Progression géométrique non moins important en mathématiques qu'en arithmétique. Une progression géométrique est une suite de nombres b1, b2,..., b[n] dont chaque terme suivant est obtenu en multipliant le précédent par nombre constant. Ce nombre, qui caractérise également le taux de croissance ou de décroissance de la progression, est appelé dénominateur progression géométrique et désigne

Pour terminer la tâche d'une progression géométrique, en plus du dénominateur, il faut connaître ou déterminer son premier terme. Pour valeur positive la progression du dénominateur est séquence monotone, et si cette séquence de nombres est décroissante de façon monotone et si elle est croissante de façon monotone. Le cas où le dénominateur égal à un en pratique n'est pas considéré, puisque nous avons la séquence numéros identiques, et leur résumé n'a aucun intérêt pratique

Terme général de progression géométrique calculé par la formule

Somme des n premiers termes d'une progression géométrique déterminé par la formule

Considérons des solutions problèmes classiquesà une progression géométrique. Commençons par les plus simples à comprendre.

Exemple 1. Le premier terme d'une progression géométrique est 27 et son dénominateur est 1/3. Trouvez les six premiers termes de la progression géométrique.

Solution : Écrivons la condition problématique sous la forme

Pour les calculs, nous utilisons la formule du nième terme d'une progression géométrique

Sur cette base, nous trouvons les termes inconnus de la progression

Comme vous pouvez le constater, calculer les termes d'une progression géométrique n'est pas difficile. La progression elle-même ressemblera à ceci

Exemple 2. Les trois premiers termes de la progression géométrique sont donnés : 6 ; -12 ; 24. Trouvez le dénominateur et son septième terme.

Solution : Nous calculons le dénominateur de la progression géomitrique en fonction de sa définition

Nous avons obtenu une progression géométrique alternée dont le dénominateur est égal à -2. Le septième terme est calculé à l'aide de la formule

Cela résout le problème.

Exemple 3. Une progression géométrique est donnée par deux de ses termes . Trouvez le dixième terme de la progression.

Solution:

Écrivons-le définir des valeursà travers des formules

Selon les règles, il faudrait trouver le dénominateur puis chercher valeur souhaitée, mais pour le dixième mandat nous avons

La même formule peut être obtenue sur la base de simples manipulations avec les données d'entrée. Divisez le sixième terme de la série par un autre, et nous obtenons

Si la valeur résultante est multipliée par le sixième terme, on obtient le dixième

Ainsi, pour tâches similaires en utilisant des transformations simples pour moyen rapide vous pouvez trouver la bonne solution.

Exemple 4. La progression géométrique est donnée par des formules récurrentes

Trouvez le dénominateur de la progression géométrique et la somme des six premiers termes.

Solution:

Écrivons les données données sous la forme d'un système d'équations

Exprimez le dénominateur en divisant la deuxième équation par la première

Trouvons le premier terme de la progression de la première équation

Calculons les cinq termes suivants pour trouver la somme de la progression géométrique

Instructions

10, 30, 90, 270...

Vous devez trouver le dénominateur d'une progression géométrique.
Solution:

Option 1. Prenons un terme arbitraire de la progression (par exemple, 90) et divisons-le par le précédent (30) : 90/30=3.

Si la somme de plusieurs termes d'une progression géométrique ou la somme de tous les termes d'une progression géométrique décroissante est connue, alors pour trouver le dénominateur de la progression, utilisez les formules appropriées :
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), où Sn est la somme des n premiers termes de la progression géométrique et
S = b1/(1-q), où S est la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante (la somme de tous les termes de la progression avec un dénominateur inférieur à un).
Exemple.

Le premier terme d'une progression géométrique décroissante est égal à un, et la somme de tous ses termes est égale à deux.

Il convient de déterminer le dénominateur de cette progression.
Solution:

Remplacez les données du problème dans la formule. Il s'avérera :
2=1/(1-q), d'où – q=1/2.

Une progression est une séquence de nombres. Dans une progression géométrique, chaque terme suivant est obtenu en multipliant le précédent par un certain nombre q, appelé dénominateur de la progression.

Instructions

Si deux termes géométriques adjacents b(n+1) et b(n) sont connus, pour obtenir le dénominateur, il faut diviser le nombre le plus grand par celui qui le précède : q=b(n+1)/b (n). Cela découle de la définition de la progression et de son dénominateur. Une condition importante est l'inégalité du premier terme et le dénominateur de la progression vers zéro, sinon elle est considérée comme indéfinie.

Ainsi, les relations suivantes s'établissent entre les termes de la progression : b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. En utilisant la formule b(n)=b1 q^(n-1), tout terme de la progression géométrique dans laquelle le dénominateur q et le terme b1 sont connus peut être calculé. De plus, chacune des progressions est égale en module à la moyenne de ses membres voisins : |b(n)|=√, c'est là que la progression a obtenu son .

Un analogue d'une progression géométrique est le plus simple fonction exponentielle y=a^x, où x est un exposant, a est un certain nombre. Dans ce cas, le dénominateur de la progression coïncide avec le premier terme et égal au nombre un. La valeur de la fonction y peut être comprise comme nième mandat progression si l'argument x est considéré comme étant nombre naturel n (compteur).

Existe pour la somme des n premiers termes d'une progression géométrique : S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Cette formule valable pour q≠1. Si q=1, alors la somme des n premiers termes est calculée par la formule S(n)=n b1. À propos, la progression sera dite croissante lorsque q est supérieur à un et que b1 est positif. Si le dénominateur de la progression n'excède pas un en valeur absolue, la progression sera dite décroissante.

Un cas particulier de progression géométrique est une progression géométrique infiniment décroissante (progression géométrique infiniment décroissante). Le fait est que les termes d'une progression géométrique décroissante diminueront encore et encore, mais n'atteindront jamais zéro. Malgré cela, il est possible de trouver la somme de tous les termes d’une telle progression. Il est déterminé par la formule S=b1/(1-q). Quantité totale n membres sont infinis.

Pour visualiser comment vous pouvez plier nombre infini nombres et n'obtenez pas l'infini, faites un gâteau. Coupez-en la moitié. Ensuite, coupez la moitié, et ainsi de suite. Les pièces que vous obtiendrez ne sont rien de plus que les membres d'une progression géométrique infiniment décroissante avec un dénominateur de 1/2. Si vous additionnez tous ces morceaux, vous obtenez le gâteau original.

Les problèmes de géométrie sont variété spéciale exercices qui nécessitent pensée spatiale. Si vous ne pouvez pas résoudre un problème géométrique tâche, essayez de suivre les règles ci-dessous.

Instructions

Lisez très attentivement les conditions de la tâche ; si vous ne vous souvenez pas ou ne comprenez pas quelque chose, relisez-le.

Essayez de déterminer quel type problèmes géométriques il s'agit, par exemple : de calculs, lorsqu'il faut découvrir une valeur, de tâches sur , nécessitant une chaîne logique de raisonnement, de tâches de construction à l'aide d'un compas et d'une règle. Plus de tâches type mixte. Une fois que vous avez déterminé le type de problème, essayez de penser logiquement.

Appliquer théorème nécessaire pour cette tâche, s'il y a des doutes ou s'il n'y a aucune option, essayez de vous souvenir de la théorie que vous avez adoptée sur le sujet concerné.

Notez également la solution au problème sous forme de brouillon. Essayez de postuler méthodes connues vérifier l'exactitude de votre décision.

Remplissez soigneusement la solution au problème dans votre cahier, sans effacer ni rayer, et surtout - . La résolution des premiers problèmes géométriques peut prendre du temps et des efforts. Cependant, dès que vous maîtriserez ce processus, vous commencerez à cliquer sur des tâches comme des noix et à en profiter !

Une progression géométrique est une séquence de nombres b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) telle que b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. En d'autres termes, chaque terme de la progression est obtenu à partir du précédent en le multipliant par un dénominateur non nul de la progression q.

Instructions

Les problèmes de progression sont le plus souvent résolus en élaborant puis en suivant un système par rapport au premier terme de la progression b1 et au dénominateur de la progression q. Pour créer des équations, il est utile de retenir quelques formules.

Comment exprimer le nième terme de la progression à travers le premier terme de la progression et le dénominateur de la progression : b(n)=b1*q^(n-1).

Considérons séparément le cas |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Niveau d'entrée

Progression géométrique. Guide complet avec exemples (2019)

Séquence numérique

Alors asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:

Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez (dans notre cas, il y en a). Peu importe le nombre de nombres que nous écrivons, nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Voici un exemple de séquence de nombres :

Séquence numérique est un ensemble de nombres, chacun pouvant se voir attribuer un numéro unique.

Par exemple, pour notre séquence :

Le numéro attribué est spécifique à un seul numéro de la séquence. En d’autres termes, il n’y a pas de nombres de trois secondes dans la séquence. Le deuxième nombre (comme le ème nombre) est toujours le même.

Le nombre avec le nombre est appelé le nième membre de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière par une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

Dans notre cas :

Les types de progression les plus courants sont l’arithmétique et la géométrique. Dans ce sujet, nous parlerons du deuxième type - progression géométrique.

Pourquoi la progression géométrique est-elle nécessaire et son histoire ?

Même dans les temps anciens, le moine mathématicien italien Léonard de Pise (mieux connu sous le nom de Fibonacci) s'occupait des besoins pratiques du commerce. Le moine avait pour tâche de déterminer quel est le plus petit nombre de poids pouvant être utilisé pour peser un produit ? Dans ses travaux, Fibonacci prouve qu'un tel système de pondérations est optimal : c'est l'une des premières situations dans lesquelles les gens ont dû faire face à une progression géométrique, dont vous avez probablement déjà entendu parler et dont vous avez au moins une compréhension générale. Une fois que vous avez parfaitement compris le sujet, réfléchissez à la raison pour laquelle un tel système est optimal ?

Actuellement, dans la pratique de la vie, une progression géométrique se manifeste lors de l'investissement d'argent dans une banque, lorsque le montant des intérêts s'accumule sur le montant accumulé sur le compte pour la période précédente. En d'autres termes, si vous placez de l'argent sur un dépôt à terme dans une caisse d'épargne, après un an, le dépôt augmentera du montant initial, c'est-à-dire le nouveau montant sera égal à la cotisation multipliée par. Dans une autre année, ce montant augmentera de, c'est-à-dire le montant obtenu à ce moment-là sera à nouveau multiplié par et ainsi de suite. Une situation similaire est décrite dans les problèmes de calcul de ce qu'on appelle intérêts composés- le pourcentage est prélevé à chaque fois sur le montant qui se trouve sur le compte, en tenant compte des intérêts antérieurs. Nous parlerons de ces tâches un peu plus tard.

Il existe de nombreux cas plus simples où une progression géométrique est appliquée. Par exemple, la propagation de la grippe : une personne a infecté une autre personne, elle a, à son tour, infecté une autre personne, et donc la deuxième vague d'infection est une personne, et elle, à son tour, en a infecté une autre... et ainsi de suite. .

D'ailleurs, une pyramide financière, le même MMM, est un calcul simple et sec basé sur les propriétés d'une progression géométrique. Intéressant? Voyons cela.

Progression géométrique.

Disons que nous avons une suite de nombres :

Vous répondrez immédiatement que c'est facile et que le nom d'une telle suite est une progression arithmétique avec la différence de ses termes. Que diriez-vous de ceci :

Si vous soustrayez le précédent du nombre suivant, vous verrez qu'à chaque fois vous obtenez une nouvelle différence (et ainsi de suite), mais la séquence existe définitivement et est facile à remarquer - chaque nombre suivant est plusieurs fois plus grand que le précédent !

Ce type de séquence de nombres est appelé progression géométrique et est désigné.

La progression géométrique () est une suite numérique dont le premier terme est différent de zéro, et chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce nombre est appelé dénominateur d'une progression géométrique.

Les restrictions selon lesquelles le premier terme ( ) n'est pas égal et ne sont pas aléatoires. Supposons qu'ils ne soient pas là, et que le premier terme soit toujours égal, et q est égal à, hmm... qu'il en soit ainsi, alors il s'avère :

Convenez que ce n'est plus une progression.

Comme vous le comprenez, nous obtiendrons les mêmes résultats s'il y a un nombre autre que zéro, a. Dans ces cas, il n'y aura tout simplement pas de progression, puisque toute la série de nombres sera soit composée uniquement de zéros, soit d'un seul nombre, et tout le reste sera constitué de zéros.

Parlons maintenant plus en détail du dénominateur de la progression géométrique, c'est-à-dire o.

Répétons : - c'est le numéro combien de fois chaque terme suivant change-t-il ? progression géométrique.

Selon vous, qu'est-ce que cela pourrait être ? C'est vrai, positif et négatif, mais pas nul (nous en avons parlé un peu plus haut).

Supposons que le nôtre soit positif. Soit dans notre cas, a. Quelle est la valeur du deuxième terme et ? Vous pouvez facilement répondre à cela :

C'est exact. En conséquence, si, alors tous les termes ultérieurs de la progression ont le même signe - ils sont positifs.

Et si c'est négatif ? Par exemple, un. Quelle est la valeur du deuxième terme et ?

C'est une histoire complètement différente

Essayez de compter les termes de cette progression. Combien as-tu reçu ? J'ai. Ainsi, si, alors les signes des termes de la progression géométrique alternent. Autrement dit, si vous voyez une progression avec des signes alternés pour ses membres, alors son dénominateur est négatif. Ces connaissances peuvent vous aider à vous tester lors de la résolution de problèmes sur ce sujet.

Pratiquons maintenant un peu : essayez de déterminer quelles suites de nombres sont une progression géométrique et lesquelles sont une progression arithmétique :

J'ai compris? Comparons nos réponses :

Progression géométrique - 3, 6.
Progression arithmétique - 2, 4.
Ce n'est ni une progression arithmétique ni géométrique - 1, 5, 7.

Revenons à notre dernière progression et essayons de trouver son terme, comme en arithmétique. Comme vous l'avez peut-être deviné, il existe deux façons de le trouver.

On multiplie successivement chaque terme par.

Ainsi, le ème terme de la progression géométrique décrite est égal à.

Comme vous l'avez déjà deviné, vous allez maintenant dériver vous-même une formule qui vous aidera à trouver n'importe quel membre de la progression géométrique. Ou l'avez-vous déjà développé pour vous-même, décrivant comment trouver le ème membre étape par étape ? Si tel est le cas, vérifiez l’exactitude de votre raisonnement.

Illustrons cela avec l'exemple de la recherche du ème terme de cette progression :

Autrement dit:

Trouvez vous-même la valeur du terme de la progression géométrique donnée.

Est-ce que ça a marché ? Comparons nos réponses :

Veuillez noter que vous avez obtenu exactement le même nombre que dans la méthode précédente, lorsque nous avons multiplié séquentiellement par chaque terme précédent de la progression géométrique.
Essayons de « dépersonnaliser » cette formule - mettons-la sous forme générale et obtenons :

La formule dérivée est vraie pour toutes les valeurs, positives et négatives. Vérifiez-le vous-même en calculant les termes de la progression géométrique avec les conditions suivantes : , a.

As-tu compté ? Comparons les résultats :

Convenez qu'il serait possible de trouver le terme d'une progression de la même manière qu'un terme, cependant, il existe une possibilité de calcul incorrect. Et si on a déjà trouvé le ième terme de la progression géométrique, alors quoi de plus simple que d'utiliser la partie « tronquée » de la formule.

Progression géométrique infiniment décroissante.

Plus récemment, nous avons parlé du fait qu'il peut être supérieur ou inférieur à zéro, cependant, il existe des valeurs spéciales pour lesquelles la progression géométrique est appelée infiniment décroissant.

Pourquoi pensez-vous que ce nom est donné ?
Tout d’abord, écrivons une progression géométrique composée de termes.
Disons alors :

Nous voyons que chaque terme suivant est inférieur au précédent d'un facteur, mais y aura-t-il un nombre ? Vous répondrez immédiatement - « non ». C'est pourquoi il diminue infiniment - il diminue et diminue, mais ne devient jamais nul.

Pour comprendre clairement à quoi cela ressemble visuellement, essayons de tracer un graphique de notre progression. Ainsi, dans notre cas, la formule prend la forme suivante :

Sur les graphiques, nous avons l'habitude de tracer la dépendance, donc :

L'essence de l'expression n'a pas changé : dans la première entrée nous avons montré la dépendance de la valeur d'un membre d'une progression géométrique sur son nombre ordinal, et dans la deuxième entrée nous avons simplement pris la valeur d'un membre d'une progression géométrique comme , et a désigné le nombre ordinal non pas comme, mais comme. Il ne reste plus qu'à construire un graphique.
Voyons ce que tu as. Voici le graphique que j'ai obtenu :

Voyez-vous ? La fonction décroît, tend vers zéro, mais ne le franchit jamais, elle décroît donc infiniment. Marquons nos points sur le graphique, et en même temps quelles sont leurs coordonnées et leur signification :

Essayez de représenter schématiquement un graphique d'une progression géométrique si son premier terme est également égal. Analysez quelle est la différence avec notre graphique précédent ?

Avez-vous réussi ? Voici le graphique que j'ai obtenu :

Maintenant que vous avez bien compris les bases du sujet de la progression géométrique : vous savez ce que c'est, vous savez comment trouver son terme, et vous savez aussi ce qu'est une progression géométrique infiniment décroissante, passons à sa propriété principale.

Propriété de progression géométrique.

Vous souvenez-vous de la propriété des termes d'une progression arithmétique ? Oui, oui, comment trouver la valeur d'un certain nombre d'une progression lorsqu'il existe des valeurs précédentes et suivantes des termes de cette progression. Vous souvenez-vous? C'est ici:

Nous sommes maintenant confrontés exactement à la même question concernant les termes de la progression géométrique. Pour dériver une telle formule, commençons par dessiner et raisonner. Vous verrez, c'est très simple, et si vous oubliez, vous pourrez le sortir vous-même.

Prenons une autre progression géométrique simple, dans laquelle nous connaissons et. Comment trouver ? Avec la progression arithmétique, c'est facile et simple, mais qu'en est-il ici ? En fait, il n'y a rien de compliqué non plus en géométrique - il suffit d'écrire chaque valeur qui nous est donnée selon la formule.

Vous vous demandez peut-être : que devrions-nous faire maintenant ? Oui, très simple. Tout d'abord, représentons ces formules dans une image et essayons de faire diverses manipulations avec elles afin d'arriver à une valeur.

Faisons abstraction des nombres qui nous sont donnés, concentrons-nous uniquement sur leur expression à travers la formule. Nous devons trouver la valeur surlignée en orange, en connaissant les termes qui lui sont adjacents. Essayons d'effectuer diverses actions avec eux, grâce auxquelles nous pouvons obtenir.

Ajout.
Essayons d'ajouter deux expressions et nous obtenons :

À partir de cette expression, comme vous pouvez le voir, nous ne pouvons en aucun cas l'exprimer, nous allons donc essayer une autre option - la soustraction.

Soustraction.

Comme vous pouvez le voir, nous ne pouvons pas non plus exprimer cela, essayons donc de multiplier ces expressions les unes par les autres.

Multiplication.

Maintenant, regardez bien ce que nous avons en multipliant les termes de la progression géométrique qui nous sont donnés par rapport à ce qu'il faut trouver :

Devinez de quoi je parle ? Correctement, pour trouver, nous devons prendre la racine carrée des nombres de progression géométrique adjacents à celui souhaité multiplié les uns par les autres :

Voici. Vous avez vous-même dérivé la propriété de progression géométrique. Essayez d'écrire cette formule sous forme générale. Est-ce que ça a marché ?

Vous avez oublié la condition pour ? Réfléchissez aux raisons pour lesquelles c'est important, par exemple, essayez de le calculer vous-même. Que se passera-t-il dans ce cas ? C'est vrai, c'est complètement absurde car la formule ressemble à ceci :

N'oubliez donc pas cette limitation.

Maintenant calculons ce que cela équivaut

La bonne réponse est ! Si vous n'avez pas oublié la deuxième valeur possible lors du calcul, alors tout va bien et vous pouvez immédiatement passer à l'entraînement, et si vous avez oublié, lisez ce qui est discuté ci-dessous et faites attention à pourquoi il est nécessaire d'écrire les deux racines dans la réponse.

Traçons nos deux progressions géométriques - l'une avec une valeur et l'autre avec une valeur et vérifions si les deux ont le droit d'exister :

Afin de vérifier si une telle progression géométrique existe ou non, il faut voir si tous ses termes donnés sont les mêmes ? Calculez q pour les premier et deuxième cas.

Vous voyez pourquoi nous devons écrire deux réponses ? Car le signe du terme que vous recherchez dépend s’il est positif ou négatif ! Et comme nous ne savons pas ce que c’est, nous devons écrire les deux réponses avec un plus et un moins.

Maintenant que vous avez maîtrisé les points principaux et dérivé la formule de la propriété de progression géométrique, trouvez, connaissez et

Comparez vos réponses avec les bonnes :

Qu'en pensez-vous, et si on nous donnait non pas les valeurs des termes de la progression géométrique adjacentes au nombre souhaité, mais à égale distance de celui-ci. Par exemple, nous devons trouver, et donné et. Pouvons-nous utiliser la formule que nous avons dérivée dans ce cas ? Essayez de confirmer ou d'infirmer cette possibilité de la même manière, en décrivant en quoi consiste chaque valeur, comme vous l'avez fait lorsque vous avez initialement dérivé la formule.
Qu'as-tu obtenu ?

Maintenant, regardez à nouveau attentivement.
et, en conséquence :

De là, nous pouvons conclure que la formule fonctionne non seulement avec les voisins avec les termes souhaités de la progression géométrique, mais aussi avec équidistant de ce que recherchent les membres.

Ainsi, notre formule initiale prend la forme :

Autrement dit, si dans le premier cas nous disions cela, nous disons maintenant qu'il peut être égal à tout nombre naturel plus petit. L'essentiel est que ce soit le même pour les deux nombres donnés.

Entraînez-vous avec des exemples précis, mais soyez extrêmement prudent !

, . Trouver.
, . Trouver.
, . Trouver.

Décidé? J'espère que vous avez été extrêmement attentif et que vous avez remarqué un petit problème.

Comparons les résultats.

Dans les deux premiers cas, on applique sereinement la formule ci-dessus et on obtient les valeurs suivantes :

Dans le troisième cas, lorsque l'on examine attentivement les numéros d'ordre des numéros qui nous sont donnés, nous comprenons qu'ils ne sont pas équidistants du numéro que nous recherchons : c'est le numéro précédent, mais il est retiré à une position, il est donc impossible d'appliquer la formule.

Comment le résoudre ? Ce n’est en fait pas aussi difficile qu’il y paraît ! Écrivons en quoi consiste chaque numéro qui nous est donné et le numéro que nous recherchons.

Nous avons donc et. Voyons ce que nous pouvons faire avec eux ? Je suggère de diviser par. On obtient :

Nous substituons nos données dans la formule :

La prochaine étape que nous pouvons trouver est la suivante : pour cela, nous devons prendre la racine cubique du nombre résultant.

Maintenant, regardons à nouveau ce que nous avons. Nous l'avons, mais nous devons le trouver, et il est à son tour égal à :

Nous avons trouvé toutes les données nécessaires au calcul. Remplacez dans la formule :

Notre réponse : .

Essayez de résoudre vous-même un autre problème similaire :
Donné: ,
Trouver:

Combien as-tu reçu ? J'ai - .

Comme vous pouvez le constater, vous avez essentiellement besoin souviens-toi d'une seule formule- . Vous pouvez retirer vous-même tout le reste sans aucune difficulté et à tout moment. Pour ce faire, écrivez simplement la progression géométrique la plus simple sur une feuille de papier et notez à quoi chacun de ses nombres est égal, selon la formule décrite ci-dessus.

La somme des termes d'une progression géométrique.

Regardons maintenant les formules qui permettent de calculer rapidement la somme des termes d'une progression géométrique dans un intervalle donné :

Pour dériver la formule de la somme des termes d'une progression géométrique finie, nous multiplions toutes les parties de l'équation ci-dessus par. On obtient :

Regardez bien : quel est le point commun entre les deux dernières formules ? C'est vrai, les membres communs, par exemple, et ainsi de suite, à l'exception du premier et du dernier membre. Essayons de soustraire la 1ère de la 2ème équation. Qu'as-tu obtenu ?

Exprimez maintenant le terme de la progression géométrique à travers la formule et remplacez l'expression résultante dans notre dernière formule :

Regroupez l’expression. Vous devriez obtenir :

Il ne reste plus qu'à exprimer :

En conséquence, dans ce cas.

Et si? Quelle formule fonctionne alors ? Imaginez une progression géométrique à. Comment est-elle ? Une série de nombres identiques est correcte, donc la formule ressemblera à ceci :

Il existe de nombreuses légendes sur la progression arithmétique et géométrique. L'une d'elles est la légende de Seth, le créateur des échecs.

Beaucoup de gens savent que le jeu d’échecs a été inventé en Inde. Lorsque le roi hindou la rencontra, il fut ravi de son esprit et de la variété des positions possibles en elle. Ayant appris qu'il avait été inventé par l'un de ses sujets, le roi décida de le récompenser personnellement. Il convoqua l'inventeur chez lui et lui ordonna de lui demander tout ce qu'il voulait, promettant de réaliser même le désir le plus habile.

Seta demanda du temps pour réfléchir, et lorsque le lendemain Seta apparut devant le roi, il surprit le roi par la modestie sans précédent de sa demande. Il demanda de donner un grain de blé pour la première case de l'échiquier, un grain de blé pour la deuxième, un grain de blé pour la troisième, une quatrième, etc.

Le roi était en colère et chassa Seth, disant que la demande du serviteur était indigne de la générosité du roi, mais il promit que le serviteur recevrait ses grains pour toutes les cases du plateau.

Et maintenant la question : en utilisant la formule de la somme des termes d'une progression géométrique, calculer combien de grains Seth devrait recevoir ?

Commençons par raisonner. Puisque, selon la condition, Seth a demandé un grain de blé pour la première case de l'échiquier, pour la deuxième, pour la troisième, pour la quatrième, etc., alors on voit que le problème concerne une progression géométrique. A quoi cela équivaut-il dans ce cas ?
Droite.

Total des carrés de l'échiquier. Respectivement, . Nous avons toutes les données, il ne reste plus qu'à les brancher sur la formule et à calculer.

Pour imaginer au moins approximativement « l'échelle » d'un nombre donné, on transforme en utilisant les propriétés de degré :

Bien sûr, si vous le souhaitez, vous pouvez prendre une calculatrice et calculer le nombre auquel vous obtenez, et sinon, vous devrez me croire sur parole : la valeur finale de l'expression sera.
C'est-à-dire:

quintillion quadrillion billion milliards millions milliers.

Ouf) Si vous voulez imaginer l’énormité de ce nombre, estimez la taille d’une grange qui serait nécessaire pour accueillir toute la quantité de céréales.
Si la grange mesure m de haut et m de large, sa longueur devrait s'étendre sur km, c'est-à-dire deux fois plus loin de la Terre au Soleil.

Si le roi avait été fort en mathématiques, il aurait pu inviter lui-même le scientifique à compter les grains, car pour compter un million de grains, il lui faudrait au moins une journée de comptage infatigable, et étant donné qu'il faut compter des quintillions, le il faudrait compter les grains tout au long de sa vie.

Résolvons maintenant un problème simple impliquant la somme des termes d’une progression géométrique.
Vasya, un élève de la classe 5A, a contracté la grippe, mais continue d'aller à l'école. Chaque jour, Vasya infecte deux personnes qui, à leur tour, infectent deux autres personnes, et ainsi de suite. Il n'y a que des gens dans la classe. Dans combien de jours toute la classe aura-t-elle la grippe ?

Ainsi, le premier terme de la progression géométrique est Vasya, c'est-à-dire une personne. Le ème terme de la progression géométrique correspond aux deux personnes qu'il a infectées le premier jour de son arrivée. La somme totale des termes de progression est égale au nombre d'élèves de 5A. On parle ainsi d’une progression dans laquelle :

Remplaçons nos données dans la formule de la somme des termes d'une progression géométrique :

Toute la classe tombera malade dans quelques jours. Vous ne croyez pas aux formules et aux chiffres ? Essayez de décrire vous-même « l’infection » des étudiants. Est-ce que ça a marché ? Regardez à quoi ça ressemble pour moi :

Calculez vous-même combien de jours il faudrait aux élèves pour contracter la grippe si chacun d'eux infectait une personne et qu'il n'y avait qu'une seule personne dans la classe.

Quelle valeur as-tu obtenu ? Il s’est avéré que tout le monde a commencé à tomber malade au bout d’une journée.

Comme vous pouvez le constater, une telle tâche et son dessin ressemblent à une pyramide dans laquelle chacune des tâches suivantes « amène » de nouvelles personnes. Cependant, tôt ou tard, il arrive un moment où ce dernier ne peut attirer personne. Dans notre cas, si l'on imagine que la classe est isolée, la personne de ferme la chaîne (). Ainsi, si une personne était impliquée dans une pyramide financière dans laquelle de l'argent était donné si vous ameniez deux autres participants, alors la personne (ou en général) n'amènerait personne et perdrait donc tout ce qu'elle a investi dans cette arnaque financière.

Tout ce qui a été dit ci-dessus fait référence à une progression géométrique décroissante ou croissante, mais, comme vous vous en souvenez, nous avons un type spécial - une progression géométrique infiniment décroissante. Comment calculer la somme de ses membres ? Et pourquoi ce type de progression présente-t-il certaines caractéristiques ? Voyons cela ensemble.

Alors, tout d’abord, regardons à nouveau ce dessin d’une progression géométrique infiniment décroissante à partir de notre exemple :

Regardons maintenant la formule de la somme d'une progression géométrique, dérivée un peu plus tôt :
ou

Vers quoi recherchons-nous ? C'est vrai, le graphique montre qu'il tend vers zéro. C'est-à-dire que at sera presque égal, respectivement, lors du calcul de l'expression que nous obtiendrons presque. À cet égard, nous pensons que lors du calcul de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante, cette parenthèse peut être négligée, puisqu'elle sera égale.

- la formule est la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante.

IMPORTANT! Nous utilisons la formule de la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante uniquement si la condition indique explicitement que nous devons trouver la somme infini nombre de membres.

Si un nombre spécifique n est spécifié, alors nous utilisons la formule pour la somme de n termes, même si ou.

Maintenant, pratiquons.

Trouver la somme des premiers termes de la progression géométrique avec et.
Trouver la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante avec et.

J'espère que vous avez été extrêmement prudent. Comparons nos réponses :

Vous savez désormais tout sur la progression géométrique et il est temps de passer de la théorie à la pratique. Les problèmes de progression géométrique les plus courants rencontrés lors de l’examen sont les problèmes de calcul des intérêts composés. Ce sont de ceux-là dont nous parlerons.

Problèmes de calcul des intérêts composés.

Vous avez probablement entendu parler de la formule dite des intérêts composés. Comprenez-vous ce que cela signifie ? Sinon, essayons de comprendre, car une fois que vous aurez compris le processus lui-même, vous comprendrez immédiatement ce que la progression géométrique a à voir avec cela.

Nous allons tous à la banque et savons qu'il existe différentes conditions pour les dépôts : cela inclut une durée, des services supplémentaires et des intérêts avec deux manières différentes de les calculer - simples et complexes.

AVEC intérêts simples tout est plus ou moins clair : les intérêts sont courus une seule fois à la fin de la durée du dépôt. Autrement dit, si nous disons que nous déposons 100 roubles par an, ils ne seront crédités qu'à la fin de l'année. En conséquence, à la fin du dépôt, nous recevrons des roubles.

Intérêts composés- c'est une option dans laquelle cela se produit capitalisation des intérêts, c'est-à-dire leur ajout au montant du dépôt et le calcul ultérieur du revenu non pas à partir du montant initial, mais à partir du montant du dépôt accumulé. La capitalisation ne se produit pas constamment, mais avec une certaine fréquence. En règle générale, ces périodes sont égales et les banques utilisent le plus souvent un mois, un trimestre ou une année.

Supposons que nous déposions les mêmes roubles chaque année, mais avec une capitalisation mensuelle du dépôt. Que faisons-nous ?

Vous comprenez tout ici ? Sinon, voyons cela étape par étape.

Nous avons apporté des roubles à la banque. À la fin du mois, nous devrions avoir sur notre compte un montant composé de nos roubles plus les intérêts sur ceux-ci, soit :

Accepter?

On peut le sortir des parenthèses et on obtient alors :

D'accord, cette formule ressemble déjà plus à ce que nous avons écrit au début. Il ne reste plus qu'à calculer les pourcentages

Dans l'énoncé du problème, on nous parle des taux annuels. Comme vous le savez, nous ne multiplions pas par - nous convertissons les pourcentages en fractions décimales, c'est-à-dire :

Droite? Maintenant, vous vous demandez peut-être d’où vient ce numéro ? Très simple !
Je le répète : l'énoncé du problème parle de ANNUEL les intérêts qui courent MENSUEL. Comme vous le savez, dans un an de mois, la banque nous facturera donc une partie des intérêts annuels par mois :

Vous l'avez compris ? Essayez maintenant d'écrire à quoi ressemblera cette partie de la formule si je dis que les intérêts sont calculés quotidiennement.
Avez-vous réussi ? Comparons les résultats :

Bien joué! Revenons à notre tâche : écrivez combien sera crédité sur notre compte au cours du deuxième mois, en tenant compte du fait que des intérêts sont courus sur le montant du dépôt accumulé.
Voici ce que j'ai obtenu :

Ou, en d'autres termes :

Je pense que vous avez déjà remarqué une tendance et vu une progression géométrique dans tout cela. Écrivez à quoi sera égal son membre ou, en d'autres termes, quelle somme d'argent nous recevrons à la fin du mois.
A fait? Vérifions !

Comme vous pouvez le constater, si vous mettez de l'argent dans une banque pendant un an à un taux d'intérêt simple, vous recevrez des roubles, et si à un taux d'intérêt composé, vous recevrez des roubles. Le bénéfice est faible, mais cela n'arrive qu'au cours de la ème année, mais sur une période plus longue, la capitalisation est beaucoup plus rentable :

Examinons un autre type de problème impliquant les intérêts composés. Après ce que vous avez compris, ce sera élémentaire pour vous. Donc, la tâche :

La société Zvezda a commencé à investir dans le secteur en 2000, avec un capital en dollars. Chaque année depuis 2001, elle perçoit un bénéfice égal au capital de l'année précédente. Quel bénéfice la société Zvezda recevra-t-elle à la fin de 2003 si les bénéfices n'étaient pas retirés de la circulation ?

Capital de la société Zvezda en 2000.
- capital de la société Zvezda en 2001.
- capital de la société Zvezda en 2002.
- capital de la société Zvezda en 2003.

Ou nous pouvons écrire brièvement :

Pour notre cas :

2000, 2001, 2002 et 2003.

Respectivement:
roubles
Veuillez noter que dans ce problème nous n'avons pas de division ni par ni par, puisque le pourcentage est donné ANNUELLEMENT et il est calculé ANNUELLEMENT. Autrement dit, lorsque vous lisez un problème sur les intérêts composés, faites attention au pourcentage donné et à la période pendant laquelle il est calculé, puis procédez ensuite aux calculs.
Vous savez désormais tout sur la progression géométrique.

Entraînement.

Trouver le terme de la progression géométrique si on le sait, et
Trouver la somme des premiers termes de la progression géométrique si l'on sait cela, et
La société MDM Capital a commencé à investir dans le secteur en 2003, avec des capitaux en dollars. Chaque année depuis 2004, elle perçoit un bénéfice égal au capital de l'année précédente. La société MSK Cash Flows a commencé à investir dans l'industrie en 2005 pour un montant de 10 000 $ et a commencé à réaliser un bénéfice en 2006 pour un montant de. De combien de dollars le capital d'une entreprise serait-il supérieur à celui de l'autre à la fin de 2007, si les bénéfices n'étaient pas retirés de la circulation ?

Réponses :

Puisque l'énoncé du problème ne dit pas que la progression est infinie et qu'il faut trouver la somme d'un nombre précis de ses termes, le calcul est effectué selon la formule :
Société de Capital MDM :
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- augmente de 100%, soit 2 fois.
Respectivement:
roubles
Société MSK Cash Flows :
2005, 2006, 2007.
- augmente de, c'est-à-dire de fois.
Respectivement:
roubles
roubles

Résumons.

1) La progression géométrique ( ) est une suite numérique dont le premier terme est différent de zéro, et chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce nombre est appelé dénominateur d'une progression géométrique.

2) L'équation des termes de la progression géométrique est .

3) peut prendre n'importe quelle valeur sauf et.

si, alors tous les termes ultérieurs de la progression ont le même signe - ils sont positifs;
si, alors tous les termes ultérieurs de la progression signes alternatifs ;
quand - la progression est dite infiniment décroissante.

4) , avec - propriété de progression géométrique (termes adjacents)

ou
, à (termes équidistants)

Quand tu le trouveras, ne l'oublie pas il devrait y avoir deux réponses.

Par exemple,

5) La somme des termes de la progression géométrique est calculée par la formule :
ou

Si la progression est infiniment décroissante, alors :
ou

IMPORTANT! Nous utilisons la formule pour la somme des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante uniquement si la condition indique explicitement que nous devons trouver la somme d'un nombre infini de termes.

6) Les problèmes sur les intérêts composés sont également calculés à l'aide de la formule du ème terme d'une progression géométrique, à condition que les fonds n'aient pas été retirés de la circulation :

PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Progression géométrique( ) est une suite numérique dont le premier terme est différent de zéro, et chaque terme, à partir du second, est égal au précédent, multiplié par le même nombre. Ce numéro s'appelle dénominateur d’une progression géométrique.

Dénominateur de progression géométrique peut prendre n’importe quelle valeur sauf et.

Si, alors tous les termes suivants de la progression ont le même signe - ils sont positifs ;
si, alors tous les membres suivants de la progression alternent les signes ;
quand - la progression est dite infiniment décroissante.

Équation des termes de progression géométrique - .

Somme des termes d'une progression géométrique calculé par la formule :
ou

SÉQUENCES NUMÉRIQUES VI

§ 148. Somme d'une progression géométrique infiniment décroissante

Jusqu'à présent, lorsqu'on parlait de sommes, on a toujours supposé que le nombre de termes dans ces sommes était fini (par exemple, 2, 15, 1000, etc.). Mais lors de la résolution de certains problèmes (notamment en mathématiques supérieures), il faut composer avec les sommes d'un nombre infini de termes.

S= un 1 + un 2 + ... + un n + ... . (1)

Quels sont ces montants ? Par définition la somme d'un nombre infini de termes un 1 , un 2 , ..., un n , ... est appelée la limite de la somme S n d'abord n des chiffres quand n -> ∞ :

S=S n = (un 1 + un 2 + ... + un n ). (2)

Bien entendu, la limite (2) peut exister ou non. En conséquence, ils disent que la somme (1) existe ou n'existe pas.

Comment pouvons-nous savoir si la somme (1) existe dans chaque cas spécifique ? Solution générale Cette question dépasse largement la portée de notre programme. Cependant, il y a un élément important cas particulier, que nous devons maintenant considérer. Nous parlerons de la sommation des termes d'une progression géométrique infiniment décroissante.

Laisser un 1 , un 1 q , un 1 q 2, ... est une progression géométrique infiniment décroissante. Cela signifie que | q |< 1. Сумма первых n les termes de cette progression sont égaux

Des principaux théorèmes sur les limites variables(voir § 136) on obtient :

Mais 1 = 1, un qn = 0. Donc

Ainsi, la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante est égale au premier terme de cette progression divisé par un moins le dénominateur de cette progression.

1) La somme des progressions géométriques 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... est égale à

et la somme de la progression géométrique est 12 ; -6 ; 3 ; - 3 / 2 , ... égal

2) Simple fraction périodique 0,454545 ... convertir en ordinaire.

Pour résoudre ce problème, imaginons fraction donnée comme une somme infinie :

Côté droit Cette égalité est la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante dont le premier terme est égal à 45/100, et le dénominateur est 1/100. C'est pourquoi

En utilisant la méthode décrite, il est possible d'obtenir règle générale conversion de fractions périodiques simples en fractions ordinaires (voir chapitre II, § 38) :

Pour convertir une fraction périodique simple en fraction ordinaire, vous devez procéder comme suit : mettre le point au numérateur décimal, et le dénominateur est un nombre composé de neuf pris autant de fois qu'il y a de chiffres dans la période de la fraction décimale.

3) Convertissez la fraction périodique mixte 0,58333 .... en une fraction ordinaire.

Imaginons cette fraction comme une somme infinie :

Du côté droit de cette égalité, tous les termes, à partir de 3/1000, forment une progression géométrique infiniment décroissante dont le premier terme est égal à 3/1000, et le dénominateur est 1/10. C'est pourquoi

En utilisant la méthode décrite, une règle générale pour convertir des fractions périodiques mixtes en fractions ordinaires peut être obtenue (voir chapitre II, § 38). Nous ne le présentons volontairement pas ici. Il n’est pas nécessaire de rappeler cette lourde règle. Il est bien plus utile de savoir que toute fraction périodique mixte peut être représentée comme la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante et d'un certain nombre. Et la formule

pour la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante, il faut bien sûr s'en souvenir.

À titre d'exercice, nous vous proposons, en plus des problèmes n° 995-1000 donnés ci-dessous, de vous tourner à nouveau vers le problème n° 301 § 38.

Exercices

995. Qu'appelle-t-on la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante ?

996. Trouver les sommes de progressions géométriques infiniment décroissantes :

997. À quelles valeurs X progression

est-ce que ça décroît à l'infini ? Trouvez la somme d'une telle progression.

998.V triangle équilatéral avec le côté UN un nouveau triangle s'inscrit en reliant les milieux de ses côtés ; un nouveau triangle s'inscrit dans ce triangle de la même manière, et ainsi de suite à l'infini.

a) la somme des périmètres de tous ces triangles ;

b) la somme de leurs aires.

999. Carré avec côté UN un nouveau carré s'inscrit en reliant les milieux de ses côtés ; un carré s'inscrit dans ce carré de la même manière, et ainsi de suite à l'infini. Trouvez la somme des périmètres de tous ces carrés et la somme de leurs aires.

1000. Composer une progression géométrique infiniment décroissante telle que sa somme soit égale à 25/4, et la somme des carrés de ses termes soit égale à 625/24.

Considérons maintenant la question de la sommation d'une progression géométrique infinie. Appelons la somme partielle d'une progression infinie donnée la somme de ses premiers termes. Notons la somme partielle par le symbole

Pour chaque progression infinie

on peut composer une séquence (également infinie) de ses sommes partielles

Laissez une séquence à augmentation illimitée avoir une limite

Dans ce cas, le nombre S, c'est-à-dire la limite des sommes partielles d'une progression, est appelé somme d'une progression infinie. Nous prouverons qu'une progression géométrique infiniment décroissante a toujours une somme, et nous dériverons une formule pour cette somme (nous pouvons aussi montrer que lorsque progression sans fin n'a pas de somme, n'existe pas).

Écrivons l'expression montant partiel comme la somme des termes de la progression selon la formule (91.1) et nous considérerons la limite de la somme partielle à

Du théorème 89 on sait que pour une progression décroissante ; par conséquent, en appliquant le théorème de différence limite, nous trouvons

(ici la règle est également utilisée : le facteur constant est pris au-delà du signe limite). L'existence est prouvée, et en même temps la formule de la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante est obtenue :

L'égalité (92.1) peut également s'écrire sous la forme

Il peut paraître ici paradoxal que le montant nombre infini Les termes se voient attribuer une valeur finale bien définie.

Une illustration claire peut être donnée pour expliquer cette situation. Considérons un carré de côté égal à un(Fig. 72). Divisons ce carré ligne horizontale en deux parties égales et partie supérieure Appliquez-le sur celui du bas pour former un rectangle avec les côtés 2 et . Après cela moitié droite Nous allons à nouveau diviser ce rectangle en deux avec une ligne horizontale et attacher la partie supérieure à la partie inférieure (comme le montre la Fig. 72). En poursuivant ce processus, nous transformons constamment le carré d'origine d'aire égale à 1 en chiffres de taille égale(prenant la forme d'un escalier à marches effilées).

Avec la poursuite infinie de ce processus, l'aire entière du carré est décomposée en un nombre infini de termes - les aires des rectangles de bases égales à 1 et de hauteurs. Les aires des rectangles forment précisément une progression décroissante infinie, sa somme.

c'est-à-dire, comme on pouvait s'y attendre, égal à l'aire du carré.

Exemple. Trouvez les sommes des progressions infinies suivantes :

Solution, a) On remarque que cette progression Par conséquent, en utilisant la formule (92.2) on trouve

b) Ici, cela signifie qu'en utilisant la même formule (92.2) nous avons

c) On constate que cette progression n'a donc pas de somme.

Au paragraphe 5, l'application de la formule de la somme des termes d'une progression infiniment décroissante à la conversion d'une fraction décimale périodique en une fraction ordinaire a été montrée.

Exercices

1. La somme d'une progression géométrique infiniment décroissante est 3/5 et la somme de ses quatre premiers termes est 13/27. Trouvez le premier terme et le dénominateur de la progression.

2. Trouvez quatre nombres qui forment une progression géométrique alternée, dans laquelle le deuxième terme est inférieur au premier de 35 et le troisième est supérieur au quatrième de 560.

3. Montrer que si la séquence

forme une progression géométrique infiniment décroissante, alors la séquence

pour tout, il forme une progression géométrique infiniment décroissante. Cette affirmation sera-t-elle vraie lorsque

Dériver une formule pour le produit des termes d’une progression géométrique.