Répondre: Fonctions hyperboliques - famille fonctions élémentaires, exprimé par un exposant et étroitement lié à fonctions trigonométriques. Les fonctions hyperboliques ont été introduites par Vincenzo Riccati en 1757 (Opusculorum, Volume I). Il les a obtenus en considérant l'hyperbole unitaire.
Une étude plus approfondie des propriétés des fonctions hyperboliques a été réalisée par Lambert. Les fonctions hyperboliques sont souvent rencontrées lors du calcul de diverses intégrales. Quelques intégrales de fonctions rationnelles et à partir de fonctions contenant des radicaux sont tout simplement réalisées à l'aide de changements de variables à l'aide de fonctions hyperboliques. Les dérivées des fonctions hyperboliques sont faciles à trouver car les fonctions hyperboliques sont des combinaisons. Par exemple, le sinus et le cosinus hyperboliques sont définis comme. 
Les dérivées de ces fonctions ont la forme 
Les fonctions hyperboliques sont données les formules suivantes: 1)sinus hyperbolique : 
(V. littérature étrangère noté sinx); 2) cosinus hyperbolique : 
(dans la littérature étrangère, il est désigné cosx) ; 3) tangente hyperbolique : 
(dans la littérature étrangère, il est désigné tanx) ; 4) cotangente hyperbolique : 
; 5) sécante et cosécante hyperbolique : 
Définition géométrique: Au vu de la relation, les fonctions hyperboliques donnent une représentation paramétrique de l'hyperbole Dans ce cas, l'argument t = 2S, où S est l'aire du triangle curviligne OQR, prise avec le signe « + » si le secteur. se trouve au-dessus de l’axe OX, et « - » dans le cas contraire. Cette définition est similaire à la définition des fonctions trigonométriques en termes de cercle unitaire, qui peut également être construit de la même manière. Lien avec les fonctions trigonométriques : Les fonctions hyperboliques sont exprimées en termes de fonctions trigonométriques d'un argument imaginaire. Propriétés analytiques: Le sinus hyperbolique et le cosinus hyperbolique sont analytiques partout plan complexe, à l'exception d'un point essentiellement spécial à l'infini.
Tableau dérivé.
Répondre:
Tableau des dérivés (dont nous avons principalement besoin) : 
46) Dérivée d'une fonction – spécifiée paramétriquement.
Répondre:
Soit donnée la dépendance de deux variables x et y sur le paramètre t, variant dans les limites de Soit la fonction avoir un inverse : 
On peut alors, en prenant la composition des fonctions 
obtenir la dépendance de y sur x : 
La dépendance de la valeur y sur la valeur x, spécifiée paramétriquement, peut être exprimée à travers les dérivées des fonctions puisque et, selon la formule de la dérivée de la fonction inverse, 
où est la valeur du paramètre auquel est obtenue la valeur x qui nous intéresse lors du calcul de la dérivée. Notez que l’application de la formule nous amène à la relation entre, encore une fois exprimée sous forme de relation paramétrique : 
la seconde de ces relations est la même qui a participé à tâche paramétrique fonctions y(x) . Malgré le fait que la dérivée ne soit pas exprimée explicitement, cela n'empêche pas de résoudre les problèmes liés à la recherche de la dérivée en trouvant la valeur correspondante du paramètre t. Montrons-le sur exemple suivant. Exemple 4.22 : Soit la dépendance entre x et y donnée paramétriquement par les formules suivantes : Trouver l'équation de la tangente au graphique de la dépendance y(x) au point Les valeurs sont obtenues si l'on prend t=1. Trouvons les dérivées de x et y par rapport au paramètre t : Donc 
À t=1 nous obtenons la valeur de la dérivée que cette valeur précise ; pente k de la tangente souhaitée. Coordonnées 
les points de contact sont spécifiés dans l'énoncé du problème. Cela signifie que l'équation tangente est la suivante : Notez que sur la base de la dépendance paramétrique obtenue, nous pouvons trouver la dérivée seconde de la fonction y par rapport à la variable x : 
Les fonctions hyperboliques se retrouvent en mécanique, en génie électrique et dans d'autres disciplines techniques. De nombreuses formules pour les fonctions hyperboliques sont similaires aux formules pour les fonctions trigonométriques, à l'exception de la propriété de limitation.
| № | Fonction | Nom | Dérivé  |
| 1. |  | sinus hyperbolique |  |
| 2. |  | cosinus hyperbolique |  |
| 3. |  | tangente hyperbolique |  |
| 4. |  | cotangente hyperbolique |  |
Formules pour fonctions hyperboliques
1. 
.
Preuve. Considérons la différence requise
. .
Preuve. Regardons le travail
.
Regardons le travail 
.
Ajoutons deux produits et donnons des similaires :
En reliant le début et la fin, on obtient l'égalité à prouver : .
Il existe de nombreuses autres propriétés des fonctions hyperboliques similaires aux propriétés des fonctions trigonométriques, qui sont prouvées de la même manière.
Démontrons des formules pour les dérivées de fonctions hyperboliques.
1. Considérons le sinus hyperbolique 
.
Lors de la recherche de la dérivée, nous retirons la constante du signe de la dérivée. Ensuite, nous appliquons la propriété de la dérivée de la différence entre deux fonctions et . Trouver la dérivée d'une fonction à l'aide du tableau des dérivées : 
. On cherche la dérivée de la fonction comme la dérivée fonction complexe 
.
Donc la dérivée 
.
En reliant le début et la fin, on obtient l'égalité à prouver : 
.
2. Considérons le cosinus hyperbolique .
Nous appliquons pleinement l'algorithme précédent, seulement au lieu de la propriété sur la dérivée de la différence de deux fonctions, nous appliquons la propriété sur la dérivée de la somme de ces deux fonctions. 
.
En reliant le début et la fin, on obtient l'égalité à prouver : 
.
3. Considérons la tangente hyperbolique .
Nous trouvons la dérivée en utilisant la règle pour trouver la dérivée d'une fraction.
4. Dérivé cotangente hyperbolique
peut être trouvé comme la dérivée d'une fonction complexe 
.
En reliant le début et la fin, on obtient l'égalité à prouver : 
.
Fonction différentielle
Laissez la fonction 
– est différentiable au point , alors son incrément de cette fonction au point , correspondant à l'incrément de l'argument , peut être représenté comme
où est un certain nombre indépendant de , et est fonction de l'argument , qui est infinitésimal pour 
.
Ainsi, l'incrément de la fonction est la somme de deux termes infinitésimaux 
Et 
. Il a été montré que le deuxième terme 
est infini petite fonction ordre supérieur à c.-à-d. (voir 8.1). Donc le premier terme 
est la partie linéaire principale de l'incrément de la fonction . Dans la remarque 8.1. une autre formule (8.1.1) a été obtenue pour l'incrément de la fonction , à savoir : . (8.1.1)
Définition 8.3.Différentiel fonctions en un point est appelé la partie linéaire principale de son incrément, égal au produit dérivé 
à ce stade par un incrément arbitraire d'argument , et est noté (ou 
):
(8.4)
Fonction différentielle aussi appelé différentiel du premier ordre.
La différentielle d'une variable indépendante est n'importe quel nombre indépendant de . Le plus souvent, ce nombre est considéré comme l'incrément de la variable, c'est-à-dire 
. Ceci est cohérent avec la règle (8.4) pour trouver la différentielle de la fonction
Considérez la fonction 
et trouver son différentiel.
Parce que dérivé 
. Ainsi, nous avons obtenu : 
et fonctions différentielles peut être trouvé en utilisant la formule
. (8.4.1)
Remarque 8.7. De la formule (8.4.1), il résulte que. 
Ainsi, la notation peut être comprise non seulement comme une notation pour la dérivée 
, mais aussi comme le rapport des différentiels des variables dépendantes et indépendantes.
8.7. Signification géométrique de la fonction différentielle
Soit le graphique de la fonction 
une tangente est tracée (voir Fig. 8.1). Point 
est sur le graphique de la fonction et a pour abscisse - . On donne un incrément arbitraire tel que le point 
n'a pas quitté le domaine de la définition de la fonction .
Figure 8.1 Illustration d'un graphique d'une fonction
Le point a des coordonnées 
. Segment 
. Le point se situe sur la tangente au graphique de la fonction et a pour abscisse - . Du rectangulaire 
il s'ensuit que , où angle est l'angle entre la direction positive de l'axe et la tangente tracée au graphique de la fonction au point. Par définition du différentiel de la fonction et la signification géométrique de la fonction dérivée à ce stade, nous concluons que 
. Ainsi, signification géométrique fonction différentielle est que le différentiel représente l'incrément de l'ordonnée de la tangente au graphique de la fonction au point.
Remarque 8.8. Différentiel et incrément pour une fonction arbitraire , d’une manière générale, ne sont pas égaux les uns aux autres.B cas général, la différence entre l'incrément et le différentiel de la fonction est infinitésimale ordre supérieur petit que l’incrément de l’argument. De la définition 8.1, il résulte que 
, c'est-à-dire 
.
Dans la figure 8.1, le point se situe sur le graphique de la fonction et a des coordonnées 
. Segment.
Dans la figure 8.1, l'inégalité est satisfaite 
, c'est-à-dire 
. Mais il peut y avoir des cas où c'est vrai inégalité opposée 
. Ceci est fait pour fonction linéaire et pour une fonction convexe vers le haut.
Données de référence sur les fonctions hyperboliques. Définitions, graphiques et propriétés du sinus hyperbolique, du cosinus, de la tangente et de la cotangente. Formules pour sommes, différences et produits. Dérivées, intégrales, développements en séries. Expressions à travers des fonctions trigonométriques.
Définitions des fonctions hyperboliques, leurs domaines de définitions et de valeurs
sh x - sinus hyperbolique
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - cosinus hyperbolique
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
th x - tangente hyperbolique
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - cotangente hyperbolique
X ≠ 0 ; oui< -1 или y > +1 .
Graphiques de fonctions hyperboliques
Graphique sinusoïdal hyperbolique y = merde x
Calendrier cosinus hyperbolique y= chx
Calendrier tangente hyperbolique y= Merci
Graphique de la cotangente hyperbolique y = cth x
Formules avec fonctions hyperboliques
Relation avec les fonctions trigonométriques
sin iz = je sh z ; cos iz = chz
sh iz = je péché z; ch iz = cos z
tg iz = je ème z ; lit bébé iz = - je cth z
th iz = je tg z ; cth iz = - je lit bébé z
Ici, je - unité imaginaire, je 2 = - 1
.
En appliquant ces formules aux fonctions trigonométriques, on obtient des formules reliant les fonctions hyperboliques.
Parité
sh(-x) = - shx;
ch(-x) = chx.
th(-x) = - thx;
cth(-x) = - cth x.
Fonction ch(x)- même. Fonctions merde (x), Merci), cth(x)- impair.
Différence de carrés
ml 2 x - ml 2 x = 1.
Formules pour la somme et la différence d'arguments
sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,
ch 2 x = 2 ch x ch x,
ml 2 x = ml 2 x + ml 2 x = 2 ml 2 x - 1 = 1 + 2 ml 2 x,
.
Formules pour les produits du sinus hyperbolique et du cosinus
,
,
,
,
,
.
Formules pour la somme et la différence des fonctions hyperboliques
,
,
,
,
.
Relation du sinus et du cosinus hyperboliques avec la tangente et la cotangente
,
,
,
.
Produits dérivés
,
Intégrales de sh x, ch x, th x, cth x
,
,
.
Extensions de série
merde x
chx
Merci
cth x
Fonctions inverses
Aire sinus
À - ∞< x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Aire cosinus
À 1 ≤x< ∞
Et 0 ≤ oui< ∞
les formules suivantes s'appliquent :
,
.
La deuxième branche de l'aire cosinus est située à 1 ≤x< ∞
et - ∞< y ≤ 0
:
.
Airetangente
À - 1
< x < 1
et - ∞< y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Aire cotangente
À - ∞< x < - 1
ou 1
< x < ∞
et y ≠ 0
les formules suivantes s'appliquent :
,
.
Littérature utilisée :
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.
