Le déplacement (en cinématique) est un changement dans l'emplacement d'un corps physique dans l'espace par rapport au système de référence sélectionné. Le vecteur qui caractérise ce changement est aussi appelé déplacement. Il a la propriété d’additivité.
Vitesse (souvent désignée par l'anglais Velocity ou le français vitesse) - vecteur quantité physique, caractérisant la rapidité de mouvement et la direction de mouvement d'un point matériel dans l'espace par rapport au système de référence sélectionné (par exemple, vitesse angulaire).
L'accélération (généralement désignée en mécanique théorique) est la dérivée de la vitesse par rapport au temps, quantité de vecteur, montrant à quel point le vecteur vitesse d'un point (corps) change à mesure qu'il se déplace par unité de temps (c'est-à-dire que l'accélération prend en compte non seulement le changement de l'amplitude de la vitesse, mais aussi sa direction).
Accélération tangentielle (tangentielle)– c'est la composante du vecteur accélération dirigée le long de la tangente à la trajectoire en un point donné de la trajectoire du mouvement. L'accélération tangentielle caractérise le changement de vitesse modulo à mouvement curviligne.
Riz. 1.10. Accélération tangentielle.
Direction du vecteur accélération tangentielleτ (voir Fig. 1.10) coïncide avec la direction de la vitesse linéaire ou lui est opposée. Autrement dit, le vecteur d'accélération tangentielle se trouve sur le même axe que le cercle tangent, qui est la trajectoire du corps.
Accélération normale
Accélération normale est la composante du vecteur accélération dirigée le long de la normale à la trajectoire du mouvement en un point donné de la trajectoire du corps. C'est-à-dire que le vecteur d'accélération normal est perpendiculaire à la vitesse linéaire du mouvement (voir Fig. 1.10). L'accélération normale caractérise le changement de vitesse en direction et est désignée par la lettre n. Le vecteur d'accélération normal est dirigé le long du rayon courbure de la trajectoire.
Pleine accélération
Pleine accélération en mouvement curviligne, il est constitué d'accélérations tangentielles et normales selon la règle de l'addition vectorielle et est déterminé par la formule :
(d'après le théorème de Pythagore pour un rectangle rectangulaire).
La direction de l'accélération totale est également déterminée par la règle d'addition vectorielle :
Forcer. Poids. Les lois de Newton.
La force est une grandeur physique vectorielle, qui est une mesure de l'intensité de l'influence d'autres corps, ainsi que des champs, sur un corps donné. Une force appliquée à un corps massif provoque une modification de sa vitesse ou l'apparition de déformations dans celui-ci.
La masse (du grec μάζα) est une grandeur physique scalaire, l'une des grandeurs les plus importantes en physique. Initialement (XVIIe-XIXe siècles), il caractérisait la « quantité de substance » dans objet physique, dont, selon les idées de l'époque, dépendaient à la fois la capacité d'un objet à résister à la force appliquée (inertie) et les propriétés gravitationnelles - le poids. Étroitement lié aux concepts d'« énergie » et d'« élan » (selon idées modernes- la masse équivaut à l'énergie au repos).
La première loi de Newton
Il existe de tels systèmes de référence, dits inertiels, par rapport auxquels le point matériel en l'absence influences extérieures maintient indéfiniment l’ampleur et la direction de sa vitesse.
Deuxième loi de Newton
Dans un référentiel inertiel, l'accélération que reçoit un point matériel est directement proportionnelle à la résultante de toutes les forces qui lui sont appliquées et inversement proportionnelle à sa masse.
Troisième loi de Newton
Les points matériels agissent les uns sur les autres par paires avec des forces de même nature, dirigées le long de la droite reliant ces points, de même ampleur et de direction opposée :
Impulsion. Loi de conservation de la quantité de mouvement. Impacts élastiques et inélastiques.
L'impulsion (quantité de mouvement) est une grandeur physique vectorielle qui caractérise la mesure du mouvement mécanique d'un corps. En mécanique classique, la quantité de mouvement d'un corps égal au produit masse m de ce corps par sa vitesse v, la direction de l'impulsion coïncide avec la direction du vecteur vitesse :
La loi de conservation de la quantité de mouvement (Loi de conservation de la quantité de mouvement) stipule que la somme vectorielle de la quantité de mouvement de tous les corps (ou particules) d'un système fermé est une valeur constante.
En mécanique classique, la loi de conservation de la quantité de mouvement est généralement dérivée des lois de Newton. À partir des lois de Newton, on peut montrer que lors d'un déplacement dans un espace vide, l'élan est conservé dans le temps et qu'en présence d'interaction, le taux de son changement est déterminé par la somme des forces appliquées.
Comme toutes les lois fondamentales de conservation, la loi de conservation de la quantité de mouvement décrit l'une des symétries fondamentales : l'homogénéité de l'espace.
Impact absolument inélastique Ils appellent cette interaction d’impact dans laquelle les corps se connectent (se collent) les uns aux autres et avancent comme un seul corps.
Pour un impact totalement inélastique énergie mécanique n’est pas enregistré. Il se transforme partiellement ou totalement en énergie interne corps (chauffage).
Impact absolument élastique appelée collision dans laquelle l'énergie mécanique d'un système de corps est conservée.
Dans de nombreux cas, les collisions d'atomes, de molécules et de particules élémentaires obéissent aux lois de l'impact absolument élastique.
Avec un impact absolument élastique, ainsi que la loi de conservation de la quantité de mouvement, la loi de conservation de l'énergie mécanique est satisfaite.
4. Types d'énergie mécanique. Emploi. Pouvoir. Loi de conservation de l'énergie.
En mécanique, il existe deux types d’énergie : cinétique et potentielle.
L'énergie cinétique est l'énergie mécanique de tout corps en mouvement libre et est mesurée par le travail que le corps pourrait effectuer lorsqu'il ralentit jusqu'à l'arrêt complet.
Ainsi, l'énergie cinétique d'un corps en mouvement de translation est égale à la moitié du produit de la masse de ce corps par le carré de sa vitesse : 
L'énergie potentielle est l'énergie mécanique d'un système de corps, déterminée par leur position relative et la nature des forces d'interaction entre eux. Numériquement, l'énergie potentielle d'un système dans sa position donnée est égale au travail qui sera effectué par les forces agissant sur le système lors du déplacement du système de cette position à celle où l'énergie potentielle est conventionnellement acceptée. égal à zéro(E n = 0). Le concept d’« énergie potentielle » s’applique uniquement aux systèmes conservateurs, c’est-à-dire systèmes dans lesquels le travail des forces agissantes dépend uniquement des positions initiales et finales du système.
Ainsi, pour une charge pesant P élevée à une hauteur h, l'énergie potentielle sera égale à E n = Ph (E n = 0 à h = 0) ; pour une charge attachée à un ressort, E n = kΔl 2 / 2, où Δl est l'allongement (compression) du ressort, k est son coefficient de raideur (E n = 0 à l = 0) ; pour deux particules de masses m 1 et m 2, attirées selon la loi de la gravitation universelle, 
, où γ est la constante gravitationnelle, r est la distance entre les particules (E n = 0 à r → ∞).
Le terme « travail » en mécanique a deux significations : le travail en tant que processus dans lequel une force déplace un corps, agissant selon un angle autre que 90° ; le travail est une grandeur physique égale au produit de la force, du déplacement et du cosinus de l'angle entre la direction de la force et le déplacement :
Le travail est nul lorsque le corps se déplace par inertie (F = 0), lorsqu'il n'y a pas de mouvement (s = 0) ou lorsque l'angle entre le mouvement et la force est de 90° (cos a = 0). L'unité de travail SI est le joule (J).
1 joule est le travail effectué par une force de 1 N lorsqu'un corps se déplace de 1 m le long de la ligne d'action de la force. Pour déterminer la vitesse de travail, la valeur « puissance » est introduite.
La puissance est une quantité physique, égal au rapport travail effectué sur une période de temps jusqu'à cette période de temps.
Distinguer la puissance moyenne sur une période de temps :
et puissance instantanée dans ce moment temps:
Puisque le travail est une mesure du changement d’énergie, la puissance peut également être définie comme le taux de changement d’énergie d’un système.
L'unité SI de puissance est le watt, égal à un joule divisé par une seconde.
La loi de conservation de l'énergie est une loi fondamentale de la nature, établie empiriquement, qui stipule que pour un système physique isolé, une quantité physique scalaire peut être introduite, fonction des paramètres du système et appelée énergie, qui est conservée sur temps. Étant donné que la loi de conservation de l'énergie ne s'applique pas à des quantités et à des phénomènes spécifiques, mais reflète un modèle général applicable partout et toujours, on peut l'appeler non pas une loi, mais le principe de conservation de l'énergie.
Mouvement linéaire, vitesse linéaire, accélération linéaire.
En mouvement(en cinématique) - changement d'emplacement corps physique dans l'espace par rapport au système de référence choisi. Le vecteur caractérisant ce changement est aussi appelé déplacement. Il a la propriété d’additivité. La longueur du segment est le module de déplacement, mesuré en mètres (SI).
Vous pouvez définir le mouvement comme un changement du rayon vecteur d'un point : .
Le module de déplacement coïncide avec la distance parcourue si et seulement si la direction de déplacement ne change pas au cours du mouvement. Dans ce cas, la trajectoire sera un segment de droite. Dans tout autre cas, par exemple avec un mouvement curviligne, il résulte de l'inégalité triangulaire que le chemin est strictement plus long.
Vecteur D r = r -r 0 tiré de position initiale le déplacement d'un point vers sa position à un instant donné (incrément du rayon vecteur du point sur la période de temps considérée) est appelé en mouvement.
À mouvement droit le vecteur déplacement coïncide avec la section correspondante de la trajectoire et le module déplacement |D r| égal à la distance parcourue D s.
Vitesse linéaire d'un corps en mécanique
Vitesse
Caractériser le mouvement point matériel une quantité vectorielle est introduite - la vitesse, qui est définie comme rapidité le mouvement et son directionà un instant donné.
Laissez un point matériel se déplacer le long d'une certaine trajectoire curviligne pour qu'à ce moment t il correspond au rayon vecteur r 0 (Fig. 3). Pendant une courte période D t point je suivrai le chemin D s et recevra un déplacement élémentaire (infinitésimal) Dr.
Vecteur de vitesse moyenne
La direction du vecteur vitesse moyenne coïncide avec la direction du Dr. Avec une diminution illimitée de D t la vitesse moyenne tend vers une valeur limite appelée Vitesse instantanée v :
La vitesse instantanée v est donc une quantité vectorielle égale à la dérivée première du rayon vecteur du point en mouvement par rapport au temps. Puisque la sécante dans la limite coïncide avec la tangente, le vecteur vitesse v est dirigé tangentiellement à la trajectoire dans la direction du mouvement (Fig. 3). À mesure que D diminue t chemin D s se rapprochera de plus en plus de |Dr|, donc la valeur absolue de la vitesse instantanée
Ainsi, la valeur absolue de la vitesse instantanée est égale à la dérivée première du trajet par rapport au temps :
À Pas Mouvement uniforme - le module de vitesse instantanée évolue dans le temps. DANS dans ce cas apprécier quantité scalaire á vñ - vitesse moyenne mouvement irrégulier:
De la fig. 3 il s'ensuit que á vñ> |ávñ|, puisque D s> |Dr|, et uniquement dans le cas d'un mouvement rectiligne
Si l'expression d s = v d t(voir formule (2.2)) intégrer dans le temps allant de t avant t+D t, alors on trouve la longueur du chemin parcouru à l'instant D t:
Quand Mouvement uniforme valeur numérique vitesse instantanée en permanence ; alors l'expression (2.3) prendra la forme
La longueur du chemin parcouru par un point pendant la période allant de t 1 à t 2, donné par l'intégrale
L'accélération et ses composantes
En cas de mouvement irrégulier, il est important de connaître la rapidité avec laquelle la vitesse change dans le temps. Une grandeur physique caractérisant le taux de changement de vitesse en ampleur et en direction est accélération.
Considérons mouvement plat, ceux. un mouvement dans lequel toutes les parties de la trajectoire d’un point se situent dans le même plan. Laissez le vecteur v spécifier la vitesse du point UNà un moment donné t. Pendant le temps D t le point mobile s'est déplacé vers la position DANS et acquis une vitesse différente de v à la fois en amplitude et en direction et égale à v 1 = v + Dv. Déplaçons le vecteur v 1 au point UN et trouvez Dv (Fig. 4).
Accélération moyenne mouvement inégal dans la plage de t avant t+D t est une quantité vectorielle égale au rapport de la variation de vitesse Dv à l'intervalle de temps D t
Accélération instantanée et (accélération) d'un point matériel à un moment donné t il y aura une limite d'accélération moyenne :
Ainsi, l'accélération a est une quantité vectorielle égale à la dérivée première de la vitesse par rapport au temps.
Décomposons le vecteur Dv en deux composantes. Pour ce faire à partir du point UN(Fig. 4) dans la direction de la vitesse v nous traçons le vecteur égal en valeur absolue à v 1 . Évidemment, le vecteur , égal à , détermine l'évolution de la vitesse dans le temps D t modulo: . La deuxième composante du vecteur Dv caractérise l'évolution de la vitesse dans le temps D t dans la direction.
Tangentiel et accélération normale.
Accélération tangentielle- composante d'accélération dirigée tangentiellement à la trajectoire du mouvement. Coïncide avec la direction du vecteur vitesse lors d'un mouvement accéléré et dans la direction opposée lors d'un mouvement lent. Caractérise le changement de module de vitesse. Il est généralement désigné ou (, etc. selon quelle lettre est choisie pour désigner l'accélération en général dans ce texte).
Parfois, l'accélération tangentielle est comprise comme la projection du vecteur accélération tangentielle - tel que défini ci-dessus - sur le vecteur unitaire de la tangente à la trajectoire, qui coïncide avec la projection du vecteur accélération (totale) sur le vecteur tangent unitaire, c'est-à-dire le coefficient de dilatation correspondant dans la base d'accompagnement. Dans ce cas, on n'utilise pas une notation vectorielle, mais une notation « scalaire » - comme d'habitude pour la projection ou les coordonnées d'un vecteur - .
L'amplitude de l'accélération tangentielle - au sens de la projection du vecteur accélération sur un vecteur tangent unitaire de la trajectoire - peut être exprimée comme suit :
Où - vitesse au sol le long de la trajectoire, coïncidant avec la valeur absolue de la vitesse instantanée à l'instant donné.
Si nous utilisons la notation du vecteur tangent unitaire, alors nous pouvons écrire l'accélération tangentielle en forme vectorielle:
Conclusion
L'expression de l'accélération tangentielle peut être trouvée en différenciant par rapport au temps le vecteur vitesse, représenté en termes de vecteur tangent unitaire :
où le premier terme est l’accélération tangentielle et le second l’accélération normale.
La notation utilisée ici est pour vecteur unitaire normale à la trajectoire et - pour la longueur actuelle de la trajectoire (); la dernière transition utilise également l'évidence
et, d'après des considérations géométriques,
Accélération centripète (normale)- Partie pleine accélération point, en raison de la courbure de la trajectoire et de la vitesse de déplacement du point matériel le long de celle-ci. Cette accélération est dirigée vers le centre de courbure de la trajectoire, d’où le terme. Formellement et essentiellement le terme accélération centripète coïncide généralement avec le terme accélération normale, ne différant que par le style (parfois historique).
On parle particulièrement souvent d’accélération centripète lorsque nous parlons deà propos d'un mouvement uniforme en cercle ou lors d'un mouvement plus ou moins proche de ce cas particulier.
où est l'accélération normale (centripète), - (instantanée) vitesse linéaire de mouvement le long de la trajectoire, - (instantanée) vitesse angulaire de ce mouvement par rapport au centre de courbure de la trajectoire, est le rayon de courbure de la trajectoire en un point donné. (Le lien entre la première formule et la seconde est évident, étant donné).
Les expressions ci-dessus incluent des valeurs absolues. Ils peuvent être facilement écrits sous forme vectorielle en multipliant par - un vecteur unitaire depuis le centre de courbure de la trajectoire jusqu'à un point donné :
Ces formules sont également applicables au cas d'un mouvement à vitesse constante (en valeur absolue) et à un cas arbitraire. Cependant, dans le second, il faut garder à l'esprit que l'accélération centripète n'est pas le vecteur accélération complet, mais seulement sa composante perpendiculaire à la trajectoire (ou, ce qui revient au même, perpendiculaire au vecteur Vitesse instantanée); le vecteur accélération complète comprend alors également une composante tangentielle (accélération tangentielle), la direction coïncidant avec la tangente à la trajectoire (ou, ce qui revient au même, avec la vitesse instantanée).
Conclusion
Le fait que la décomposition du vecteur d'accélération en composantes - l'une le long de la tangente à la trajectoire du vecteur (accélération tangentielle) et l'autre orthogonale à celle-ci (accélération normale) - puisse être pratique et utile est en soi assez évident. Ceci est aggravé par le fait que lors d'un déplacement à vitesse constante, la composante tangentielle sera égale à zéro, c'est-à-dire que dans ce cas particulier important, seule la composante normale reste. De plus, comme on peut le voir ci-dessous, chacune de ces composantes a des caractéristiques prononcées. propres propriétés la structure et l'accélération normale contiennent dans la structure de leur formule un contenu géométrique assez important et non trivial. Sans parler du cas particulier important du mouvement en cercle (qui d’ailleurs peut être généralisé au cas général sans pratiquement aucun changement).
Accélération dans la formule cinématique. Accélération dans la définition cinématique.
Qu’est-ce que l’accélération ?
La vitesse peut changer pendant la conduite.
La vitesse est une quantité vectorielle.
Le vecteur vitesse peut changer de direction et d'amplitude, c'est-à-dire en taille. Pour tenir compte de ces changements de vitesse, l’accélération est utilisée.
Définition de l'accélération
Définition de l'accélération
L'accélération est une mesure de tout changement de vitesse.
L'accélération, également appelée accélération totale, est un vecteur.
Vecteur d'accélération
Le vecteur accélération est la somme de deux autres vecteurs. L’un de ces autres vecteurs est appelé accélération tangentielle et l’autre accélération normale.
Décrit le changement de l'amplitude du vecteur vitesse.
Décrit le changement de direction du vecteur vitesse.
Lors d'un déplacement en ligne droite, la direction de la vitesse ne change pas. Dans ce cas, l’accélération normale est nulle et les accélérations totale et tangentielle coïncident.
Avec un mouvement uniforme, le module de vitesse ne change pas. Dans ce cas, l’accélération tangentielle est nulle et les accélérations totale et normale sont les mêmes.
Si un corps effectue un mouvement rectiligne uniforme, alors son accélération est nulle. Et cela signifie que les composantes de l'accélération totale, c'est-à-dire l'accélération normale et l'accélération tangentielle sont également nulles.
Vecteur d'accélération complète
Le vecteur accélération totale est égal à somme géométrique accélérations normales et tangentielles, comme le montre la figure :
Formule d'accélération :
une = une n + une t
Module d'accélération complète
Module d'accélération complète :
Angle alpha entre le vecteur d'accélération totale et l'accélération normale (c'est-à-dire l'angle entre le vecteur d'accélération totale et le vecteur rayon) :
Veuillez noter que le vecteur d'accélération totale n'est pas dirigé tangentiellement à la trajectoire.
Le vecteur accélération tangentielle est dirigé le long de la tangente.
La direction du vecteur d'accélération totale est déterminée par la somme vectorielle des vecteurs d'accélération normaux et tangentiels.
Par exemple, une voiture qui commence à bouger se déplace plus vite à mesure qu’elle augmente sa vitesse. Au point où commence le mouvement, la vitesse de la voiture est nulle. Après avoir démarré, la voiture accélère jusqu'à une certaine vitesse. Si vous devez freiner, la voiture ne pourra pas s'arrêter instantanément, mais au fil du temps. C'est-à-dire que la vitesse de la voiture tendra vers zéro - la voiture commencera à se déplacer lentement jusqu'à ce qu'elle s'arrête complètement. Mais la physique ne connaît pas le terme « ralentissement ». Si un corps bouge en diminuant sa vitesse, ce processus est également appelé accélération, mais avec un signe « - ».
Accélération moyenne est appelé le rapport entre le changement de vitesse et la période de temps pendant laquelle ce changement s'est produit. Calculez l'accélération moyenne à l'aide de la formule :
où est-il . La direction du vecteur d'accélération est la même que la direction du changement de vitesse Δ = - 0
où 0 est vitesse initiale. À un moment donné t1(voir figure ci-dessous) au niveau du corps 0. À un moment donné t 2 le corps a de la vitesse. Sur la base de la règle de soustraction vectorielle, nous déterminons le vecteur de changement de vitesse Δ = - 0. À partir de là, nous calculons l'accélération :
.
Dans le système SI unité d'accélération appelé 1 mètre par seconde par seconde (ou mètre par seconde carré) :
.
Un mètre par seconde carré est l'accélération d'un point en mouvement rectiligne, à laquelle la vitesse de ce point augmente de 1 m/s en 1 seconde. En d’autres termes, l’accélération détermine le degré de changement de la vitesse d’un corps en 1 s. Par exemple, si l’accélération est de 5 m/s2, alors la vitesse du corps augmente de 5 m/s chaque seconde.
Accélération instantanée d'un corps (point matériel)à un instant donné est une grandeur physique égale à la limite vers laquelle tend l'accélération moyenne lorsque l'intervalle de temps tend vers 0. En d'autres termes, il s'agit de l'accélération développée par le corps de manière très petit segment temps:
.
L'accélération a la même direction que le changement de vitesse Δ dans des périodes de temps extrêmement courtes pendant lesquelles la vitesse change. Le vecteur d'accélération peut être spécifié à l'aide de projections sur les axes de coordonnées correspondants dans système donné référence (projections a X, a Y, a Z).
Avec un mouvement linéaire accéléré, la vitesse du corps augmente en valeur absolue, c'est-à-dire v 2 > v 1 , et le vecteur accélération a la même direction que le vecteur vitesse 2 .
Si la vitesse d'un corps diminue en valeur absolue (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем ralentir(l'accélération est négative, et< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.
Si le mouvement se produit le long d’une trajectoire courbe, l’ampleur et la direction de la vitesse changent. Cela signifie que le vecteur accélération est représenté par deux composantes.
Accélération tangentielle (tangentielle) Ils appellent cette composante du vecteur accélération qui est dirigée tangentiellement à la trajectoire en un point donné de la trajectoire du mouvement. L'accélération tangentielle décrit le degré de changement de vitesse modulo pendant un mouvement curviligne.
U vecteur d'accélération tangentielleτ (voir figure ci-dessus) la direction est la même que celle de la vitesse linéaire ou opposée à celle-ci. Ceux. le vecteur accélération tangentielle est dans le même axe que le cercle tangent, qui est la trajectoire du corps.
Accélération centripète- composante de l'accélération d'un point, caractérisant la vitesse d'évolution dans la direction du vecteur vitesse pour une trajectoire avec courbure (la deuxième composante, l'accélération tangentielle, caractérise l'évolution du module vitesse). Dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire, d'où vient le terme. La valeur est égale au carré de la vitesse divisé par le rayon de courbure. Le terme « accélération centripète » est équivalent au terme « accélération normale" La composante de la somme des forces qui provoque cette accélération est appelée force centripète.
La plupart exemple simple L'accélération centripète est le vecteur d'accélération lors d'un mouvement circulaire uniforme (dirigé vers le centre du cercle).
Accélération rapide en projection sur un plan perpendiculaire à l'axe, il apparaît comme centripète.
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A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) une n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)
Où une n (\displaystyle a_(n)\ )- accélération normale (centripète), v (\style d'affichage v\ )- vitesse de déplacement linéaire (instantanée) le long de la trajectoire, ω (\ displaystyle \ omega \ )- vitesse angulaire (instantanée) de ce mouvement par rapport au centre de courbure de la trajectoire, R (\style d'affichage R\ )- rayon de courbure de la trajectoire en un point donné. (Le lien entre la première formule et la seconde est évident, étant donné v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).
Les expressions ci-dessus incluent des valeurs absolues. Ils peuvent être facilement écrits sous forme vectorielle en les multipliant par e R (\displaystyle \mathbf (e)_(R))- vecteur unitaire du centre de courbure de la trajectoire jusqu'à son point donné :
a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) une n = ω 2 R . (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)Ces formules sont également applicables au cas d'un mouvement à vitesse constante (en valeur absolue) et à un cas arbitraire. Cependant, dans le second, il faut garder à l'esprit que l'accélération centripète n'est pas le vecteur accélération complet, mais seulement sa composante perpendiculaire à la trajectoire (ou, ce qui revient au même, perpendiculaire au vecteur vitesse instantanée) ; le vecteur d'accélération complète comprend alors également une composante tangentielle ( accélération tangentielle) une τ = ré v / ré t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ ), dans une direction coïncidant avec la tangente à la trajectoire (ou, ce qui revient au même, avec la vitesse instantanée).
Motivation et conclusion
Le fait que la décomposition du vecteur d'accélération en composantes - l'une le long de la tangente à la trajectoire du vecteur (accélération tangentielle) et l'autre orthogonale à celle-ci (accélération normale) - puisse être pratique et utile est en soi assez évident. Lors d'un déplacement avec une vitesse de module constante, la composante tangentielle devient égale à zéro, c'est-à-dire que dans ce cas particulier important elle reste seulement composant normal. De plus, comme on peut le voir ci-dessous, chacun de ces composants a des propriétés et une structure clairement définies, et l'accélération normale contient un contenu géométrique assez important et non trivial dans la structure de sa formule. Sans parler du cas particulier important du mouvement circulaire.
Conclusion formelle
La décomposition de l'accélération en composantes tangentielles et normales (dont la seconde est l'accélération centripète ou normale) peut être trouvée en différenciant par rapport au temps le vecteur vitesse, présenté sous la forme v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau ))à travers le vecteur tangent unitaire e τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )):
a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( n)\ ,)Ici, nous utilisons la notation du vecteur unitaire normal à la trajectoire et l (\displaystyle l\ )- pour la longueur actuelle de la trajectoire ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); la dernière transition utilise également l'évidence ré l / ré t = v (\displaystyle dl/dt=v\ ).
v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )Accélération normale (centripète). De plus, sa signification, la signification des objets qui y sont inclus, ainsi que la preuve du fait qu'il est bien orthogonal au vecteur tangent (c'est-à-dire que e n (\displaystyle \mathbf (e)_(n)\ )- vraiment un vecteur normal) - découlera de considérations géométriques (cependant, le fait que la dérivée de tout vecteur de longueur constante par rapport au temps soit perpendiculaire à ce vecteur lui-même est un fait assez simple ; dans ce cas nous appliquons cette affirmation à ré e τ ré t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))
Remarques
Il est facile de remarquer que la valeur absolue de l'accélération tangentielle dépend uniquement de l'accélération directionnelle, coïncidant avec sa valeur absolue, contrairement à valeur absolue accélération normale, qui ne dépend pas de l'accélération du sol, mais de la vitesse du sol.
Les méthodes présentées ici, ou des variantes de celles-ci, peuvent être utilisées pour introduire des concepts tels que la courbure d'une courbe et le rayon de courbure d'une courbe (puisque dans le cas où la courbe est un cercle, R. coïncide avec le rayon d'un tel cercle ; il n'est pas non plus trop difficile de montrer que le cercle est dans le plan e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau ),e_(n)\ ) avec le centre en direction e n (\displaystyle e_(n)\ ) d'un point donné à une distance R.à partir de là - coïncidera avec la courbe donnée - trajectoire - jusqu'au deuxième ordre de petitesse dans la distance jusqu'au point donné).
Histoire
D'abord formules correctes pour l'accélération centripète (ou force centrifuge) aurait été obtenu par Huygens. Presque à partir de cette époque, la prise en compte de l'accélération centripète a été incluse dans équipement conventionnel résoudre des problèmes mécaniques, etc.
Un peu plus tard, ces formules ont joué un rôle important dans la découverte de la loi de la gravitation universelle (la formule de l'accélération centripète a été utilisée pour obtenir la loi de dépendance force gravitationnelle de la distance à la source de gravité, basée sur la troisième loi de Kepler dérivée des observations).
À 19ème siècle la prise en compte de l’accélération centripète est déjà devenue une routine, tant pour la science pure que pour les applications techniques.
