મેટ્રિક્સ સમકક્ષ. રેખીય સમીકરણોની મનસ્વી પ્રણાલીઓ ઉકેલવી

1. બે વેક્ટર સ્પેસ અને અનુક્રમે, સંખ્યા ફીલ્ડ પરના માપ આપવા દો, અને રેખીય ઓપરેટર, માં પ્રદર્શિત થાય છે. આ વિભાગમાં આપણે શોધીશું કે આપેલ લીનિયર ઓપરેટરને અનુરૂપ મેટ્રિક્સ કેવી રીતે બદલાય છે જ્યારે પાયામાં ફેરફાર થાય છે અને બદલાય છે.

ચાલો આપણે મનસ્વી પાયા પસંદ કરીએ અને . આ પાયામાં, ઓપરેટર મેટ્રિક્સને અનુરૂપ હશે. વેક્ટર સમાનતા

મેટ્રિક્સ સમાનતાને અનુલક્ષે છે

વેક્ટર અને બેઝમાં કોઓર્ડિનેટ કૉલમ ક્યાં અને છે.

ચાલો હવે ઇન અને અન્ય બેઝ પસંદ કરીએ અને . નવા પાયામાં, , ની જગ્યાએ, આપણી પાસે હશે: , , . તે જ સમયે

ચાલો ઓર્ડરના અવિભાજ્ય ચોરસ મેટ્રિસેસ અને અનુક્રમે, જે જગ્યાઓમાં અને જૂના પાયામાંથી નવામાં સંક્રમણ દરમિયાન કોઓર્ડિનેટનું રૂપાંતર કરે છે તેના દ્વારા સૂચિત કરીએ (જુઓ § 4):

પછી (27) અને (29) માંથી આપણે મેળવીએ છીએ:

ધારી રહ્યા છીએ, (28) અને (30) માંથી આપણે શોધીએ છીએ:

વ્યાખ્યા 8. બે લંબચોરસ મેટ્રિસિસ અને સમાન કદસમકક્ષ કહેવાય છે જો ત્યાં બે બિન-એકવચન ચોરસ મેટ્રિસ હોય જેમ કે

(31) માંથી તે અનુસરે છે કે સમાન રેખીય ઓપરેટરને અનુરૂપ બે મેટ્રિસીસ બેઝની વિવિધ પસંદગીઓ સાથે અને હંમેશા એકબીજાની સમકક્ષ હોય છે. તે જોવાનું સરળ છે કે, તેનાથી વિપરિત, જો મેટ્રિક્સ કેટલાક પાયા માટે ઓપરેટરને અનુલક્ષે છે અને, મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સની સમકક્ષ છે, તો તે અને માં કેટલાક અન્ય પાયા માટે સમાન રેખીય ઓપરેટરને અનુરૂપ છે.

આમ, દરેક રેખીય ઓપરેટર મેપિંગ કરે છે અને ક્ષેત્રના તત્વો સાથે એકબીજાની સમકક્ષ મેટ્રિસિસના વર્ગને અનુરૂપ છે.

2. નીચેનો પ્રમેય બે મેટ્રિસિસની સમાનતા માટે માપદંડ સ્થાપિત કરે છે:

પ્રમેય 2. સમાન કદના બે લંબચોરસ મેટ્રિસિસને સમકક્ષ બનાવવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે આ મેટ્રિસિસ સમાન ક્રમ ધરાવે છે.

પુરાવો. શરત જરૂરી છે. લંબચોરસ મેટ્રિક્સને કોઈપણ બિન-એકવચન વડે ગુણાકાર કરતી વખતે ચોરસ મેટ્રિક્સ(ડાબે અથવા જમણે) મૂળ લંબચોરસ મેટ્રિક્સનો ક્રમ બદલી શકાતો નથી (જુઓ પ્રકરણ I, પૃષ્ઠ 27). તેથી, (32) માંથી તે અનુસરે છે

સ્થિતિ પૂરતી છે. ચાલો - લંબચોરસ મેટ્રિક્સકદ તે એક રેખીય ઓપરેટર વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે એક આધાર સાથે જગ્યાને એક આધાર સાથે જગ્યામાં મેપ કરે છે. ચાલો સંખ્યા દ્વારા રેખીય રીતે સૂચિત કરીએ સ્વતંત્ર વેક્ટરવેક્ટર્સ વચ્ચે . સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, આપણે ધારી શકીએ કે વેક્ટર્સ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે , અને બાકીના તેમના દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

. (33)

ચાલો એક નવો આધાર નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

(34)

પછી (33) ના સદ્ગુણ દ્વારા

. (35)

વેક્ટર્સ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. ચાલો તેમને કેટલાક વેક્ટર સાથે પૂરક કરીએ.

પછી નવા પાયામાં સમાન ઓપરેટરને અનુરૂપ મેટ્રિક્સ; , (35) અને (36) મુજબ ફોર્મ હશે

. (37)

મેટ્રિક્સમાં, મુખ્ય કર્ણ સાથે ઉપરથી નીચે સુધી જાય છે; મેટ્રિક્સના અન્ય તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન છે. મેટ્રિસિસ અને સમાન ઓપરેટરને અનુરૂપ હોવાથી, તેઓ એકબીજાના સમકક્ષ છે. જે સાબિત થયું છે તે મુજબ, સમકક્ષ મેટ્રિસીસ સમાન ક્રમ ધરાવે છે. તેથી, મૂળ મેટ્રિક્સનો રેન્ક બરાબર છે.

અમે બતાવ્યું છે કે મનસ્વી લંબચોરસ રેન્ક મેટ્રિક્સ "કેનોનિકલ" મેટ્રિક્સની સમકક્ષ છે. પરંતુ મેટ્રિક્સ પરિમાણ અને સંખ્યાઓને સ્પષ્ટ કરીને સંપૂર્ણપણે નક્કી કરવામાં આવે છે. તેથી, આપેલ કદ અને આપેલ ક્રમના તમામ લંબચોરસ મેટ્રિક્સ સમાન મેટ્રિક્સની સમકક્ષ છે અને તેથી, એકબીજાની સમકક્ષ છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

3. એક રેખીય ઓપરેટર રજૂ કરવા દો - પરિમાણીય જગ્યાપરિમાણીય. ફોર્મના વેક્ટરનો સમૂહ , જ્યાં , સ્વરૂપો વેક્ટર જગ્યા. અમે આ જગ્યાને દ્વારા દર્શાવીશું; તે અવકાશનો ભાગ બનાવે છે અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, અવકાશમાં એક સબસ્પેસ છે.

માં સબસ્પેસ સાથે, અમે સમીકરણને સંતોષતા તમામ વેક્ટરના સમૂહને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ

આ વેક્ટર્સ પણ માં સબસ્પેસ બનાવે છે; અમે આ સબસ્પેસને દ્વારા દર્શાવીશું.

વ્યાખ્યા. .

વિવિધ પાયામાં આપેલ ઓપરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરતી તમામ સમકક્ષ લંબચોરસ મેટ્રિસિસમાં, ત્યાં છે પ્રમાણભૂત મેટ્રિક્સ[જુઓ (37)]. ચાલો અને અને માં અનુરૂપ આધારો દ્વારા સૂચિત કરીએ. પછી

, .

વ્યાખ્યામાંથી અને તે અનુસરે છે કે વેક્ટર્સ માં આધાર બનાવે છે, અને વેક્ટર્સ માં આધારની તુલના કરે છે. તે આનાથી અનુસરે છે જે ઓપરેટરનો ક્રમ છે અને

જો ઑપરેટરને અનુરૂપ મનસ્વી મેટ્રિક્સ હોય, તો તે સમકક્ષ છે અને તેથી તે સમાન રેન્ક ધરાવે છે. આમ, ઓપરેટરનો ક્રમ લંબચોરસ મેટ્રિક્સના ક્રમ સાથે મેળ ખાય છે

,

કેટલાક પાયામાં વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટર અને .

મેટ્રિક્સના સ્તંભોમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે . કારણ કે તે અનુસરે છે કે ઓપરેટરનો ક્રમ, એટલે કે, પરિમાણોની સંખ્યા, સમાન છે મહત્તમ સંખ્યાવચ્ચે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટર્સ . આમ, મેટ્રિક્સનો ક્રમ મેટ્રિક્સના રેખીય સ્વતંત્ર કૉલમની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે. સ્થાનાંતરણ દરમિયાન મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ કૉલમમાં બનાવવામાં આવે છે, અને રેન્ક બદલાતો નથી, મેટ્રિક્સની રેખીય રીતે સ્વતંત્ર પંક્તિઓની સંખ્યા પણ મેટ્રિક્સના ક્રમની બરાબર છે.

4. બે લીનિયર ઓપરેટર્સ અને તેમનું ઉત્પાદન આપવા દો.

ઓપરેટરને નકશા કરવા દો, અને ઓપરેટરને નકશો કરવા દો. પછી ઓપરેટર નકશા કરે છે:

ચાલો મેટ્રિસીસનો પરિચય આપીએ , , ઓપરેટરોને અનુરૂપ , , પાયાની ચોક્કસ પસંદગી માટે , અને . પછી ઓપરેટર સમાનતા મેટ્રિક્સ સમાનતાને અનુરૂપ હશે., એટલે કે માં, .

દસ્તાવેજ: I.e. નીચેની ક્રિયાઓ કરતી વખતે મેટ્રિક્સનો ક્રમ સાચવવામાં આવે છે:

1. રેખાઓનો ક્રમ બદલવો.

2. શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા વડે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર.

3. ટ્રાન્સપોઝિશન.

4. શૂન્યની સ્ટ્રિંગ દૂર કરવી.

5. સ્ટ્રિંગમાં બીજી સ્ટ્રિંગ ઉમેરીને, મનસ્વી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર.

પ્રથમ રૂપાંતરણ કેટલાક સગીરોને યથાવત રાખશે, પરંતુ કેટલાકના ચિહ્નને વિરુદ્ધમાં બદલશે. બીજું પરિવર્તન પણ કેટલાક સગીરોને યથાવત રાખશે, જ્યારે અન્યને શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવામાં આવશે. ત્રીજું પરિવર્તન તમામ સગીરોને સાચવશે. તેથી, આ પરિવર્તનો લાગુ કરતી વખતે, મેટ્રિક્સનો ક્રમ પણ સાચવવામાં આવશે (બીજી વ્યાખ્યા). શૂન્ય પંક્તિને નાબૂદ કરવાથી મેટ્રિક્સનો ક્રમ બદલી શકાતો નથી, કારણ કે આવી પંક્તિ બિન-શૂન્ય માઇનોર દાખલ કરી શકતી નથી. ચાલો પાંચમા રૂપાંતરણને ધ્યાનમાં લઈએ.

અમે ધારીશું કે આધાર માઇનોર Δp એ પ્રથમ p પંક્તિઓમાં સ્થિત છે. સ્ટ્રિંગ a માં એક આર્બિટરી સ્ટ્રિંગ b ઉમેરવા દો, જે આ સ્ટ્રિંગમાંથી એક છે, અમુક સંખ્યા λ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. તે. સ્ટ્રિંગ a માં બેઝિસ માઇનોર ધરાવતી સ્ટ્રિંગ્સનું રેખીય સંયોજન ઉમેરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, આધાર ગૌણ Δp યથાવત રહેશે (અને 0 થી અલગ). પ્રથમ p લાઇનમાં મૂકવામાં આવેલા અન્ય સગીરો પણ યથાવત રહે છે, તે જ અન્ય તમામ સગીરો માટે સાચું છે. તે. વી આ કિસ્સામાંક્રમ (બીજી વ્યાખ્યા દ્વારા) સાચવવામાં આવશે. હવે નાની Ms ને ધ્યાનમાં લો, જેમાં પ્રથમ p પંક્તિઓમાંથી બધી પંક્તિઓ નથી (અને કદાચ તેમાં કોઈ પણ નથી).

શબ્દમાળા ai માં એક મનસ્વી શબ્દમાળા b ઉમેરીને, સંખ્યા λ વડે ગુણાકાર કરીને, આપણે એક નવો માઇનોર Ms‘ અને Ms‘=Ms+λ Ms મેળવીએ છીએ, જ્યાં

જો s>p, તો Ms=Ms=0, કારણ કે મૂળ મેટ્રિક્સના p કરતાં મોટા ઓર્ડરના તમામ સગીર 0 ની બરાબર છે. પરંતુ પછી Ms'=0, અને મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ક્રમ વધતો નથી. પરંતુ તે ક્યાં તો ઘટાડી શક્યું નથી, કારણ કે મૂળભૂત માઇનોરમાં કોઈ ફેરફાર થયો નથી. તેથી, મેટ્રિક્સનો ક્રમ યથાવત રહે છે.

તમને રુચિ છે તે માહિતી તમે વૈજ્ઞાનિક સર્ચ એન્જિન Otvety.Online માં પણ મેળવી શકો છો. શોધ ફોર્મનો ઉપયોગ કરો:

રેખીય ઓપરેટર મેટ્રિક્સનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ.

મેટ્રિસિસ એઅને બીજો બિન-એકવચન મેટ્રિસિસ હોય તો તેને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે પ્રઅને ટી, શું એ=QBT.

પ્રમેય 6.1. જો મેટ્રિસિસ સમકક્ષ હોય, તો તેમની રેન્ક સમાન હોય છે.

પુરાવો. કારણ કે ઉત્પાદનની રેન્ક પરિબળોની રેન્ક કરતાં વધી જતી નથી, તો પછી . ત્યારથી. બે અસમાનતાઓને જોડીને, અમે જરૂરી નિવેદન મેળવીએ છીએ.

પ્રમેય 6.2. મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ અને કૉલમ સાથે પ્રાથમિક રૂપાંતરણ એબ્લોક ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે, જ્યાં ઓર્ડરનું એકમ મેટ્રિક્સ છે k, અને 0 એ અનુરૂપ કદનું શૂન્ય મેટ્રિક્સ છે.

પુરાવો.ચાલો મેટ્રિક્સ રિડક્શન માટે અલ્ગોરિધમ રજૂ કરીએ એથી ઉલ્લેખિત પ્રકાર. કૉલમ નંબરો સૂચવવામાં આવશે ચોરસ કૌંસ, અને રેખા નંબરો કૌંસમાં છે.

1. ચાલો મૂકીએ આર=1.

2. જો પછી આપણે સ્ટેપ 4 પર જઈએ, નહિ તો આપણે સ્ટેપ 3 પર જઈએ.

3. ચાલો તાર વડે રૂપાંતરણ કરીએ , ક્યાં i=આર+1,…,m, અને કૉલમ સાથે , ક્યાં j=આર+1,…,n, અને . ચાલો વધારીએ આર 1 પર અને પગલું 2 પર પાછા ફરો.

4. જો, મુ i=આર+1,…,m, j=આર+1,…,n, પછી તે સમાપ્ત થઈ ગયું. નહિંતર અમે શોધીશું i,j>આર, શું . ચાલો પંક્તિઓ અને સ્તંભોને ફરીથી ગોઠવીએ અને પગલું 2 પર પાછા આવીએ.

દેખીતી રીતે, અલ્ગોરિધમ સમકક્ષ મેટ્રિસિસનો ક્રમ બનાવશે, જેમાંથી છેલ્લું જરૂરી સ્વરૂપ ધરાવે છે.

પ્રમેય 6.3. મેટ્રિસિસ એઅને બીસમાન કદના સમકક્ષ હોય છે જો અને માત્ર જો તેમની રેન્ક સમાન હોય.

પુરાવો.જો મેટ્રિસીસ સમકક્ષ હોય, તો તેમની રેન્ક સમાન હોય છે (પ્રમેય 6.1). મેટ્રિસિસના રેન્ક સમાન થવા દો. પછી બિન-એકવચન મેટ્રિસિસ છે જેમ કે , ક્યાં આર=rgA=rgB(પ્રમેય 6.2). આથી, , અને મેટ્રિસિસ એઅને બી- સમકક્ષ છે.

આ ફકરાના પરિણામો તમને શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે સૌથી સરળ સ્વરૂપરેખીય ઓપરેટરના મેટ્રિસીસ અને જગ્યાઓના પાયા કે જેમાં લીનિયર ઓપરેટરનું મેટ્રિક્સ આ સરળ સ્વરૂપ ધરાવે છે.

સમકક્ષ મેટ્રિસિસ

ઉપર જણાવ્યા મુજબ, ઓર્ડર s ના મેટ્રિક્સનો માઇનોર એ કોઈપણ પસંદ કરેલ s પંક્તિઓ અને s કૉલમ્સના આંતરછેદ પર સ્થિત મૂળ મેટ્રિક્સના ઘટકોમાંથી બનેલા મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે.

વ્યાખ્યા. ક્રમ mn ના મેટ્રિક્સમાં, ક્રમ r ના નાનાને મૂળભૂત કહેવામાં આવે છે જો તે ન હોય શૂન્ય બરાબર, અને ઓર્ડર r+1 અને ઉચ્ચતરના તમામ સગીર શૂન્ય સમાન છે અથવા બિલકુલ અસ્તિત્વમાં નથી, એટલે કે. r m અથવા n ના નાના સાથે મેળ ખાય છે.

મેટ્રિક્સના સ્તંભો અને પંક્તિઓ કે જેના પર આધાર નાના સ્ટેન્ડ છે તેને પણ આધાર કહેવામાં આવે છે.

મેટ્રિક્સમાં સમાન ક્રમ ધરાવતા ઘણા જુદા જુદા આધાર સગીર હોઈ શકે છે.

વ્યાખ્યા. મેટ્રિક્સના બેઝિસ માઇનોરના ક્રમને મેટ્રિક્સનો ક્રમ કહેવામાં આવે છે અને તેને Rg A દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે.

ખૂબ મહત્વપૂર્ણ મિલકતપ્રાથમિક મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશન્સ એ છે કે તેઓ મેટ્રિક્સના ક્રમમાં ફેરફાર કરતા નથી.

વ્યાખ્યા. પ્રાથમિક રૂપાંતરણના પરિણામે મેળવેલ મેટ્રિસિસને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે.

એ નોંધવું જોઈએ કે સમાન મેટ્રિસિસ અને સમકક્ષ મેટ્રિસિસ સંપૂર્ણપણે અલગ ખ્યાલો છે.

પ્રમેય. સૌથી મોટી સંખ્યામેટ્રિક્સમાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર સ્તંભો રેખીય સ્વતંત્ર પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે.

કારણ કે પ્રાથમિક પરિવર્તનો મેટ્રિક્સના ક્રમને બદલતા નથી, તો પછી મેટ્રિક્સની રેન્ક શોધવાની પ્રક્રિયાને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવી શકાય છે.

ઉદાહરણ. મેટ્રિક્સનો ક્રમ નક્કી કરો.

2. ઉદાહરણ: મેટ્રિક્સનો ક્રમ નક્કી કરો.

જો, પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને, મૂળ એકની સમકક્ષ મેટ્રિક્સ શોધવાનું શક્ય નથી, પરંતુ નાના કદનું, તો પછી મેટ્રિક્સનો રેન્ક શોધવાનું સૌથી વધુ શક્ય ક્રમના સગીરોની ગણતરી કરીને શરૂ થવું જોઈએ. ઉપરના ઉદાહરણમાં, આ ક્રમ 3 ના સગીર છે. જો તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્યની બરાબર ન હોય, તો મેટ્રિક્સનો ક્રમ આ સગીર ના ક્રમની બરાબર છે.

નાનો આધાર પર પ્રમેય.

પ્રમેય. આર્બિટરી મેટ્રિક્સ A માં, દરેક કૉલમ (પંક્તિ) એ કૉલમ્સ (પંક્તિઓ) નું રેખીય સંયોજન છે જેમાં બેઝિસ માઇનોર સ્થિત છે.

તેથી રેન્ક મનસ્વી મેટ્રિક્સ A એ મેટ્રિક્સમાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર પંક્તિઓ (કૉલમ્સ) ની મહત્તમ સંખ્યા જેટલી છે.

જો A એ ચોરસ મેટ્રિક્સ અને det A = 0 છે, તો ઓછામાં ઓછી એક કૉલમ બાકીની કૉલમનું રેખીય સંયોજન છે. આ જ શબ્દમાળાઓ માટે સાચું છે. જ્યારે નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર હોય ત્યારે આ વિધાન રેખીય અવલંબનની મિલકતમાંથી અનુસરે છે.

રેખીય સમીકરણોની મનસ્વી પ્રણાલીઓ ઉકેલવી

ઉપર જણાવ્યા મુજબ, મેટ્રિક્સ પદ્ધતિઅને ક્રેમરની પદ્ધતિ ફક્ત તે સિસ્ટમોને જ લાગુ પડે છે રેખીય સમીકરણો, જેમાં અજાણ્યાઓની સંખ્યા સમીકરણોની સંખ્યા જેટલી હોય છે. આગળ, અમે રેખીય સમીકરણોની મનસ્વી પ્રણાલીઓને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

વ્યાખ્યા. માં n અજ્ઞાત સાથે m સમીકરણોની સિસ્ટમ સામાન્ય દૃશ્યનીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

જ્યાં aij ગુણાંક છે અને bi સ્થિરાંક છે. સિસ્ટમના ઉકેલો n નંબરો છે, જે જ્યારે સિસ્ટમમાં બદલાય છે, ત્યારે તેના દરેક સમીકરણોને ઓળખમાં ફેરવે છે.

વ્યાખ્યા. જો સિસ્ટમમાં ઓછામાં ઓછું એક સોલ્યુશન હોય, તો તેને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે. જો સિસ્ટમમાં એક પણ ઉકેલ ન હોય, તો તેને અસંગત કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. સિસ્ટમને નિર્ધારિત કહેવામાં આવે છે જો તેની પાસે માત્ર એક જ ઉકેલ હોય અને જો તેમાં એક કરતાં વધુ હોય તો અનિશ્ચિત.

વ્યાખ્યા. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે મેટ્રિક્સ

A = સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ અને મેટ્રિક્સ કહેવાય છે

A*= એ સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ કહેવાય છે

વ્યાખ્યા. જો b1, b2, …,bm = 0 હોય, તો સિસ્ટમને સજાતીય કહેવામાં આવે છે. સજાતીય સિસ્ટમહંમેશા સંયુક્ત, કારણ કે હંમેશા શૂન્ય ઉકેલ હોય છે.

પ્રાથમિક સિસ્ટમ પરિવર્તન

TO પ્રાથમિક પરિવર્તનોસમાવેશ થાય છે:

1) એક સમીકરણની બંને બાજુએ બીજાના અનુરૂપ ભાગો ઉમેરીને, સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર, શૂન્યની બરાબર નહીં.

2) સમીકરણો ફરીથી ગોઠવો.

3) સિસ્ટમ સમીકરણોમાંથી દૂર કરવું જે તમામ x માટે ઓળખ છે.

ક્રોનેકર-કાપેલી પ્રમેય (સિસ્ટમ માટે સુસંગતતાની સ્થિતિ).

(લિયોપોલ્ડ ક્રોનેકર (1823-1891) જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી)

પ્રમેય: સિસ્ટમ સુસંગત છે (ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ ધરાવે છે) જો અને માત્ર જો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સનો રેન્ક વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના ક્રમની સમાન હોય.

દેખીતી રીતે, સિસ્ટમ (1) ફોર્મમાં લખી શકાય છે.

નવા આધાર પર સંક્રમણ.

ચાલો (1) અને (2) સમાન m-પરિમાણીય રેખીય અવકાશ X ના બે પાયા છે.

(1) એક આધાર હોવાથી, બીજા આધારના વેક્ટરને તેમાંથી વિસ્તૃત કરી શકાય છે:

ના ગુણાંકમાંથી આપણે મેટ્રિક્સ બનાવીએ છીએ:

(4) – આધાર (1) થી આધાર (2) તરફ જતી વખતે ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સનું સંકલન કરો.

તેને વેક્ટર બનવા દો, પછી (5) અને (6).

સંબંધ (7) એટલે કે

મેટ્રિક્સ P બિન-ડિજનરેટ છે, કારણ કે અન્યથા તે હશે રેખીય અવલંબનતેના સ્તંભો વચ્ચે, અને પછી તેના વેક્ટર્સ વચ્ચે.

વાતચીત પણ સાચી છે: કોઈપણ બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ એ સૂત્રો (8) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કોઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ છે. કારણ કે P એ બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ છે, પછી તેનું વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે છે. (8) ની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરવાથી આપણને મળે છે: (9).

રેખીય અવકાશ X માં 3 પાયા પસંદ કરવા દો: (10), (11), (12).

જ્યાંથી, એટલે કે. (13).

તે. કોઓર્ડિનેટ્સના ક્રમિક રૂપાંતરણ સાથે, પરિણામી રૂપાંતરણનું મેટ્રિક્સ ઘટક રૂપાંતરણોના મેટ્રિસીસના ઉત્પાદન સમાન છે.

ચાલો રેખીય ઓપરેટર બનો અને X: (I) અને (II), અને Y – (III) અને (IV) માં બેઝની જોડી પસંદ કરવા દો.

બેઝ I – III ની જોડીમાં ઓપરેટર A સમાનતાને અનુરૂપ છે: (14). બેઝ II – IV ની જોડીમાં સમાન ઓપરેટર સમાનતાને અનુરૂપ છે: (15). તે. આપેલ ઓપરેટર A માટે અમારી પાસે બે મેટ્રિસિસ છે અને. અમે તેમની વચ્ચે નિર્ભરતા સ્થાપિત કરવા માંગીએ છીએ.

I થી III ના સંક્રમણ દરમિયાન P એ કોઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ હોવા દો.

II થી IV માં સંક્રમણ દરમિયાન Q એ કોઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ છે.

પછી (16), (17). (16) અને (17) માંથી (14) માટે અને (14) માટે અભિવ્યક્તિઓ બદલીને, અમે મેળવીએ છીએ:

આ સમાનતાને (15) સાથે સરખાવીને, અમે મેળવીએ છીએ:

રિલેશન (19) એ એક જ ઓપરેટરના મેટ્રિક્સને અલગ-અલગ પાયામાં સંબંધિત છે. એવા કિસ્સામાં જ્યાં જગ્યાઓ X અને Y એકરૂપ થાય છે, ભૂમિકા IIIઆધાર I, અને IV – II ભજવે છે, પછી સંબંધ (19) સ્વરૂપ લે છે: .

ગ્રંથસૂચિ:

3. કોસ્ટ્રિકિન એ.આઈ. બીજગણિત પરિચય. ભાગ II. બીજગણિતના ફંડામેન્ટલ્સ: યુનિવર્સિટીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક, -એમ. : ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિત સાહિત્ય, 2000, 368 પૃષ્ઠ.

લેક્ચર નંબર 16 (II સેમેસ્ટર)

વિષય: જરૂરી અને પૂરતી સ્થિતિમેટ્રિક્સ સમાનતા.

સમાન કદના બે મેટ્રિસિસ A અને B કહેવામાં આવે છે સમકક્ષ, જો ત્યાં બે બિન-એકવચન મેટ્રિસિસ R અને S હોય તો (1).

ઉદાહરણ:માં બેઝની વિવિધ પસંદગીઓ માટે સમાન ઓપરેટરને અનુરૂપ બે મેટ્રિસિસ રેખીય જગ્યાઓ x X અને Y સમકક્ષ છે.

તે સ્પષ્ટ છે કે ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને સમાન કદના તમામ મેટ્રિસીસના સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલો સંબંધ એક સમાનતા સંબંધ છે.

પ્રમેય 8: સમાન કદના બે લંબચોરસ મેટ્રિસિસને સમકક્ષ બનાવવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તેઓ સમાન રેન્કના હોય.

પુરાવો:

1. A અને B ને બે મેટ્રિક્સ થવા દો જેના માટે તે અર્થપૂર્ણ છે. ઉત્પાદનનો ક્રમ (મેટ્રિક્સ C) દરેક પરિબળના ક્રમ કરતાં ઊંચો નથી.

આપણે જોઈએ છીએ કે મેટ્રિક્સ C ની kth કૉલમ એ મેટ્રિક્સ A ના કૉલમના વેક્ટર્સનું રેખીય સંયોજન છે અને આ મેટ્રિક્સ C ના તમામ કૉલમ માટે ધરાવે છે, એટલે કે. દરેક માટે. તે. , એટલે કે - રેખીય જગ્યાની સબસ્પેસ.

સબસ્પેસનું પરિમાણ અવકાશના પરિમાણ કરતા ઓછું અથવા બરાબર હોવાથી, મેટ્રિક્સ C નો ક્રમ મેટ્રિક્સ A ના ક્રમ કરતા ઓછો અથવા બરાબર છે.

સમાનતા (2) માં, અમે ઇન્ડેક્સ i ને ઠીક કરીએ છીએ અને k ને 1 થી s સુધીના તમામ સંભવિત મૂલ્યો અસાઇન કરીએ છીએ. પછી આપણે સિસ્ટમ (3) જેવી સમાનતાની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

સમાનતાઓથી (4) તે સ્પષ્ટ છે કે i-th લાઇનમેટ્રિક્સ C એ બધા i માટે મેટ્રિક્સ B ની પંક્તિઓનું રેખીય સંયોજન છે, અને પછી મેટ્રિક્સ C ની પંક્તિઓ દ્વારા ફેલાયેલ રેખીય હલ મેટ્રિક્સ B ની પંક્તિઓ દ્વારા ફેલાયેલ રેખીય હલમાં સમાયેલ છે, અને પછી આનું પરિમાણ રેખીય શેલમેટ્રિક્સ B ના પંક્તિ વેક્ટરના રેખીય હલના પરિમાણ કરતા ઓછું અથવા તેની બરાબર છે, જેનો અર્થ છે કે મેટ્રિક્સ C નો રેન્ક મેટ્રિક્સ B ના રેન્ક કરતા ઓછો અથવા બરાબર છે.

2. બિન-એકવચન ચોરસ મેટ્રિક્સ Q દ્વારા ડાબી અને જમણી બાજુએ મેટ્રિક્સ A ના ગુણાંકનો ક્રમ મેટ્રિક્સ A.() ના ક્રમ સમાન છે. તે. મેટ્રિક્સ C નો ક્રમ મેટ્રિક્સ A ના ક્રમ સમાન છે.

પુરાવો:કેસ (1) માં જે સાબિત થયું હતું તે મુજબ. મેટ્રિક્સ Q બિન-એકવચન હોવાથી, તેના માટે અસ્તિત્વમાં છે: અને અગાઉના નિવેદનમાં જે સાબિત થયું હતું તે અનુસાર.

3. ચાલો સાબિત કરીએ કે જો મેટ્રિસીસ સમકક્ષ હોય, તો તેમની પાસે સમાન રેન્ક છે. વ્યાખ્યા પ્રમાણે, જો ત્યાં R અને S હોય તો A અને B સમાન છે. ડાબી બાજુએ A ને R વડે અને જમણી બાજુએ S વડે ગુણાકાર કરવાથી સમાન ક્રમના મેટ્રિસિસ ઉત્પન્ન થાય છે, જે બિંદુ (2) માં સાબિત થાય છે, A નો ક્રમ B ના ક્રમની બરાબર છે.

4. મેટ્રિસિસ A અને B ને સમાન ક્રમના રહેવા દો. ચાલો સાબિત કરીએ કે તેઓ સમકક્ષ છે. ચાલો વિચાર કરીએ.

X અને Y ને બે રેખીય જગ્યાઓ રહેવા દો જેમાં પાયા (આધાર X) અને (આધાર Y) પસંદ કરવામાં આવ્યા છે. જેમ જાણીતું છે, ફોર્મનું કોઈપણ મેટ્રિક્સ X થી Y સુધી અભિનય કરતા ચોક્કસ રેખીય ઓપરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

r એ મેટ્રિક્સ A નો ક્રમ હોવાથી, વેક્ટરમાં બરાબર r એ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, આપણે ધારી શકીએ કે પ્રથમ r વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. પછી બાકીનું બધું તેમના દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે, અને અમે લખી શકીએ છીએ:

ચાલો સ્પેસ X માં એક નવો આધાર નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ: . (7)

Y સ્પેસમાં નવો આધાર નીચે મુજબ છે:

વેક્ટર, શરત દ્વારા, રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. ચાલો Y: (8) ના આધાર પર કેટલાક વેક્ટર સાથે તેમને પૂરક બનાવીએ. તેથી (7) અને (8) બે નવા પાયા X અને Y છે. ચાલો આ પાયામાં ઓપરેટર A નું મેટ્રિક્સ શોધીએ:

તેથી, પાયાની નવી જોડીમાં, ઑપરેટર A નું મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સ J છે. મેટ્રિક્સ A શરૂઆતમાં ફોર્મ, રેન્ક rનું મનસ્વી લંબચોરસ મેટ્રિક્સ હતું. અલગ-અલગ પાયામાં સમાન ઓપરેટરના મેટ્રિક્સ સમકક્ષ હોવાથી, આ દર્શાવે છે કે પ્રકાર અને ક્રમ r નું કોઈપણ લંબચોરસ મેટ્રિક્સ J ની સમકક્ષ છે. કારણ કે આપણે સમકક્ષ સંબંધ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, આ દર્શાવે છે કે પ્રકાર અને B ના કોઈપણ બે મેટ્રિસિસ A અને B ક્રમ r , મેટ્રિક્સ Jની સમકક્ષ હોવાને કારણે એકબીજાના સમકક્ષ છે.

ગ્રંથસૂચિ:

1. વોએવોડિન વી.વી. રેખીય બીજગણિત. સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: લેન, 2008, 416 પૃષ્ઠ.

2. બેક્લેમિશેવ ડી.વી વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિઅને રેખીય બીજગણિત. એમ.: ફિઝમેટલીટ, 2006, 304 પૃષ્ઠ.

3. કોસ્ટ્રિકિન એ.આઈ. બીજગણિત પરિચય. ભાગ II. બીજગણિતના મૂળભૂત: યુનિવર્સિટીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક, -એમ. : ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિત સાહિત્ય, 2000, 368 પૃષ્ઠ.

લેક્ચર નંબર 17 (II સેમેસ્ટર)

વિષય: ઇજેનવેલ્યુઝ અને eigenvectors. પોતાની સબસ્પેસ. ઉદાહરણો.