Mesure du faisceau et de l'angle des angles. Point, ligne, ligne droite, rayon, segment, ligne brisée

Un point est un objet abstrait qui n'a aucune caractéristique de mesure : ni hauteur, ni longueur, ni rayon. Dans le cadre de la tâche, seul son emplacement est important

Le point est indiqué par un chiffre ou une lettre latine majuscule (majuscule). Plusieurs points - nombres différents ou en différentes lettres pour qu'on puisse les distinguer

point A, point B, point C

point 1, point 2, point 3

Vous pouvez dessiner trois points « A » sur une feuille de papier et inviter l'enfant à tracer une ligne passant par les deux points « A ». Mais comment comprendre à travers lesquels ?

A A A

Une ligne est un ensemble de points. Seule la longueur est mesurée. Il n'a ni largeur ni épaisseur Indiqué en minuscule (petit)

en lettres latines

abc

1. La ligne peut être
2. fermé si son début et sa fin sont au même point,

ouvert si son début et sa fin ne sont pas connectés

lignes fermées

1. Vous avez quitté l'appartement, acheté du pain au magasin et êtes retourné à l'appartement. Quelle ligne as-tu eu ? C'est vrai, fermé. Vous revenez à votre point de départ. Vous avez quitté l'appartement, acheté du pain au magasin, êtes entré dans l'entrée et avez commencé à discuter avec votre voisin. Quelle ligne as-tu eu ? Ouvrir. Vous n'êtes pas revenu à votre point de départ. Vous avez quitté l'appartement et acheté du pain au magasin. Quelle ligne as-tu eu ? Ouvrir. Vous n'êtes pas revenu à votre point de départ.
2. auto-intersection

sans auto-intersections

lignes qui se croisent

1. lignes sans auto-intersections
2. direct
3. cassé

courbé

lignes droites

lignes brisées

lignes courbes

Une ligne droite est une ligne qui n'est pas courbe, qui n'a ni début ni fin, elle peut se poursuivre à l'infini dans les deux sens.

Même lorsqu’une petite section d’une ligne droite est visible, on suppose qu’elle continue indéfiniment dans les deux directions.

Indiqué par une (petite) lettre latine minuscule. Ou deux lettres latines majuscules (majuscules) - points situés sur une ligne droite

un

B.A.

1. Direct peut être se croisant s'ils ont point commun
   • . Deux lignes ne peuvent se croiser qu'en un seul point.
2. perpendiculaires s’ils se coupent à angle droit (90°).

Les parallèles, s’ils ne se croisent pas, n’ont pas de point commun.

lignes parallèles

lignes qui se croisent

Un rayon est une partie d'une ligne droite qui a un début mais pas de fin et qui peut se poursuivre indéfiniment dans une seule direction ;

Le rayon de lumière sur l’image a pour point de départ le soleil.

Soleil

Un point divise une ligne droite en deux parties - deux rayons A A

Le faisceau est désigné par une lettre latine minuscule (petite). Ou deux lettres latines majuscules (majuscules), où la première est le point à partir duquel commence le rayon, et la seconde est le point situé sur le rayon

rayon un

poutre AB

Les rayons coïncident si

1. situé sur la même ligne droite
2. commencer à un moment donné
3. dirigé dans une seule direction

les rayons AB et AC coïncident

les rayons CB et CA coïncident

Un segment est une partie d'une ligne limitée par deux points, c'est-à-dire qu'il a à la fois un début et une fin, ce qui signifie que sa longueur peut être mesurée. La longueur d'un segment est la distance entre ses points de départ et d'arrivée

À travers un point, vous pouvez tracer n'importe quel nombre de lignes, y compris des lignes droites

Par deux points - un nombre illimité de courbes, mais une seule ligne droite

lignes courbes passant par deux points

un

Un morceau a été « coupé » de la ligne droite et un segment est resté. Dans l’exemple ci-dessus, vous pouvez voir que sa longueur est la distance la plus courte entre deux points.

✂ BA ✂

Un segment est désigné par deux lettres latines majuscules (majuscules), la première étant le point de début du segment et la seconde le point de fin du segment.

segment AB

Problème : où est la droite, le rayon, le segment, la courbe ?

Une ligne brisée est une ligne composée de segments connectés consécutivement et ne formant pas un angle de 180°.

Un segment long a été « divisé » en plusieurs segments courts

Les maillons d'une ligne brisée (semblables aux maillons d'une chaîne) sont les segments qui composent la ligne brisée. Les liens adjacents sont des liens dans lesquels la fin d’un lien est le début d’un autre. Les liens adjacents ne doivent pas se trouver sur la même ligne droite.

Les sommets d'une ligne brisée (semblables aux sommets des montagnes) sont le point à partir duquel commence la ligne brisée, les points auxquels les segments qui forment la ligne brisée sont connectés et le point où se termine la ligne brisée.

Une ligne brisée est désignée en listant tous ses sommets.

ligne brisée ABCDE

sommet de la polyligne A, sommet de la polyligne B, sommet de la polyligne C, sommet de la polyligne D, sommet de la polyligne E

lien rompu AB, lien rompu BC, lien rompu CD, lien rompu DE

le lien AB et le lien BC sont adjacents

le lien BC et le lien CD sont adjacents

A B C D E 64 62 127 52

La longueur d'une ligne brisée est la somme des longueurs de ses liens : ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305 Tâche: quelle ligne brisée est la plus longue , UN? La première ligne comporte tous les maillons de même longueur, soit 13 cm. La deuxième ligne comporte tous les maillons de même longueur, soit 49 cm. La troisième ligne comporte tous les maillons de même longueur, soit 41 cm.

Un polygone est une ligne polygonale fermée

Les côtés du polygone (les expressions vous aideront à vous souvenir : « va dans les quatre directions », « cours vers la maison », « de quel côté de la table vas-tu t'asseoir ? ») sont les liens d'une ligne brisée. Les côtés adjacents d'un polygone sont liens adjacents cassé.

Les sommets d'un polygone sont les sommets d'une ligne brisée. Sommets voisins- ce sont les points des extrémités d'un côté du polygone.

Un polygone est désigné par la liste de tous ses sommets.

polyligne fermée sans auto-intersection, ABCDEF

polygone ABCDEF

sommet du polygone A, sommet du polygone B, sommet du polygone C, sommet du polygone D, sommet du polygone E, sommet du polygone F

le sommet A et le sommet B sont adjacents

le sommet B et le sommet C sont adjacents

le sommet C et le sommet D sont adjacents

le sommet D et le sommet E sont adjacents

le sommet E et le sommet F sont adjacents

le sommet F et le sommet A sont adjacents

côté du polygone AB, côté du polygone BC, côté du polygone CD, côté du polygone DE, côté du polygone EF

le côté AB et le côté BC sont adjacents

le côté BC et le côté CD sont adjacents

Le côté CD et le côté DE sont adjacents

le côté DE et le côté EF sont adjacents

le côté EF et le côté FA sont adjacents

Le périmètre d'un polygone est la longueur de la ligne brisée : P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Un polygone à trois sommets s'appelle un triangle, avec quatre - un quadrilatère, avec cinq - un pentagone, etc.

Leçon 14

Faisceau. Faisceau numérique. Coin. Types d'angles. Construction angle droit utiliser un compas et une règle

Objectifs : Reconnaissance et image des formes géométriques : points, lignes droites, angles droits. Mesurer la longueur d'un segment et construire un segment d'une longueur donnée Construire un angle droit sur papier à carreaux

Résultats prévus :

Savoir notions de « rayon », de « rayon numérique ».Être capable de reconnaître des formes géométriques et les dessiner sur du papier ligné, dessiner un rayon et un rayon numériqueSavoir notion d'« angle », types d'angles.Être capable de reconnaître des formes géométriques et les dessiner sur du papier ligné, construire un angle droit.

Progression de la leçon

1. Moment organisationnel

2. Actualisation des connaissances

Vérification des devoirs

3. Travaillez sur le sujet de la leçon :

Dans cette leçon, nous examinerons le rayon et le rayon numérique. Dans un premier temps, nous rappellerons les notions de « droite », de « segment » et de « rayon », et considérerons leurs différences. Introduisons le concept de rayon numérique, familiarisons-nous avec l'histoire de son origine et résolvons un certain nombre d'exemples.

Regardez le premier dessin (Fig. 1) et dites quelle est la différence entre un rayon, une droite et un segment.

Riz. 1. Segment, rayon et ligne droite

Solution : 1. Droit peut être continué autant que vous le souhaitez dans les deux sens - une ligne sans fin qui n'a ni fin ni frontière.

2. Segment - partie d'une ligne droite limitée des deux côtés. Ainsi, dans la figure 1, le segment est.

3. Partie d'une droite délimitée par un point d'un côté –faisceau . Le dessin (Fig. 1) montre un rayon commençant au point. Le faisceau ne peut être étendu en ligne droite que dans une seule direction.

Considérons un rayon dont l'origine est le point(Fig.2). Mettons-le dessus segments égaux – segments simples . Les segments unitaires peuvent être égaux à n'importe quelle valeur : une cellule, un centimètre, trois centimètres. L'essentiel est que chaque prochain segment unitaireétait égal au précédent. Si on numérote ces segments avec des nombres, on obtientfaisceau de nombres .

Riz. 2. Faisceau numérique

Vous pouvez utiliser la droite numérique pour représenter n’importe quel nombre car il est infini. Il est également très simple de comparer des nombres : plus un point est éloigné du début du rayon à droite, plus le nombre auquel nous sommes confrontés est grand.

Coin. Types d'angles. Construire un angle droit à l'aide d'un compas et d'une règle

Faisceau - il s'agit d'une partie de ligne droite, limitée d'un côté par un point. Sur la figure, vous pouvez voir une poutre commençant en un point et une poutre commençant en un point (Fig. 1).

Riz. 1. Rayons

Une figure formée de deux rayons de même origine s'appelle angle. Les rayons qui forment un angle s'appellent côtés de l'angle, et leur début général – sommet de l'angle(Fig.2).

Riz. 2. Angles

Un angle peut être nommé par une lettre latine majuscule en fonction de son sommet. Sur la fig. 2, vous pouvez voir l'angle et l'angle. Mais les angles peuvent être désignés d'une autre manière.

L'angle d'un polygone est noté trois en majuscules. Nommer un angle commence par la lettre d’un côté, puis nomme la lettre au sommet et se termine par la lettre de l’autre côté. Par exemple, dans un triangle, l'angle avec le sommet est l'angle (Fig. 3) ou dans ordre inverse – .

Dans un triangle, l'angle avec un sommet est l'angle ou.

Riz. 3. Angles dans un triangle

Il ne faut pas oublier qu'au milieu du nom de l'angle doit se trouver la lettre qui indique le sommet de l'angle.

Parfois, un angle est indiqué par une petite lettre ou un chiffre, les plaçant à l'intérieur de l'angle (Fig. 4). Pour plus de clarté, un arc est dessiné entre les côtés de l'angle.

Riz. 4. Désigner un angle avec une lettre ou un chiffre

Riz. 5. Types d'angles

Il y a différents types coins

1. Si les côtés d'un angle se trouvent sur la même ligne droite, alors un tel angle est appelé étendu. Sur la fig. 6 coin M – déplié (la comparaison avec un éventail déplié est appropriée).

Riz. 6. Plein angle

2. Direct Un angle est l’angle qui correspond à la moitié de l’angle déplié (Fig. 7). Par exemple, un angle droit peut être obtenu en pliant du papier (si la feuille est pliée deux fois).

Riz. 7. Angle droit

Pour faciliter la détermination si un angle droit est droit ou non, il existe un outil spécial - triangle rectangle, dont l'un des angles est droit (Fig. 8).

Riz. 8. Triangle rectangle et son application

3. Les angles obliques sont divisés en stupide Et épicé.

Un angle inférieur à un angle droit est épicé angle (Fig. 9).

Riz. 9. Angle aigu
Un angle supérieur à un angle droit mais inférieur à un angle droit est émoussé angle (Fig. 10).

Riz. 10. Angle obtus

Trouvez les angles droits, obtus et aigus dans le dessin (Fig. 11).

Riz. 11. Illustration pour la tâche

Un outil nous aidera à trouver une solution : un triangle rectangle, qui sera appliqué à chacun des sommets du triangle en combinant l'un des côtés. S’il coïncide avec un angle, alors cet angle est droit. Si l'angle est inférieur à l'angle droit de l'outil, alors cet angle est aigu. Et si l'angle est supérieur à l'angle droit de l'outil, alors ceci angle obtus.

Angles droits :

Angles obtus :

Coins vifs : , , ,

Explication du nouveau matériel

Nous avons donc atteint le pays de la géométrie. Et la reine de ce pays, Dot, nous rencontre. Sans cela, aucune figure ne peut être construite.

Il était une fois un Point. Elle était très curieuse et voulait tout savoir. Dot verra une ligne inconnue et demandera certainement :

Comment s'appelle cette ligne, est-elle longue ou courte ?

Un jour, Dot a pensé : « Comment saurai-je tout si je suis assis tout le temps au même endroit. Je vais partir en voyage. À peine dit que c'était fait. La Pointe sortait sur une ligne droite et marchait le long de cette ligne.

Elle a marché, marché, marché longtemps. Fatigué. Et le Dot dit : « Combien de temps vais-je continuer à marcher le long de cette ligne ?

Les gars! La ligne droite touche-t-elle bientôt à sa fin ?

Êtes-vous en train de dire qu’une ligne droite n’a pas de fin ? Ensuite je ferai demi-tour, je suis probablement allé dans la mauvaise direction.

Les gars! Le Point sera-t-il capable de trouver l'extrémité d'une ligne droite ?

Bien sûr qu’il ne le peut pas, une ligne droite n’a pas de fin.

Sans fin ni bord

La ligne est droite !

Parcourez-le pendant au moins cent ans

Vous ne trouvez pas le bout du chemin.

Mais le Point n’en savait rien. Elle marchait, fatiguée, triste. Un point se tenait sur une ligne droite et décida d'appeler les ciseaux à l'aide. Puis, sortis de nulle part, des ciseaux sont apparus et se sont cassés juste devant le nez de Dot. Et ils ont coupé droit.

Hourra! - Dot a crié. - C'est la fin ! Mais maintenant il y en a deux, je ne sais pas comment les appeler...

La nouvelle se répand d'un nouveau chiffre :
Qu'il n'y ait pas de fin,
Mais il y a un début.
Et le soleil, se levant doucement derrière les nuages,
Il a dit : « Mes amis, appelons ça Ray !

Je les aime bien ! - Dot a crié. Ils ressemblent à des rayons de soleil.

Figure géométrique - le rayon peut avoir différentes directions. La principale chose à retenir est que le début du faisceau est un point. Appelons ce point la lettre A.

Le faisceau est limité d'un côté et peut être étendu en ligne droite dans une seule direction aussi loin que souhaité.

Construisons ensemble une poutre. De quels outils aurons-nous besoin ?

Bien sûr, une règle et un crayon nous aideront à construire la poutre.
Par où commencer à construire la poutre ?

C'est vrai, mettons un terme à cela.
Toutes les constructions et mesures partent de zéro. Alignez le point avec le repère « 0 » sur la règle. Traçons une ligne droite. Choisissez vous-même la longueur et la direction.
Nous avons également construit une poutre. Êtes-vous d'accord avec moi ? (Il y a un faisceau de chiffres sur l'écran.)
Oui, c'est aussi un faisceau, mais on l'appelle numérique. Pourquoi?
A quoi servent les chiffres sur la poutre ? Maintenant, nous allons apprendre à utiliser le faisceau numérique, nous allons compter, calculer.
Divisez votre droite numérique en sections égales et placez des points.
Étiquetez les points avec des numéros dans l'ordre. Quel nombre utiliserons-nous pour désigner le tout premier point – l’origine du décompte ?

C'est vrai, commençons à compter à partir de zéro. Lequel de fournitures scolairesça nous rappelle un rayon numérique ?

Bravo les gars. Cela ressemble à une règle.

N'importe quel nombre peut être représenté sur une droite numérique en le désignant par un point, puisque la droite est infinie.

A l'aide d'un faisceau numérique, les nombres sont faciles à comparer : plus le point est à droite du début du faisceau, plus plus cela correspond au moins à gauche.

Dites-moi les gars dans quel sens rayon numérique faut-il se déplacer pour trouver tous les nombres inférieurs à dix ?

À droite, à gauche. Que diriez-vous de trouver tous les nombres supérieurs à dix ?

Oui, vous devez vous déplacer à droite du chiffre dix.

Placez maintenant le point A et tracez deux rayons AB et AC à partir de ce point.

Nous en avons un nouveau figure géométrique. C'est ce qu'on appelle un angle. Le point A est le sommet de l'angle. Chaque coin a un nom. Il peut être constitué d'une lettre - le sommet de l'angle, ou de trois lettres indiquant les rayons, avec la lettre du sommet de l'angle au milieu. Se lit comme ceci : angle A ou angle ABC

Du haut le long de la poutre

C'est comme si je descendais une colline.

Seule la poutre, c'est elle maintenant.

Et ça s'appelle "côté".

On voit que les rayons sont désormais les côtés de l’angle. Ce sont les côtés AB et AC. N'oubliez pas que le rayon part d'un point.

Il existe plusieurs types d'angles : droits, aigus et obtus. Un angle tel que celui d’un carré s’appelle un angle droit. Sur la figure, il s’agit de l’angle K. Un angle inférieur à un angle droit est appelé angle aigu. Sur la figure, il s’agit de l’angle B.

Un angle plus grand qu’un angle droit est appelé angle obtus. C’est l’angle C.

Afin de déterminer correctement le type d'angle, nous utiliserons un carré.

Prenez des règles et des crayons.

Dessinez un angle droit à l'aide d'un carré, appelez-le M.

Maintenant, essaie de dessiner angle aigu, ce qui est inférieur à un angle droit. Appelez-le T.

Dessinez maintenant un angle obtus plus grand qu’un angle droit. Appelez-le N.

Que faire si vous n’avez pas de carré mais que vous devez dessiner un angle droit sur du papier non ligné ? Cela peut être fait à l’aide d’une règle et d’un compas. Essayons de le faire ensemble.

Pour utiliser correctement des outils tranchants, vous devez vous rappeler

règles de sécurité :

Vous ne pouvez pas mettre la boussole près de votre visage ; il y a une aiguille au bout, vous pouvez vous piquer.

Vous ne pouvez pas faire avancer la boussole avec l'aiguille, vous pouvez piquer votre ami.

Il devrait y avoir de l'ordre sur le bureau.

Et maintenant que vous connaissez les règles de sécurité, traçons une ligne droite

mettez-y deux points A et B
dessine deux cercles pour faire des points
A et B sont devenus les centres des cercles
points d'intersection des cercles
désigner par les lettres C et D
à travers les points C et D obtenus
tracer une ligne droite
point d'intersection de deux lignes
marquez les lignes avec la lettre O

Nommez les angles que vous obtenez.

Lisons-les ensemble, coin OWL, coin

DBO, angle AOC et angle AOD

La définition de la notion de rayon repose sur deux concepts fondamentaux de la géométrie : un point et une droite. Prenons une ligne droite arbitraire et choisissons un point arbitraire dessus. Un tel point divisera cette droite en deux parties (Fig. 1).

Définition 1

Un rayon sera appelé une partie d'une ligne limitée par un point sur cette ligne, mais seulement d'un côté.

Définition 2

Le point auquel le rayon est limité dans le cadre de la définition 1 est appelé le début de ce rayon.

Remarque 1

Notez que l'angle obtenu sur la figure 1 est appelé déplié.

Nous désignerons le rayon par deux points : son début et tout autre point arbitraire sur celui-ci. A noter qu'ici, dans la notation, l'ordre dans lequel ces points sont désignés est important. On met toujours le début du rayon en premier (Fig. 2)

La notion de rayon est associée à l'axiome de géométrie suivant :

Axiome 1 : Tout point arbitraire sur une ligne la divisera en deux rayons, et tout points arbitraires un seul et même d'entre eux se trouvera d'un côté de ce point, et deux points de rayons différents se trouveront sur différents côtésà partir de ce point.

L'axiome suivant est également associé au concept de rayon et de segment.

Axiome 2 : Depuis le début de n'importe quel rayon, un segment peut être tracé, qui est évidemment égal à ce segment, et un tel segment sera unique.

Coin

Donnons-nous deux rayons arbitraires. Mettons-les les uns sur les autres. Alors

Définition 3

On appellera angle deux rayons qui ont la même origine.

Définition 4

Le point qui est le début des rayons dans le cadre de la définition 3 est appelé sommet de cet angle.

On désignera l'angle par ses trois points suivants : le sommet, un point sur l'un des rayons et un point sur l'autre rayon, et le sommet de l'angle est écrit au milieu de sa désignation (Fig. 3).

L'axiome suivant est également associé à la notion de rayon et d'angle.

Axiome 3 :À partir de n’importe quel rayon arbitraire, un angle peut être tracé dans un certain demi-plan, qui est évidemment égal à cet angle, et un tel angle sera unique.

Comparaison d'angles

Considérons deux angle arbitraire. Évidemment, ils peuvent être égaux ou inégaux.

Ainsi, pour comparer les angles que nous avons choisis (notons-les angle 1 et angle 2), nous allons superposer le sommet de l'angle 1 au sommet de l'angle 2, de sorte qu'un des rayons de ces angles se chevauche, et les deux autres sont du même côté de ces rayons. Après une telle superposition, les deux cas suivants sont possibles :

Taille d'angle

En plus de comparer un angle à un autre, il est souvent nécessaire de mesurer des angles. Mesurer un angle signifie trouver sa grandeur. Pour ce faire, nous devons sélectionner une sorte d'angle « de référence », que nous prendrons comme unité. Le plus souvent, cet angle est celui qui est égal à la partie $\frac(1)(180)$ de l'angle déplié. Cette quantité s'appelle un degré. Après avoir choisi un tel angle, on compare avec lui les angles dont il faut trouver la valeur.

Le plus d'une manière simple Mesurer la grandeur des angles est une mesure à l’aide d’un rapporteur.

Exemple 1

Trouvez la valeur de l'angle suivant :

Nous utilisons un rapporteur :

Réponse : 30 $^0 $.

Après avoir déterminé la grandeur des angles, nous disposons d’une deuxième façon de comparer les angles. Si, avec le même choix d'unité de mesure, l'angle 1 et l'angle 2 auront la même taille, alors ces angles seront appelés égaux. Si, sans perte de généralité, l'angle 1 vaut valeur numérique est inférieur à l'angle 2, alors l'angle 1 sera inférieur à l'angle 2.

Faisceau et angle- informations de base.

Faisceau va d’un point à l’infini (et est appelé par exemple « sortant et point A »).

Un rayon en géométrie est une analogie avec un rayon lumineux dans la vraie vie.

De nombreux rayons peuvent émaner d’un même point.

Chaque rayon est nommé soit en petites lettres latines : a, b, c, d,..., soit par point de départ et tout autre point de ce rayon, par exemple : AK

Ce sont deux rayons ( côtés du coin), qui découlent d'un point ( sommets d'angle). En règle générale, un arc est placé dans le coin, ce qui indique l'angle.

L'angle peut être :

Désigné par des points : ∠AOB

Noter par des lignes droites : ∠ab

En fait droit, seul B est le sommet, DC et DA sont des rayons.

N'importe lequel coin divise l'avion en 2 parties: interne Et externe. Sous un angle de rotation, tout plan peut être considéré comme interne ou externe.

La partie intérieure de l'angle peut être divisée en 2 nouveaux angles en traçant un nouveau rayon dans la partie intérieure.

Si un rayon divise un angle en deux angles égaux, alors ce rayon s'appelle bissecteur. Pour la mémorisation, une rime est utilisée : « une bissectrice est un rat qui court dans les coins et divise le coin en deux ».

C'est logique que chaque point d'une bissectrice est équidistant des angles droits.

Veuillez noter comment les angles sont indiqués dans la figure ci-dessous - ils sont dessinés avec des arcs identiques, ce qui signifie dans les dessins que ces angles sont égaux.