Exemples de calcul de dérivées de fonctions complexes. Calculateur en ligne

Et le théorème des dérivées fonction complexe, dont le libellé est :

Soit 1) la fonction $u=\varphi (x)$ ait à un moment donné $x_0$ la dérivée $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) la fonction $y=f(u)$ avoir au correspondant au point $u_0=\varphi (x_0)$ la dérivée $y_(u)"=f"(u)$. Alors la fonction complexe $y=f\left(\varphi (x) \right)$ au point mentionné aura également une dérivée, égal au produit dérivées des fonctions $f(u)$ et $\varphi (x)$ :

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

ou, en notation plus courte : $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Dans les exemples de cette section, toutes les fonctions ont la forme $y=f(x)$ (c'est-à-dire que nous considérons uniquement les fonctions d'une variable $x$). En conséquence, dans tous les exemples, la dérivée $y"$ est prise par rapport à la variable $x$. Pour souligner que la dérivée est prise par rapport à la variable $x$, $y"_x$ est souvent écrit à la place de $y "$.

Les exemples n° 1, n° 2 et n° 3 décrivent le processus détaillé pour trouver la dérivée de fonctions complexes. L'exemple n°4 est destiné à une compréhension plus complète de la table des dérivées et il est logique de s'y familiariser.

Il est conseillé après avoir étudié le matériel des exemples n° 1 à 3 de passer à décision indépendante exemples n°5, n°6 et n°7. Les exemples n°5, n°6 et n°7 contiennent solution courte afin que le lecteur puisse vérifier l'exactitude de son résultat.

Exemple n°1

Trouvez la dérivée de la fonction $y=e^(\cos x)$.

Nous devons trouver la dérivée d'une fonction complexe $y"$. Puisque $y=e^(\cos x)$, alors $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Pour trouver la dérivée $ \left(e^(\cos x)\right)"$ nous utilisons la formule n°6 du tableau des dérivées. Pour utiliser la formule n°6, il faut tenir compte du fait que dans notre cas $u=\cos x$. L'autre solution consiste à substituer simplement l'expression $\cos x$ au lieu de $u$ dans la formule n°6 :

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Nous devons maintenant trouver la valeur de l'expression $(\cos x)"$. Nous revenons à la table des dérivées en choisissant la formule n° 10. En substituant $u=x$ dans la formule n° 10, nous avons : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Nous continuons maintenant l'égalité (1.1), en la complétant avec le résultat trouvé :

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Puisque $x"=1$, on continue l'égalité (1.2) :

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Ainsi, à partir de l'égalité (1.3) nous avons : $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Naturellement, les explications et les égalités intermédiaires sont généralement ignorées, en notant la découverte de la dérivée sur une seule ligne, comme dans l'égalité ( 1.3). Ainsi, la dérivée de la fonction complexe a été trouvée, il ne reste plus qu'à écrire la réponse.

Répondre: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Exemple n°2

Trouvez la dérivée de la fonction $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Nous devons calculer la dérivée $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pour commencer, notons que la constante (c'est-à-dire le nombre 9) peut être soustraite du signe dérivé :

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Passons maintenant à l'expression $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Pour sélectionner la formule requiseà partir du tableau des dérivées c'était plus simple, je vais présenter l'expression en question sous cette forme : $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Maintenant, il est clair qu'il faut utiliser la formule n°2, c'est-à-dire $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ Nous substituons $. u=\arctg(4) dans cette formule \cdot \ln x)$ et $\alpha=12$ :

En complétant l'égalité (2.1) avec le résultat obtenu, on a :

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Dans cette situation, une erreur est souvent commise lorsque le solveur choisit à la première étape la formule $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ au lieu de la formule $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Le fait est que la dérivée de la fonction externe doit venir en premier. Pour comprendre quelle fonction sera externe à l'expression $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, imaginez que vous calculez la valeur de l'expression $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ à une certaine valeur $x$. Vous allez d’abord calculer la valeur de $5^x$, puis multiplier le résultat par 4, pour obtenir $4\cdot 5^x$. Nous prenons maintenant l'arctangente de ce résultat, obtenant $\arctg(4\cdot 5^x)$. Ensuite, nous élevons le nombre obtenu à la puissance douzième, obtenant $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. La dernière action, c'est-à-dire élever à la puissance 12 sera une fonction externe. Et c'est à partir de là qu'il faut commencer à trouver la dérivée, ce qui a été fait en égalité (2.2).

Nous devons maintenant trouver $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Nous utilisons la formule n° 19 du tableau des dérivées, en y remplaçant $u=4\cdot \ln x$ :

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Simplifions un peu l'expression résultante, en prenant en compte $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

L'égalité (2.2) deviendra désormais :

Il reste à trouver $(4\cdot \ln x)"$. Sortons la constante (c'est-à-dire 4) du signe dérivé : $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Pour Afin de trouver $(\ln x)"$, nous utilisons la formule n° 8 en y remplaçant $u=x$ : $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x. "$. Puisque $x"=1$, alors $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ En substituant le résultat obtenu dans la formule (2.3), on obtient :

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).

Permettez-moi de vous rappeler que la dérivée d'une fonction complexe se trouve le plus souvent sur une seule ligne, comme écrit dans la dernière égalité. Par conséquent, lors de la préparation de calculs standard ou essais Il n’est pas du tout nécessaire de décrire la solution avec autant de détails.

Répondre: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Exemple n°3

Recherchez $y"$ de la fonction $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Tout d'abord, transformons légèrement la fonction $y$, en exprimant le radical (racine) sous forme de puissance : $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Commençons maintenant par trouver la dérivée. Puisque $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, alors :

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Utilisons la formule n° 2 du tableau des dérivées, en y remplaçant $u=\sin(5\cdot 9^x)$ et $\alpha=\frac(3)(7)$ :

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Continuons l'égalité (3.1) en utilisant le résultat obtenu :

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Nous devons maintenant trouver $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Pour cela, nous utilisons la formule n° 9 du tableau des dérivées, en y remplaçant $u=5\cdot 9^x$ :

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Après avoir complété l'égalité (3.2) par le résultat obtenu, nous avons :

Il reste à trouver $(5\cdot 9^x)"$. Tout d'abord, prenons la constante (le nombre $5$) en dehors du signe dérivé, c'est-à-dire $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Pour trouver la dérivée $(9^x)"$, appliquez la formule n°5 du tableau des dérivées en y remplaçant $a=9$ et $u=x$ : $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Puisque $x"=1$, alors $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Nous pouvons maintenant continuer l'égalité (3.3) :

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Nous pouvons à nouveau revenir des puissances aux radicaux (c'est-à-dire aux racines), en écrivant $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ sous la forme $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Alors la dérivée s’écrira sous cette forme :

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).

Répondre: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Exemple n°4

Montrer que les formules n°3 et n°4 du tableau des dérivées sont cas particulier formules n°2 de ce tableau.

La formule n°2 du tableau des dérivées contient la dérivée de la fonction $u^\alpha$. En substituant $\alpha=-1$ dans la formule n°2, on obtient :

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Puisque $u^(-1)=\frac(1)(u)$ et $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, alors l'égalité (4.1) peut être réécrite comme suit : $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Il s’agit de la formule n°3 du tableau des dérivés.

Revenons à la formule n°2 du tableau des dérivées. Remplaçons-y $\alpha=\frac(1)(2)$ :

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Puisque $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ et $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, alors l'égalité (4.2) peut être réécrite comme suit :

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

L'égalité résultante $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ est la formule n°4 du tableau des dérivées. Comme vous pouvez le constater, les formules n° 3 et n° 4 du tableau des dérivées sont obtenues à partir de la formule n° 2 en substituant la valeur $\alpha$ correspondante.

Les fonctions type complexe ne correspondent pas toujours à la définition d’une fonction complexe. S'il existe une fonction de la forme y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, alors elle ne peut pas être considérée comme complexe, contrairement à y = sin 2 x.

Cet article montrera le concept de fonction complexe et son identification. Travaillons avec des formules pour trouver la dérivée avec des exemples de solutions en conclusion. L'utilisation de la table de dérivées et des règles de différenciation réduit considérablement le temps nécessaire pour trouver la dérivée.

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Définitions basiques

Définition 1

Une fonction complexe est une fonction dont l’argument est aussi une fonction.

Il est noté ainsi : f (g (x)). Nous avons que la fonction g (x) est considérée comme un argument f (g (x)).

Définition 2

S'il existe une fonction f et qu'elle est une fonction cotangente, alors g(x) = ln x est la fonction un algorithme naturel. Nous constatons que la fonction complexe f (g (x)) s’écrira arctg(lnx). Soit une fonction f, qui est une fonction élevée à la puissance 4, où g (x) = x 2 + 2 x - 3 est considéré comme un entier fonction rationnelle, on trouve que f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Évidemment, g(x) peut être complexe. D'après l'exemple y = sin 2 x + 1 x 3 - 5, il est clair que la valeur de g est racine cubique avec une fraction. Cette expression peut être noté y = f (f 1 (f 2 (x))) . D'où on a que f est une fonction sinusoïdale, et f 1 est une fonction située sous racine carrée, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - fonction rationnelle fractionnaire.

Définition 3

Le degré d'imbrication est déterminé par tout entier naturel et s'écrit y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Définition 4

Le concept de composition de fonctions fait référence au nombre de fonctions imbriquées selon les conditions du problème. Pour résoudre, utilisez la formule pour trouver la dérivée d'une fonction complexe de la forme

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Exemples

Exemple 1

Trouver la dérivée d'une fonction complexe de la forme y = (2 x + 1) 2.

Solution

La condition montre que f est une fonction quadratique et que g(x) = 2 x + 1 est considéré comme une fonction linéaire.

Appliquons la formule dérivée pour une fonction complexe et écrivons :

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Il faut trouver la dérivée avec une forme originale simplifiée de la fonction. On a:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

De là, nous avons ça

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Les résultats étaient les mêmes.

Lors de la résolution de problèmes de ce type, il est important de comprendre où se situera la fonction de forme f et g (x).

Exemple 2

Vous devriez trouver les dérivées de fonctions complexes de la forme y = sin 2 x et y = sin x 2.

Solution

La première notation de fonction dit que f est la fonction de quadrature et g(x) est la fonction sinusoïdale. Ensuite, nous obtenons cela

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

La deuxième entrée montre que f est une fonction sinusoïdale et que g(x) = x 2 désigne une fonction puissance. Il s’ensuit que nous écrivons le produit d’une fonction complexe sous la forme

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

La formule de la dérivée y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) s'écrira y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . ( f n (x)))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Exemple 3

Trouvez la dérivée de la fonction y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Solution

Cet exemple montre la difficulté d’écrire et de déterminer l’emplacement des fonctions. Alors y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) désigne où f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) est la fonction sinusoïdale, la fonction d'augmentation à 3 degrés, fonction avec logarithme et base e, fonction arctangente et linéaire.

De la formule pour définir une fonction complexe, nous avons cela

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Nous obtenons ce dont nous avons besoin pour trouver

f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) comme dérivée du sinus selon le tableau des dérivées, puis f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) comme dérivé fonction de puissance, alors f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 · ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 · ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 " (f 3 (f 4 (x))) comme dérivée logarithmique, alors f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 " (f 4 (x)) comme dérivée de l'arctangente, alors f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Lors de la recherche de la dérivée f 4 (x) = 2 x, supprimez 2 du signe de la dérivée en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction puissance avec un exposant égal à 1, alors f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Nous faisons une fusion résultats intermédiaires et nous obtenons ça

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

L’analyse de telles fonctions n’est pas sans rappeler celle des poupées gigognes. Les règles de différenciation ne peuvent pas toujours être appliquées explicitement à l'aide d'une table dérivée. Vous devez souvent utiliser une formule pour trouver des dérivées de fonctions complexes.

Il existe certaines différences entre l'apparence complexe et les fonctions complexes. Avec une capacité claire à distinguer cela, trouver des dérivés sera particulièrement facile.

Exemple 4

Doit être pris en compte lors du casting exemple similaire. S'il existe une fonction de la forme y = t g 2 x + 3 t g x + 1, alors elle peut être considérée comme une fonction complexe de la forme g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Il est évident qu'il faut utiliser la formule d'une dérivée complexe :

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Une fonction de la forme y = t g x 2 + 3 t g x + 1 n'est pas considérée comme complexe, car elle a la somme de t g x 2, 3 t g x et 1. Cependant, t g x 2 est considéré comme une fonction complexe, on obtient alors une fonction puissance de la forme g (x) = x 2 et f, qui est une fonction tangente. Pour ce faire, différenciez par montant. Nous obtenons cela

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 parce que 2 x

Passons à la recherche de la dérivée d'une fonction complexe (t g x 2) :

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

On obtient que y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Les fonctions d'un type complexe peuvent être incluses dans des fonctions complexes, et les fonctions complexes elles-mêmes peuvent être des composants de fonctions d'un type complexe.

Exemple 5

Par exemple, considérons une fonction complexe de la forme y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Cette fonction peut être représentée par y = f (g (x)), où la valeur de f est fonction du logarithme en base 3, et g (x) est considéré comme la somme de deux fonctions de la forme h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 et k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Évidemment, y = f (h (x) + k (x)).

Considérons la fonction h(x). C'est le rapport l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 à m (x) = e x 2 + 3 3

On a que l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) est la somme de deux fonctions n (x) = x 2 + 7 et p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , où p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) est une fonction complexe avec coefficient numérique 3, et p 1 - par la fonction cube, p 2 par la fonction cosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 - par la fonction linéaire.

Nous avons constaté que m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) est la somme de deux fonctions q (x) = e x 2 et r (x) = 3 3, où q (x) = q 1 (q 2 (x)) est une fonction complexe, q 1 est une fonction avec une exponentielle, q 2 (x) = x 2 est une fonction puissance.

Cela montre que h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Lorsqu'on passe à une expression de la forme k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x), il est clair que la fonction se présente sous la forme d'un complexe s (x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) avec un entier rationnel t (x) = x 2 + 1, où s 1 est une fonction quadratique, et s 2 (x) = ln x est logarithmique de base e .

Il s'ensuit que l'expression prendra la forme k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Ensuite, nous obtenons cela

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Sur la base des structures de la fonction, il est devenu clair comment et quelles formules doivent être utilisées pour simplifier l'expression lors de sa différenciation. Pour information tâches similaires et et pour le concept de leur résolution, il faut se tourner vers le point de différencier une fonction, c'est-à-dire trouver sa dérivée.

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Une preuve de la formule de la dérivée d'une fonction complexe est donnée. Les cas où une fonction complexe dépend d'une ou deux variables sont examinés en détail. Une généralisation est faite au cas n'importe quel chiffre variables.

Nous présentons ici la conclusion formules suivantes pour la dérivée d'une fonction complexe.
Si donc
.
Si donc
.
Si donc
.

Dérivée d'une fonction complexe à partir d'une variable

Soit une fonction de variable x être représentée comme une fonction complexe sous la forme suivante :
,
où il y a quelques fonctions. La fonction est différentiable pour une certaine valeur de la variable x.
La fonction est différentiable à la valeur de la variable.
(1) .

Alors la fonction complexe (composite) est dérivable au point x et sa dérivée est déterminée par la formule :
;
.

La formule (1) peut également s'écrire comme suit :

Preuve
;
.
Introduisons la notation suivante.

Ici il y a une fonction des variables et , il y a une fonction des variables et .
;
.

Mais nous omettrons les arguments de ces fonctions pour ne pas encombrer les calculs.
.
Puisque les fonctions et sont différentiables aux points x et , respectivement, alors en ces points il existe des dérivées de ces fonctions, qui sont les limites suivantes :
.
Considérons la fonction suivante :
.

Pour une valeur fixe de la variable u, est fonction de .
.
Considérons la fonction suivante :
.

Il est évident que

.

Alors

Puisque la fonction est une fonction différentiable en ce point, elle est continue en ce point. C'est pourquoi

Maintenant, nous trouvons la dérivée.
,
La formule est éprouvée.
.
Conséquence

Si une fonction d'une variable x peut être représentée comme une fonction complexe d'une fonction complexe
alors sa dérivée est déterminée par la formule
.
Ici, et il y a quelques fonctions différenciables.
.
Pour prouver cette formule, nous calculons séquentiellement la dérivée en utilisant la règle de différenciation d'une fonction complexe.
.
Ici, et il y a quelques fonctions différenciables.
.

Considérons la fonction complexe

Son dérivé Considérez la fonction d'origine.

Dérivée d'une fonction complexe à partir de deux variables
,
Laissez maintenant la fonction complexe dépendre de plusieurs variables. Regardons d'abord
cas d'une fonction complexe de deux variables
Soit une fonction dépendant de la variable x soit représentée comme une fonction complexe de deux variables sous la forme suivante :
(2) .

La formule (1) peut également s'écrire comme suit :

Puisque les fonctions et sont dérivables au point, elles sont définies dans un certain voisinage de ce point, sont continues au point, et leurs dérivées existent au point, qui sont les limites suivantes :
;
.
Ici
;
.
Du fait de la continuité de ces fonctions en un point, on a :
;
.

Puisque la fonction est dérivable en ce point, elle est définie dans un certain voisinage de ce point, est continue en ce point, et son incrément peut s'écrire sous la forme suivante :
(3) .
Ici

- incrémentation d'une fonction lorsque ses arguments sont incrémentés de valeurs et ;
;

- les dérivées partielles de la fonction par rapport aux variables et .
Pour les valeurs fixes de et , et sont des fonctions des variables et .
;
.
Ils tendent vers zéro à et :
;
.

Depuis et , alors

. :
.
Incrément de fonction :

.

Alors

Remplaçons (3) :

Dérivée d'une fonction complexe à partir de plusieurs variables

La conclusion ci-dessus peut facilement être généralisée au cas où le nombre de variables d’une fonction complexe est supérieur à deux. Par exemple, si f est fonction de trois variables
,
Laissez maintenant la fonction complexe dépendre de plusieurs variables. Regardons d'abord
, Que
, et il existe des fonctions différentiables pour une certaine valeur de la variable x ;
- fonction différentiable de trois variables au point , , .
(4)
.
Alors, à partir de la définition de la différentiabilité de la fonction, on a :
; ; ,
Parce que, par souci de continuité,
;
;
.

Que
.

En divisant (4) par et en passant à la limite, on obtient : Et enfin, considérons la plupart .
cas général
,
Laissez maintenant la fonction complexe dépendre de plusieurs variables. Regardons d'abord
Soit une fonction de variable x être représentée comme une fonction complexe de n variables sous la forme suivante :
il existe des fonctions différentiables pour une certaine valeur de la variable x ;
, , ... , .
Considérons la fonction suivante :
.

- fonction différentiable de n variables en un point Dans les manuels « anciens », on l’appelle aussi la règle de la « chaîne ». Donc si y = f (u), et u = φ (x

), c'est

y = f (φ (x))

complexe - fonction composée (composition de fonctions) alors Où , après calcul est considéré à

u = φ (x).

A noter qu'ici nous avons pris des compositions « différentes » à partir des mêmes fonctions, et le résultat de la différenciation s'est naturellement avéré dépendre de l'ordre de « mélange ».

. Ici, avec le « x » pour obtenir la valeur du « y », cinq opérations sont effectuées, c'est-à-dire qu'il y a une composition de cinq fonctions : « externe » (la dernière d'entre elles) - exponentielle - e  ; plus loin dans ordre inverse calme. (♦) 2 ;

péché trigonométrique

(); calme. () 3 et enfin logarithmique ln.(). C'est pourquoi

Avec les exemples suivants, nous allons « faire d'une pierre deux coups » : nous nous entraînerons à différencier des fonctions complexes et à compléter le tableau des dérivées des fonctions élémentaires. Donc: 4. Pour une fonction puissance - y = x α - réécrivez-la en utilisant la fameuse « fonction de base » identité logarithmique

" - b=e ln b - sous la forme x α = x α ln x on obtient 5. Gratuitement fonction exponentielle

en utilisant la même technique que nous aurons

6. Gratuitement

fonction logarithmique

En utilisant la formule bien connue du déménagement vers une nouvelle base, nous obtenons systématiquement

7. Pour différencier la tangente (cotangente), on utilise la règle de différenciation des quotients :
,

Pour obtenir des dérivées de fonctions trigonométriques inverses, nous utilisons la relation qui est satisfaite par les dérivées de deux fonctions mutuellement inverses, c'est-à-dire les fonctions φ (x) et f (x) liées par les relations :

C'est le rapport

C'est à partir de cette formule pour les fonctions mutuellement inverses Et:
; ; ; ; .

Enfin, résumons ces dérivées et quelques autres qui sont également facilement obtenues dans le tableau suivant.
,
Des exemples sont donnés de calcul de dérivées à l'aide de la formule de la dérivée d'une fonction complexe.
.
Nous donnons ici des exemples de calcul des dérivées de
.
fonctions suivantes
Si une fonction peut être représentée comme une fonction complexe sous la forme suivante :

alors sa dérivée est déterminée par la formule :

Dans les exemples ci-dessous, nous écrirons cette formule comme suit :

Où .

Ici, les indices ou , situés sous le signe dérivé, désignent les variables par lesquelles la différenciation est effectuée.
.

Habituellement, dans les tableaux de dérivées, les dérivées des fonctions de la variable x sont données.

Cependant, x est un paramètre formel. La variable x peut être remplacée par n'importe quelle autre variable. Par conséquent, lors de la différenciation d’une fonction d’une variable, nous changeons simplement, dans le tableau des dérivées, la variable x en variable u. Exemples simples Exemple 1
.
Trouver la dérivée d'une fonction complexe
;
.

Solution
.
Écrivons-le

fonction donnée

sous forme équivalente :

Dans le tableau des dérivées on trouve :
.

Habituellement, dans les tableaux de dérivées, les dérivées des fonctions de la variable x sont données.

D'après la formule de la dérivée d'une fonction complexe, on a :
.

.
Écrivons-le

fonction donnée

Ici .

Répondre
.

Habituellement, dans les tableaux de dérivées, les dérivées des fonctions de la variable x sont données.

Exemple 2 -1 pour le signe de la dérivée et du tableau des dérivées on trouve :
;
Du tableau des dérivées on trouve :
.

On applique la formule de la dérivée d'une fonction complexe :
.
Écrivons-le

fonction donnée

Exemples plus complexes

En plus exemples complexes on applique plusieurs fois la règle de différenciation d'une fonction complexe. Dans ce cas, on calcule la dérivée à partir de la fin. Autrement dit, nous divisons la fonction en ses composants et trouvons les dérivées des parties les plus simples en utilisant tableau des dérivés. Nous utilisons également règles de différenciation des sommes, produits et fractions. Ensuite, nous effectuons des substitutions et appliquons la formule de la dérivée d'une fonction complexe.

Exemple 4

Répondre
.

Habituellement, dans les tableaux de dérivées, les dérivées des fonctions de la variable x sont données.

Soulignons le plus partie simple formule et trouver sa dérivée. .

.
Ici nous avons utilisé la notation
.

On trouve la dérivée de la partie suivante de la fonction originale en utilisant les résultats obtenus. On applique la règle de différenciation de la somme :
.

Nous appliquons encore une fois la règle de différenciation des fonctions complexes.

.
Écrivons-le

fonction donnée

Exemple 5

Trouver la dérivée de la fonction
.

Habituellement, dans les tableaux de dérivées, les dérivées des fonctions de la variable x sont données.

Sélectionnons la partie la plus simple de la formule et trouvons sa dérivée dans le tableau des dérivées. .

Nous appliquons la règle de différenciation des fonctions complexes.
.
Ici
.