Ralenti curviligne. Vitesse et accélération lors d'un mouvement courbe

Dans cet article, nous aborderons :

• que sont les vecteurs colinéaires ;
• quelles sont les conditions de colinéarité des vecteurs ;
• quelles sont les propriétés des vecteurs colinéaires ;
• quelle est la dépendance linéaire des vecteurs colinéaires.

Les vecteurs colinéaires sont des vecteurs parallèles à une ligne ou se trouvant sur une ligne.

Exemple 1

Conditions de colinéarité des vecteurs

Deux vecteurs sont colinéaires si l’une des conditions suivantes est vraie :

• état 1 . Les vecteurs a et b sont colinéaires s'il existe un nombre λ tel que a = λ b ;
• état 2 . Les vecteurs a et b sont colinéaires avec des rapports de coordonnées égaux :

une = (une 1 ; une 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ une ∥ b ⇔ une 1 b 1 = une 2 b 2

• état 3 . Les vecteurs a et b sont colinéaires sous condition d'égalité produit vectoriel et vecteur zéro :

une ∥ b ⇔ une, b = 0

Note 1

Condition 2 non applicable si l'une des coordonnées vectorielles est nulle.

Note 2

Condition 3 s'applique uniquement aux vecteurs spécifiés dans l'espace.

Exemples de problèmes pour étudier la colinéarité des vecteurs

Nous examinons les vecteurs a = (1 ; 3) et b = (2 ; 1) pour la colinéarité.

Comment résoudre?

DANS dans ce cas il faut utiliser la 2ème condition de colinéarité. Pour vecteurs donnésça ressemble à ça :

L'égalité est fausse. Nous pouvons en conclure que les vecteurs a et b ne sont pas colinéaires.

Répondre : un | | b

Exemple 2

Quelle valeur m du vecteur a = (1 ; 2) et b = (- 1 ; m) est nécessaire pour que les vecteurs soient colinéaires ?

Comment résoudre?

En utilisant la deuxième condition de colinéarité, les vecteurs seront colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles :

Cela montre que m = - 2.

Répondre: m = - 2 .

Critères de dépendance linéaire et d'indépendance linéaire des systèmes vectoriels

Système vectoriel espace vectoriel n'est linéairement dépendant que si l'un des vecteurs du système peut être exprimé en termes des vecteurs restants du système donné.

Preuve

Soit le système e 1 , e 2 , . . . , e n est linéairement dépendant. Écrivons une combinaison linéaire de ce système égale à vecteur zéro:

une 1 e 1 + une 2 e 2 + . . . + une n e n = 0

dans lequel au moins un des coefficients de combinaison n'est pas égal à zéro.

Soit a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

On divise les deux côtés de l'égalité par un coefficient non nul :

une k - 1 (une k - 1 une 1) e 1 + (une k - 1 une k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Notons :

A k - 1 une m , où m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Dans ce cas:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

ou e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Il s'ensuit que l'un des vecteurs du système s'exprime à travers tous les autres vecteurs du système. C'est ce qu'il fallait prouver (etc.).

Adéquation

Soit l'un des vecteurs exprimé linéairement à travers tous les autres vecteurs du système :

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

On transfère le vecteur e k à côté droit cette égalité :

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Puisque le coefficient du vecteur e k est égal à - 1 ≠ 0, on obtient une représentation non triviale de zéro par un système de vecteurs e 1, e 2, . . . , e n , ce qui signifie à son tour que ce système les vecteurs sont linéairement dépendants. C'est ce qu'il fallait prouver (etc.).

Conséquence:

• Un système de vecteurs est linéairement indépendant lorsqu’aucun de ses vecteurs ne peut être exprimé en termes de tous les autres vecteurs du système.
• Un système de vecteurs qui contient un ou deux vecteurs nuls vecteur égal, linéairement dépendant.

Propriétés des vecteurs linéairement dépendants

1. Pour les vecteurs à 2 et 3 dimensions, la condition suivante est remplie : deux vecteurs linéairement dépendants sont colinéaires. Deux vecteurs colinéaires sont linéairement dépendants.
2. Pour les vecteurs tridimensionnels, la condition est satisfaite : trois linéairement vecteurs dépendants- coplanaire. (3 vecteur coplanaire- linéairement dépendant).
3. Pour les vecteurs à n dimensions, la condition suivante est satisfaite : n + 1 vecteurs sont toujours linéairement dépendants.

Exemples de résolution de problèmes impliquant une dépendance linéaire ou une indépendance linéaire des vecteurs

Vérifions les vecteurs a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 pour indépendance linéaire.

Solution. Les vecteurs sont linéairement dépendants car la dimension des vecteurs est inférieure au nombre de vecteurs.

Exemple 4

Vérifions les vecteurs a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 pour l'indépendance linéaire.

Solution. On retrouve les valeurs des coefficients pour lesquels la combinaison linéaire sera égale au vecteur zéro :

x 1 une + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Écrivons-le équation vectorielle sous forme linéaire :

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Nous résolvons ce système en utilisant la méthode de Gauss :

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

De la 2ème ligne on soustrait la 1ère, de la 3ème - la 1ère :

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

De la 1ère ligne on soustrait la 2ème, à la 3ème on ajoute la 2ème :

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

De la solution, il s'ensuit que le système a de nombreuses solutions. Cela signifie qu'il existe une combinaison non nulle de valeurs de tels nombres x 1, x 2, x 3 pour laquelle la combinaison linéaire de a, b, c est égale au vecteur zéro. Donc les vecteurs a, b, c sont linéairement dépendant.

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un 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, un 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, un 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Solution. Sont en train de chercher décision commune systèmes d'équations

un 1 X 1 + un 2 X 2 + un 3 X 3 = Θ

Méthode Gauss. Pour ce faire, on écrit ce système homogène en coordonnées :

Matrice du système

Le système autorisé a la forme : (r Un = 2, n= 3). Le système est coopératif et incertain. Sa solution générale ( X 2 – variable libre) : X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . La présence d'une solution particulière non nulle, par exemple, indique que les vecteurs un 1 , un 2 , un 3 linéairement dépendant.

Exemple 2.

Découvrez si un système de vecteurs donné est linéairement dépendant ou linéairement indépendant :

1. un 1 = { -20, -15, - 4 }, un 2 = { –7, -2, -4 }, un 3 = { 3, –1, –2 }.

Solution. Considérons un système d'équations homogène un 1 X 1 + un 2 X 2 + un 3 X 3 = Θ

ou sous forme développée (par coordonnées)

Le système est homogène. S'il n'est pas dégénéré, alors il a seule décision. Quand système homogène– solution nulle (triviale). Cela signifie que dans ce cas le système de vecteurs est indépendant. Si le système est dégénéré, alors il a des solutions non nulles et, par conséquent, il est dépendant.

Nous vérifions la dégénérescence du système :

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Le système est non dégénéré et donc les vecteurs un 1 , un 2 , un 3 linéairement indépendant.

Tâches. Découvrez si un système de vecteurs donné est linéairement dépendant ou linéairement indépendant :

1. un 1 = { -4, 2, 8 }, un 2 = { 14, -7, -28 }.

2. un 1 = { 2, -1, 3, 5 }, un 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. un 1 = { -7, 5, 19 }, un 2 = { -5, 7 , -7 }, un 3 = { -8, 7, 14 }.

4. un 1 = { 1, 2, -2 }, un 2 = { 0, -1, 4 }, un 3 = { 2, -3, 3 }.

5. un 1 = { 1, 8 , -1 }, un 2 = { -2, 3, 3 }, un 3 = { 4, -11, 9 }.

6. un 1 = { 1, 2 , 3 }, un 2 = { 2, -1 , 1 }, un 3 = { 1, 3, 4 }.

7. un 1 = {0, 1, 1 , 0}, un 2 = {1, 1 , 3, 1}, un 3 = {1, 3, 5, 1}, un 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. un 1 = {-1, 7, 1 , -2}, un 2 = {2, 3 , 2, 1}, un 3 = {4, 4, 4, -3}, un 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Montrer qu'un système de vecteurs sera linéairement dépendant s'il contient :

a) deux vecteurs égaux ;

b) deux vecteurs proportionnels.

Les notions de vitesse et d'accélération sont naturellement généralisées au cas du mouvement. point matériel Par trajectoire curviligne . La position du point mobile sur la trajectoire est spécifiée par le rayon vecteur r , tiré à ce point de n'importe quel un point fixe À PROPOS, par exemple, l'origine des coordonnées (Fig. 1.2). Laisse à un moment donné t le point matériel est en position M avec vecteur de rayon r = r (t). Plus tard un bref délais D t, il se déplacera vers la position M1 avec rayon - vecteur r 1 = r (t+ D t). Rayon - le vecteur du point matériel recevra un incrément déterminé par différence géométrique D r = r 1 - r . Vitesse moyenne dans le temps D t s'appelle la quantité

Direction vitesse moyenne V Épouser allumettes avec la direction vectorielle D r .

Limitation de vitesse moyenne en D t® 0, c'est-à-dire dérivée du rayon - vecteur r par heure

(1.9)

appelé vrai ou instantané vitesse d'un point matériel. Vecteur V dirigé tangentiellementà la trajectoire d'un point en mouvement.

Accélération UN est appelé un vecteur égal à la dérivée première du vecteur vitesse V ou la dérivée seconde du rayon - vecteur r par heure:

(1.10)

(1.11)

Notons l'analogie formelle suivante entre vitesse et accélération. A partir d'un point fixe arbitraire O 1 nous tracerons le vecteur vitesse V point mobile à tout moment possible (Fig. 1.3).

Fin du vecteur V appelé point de vitesse. Lieu géométrique points de vitesse, il y a une courbe appelée hodographe de vitesse. Lorsqu'un point matériel décrit une trajectoire, le point de vitesse correspondant se déplace le long de l'hodographe.

Riz. 1.2 diffère de la Fig. 1.3 par notation uniquement. Rayon – vecteur r remplacé par le vecteur vitesse V , le point matériel - au point de vitesse, la trajectoire - à l'hodographe. Opérations mathématiques au dessus du vecteur r lors de la recherche de la vitesse et au-dessus du vecteur V une fois trouvées, les accélérations sont complètement identiques.

Vitesse V dirigé selon une trajectoire tangentielle. C'est pourquoi accélérationun sera dirigé tangentiellement à l'hodographe rapide. On peut dire que l'accélération est la vitesse de déplacement du point de vitesse le long de l'hodographe. Ainsi,

AVEC mouvement rectiligne nous avons plus ou moins appris à travailler dans les leçons précédentes, à savoir résoudre le principal problème de mécanique pour ce type de mouvement.

Cependant, il est clair que dans monde réel on a le plus souvent affaire à un mouvement curviligne, lorsque la trajectoire est une ligne courbe. Des exemples d'un tel mouvement sont la trajectoire d'un corps projeté en biais par rapport à l'horizon, le mouvement de la Terre autour du Soleil et même la trajectoire du mouvement de vos yeux, qui suivent maintenant cette note.

La question de savoir comment résoudre la tâche principale mécanique dans le cas d'un mouvement curviligne, et cette leçon y sera consacrée.

Tout d'abord, décidons quoi différences fondamentales a le mouvement curviligne (Fig. 1) par rapport au mouvement rectiligne, et à quoi conduisent ces différences.

Riz. 1. Trajectoire du mouvement curviligne

Parlons de la façon dont il est pratique de décrire le mouvement d'un corps lors d'un mouvement curviligne.

Le mouvement peut être divisé en sections distinctes, dans chacune desquelles le mouvement peut être considéré comme rectiligne (Fig. 2).

Riz. 2. Partitionner le mouvement curviligne en mouvements de translation

Toutefois, l’approche suivante est plus pratique. Nous imaginerons ce mouvement comme une combinaison de plusieurs mouvements le long d'arcs de cercle (voir Fig. 3.). Veuillez noter qu'il y a moins de cloisons de ce type que dans le cas précédent, de plus, le mouvement le long du cercle est curviligne. De plus, les exemples de mouvements circulaires sont très courants dans la nature. De ceci nous pouvons conclure :

Afin de décrire un mouvement curviligne, vous devez apprendre à décrire un mouvement dans un cercle, puis représenter un mouvement arbitraire sous la forme d'ensembles de mouvements le long d'arcs de cercle.

Riz. 3. Partitionner le mouvement curviligne en mouvement le long d'arcs de cercle

Commençons donc par étudier le mouvement curviligne en étudiant Mouvement uniforme autour de la circonférence. Voyons quelles sont les différences fondamentales entre le mouvement curviligne et le mouvement rectiligne. Pour commencer, rappelons qu'en neuvième année, nous avons étudié le fait que la vitesse d'un corps lorsqu'il se déplace en cercle est dirigée de manière tangente à la trajectoire. À propos, vous pouvez observer ce fait expérimentalement si vous observez le mouvement des étincelles lors de l'utilisation d'une pierre à aiguiser.

Considérons le mouvement d'un corps en cercle (Fig. 4).

Riz. 4. Vitesse du corps lors d'un déplacement en cercle

Veuillez noter que dans ce cas, le module de la vitesse du corps au point A égal au module vitesse du corps au point B.

Cependant, le vecteur n’est pas égal au vecteur. Nous avons donc un vecteur de différence de vitesse (voir Fig. 5).

Riz. 5. Différence de vitesse aux points A et B.

De plus, le changement de vitesse s'est produit après un certain temps. On obtient donc la combinaison familière :

,

ce n'est rien de plus qu'un changement de vitesse sur une période de temps ou une accélération d'un corps. Cela peut être fait très conclusion importante:

Le mouvement le long d’une trajectoire courbe est accéléré. La nature de cette accélération est un changement continu de la direction du vecteur vitesse.

Notons encore une fois que même si l’on dit qu’un corps se déplace uniformément en cercle, cela signifie que le module de la vitesse du corps ne change pas, mais un tel mouvement est toujours accéléré, puisque la direction de la vitesse change.

En neuvième année, vous avez étudié ce qu'est cette accélération et comment elle est dirigée (voir Fig. 6). L'accélération centripète est toujours dirigée vers le centre du cercle le long duquel le corps se déplace.

Riz. 6. Accélération centripète

Le module d'accélération centripète peut être calculé à l'aide de la formule

Passons à la description du mouvement uniforme d'un corps dans un cercle. Admettons que la vitesse que vous avez utilisée pour décrire le mouvement de translation sera désormais appelée vitesse linéaire. Et par vitesse linéaire on comprendra Vitesse instantanée en un point de la trajectoire d'un corps en rotation.

Riz. 7. Mouvement des points du disque

Considérons un disque qui tourne dans le sens des aiguilles d’une montre pour plus de précision. Sur son rayon, nous marquons deux points A et B. Et considérons leur mouvement. Au fil du temps, ces points se déplaceront le long d’arcs de cercle et deviendront les points A’ et B’. Il est évident que le point A s'est déplacé plus que le point B. De là, nous pouvons conclure que plus le point est éloigné de l'axe de rotation, plus la vitesse linéaire à laquelle il se déplace est grande.

Cependant, si vous regardez attentivement les points A et B, vous pouvez dire que l'angle θ dont ils ont tourné par rapport à l'axe de rotation O est resté inchangé. Ce sont les caractéristiques angulaires que nous utiliserons pour décrire le mouvement en cercle. Notez que pour décrire un mouvement dans un cercle, vous pouvez utiliser coin caractéristiques. Tout d’abord, rappelons la notion de mesure des angles en radian.

Un angle de 1 radian est comme ça angle central, dont la longueur de l'arc est égale au rayon du cercle.

Ainsi, il est facile de remarquer que, par exemple, l'angle à égal aux radians. Et, par conséquent, vous pouvez convertir n’importe quel angle exprimé en degrés en radians en le multipliant par et en le divisant par . Angle de rotation à mouvement de rotation similaire au mouvement de translation. Notez que le radian est une quantité sans dimension :

c'est pourquoi la désignation « rad » est souvent omise.

Commençons par considérer le mouvement en cercle dès le début. cas simple– mouvement uniforme autour d’un cercle. Rappelez-vous cet uniforme mouvement vers l'avant est un mouvement dans lequel un corps effectue des mouvements égaux dans des intervalles de temps égaux. De même,

Un mouvement circulaire uniforme est un mouvement dans lequel le corps tourne selon des angles égaux sur des intervalles de temps égaux.

Semblable au concept de vitesse linéaire, le concept vitesse angulaire.

La vitesse angulaire est appelée quantité physique, égal au rapport l'angle selon lequel le corps a tourné au moment où cette rotation s'est produite.

La vitesse angulaire est mesurée en radians par seconde, ou simplement en secondes réciproques.

Trouvons le lien entre la vitesse angulaire de rotation d'un point et la vitesse linéaire de ce point.

Riz. 9. Relation entre la vitesse angulaire et linéaire

Le point A tourne sur un arc de longueur S, tournant d'un angle φ. A partir de la définition de la mesure radian d'un angle, nous pouvons écrire que

Divisons les côtés gauche et droit de l'égalité par la période de temps pendant laquelle le mouvement a été effectué, puis utilisons la définition des vitesses angulaires et linéaires

.

Attention, plus un point est éloigné de l’axe de rotation, plus sa vitesse angulaire et linéaire est élevée. Et les points situés sur l'axe de rotation lui-même sont immobiles. Un exemple en est un carrousel : plus vous êtes proche du centre du carrousel, plus il vous est facile d'y rester.

Rappelons que nous avons introduit plus haut les notions de période et de fréquence de rotation.

La période de rotation est la durée d'un tour complet. La période de rotation est désignée par une lettre et mesurée en secondes dans le système SI :

La fréquence de rotation est le nombre de tours par unité de temps. La fréquence est indiquée par une lettre et mesurée en secondes réciproques :

Ils sont liés par la relation :

Il existe une relation entre la vitesse angulaire et la fréquence de rotation du corps. Si on s'en souvient tour complet est égale à , il est facile de voir que la vitesse angulaire est :

De plus, si nous nous rappelons comment nous avons défini le concept de radian, il deviendra clair comment le relier vitesse linéaire corps avec angulaire :

.

Écrivons également la relation entre l'accélération centripète et ces quantités :

.

Ainsi, nous connaissons la relation entre toutes les caractéristiques du mouvement circulaire uniforme.

Résumons. Dans cette leçon, nous avons commencé à décrire le mouvement curviligne. Nous avons compris comment relier le mouvement curviligne au mouvement circulaire. Le mouvement circulaire est toujours accéléré et la présence d'une accélération détermine le fait que la vitesse change toujours de direction. Cette accélération est dite centripète. Enfin, nous avons rappelé certaines caractéristiques du mouvement circulaire (vitesse linéaire, vitesse angulaire, période et fréquence de rotation), et trouvé les relations entre elles.

Bibliographie:

1. G. Ya. Myakishev, B. B. Bukhovtsev, N. N. Sotsky. Physique 10. – M. : Éducation, 2008.
2. A. P. Rymkevitch. La physique. Livre de problèmes 10-11. – M. : Outarde, 2006.
3. O. Ya. Problèmes de physique. – M. : Nauka, 1988.
4. A. V. Peryshkin, V. V. Krauklis. Cours de physique. T. 1. – M. : Etat. professeur éd. min. éducation de la RSFSR, 1957.

1. Encyclopédie ().
2. Аyp.ru ().
3. Wikipédia ().

Devoirs:

Après avoir résolu les problèmes de Cette leçon, vous pouvez vous préparer aux questions 1 du GIA et aux questions A1, A2 de l'examen d'État unifié.

1. Problèmes 92, 94, 98, 106, 110 sb. problèmes A. P. Rymkevich éd. dix ()
2. Calculez la vitesse angulaire des aiguilles des minutes, des secondes et des heures de l’horloge. Calculer accélération centripète, en agissant sur les pointes de ces flèches si le rayon de chacune d'elles est égal à un mètre.
3. Considérer prochaines questions et leurs réponses :

Question: Existe-t-il des points sur la surface de la Terre où la vitesse angulaire associée à la rotation quotidienne de la Terre est nulle ?

Répondre: Manger. Ces points sont pôles géographiques Terre. La vitesse en ces points est nulle car en ces points vous serez sur l’axe de rotation.