Formule de probabilité totale : théorie et exemples de résolution de problèmes maison Dans l’application pratique de la théorie des probabilités, on rencontre souvent des problèmes dans lesquels la même expérience ou des expériences similaires sont répétées à plusieurs reprises. À la suite de chaque expérience, un événement peut apparaître ou non, et nous ne nous intéressons pas au résultat de chaque expérience individuelle, mais au nombre total d'occurrences de l'événement à la suite d'une série d'expériences. Par exemple, si un groupe de tirs est tiré sur la même cible, nous ne nous intéressons généralement pas au résultat de chaque tir, mais au nombre total de tirs. DANS
tâches similaires nécessite la capacité de déterminer la probabilité d’un nombre donné d’occurrences d’un événement à la suite d’une série d’expériences. De telles tâches seront examinées dans ce chapitre. Ils peuvent être résolus tout simplement dans le cas où les expériences sont indépendantes. Plusieurs expériences sont dites indépendantes si la probabilité de l'un ou l'autre résultat de chaque expérience ne dépend pas des résultats des autres expériences. Par exemple, plusieurs tirages à pile ou face successifs constituent des expériences indépendantes. Plusieurs retraits successifs d'une carte du jeu constituent des expériences indépendantes, à condition que la carte retirée soit remise dans le jeu à chaque fois et que les cartes soient mélangées ; sinon, ce sont des expériences dépendantes. Plusieurs tirs ne constituent des expériences indépendantes que si la visée est refaite avant chaque tir ; dans le cas où la visée est effectuée une fois avant la totalité du tir ou est effectuée en continu pendant le processus de tir (tir en rafale, bombardement en série), les tirs représentent des expériences dépendantes. Des expériences indépendantes peuvent être réalisées dans le même ou conditions différentes. Dans le premier cas, la probabilité d’un événement change d’une expérience à l’autre. Un théorème particulier s'applique au premier cas, et au second -
théorème général
Solution. Notons l'événement dans lequel exactement deux projectiles ont atteint la cible. Cet événement peut se produire de trois manières :
1) touché au premier coup, touché au deuxième, raté au troisième ;
2) touché au premier coup, raté au deuxième, touché au troisième ;
3) rater le premier coup, toucher le deuxième, toucher le troisième.
Par conséquent, un événement peut être représenté comme la somme de produits d’événements :
où - touche respectivement le premier, le deuxième et le troisième coup, - rate le premier, le deuxième et le troisième coup.
Considérant que les trois variantes répertoriées d'un événement sont incompatibles et que les événements inclus dans les produits sont indépendants, en utilisant les théorèmes d'addition et de multiplication on obtient :
ou, désignant ,
De même, en énumérant tous options possibles, dans lequel l'événement qui nous intéresse peut apparaître numéro donné fois, nous pouvons résoudre le problème général suivant.
Des expériences indépendantes sont réalisées, dans chacune desquelles un événement peut apparaître ou non ; la probabilité qu'un événement se produise dans chaque expérience est égale à , et la probabilité de non-occurrence est . Nous devons trouver la probabilité qu’un événement apparaisse exactement une fois dans ces expériences.
Considérons l'événement selon lequel l'événement apparaîtra exactement une fois dans les expériences. Cet événement peut devenir réalité différentes façons. Décomposons un événement en la somme de produits d'événements consistant en l'apparition ou la non-apparition d'un événement dans une expérience distincte. Nous désignerons l'occurrence d'un événement dans la i-ème expérience ; - non-occurrence d'un événement dans la i-ième expérience.
Évidemment, chaque variante d'occurrence d'un événement (chaque membre de la somme) doit être constituée de m occurrences de l'événement et de non-occurrences, c'est-à-dire à partir d’événements et d’événements avec des indices différents. Ainsi,
De plus, dans chaque œuvre, l'événement doit apparaître une fois, mais doit apparaître une fois.
Le nombre de toutes les combinaisons de ce type est égal, c'est-à-dire le nombre de façons dont on peut choisir parmi les expériences dans lesquelles l'événement s'est produit. La probabilité de chacune de ces combinaisons, selon le théorème de multiplication des événements indépendants, est égale à . Puisque les combinaisons sont incompatibles entre elles, alors, selon le théorème d'addition, la probabilité d'un événement est égale à
Formule pleine probabilité vous permet de trouver la probabilité d'un événement UN, ce qui ne peut se produire qu'avec chacun des névénements mutuellement exclusifs qui forment un système complet, si leurs probabilités sont connues, et probabilités conditionnelles événements UN par rapport à chacun des événements du système sont égaux.
Les événements sont également appelés hypothèses ; ils s’excluent mutuellement. Par conséquent, dans la littérature, vous pouvez également trouver leur désignation non par la lettre B, et la lettre H(hypothèse).
Pour résoudre des problèmes dans de telles conditions, il est nécessaire de considérer 3, 4, 5 ou cas général n possibilité qu'un événement se produise UN- à chaque événement.
En utilisant les théorèmes d'addition et de multiplication des probabilités, on obtient la somme des produits de la probabilité de chacun des événements du système par probabilite conditionnelle événements UN concernant chacun des événements du système. C'est-à-dire la probabilité d'un événement UN peut être calculé à l'aide de la formule
ou en général
,
qui est appelée formule de probabilité totale .
Formule de probabilité totale : exemples de résolution de problèmes
Exemple 1. Il y a trois urnes identiques : la première a 2 boules blanches et 3 noires, la seconde a 4 blanches et une noire, la troisième a trois boules blanches. Quelqu’un s’approche au hasard d’une des urnes et en retire une boule. Prendre l'avantage formule de probabilité totale, trouvez la probabilité que cette boule soit blanche.
Solution. Événement UN- l'apparition d'une boule blanche. Nous émettons trois hypothèses :
La première urne est sélectionnée ;
La deuxième urne est sélectionnée ;
La troisième urne est sélectionnée.
Probabilités conditionnelles d'un événement UN concernant chacune des hypothèses :
,
,
.
Nous appliquons la formule de probabilité totale, ce qui donne la probabilité requise :
.
Exemple 2. Dans la première usine, sur 100 ampoules, on produit en moyenne 90 ampoules standards, dans la deuxième - 95, dans la troisième - 85, et les produits de ces usines constituent respectivement 50 %, 30 % et 20 % de toutes les ampoules fournies aux magasins dans une certaine zone. Trouvez la probabilité d’acheter une ampoule standard.
Solution. Notons la probabilité d'acheter une ampoule standard par UN, et les événements selon lesquels l'ampoule achetée a été fabriquée respectivement dans les première, deuxième et troisième usines via . Par condition, les probabilités de ces événements sont connues : , , et probabilités conditionnelles de l'événement UN concernant chacun d’eux : 
,
,
. Il s’agit des probabilités d’acheter une ampoule standard, à condition qu’elle ait été fabriquée respectivement dans la première, la deuxième et la troisième usine.
Événement UN se produira si un événement se produit K- l'ampoule est fabriquée en première usine et est standard, ou événementielle L- l'ampoule est fabriquée dans une deuxième usine et est standard, ou événementielle M- l'ampoule a été fabriquée dans la troisième usine et est standard. Autres possibilités pour que l'événement se produise UN Non. Par conséquent, l'événement UN est la somme des événements K, L Et M, qui sont incompatibles. En utilisant le théorème d’addition de probabilité, on imagine la probabilité d’un événement UN comme
et par le théorème de multiplication des probabilités, nous obtenons
c'est, cas particulier formules de probabilité totale.
Remplacer dans côté gauche formules pour les valeurs de probabilité, nous obtenons la probabilité d'un événement UN :
Exemple 3. L'avion atterrit à l'aérodrome. Si la météo le permet, le pilote fait atterrir l'avion en utilisant, outre les instruments, également l'observation visuelle. Dans ce cas, la probabilité d’un atterrissage en toute sécurité est égale à . Si l'aérodrome est couvert de nuages bas, le pilote fait atterrir l'avion, guidé uniquement par des instruments. Dans ce cas, la probabilité d'un atterrissage en toute sécurité est égale à : . Les dispositifs permettant un atterrissage aveugle sont fiables (probabilité de fonctionnement sans panne) P.. En présence de nuages bas et d'instruments d'atterrissage aveugle défaillants, la probabilité d'un atterrissage réussi est égale à : . Les statistiques montrent que dans k% des atterrissages, l'aérodrome est couvert de nuages bas. Trouver probabilité totale d'un événement UN- atterrissage en toute sécurité de l'avion.
Solution. Hypothèses:
Il n'y a pas de nuages bas ;
Il y a des nuages bas.
Probabilités de ces hypothèses (événements) :
;
Probabilite conditionnelle.
On retrouvera la probabilité conditionnelle en utilisant la formule de probabilité totale avec hypothèses
Les dispositifs d'atterrissage aveugle sont opérationnels ;
Les instruments d'atterrissage aveugle sont tombés en panne.
Probabilités de ces hypothèses :
D'après la formule de probabilité totale
Exemple 4. L'appareil peut fonctionner selon deux modes : normal et anormal. Le mode normal est observé dans 80 % de tous les cas de fonctionnement de l'appareil et le mode anormal dans 20 % des cas. Probabilité de panne de l'appareil dans un certain délai tégal à 0,1 ; en anormal 0,7. Trouver pleine probabilité panne de l'appareil au fil du temps t.
Solution. Nous désignons à nouveau la probabilité de panne de l'appareil via UN. Ainsi, concernant le fonctionnement de l'appareil dans chaque mode (événement), les probabilités sont connues selon la condition : pour le mode normal c'est 80 % (), pour le mode anormal - 20 % (). Probabilité de l'événement UN(c'est-à-dire panne de périphérique) en fonction du premier événement (mode normal) est égal à 0,1 (); en fonction du deuxième événement (mode anormal) - 0,7 ( 
). Nous substituons ces valeurs dans la formule de probabilité totale (c'est-à-dire la somme des produits de la probabilité de chacun des événements du système par la probabilité conditionnelle de l'événement UN concernant chacun des événements du système) et devant nous se trouve le résultat attendu.
Détermination de la probabilité d'un événement et de la distribution statistique
Exercice 1
Ampoules mélangées dans la boîte même taille et formes : 150 W - 8 pièces et 100 W - 13. Trois lampes ont été sorties de la boîte au hasard. Trouvez la probabilité que parmi eux :
a) une seule lampe de 150 W ; b) deux lampes de 150 W ;
c) au moins deux lampes de 150 W chacune ; d) au moins une lampe de 150 W ;
f) toutes les lampes sont de même puissance.
a) événement F1 - sur trois lampes prises au hasard, une seule sera de 150 W :
b) événement F2 - sur trois lampes prises au hasard, deux lampes auront 150 W chacune :
c) événement F3 - sur trois lampes prises au hasard, au moins 2 seront de 150 W chacune :
d) événement F4 - sur trois parties tirées au hasard, il y aura au moins une lampe de 150 W :
e) événement F5 - sur trois lampes prises au hasard, toutes les trois seront de même puissance
Tâche 2
Trois coups de feu indépendants sont tirés sur l'avion. La probabilité de toucher au premier coup est de 0,4, au deuxième de 0,5, au troisième de 0,6. Trois coups suffisent pour neutraliser un avion. Avec deux coups sûrs, il échoue avec une probabilité de 0,7, avec un coup sûr, avec une probabilité de 0,4.
1. Trouvez la probabilité que l'avion soit désactivé à la suite de trois tirs.
2. Grâce à trois tirs, l'avion n'a pas été désactivé. Combien d’impacts ont été les plus probables dans l’avion ?
1) Considérez les hypothèses :
H1 - sur trois tirs, il n'y aura aucun coup sûr
H2 - sur trois tirs, il y aura exactement un coup sûr
H3 - sur trois tirs, il y aura deux coups sûrs
H4 - sur trois tirs, il y aura trois coups sûrs
et événement
F - l'avion sera désactivé.
Parce que l'avion n'a pas été désactivé, c'est-à-dire l'événement F s'est produit, alors les probabilités des hypothèses seront déterminées à l'aide de la formule de Bayes
0,121+0,380,6+0,380,3+0,120=0,462
Il est donc fort probable que l’avion ait été touché une fois.
Tâche 3
Selon les statistiques de la ville de N, en moyenne, 18 % des nouvelles entreprises ouvertes cessent leurs activités dans un délai d'un an.
1. Quelle est la probabilité que sur 6 nouvelles entreprises sélectionnées au hasard dans la ville N, d'ici la fin de l'année d'activité, il reste :
a) exactement 4 ; b) 4 ; c) moins de 4 ; d) au moins une entreprise ?
2. Calculez la probabilité que sur cent entreprises nouvellement ouvertes dans la ville N cessent leurs activités d'ici la fin de l'année :
a) 15 ; b) au moins 15 ; c) pas plus de 21 ; d) au moins 13, mais pas plus de 23 entreprises.
n=6q=0,18p=1-q=1-0,18=0,82
valeur n<10, поэтому для расчетов воспользуемся формулой Бернулли:
a) il restera exactement 4 entreprises :
b) il restera plus de 4 entreprises :
P(plus de 4)=P6(5;6)=P6(5)+P6(6)
P(plus de 4)=0,4004+0,304=0,7044
c) il restera moins de 4 entreprises :
P(moins de 4)=1-P(au moins 4)=1-P6(4;6)=1-(0,2197+0,4004+0,304)=0,0759
d) au moins une entreprise restera
P(au moins 1)=1-P(aucun)=1-P6(0)=1-0,186=0,999966
n=100p=0,18q=0,82
La valeur n=100 est assez grande, donc pour les calculs nous utiliserons les formules de Laplace locale et intégrale :
a) exactement 15 entreprises cesseront leurs activités :
où, et (x) est la fonction de Laplace locale
D'après le tableau, nous constatons que
(-0,78)=(0,78)=0,2943,
b) au moins 15 entreprises cesseront leurs activités, c'est-à-dire de 15 à 100 :
Pn(k1;k2)Ф(x2)-Ф(x1),
où et, et Ф(x) est la fonction intégrale de Laplace
À partir du tableau des valeurs de fonction Ф(x), nous trouvons que Ф(-0,78)=-Ф(0,78)=-0,2823 et Ф(21,34)=0,5, P100(15;100) 0,5+0,2823=0,7823
c) pas plus de 21 entreprises cesseront leurs activités : c'est-à-dire de 0 à 21 :
À partir du tableau des valeurs de fonction Ф(x), nous trouvons que Ф(-4,69)=-Ф(4,69)=-0,499999, et Ф(0,78)=0,2823, P100(0;21) 0,2823+0,499999=0,782299
d) au moins 13, mais pas plus de 23 entreprises cesseront leurs activités :
A partir du tableau des valeurs des fonctions Ф(x) nous trouvons que Ф(1,3)=0,4032,
P100(13;23)0,4032+0,4032=0,8064
Tâche 4
Deux comptables remplissent indépendamment des relevés identiques. Le premier comptable commet des erreurs en moyenne dans 8 %, le second dans 12 % de tous les documents. Le nombre de relevés remplis par le premier comptable est de 1, le second de 2. Une variable aléatoire (r.v.) est prise en compte - le nombre de relevés remplis par deux comptables sans erreurs.
1. Compilez une série de distributions de r.v. et le présenter graphiquement.
3. Calculer valeur attendue(moyenne) M, variance
D et écart carré moyen (type) ().
4. Déterminez les probabilités : a) P ; b)P ; c)P
1) Déterminons les valeurs possibles de la variable aléatoire X et leurs probabilités :
X=0 : 0,920,882=0,712448
X=1 : 0,080,882+0,92(0,120,88+0,880,12)=0,256256
X=2 : 0,920,122+0,08(0,120,88+0,880,12)=0,030144
X=3 : 0,080,122=0,001152
Examen:
0,712488+0,256256+0,030144+0,001152=1
Écrivons la série de distribution
Représentons graphiquement la série de distribution sous la forme d'un polygone
2) Créons une fonction de distribution :
Traçons la fonction de distribution
3) L'espérance mathématique et la variance sont trouvées par la formule :
D(X)=0,3872-0,322=0,2848
4) Trouvez les probabilités requises :
P(X Р(XMX+1)=1-Р(X<1,32)=1-F(1,32)=1-0,968704=0,031296 P(-0,2137 Tâche 5 Entre deux agglomérations situées à une distance de L = 9 km l'une de l'autre, un bus circule avec des arrêts à la demande n'importe où. La distance (en km) parcourue par un certain passager qui monte à bord du bus au début du trajet est aléatoire avec la densité de répartition 1. Définissez la constante inconnue C et tracez la fonction p(x). 2. Trouvez la fonction de distribution de r.v. et construire son graphique. 3. Calculez l'espérance mathématique (valeur moyenne) M, la variance D et l'écart type (). 4. Combien de fois le nombre de débarquements depuis le début de l’itinéraire jusqu’au milieu du voyage du passager est-il supérieur au nombre de débarquements depuis cet endroit jusqu’à la fin de l’itinéraire de bus ? 1) Pour trouver la constante C, on utilise la propriété de la densité de distribution : Traçons la densité de distribution 2) Trouver la fonction de distribution a) si x<0, то F(x)=0, т.к. значений, меньших 0, случайная величина не принимает. b) si 0x<9, то c) si x>3, alors en raison de la propriété de densité de distribution Finalement on obtient : Traçons F(x) : 3) l'espérance mathématique est calculée à l'aide de la formule L'écart est calculé à l'aide de la formule : DX=24,3-4,52=4,05 Moyenne écart-typeéquivaut à: P(X P(XMX)=1-P(X Ceux. le nombre de débarquements depuis le début de l'itinéraire jusqu'au milieu du voyage du passager et le nombre de débarquements de cet endroit jusqu'à la fin de l'itinéraire de bus sont égaux. Tâche 6 Lors du transport de marchandises par hélicoptère, on utilise des câbles fabriqués à partir de matériaux synthétiques basés sur les nouvelles technologies chimiques. À la suite de 25 essais de traction du câble, les données suivantes ont été obtenues (en tonnes) : 2.948 , 3.875, 5.526, 5.422, 4.409, 4.314, 5.150, 2.451, 5.226, 4.105, 3.280, 5.732, 3.249, 3.408, 7.204, 5.174, 6.222, 5.276, 5.853, 4.420, 6.525, 2.127, 5.264, 4.647, 5.591 Nécessaire: 1. Déterminer la caractéristique étudiée et son type (discrète ou continue). 2. Selon le type d'attribut, construisez un polygone ou un histogramme de fréquences relatives. 3. À partir d'une analyse visuelle du polygone (histogramme), formuler une hypothèse sur la loi de répartition de la caractéristique étudiée. 4. Calculez les caractéristiques de l'échantillon de la caractéristique : moyenne, dispersion et écart type. 5. À l'aide du test d'ajustement du chi carré de Pearson, vérifiez la conformité des données de l'échantillon avec la loi de distribution présentée au paragraphe 3 à un niveau de signification de 0,01. 6. Pour la moyenne générale et la variance, construisez des intervalles de confiance correspondant à une probabilité de confiance de 0,99. 7. Avec une fiabilité de 0,99, testez l'hypothèse d'égalité : a) valeur de moyenne générale 5C ; b) valeur de dispersion générale C 2, où C = 1,09. Exemples de valeurs selon l'option d'emploi 1. Le type d'attribut est continu, car une variable aléatoire peut prendre n'importe quelle valeur dans un certain intervalle. 2. Construisons un histogramme des fréquences relatives. Déterminons le nombre d'intervalles : où n est le nombre de valeurs et k est le nombre d'intervalles. DANS dans ce cas il y a 25 valeurs, donc le nombre d'intervalles est : k=1+1,44ln25 5.6. Supposons que le nombre d'intervalles soit égal à 5. Déterminons la taille d'un intervalle : Déterminons les fréquences relatives pour chaque intervalle. Il est pratique d'effectuer des calculs dans le tableau Construisons un histogramme 3. Sur la base de l'analyse visuelle, nous pouvons émettre une hypothèse sur la distribution de la caractéristique selon la loi normale. 4. Déterminons les caractéristiques de l’échantillon du trait étudié. a) moyenne de l'échantillon : b) variance de l'échantillon : c) écart type de l'échantillon 5. Vérifions l’hypothèse selon laquelle les données de l’échantillon correspondent à une distribution normale Déterminons les extrémités des intervalles à l'aide de la formule, pour laquelle nous allons créer un tableau Trouvons les probabilités théoriques pi et les fréquences théoriques. Nous écrirons les résultats du calcul dans le tableau Calculons la valeur observée du critère de Pearson. Pour ce faire, créons un tableau : En fonction du niveau de signification =0,01 et du nombre de degrés de liberté k=n-3=5-3=2, on trouve dans le tableau des points critiques : =9,2 Parce que , il n’y a alors aucune raison de rejeter l’hypothèse d’une distribution normale de la masse critique de rupture. 6. Construire un intervalle de confiance pour la moyenne générale et la variance générale L'erreur d'échantillonnage maximale pour la moyenne est calculée à l'aide de la formule : où t est le coefficient de confiance, qui dépend de la probabilité avec laquelle la déclaration est faite. Le coefficient de confiance est obtenu à partir de la relation 2Ф(t)=p, où Ф(х) est la fonction intégrale de Laplace. D'après la condition p=0,99, Les limites dans lesquelles se situe la moyenne générale sont données par les inégalités : 5,1225 - 0,7034 à 5,1225 + 0,7034 Trouvons l'estimation d'intervalle de la variance : D'après le tableau des points critiques de la distribution, on trouve que =42,98, a =10,86, alors l'intervalle de confiance pour la variance sera : a) vérifions l’hypothèse selon laquelle la moyenne générale est égale à 5,45. Nous émettons des hypothèses : Parce que la variance de la population est inconnue, alors on calcule l'expression A l'aide du tableau des valeurs des points critiques de Student, on trouve la valeur critique tcr(;n-1)=tcr(0,01;24)=2,8 Parce que 1.201<2,8, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,45. b) Vérifions l'hypothèse selon laquelle la variance générale est égale à 1,1881. Nous émettons des hypothèses : Calculer l'expression A l'aide du tableau des valeurs des points critiques de la distribution du Chi carré, on trouve la valeur critique (;n-1)=(0,01;24)=43 Parce que 37,5<43, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,1881. Bibliographie probabilité statistique variance mathématique 1. Gmurman V.E. Un guide pour résoudre des problèmes de théorie des probabilités et de statistiques mathématiques : un manuel pour les étudiants universitaires. - M. : Ecole Supérieure, 2002. 2. Semenov A.T. Théorie des probabilités et statistiques mathématiques : Complexe pédagogique et méthodologique. - Novossibirsk : NGAEiU, 2003.
