સાયબરનેટિક અર્થશાસ્ત્રીઓની પાઠ્યપુસ્તક માટે અંગ્રેજી. આર્થિક શરતોનો સંક્ષિપ્ત શબ્દકોશ

તમારું લક્ષ્ય:અસમાનતા સાબિત કરવાની પદ્ધતિઓ જાણો અને તેને લાગુ કરવામાં સક્ષમ બનો.

વ્યવહારુ ભાગ

અસમાનતા સાબિતીનો ખ્યાલ . કેટલીક અસમાનતાઓ સાચી બને છે સંખ્યાત્મક અસમાનતાદરેકની સામે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોચલ અથવા અમુક આપેલ ચલ મૂલ્યોના સેટ પર. ઉદાહરણ તરીકે, અસમાનતા એ 2 ³0, ( એ–b) 2 ³ 0 , એ 2 + b 2 + સી 2 " ³ 0 કોઈપણ માટે સાચું છે વાસ્તવિક મૂલ્યોચલો, અને અસમાનતા ³ 0 – કોઈપણ વાસ્તવિક બિન-નકારાત્મક મૂલ્યો માટે એ.કેટલીકવાર અસમાનતા સાબિત કરવાની સમસ્યા ઊભી થાય છે.

અસમાનતા સાબિત કરવાનો અર્થ છે કે તે દર્શાવવું આ અસમાનતાચલોના તમામ સ્વીકાર્ય મૂલ્યો માટે અથવા આ ચલોના મૂલ્યોના આપેલ સેટ પર સાચી સંખ્યાત્મક અસમાનતામાં ફેરવાય છે.

અસમાનતા સાબિત કરવા માટેની પદ્ધતિઓ.તેની નોંધ લો સામાન્ય પદ્ધતિઅસમાનતાનો કોઈ પુરાવો નથી. જો કે, તેમાંના કેટલાકને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

1. અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓ વચ્ચેના તફાવતના સંકેતનો અંદાજ કાઢવા માટેની પદ્ધતિ.અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુઓ વચ્ચેનો તફાવત બનાવવામાં આવે છે અને તે સ્થાપિત કરવામાં આવે છે કે આ તફાવત ચલોના માનવામાં આવતા મૂલ્યો માટે સકારાત્મક છે કે નકારાત્મક છે (બિન-કડક અસમાનતા માટે તે સ્થાપિત કરવું જરૂરી છે કે આ તફાવત બિન- નકારાત્મક અથવા બિન-સકારાત્મક).

ઉદાહરણ 1. કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે એઅને bઅસમાનતા છે

a 2 +b 2³ 2 ab (1)

પુરાવો. ચાલો અસમાનતાની ડાબી અને જમણી બાજુ વચ્ચેનો તફાવત બનાવીએ:

a 2 +b 2 – 2ab = a 2 – 2ab + b 2 = (a–b) 2 .

કોઈપણ ના ચોરસ થી વાસ્તવિક સંખ્યાબિન-ઋણાત્મક સંખ્યા છે, પછી ( a–b) 2 ³ 0, જેનો અર્થ થાય છે a 2 +b 2³ 2 abકોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે એઅને b(1) માં સમાનતા થાય છે જો અને માત્ર જો a = b.

ઉદાહરણ 2. સાબિત કરો કે જો એ³ 0 અને b³ 0, પછી ³ , એટલે કે. બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ એઅને bતેમના ભૌમિતિક સરેરાશ કરતા ઓછા નથી.

પુરાવો. જો એ³ 0 અને b³ 0, પછી

³ 0. તેથી, ³ .

2. અનુમાનિત પદ્ધતિઅસમાનતાના પુરાવા.આ પદ્ધતિનો સાર નીચે મુજબ છે: પરિવર્તનની શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને, જરૂરી અસમાનતા કેટલીક જાણીતી (સંદર્ભ) અસમાનતાઓમાંથી મેળવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેની અસમાનતાઓનો સંદર્ભ તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય છે: એકોઈપણ માટે 2 ³ 0 aÎ આર ; (a–b) 2 ³ 0 કોઈપણ માટે એઅને bÎ આર ; (એ 2 + b 2) ³ 2 abકોઈપણ માટે a, bÎ આર ; ³ પર એ ³ 0, b ³ 0.

ઉદાહરણ 3. કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે તે સાબિત કરો એઅને bઅસમાનતા છે

એ 2 + b 2 + સાથે 2³ ab + bc + ac.

પુરાવો. સાચી અસમાનતાઓમાંથી ( a–b) 2 ³ 0, ( b – c) 2 ³ 0 અને ( c – a) 2 ³ 0 તે તેને અનુસરે છે એ 2 + b 2³ 2 ab, b 2 + c 2³ 2 પૂર્વે, c 2 + a 2³ 2 એસીત્રણેય અસમાનતાના પદને ટર્મ દ્વારા ઉમેરીને અને નવા એકની બંને બાજુઓને 2 વડે વિભાજીત કરવાથી, આપણે જરૂરી અસમાનતા મેળવીએ છીએ.

મૂળ અસમાનતા પ્રથમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે. હકીકતમાં, એ 2 + b 2 + સાથે 2 –ab – bc – ac = 0,5(2એ 2 + 2b 2 + 2સાથે 2 – 2અબ - 2પૂર્વે - 2એસી) = = 0,5((a–b) 2 + (a–c) 2 + (b–c) 2)³ 0.

વચ્ચે તફાવત એ 2 + b 2 + સાથે 2 અને ab + bc + acશૂન્ય કરતા વધારે અથવા બરાબર, જેનો અર્થ થાય છે એ 2 + b 2 + સાથે 2³ ab + bc + ac(સમાનતા સાચી છે જો અને માત્ર જો a = b = c).

3. અસમાનતા સાબિત કરવા માટે અંદાજ પદ્ધતિ.

ઉદાહરણ 4. અસમાનતા સાબિત કરો

+ + + … + >

પુરાવો. તે જોવાનું સરળ છે કે અસમાનતાની ડાબી બાજુમાં 100 શરતો છે, જેમાંથી દરેક ઓછી નથી. આ કિસ્સામાં તેઓ કહે છે કે ડાબી બાજુનીચે પ્રમાણે અસમાનતાનો અંદાજ લગાવી શકાય છે:

+ + + … + > = 100 = .

4. સંપૂર્ણ ઇન્ડક્શન પદ્ધતિ.પદ્ધતિનો સાર એ છે કે સમગ્ર સમસ્યાની સ્થિતિને આવરી લેતા તમામ વિશેષ કેસોને ધ્યાનમાં લેવા.

ઉદાહરણ 5. સાબિત કરો કે જો x > ï ખાતેï , તે x > y.

પુરાવો. ત્યાં બે સંભવિત કિસ્સાઓ છે:

અ) ખાતે³ 0 ; પછી ખાતેï = y,અને શરત દ્વારા x >ï ખાતેï . અર્થ, x > y;

b) ખાતે< 0; પછી ખાતેï > વાયઅને શરત દ્વારા x >ï ખાતેï એટલે x > y.

વ્યવહારુ ભાગ

કાર્ય 0. લો ખાલી સ્લેટકાગળ અને તેના પર નીચે આપેલ તમામ મૌખિક કસરતોના જવાબો લખો. પછી આના અંતે આપેલા જવાબો અથવા સારાંશ સૂચનાઓ સામે તમારા જવાબો તપાસો શૈક્ષણિક તત્વ"તમારા સહાયક" વિભાગમાં.

મૌખિક કસરતો

1. બે અસમાન સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા અને તેમના બેવડા ગુણાંકની તુલના કરો.

2. અસમાનતા સાબિત કરો:

અ) ;

b) ;

વી) ;

3. તે જાણીતું છે કે. તે સાબિત કરો.

4. તે જાણીતું છે કે. તે સાબિત કરો.

કાર્ય 1.વધુ શું છે:

a) 2 + 11 અથવા 9; ડી) + અથવા;

b) અથવા + ; e) - અથવા;

c) + અથવા 2; e) + 2 અથવા +?

કાર્ય 2.કોઈપણ વાસ્તવિક માટે તે સાબિત કરો xએક અસમાનતા છે:

a) 3( x+ 1) + x– 4(2 + x) < 0; г) 4x 2 + 1 ³ 4 x;

b) ( x+ 2)(x+ 4) > (x+ 1)(x+ 5); e) ³ 2 x;

વી) ( x– 2) 2 > x(x- 4); e) l + 2 x 4 > x 2 + 2x 3 .

કાર્ય 3.સાબિત કરો કે:

અ) x 3 + 1³ x 2 + x,જો x³ –1;

b) x 3 + 1 £ x 2 + x,જો x£ -1 .

કાર્ય 4.સાબિત કરો કે જો a ³ 0, b³ 0, સાથે³ 0, ડી³ 0, પછી

(a 2 + b 2)(c 2 + ડી 2) ³ ( એસી + bd) 2 .

કાર્ય 5.અલગ કરીને અસમાનતા સાબિત કરો સંપૂર્ણ ચોરસ:

અ) x 2 – 2xy + 9y 2 ³ 0;

b) x 2 + y 2 + 2³2( x+y);

c) 10 x 2 + 10xy + 5y 2 + 1 > 0;

જી) x 2 – xy + y 2 ³ 0 ;

ડી) x 2 + y 2 + z 2 + 3³ 2( x + y + z);

e) ( x+ l)( x - 2y + l) + y 2 ³ 0 .

કાર્ય 6.સાબિત કરો કે:

અ) x 2 + 2y 2 + 2xy + 6y+ l0 > 0 ;

b) x 2 + y 2 – 2xy + 2x – 2ખાતે + 1 > 0;

c) 3 x 2 + y 2 + 8x+ 4y - 2xy + 22 ³ 0;

જી) x 2 + 2xy+ 3y 2 + 2x + 6y + 3 > 0.

કાર્ય 7.સાબિત કરો કે જો n³ k³ 1, પછી k(n–k+ 1) ³ n

કાર્ય 8.સાબિત કરો કે જો 4 એ + 2b= 1, પછી a 2 + b 2³ .

મૂલ્યો વ્યાખ્યાયિત કરો એઅને bજ્યાં સમાનતા થાય છે.

કાર્ય 9.અસમાનતા સાબિત કરો:

અ) એક્સ 3 + ખાતે 3³ એક્સ 2 ખાતે + xy 2 ખાતે x³ 0 અને y ³ 0;

b) એક્સ 4 + ખાતે 4³ એક્સ 3 ખાતે + xyકોઈપણ માટે 3 xઅને ખાતે;

વી) એક્સ 5 + ખાતે 5³ એક્સ 4 ખાતે + xy 4 વાગ્યે x³ 0 અને y ³ 0;

જી) x n + y n ³ x n-1 y + xy એન-1 ખાતે x³ 0 અને y ³ 0.

અસમાનતા સાબિત કરવા માટેની પદ્ધતિઓ.

અસમાનતાઓનું નિરાકરણ. સમાન અસમાનતાઓ.

અંતરાલ પદ્ધતિ. અસમાનતાઓની સિસ્ટમો.

અસમાનતાનો પુરાવો. ત્યાં ઘણી સાબિતી પદ્ધતિઓ છેઅસમાનતા અમે અસમાનતાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને તેમને જોઈશું:

જ્યાં a - હકારાત્મક સંખ્યા.

1). જાણીતી અથવા અગાઉ સાબિત થયેલી અસમાનતાનો ઉપયોગ કરવો.

a, અમને મળે છે: a 2 + 1 < 2 a, એટલે કે

a 2 + 1 – 2 a < 0 , અથવા ( a– 1 ) 2 < 0, જે સાચું નથી. (શા માટે?).

પરિણામી વિરોધાભાસ ની માન્યતા સાબિત કરે છે

પ્રશ્નમાં અસમાનતા.

4). અનિશ્ચિત અસમાનતાની પદ્ધતિ.

અસમાનતા કહેવાય અનિશ્ચિતજો તેની પાસે નિશાની છે\/ અથવા /\ ,

તે જ્યારે આપણને ખબર નથી હોતી કે કઈ રીતેઆ નિશાની ફેરવવી જોઈએ

વાજબી અસમાનતા મેળવવા માટે.

સમાન નિયમો અહીં લાગુ પડે છેઅને સામાન્ય અસમાનતાઓ સાથે.

અવ્યાખ્યાયિત અસમાનતાને ધ્યાનમાં લો:

દ્વારા અસમાનતાની બંને બાજુનો ગુણાકારa, અમને મળે છે: a 2 + 1 \/ 2 a, એટલે કે

એ 2 + 1 – 2 a \/ 0 , અથવા ( a– 1) 2 \/ 0 , પરંતુ અહીં આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે કેવી રીતે વળવું

સાચી અસમાનતા (કેવી રીતે?) મેળવવા માટે \/ સાઇન કરો. તે ચાલુ

IN યોગ્ય દિશામાંનીચેથી ઉપર સુધી અસમાનતાની સમગ્ર સાંકળ સાથે, અમે
અમે જરૂરી અસમાનતા મેળવીએ છીએ.

અસમાનતાઓનું નિરાકરણ. સમાન અજાણ્યાઓ ધરાવતી બે અસમાનતાઓ કહેવામાં આવે છે સમકક્ષ , જો તેઓ આ અજાણ્યાઓના સમાન મૂલ્યો માટે માન્ય છે. સમાન વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ અસમાનતાની બે સિસ્ટમોની સમાનતા માટે થાય છે. અસમાનતાઓનું નિરાકરણ એ એક અસમાનતામાંથી બીજી અસમાનતામાં જવાની પ્રક્રિયા છે જે અસમાનતાની સમકક્ષ છે. આ હેતુ માટે તેઓનો ઉપયોગ થાય છે અસમાનતાના મૂળભૂત ગુણધર્મો(સે.મી.). વધુમાં, કોઈપણ અભિવ્યક્તિને બદલીને આપેલ સમાન અન્ય અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. અસમાનતા હોઈ શકે છે બીજગણિત(સમાવતી માત્ર બહુપદી) અને ગુણાતીત(ઉદાહરણ તરીકે લઘુગણક અથવાત્રિકોણમિતિ). અમે અહીં એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ પદ્ધતિ જોઈશું,ઘણીવાર ઉકેલમાં વપરાય છે બીજગણિતઅસમાનતા

અંતરાલ પદ્ધતિ. અસમાનતા ઉકેલો: ( x – 3)( x – 5) < 2( x – 3). અહીં આપણે અસમાનતાની બંને બાજુઓને (x – 3), કારણ કે આપણે આ દ્વિપદીની નિશાની જાણતા નથી (તે અજ્ઞાત સમાવે છે x ). તેથી અમે ફરીથી શેડ્યૂલ કરીશુંડાબી બાજુની અસમાનતાની તમામ શરતો:

(x – 3)( x – 5) – 2( x – 3) < 0 ,

ચાલો તેને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ:

(x – 3)( x – 5 – 2) < 0 ,

અને અમને મળે છે: ( x – 3)( x – 7) < 0. Теперь определим знак произведения в левой части неравенства в различных числовых интервалах. Заметим, что x= 3 અને x = 7 - આ અભિવ્યક્તિના મૂળ. તેથી, આખી સંખ્યા રેખા આના વડે ભાગવામાં આવશેનીચેના ત્રણ અંતરાલો માં મૂળ:

અંતરાલમાં આઈ(x < 3 ) બંને પરિબળો નકારાત્મક છે, તેથી, તેમના કામ હકારાત્મક રીતે; વીઅંતરાલ II (3 < x< 7 ) પ્રથમ ગુણક(x- 3) હકારાત્મક છે, અને બીજું ( x - 7) નકારાત્મક છે, તેથી તેમના કામ નકારાત્મક; અંતરાલ માંIII(x> 7) બંને પરિબળો હકારાત્મક છે, તેથી, તેમના કામ પણ હકારાત્મક રીતે. હવે જે બાકી છે તે અંતરાલ પસંદ કરવાનું છે જેમાં આપણું ઉત્પાદન નકારાત્મક. આ અંતરાલ છેIIતેથી, અસમાનતાનો ઉકેલ: 3 < x< 7. છેલ્લી અભિવ્યક્તિ- કહેવાતા બેવડી અસમાનતા. તેનો અર્થ એ છે કેx બંને 3 થી વધુ અને 7 કરતા ઓછા હોવા જોઈએ.

ઉદાહરણ અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નીચેની અસમાનતાને ઉકેલો:

(x – 1)(x – 2)(x – 3) … (x –100) > 0 .

ઉકેલની ડાબી બાજુના મૂળ સ્પષ્ટ છે: 1, 2, 3, …, 100.

તેઓ તૂટી જાય છે સંખ્યા અક્ષ 101 અંતરાલો માટે:

ડાબી બાજુએ કૌંસની સંખ્યા હોવાથી સમ(સમાન 100), પછી

મુ x < 1, когда все множители отрицательны, их произведение

હકારાત્મક રીતે. જ્યારે મૂળમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે ફેરફાર થાય છે

કામની નિશાની. તેથી, આગામી અંતરાલમાં, અંદર

કયું ઉત્પાદન ધન છે, તે (2, 3) હશે, પછી (4, 5),

પછી (6, 7), ... , (98, 99) અને છેલ્લે, x >100.

આમ, આ અસમાનતાનો ઉકેલ છે:

x < 1, 2 < x < 3, 4 < x < 5 ,…, x >100.

તેથી, બીજગણિતીય અસમાનતા ઉકેલવા માટે, મારે તે બધું ખસેડવાની જરૂર છેડાબી બાજુના સભ્યો (અથવાજમણી બાજુ) અને ઉકેલોઅનુરૂપ સમીકરણ.પછી નંબર અક્ષ પર મળેલા મૂળને પ્લોટ કરો; પરિણામે, તે ચોક્કસ સંખ્યામાં અંતરાલોમાં વહેંચાયેલું છે. સોલ્યુશનના છેલ્લા તબક્કામાં, તમારે આ દરેક અંતરાલો અંદર બહુપદીની કઈ નિશાની છે તે નિર્ધારિત કરવાની જરૂર છે, અને અસમાનતાના ઉકેલની નિશાની અનુસાર જરૂરી અંતરાલો પસંદ કરો.

નોંધ કરો કે અજ્ઞાતને બદલીને મોટાભાગની અતીન્દ્રિય અસમાનતાઓ બીજગણિતીય અસમાનતામાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે. તે નવા અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં હલ થવી જોઈએ, અને પછી, વિપરીત અવેજી દ્વારા, મૂળ અસમાનતાનો ઉકેલ શોધો.

અસમાનતાઓની સિસ્ટમો. અસમાનતાઓની સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે, તેમાંથી દરેકને ઉકેલવા અને તેમના ઉકેલોને જોડવા જરૂરી છે. આ સંયોજન તરફ દોરી જાય છે બેમાંથી એક શક્ય કેસો: કાં તો સિસ્ટમ પાસે ઉકેલ છે અથવા તે નથી.

ઉદાહરણ 1. અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલો:

પ્રથમ અસમાનતાનો ઉકેલ:x < 4 ; а второго: x > 6.

આમ, અસમાનતાની આ વ્યવસ્થાનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(કેમ?)

ઉદાહરણ 2. અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલો:

ઉકેલ: પ્રથમ અસમાનતા, પહેલાની જેમ, આપે છે:x < 4; но решение

આ ઉદાહરણમાં બીજી અસમાનતા:x > 1.

આમ, અસમાનતાઓની વ્યવસ્થાનો ઉકેલ: 1< x < 4.

શૈક્ષણિક સંસ્થા: મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા લિસિયમ નંબર 1, કોમસોમોલ્સ્ક-ઓન-અમુર

વડા: બુડલ્યાન્સકાયા નતાલ્યા લિયોનીડોવના

જો તમે ભાગ લેવા માંગતા હો મહાન જીવન, પછી જ્યારે તમારી પાસે તક હોય ત્યારે તમારા માથાને ગણિતથી ભરો. તે પછી તે તમને તમારા દરેક કાર્યમાં ખૂબ મદદ કરશે. (M.I. કાલિનિન)

ઓળખનો ઉપયોગ કરીને બિન-નકારાત્મક શબ્દો (જમણી બાજુ 0 છે)ના સરવાળા તરીકે અસમાનતાની ડાબી બાજુનું પ્રતિનિધિત્વ.

ઉદાહરણ 1. તે કોઈપણ xϵR માટે સાબિત કરો

પુરાવો . 1 રસ્તો.

પદ્ધતિ 2.

ચતુર્ભુજ કાર્ય માટે

જેનો અર્થ કોઈપણ વાસ્તવિક માટે તેની સકારાત્મકતા છે એક્સ.

ઉદાહરણ 2. તે કોઈપણ x અને y માટે સાબિત કરો

પુરાવો.

ઉદાહરણ 3. તે સાબિત કરો

પુરાવો.

ઉદાહરણ 4. સાબિત કરો કે કોઈપણ a અને b માટે

પુરાવો.

2. વિરુદ્ધ પદ્ધતિ

આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનું અહીં એક સારું ઉદાહરણ છે.

સાબિત કરો કે a, b ϵ R માટે.

પુરાવો.

ચાલો માની લઈએ.

પરંતુ આ સ્પષ્ટપણે સાબિત કરે છે કે અમારી ધારણા ખોટી છે.

C.T.D.

ઉદાહરણ 5.સાબિત કરો કે કોઈપણ સંખ્યા A, B, C માટે નીચેની અસમાનતા સાચી છે:

પુરાવો.દેખીતી રીતે, બિન-નકારાત્મક માટે આ અસમાનતા સ્થાપિત કરવા માટે તે પૂરતું છે A, Bઅને સાથે,કારણ કે આપણી પાસે નીચેનો સંબંધ હશે:

, જે મૂળ અસમાનતા માટેનું તર્ક છે .

હવે આવી બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાઓ રહેવા દો A, Bઅને સાથે, જેના માટે અસમાનતા ધરાવે છે

, જે કોઈપણ વાસ્તવિક હેઠળ અશક્ય છે A, Bઅને સાથે. ઉપરોક્ત ધારણાનું ખંડન કરવામાં આવે છે, જે અભ્યાસ હેઠળની મૂળ અસમાનતા દ્વારા સાબિત થાય છે.

ચતુર્ભુજ ત્રિનોમીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને

પદ્ધતિ એક ચતુર્ભુજ ત્રિપદીની બિન-નકારાત્મકતાની મિલકત પર આધારિત છે જો

અને.

ઉદાહરણ 6. તે સાબિત કરો

પુરાવો.

દો a=2, 2>0

=>

ઉદાહરણ 7. સાબિત કરો કે કોઈપણ વાસ્તવિક x અને y માટે અસમાનતા ધરાવે છે

પુરાવો. અસમાનતાની ડાબી બાજુને આદર સાથે ચતુર્ભુજ ત્રિપદી તરીકે ધ્યાનમાં લો X:

, a>0, D

D= => P(x)>0અને

કોઈપણ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે સાચું એક્સઅને u

ઉદાહરણ 8. તે સાબિત કરો

x અને y ના કોઈપણ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે.

પુરાવો. દો ,

આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ વાસ્તવિક માટે ખાતેઅને અસમાનતા

કોઈપણ વાસ્તવિક માટે સંતુષ્ટ છે એક્સઅને u

નવા ચલો અથવા અવેજી પદ્ધતિ રજૂ કરવાની પદ્ધતિ

ઉદાહરણ 9. સાબિત કરો કે કોઈપણ બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે x, y, z

પુરાવો. ચાલો યોગ્ય અસમાનતાનો ઉપયોગ કરીએ,

.

અમે અભ્યાસ હેઠળ અસમાનતા મેળવીએ છીએ

કાર્ય ગુણધર્મોનો ઉપયોગ.

ઉદાહરણ 10. ચાલો અસમાનતા સાબિત કરીએ

કોઈપણ a અને b માટે.

પુરાવો. ચાલો 2 કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

• જો a=b તો સાચું

વધુમાં, સમાનતા ત્યારે જ પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે a=b=0.

2) જો

, R => પર

()* ()>0, જે અસમાનતા સાબિત કરે છે

ઉદાહરણ 11. ચાલો તે કોઈપણ માટે સાબિત કરીએ

પુરાવો.

આર પર

જો, તો સંખ્યાના ચિહ્નો એકરૂપ થાય છે, જેનો અર્થ અભ્યાસ હેઠળનો તફાવત ધન => છે

ગાણિતિક ઇન્ડક્શન પદ્ધતિનો ઉપયોગ

આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કુદરતી સંખ્યાઓને લગતી અસમાનતા સાબિત કરવા માટે થાય છે.

ઉદાહરણ 12. તે કોઈપણ nϵN માટે સાબિત કરો

• ચાલો નિવેદનની સત્યતા તપાસીએ જ્યારે

- (જમણે)

2) જ્યારે વિધાનની સત્યતા ધારો

(k>1)

3) ચાલો વિધાનની સત્યતા સાબિત કરીએ જ્યારે n=k+1.

ચાલો સરખામણી કરીએ અને:

અમારી પાસે છે:

નિષ્કર્ષ: નિવેદન કોઈપણ માટે સાચું છે nϵN

નોંધપાત્ર અસમાનતાઓનો ઉપયોગ

• સરેરાશ પર પ્રમેય (કોચીની અસમાનતા)

• કોચી-બુન્યાકોવ્સ્કી અસમાનતા

• બર્નૌલીની અસમાનતા

ચાલો આપણે દરેક સૂચિબદ્ધ અસમાનતાને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ.

સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેયનો ઉપયોગ (કોચી અસમાનતા)

અસંખ્ય બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ તેમના ભૌમિતિક સરેરાશ કરતા મોટો અથવા બરાબર છે

, ક્યાં

સમાન ચિહ્ન પ્રાપ્ત થાય છે જો અને માત્ર જો

ચાલો આ પ્રમેયના વિશેષ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

• ચાલો n=2, પછી

• ચાલો n=2, a>0, પછી

• ચાલો n=3, પછી

ઉદાહરણ 13. સાબિત કરો કે તમામ બિન-નકારાત્મક a,b,c માટે અસમાનતા ધરાવે છે

પુરાવો.

કોચી-બુન્યાકોવ્સ્કી અસમાનતા

કોચી-બુન્યાકોવ્સ્કી અસમાનતા જણાવે છે કે કોઈપણ માટે; ગુણોત્તર માન્ય છે

સાબિત અસમાનતા ભૌમિતિક અર્થઘટન ધરાવે છે. n=2,3 માટે તે જાણીતી હકીકતને વ્યક્ત કરે છે કે પ્લેન પર અને અવકાશમાં બે વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન તેમની લંબાઈના ઉત્પાદન કરતાં વધુ નથી. n=2 માટે અસમાનતાનું સ્વરૂપ છે: . n=3 માટે આપણને મળે છે

ઉદાહરણ 14.

પુરાવો. ચાલો અભ્યાસ હેઠળની અસમાનતાને નીચેના સ્વરૂપમાં લખીએ:

આ દેખીતી રીતે સાચી અસમાનતા છે, કારણ કે તે કોચી-બુન્યાકોવ્સ્કી અસમાનતાનો વિશેષ કેસ છે.

ઉદાહરણ 15. સાબિત કરો કે કોઈપણ a,b,c ϵ R માટે નીચેની અસમાનતા છે:

પુરાવો. ફોર્મમાં આ અસમાનતા લખવા માટે તે પૂરતું છે

અને કોચી-બુન્યાકોવ્સ્કી અસમાનતાનો સંદર્ભ લો.

બર્નૌલીની અસમાનતા

બર્નૌલીની અસમાનતા જણાવે છે કે જો x>-1 હોય, તો n ના તમામ કુદરતી મૂલ્યો માટે નીચેની અસમાનતા ધરાવે છે:

અસમાનતાનો ઉપયોગ ફોર્મના અભિવ્યક્તિઓ માટે થઈ શકે છે

વધુમાં, બર્નૌલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાના ખૂબ મોટા જૂથને સરળતાથી સાબિત કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ 16.

પુરાવો. પુટિંગ x=0.5 અનેવ્યક્ત કરવા માટે બર્નૌલીના પ્રમેયને લાગુ કરવું

અમે જરૂરી અસમાનતા મેળવીએ છીએ.

ઉદાહરણ 17. સાબિત કરો કે કોઈપણ n ϵ N માટે

પુરાવો.

બર્નૌલીના પ્રમેય દ્વારા, જરૂરિયાત મુજબ.

ડેવિડ ગિલ્બર્ટને તેમના એક વિશે પૂછવામાં આવ્યું હતું ભૂતપૂર્વ વિદ્યાર્થીઓ. "ઓહ, આમ-તેમ?" તે એક કવિ બની ગયો હતો.

એમઓયુ ગ્રીશિનો-સ્લોબોડસ્કાયા માધ્યમિક શાળા

મોડ્યુલ પ્રોગ્રામ

"અસમાનતા સાબિત કરવાની પદ્ધતિઓ"

વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમના ભાગ રૂપે

"ગણિતની પાઠ્યપુસ્તકના પાના પાછળ"

ગ્રેડ 10-11 ના વિદ્યાર્થીઓ માટે

દ્વારા સંકલિત:

ગણિત શિક્ષક

પંકોવા ઇ.યુ

સમજૂતી નોંધ

“ગણિતને ટૉટોલોજિકલ સાયન્સ કહેવામાં આવે છે: બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ગણિતશાસ્ત્રીઓ એ સાબિત કરવા માટે સમય પસાર કરે છે કે વસ્તુઓ પોતાની સમાન છે. આ નિવેદન બે કારણોસર અત્યંત અચોક્કસ છે. પ્રથમ, ગણિત, તેના અંતર્ગત હોવા છતાં વૈજ્ઞાનિક ભાષા, વિજ્ઞાન નથી; તેના બદલે, તેને કલા કહી શકાય. બીજુંગણિતના મુખ્ય પરિણામો ઘણીવાર સમાનતાને બદલે અસમાનતાઓ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે."

ગણિતશાસ્ત્રીઓના વ્યવહારિક કાર્યમાં અસમાનતાઓનો સતત ઉપયોગ થાય છે. તેનો ઉપયોગ "સપ્રમાણ" આકૃતિઓના અસંખ્ય રસપ્રદ અને મહત્વપૂર્ણ આત્યંતિક ગુણધર્મો મેળવવા માટે થાય છે: ચોરસ, ઘન, સમભુજ ત્રિકોણ, તેમજ પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાઓના સંપાતને સાબિત કરવા અને કેટલીક મર્યાદાઓની ગણતરી કરવા માટે. કુદરતી વિજ્ઞાન અને ટેકનોલોજીના વિવિધ મુદ્દાઓમાં પણ અસમાનતાની ભૂમિકા મહત્વપૂર્ણ છે.

અસમાનતા સાબિત કરવાની સમસ્યાઓ પરંપરાગત સમસ્યાઓમાં સૌથી મુશ્કેલ અને રસપ્રદ છે. અસમાનતા સાબિત કરવા માટે સાચી ચાતુર્યની જરૂર છે, સર્જનાત્મકતા કે જે ગણિતને ઉત્તેજક વિષય બનાવે છે.

વિદ્યાર્થીઓની આનુમાનિક-ગાણિતિક વિચારસરણી અને સામાન્ય વિચારવાની ક્ષમતાના વિકાસમાં અધ્યાપન પુરાવાઓ મોટી ભૂમિકા ભજવે છે. સ્વતંત્ર રીતે અસમાનતા સાબિત કરવા માટે શાળાના બાળકોને કેવી રીતે શીખવવું? જવાબ છે: માત્ર પુરાવાની ઘણી તકનીકો અને પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીને અને તેને નિયમિતપણે લાગુ કરીને.

અસમાનતાને સાબિત કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા વિચારો લગભગ અસમાનતાઓ જેટલા જ વૈવિધ્યસભર છે. ચોક્કસ પરિસ્થિતિઓમાં, સામાન્ય પદ્ધતિઓ ઘણીવાર નીચ ઉકેલો તરફ દોરી જાય છે. પરંતુ માત્ર થોડાક શાળાના બાળકો જ કેટલીક "મૂળભૂત" અસમાનતાઓને અસ્પષ્ટ રીતે જોડવામાં સફળ થાય છે. અને, આ ઉપરાંત, દરેક ચોક્કસ કેસમાં વિદ્યાર્થીને સામાન્ય પદ્ધતિ દ્વારા મેળવેલા ઉકેલ કરતાં વધુ સારો ઉકેલ શોધવાથી કંઈપણ અટકાવતું નથી. આ કારણોસર, અસમાનતાના પુરાવાને ઘણીવાર કલાના ક્ષેત્રમાં સોંપવામાં આવે છે. અને કોઈપણ કળાની જેમ, અહીં તકનીકી તકનીકો છે, જેની શ્રેણી ખૂબ જ વિશાળ છે અને તે બધામાં નિપુણતા મેળવવી ખૂબ જ મુશ્કેલ છે, પરંતુ દરેક શિક્ષકે તેની પાસે ઉપલબ્ધ ગાણિતિક સાધનોને વિસ્તૃત કરવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ.

ગ્રેડ 10-11ના વિદ્યાર્થીઓ માટે આ મોડ્યુલની ભલામણ કરવામાં આવે છે. અસમાનતા સાબિત કરવા માટેની તમામ સંભવિત પદ્ધતિઓની અહીં ચર્ચા કરવામાં આવી નથી (ચલને બદલવાની પદ્ધતિ, વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાને સાબિત કરવાની પદ્ધતિ, સંશોધન અને સામાન્યીકરણની પદ્ધતિ અને ક્રમાંકિત કરવાની તકનીક આવરી લેવામાં આવી નથી). જો કોર્સનું આ મોડ્યુલ વિદ્યાર્થીઓમાં રસ જગાડે, અને તે પણ કોર્સના પ્રથમ ભાગમાં નિપુણતા મેળવવાની સફળતા પર આધારિત હોય, તો તમે બીજા તબક્કે (ઉદાહરણ તરીકે, 11મા ધોરણમાં) અન્ય પદ્ધતિઓનો વિચાર કરવાની ઑફર કરી શકો છો.

"ગણિતની પાઠ્યપુસ્તકના પાના પાછળ"

"અસમાનતા સાબિત કરવાની પદ્ધતિઓ"

પાઠ 1. પરિચય.

અસમાનતા સાબિત કરવી એ પ્રાથમિક ગણિતમાં એક રસપ્રદ અને પડકારજનક વિષય છે. અસમાનતા સાબિત કરવાની સમસ્યા માટે એકીકૃત અભિગમનો અભાવ અસમાનતાને સાબિત કરવા માટે યોગ્ય સંખ્યાબંધ તકનીકોની શોધ તરફ દોરી જાય છે. ચોક્કસ પ્રકારો. આ વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમ અસમાનતા સાબિત કરવા માટે નીચેની પદ્ધતિઓને આવરી લેશે:

પુનરાવર્તન:

કેટલીક મિલકતો સાબિત કરો.

ઉત્તમ અસમાનતાઓ:

1)
(કોચી અસમાનતા)

2)

3)

4)

ઐતિહાસિક માહિતી:

અસમાનતા (1)નું નામ ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી ઓગસ્ટે કોચીના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે. નંબર
કહેવાય છે અંકગણિત સરેરાશસંખ્યાઓ a અને b;

સંખ્યા
કહેવાય છે ભૌમિતિક સરેરાશસંખ્યાઓ a અને b. આમ, અસમાનતાનો અર્થ એ છે કે બે હકારાત્મક સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ તેમના ભૌમિતિક સરેરાશ કરતા ઓછો નથી.

વધુમાં:

અસમાનતા સાથે કેટલાક ગાણિતિક સોફિઝમનો વિચાર કરો.

ગાણિતિક સોફિસ્ટ્રી- એક અદ્ભુત નિવેદન, જેનો પુરાવો અગોચર અને ક્યારેક તદ્દન સૂક્ષ્મ ભૂલોને છુપાવે છે.

સોફિઝમ એ તર્ક દ્વારા મેળવેલા ખોટા પરિણામો છે જે ફક્ત સાચા લાગે છે, પરંતુ આવશ્યકપણે એક અથવા બીજી ભૂલ ધરાવે છે.

ઉદાહરણ:

ચાર એટલે બાર

પાઠ 2. વ્યાખ્યાના આધારે અસમાનતાનો પુરાવો.

આ પદ્ધતિનો સાર નીચે મુજબ છે: અસમાનતાઓની માન્યતા સ્થાપિત કરવા માટે F(x,y,z)>S(x,y,z) તફાવત બનાવે છે F(x,y,z)-S( x,y,z) અને સાબિત કરો કે તે હકારાત્મક છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, વ્યક્તિ ઘણીવાર ચોરસ, સરવાળો અથવા તફાવતનો ઘન અથવા સરવાળો અથવા તફાવતના અપૂર્ણ વર્ગને અલગ કરે છે. આ તફાવતની નિશાની નક્કી કરવામાં મદદ કરે છે.

ઉદાહરણ. અસમાનતા (x+y)(x+y+2cosx)+2 સાબિત કરો 2sin 2x

પુરાવો:

તફાવતને ધ્યાનમાં લો (x+y)(x+y+2cosx)+2- 2sin 2 x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos 2 x=(x+y)(x+y+2cosx) ) + cos 2 x +cos 2 x= (x+y) 2 +2(x+y)cosx+ cos 2 x +cos 2 x=((x+y)+cosx) 2 + cos 2 x 0.

અસમાનતા સાબિત કરો:

1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

3.

4.
>2x-20

5.

6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

7.

પાઠ 3. ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ.

અસમાનતા સાબિત કરતી વખતે જેમાં સમાવેશ થાય છે કુદરતી સંખ્યાઓઘણીવાર ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો આશરો લે છે. પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે.

1) n=1 માટે પ્રમેયની સત્યતા તપાસો;

2) આપણે ધારીએ છીએ કે પ્રમેય અમુક n=k માટે સાચું છે, અને આ ધારણાના આધારે આપણે n=k+1 માટે પ્રમેયની સત્યતા સાબિત કરીએ છીએ;

3) પ્રથમ બે પગલાં અને ગાણિતિક ઇન્ડક્શનના સિદ્ધાંતના આધારે, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે પ્રમેય કોઈપણ n માટે સાચું છે.

ઉદાહરણ.

અસમાનતા સાબિત કરો

પુરાવો:

1) n=2 માટે અસમાનતા સાચી છે:

2) અસમાનતાને n=k એટલે કે માટે સાચી રહેવા દો.
(*)

ચાલો સાબિત કરીએ કે અસમાનતા n=k+1 માટે સાચી છે, એટલે કે.
.
ચાલો અસમાનતાની બંને બાજુઓ (*) વડે ગુણાકાર કરીએ

આપણે મેળવીએ છીએ 3) આઇટમ 1. અને આઇટમ 2 થી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે અસમાનતા કોઈપણ n માટે સાચી છે.

અસમાનતા સાબિત કરો:

1)

2)

3)

4)

5)

6)
.

વર્ગખંડમાં અને ઘરે કામ માટે સોંપણીઓ

પાઠ 4. શાસ્ત્રીય અસમાનતાઓનો ઉપયોગ.

ઉદાહરણ.

અસમાનતા સાબિત કરો:

પુરાવો:

આ પદ્ધતિનો સાર નીચે મુજબ છે: પરિવર્તનની શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને, કેટલીક શાસ્ત્રીય અસમાનતાઓનો ઉપયોગ કરીને આવશ્યક અસમાનતા મેળવવામાં આવે છે. તરીકેઅસમાનતાને સમર્થન આપે છે
.

અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ

ચાલો આ અસમાનતાને નીચેના સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ:

, પછી
ચાલો આ અસમાનતાને નીચેના સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ:

અસમાનતા સાબિત કરો:

પરંતુ =

2)
1)(p+2)(q+2)(p+q)16pq (અસમાનતા સાબિતી માટે વપરાય છે)

(દસ્તાવેજ અસમાનતા માટે વપરાય છે)

4)
3) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (અસમાનતા સાબિતી માટે વપરાય છે)

(દસ્તાવેજ માટે, અસમાનતાનો ઉપયોગ થાય છે).

પાઠ 5. ગ્રાફિક પદ્ધતિ.

ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ દ્વારા અસમાનતાનો પુરાવો નીચે મુજબ છે: જો આપણે અસમાનતા સાબિત કરીએ f(x)>g(x)(f(x)

1) y=f(x) અને y=g(x) ફંક્શનના આલેખ બનાવો;

ઉદાહરણ.

અસમાનતા સાબિત કરો:

2) જો ફંક્શન y=f(x) નો ગ્રાફ ફંક્શન y=g(x) ના આલેખની ઉપર (નીચે) સ્થિત છે, તો સાબિત થઈ રહેલી અસમાનતા સાચી છે.
cosx

પુરાવો:

,x0

ચાલો y=cosx અને ફંક્શનનો આલેખ બનાવીએ

ગ્રાફ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે x0 પર ફંક્શન y=cosx ફંક્શનનો ગ્રાફ y= ફંક્શનના ગ્રાફની ઉપર આવેલો છે.

અસમાનતા સાબિત કરો:

1)

5)

વર્ગખંડમાં અને ઘરે કામ માટે સોંપણીઓ.

પાઠ 6. વિરુદ્ધ પદ્ધતિ

ઉદાહરણ.

અસમાનતા સાબિત કરો:

પુરાવો:

આ પદ્ધતિનો સાર નીચે મુજબ છે: તમારે અસમાનતા F(x,y,z) S(x,y,z)(1) ની સત્યતા સાબિત કરવાની જરૂર છે. તેઓ વિપરીત ધારે છે, એટલે કે ચલોના ઓછામાં ઓછા એક સમૂહ માટે અસમાનતા F(x,y,z) S(x,y,z) (2) સાચી છે. અસમાનતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અસમાનતા (2) નું પરિવર્તન કરવામાં આવે છે. જો આ પરિવર્તનોના પરિણામે ખોટી અસમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે, તો તેનો અર્થ એ છે કે અસમાનતા (2) સાચી છે તેવી ધારણા ખોટી છે અને તેથી અસમાનતા (1) સાચી છે.

ચાલો વિપરીત ધારીએ, એટલે કે.
ચાલો અસમાનતાની બંને બાજુઓને ચોરસ કરીએ અને તેમાંથી મેળવીએ

અને આગળ

. પરંતુ આ કોચીની અસમાનતાનો વિરોધાભાસ કરે છે. આનો અર્થ એ છે કે અમારી ધારણા ખોટી છે, એટલે કે, અસમાનતા સાચી છે: વર્ગખંડમાં અને ઘરે કામ માટે સોંપણીઓ.

પાઠ9. પાઠ - વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાન પર નિયંત્રણ. આ પાઠ જોડીમાં અથવા જો કરી શકાય છેજૂથોમાં વર્ગ. પાઠના અંતે, દરેક વિદ્યાર્થીનું મૂલ્યાંકન કરવું આવશ્યક છે. આ કોર્સ માટે આ ક્રેડિટ ફોર્મ છે. તે આ વિષય પર પરીક્ષણો હાથ ધરવા માટે આગ્રહણીય નથી કારણ કે અસમાનતાનો પુરાવો, જેમ કે સ્પષ્ટીકરણ નોંધમાં પહેલેથી જ ઉલ્લેખિત છે, તે કલાના ક્ષેત્ર સાથે સંબંધિત છે. શરૂઆતમાં, વિદ્યાર્થીઓને સૂચિત અસમાનતાઓને સાબિત કરવા માટેની પદ્ધતિ નક્કી કરવાનું કહેવામાં આવે છે. જો વિદ્યાર્થીઓને મુશ્કેલીઓ હોય, તો શિક્ષક તેમને તર્કસંગત પદ્ધતિ કહે છે, જૂથને ચેતવણી આપે છે કે આ, અલબત્ત, તેમના ગ્રેડને અસર કરશે.

જોડીમાં કામ કરો.

કાર્યોના ઉદાહરણો.

________________________________________________________________

અસમાનતા સાબિત કરો:

1.
(ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ)

2.
(વ્યાખ્યા દ્વારા)

મોડ્યુલ. સમીકરણો અને અસમાનતાપરિમાણો સાથે. ... ગુણધર્મો, રચના અને સાબિતીપ્રમેય, સૂત્રોની વ્યુત્પત્તિ... સૌથી સરળ અસમાનતા. 7. ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે જાણો પદ્ધતિઅંતરાલો...