Théorie sur le sujet préparation du triangle à l'examen d'État unifié. Objets de base et axiomes de planimétrie

Sujet de la leçon

Trapèze

Objectifs de la leçon

Continuer à introduire de nouvelles définitions en géométrie ;
Consolider les connaissances sur les formes géométriques déjà étudiées ;
Présenter la formulation et la preuve des propriétés du trapèze ;
Enseigner l'utilisation des propriétés de diverses figures lors de la résolution de problèmes et de l'exécution de devoirs ;
Continuer à développer l'attention chez les écoliers, pensée logique Et discours mathématique;
Cultivez l’intérêt pour le sujet.

Objectifs de la leçon

Susciter l'intérêt pour la connaissance de la géométrie ;
Continuer à former les étudiants à la résolution de problèmes ;
Appel intérêt cognitif pour les cours de mathématiques.

Plan de cours

1. Révisez le matériel étudié plus tôt.
2. Introduction au trapèze, ses propriétés et caractéristiques.
3. Résoudre les problèmes et terminer les tâches.

Répétition du matériel précédemment étudié

Dans la leçon précédente, vous avez découvert une figure telle qu’un quadrilatère. Consolidons le matériel abordé et répondons aux questions posées :

1. Combien d’angles et de côtés possède un tétragone ?
2. Formuler la définition d'un 4-gon ?
3. Quel est le nom ? côtés opposés 4-gon ?
4. Quels types de quadrilatères connaissez-vous ? Listez-les et définissez chacun d’eux.
5. Dessinez un exemple de quadrilatère convexe et non convexe.

Trapèze. Propriétés générales et définition

Un trapèze est une figure quadrangulaire dans laquelle une seule paire de côtés opposés est parallèle.

DANS définition géométrique Un trapèze est un tétragon qui a deux côtés parallèles, mais les deux autres ne le sont pas.

Le nom est comme ça personnage inhabituel, car « trapèze » vient du mot « trapèze », qui est traduit de langue grecque, désigne le mot « table », d'où proviennent également le mot « repas » et d'autres mots apparentés.

Dans certains cas, dans un trapèze, deux côtés opposés sont parallèles, mais l’autre paire n’est pas parallèle. Dans ce cas, le trapèze est dit curviligne.

Éléments trapézoïdaux

Un trapèze est constitué d'éléments tels qu'une base, lignes latérales, la ligne médiane et sa hauteur.

La base d'un trapèze est constituée de ses côtés parallèles ;
Les côtés latéraux sont les deux autres côtés du trapèze qui ne sont pas parallèles ;
La ligne médiane d'un trapèze est le segment qui relie les milieux de ses côtés ;
La hauteur d'un trapèze est la distance entre ses bases.

Types de trapèzes

Exercice:

1. Formuler la définition d’un trapèze isocèle.
2. Quel trapèze est appelé rectangulaire ?
3. Que signifie un trapèze à angle aigu ?
4. Quel trapèze est obtus ?

Propriétés générales d'un trapèze

Premièrement, la ligne médiane du trapèze est parallèle à la base de la figure et est égale à sa demi-somme ;

Deuxièmement, le segment qui relie les milieux des diagonales d'une figure à 4 gonales est égal à la demi-différence de ses bases ;

Troisièmement, dans un trapèze, les lignes parallèles qui coupent les côtés de l'angle d'une figure donnée sont coupées segments proportionnels des côtés du coin.

Quatrièmement, dans tout type de trapèze, la somme des angles adjacents à son côté est égale à 180°.

Où d'autre le trapèze est-il présent ?

Le mot « trapèze » n'est pas seulement présent en géométrie, il a une application plus large dans Vie courante.

Ce mot inhabituel On peut rencontrer, en regardant des compétitions sportives, des gymnastes effectuant des exercices acrobatiques sur le trapèze. En gymnastique, un trapèze est un engin sportif constitué d'une barre transversale suspendue à deux cordes.

Vous pouvez également entendre ce mot lors de l'entraînement en salle de sport ou chez les personnes qui pratiquent la musculation, car le trapèze n'est pas seulement une figure géométrique ou un agrès sportif acrobatique, mais aussi de puissants muscles du dos situés à la nuque.

La photo montre un trapèze aérien inventé pour les acrobates de cirque par l'artiste Julius Leotard au XIXe siècle en France. Au début, le créateur de cet acte a installé son projectile à basse altitude, mais il a finalement été déplacé juste sous le dôme du cirque.

Les acrobates du cirque exécutent des tours de vol de trapèze en trapèze, effectuent des vols croisés et effectuent des sauts périlleux dans les airs.

Dans les sports équestres, le trapèze est un exercice d'étirement ou d'étirement du corps du cheval, très utile et agréable pour l'animal. Lorsque le cheval se tient en position trapézoïdale, l'étirement des jambes ou des muscles du dos de l'animal fonctionne. Ce bel exercice on peut observer lors de l'arc ou du soi-disant « front crunch », lorsque le cheval se penche profondément.

Devoir : Donnez vos propres exemples d'autres endroits dans la vie quotidienne où vous pouvez entendre les mots « trapèze » ?

Saviez-vous que pour la première fois en 1947, le célèbre couturier français Christian Dior a organisé un défilé de mode dans lequel la silhouette d'une jupe trapèze était présente. Et bien que plus de soixante ans se soient écoulés, cette silhouette est toujours à la mode et ne perd pas de sa pertinence à ce jour.

Dans l'armoire Reine d'Angleterre la jupe trapèze est devenue un article indispensable et sa carte de visite.

Rappelant Forme géométrique La jupe trapèze du même nom se marie parfaitement avec tous les chemisiers, chemisiers, hauts et vestes. Le classicisme et le caractère démocratique de ce style populaire lui permettent d'être porté avec des vestes formelles et des hauts légèrement frivoles. Il serait approprié de porter une telle jupe aussi bien au bureau qu'en discothèque.

Problèmes avec le trapèze

Pour faciliter la résolution des problèmes avec les trapèzes, il est important de rappeler quelques règles de base :

Tout d’abord, dessinez deux hauteurs : BF et CK.

Dans l'un des cas, vous obtiendrez un rectangle - ВСФК, à partir duquel il est clair que FК = ВС.

AD=AF+FK+KD, donc AD=AF+BC+KD.

De plus, il est immédiatement évident que ABF et DCK sont des triangles rectangles.

Une autre option est possible lorsque le trapèze n'est pas tout à fait standard, où

AD=AF+FD=AF+FK–DK=AF+BC–DK.

Mais l'option la plus simple est si notre trapèze est isocèle. La résolution du problème devient alors encore plus facile, car ABF et DCK sont des triangles rectangles et ils sont égaux. AB=CD, puisque le trapèze est isocèle, et BF=CK, comme hauteur du trapèze. De l’égalité des triangles découle l’égalité des côtés correspondants.

Un trapèze s'appelle quadrilatère convexe, dans lequel une paire de côtés opposés est parallèle l’un à l’autre et l’autre ne l’est pas.

Sur la base de la définition d'un trapèze et des caractéristiques d'un parallélogramme, les côtés parallèles d'un trapèze ne peuvent pas être égaux les uns aux autres. Sinon, l’autre paire de côtés deviendrait également parallèle et égale l’une à l’autre. Dans ce cas, nous aurions affaire à un parallélogramme.

Les côtés parallèles opposés d’un trapèze sont appelés les raisons. Autrement dit, le trapèze a deux bases. Les côtés opposés non parallèles d'un trapèze sont appelés côtés.

Selon les côtés latéraux, les angles qu'ils forment avec les bases, on les distingue différentes sortes trapèze. Le plus souvent, les trapèzes sont divisés en inégaux (unilatéraux), isocèles (équilatéraux) et rectangulaires.

U trapèzes déséquilibrés les côtés ne sont pas égaux les uns aux autres. De plus, avec une base large, tous deux ne pourront former que des angles aigus, ou bien un angle sera obtus et l'autre aigu. Dans le premier cas, le trapèze s'appelle à angle aigu, dans la seconde - obtus.

U trapèzes isocèles les côtés sont égaux les uns aux autres. De plus, avec une base large, ils ne peuvent former que des angles aigus, c'est-à-dire Tous les trapèzes isocèles ont un angle aigu. Par conséquent, ils ne sont pas divisés en angles aigus et en angles obtus.

U trapèzes rectangulaires un côté perpendiculaire aux bases. Le deuxième côté ne peut pas leur être perpendiculaire, car dans ce cas nous aurions affaire à un rectangle. Dans les trapèzes rectangulaires, le côté non perpendiculaire forme toujours un angle aigu avec la plus grande base. Un côté perpendiculaire est perpendiculaire aux deux bases car les bases sont parallèles.

Trapèze. Définition, formules et propriétés

Un trapèze est un quadrilatère dont les deux côtés opposés sont parallèles.

Note. Dans ce cas, le parallélogramme est un cas particulier de trapèze.

Les côtés parallèles opposés sont appelés bases du trapèze et les deux autres sont appelés côtés latéraux.

Les trapèzes sont :

- polyvalent ;

- équilatéral;

- rectangulaire

A - trapèze isocèle (isocèle, isocèle)
B- trapèze rectangulaire
C - trapèze scalène

Un trapèze scalène a tous ses côtés de longueurs différentes et ses bases sont parallèles.

Les côtés sont égaux et les bases sont parallèles.

Les bases sont parallèles, un côté est perpendiculaire aux bases et le deuxième côté est incliné par rapport aux bases.

Propriétés d'un trapèze

• Ligne médiane du trapèze parallèle aux bases et égale à leur demi-somme
• Un segment reliant les milieux des diagonales, égal à la moitié différence de bases et repose sur ligne médiane. Sa longueur
• Les lignes parallèles coupant les côtés de n'importe quel angle d'un trapèze coupent des segments proportionnels des côtés de l'angle (voir le théorème de Thales)
• Point d'intersection des diagonales trapézoïdales, le point d'intersection des prolongements de ses côtés et du milieu des bases se situe sur la même droite (voir aussi propriétés d'un quadrilatère)
• Triangles posés sur des socles les trapèzes dont les sommets sont le point d'intersection de ses diagonales sont similaires. Le rapport des aires de ces triangles est égal au carré du rapport des bases du trapèze
• Triangles couchés sur les côtés les trapèzes dont les sommets sont le point d'intersection de ses diagonales sont égaux en aire (égaux en aire)
• Dans le trapèze tu peux inscrire un cercle, si la somme des longueurs des bases d'un trapèze est égale à la somme des longueurs de ses côtés. La ligne médiane dans ce cas est égale à la somme des côtés divisée par 2 (puisque la ligne médiane d'un trapèze est égale à la moitié de la somme des bases)
• Un segment parallèle aux bases et passant par le point d'intersection des diagonales, est divisé par cette dernière en deux et est égal au double du produit des bases divisé par leur somme 2ab / (a ​​​​+ b) (Formule de Burakov)

Angles trapézoïdaux

Un trapèze rectangulaire a deux angles droits, et les deux autres sont aigus et obtus. D'autres types de trapèzes ont : deux angles aigus et deux stupides.

Angles obtus les trapèzes appartiennent au plus petit sur toute la longueur de la base, et épicé - plus base.

N'importe quel trapèze peut être considéré comme un triangle tronqué, dont la ligne de coupe est parallèle à la base du triangle.
Important. Veuillez noter que de cette façon ( construction supplémentaire des trapèzes aux triangles), certains problèmes concernant les trapèzes peuvent être résolus et certains théorèmes peuvent être prouvés.

Comment trouver les côtés et les diagonales d'un trapèze

La recherche des côtés et des diagonales d'un trapèze se fait à l'aide des formules ci-dessous :

Dans ces formules, les notations utilisées sont celles de la figure.

a - la plus petite des bases du trapèze
b - la plus grande des bases du trapèze
c,d - côtés
h 1 h 2 - diagonales

La somme des carrés des diagonales d'un trapèze est égale au double du produit des bases du trapèze plus la somme des carrés des côtés latéraux (Formule 2)

1. Le segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze est égal à la moitié de la différence des bases
2. Les triangles formés par les bases d'un trapèze et les segments des diagonales jusqu'à leur point d'intersection sont semblables
3. Triangles formés par des segments des diagonales d'un trapèze, dont les côtés se trouvent sur les côtés latéraux du trapèze - sont de taille égale (ont la même aire)
4. Si vous étendez les côtés du trapèze sur le côté socle plus petit, puis ils coupent en un point la ligne reliant les milieux des bases
5. Un segment reliant les bases d'un trapèze et passant par le point d'intersection des diagonales du trapèze est divisé par ce point dans une proportion égale au rapport des longueurs des bases du trapèze
6. Un segment parallèle aux bases du trapèze et passant par le point d'intersection des diagonales est divisé en deux par ce point, et sa longueur est égale à 2ab/(a + b), où a et b sont les bases du trapèze. trapèze

Propriétés d'un segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze

Relions les milieux des diagonales du trapèze ABCD, ce qui donnera un segment LM.
Un segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze se trouve sur la ligne médiane du trapèze.

Ce segment parallèle aux bases du trapèze.

La longueur du segment reliant les milieux des diagonales d'un trapèze est égale à la moitié de la différence de ses bases.

LM = (AD - BC)/2
ou
LM = (ab)/2

Propriétés des triangles formés par les diagonales d'un trapèze

Triangles formés par les bases d'un trapèze et le point d'intersection des diagonales du trapèze - sont similaires.
Les triangles BOC et AOD sont similaires. Puisque les angles BOC et AOD sont verticaux, ils sont égaux.
Les angles OCB et OAD sont des angles internes transversaux avec des droites parallèles AD et BC (les bases du trapèze sont parallèles entre elles) et une droite sécante AC, ils sont donc égaux.
Les angles OBC et ODA sont égaux pour la même raison (interne transversalement).

Puisque les trois angles d’un triangle sont égaux aux angles correspondants d’un autre triangle, alors ces triangles sont similaires.

Qu’est-ce qui en découle ?

Pour résoudre des problèmes de géométrie, la similitude des triangles est utilisée comme suit. Si l'on connaît les longueurs de deux éléments correspondants triangles similaires, puis on trouve le coefficient de similarité (on divise l'un par l'autre). D'où les longueurs de tous les autres éléments sont liées les unes aux autres par exactement la même valeur.

Propriétés des triangles situés sur le côté latéral et des diagonales d'un trapèze

Considérons deux triangles situés sur les côtés latéraux des trapèze AB et CD. Ce sont les triangles AOB et COD. Bien que les tailles partis individuels ces triangles peuvent être complètement différents, mais les aires des triangles formés par les côtés latéraux et le point d'intersection des diagonales du trapèze sont égales, c'est-à-dire que les triangles sont de même taille.

Si nous étendons les côtés du trapèze vers la plus petite base, alors le point d'intersection des côtés sera coïncider avec une ligne droite qui passe par le milieu des bases.

Ainsi, n’importe quel trapèze peut être transformé en triangle. Où:

• Triangles formés par les bases d'un trapèze avec dessus commun au point d'intersection des côtés latéraux étendus sont similaires
• La droite reliant les milieux des bases du trapèze est, en même temps, la médiane du triangle construit

Propriétés d'un segment reliant les bases d'un trapèze

Si vous dessinez un segment dont les extrémités reposent sur les bases d'un trapèze, qui se trouve au point d'intersection des diagonales du trapèze (KN), alors le rapport de ses segments constitutifs du côté de la base au point d'intersection des diagonales (KO/ON) sera égal au rapport des bases du trapèze(BC/AD).

KO/ON = BC/AD

Cette propriété découle de la similitude des triangles correspondants (voir ci-dessus).

Propriétés d'un segment parallèle aux bases d'un trapèze

Si l’on trace un segment parallèle aux bases du trapèze et passant par le point d’intersection des diagonales du trapèze, alors il aura les propriétés suivantes :

• Distance spécifiée (KM) divisé en deux par le point d'intersection des diagonales du trapèze
• Longueur du segment, passant par le point d'intersection des diagonales du trapèze et parallèle aux bases, est égal KM = 2ab/(a + b)

Formules pour trouver les diagonales d'un trapèze

un B- bases trapézoïdales

CD- côtés du trapèze

d1 d2- les diagonales d'un trapèze

α β - angles avec une base de trapèze plus grande

Formules pour trouver les diagonales d'un trapèze à travers les bases, les côtés et les angles à la base

Le premier groupe de formules (1-3) reflète l'une des principales propriétés des diagonales trapézoïdales :

1. La somme des carrés des diagonales d'un trapèze est égale à la somme des carrés des côtés plus le double du produit de ses bases. Cette propriété des diagonales trapézoïdales peut être prouvée comme un théorème distinct

2 . Cette formule obtenu en transformant la formule précédente. Le carré de la deuxième diagonale est passé par le signe égal, après quoi la racine carrée est extraite des côtés gauche et droit de l'expression.

3 . Cette formule pour trouver la longueur de la diagonale d'un trapèze est similaire à la précédente, à la différence qu'une autre diagonale est laissée sur le côté gauche de l'expression

Le groupe suivant de formules (4-5) a une signification similaire et exprime une relation similaire.

Le groupe de formules (6-7) permet de trouver la diagonale d'un trapèze si la plus grande base du trapèze, un côté et l'angle à la base sont connus.

Formules pour trouver les diagonales d'un trapèze en hauteur

Tâche.
Les diagonales du trapèze ABCD (AD | | BC) se coupent au point O. Trouvez la longueur de la base BC du trapèze si la base AD = 24 cm, longueur AO = 9 cm, longueur OS = 6 cm.

Solution.
La solution à ce problème est idéologiquement absolument identique aux problèmes précédents.

Les triangles AOD et BOC sont similaires sous trois angles - AOD et BOC sont verticaux et les angles restants sont égaux par paires, car ils sont formés par l'intersection d'une ligne et de deux lignes parallèles.

Puisque les triangles sont semblables, toutes leurs dimensions géométriques sont liées entre elles, tout comme les dimensions géométriques des segments AO et OC que nous connaissons selon les conditions du problème. C'est

AO/OC = AD/BC
9 / 6 = 24 / avant JC
BC = 24 * 6/9 = 16

Répondre: 16 cm

Tâche .
Dans le trapèze ABCD, on sait que AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Trouvez l'aire du trapèze.

Solution .
Pour trouver la hauteur d'un trapèze à partir des sommets de la plus petite base B et C, nous abaissons deux hauteurs jusqu'à la plus grande base. Puisque le trapèze est inégal, on note la longueur AM = a, longueur KD = b ( à ne pas confondre avec la notation dans la formule trouver l'aire d'un trapèze). Puisque les bases du trapèze sont parallèles, et que nous avons laissé tomber deux hauteurs perpendiculaires raison de plus, alors MBCK est un rectangle.

Moyens
AD = AM+BC+KD
une + 8 + b = 24
une = 16 - b

Les triangles DBM et ACK sont rectangulaires, leurs angles droits sont donc formés par les altitudes du trapèze. Notons la hauteur du trapèze par h. Alors, d'après le théorème de Pythagore

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Et
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Prenons en compte que a = 16 - b, alors dans la première équation
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Remplaçons la valeur du carré de la hauteur dans la deuxième équation obtenue à l'aide du théorème de Pythagore. On a:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Donc KD = 12
Où
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Trouver l'aire du trapèze grâce à sa hauteur et la moitié de la somme des bases
, où a b - la base du trapèze, h - la hauteur du trapèze
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm2

Répondre: l'aire du trapèze est de 80 cm2.

Pour se sentir en confiance et résoudre avec succès les problèmes des cours de géométrie, il ne suffit pas d'apprendre les formules. Il faut d’abord les comprendre. Avoir peur, et plus encore détester les formules, est improductif. Dans cet article langue accessible sera analysé différentes manières Trouver l'aire d'un trapèze. Pour mieux comprendre les règles et théorèmes correspondants, nous accorderons une certaine attention à ses propriétés. Cela vous aidera à comprendre comment fonctionnent les règles et dans quels cas certaines formules doivent être appliquées.

Définir un trapèze

De quel type de chiffre s’agit-il globalement ? Un trapèze est un polygone comportant quatre coins et deux côtés parallèles. Les deux autres côtés du trapèze peuvent être inclinés selon des angles différents. Ses côtés parallèles sont appelés bases, et pour les côtés non parallèles, le nom « côtés » ou « hanches » est utilisé. De tels chiffres sont assez courants dans vie courante. Les contours du trapèze sont visibles dans les silhouettes de vêtements, d'objets d'intérieur, de meubles, de vaisselle et bien d'autres. Le trapèze arrive différents types: scalène, équilatéral et rectangulaire. Nous examinerons leurs types et propriétés plus en détail plus loin dans l’article.

Propriétés d'un trapèze

Arrêtons-nous brièvement sur les propriétés de cette figure. La somme des angles adjacents à n’importe quel côté est toujours de 180°. Il convient de noter que tous les angles d’un trapèze totalisent 360°. Le trapèze a le concept de ligne médiane. Si vous reliez les milieux des côtés avec un segment, ce sera la ligne médiane. Il est désigné m. La ligne médiane a propriétés importantes: elle est toujours parallèle aux bases (on rappelle que les bases sont aussi parallèles entre elles) et égale à leur demi-somme :

Cette définition doit être apprise et comprise, car elle est la clé pour résoudre de nombreux problèmes !

Avec un trapèze, vous pouvez toujours baisser la hauteur jusqu'à la base. Une altitude est une perpendiculaire, souvent désignée par le symbole h, qui est tracée depuis n'importe quel point d'une base vers une autre base ou son extension. La ligne médiane et la hauteur vous aideront à trouver l'aire du trapèze. Tâches similaires sont les plus courants dans cours scolaire géométrie et apparaissent régulièrement parmi les épreuves de tests et d'examens.

Les formules les plus simples pour l'aire d'un trapèze

Regardons les deux plus populaires et formules simples, à l'aide duquel on trouve l'aire d'un trapèze. Il suffit de multiplier la hauteur par la moitié de la somme des bases pour trouver facilement ce que l'on cherche :

S = h*(une + b)/2.

Dans cette formule, a, b désignent les bases du trapèze, h - la hauteur. Pour faciliter la perception, dans cet article, les signes de multiplication sont marqués d'un symbole (*) dans les formules, bien que dans les ouvrages de référence officiels, le signe de multiplication soit généralement omis.

Regardons un exemple.

Étant donné : un trapèze avec deux bases égales à 10 et 14 cm, la hauteur est de 7 cm Quelle est l'aire du trapèze ?

Examinons la solution à ce problème. En utilisant cette formule, il faut d'abord trouver la demi-somme des bases : (10+14)/2 = 12. Donc, la demi-somme est égale à 12 cm. Maintenant, multiplions la demi-somme par la hauteur : 12*7 = 84. Ce que nous cherchons est trouvé. Réponse : La superficie du trapèze est de 84 mètres carrés. cm.

Deuxième formule célèbre déclare : l'aire d'un trapèze est égale au produit de la ligne médiane et de la hauteur du trapèze. Autrement dit, cela découle en fait du concept précédent de ligne médiane : S=m*h.

Utiliser des diagonales pour les calculs

Une autre façon de trouver l’aire d’un trapèze n’est en fait pas si compliquée. Il est relié à ses diagonales. En utilisant cette formule, pour trouver l'aire, vous devez multiplier le demi-produit de ses diagonales (d 1 d 2) par le sinus de l'angle qui les sépare :

S = ½ d 1 d 2 péché un.

Considérons un problème qui montre l'application de cette méthode. Soit : un trapèze dont les diagonales mesurent respectivement 8 et 13 cm. L'angle a entre les diagonales est de 30°. Trouvez l'aire du trapèze.

Solution. En utilisant la formule ci-dessus, il est facile de calculer ce qui est requis. Comme vous le savez, sin 30° vaut 0,5. Par conséquent, S = 8*13*0,5=52. Réponse : la superficie est de 52 mètres carrés. cm.

Trouver l'aire d'un trapèze isocèle

Un trapèze peut être isocèle (isocèle). Ses côtés sont les mêmes et les angles aux bases sont égaux, ce qui est bien illustré par la figure. Trapèze isocèle a les mêmes propriétés que le modèle ordinaire, plus un certain nombre de propriétés spéciales. Un cercle peut être circonscrit autour d’un trapèze isocèle et un cercle peut être inscrit à l’intérieur de celui-ci.

Quelles méthodes existe-t-il pour calculer l'aire d'une telle figure ? La méthode ci-dessous nécessitera de nombreux calculs. Pour l'utiliser, il faut connaître les valeurs du sinus (sin) et du cosinus (cos) de l'angle à la base du trapèze. Leurs calculs nécessitent soit des tables de Bradis, soit calculatrice d'ingénierie. Voici la formule :

S= c*péché un*(un - c* parce que un),

Où Avec- cuisse latérale, un- angle à la base inférieure.

Un trapèze équilatéral a des diagonales de même longueur. L’inverse est également vrai : si un trapèze a des diagonales égales, alors il est isocèle. D'ici formule suivante, qui permet de trouver l'aire d'un trapèze - le demi-produit du carré des diagonales et le sinus de l'angle entre elles : S = ½ d 2 sin un.

Trouver l'aire d'un trapèze rectangulaire

Célèbre cas particulier trapèze rectangulaire. Il s'agit d'un trapèze dont un côté (sa cuisse) rejoint les bases à angle droit. Il possède les propriétés d'un trapèze régulier. De plus, elle a très fonctionnalité intéressante. La différence des carrés des diagonales d'un tel trapèze est égale à la différence des carrés de ses bases. Pour cela, toutes les méthodes décrites précédemment pour calculer la superficie sont utilisées.

Nous faisons preuve d'ingéniosité

Il existe une astuce qui peut vous aider si vous oubliez des formules spécifiques. Regardons de plus près ce qu'est un trapèze. Si nous le divisons mentalement en parties, nous obtiendrons des formes géométriques familières et compréhensibles : un carré ou un rectangle et un triangle (un ou deux). Si la hauteur et les côtés du trapèze sont connus, vous pouvez utiliser les formules pour l'aire d'un triangle et d'un rectangle, puis additionner toutes les valeurs résultantes.

Illustrons cela exemple suivant. Étant donné un trapèze rectangulaire. Angle C = 45°, les angles A, D sont 90°. La base supérieure du trapèze mesure 20 cm, la hauteur est de 16 cm. Vous devez calculer l'aire de la figure.

Cette figure est évidemment constituée d'un rectangle (si deux angles sont égaux à 90°) et d'un triangle. Puisque le trapèze est rectangulaire, sa hauteur est donc égale à son côté, soit 16 cm. Nous avons un rectangle de côtés respectivement 20 et 16 cm. Considérons maintenant un triangle dont l'angle est de 45°. Nous savons qu'un côté mesure 16 cm. Puisque ce côté est aussi la hauteur du trapèze (et nous savons que la hauteur descend jusqu'à la base à angle droit), le deuxième angle du triangle est donc de 90°. L’angle restant du triangle est donc de 45°. En conséquence, nous obtenons un rectangle triangle isocèle, dont les deux côtés sont identiques. Cela signifie que l'autre côté du triangle est égal à la hauteur, soit 16 cm. Il reste à calculer l'aire du triangle et du rectangle et à additionner les valeurs résultantes.

L'aire d'un triangle rectangle est égale à la moitié du produit de ses pattes : S = (16*16)/2 = 128. L'aire d'un rectangle est égale au produit de sa largeur et de sa longueur : S = 20*16 = 320. Nous avons trouvé le requis : aire du trapèze S = 128 + 320 = 448 m². voir. Vous pouvez facilement vous revérifier en utilisant les formules ci-dessus, la réponse sera identique.

Nous utilisons la formule Pick

S = M/2 + N-1,

dans cette formule M est le nombre de nœuds, c'est-à-dire intersections des lignes de la figure avec les lignes de la cellule aux limites du trapèze (points orange sur la figure), N est le nombre de nœuds à l'intérieur de la figure (points bleus). Il est plus pratique de l'utiliser pour trouver la zone polygone irrégulier. Cependant, plus l’arsenal de techniques utilisées est important, moins il y a d’erreurs et meilleurs sont les résultats.

Bien entendu, les informations fournies n'épuisent pas les types et les propriétés d'un trapèze, ni les méthodes permettant de trouver son aire. Cet article donne un aperçu de ses caractéristiques les plus importantes. Lors de la résolution de problèmes géométriques, il est important d’agir progressivement, de commencer par des formules et des problèmes simples, de consolider constamment votre compréhension et de passer à un autre niveau de complexité.

Les formules les plus courantes rassemblées aideront les étudiants à naviguer dans les différentes façons de calculer l'aire d'un trapèze et à mieux se préparer aux tests et essais sur ce sujet.