cela signifie que la période d'oscillation d'un pendule mathématique dépend de la longueur du fil et de l'accélération de la chute libre de la zone où est installé le pendule.
Vibrations libres et forcées.
Les vibrations mécaniques, comme les processus oscillatoires de toute autre nature physique, peuvent être gratuit Et forcé.
Vibrations gratuites –Il s’agit d’oscillations qui se produisent dans un système sous l’influence de forces internes, une fois que le système a quitté une position d’équilibre stable.
Les oscillations d'un poids sur un ressort ou les oscillations d'un pendule sont des oscillations libres.
Pour que des vibrations libres se produisent le long loi harmonique, il faut que la force tendant à ramener le corps à la position d'équilibre soit proportionnelle au déplacement du corps depuis la position d'équilibre et dirigée dans le sens opposé au déplacement.
DANS conditions réelles tout système oscillatoire est sous l'influence de forces de frottement (résistance). De plus, une partie énergie mécanique se transforme en énergie interne mouvement thermique des atomes et des molécules, et les vibrations deviennent décoloration.
Décoloration appelées oscillations dont l'amplitude diminue avec le temps.
Pour éviter que les oscillations ne s'atténuent, il est nécessaire de fournir au système une énergie supplémentaire, c'est-à-dire influencer le système oscillatoire avec une force périodique (par exemple, pour faire basculer une balançoire).
Les oscillations se produisant sous l'influence d'une force externe changeant périodiquement sont appeléesforcé.
Une force externe effectue un travail positif et fournit un flux d'énergie au système oscillatoire. Il ne permet pas aux vibrations de s'éteindre, malgré l'action des forces de friction.
Une force externe périodique peut varier dans le temps selon diverses lois. Un intérêt particulier représente le cas où une force extérieure, variant selon une loi harmonique de fréquence ω, agit sur un système oscillatoire capable d'effectuer ses propres oscillations à une certaine fréquence ω 0.
Si des oscillations libres se produisent à une fréquence ω 0, qui est déterminée par les paramètres du système, alors des oscillations forcées constantes se produisent toujours à fréquence ω force externe .
Phénomène forte augmentation amplitudes oscillations forcées lorsque la fréquence des oscillations naturelles coïncide avec la fréquence de la force motrice externe, on parle derésonance.
Dépendance à l'amplitude xm les oscillations forcées à partir de la fréquence ω de la force motrice sont appelées caractéristique de résonance ou courbe de résonance.
Courbes de résonance à différents niveaux atténuation:
1 – système oscillatoire sans frottement ; à la résonance, l'amplitude x m des oscillations forcées augmente indéfiniment ;
2, 3, 4 – courbes de résonance réelles pour systèmes oscillatoires avec différents frottements.
En l'absence de frottement, l'amplitude des oscillations forcées lors de la résonance doit augmenter sans limite. Dans des conditions réelles, l'amplitude des oscillations forcées en régime permanent est déterminée par la condition : le travail d'une force externe pendant la période d'oscillation doit être égal à la perte d'énergie mécanique pendant le même temps due au frottement. Moins il y a de frottement, plus l'amplitude des oscillations forcées lors de la résonance est grande.
Le phénomène de résonance peut provoquer la destruction de ponts, de bâtiments et d'autres structures si les fréquences naturelles de leurs oscillations coïncident avec la fréquence d'une force agissant périodiquement, qui apparaît, par exemple, en raison de la rotation d'un moteur déséquilibré.
(lat. amplitude- magnitude) est la plus grande déviation d'un corps oscillant par rapport à sa position d'équilibre.
Pour un pendule, il s'agit de la distance maximale à laquelle la bille s'éloigne de sa position d'équilibre (figure ci-dessous). Pour les oscillations de petites amplitudes, une distance telle que la longueur de l'arc 01 ou 02 et la longueur de ces segments peuvent être prises.
L'amplitude des oscillations est mesurée en unités de longueur - mètres, centimètres, etc. Sur le graphique des oscillations, l'amplitude est définie comme l'ordonnée maximale (modulo) de la courbe sinusoïdale (voir figure ci-dessous).
Période d'oscillation.
Période d'oscillation- Ce le plus petit écart le temps après lequel le système oscillant revient au même état dans lequel il se trouvait à l'instant initial, choisi arbitrairement.
En d’autres termes, la période d’oscillation ( T) est le temps pendant lequel une oscillation complète se produit. Par exemple, dans la figure ci-dessous, c'est le temps qu'il faut au pendule pour se déplacer du point le plus à droite jusqu'au point d'équilibre. À PROPOS jusqu'au point le plus à gauche et revenir par le point À PROPOS encore une fois à l'extrême droite.
Derrière période complète oscillations, le corps parcourt ainsi un chemin égal à quatre amplitudes. La période d'oscillation est mesurée en unités de temps - secondes, minutes, etc. La période d'oscillation peut être déterminée par célèbre graphiste vibrations (voir figure ci-dessous).
La notion de « période d'oscillation », à proprement parler, n'est valable que lorsque les valeurs de la grandeur oscillante se répètent exactement après un certain laps de temps, c'est-à-dire pour les oscillations harmoniques. Cependant, ce concept s'applique également aux cas de quantités approximativement répétitives, par exemple pour oscillations amorties.
Fréquence d'oscillation.
Fréquence d'oscillation- c'est le nombre d'oscillations effectuées par unité de temps, par exemple en 1 s.
L'unité SI de fréquence est nommée hertz(Hz) en l'honneur du physicien allemand G. Hertz (1857-1894). Si la fréquence d'oscillation ( v) est égal à 1 Hz, cela signifie que chaque seconde il y a une oscillation. La fréquence et la période des oscillations sont liées par les relations :
Dans la théorie des oscillations, ils utilisent également le concept cyclique, ou fréquence circulaire ω . C'est lié à la fréquence normale v et période d'oscillation T ratios :
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Fréquence cyclique est le nombre d'oscillations effectuées par 2π secondes
