Équation du cylindre circulaire. Surfaces de base de l'espace et leur construction

Les étudiants rencontrent le plus souvent des surfaces de 2ème ordre en première année. Au début, les problèmes sur ce sujet peuvent sembler simples, mais à mesure que vous étudiez mathématiques supérieures et en approfondissant le côté scientifique, vous pouvez enfin perdre vos repères sur ce qui se passe. Pour que cela ne se produise pas, vous devez non seulement mémoriser, mais comprendre comment telle ou telle surface est obtenue, comment les changements de coefficients l'affectent et son emplacement par rapport au système de coordonnées d'origine, et comment trouver un nouveau système (un dans lequel son centre coïncide avec les coordonnées d'origine, mais parallèle à l'une des axes de coordonnées). Commençons par le tout début.

Définition

Une surface du 2ème ordre est appelée GMT dont les coordonnées satisfont à l'équation générale de la forme suivante :

Il est clair que chaque point appartenant à la surface doit avoir trois coordonnées sur une base désignée. Même si dans certains cas lieu les points peuvent dégénérer, par exemple, en plan. Cela signifie simplement que l'une des coordonnées est constante et égale à zéro sur toute la plage de valeurs admissibles.

La forme écrite complète de l’égalité ci-dessus ressemble à ceci :

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - quelques constantes, x, y, z - variables correspondant coordonnées affines n'importe quel moment. Dans ce cas, au moins un des facteurs constants ne doit pas être égal à zéro, c'est-à-dire qu'aucun point ne correspondra à l'équation.

Dans la grande majorité des exemples, de nombreux facteurs numériques sont toujours identiques à zéro et l’équation est considérablement simplifiée. En pratique, déterminer si un point appartient à une surface n'est pas difficile (il suffit de substituer ses coordonnées dans l'équation et de vérifier si l'identité est vraie). Le point clé dans un tel travail est d'amener ce dernier à Forme canonique.

L'équation écrite ci-dessus définit toutes les surfaces du 2ème ordre (toutes répertoriées ci-dessous). Regardons des exemples ci-dessous.

Types de surfaces de 2ème ordre

Les équations des surfaces du 2ème ordre ne diffèrent que par les valeurs des coefficients A nm. Depuis vue généraleà certaines valeurs des constantes, diverses surfaces peuvent être obtenues, classées comme suit :

1. Cylindres.
2. Type elliptique.
3. Type hyperbolique.
4. Type conique.
5. Type parabolique.
6. Avions.

Chacun des types répertoriés a une forme naturelle et imaginaire : dans la forme imaginaire, le lieu des points réels soit dégénère en une forme plus un chiffre simple, ou est totalement absent.

Cylindres

Il s'agit du type le plus simple, car la courbe relativement complexe se situe uniquement à la base et sert de guide. Les générateurs sont des lignes droites, plans perpendiculaires, dans lequel se trouve la base.

Le graphique montre un cylindre circulaire - cas particulier cylindre elliptique. Dans le plan XY, sa projection sera une ellipse (dans notre cas, un cercle) - un guide, et dans XZ - un rectangle - puisque les génératrices sont parallèles à l'axe Z. Pour l'obtenir à partir de l'équation générale, c'est. Il faut donner les valeurs suivantes aux coefficients :

Au lieu des notations habituelles x, y, z, x avec numéro de série- ce n'est pas important.

En fait, 1/a 2 et les autres constantes indiquées ici sont les mêmes coefficients indiqués dans l'équation générale, mais il est d'usage de les écrire exactement sous cette forme - c'est représentation canonique. Dans ce qui suit, cette entrée sera utilisée exclusivement.

Ceci définit un cylindre hyperbolique. Le schéma est le même : l’hyperbole servira de guide.

Un cylindre parabolique est défini légèrement différemment : sa forme canonique comprend un coefficient p, appelé paramètre. En fait, le coefficient est q=2p, mais il est d'usage de le diviser selon les deux facteurs présentés.

Il existe un autre type de cylindre : imaginaire. Aucun intérêt réel n’appartient à un tel cylindre. Il est décrit par l'équation d'un cylindre elliptique, mais au lieu d'un, il y a -1.

Type elliptique

L'ellipsoïde peut être étiré le long d'un des axes (le long duquel il dépend des valeurs des constantes a, b, c indiquées ci-dessus ; évidemment, le plus grand axe correspondra à un coefficient plus grand).

Il existe aussi un ellipsoïde imaginaire - à condition que la somme des coordonnées multipliée par les coefficients soit égale à -1 :

Hyperboloïdes

Lorsqu'un moins apparaît dans l'une des constantes, l'équation de l'ellipsoïde se transforme en équation d'un hyperboloïde à feuille unique. Il faut comprendre que ce moins ne doit pas nécessairement être situé devant la coordonnée x3 ! Il détermine uniquement lequel des axes sera l'axe de rotation de l'hyperboloïde (ou parallèle à celui-ci, puisque lorsque des termes supplémentaires apparaissent dans le carré (par exemple, (x-2) 2), le centre de la figure se déplace, comme par conséquent, la surface se déplace parallèlement aux axes de coordonnées). Ceci s'applique à toutes les surfaces du 2ème ordre.

De plus, il faut comprendre que les équations sont présentées sous forme canonique et qu'elles peuvent être modifiées en faisant varier les constantes (tout en conservant le signe !) ; en même temps, leur apparence (hyperboloïde, cône, etc.) restera la même.

Une telle équation est donnée par un hyperboloïde à deux feuilles.

Surface conique

Dans l’équation du cône, il n’y a pas d’unité – elle est égale à zéro.

Un cône n'est qu'une limite surface conique. L'image ci-dessous montre qu'en fait, il y aura deux soi-disant cônes sur la carte.

Remarque importante : dans toutes les équations canoniques considérées, les constantes sont supposées positives par défaut. Sinon, le signe peut affecter le graphique final.

Les plans de coordonnées deviennent les plans de symétrie du cône, le centre de symétrie se situe à l'origine.

Dans l’équation d’un cône imaginaire, il n’y a que des plus ; il possède un seul point réel.

Paraboloïdes

Les surfaces du 2ème ordre dans l'espace peuvent prendre diverses formes même avec des équations similaires. Par exemple, les paraboloïdes sont de deux types.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

Un paraboloïde elliptique, lorsque l'axe Z est perpendiculaire au dessin, sera projeté dans une ellipse.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z

Paraboloïde hyperbolique : dans les sections avec des plans parallèles à ZY, on obtiendra des paraboles, et dans les sections avec des plans parallèles à XY, on obtiendra des hyperboles.

Plans qui se croisent

Il existe des cas où les surfaces du 2ème ordre dégénèrent dans le plan. Ces avions peuvent être disposés de différentes manières.

Regardons d'abord les plans qui se croisent :

x 2 /une 2 -y 2 /b 2 =0

Avec cette modification de l'équation canonique, on obtient simplement deux plans sécants (imaginaires !) ; tous les points réels sont situés sur l'axe de la coordonnée absente dans l'équation (dans l'équation canonique - l'axe Z).

Plans parallèles

S'il n'y a qu'une seule coordonnée, les surfaces du 2ème ordre dégénèrent en paire plans parallèles. N'oubliez pas que toute autre variable peut prendre la place du joueur ; alors des plans parallèles aux autres axes seront obtenus.

Dans ce cas, ils deviennent imaginaires.

Avions coïncidents

Avec ça équation simple une paire de plans dégénère en un seul - ils coïncident.

N'oubliez pas que dans le cas d'une base tridimensionnelle, l'équation ci-dessus ne précise pas la droite y=0 ! Il manque les deux autres variables, mais cela signifie simplement que leur valeur est constante et égale à zéro.

Construction

L'une des tâches les plus difficiles pour un étudiant est précisément la construction de surfaces de 2ème ordre. Il est encore plus difficile de passer d'un système de coordonnées à un autre, compte tenu des angles d'inclinaison de la courbe par rapport aux axes et du décalage du centre. Voyons comment déterminer de manière cohérente vue future dessiner de manière analytique.

Pour construire une surface du 2ème ordre, il faut :

• amener l'équation à une forme canonique ;
• déterminer le type de surface étudiée ;
• construire en fonction des valeurs des coefficients.

Vous trouverez ci-dessous tous les types considérés :

Pour renforcer cela, nous décrirons en détail un exemple de ce type de tâche.

Exemples

Disons que nous avons l'équation :

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Mettons-le sous forme canonique. Sélectionnons des carrés complets, c'est-à-dire que nous organiserons les termes existants de telle manière qu'ils constituent une décomposition du carré de la somme ou de la différence. Par exemple : si (a+1) 2 =a 2 +2a+1, alors a 2 +2a+1=(a+1) 2. Nous effectuerons une deuxième opération. Parenthèses dans dans ce cas il n'est pas nécessaire de divulguer, car cela ne ferait que compliquer les calculs, mais de faire ressortir multiplicateur commun 6 (entre parenthèses avec un carré parfait jeu) il vous faut :

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

La variable zet n'apparaît dans ce cas qu'une seule fois - vous pouvez la laisser tranquille pour l'instant.

Analysons l'équation à ce stade : toutes les inconnues sont précédées d'un signe plus ; Diviser par six laisse un. Nous avons donc devant nous une équation définissant un ellipsoïde.

Notez que 144 a été pris en compte dans 150-6, puis -6 a été déplacé vers la droite. Pourquoi fallait-il procéder de cette façon ? Évidemment le plus grand diviseur V dans cet exemple-6 donc, pour qu'une unité reste à droite après division par elle, il faut « mettre de côté » exactement 6 sur 144 (le fait que l'unité soit à droite est indiqué par la présence d'un terme libre - une constante non multipliée par une inconnue).

Divisons le tout par six et obtenons l'équation canonique de l'ellipsoïde :

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

Dans la classification des surfaces du 2ème ordre précédemment utilisée, un cas particulier est considéré lorsque le centre de la figure est à l'origine des coordonnées. Dans cet exemple, il est décalé.

Nous supposons que chaque tranche avec des inconnues est une nouvelle variable. Soit : a=x-1, b=y+5, c=z. Dans les nouvelles coordonnées, le centre de l'ellipsoïde coïncide avec le point (0,0,0), donc a=b=c=0, d'où : x=1, y=-5, z=0. Dans les coordonnées initiales, le centre de la figure se situe au point (1,-5,0).

L'ellipsoïde sera obtenu à partir de deux ellipses : la première dans le plan XY et la seconde dans le plan XZ (ou YZ - peu importe). Les coefficients par lesquels les variables sont divisées sont au carré dans l'équation canonique. Par conséquent, dans l’exemple ci-dessus, il serait plus correct de diviser par la racine de deux, un et la racine de trois.

Le petit axe de la première ellipse, parallèle à l'axe Y, est égal à deux. Le grand axe est parallèle à l’axe X – deux racines de deux. Le petit axe de la deuxième ellipse, parallèle à l'axe Y, reste le même : il est égal à deux. UN axe majeur, parallèle à l’axe Z, est égal à deux racines de trois.

En utilisant les données obtenues à partir de l’équation originale en la convertissant sous forme canonique, nous pouvons dessiner un ellipsoïde.

En résumé

Le sujet abordé dans cet article est assez vaste, mais en réalité, comme vous pouvez le constater maintenant, il n’est pas très compliqué. Son développement, en effet, se termine au moment où l'on mémorise les noms et les équations des surfaces (et, bien sûr, à quoi elles ressemblent). Dans l'exemple ci-dessus, nous avons examiné chaque étape en détail, mais amener l'équation sous forme canonique nécessite des connaissances minimales en mathématiques supérieures et ne devrait poser aucune difficulté à l'étudiant.

L'analyse du futur calendrier basée sur l'égalité existante est déjà plus que tâche difficile. Mais pour le résoudre avec succès, il suffit de comprendre comment sont construites les courbes correspondantes du second ordre - ellipses, paraboles et autres.

Les cas de dégénérescence constituent une section encore plus simple. En raison de l'absence de certaines variables, non seulement les calculs sont simplifiés, comme mentionné précédemment, mais également la construction elle-même.

Dès que vous pourrez nommer en toute confiance tous les types de surfaces, faire varier les constantes, transformer un graphique en une forme ou une autre, le sujet sera maîtrisé.

Bonne chance dans tes études!

Équation elliptique :

Un cas particulier cylindre elliptique est cylindre circulaire, son équation est x 2 + y 2 = R 2 . L'équation x 2 =2pz définit dans l'espace cylindre parabolique.

Équation : définit dans l'espace cylindre hyperbolique.

Toutes ces surfaces sont appelées cylindres du deuxième ordre, puisque leurs équations sont des équations du deuxième degré par rapport aux coordonnées actuelles x, y, z.

18. Nombres réels, nombres complexes Actions sur des nombres complexes. Nombres complexes. Les formules de Moivre.
Nombre complexe nom expression de la forme z=x+iy, où x et y sont des nombres réels, et i est ce qu'on appelle. unité imaginaire, . Si x=0, alors le nombre 0+iy=iy est appelé. un nombre imaginaire ; si y=0, alors le nombre x+i0=x est identifié au nombre réel x, ce qui signifie que l'ensemble Rall est réel. nombre de phénomènes un sous-ensemble de l'ensemble C de tous les nombres complexes, c'est-à-dire .Numéro x nom partie réelle z, .Deux nombres complexes et sont dits égaux (z1=z2) si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales : x1=x2, y1=y2. En particulier, le nombre complexe Z=x+iy est égal à zéro si et seulement si x=y=0. Les concepts de « plus » et de « moins » ne sont pas introduits pour les nombres complexes. Deux nombres complexes z = x + iy и , ne différant que par le signe de la partie imaginaire, sont appelés conjugués.

Image géométrique nombres complexes.

Tout nombre complexe z=x+iy peut être représenté par un point M(x,y) du plan Oxy tel que x=Rez, y=Imz. Et inversement, chaque point M(x;y) du plan de coordonnées peut être considéré comme une image nombre complexe z=x+iy. Le plan sur lequel les nombres complexes sont représentés s'appelle plan complexe, parce que il contient des nombres réels z=x+0i=x. L'axe des ordonnées est appelé axe imaginaire, puisque des nombres complexes purement imaginaires z=0+iy se trouvent dessus. Le nombre complexe Z=x+iy peut être spécifié en utilisant le rayon vecteur r=OM=(x,y). La longueur du vecteur r représentant un nombre complexe z est appelée module de ce nombre et est notée |z| ou r. La taille de l'angle entre le Direction axe réel et le vecteur r représentant un nombre complexe est appelé l'argument de ce nombre complexe, noté Argz ou . L'argument du nombre complexe Z=0 n'est pas défini. L'argument d'un nombre complexe est une quantité à plusieurs valeurs et est déterminé jusqu'à un terme où argz est la valeur principale de l'argument contenu dans l'intervalle (), c'est-à-dire - (parfois la valeur principale de l'argument est considérée comme la valeur appartenant à l'intervalle (0; )).

Écrire le nombre z sous la forme z=x+iy s'appelle forme algébrique nombre complexe.

À la différence qu'au lieu de graphiques « plats », nous considérerons les surfaces spatiales les plus courantes et apprendrons également à les construire avec compétence à la main. J'ai passé beaucoup de temps à sélectionner des outils logiciels pour créer des dessins en trois dimensions et j'ai trouvé quelques bonnes applications, mais malgré toute la facilité d'utilisation, ces programmes ne résolvent pas les problèmes importants. question pratique. Le fait est que dans un avenir historique prévisible, les étudiants seront toujours armés d'une règle et d'un crayon, et même ayant un dessin « machine » de haute qualité, beaucoup ne seront pas en mesure de le transférer correctement vers papier à carreaux. Par conséquent, dans le manuel Attention particulière est consacré à la technique de construction manuelle, et une partie importante des illustrations de la page est un produit fait main.

Qu'est-ce qui est différent à ce sujet matériel de référence des analogues ?

Avoir un bon expérience pratique, je sais très bien quelles surfaces je dois traiter le plus souvent de vrais problèmes mathématiques supérieures, et j'espère que cet article vous aidera dans dès que possible reconstituez vos bagages avec des connaissances pertinentes et des compétences appliquées, ce qui devrait suffire dans 90 à 95 % des cas.

Que devez-vous être capable de faire en ce moment ?

Le plus basique :

Tout d'abord, vous devez être capable de construire correctement système de coordonnées cartésiennes spatiales (voir début de l'article Graphiques et propriétés des fonctions) .

Qu’allez-vous gagner après avoir lu cet article ?

Bouteille Après avoir maîtrisé le matériel de cours, vous apprendrez à déterminer rapidement le type de surface par sa fonction et/ou son équation, à imaginer comment elle se situe dans l'espace et, bien sûr, à réaliser des dessins. Ce n'est pas grave si vous n'avez pas tout en tête après la première lecture - vous pouvez toujours revenir à n'importe quel paragraphe plus tard si nécessaire.

L'information est à la portée de tous - pour la maîtriser, vous n'avez besoin d'aucune super connaissance, d'un talent artistique particulier ou d'une vision spatiale.

Commencer!

En pratique, la surface spatiale est généralement donnée fonction de deux variables ou une équation de la forme (la constante du côté droit est le plus souvent égale à zéro ou un). La première désignation est plus typique pour analyse mathematique, le deuxième – pour géométrie analytique. L'équation est essentiellement implicitement donné une fonction de 2 variables, qui dans des cas typiques peut facilement être réduite à la forme . Je vous rappelle exemple le plus simple c :

–équation plane gentil .

– fonction plane dans explicitement .

Commençons par ça :

Équations courantes des plans

Options typiques disposition des avions dans système rectangulaire les coordonnées sont discutées en détail au tout début de l'article Équation plane. Cependant, attardons-nous encore une fois sur les équations qui ont grande valeur pour s'entrainer.

Tout d'abord, vous devez reconnaître de manière entièrement automatique les équations des plans parallèles aux plans de coordonnées. Les fragments d'avions sont généralement représentés par des rectangles qui, dans les deux derniers cas, ressemblent à des parallélogrammes. Par défaut, vous pouvez choisir n'importe quelle dimension (dans des limites raisonnables, bien sûr), mais il est souhaitable que le point où l'axe des coordonnées « perce » le plan soit le centre de symétrie :


À proprement parler, les axes de coordonnées doivent être représentés par des lignes pointillées à certains endroits, mais afin d'éviter toute confusion, nous négligerons cette nuance.

– (dessin de gauche) l'inégalité précise le demi-espace le plus éloigné de nous, excluant le plan lui-même ;

– (dessin du milieu) l'inégalité précise le demi-espace droit, y compris le plan ;

– (dessin de droite) la double inégalité définit une « couche » située entre les plans, incluant les deux plans.

Pour l'auto-échauffement :

Exemple 1

Dessine un corps délimité par des plans
Créer un système d'inégalités qui définissent un corps donné.

Une vieille connaissance devrait émerger sous la mine de votre crayon. cuboïde . N'oubliez pas que les bords et faces invisibles doivent être dessinés avec une ligne pointillée. Dessin terminé à la fin du cours.

S'il te plaît, NE NÉGLIGEZ PAS Objectifs d'apprentissage, même s'ils semblent trop simples. Sinon, il se peut que vous en ayez manqué un, puis deux, puis que vous ayez passé une bonne heure à essayer un dessin en trois dimensions dans certains exemple réel. En plus, travail mécanique vous aidera à apprendre la matière beaucoup plus efficacement et à développer votre intelligence ! Ce n'est pas un hasard si Jardin d'enfants Et école primaire les enfants sont chargés de dessins, de modélisation, de kits de construction et d'autres tâches pour dextérité des doigts. Désolé pour la digression, mais ne laissez pas mes deux cahiers disparaître la psychologie du développement =)

Nous appellerons conditionnellement le prochain groupe de plans « proportionnalité directe » - ce sont des plans passant par les axes de coordonnées :

2) une équation de la forme spécifie un plan passant par l'axe ;

3) une équation de la forme spécifie un plan passant par l'axe.

Bien que le signe formel soit évident (quelle variable manque dans l'équation – le plan passe par cet axe), il est toujours utile de comprendre l'essence des événements qui se déroulent :

Exemple 2

Construire un avion

Quelle est la meilleure façon de construire ? je suggère prochain algorithme:

Tout d’abord, réécrivons l’équation sous la forme , d’où on voit clairement que le « y » peut prendre n'importe lequel significations. Fixons la valeur, c'est-à-dire que nous considérerons le plan de coordonnées. Ensemble d'équations ligne spatiale, se trouvant dans un plan de coordonnées donné. Représentons cette ligne dans le dessin. La droite passe par l'origine des coordonnées, il suffit donc pour la construire de trouver un point. Laisser . Mettez de côté un point et tracez une ligne droite.

Revenons maintenant à l'équation du plan. Puisque le "Y" accepte n'importe lequel valeurs, alors la droite construite dans le plan est continuellement « répliquée » vers la gauche et vers la droite. C'est exactement ainsi que se forme notre plan, passant par l'axe. Pour compléter le dessin, à gauche et à droite de la ligne droite on met deux lignes parallèles et « fermer » le parallélogramme symbolique à segments horizontaux transversaux :

Étant donné que la condition n'imposait pas de restrictions supplémentaires, un fragment de l'avion pouvait être représenté dans des tailles légèrement plus petites ou légèrement plus grandes.

Répétons encore une fois le sens du spatial inégalité linéaire Par exemple . Comment déterminer le demi-espace qu’il définit ? Prenons un point n'appartenant pas à planez, par exemple, un point du demi-espace le plus proche de nous et substituez ses coordonnées dans l'inégalité :

Reçu véritable inégalité, ce qui signifie que l'inégalité spécifie le demi-espace inférieur (par rapport au plan), alors que le plan lui-même n'est pas inclus dans la solution.

Exemple 3

Construire des avions
UN) ;
b) .

Ce sont des tâches pour auto-construction, en cas de difficultés, utiliser un raisonnement similaire. Brèves instructions et dessins à la fin de la leçon.

En pratique, les plans parallèles à l'axe sont particulièrement courants. Un cas particulier, lorsqu'un plan passe par un axe, vient d'être évoqué au point « être », et maintenant nous allons analyser davantage tâche commune:

Exemple 4

Construire un avion

Solution: la variable « z » n'est pas explicitement incluse dans l'équation, ce qui signifie que le plan est parallèle à l'axe appliqué. Utilisons la même technique que dans les exemples précédents.

Réécrivons l'équation du plan sous la forme d'où il est clair que « zet » peut prendre n'importe lequel significations. Réparons-le et traçons une ligne droite « plate » régulière dans le plan « natif ». Pour le construire, il convient de prendre des repères.

Puisque "Z" accepte Tous valeurs, alors la ligne droite construite « se multiplie » continuellement de haut en bas, formant ainsi le plan souhaité . Nous dressons soigneusement un parallélogramme de taille raisonnable :

Prêt.

Équation d'un plan en segments

La variété appliquée la plus importante. Si Tous chances équation générale du plan non nul, alors il peut être représenté sous la forme qui est appelée équation du plan en segments. Il est évident que le plan coupe les axes de coordonnées en des points , et le grand avantage d'une telle équation est la facilité de construire un dessin :

Exemple 5

Construire un avion

Solution: Tout d'abord, créons une équation du plan en segments. Transférons Membre gratuità droite et divisez les deux côtés par 12 :

Non, il n’y a pas de faute de frappe ici et tout se passe dans l’espace ! Nous examinons la surface proposée en utilisant la même méthode que celle récemment utilisée pour les avions. Réécrivons l'équation sous la forme , d'où il résulte que « zet » prend n'importe lequel significations. Fixons et construisons une ellipse dans le plan. Puisque "zet" accepte Tous valeurs, alors l’ellipse construite est continuellement « répliquée » de haut en bas. Il est facile de comprendre que la surface infini:

Cette surface est appelée cylindre elliptique . Une ellipse (à n'importe quelle hauteur) s'appelle guide cylindre, et les lignes parallèles passant par chaque point de l'ellipse sont appelées formant cylindre (qui sont littéralement les mots le forment). L'axe est axe de symétrie surface (mais pas une partie de celle-ci !).

Les coordonnées de tout point appartenant à une surface donnée satisfont nécessairement à l'équation .

Spatial l'inégalité spécifie « l'intérieur » du « tuyau » infini, y compris la surface cylindrique elle-même, et, par conséquent, inégalité opposée définit l'ensemble des points à l'extérieur du cylindre.

DANS problèmes pratiques le cas particulier le plus courant est celui où guide le cylindre est cercle:

Exemple 8

Construire la surface donnée par l'équation

Il est impossible de représenter une « pipe » sans fin, c'est pourquoi l'art se limite généralement au « détourage ».

Tout d'abord, il est pratique de construire un cercle de rayon dans le plan, puis quelques cercles supplémentaires au-dessus et en dessous. Les cercles résultants ( guides cylindre) connectez-vous soigneusement avec quatre lignes droites parallèles ( formant cylindre):

N'oubliez pas d'utiliser des lignes pointillées pour les lignes qui nous sont invisibles.

Les coordonnées de tout point appartenant à un cylindre donné satisfont à l'équation . Les coordonnées de tout point situé strictement à l’intérieur du « tuyau » satisfont à l’inégalité , et l'inégalité définit un ensemble de points de la pièce externe. Pour une meilleure compréhension, je recommande d'envisager plusieurs points spécifiques espace et voyez par vous-même.

Exemple 9

Construire une surface et trouver sa projection sur le plan

Réécrivons l'équation sous la forme d'où il résulte que "x" prend n'importe lequel significations. Fixons et décrivons dans l'avion cercle– avec centre à l’origine, rayon unité. Puisque "x" accepte continuellement Tous valeurs, alors le cercle construit génère un cylindre circulaire avec un axe de symétrie. Dessinez un autre cercle ( guide cylindre) et reliez-les soigneusement avec des lignes droites ( formant cylindre). Il y avait des chevauchements à certains endroits, mais que faire, il y a une telle pente :

Cette fois, je me suis limité à un morceau de cylindre dans l'interstice, et ce n'est pas un hasard. En pratique, il est souvent nécessaire de représenter seulement un petit fragment de la surface.

Ici, en passant, il y a 6 génératrices - deux lignes droites supplémentaires « couvrent » la surface à partir des coins supérieur gauche et inférieur droit.

Regardons maintenant la projection d'un cylindre sur un plan. De nombreux lecteurs comprennent ce qu’est la projection, mais faisons néanmoins un autre exercice physique de cinq minutes. Veuillez vous lever et incliner la tête au-dessus du dessin de manière à ce que la pointe de l'axe soit perpendiculaire à votre front. Ce qu'un cylindre semble être sous cet angle, c'est sa projection sur un plan. Mais cela semble être une bande sans fin, enserrée entre des lignes droites, y compris les lignes droites elles-mêmes. Cette projection- c'est exactement domaine fonctions (« gouttière » supérieure du cylindre), (« gouttière » inférieure).

Au fait, clarifions la situation avec les projections sur d'autres plans de coordonnées. Laissez les rayons du soleil briller sur le cylindre depuis la pointe et le long de l'axe. L'ombre (projection) d'un cylindre sur un plan est une bande infinie similaire - une partie du plan délimitée par des lignes droites (- n'importe lesquelles), y compris les lignes droites elles-mêmes.

Mais la projection sur l'avion est quelque peu différente. Si vous regardez le cylindre depuis la pointe de l’axe, il sera alors projeté dans un cercle de rayon unité. , avec lequel nous avons commencé la construction.

Exemple 10

Construire une surface et trouver ses projections sur des plans de coordonnées

C'est une tâche pour décision indépendante. Si la condition n’est pas très claire, mettez les deux côtés au carré et analysez le résultat ; découvrez quelle partie du cylindre est spécifiée par la fonction. Utilisez la technique de construction utilisée à plusieurs reprises ci-dessus. Solution rapide, dessin et commentaires en fin de cours.

Elliptique et autres surfaces cylindriques peut être décalé par rapport aux axes de coordonnées, par exemple :

(basé sur les motifs familiers de l'article sur Lignes de 2ème commande) – un cylindre de rayon unité avec un axe de symétrie passant par un point parallèle à l'axe. Cependant, dans la pratique, de tels cylindres sont assez rares, et il est absolument incroyable de rencontrer une surface cylindrique « oblique » par rapport aux axes de coordonnées.

Cylindres paraboliques

Comme le nom le suggère, guide un tel cylindre est parabole.

Exemple 11

Construisez une surface et trouvez ses projections sur des plans de coordonnées.

Je n'ai pas pu résister à cet exemple =)

Solution: Suivons les sentiers battus. Réécrivons l'équation sous la forme d'où il résulte que « zet » peut prendre n'importe quelle valeur. Fixons et construisons une parabole ordinaire sur le plan, après avoir préalablement marqué les points de référence triviaux. Puisque "Z" accepte Tous valeurs, alors la parabole construite est continuellement « répliquée » de haut en bas jusqu’à l’infini. Nous posons la même parabole, disons, en hauteur (dans le plan) et les connectons soigneusement avec des lignes droites parallèles ( former le cylindre):

Je vous rappelle technique utile: si vous n'êtes pas sûr au départ de la qualité du dessin, il est préférable de tracer d'abord les lignes très fines avec un crayon. Ensuite, nous évaluons la qualité du croquis, découvrons les zones où la surface est cachée à nos yeux, puis appliquons ensuite une pression sur le stylet.

Projections.

1) La projection d'un cylindre sur un plan est une parabole. Il convient de noter que dans ce cas, il est impossible de parler de domaine de définition d'une fonction de deux variables– pour la raison que l’équation du cylindre n’est pas réductible à forme fonctionnelle.

2) La projection d'un cylindre sur un plan est un demi-plan, incluant l'axe

3) Et enfin, la projection du cylindre sur le plan est le plan entier.

Exemple 12

Construire cylindres paraboliques:

a) se limiter à un fragment de surface dans le demi-espace proche ;

b) dans l'intervalle

En cas de difficultés, on ne se précipite pas et on raisonne par analogie avec les exemples précédents, heureusement, la technologie est bien développée ; Ce n'est pas critique si les surfaces s'avèrent un peu maladroites - il est important d'afficher correctement l'image fondamentale. Moi-même, je ne me soucie pas vraiment de la beauté des lignes ; si j'obtiens un dessin passable avec une note C, je ne le refais généralement pas. D'ailleurs, l'exemple de solution utilise une autre technique pour améliorer la qualité du dessin ;-)

Cylindres hyperboliques

Guides ces cylindres sont des hyperboles. Ce type de surface, d'après mes observations, est beaucoup moins courant que les types précédents, je me limiterai donc à un seul dessin schématique cylindre hyperbolique :

Le principe de raisonnement ici est exactement le même - l'habituel hyperbole scolaire du plan se « multiplie » continuellement de haut en bas jusqu’à l’infini.

Les cylindres considérés appartiennent à ce qu'on appelle Surfaces du 2ème ordre, et maintenant nous allons continuer à faire connaissance avec d'autres représentants de ce groupe :

Ellipsoïde. Sphère et boule

Équation canonique un ellipsoïde dans un système de coordonnées rectangulaires a la forme , Où - nombres positifs (arbres d'essieu ellipsoïde), qui dans cas général différent. Un ellipsoïde s'appelle surface, donc corps, limité par une surface donnée. Le corps, comme beaucoup l’ont deviné, est déterminé par l’inégalité et les coordonnées de tout point interne(ainsi que tout point de la surface) satisfont nécessairement à cette inégalité. La conception est symétrique par rapport aux axes de coordonnées et aux plans de coordonnées :

L’origine du terme « ellipsoïde » est également évidente : si la surface est « coupée » plans de coordonnées, alors les sections en auront trois différentes (dans le cas général)

Définition 1. Surface cylindrique est une surface formée de lignes droites parallèles entre elles, appelée son formant .

Si un plan coupant toutes les surfaces cylindriques en formation le coupe le long de la ligne R., alors cette ligne s'appelle guide cette surface cylindrique.

Théorème . Si un système de coordonnées cartésiennes et une équation dans le plan sont introduits dans l'espace xOy est l'équation d'une droite R., alors cette équation dans l'espace est l'équation d'une surface cylindrique L avec ligne de guidage R., et les génératrices sont parallèles à l'axe Oz(Fig. 3.19, a).

Preuve. Point
repose sur une surface cylindrique L si et seulement si la projection
points M.à l'avion xOy parallèle à l'axe Oz est sur la ligne R., c'est à dire. si et seulement si l'équation est vraie
.

Des conclusions similaires s’appliquent aux équations de la forme
(Fig. 3.19, b) et
(Fig. 3.19, c).

Définition 2 . Les surfaces cylindriques dont les guides sont des lignes du second ordre sont appelées surfaces cylindriques du deuxième ordre .

Il existe trois types de cylindres du second ordre : elliptique (Fig. 3.20)

, (5.42)

hyperbolique (Fig. 3.21)

, (5.43)

parabolique (Fig. 3.22)

. (5.44)

Riz. 3.20 Fig. 3.21 Fig. 3.22

Pour les cylindres, donné par des équations(5.42), (5.43) et (5.44), les lignes directrices sont respectivement l'ellipse

,

hyperbole

,

parabole

,

et les génératrices sont parallèles à l'axe Oz.

Commentaire. Comme nous l'avons vu, les surfaces coniques et cylindriques du second ordre ont des génératrices rectilignes, et chacune de ces surfaces peut être formée par le mouvement d'une droite dans l'espace.

Il s'avère que parmi toutes les surfaces du second ordre, en plus du cylindre et du cône, un hyperboloïde à feuille unique et un paraboloïde hyperbolique ont également des génératrices rectilignes et, tout comme dans le cas d'un cylindre et d'un cône, ces deux les surfaces peuvent être formées par le mouvement d'une ligne droite dans l'espace (voir. littérature spéciale).

§4. Réduire l'équation générale de surface du second ordre à la forme canonique

Dans l'équation générale de surface du second ordre

a) forme quadratique

Où
;

b) forme linéaire

Où
;

c) membre gratuit .

Pour amener l'équation (5.45) à la forme canonique, il faut tout d'abord effectuer une telle transformation de coordonnées
, et, par conséquent, la base orthonormée associée
, qui transforme la forme quadratique (5.46) en forme canonique (voir livre 2, chapitre 8, §3, paragraphe 3.1).

La matrice de cette forme quadratique est

,

où, c'est-à-dire matrice UN– symétrique. Notons par
valeurs propres, et à travers
base orthonormée composée des vecteurs propres de la matrice UN. Laisser

–

matrice de transition à partir de la base
à la base
, UN
– nouveau système de coordonnées associé à cette base.

Ensuite, lors de la transformation des coordonnées

(5.48)

la forme quadratique (5.46) prend la forme canonique

Où
.

Maintenant, en appliquant la transformation de coordonnées (5.48) à la forme linéaire (5.47), nous obtenons

Où
,
– nouveaux coefficients de forme (5.47).

Ainsi, l’équation (5.45) prend la forme

+.

Cette équation peut être réduite à Forme canonique en utilisant le transfert parallèle du système de coordonnées selon les formules

ou (5.49)

Après avoir effectué la transformation du système de coordonnées par transfert parallèle (5.49), équation générale surfaces du deuxième ordre (5.45) par rapport au système de coordonnées cartésiennes
exprimera l’une des dix-sept surfaces suivantes :

1) ellipsoïde

2) ellipsoïde imaginaire

3) hyperboloïde à feuille unique

4) hyperboloïde à deux feuilles

5) cône

6) cône imaginaire

7) paraboloïde elliptique

8) paraboloïde hyperbolique

9) cylindre elliptique

10) cylindre elliptique imaginaire

11) deux plans imaginaires qui se croisent

12) cylindre hyperbolique

13) deux plans qui se croisent

14) cylindre parabolique

15) deux plans parallèles

16) deux plans parallèles imaginaires

17) deux plans coïncidents

Exemple. Déterminer le type et l'emplacement d'une surface définie par rapport à un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes
et la base orthonormée associée
équation

Donnons la forme quadratique

(5.51)

à la forme canonique. La matrice de cette forme a la forme

.

Déterminons les valeurs propres de cette matrice à partir de l'équation caractéristique

D'ici  1 = 2,  2 = 0,  3 = 3.

Maintenant nous trouvons vecteurs propres matrices UN: 1) laissez
, puis de l'équation
ou sous forme de coordonnées

trouver où
– n'importe quel nombre, et donc
, UN
. De l'ensemble des vecteurs colinéaires choisissez un vecteur
, dont le module
, c'est à dire. normaliser le vecteur .

2) pour
nous avons

.

D'ici
, Où
- n'importe quel chiffre. Alors
, UN
. Normaliser le vecteur , trouvez le vecteur unitaire :

,

Où
.

3)
, puis pour les composants
vecteur nous avons un système

D'où, où
– n'importe quel nombre, et donc
, UN
. Normaliser le vecteur , trouvez le vecteur unitaire pour la direction donnée par le vecteur :

Où
.

Passons maintenant de la base orthonormée
à une base orthonormée
, composé de vecteurs propres de la matrice UN et reliez à la dernière base un nouveau système de coordonnées rectangulaires cartésiennes
. La matrice de transition pour une telle transformation a la forme

,

et les coordonnées sont converties selon les formules

(5.52)

En appliquant cette transformation de coordonnées à la forme quadratique (5.51), on la réduit à la forme canonique

, Où
.

Déterminons maintenant quelle forme a la formule linéaire

, Où
,

si les coordonnées sont transformées selon les formules (5.52). Nous avons

Ainsi, si le système de coordonnées
transformer à l'aide des formules (5.52), alors relativement nouveau système coordonnées
la surface du second ordre considérée est donnée par l'équation

L'équation (5.53) est réduite à la forme canonique en utilisant le transfert parallèle du système de coordonnées selon les formules

après quoi, l'équation de la surface par rapport au système de coordonnées
prend la forme

ou

Cette équation exprime un cylindre elliptique dont l'ellipse directrice est située dans le plan de coordonnées
, et les génératrices sont parallèles à l'axe

Commentaire. Le schéma de réduction de l'équation générale d'une surface du second ordre à la forme canonique, décrit dans cette section, peut également être appliqué à la réduction de l'équation générale d'une courbe du second ordre à la forme canonique.