ઘણીવાર તમારે લંબચોરસ ભાગો - "કોષો" અથવા "બ્લોક" માં વિભાજિત મેટ્રિસિસનો ઉપયોગ કરવો પડે છે. અમે આ વિભાગને આવા "બ્લોક" મેટ્રિસિસના વિચારણા માટે સમર્પિત કરીએ છીએ.

1. એક લંબચોરસ મેટ્રિક્સ આપવા દો

આડી મદદથી અને ઊભી રેખાઓચાલો મેટ્રિક્સને લંબચોરસ બ્લોકમાં કાપીએ:

. (58)

અમે મેટ્રિક્સ (58) વિશે કહીશું કે તે કદના બ્લોક્સમાં વહેંચાયેલું છે અથવા તે બ્લોક મેટ્રિક્સના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. (58) ને બદલે આપણે સંક્ષેપમાં લખીશું:

આ કિસ્સામાં, અમે નીચેના સંકેતોનો ઉપયોગ કરીશું:

બ્લોક મેટ્રિસિસ પરની ક્રિયાઓ એ જ ઔપચારિક નિયમો અનુસાર કરવામાં આવે છે જેમ કે જ્યારે બ્લોક્સને બદલે અમારી પાસે સંખ્યાત્મક તત્વો હોય છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, સમાન કદના બે લંબચોરસ મેટ્રિસિસ અને બ્લોક્સમાં સમાન પાર્ટીશન સાથે આપીએ:

તે જોવાનું સરળ છે

. (62)

ચાલો ગુણાકાર પર નજીકથી નજર કરીએ બ્લોક મેટ્રિસિસ. તે જાણીતું છે (જુઓ પ્રકરણ I, પૃષ્ઠ. 17) કે જ્યારે બે લંબચોરસ મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રથમ પરિબળમાં પંક્તિઓની લંબાઈ બીજા પરિબળમાં કૉલમની ઊંચાઈ સાથે સુસંગત હોવી જોઈએ. આ મેટ્રિસીસના બ્લોક ગુણાકારને સક્ષમ કરવા માટે, અમારે વધુમાં જરૂરી રહેશે કે, જ્યારે બ્લોકમાં વિભાજન કરવામાં આવે ત્યારે, તમામ આડા પરિમાણોપ્રથમ પરિબળ બીજામાં અનુરૂપ વર્ટિકલ પરિમાણો સાથે સુસંગત છે:

, . (63)

પછી તે તપાસવું સરળ છે

, ક્યાં . (64)

ચાલો આપણે વિશિષ્ટ કેસની અલગથી નોંધ લઈએ જ્યારે એક પરિબળ અર્ધ-વિકર્ણ મેટ્રિક્સ હોય. ચાલો એક અર્ધ-વિકર્ણ મેટ્રિક્સ હોઈએ, એટલે કે, અને માટે. આ કિસ્સામાં, સૂત્ર (64) અમને આપે છે:

જ્યારે બ્લોક મેટ્રિક્સને અર્ધ-વિકર્ણ મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે બ્લોક મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ અર્ધ-વિકર્ણ મેટ્રિક્સના અનુરૂપ વિકર્ણ કોષો દ્વારા ડાબી બાજુએ ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

ચાલો હવે અર્ધ-વિકર્ણ મેટ્રિક્સ બનીએ, એટલે કે, અને માટે. પછી (64) માંથી આપણે મેળવીએ છીએ:

જ્યારે જમણી બાજુના બ્લોક મેટ્રિક્સને અર્ધ-વિકર્ણ મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે બ્લોક મેટ્રિક્સના તમામ કૉલમનો જમણી બાજુએ અર્ધ-વિકર્ણ મેટ્રિક્સના અનુરૂપ વિકર્ણ કોષો દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે સમાન ક્રમના ચોરસ બ્લોક મેટ્રિસિસનો ગુણાકાર હંમેશા શક્ય છે જ્યારે પરિબળોને સમાન ચોરસ બ્લોક પેટર્નમાં વિભાજિત કરવામાં આવે અને દરેક પરિબળમાં ત્રાંસા સ્થાનોમાં ચોરસ મેટ્રિસિસ હોય.

બ્લોક મેટ્રિક્સ (58) ને ઉપલા (નીચલા) અર્ધ-ત્રિકોણ કહેવાય છે અને જો બધા માટે (અનુક્રમે, બધા માટે). અર્ધ-ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો વિશિષ્ટ કેસ એ અર્ધ-વિકર્ણ મેટ્રિક્સ છે.

સૂત્ર (64) પરથી તે જોવાનું સરળ છે કે બે ઉપલા (નીચલા) અર્ધ-ત્રિકોણ મેટ્રિક્સનું ઉત્પાદન ફરીથી એક ઉપલું (નીચલું) અર્ધ-ત્રિકોણ મેટ્રિક્સ છે; આ કિસ્સામાં, ઉત્પાદનના વિકર્ણ બ્લોક્સ પરિબળોના અનુરૂપ વિકર્ણ બ્લોક્સને ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે.

ખરેખર, (64) માં ધારી રહ્યા છીએ અને

.

નીચલા અર્ધ-ત્રિકોણાકાર મેટ્રિસિસના કેસનું પણ એ જ રીતે વિશ્લેષણ કરવામાં આવે છે.

ચાલો અર્ધ-ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી માટેના નિયમની નોંધ લઈએ. આ નિયમ લેપ્લેસ વિસ્તરણના આધારે મેળવી શકાય છે.

જો અર્ધ-ત્રિકોણાકાર (ખાસ કરીને, અર્ધ-વિકર્ણ) મેટ્રિક્સ ચોરસ કર્ણ બ્લોક્સ સાથે હોય, તો આ મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક ઉત્પાદન સમાનવિકર્ણ બ્લોક નિર્ધારકો:

(67)

2. એક બ્લોક મેટ્રિક્સ આપવા દો

(68)

ચાલો બ્લોક પંક્તિમાં મી પંક્તિ ઉમેરીએ, અગાઉ ડાબી બાજુએ માપના લંબચોરસ મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ. ચાલો બ્લોક મેટ્રિક્સ મેળવીએ

. (69)

ચાલો નીચેના ચોરસ બ્લોક ડાયાગ્રામના રૂપમાં પ્રસ્તુત સહાયક ચોરસ મેટ્રિક્સનો પરિચય આપીએ:

. (70)

મેટ્રિક્સના વિકર્ણ કોષોમાં એકમ મેટ્રિસેસ હોય છે, જેનો ઓર્ડર અનુક્રમે સમાન હોય છે; મેટ્રિક્સના તમામ બિન-વિકર્ણ બ્લોક્સ શૂન્યના બરાબર છે, જે બ્લોકના અપવાદ સાથે મી બ્લોકની હરોળના આંતરછેદ પર સ્થિત છે.

તે જોવું મુશ્કેલ નથી

આથી, એક બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ હોવાથી, અમારી પાસે મેટ્રિસીસની રેન્ક માટે

વિશિષ્ટ કિસ્સામાં જ્યારે ચોરસ મેટ્રિક્સ હોય ત્યારે, (71)માંથી આપણી પાસે છે:

પરંતુ અર્ધ-ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક 1 છે:

આથી,

સમાન તારણો પર પહોંચી શકાય છે જો મેટ્રિક્સ (67) ના કોઈપણ કૉલમમાં અન્ય કૉલમ ઉમેરવામાં આવે, જે અગાઉ યોગ્ય પરિમાણોના લંબચોરસ મેટ્રિક્સ દ્વારા જમણી બાજુએ ગુણાકાર કરવામાં આવે.

પ્રાપ્ત પરિણામો નીચેના પ્રમેય તરીકે ઘડી શકાય છે.

પ્રમેય 3. જો બ્લોક મેટ્રિક્સમાં ઠ્ઠી બ્લોક પંક્તિ (કૉલમ) માં અમે ઠ્ઠી બ્લોક પંક્તિ (કૉલમ) ઉમેરીએ છીએ, જે અગાઉ યોગ્ય પરિમાણોના લંબચોરસ મેટ્રિક્સ દ્વારા ડાબી (જમણી બાજુ) પર ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, તો આ રૂપાંતરણ બદલાશે નહીં. મેટ્રિક્સનો ક્રમ, અને તે પણ કિસ્સામાં જ્યારે ચોરસ મેટ્રિક્સ હોય, અને મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે.

3. હવે તે ધ્યાનમાં લો ખાસ કેસ, જ્યારે મેટ્રિક્સમાં વિકર્ણ બ્લોક ચોરસ હોય છે અને વધુમાં, બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ ().

મેટ્રિક્સની મી પંક્તિમાં આપણે પ્રથમ પંક્તિ ઉમેરીએ છીએ, ડાબી બાજુએ . વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. પછી આપણને મેટ્રિક્સ મળે છે

, (76)

. (77)

જો ચોરસ બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ હોય, તો આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખી શકાય છે. આમ અમે સામાન્યકૃત ગૌસિયન અલ્ગોરિધમ પર પહોંચીએ છીએ.

એક ચોરસ મેટ્રિક્સ થવા દો. પછી

. (78)

ફોર્મ્યુલા (78) બ્લોક્સ ધરાવતા નિર્ણાયકની ગણતરીને નીચલા ક્રમના નિર્ણાયકની ગણતરીમાં ઘટાડે છે, જેમાં બ્લોકનો સમાવેશ થાય છે.

ચાર બ્લોકમાં વિભાજિત નિર્ણાયકને ધ્યાનમાં લો:

ચોરસ મેટ્રિસિસ ક્યાં અને છે.

દો . પછી બીજી લીટીમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરો, અગાઉ ડાબી બાજુએ વડે ગુણ્યા હતા. અમને મળે છે:

. (હું)

તે જ રીતે, જો , તો આપણે પ્રથમ લીટીમાંથી બીજી બાદબાકી કરીએ છીએ, જે અગાઉ ડાબી બાજુએ વડે ગુણ્યા હતા. અમને મળે છે:

. (II)

ખાસ કિસ્સામાં જ્યારે તમામ ચાર મેટ્રિસેસ , , , ચોરસ (સમાન ક્રમના) હોય છે, ત્યારે શૂરના સૂત્રો (I) અને (II) થી અનુસરે છે, જે ક્રમના નિર્ણાયકની ગણતરીને ઘટાડીને ક્રમ:

(), (IA)

(). (IIa)

જો મેટ્રિસિસ એકબીજા સાથે સફર કરે છે, તો પછી (Ia) થી તે નીચે મુજબ છે:

(તે આપેલ છે). (આઇબી)

તે જ રીતે, જો તેઓ એકબીજા સાથે મુસાફરી કરે છે, તો પછી

(તે જોતાં). (IIb)

ફોર્મ્યુલા (Ib) ધારણા હેઠળ અને ફોર્મ્યુલા (IIb) શરત હેઠળ મેળવવામાં આવી હતી. જો કે, સાતત્યની વિચારણાઓના આધારે, આ પ્રતિબંધો કાઢી શકાય છે.

સૂત્રોમાંથી (Ia) - (IIb) આપણે જમણી બાજુએ સ્થાનોની અદલાબદલી કરીને વધુ છ સૂત્રો મેળવી શકીએ છીએ અને તે જ સમયે અને .

.

સૂત્ર (Ib) મુજબ

.

4. ચાલો બ્લોક મેટ્રિક્સને ઊંધું કરવા માટે ફ્રોબેનિયસ સૂત્ર સ્થાપિત કરીએ. નોનસિંગ્યુલર ચોરસ મેટ્રિક્સ () ને બ્લોકમાં વિભાજિત કરવા દો

, (80)

અને ચાલો એ બિન-એકવચન ચોરસ મેટ્રિક્સ () પણ છે. નક્કી કરવાની જરૂર છે.

ચાલો મેટ્રિક્સ પર સામાન્યકૃત ગૌસીયન અલ્ગોરિધમ લાગુ કરીએ. બીજી બ્લોક પંક્તિમાંથી આપણે પ્રથમ બાદબાકી કરીએ છીએ, અગાઉ ડાબી બાજુએ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. આ ક્રિયા ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવા સમાન છે, જ્યાં . તેથી જ

. (81)

ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ

અને નોંધ કરો કે સમાનતા (81) થી તે નીચે મુજબ છે:

તેથી, ત્યારથી, ત્યારથી અને . સમાનતા (81) માં વ્યસ્ત મેટ્રિસિસમાં પસાર થવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ

. (83)

આપણે ફોર્મમાં મેટ્રિક્સ માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધીશું. પછી સમાનતામાંથી

અમે તે શોધીએ છીએ . આમ,

. (84)

પરંતુ પછી સમાનતા (83) થી આપણે શોધીએ છીએ

સમાનતા (85) ની જમણી બાજુએ બ્લોક મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરવાથી, અમે ફ્રોબેનિયસ સૂત્ર પર પહોંચીએ છીએ

, (86)

. (87)

ફ્રોબેનિયસ સૂત્ર (86) ઓર્ડર મેટ્રિક્સના વ્યુત્ક્રમને બે ઓર્ડર મેટ્રિસના વ્યુત્ક્રમ અને અને પરિમાણ , , અને .

જો આપણે ધારીએ કે (ને બદલે) અને મેટ્રિસીસની ભૂમિકાઓને સ્વેપ કરીએ અને , તો આપણે ફ્રોબેનિયસ સૂત્રનું બીજું સ્વરૂપ મેળવી શકીએ છીએ:

, (88)

. (89)

ઉદાહરણ. તત્વો શોધવા માટે જરૂરી છે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સમેટ્રિક્સ માટે

.

અમે માનીએ છીએ

અમે ક્રમિક રીતે શોધીએ છીએ

, ,

, ,

,

,

,

.

તેથી, સૂત્ર (86) નો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ:

.

5. પ્રમેય 3 પણ સૂચિત કરે છે

પ્રમેય 4. જો લંબચોરસ મેટ્રિક્સબ્લોક સ્વરૂપમાં પ્રસ્તુત

જ્યાં ઓર્ડરનો ચોરસ બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ છે (), તો મેટ્રિક્સનો ક્રમ માત્ર ત્યારે જ સમાન છે જો

પુરાવો. ચાલો મેટ્રિક્સની બીજી બ્લોક પંક્તિમાંથી પ્રથમ એક બાદબાકી કરીએ, અગાઉ ડાબી બાજુએ વડે ગુણ્યા હતા. પછી આપણને મેટ્રિક્સ મળે છે

. (92)

મેટ્રિસિસ અને પ્રમેય 3 અનુસાર સમાન ક્રમ ધરાવે છે. મેટ્રિક્સનો રેન્ક મેટ્રિક્સ (એટલે ​​​​કે c) ની રેન્ક સાથે એકરુપ છે જો અને માત્ર જો ધરાવે છે, એટલે કે (91). પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ચાલો નીચેના ઉદાહરણ દ્વારા શોધવાની આ પદ્ધતિને સમજાવીએ.

ઉદાહરણ. દો

ગણતરી માટે જરૂરી છે.

અમે મેટ્રિક્સ પર થોડી સુધારેલી નાબૂદી પદ્ધતિ લાગુ કરીએ છીએ

.

બધી પંક્તિઓમાં આપણે અમુક પરિબળ સાથે બીજી હરોળ ઉમેરીએ છીએ અને ખાતરી કરીએ છીએ કે પ્રથમ સ્તંભના તમામ ઘટકો, બીજા ઘટક સિવાય, શૂન્ય સમાન છે. આ પછી, બીજી સિવાયની તમામ પંક્તિઓમાં, અમે અમુક પરિબળ સાથે ત્રીજી પંક્તિ ઉમેરીએ છીએ અને ખાતરી કરીએ છીએ કે બીજી કૉલમમાં બીજા અને ત્રીજા સિવાયના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન છે. તે પછી, છેલ્લી ત્રણ પંક્તિઓમાં આપણે પ્રથમ પંક્તિ કેટલાક પરિબળ સાથે ઉમેરીએ છીએ અને ફોર્મનું મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ.

.

,

,

.

9. મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સપોઝિશન ઓપરેશન અને તેના ગુણધર્મો.

વ્યાખ્યા:પંક્તિઓને કૉલમ સાથે બદલીને મેટ્રિક્સ Aમાંથી મેળવેલ મેટ્રિક્સ A'ને મેટ્રિક્સ Aના સંદર્ભમાં ટ્રાન્સપોઝ્ડ કહેવામાં આવે છે.

મેટ્રિસિસ ટ્રાન્સપોઝ કરવા માટેના નીચેના નિયમો માન્ય છે:

(αA+αB)’=αA’ + αB’

(AB)'=B'A'

પુરાવાનો વિચાર એ બતાવવાનો છે કે મેટ્રિસિસ (AB) અને B'A' સમાન પરિમાણ ધરાવે છે અને તેમના અનુરૂપ તત્વો સમાન છે.

વ્યાખ્યા:જો A એ મનસ્વી ચોરસ મેટ્રિક્સ છે અને A=A' (-A=A'), તો મેટ્રિક્સ Aને સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે
અથવા ત્રાંસુ-સપ્રમાણ

10. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા. સાબિત કરો કે દરેક ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સમાં માત્ર એક વ્યુત્ક્રમ છે.

વ્યાખ્યા:

A A -1= A -1 A=E તે અનુસરે છે કે મેટ્રિક્સ A -1 માટે વ્યસ્ત હશે (A -1) -1 =A

પ્રમેય:દરેક ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સમાં એક અનન્ય વ્યુત્ક્રમ હોય છે.

પુરાવો:ચાલો ધારીએ કે મેટ્રિક્સ A, X ની સાથે, અન્ય વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ Y ધરાવે છે, એટલે કે. AU=E. પછી

(HA)U=EU=U ┐

X(AU)=XE=X ┘તેથી X=Y. તે. મેટ્રિક્સ Aમાં અનન્ય વ્યુત્ક્રમ છે (વગેરે)

11. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા. સાબિત કરો કે (ABC) -1 =C -1 IN -1 એ -1 .

વ્યાખ્યા:એક ચોરસ મેટ્રિક્સ A ઉલટાવી શકાય તેવું કહેવાય છે જો ત્યાં એક ચોરસ મેટ્રિક્સ X અસ્તિત્વમાં હોય જેમ કે AX=XA=E. (1)

પ્રત્યેક મેટ્રિક્સ X સંતોષકારક સમાનતા (1) ને મેટ્રિક્સ A નો વ્યસ્ત અથવા મેટ્રિક્સ A નો વ્યસ્ત કહેવામાં આવે છે. મેટ્રિક્સ A ના વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ A -1 સૂચવવામાં આવે છે

A A -1= A -1 A=E તે અનુસરે છે કે મેટ્રિક્સ A -1 માટે વ્યસ્ત હશે (A -1) -1 =A (3)

પ્રમેય:જો સમાન ક્રમના ચોરસ મેટ્રિસિસ A, B, C ઉલટાવી શકાય તેવું છે, તો તેમનું ઉત્પાદન પણ ઉલટાવી શકાય તેવું છે અને (ABC) -1 =C -1 B -1 A -1.

પુરાવો: A(B(CC -1)B -1)A -1 =E અને C -1 (B -1 (A -1 A)B)C=E (h.t.d.)

કોઈપણ કુદરતી m માટે, વ્યાખ્યા પ્રમાણે, A m = A*A*…*A – m-વાર.

વ્યાખ્યા પ્રમાણે, A 0 = E.

વ્યાખ્યા:દરેક ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સ A, A -2 =A -1 *A -1 માટે; A -3 = A -1 *A -1 *A -1 (4)

(3) અને (4) માંથી તે અનુસરે છે કે દરેક ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સ A અને કોઈપણ પૂર્ણાંક p અને q માટે આપણી પાસે છે સામાન્ય નિયમોડિગ્રી સાથેની ક્રિયાઓ:

A r A q =A r+ q

(AB) p =A p B p જો AB=BA

(A p) q =A p*q

12. સાબિત કરો કે ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સને સ્થાનાંતરિત કરવાના પરિણામે, આપણે ફરીથી ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ અને ( એ ’) -1 =( એ -1 )’.

પ્રમેય:ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સ A ને સ્થાનાંતરિત કરવાના પરિણામે, આપણે ફરીથી એક ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સ અને (A’) -1 = (A -1)’ મેળવીએ છીએ.

પુરાવો:ચાલો AX=XA=E સંબંધમાં સ્થાનાંતરણના નિયમો લાગુ કરીએ:

(AH)'=(HA)'=E'

A'X'=X'A'=E

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે (A’) -1 = X’=(A -1)’(h.t.c.)

13. બ્લોક મેટ્રિસિસ. બ્લોક મેટ્રિસીસનો ઉમેરો અને ગુણાકાર. અર્ધ-ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક પર પ્રમેય.

લંબચોરસ મેટ્રિક્સ A ને લંબચોરસ કોષો (બ્લોક) માં ઊભી અને આડી રેખાઓ દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય છે. ખાસ કરીને, મેટ્રિક્સને માત્ર આડી અથવા માત્ર ઊભી રેખાઓ દ્વારા વિભાજિત કરી શકાય છે. (A α,β) s , t – બ્લોક મેટ્રિક્સ. સમાન પરિમાણના અને બ્લોક્સમાં સમાન પાર્ટીશન સાથેના બે મેટ્રિસિસ A અને B ને ધ્યાનમાં લો. અનુરૂપ બ્લોક્સ A α,β અને B α,β સમાન પરિમાણ ધરાવે છે m α x n β , α=1..s, β=1..t. પછી, મેટ્રિક્સ ઉમેરણના નિયમ અનુસાર, બ્લોક્સમાં સમાન પાર્ટીશન સાથે સમાન કદના બ્લોક મેટ્રિસીસ ઉમેરવાની કામગીરી બરાબર એ જ રીતે કરવામાં આવે છે જેમ કે બ્લોક્સને બદલે સંખ્યાત્મક ઘટકો હોય.

મેટ્રિક્સના ગુણાકારના નિયમને મેટ્રિક્સને અવરોધિત કરવા માટે, તે જરૂરી છે કે પ્રથમ મેટ્રિક્સના બ્લોક્સના તમામ આડા કદ બીજા પરિબળના અનુરૂપ માપો સાથે સુસંગત હોય. બ્લોક A α,β ના સ્તંભોની સંખ્યા બ્લોક B β,c ની પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી છે.

Β 1 થી t માં બદલાય છે, c 1 થી u માં બદલાય છે. આમ, મેટ્રિસિસ A અને B નો ઔપચારિક રીતે ગુણાકાર કરવો શક્ય છે જાણે બ્લોકને બદલે સંખ્યાત્મક તત્વો હોય.

વ્યાખ્યા:એક ચોરસ મેટ્રિક્સ કે જેમાં મુખ્ય કર્ણની નીચે (ઉપર) સ્થિત તમામ ઘટકો 0 ની બરાબર હોય તેને ઉપલા (નીચલા) ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ કહેવાય છે. બ્લોક મેટ્રિસીસ માટે સમાન ખ્યાલો રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

વ્યાખ્યા:બ્લોક મેટ્રિક્સ A ને ઉપલા (નીચલા) અર્ધ-ત્રિકોણ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે જો બધા વિકર્ણ બ્લોક્સ અને મેટ્રિક્સ A પોતે જ ચોરસ મેટ્રિસિસ હોય, અને વિકર્ણ બ્લોકની નીચે (ઉપર) સ્થિત તમામ બિન-વિકર્ણ બ્લોક્સ શૂન્ય મેટ્રિસિસ હોય.

વ્યાખ્યા:બ્લોક મેટ્રિક્સ Aને અર્ધ-વિકર્ણ કહેવામાં આવે છે જો બધા વિકર્ણ બ્લોક્સ અને મેટ્રિક્સ A પોતે જ ચોરસ મેટ્રિસિસ હોય, અને તમામ બિન-વિકર્ણ બ્લોક્સ શૂન્ય મેટ્રિસિસ હોય.

પ્રમેય:અર્ધ-ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક નીચેના સંબંધ દ્વારા વિકર્ણ મેટ્રિક્સના નિર્ધારક સાથે સંબંધિત છે:

(♀) જ્યાં P એ ઉત્પાદન છે.

પુરાવો:ચાલો પહેલા અર્ધ-ત્રિકોણ મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લઈએ
જ્યાં A 12 = 0,
,
,

વ્યાખ્યા દ્વારા

કારણ કે અને 12 =0 પછી તમામ ઉત્પાદનોમાંથી ≠0 માત્ર તે જ હોઈ શકે જેમાં સૂચકાંકો હોય
. પરિણામે, બાકીના સૂચકાંકો માત્ર સેટમાંથી મૂલ્યો લઈ શકે છે
. આ શરતો હેઠળ, ક્રમચયમાં વ્યુત્ક્રમોની સંખ્યા
સમાન:

આને ધ્યાનમાં લેતા આપણે તે શોધીએ છીએ

તે તેને અનુસરે છે

માં વિચારણા સામાન્ય કેસઅર્ધ-ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ

મેટ્રિક્સની જેમ
જ્યાં

(*) મુજબ આપણી પાસે હશે
. મેટ્રિક્સ
ફરીથી અર્ધ-ત્રિકોણાકાર. તેના પર સમાન ઓપરેશન કર્યા પછી, અમને મળે છે
. (p-1) આવા પગલાઓ પછી આપણે (♀) પર પહોંચીએ છીએ.

સમાનતા (♀) ઉપલા અર્ધ-ત્રિકોણ મેટ્રિક્સ (વગેરે) ના સંબંધમાં સમાન રીતે સાબિત થાય છે.

પ્રકરણ 1
મેટ્રિસીસ અને નિર્ધારકો

આ પ્રકરણમાં, અમે મેટ્રિસિસ તરીકે ઓળખાતી સંખ્યાઓના કોષ્ટકોનો અભ્યાસ કરીએ છીએ, જે ભવિષ્યમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. અહીં મેટ્રિસિસ પરની મૂળભૂત કામગીરી રજૂ કરવામાં આવી છે અને કહેવાતા નિર્ધારકોના ગુણધર્મો, જે મુખ્ય છે સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા ચોરસ મેટ્રિસિસ.

§ 1. મેટ્રિસિસ

1. મેટ્રિક્સનો ખ્યાલ. મેટ્રિક્સ એ સંખ્યાઓની લંબચોરસ કોષ્ટક છે જેમાં m પંક્તિઓની ચોક્કસ સંખ્યા અને n કૉલમ્સની ચોક્કસ સંખ્યા હોય છે. પ્રકાર નંબરોને મેટ્રિક્સ ઓર્ડર કહેવામાં આવે છે. જો m = n હોય, તો મેટ્રિક્સને ચોરસ કહેવામાં આવે છે, અને સંખ્યા m = n એ તેનો ક્રમ છે. ભવિષ્યમાં, મેટ્રિક્સ લખવા માટે ડબલ ડેશ અથવા કૌંસનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે:

જો કે, માટે ટૂંકા હોદ્દોમેટ્રિસીસ ઘણીવાર એક મોટા લેટિન અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે, A) અથવા પ્રતીક ║ નો ઉપયોગ કરશે a ij ║, અને કેટલીકવાર સમજૂતી સાથે:
આ મેટ્રિક્સમાં સમાવિષ્ટ ij સંખ્યાઓને તેના તત્વો કહેવામાં આવે છે. એન્ટ્રીમાં ij - પ્રથમ અનુક્રમણિકા i નો અર્થ પંક્તિ નંબર છે, અને બીજી અનુક્રમણિકા j નો અર્થ કૉલમ નંબર છે.
ચોરસ મેટ્રિક્સના કિસ્સામાં

મુખ્ય અને ગૌણ કર્ણની વિભાવનાઓ રજૂ કરવામાં આવી છે. મુખ્ય કર્ણમેટ્રિક્સ (1.1) ને ડાબી બાજુથી આવતા કર્ણ a 11 a 22 ...a nn કહેવાય છે ટોચનો ખૂણોઆ મેટ્રિક્સના તેના નીચલા જમણા ખૂણે. બાજુ કર્ણસમાન મેટ્રિક્સને કર્ણ કહેવાય છે a n1 a (n-1)2 ...a 1n, નીચલા ડાબા ખૂણેથી ઉપરના જમણા ખૂણે જાય છે.

2. મેટ્રિસિસ અને તેમની મિલકતો પર મૂળભૂત કામગીરી.સૌ પ્રથમ, ચાલો બે મેટ્રિસિસની ગણતરી કરવા માટે સંમત થઈએ સમાન, જો આ મેટ્રિસીસ સમાન ઓર્ડર ધરાવે છે અને તેના તમામ અનુરૂપ ઘટકો સમાન છે.
ચાલો મેટ્રિસિસ પરની મૂળભૂત કામગીરીને વ્યાખ્યાયિત કરવા આગળ વધીએ.
એ) મેટ્રિક્સ ઉમેરો.રકમબે મેટ્રિસિસ A = ║ a ij ║(i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) અને B = (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,... , n) સમાન ક્રમના m અને n એ સમાન ક્રમના m અને n તત્વોના મેટ્રિક્સ C= (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) કહેવાય છે. c ij - જે સમાન છે

C ij = a ij + b ij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,... , n ) (1.2

બે મેટ્રિસિસનો સરવાળો દર્શાવવા માટે, સંકેત C = A + B નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જે મેટ્રિસિસના સરવાળાને કંપોઝ કરે છે વધુમાં. તેથી, વ્યાખ્યા દ્વારા

મેટ્રિક્સના સરવાળાની વ્યાખ્યાથી, અથવા વધુ સ્પષ્ટ રીતે, સૂત્ર (1.2) માંથી, તે તરત જ અનુસરે છે કે મેટ્રિક્સ ઉમેરણની કામગીરીમાં સરવાળો કામગીરી જેવા જ ગુણધર્મો છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, એટલે કે:
1) વિનિમયાત્મક મિલકત: A + B = B + A;
2) સહયોગી મિલકત: (A + B) + C = A + (B + C).
આ ગુણધર્મો તમને બે અથવા ઉમેરતી વખતે મેટ્રિસિસની શરતોના ક્રમ વિશે ચિંતા ન કરવાની મંજૂરી આપે છે વધુમેટ્રિસિસ

b) સંખ્યા વડે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર. કામમેટ્રિક્સ A = ║ a ij ║(i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,... , n) થી વાસ્તવિક
સંખ્યા λ ને મેટ્રિક્સ C = (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) કહેવામાં આવે છે, જેનાં ઘટકો c ij સમાન છે

c ij = λ a ij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,... , n ) (1.3)

સંખ્યા દ્વારા મેટ્રિક્સના ઉત્પાદનને દર્શાવવા માટે, સંકેત C = λ A અથવા C = Aλ નો ઉપયોગ થાય છે. સંખ્યા દ્વારા મેટ્રિક્સના ગુણાંકને કંપોઝ કરવાની ક્રિયાને આ સંખ્યા દ્વારા મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે. સીધા સૂત્ર (1.3) પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે મેટ્રિક્સને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાથી નીચેના ગુણધર્મો છે:
1) સંખ્યાત્મક પરિબળના સંદર્ભમાં સંયુક્ત મિલકત: (λ µ )A = λ ( µ એ);

2) વિતરણ મિલકતમેટ્રિસિસના સરવાળા અંગે: λ (A + B) = λ A + λ B;
3) સંખ્યાઓના સરવાળાને લગતી વિતરણ મિલકત: (λ + µ )A = λ A + µ એ.
ટિપ્પણી. સમાન ક્રમના બે મેટ્રિક્સ A અને B ના તફાવતને સમાન ક્રમના m અને n નું મેટ્રિક્સ C કહેવું સ્વાભાવિક છે, જે મેટ્રિક્સ B સાથે સરવાળે મેટ્રિક્સ A આપે છે. બે મેટ્રિસના તફાવતને દર્શાવવા માટે, એક કુદરતી સંકેત વપરાય છે: C = A - B.
એ ચકાસવું ખૂબ જ સરળ છે કે બે મેટ્રિસિસ A અને B નો તફાવત C = A + (-1)B નિયમ દ્વારા મેળવી શકાય છે.
c) મેટ્રિક્સ ગુણાકાર. કામમેટ્રિક્સ A = ║ a ij ║(i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n), મેટ્રિક્સ B = (i = 1, 2,.. પર અનુક્રમે m અને n ની સમાન ઓર્ડર્સ ધરાવે છે. ., n ; j = 1, 2,..., p), અનુક્રમે n અને p ના સમાન ઓર્ડર ધરાવતા, મેટ્રિક્સ C= (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,... , p), અનુક્રમે m અને p ના સમાન ઓર્ડર ધરાવતા અને સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત તત્વો c ij

મેટ્રિક્સ A અને મેટ્રિક્સ B નું ઉત્પાદન દર્શાવવા માટે, સંકેત C = A - B નો ઉપયોગ કરો. મેટ્રિક્સ A અને મેટ્રિક્સ B ના ઉત્પાદનની રચનાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે. ગુણાકારઆ મેટ્રિસિસ. ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે મેટ્રિક્સ A ને દરેક મેટ્રિક્સ B દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાતો નથી: તે જરૂરી છે કે મેટ્રિક્સ A ના કૉલમની સંખ્યા મેટ્રિક્સ B ની પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી હોય.
ખાસ કરીને, A B અને B A બંને ઉત્પાદનો માત્ર ત્યારે જ નક્કી કરી શકાય છે જ્યારે કૉલમ A ની સંખ્યા પંક્તિઓ B ની સંખ્યા સાથે એકરુપ હોય, અને પંક્તિઓ A ની સંખ્યા B કૉલમની સંખ્યા સાથે એકરુપ હોય. આ કિસ્સામાં, બંને મેટ્રિસિસ A - B અને B - A ચોરસ હશે, પરંતુ તેમના ઓર્ડર, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, અલગ હશે. A B અને B A બંને ઉત્પાદનોને માત્ર વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે જ નહીં, પરંતુ સમાન ક્રમમાં પણ રાખવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે બંને મેટ્રિસિસ A અને B હોવી જોઈએ. ચોરસ મેટ્રિસિસસમાન ક્રમમાં.
ફોર્મ્યુલા (1.4) એ મેટ્રિક્સ C ના ઘટકોની રચના માટેનો એક નિયમ છે, જે મેટ્રિક્સ A અને મેટ્રિક્સ B નું ઉત્પાદન છે. આ નિયમ મૌખિક રીતે પણ ઘડી શકાય છે: તત્વ c ij , આંતરછેદ પર ઊભાi -મી લીટીઓ અનેj- મી મેટ્રિક્સ કૉલમ

C = A B, સરવાળો સમાનઅનુરૂપ તત્વોના જોડીમાં ઉત્પાદનો i-th લાઇનમેટ્રિક્સ A અને મેટ્રિક્સ B ની મી કૉલમ.
આ નિયમના ઉપયોગના ઉદાહરણ તરીકે, અમે બીજા ક્રમના ચોરસ મેટ્રિસિસના ગુણાકાર માટેનું સૂત્ર રજૂ કરીએ છીએ.

સૂત્ર (1.4) પરથી તે અનુસરે છે નીચેના ગુણધર્મોમેટ્રિક્સ A અને મેટ્રિક્સ B નું ઉત્પાદન:
1) સહયોગી મિલકત: (AB)C = A(BC);
2) મેટ્રિસિસના સરવાળાને સંબંધિત વિતરિત મિલકત: (A + B) C = AC + BC અથવા A(B + C) = AB + AC.
વિતરણ મિલકત તરત જ સૂત્રો (1.4) અને (1.2) માંથી અનુસરે છે, અને સાબિત કરે છે સહયોગી મિલકતએ નોંધવું પૂરતું છે કે જો A = ║ a ij ║(i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n), B = (i = 1, 2,..., n; j = 1, 2,... , p ), C = (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,... , p ), પછી
(1.4) ના કારણે મેટ્રિક્સ (AB)C નું તત્વ d il બરાબર છે અને મેટ્રિક્સ A(BC) નું તત્વ d il " બરાબર છે , પરંતુ પછી સમાનતા d il = d il " j અને k ના સંદર્ભમાં સમીકરણના ક્રમમાં ફેરફારની સંભાવનાને અનુસરે છે.
મેટ્રિક્સ A અને મેટ્રિક્સ B ના ઉત્પાદનના ક્રમચય ગુણધર્મ વિશેનો પ્રશ્ન એ જ ક્રમના ચોરસ મેટ્રિસ A અને B માટે જ અર્થપૂર્ણ છે (માટે, ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, ફક્ત આવા મેટ્રિક્સ A અને B માટે બંને ઉત્પાદનો AB અને BA છે. વ્યાખ્યાયિત અને સમાન ઓર્ડરના મેટ્રિસિસ છે). પ્રાથમિક ઉદાહરણો દર્શાવે છે કે સમાન ક્રમના બે ચોરસ મેટ્રિસના ઉત્પાદનમાં, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, કોમ્યુટેશન પ્રોપર્ટી હોતી નથી. હકીકતમાં, જો આપણે મૂકીએ

જો કે, અમે અહીં મહત્વના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ સૂચવીશું કે જેમાં કોમ્યુટેશન પ્રોપર્ટી સાચી છે (જેના ઉત્પાદન માટેના બે મેટ્રિસીસ કે જેમાં કોમ્યુટેશન પ્રોપર્ટી સાચી છે તેને સામાન્ય રીતે કમ્યુટીંગ કહેવામાં આવે છે). ચોરસ મેટ્રિસિસમાં, અમે કહેવાતા વર્ગને પ્રકાશિત કરીએ છીએ કર્ણમેટ્રિસીસ, જેમાંના દરેક તત્વો શૂન્યની બરાબર મુખ્ય કર્ણની બહાર સ્થિત છે. ક્રમ n ના દરેક કર્ણ મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપ છે

જ્યાં d 1, d 2,..., d n એ કોઈપણ સંખ્યાઓ છે. તે જોવાનું સરળ છે કે જો આ બધી સંખ્યાઓ એકબીજાની સમાન હોય, એટલે કે d 1 = d 2= ...= d n = d, તો પછી કોઈપણ માટે
ક્રમ n ના ચોરસ મેટ્રિક્સ A માટે, સમાનતા AD = DA ધરાવે છે. વાસ્તવમાં, ચાલો Cij અને cf(j એ તત્વોને અનુક્રમે AD અને DA મેટ્રિસિસના i-th પંક્તિ અને j-ro કૉલમના આંતરછેદ પર સ્થિત તત્વો દ્વારા સૂચવીએ. પછી સમાનતા (1.4) અને માંથી મેટ્રિક્સ Dનું સ્વરૂપ આપણે મેળવીએ છીએ કે c ij =a ij d j = a ij d , c ij " = d i a ij = da ij (1.6), એટલે કે c ij = c ij " .

d 1 = d 2= ...= d n એકરૂપ તત્વો સાથેના તમામ કર્ણ મેટ્રિસીસમાં (1.5) મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકાબે મેટ્રિક્સ રમે છે. આ મેટ્રિસિસમાંથી પ્રથમ d = 1 માટે મેળવવામાં આવે છે અને તેને કહેવામાં આવે છે nth ઓર્ડર ઓળખ મેટ્રિક્સઅને પ્રતીક E દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. બીજું મેટ્રિક્સ d = 0 પર મેળવવામાં આવે છે અને તેને કહેવામાં આવે છે nમા ક્રમનું શૂન્ય મેટ્રિક્સઅને પ્રતીક O દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આમ,

ઉપર જે સાબિત થયું છે તેના આધારે, AE = EA અને AO = O A. વધુમાં, સૂત્રો (1.6) પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે

AE = EA = E, AO = OA = O. (1.7)

પ્રથમ સૂત્ર (1.7) ઓળખ મેટ્રિક્સ E ની વિશેષ ભૂમિકા દર્શાવે છે, વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરતી વખતે નંબર 1 દ્વારા ભજવવામાં આવતી ભૂમિકા જેવી જ. શૂન્ય મેટ્રિક્સ O ની વિશેષ ભૂમિકા માટે, તે માત્ર સૂત્રોના બીજા (1.7) દ્વારા જ નહીં, પણ પ્રાથમિક ચકાસણી યોગ્ય સમાનતા A + O = O + A = A (આ સમાનતા એ સૂત્રનું સીધું પરિણામ છે) દ્વારા પણ પ્રગટ થાય છે. (1.2 ટકા).
નિષ્કર્ષમાં, અમે નોંધીએ છીએ કે શૂન્ય મેટ્રિક્સનો ખ્યાલ નોન-સ્ક્વેર મેટ્રિક્સ માટે પણ રજૂ કરી શકાય છે (શૂન્ય મેટ્રિક્સ એ કોઈપણ મેટ્રિક્સ છે જેના તત્વો બધા શૂન્ય છે).
3. બ્લોક મેટ્રિસિસ.ધારો કે અમુક મેટ્રિક્સ A = ║ a ij ║આડી અને ઊભી રેખાઓનો ઉપયોગ કરીને, તેને અલગ લંબચોરસ કોષોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જેમાંથી દરેક નાના કદના મેટ્રિક્સ છે અને તેને કહેવામાં આવે છે. મૂળ મેટ્રિક્સનો બ્લોક. આ કિસ્સામાં, મૂળ મેટ્રિક્સ A ને કેટલાક નવા (કહેવાતા બ્લોક) મેટ્રિક્સ A = ║ તરીકે ધ્યાનમાં લેવાનું શક્ય બને છે. એ αβ ║, તત્વો એ αβજે આ બ્લોક્સ સેવા આપે છે.
અમે આ તત્વોને મોટા તરીકે દર્શાવીએ છીએ લેટિન અક્ષર, ભારપૂર્વક જણાવવા માટે કે તેઓ સામાન્ય રીતે કહીએ તો, મેટ્રિસિસ છે, સંખ્યાઓ નથી, અને (સામાન્ય આંકડાકીય તત્વોની જેમ) અમે બે સૂચકાંકો પ્રદાન કરીએ છીએ, જેમાંથી પ્રથમ "બ્લોક" પંક્તિની સંખ્યા સૂચવે છે, અને બીજી "બ્લોક" ની સંખ્યા દર્શાવે છે. " કૉલમ. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ

બ્લોક મેટ્રિક્સ તરીકે ગણી શકાય, જેનાં ઘટકો નીચેના બ્લોક્સ છે:

નોંધપાત્ર હકીકત એ છે કે બ્લોક મેટ્રિસીસ સાથેની મુખ્ય કામગીરી એ જ નિયમો અનુસાર કરવામાં આવે છે જેના દ્વારા તે સામાન્ય આંકડાકીય મેટ્રિસિસ સાથે કરવામાં આવે છે, ફક્ત બ્લોક્સ તત્વો તરીકે કાર્ય કરે છે.
હકીકતમાં, જો મેટ્રિક્સ A = ║ હોય તો તે તપાસવું સરળ છે a ij ║બ્લોક-લેવલ છે અને તેમાં બ્લોક-લેવલ તત્વો છે એ αβ, પછી બ્લોક્સમાં સમાન પાર્ટીશન સાથે મેટ્રિક્સ λ A = ║λ a ij ║બ્લોક તત્વોને અનુરૂપ λ એ αβ(આ કિસ્સામાં, બ્લોક તત્વો λ એ αβમેટ્રિક્સ ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને જાતે ગણતરી કરવામાં આવે છે એ αβસંખ્યા દ્વારા λ).
તે તપાસવું એટલું જ સરળ છે કે જો મેટ્રિસિસ A અને Bમાં સમાન ક્રમ હોય અને તે જ રીતે બ્લોક્સમાં વિભાજિત હોય, તો મેટ્રિસિસ A અને Bનો સરવાળો તત્વો સાથેના બ્લોક મેટ્રિક્સને અનુરૂપ છે. એ αβ = એ αβ + બી αβ(અહીં એ αβઅને બી αβ- મેટ્રિસિસ A અને B ના બ્લોક તત્વો).
છેલ્લે, A અને B ને બે બ્લોક મેટ્રિસિસ થવા દો જેમ કે દરેક બ્લોકની કૉલમની સંખ્યા એ αβબ્લોક B માં રેખાઓની સંખ્યા જેટલી β γ (તેથી
કોઈપણ માટે α, β અને γ મેટ્રિસિસનું ઉત્પાદન વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે એ αβ IN β γ ). પછી ઉત્પાદન C = A B એ ઘટકો C સાથેનું મેટ્રિક્સ છે α γ , સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત

આ સૂત્રને સાબિત કરવા માટે, મેટ્રિસિસ A અને B ના સામાન્ય (સંખ્યાત્મક) ઘટકોની દ્રષ્ટિએ તેના ડાબા અને જમણા ભાગો લખવા માટે પૂરતું છે (અમે આને રીડર પર છોડીએ છીએ).
બ્લોક મેટ્રિસિસના ઉપયોગના ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ચોરસ મેટ્રિસિસના કહેવાતા સીધા સરવાળાના ખ્યાલ પર ધ્યાન આપીએ. સીધી રકમઓર્ડર m અને n ના બે ચોરસ મેટ્રિક્સ A અને B, અનુક્રમે, ક્રમ m + n નો ચોરસ બ્લોક મેટ્રિક્સ C કહેવાય છે, જે બરાબર છે. મેટ્રિસિસ A અને B નો સીધો સરવાળો દર્શાવવા માટે, સંકેત C = A નો ઉપયોગ થાય છે

જ્યારે મકાન સમાંતર પદ્ધતિઓમેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરવા માટે, મેટ્રિસિસને પંક્તિઓ અને કૉલમના સેટ તરીકે ધ્યાનમાં લેવાની સાથે, મેટ્રિસિસના બ્લોક પ્રતિનિધિત્વનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ચાલો નજીકથી નજર કરીએ આ પદ્ધતિગણતરીઓનું સંગઠન.

7.4.1. પેટા કાર્યો વ્યાખ્યાયિત

મેટ્રિક્સને પાર્ટીશન કરવા માટેની બ્લોક સ્કીમનું પ્રથમ વિભાગ "વેક્ટર દ્વારા મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરવાની સમાંતર પદ્ધતિઓ" માં વિગતવાર વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે. ડેટા ડિવિઝનની આ પદ્ધતિ સાથે, મૂળ મેટ્રિસિસ A, B અને પરિણામી મેટ્રિક્સ C બ્લોકના સેટ તરીકે રજૂ થાય છે. નીચેની સામગ્રીની સરળ રજૂઆત માટે, અમે આગળ ધારીશું કે તમામ મેટ્રિસિસ nxn કદના ચોરસ છે, બ્લોક્સની સંખ્યા આડી અને ઊભી રીતે સમાન છે અને q ની બરાબર છે (એટલે ​​​​કે, બધા બ્લોકનું કદ kxk, k બરાબર છે. =n/q). ડેટાની આ રજૂઆત સાથે, મેટ્રિક્સ કામગીરી મેટ્રિક્સ ગુણાકારબ્લોક સ્વરૂપમાં A અને B ને નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

જ્યાં મેટ્રિક્સ C ના દરેક બ્લોક C ij ને અભિવ્યક્તિ અનુસાર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

મૂળભૂત પેટા કાર્યોને નિર્ધારિત કરવા માટે ડેટાને બ્લોકમાં પાર્ટીશન કરતી વખતે, મેટ્રિક્સ બ્લોક્સ પર કરવામાં આવતી ગણતરીઓને આધારે લેવાનું સ્વાભાવિક લાગે છે. ઉપરોક્ત બાબતોને ધ્યાનમાં લેતા, અમે મેટ્રિક્સ C ના એક બ્લોકના તમામ ઘટકોની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયા તરીકે મૂળભૂત પેટા કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.

તમામ જરૂરી ગણતરીઓ કરવા માટે, અંતર્ગત સબટાસ્ક પાસે મેટ્રિક્સ Aની પંક્તિઓના યોગ્ય સેટ અને મેટ્રિક્સ Bના કૉલમ્સની ઍક્સેસ હોવી આવશ્યક છે. દરેક સબટાસ્કમાં તમામ જરૂરી ડેટા મૂકવાથી અનિવાર્યપણે ડુપ્લિકેશન થશે અને વપરાયેલી મેમરીની માત્રામાં નોંધપાત્ર વધારો થશે. પરિણામે, ગણતરીઓ એવી રીતે ગોઠવવી જોઈએ કે સમયની દરેક વર્તમાન ક્ષણે પેટા કાર્યોમાં ગણતરી માટે જરૂરી ડેટાનો માત્ર એક ભાગ હોય છે, અને બાકીના ડેટાની ઍક્સેસ પ્રોસેસર્સ વચ્ચે ડેટા સ્થાનાંતરિત કરીને પ્રદાન કરવામાં આવે છે. એક સંભવિત અભિગમ છે ફોક્સ અલ્ગોરિધમ ( શિયાળ) – આ પેટા વિભાગમાં વધુ ચર્ચા કરી છે. બીજી પદ્ધતિ કેનન અલ્ગોરિધમ છે ( તોપ) – પેટાકલમ 7.5 માં આપેલ છે.

7.4.2. માહિતી નિર્ભરતાની ઓળખ

તેથી, બ્લોક ડેટા ડિવિઝન સાથે મેટ્રિક્સ ગુણાકાર માટે સમાંતર ગણતરીઓ માટેનો આધાર એ એક અભિગમ છે જેમાં મૂળભૂત પેટાકાર્યો મેટ્રિક્સ C ના વ્યક્તિગત બ્લોક્સની ગણતરી માટે જવાબદાર છે અને તે જ સમયે, ગણતરીના દરેક પુનરાવૃત્તિ પરના પેટા કાર્યોમાં માત્ર એક જ છે. મૂળ મેટ્રિસિસ A અને B નો એક બ્લોક. સબટાસ્કને નંબર આપવા માટે, અમે સબટાસ્કમાં મૂકવામાં આવેલા મેટ્રિક્સ C ના બ્લોક્સના સૂચકાંકોનો ઉપયોગ કરીશું, એટલે કે. સબટાસ્ક (i,j) બ્લોક C ij ની ગણતરી કરવા માટે જવાબદાર છે - આમ, સબટાસ્કનો સમૂહ મેટ્રિક્સ C ના બ્લોક પ્રતિનિધિત્વની રચનાને અનુરૂપ ચોરસ જાળી બનાવે છે.

આવી પરિસ્થિતિઓમાં ગણતરીઓ ગોઠવવાની સંભવિત રીત એ જાણીતીનો ઉપયોગ કરવાનો છે ફોક્સ અલ્ગોરિધમનો (શિયાળ) - જુઓ, ઉદાહરણ તરીકે, [ [ [34] , [51] ].

ફોક્સ એલ્ગોરિધમ અનુસાર, ગણતરી દરમિયાન, દરેક મૂળભૂત સબટાસ્ક (i,j) પર ચાર મેટ્રિક્સ બ્લોક્સ સ્થિત છે:

• મેટ્રિક્સ C ના બ્લોક C ij, સબટાસ્ક દ્વારા ગણવામાં આવે છે;
• મેટ્રિક્સ A ના બ્લોક A ij, ગણતરીની શરૂઆત પહેલાં સબટાસ્કમાં મૂકવામાં આવે છે;
• ગણતરી દરમિયાન સબટાસ્ક દ્વારા મેળવેલ મેટ્રિસિસ A અને B ના બ્લોક્સ A" ij, B" ij.

અમલ સમાંતર પદ્ધતિસમાવેશ થાય છે:

• પ્રારંભિક તબક્કો, જેમાં બ્લોક્સ A ij , B ij દરેક સબટાસ્ક (i,j) માં સ્થાનાંતરિત થાય છે અને બ્લોક્સ C ij બધા પેટા કાર્ય પર શૂન્ય પર ફરીથી સેટ થાય છે;
• ગણતરીનો તબક્કો, જેની અંદર દરેક પુનરાવર્તન પર l, 0<=l

ફિગમાં સમાંતર પદ્ધતિના આ નિયમો સમજાવવા માટે. આકૃતિ 7.6 ગણતરીના તબક્કાના પુનરાવર્તનો દરમિયાન દરેક પેટા કાર્યમાં બ્લોકની સ્થિતિ બતાવે છે (પેટા કાર્યોની 2x2 જાળી માટે).

7.4.3. પ્રોસેસરોમાં પેટા કાર્યનું સ્કેલિંગ અને વિતરણ

માનવામાં આવતી સમાંતર કમ્પ્યુટિંગ યોજનામાં, બ્લોકની સંખ્યા બ્લોકના કદની પસંદગીના આધારે બદલાઈ શકે છે - આ માપો એવી રીતે પસંદ કરી શકાય છે કે મૂળભૂત પેટા કાર્યોની કુલ સંખ્યા પ્રોસેસર્સની સંખ્યા સાથે એકરુપ હોય. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, સૌથી સરળ કિસ્સામાં, જ્યારે પ્રોસેસર્સની સંખ્યા ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે (એટલે ​​​​કે, એક સંપૂર્ણ ચોરસ છે), તો વ્યક્તિ મેટ્રિસિસમાં ઊભી અને આડી રીતે સમાન (એટલે ​​​​કે) બ્લોક્સની સંખ્યા પસંદ કરી શકે છે. બ્લોક્સની સંખ્યા નક્કી કરવાની આ પદ્ધતિ એ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે દરેક પેટા-કાર્યમાં ગણતરીની માત્રા સમાન હોય છે અને ત્યાંથી પ્રોસેસરો વચ્ચેના કમ્પ્યુટિંગ લોડનું સંપૂર્ણ સંતુલન પ્રાપ્ત થાય છે. વધુ સામાન્ય કિસ્સામાં, પ્રોસેસર્સ અને મેટ્રિક્સ કદની મનસ્વી સંખ્યા સાથે સંતુલન ગણતરીઓસંપૂર્ણપણે સમાન હોવા કરતાં અલગ હોઈ શકે છે, પરંતુ, તેમ છતાં, પરિમાણોની યોગ્ય પસંદગી સાથે, તે જરૂરી ચોકસાઈની અંદર પ્રોસેસરો વચ્ચે સમાનરૂપે વિતરિત કરી શકાય છે.

ફોક્સ અલ્ગોરિધમને અસરકારક રીતે ચલાવવા માટે, જેમાં મૂળભૂત પેટા કાર્યો ચોરસ જાળીના રૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે અને ગણતરી દરમિયાન, સબટાસ્કની જાળીની પંક્તિઓ અને કૉલમ્સ સાથેના બ્લોક્સને સ્થાનાંતરિત કરવાની કામગીરી કરવામાં આવે છે, સૌથી પર્યાપ્ત ઉકેલ એ છે કે તેને ગોઠવવું. ચોરસ જાળીના રૂપમાં પણ ઉપલબ્ધ પ્રોસેસર્સનો સમૂહ. આ કિસ્સામાં, ઘણા પ્રોસેસરો પર સબટાસ્કના સેટને સીધો મેપ કરવાનું શક્ય છે - બેઝ સબટાસ્ક (i,j) પ્રોસેસર Pi,j પર સ્થિત હોવું જોઈએ. ડેટા ટ્રાન્સમિશન નેટવર્કનું જરૂરી માળખું ભૌતિક સ્તરે પ્રદાન કરી શકાય છે જો કમ્પ્યુટિંગ સિસ્ટમની ટોપોલોજીમાં જાળી અથવા સંપૂર્ણ ગ્રાફનું સ્વરૂપ હોય.

7.4.4. પ્રદર્શન વિશ્લેષણ

ચાલો આ ફોક્સ અલ્ગોરિધમની કોમ્પ્યુટેશનલ જટિલતા નક્કી કરીએ. અંદાજોનું નિર્માણ અગાઉ કરવામાં આવેલી તમામ ધારણાઓની પરિપૂર્ણતાને આધીન થશે: તમામ મેટ્રિસિસ nxn કદના ચોરસ છે, બ્લોક્સની સંખ્યા આડી અને ઊભી રીતે સમાન છે અને q ની બરાબર છે (એટલે ​​​​કે, તમામ બ્લોકનું કદ kxk સમાન છે. , k=n/q), પ્રોસેસર્સ ચોરસ જાળી બનાવે છે અને તેમની સંખ્યા p=q 2 ની બરાબર છે.

પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, ફોક્સ અલ્ગોરિધમને તેના અમલીકરણ માટે q પુનરાવર્તનોની જરૂર છે, જે દરમિયાન દરેક પ્રોસેસર તેના મેટ્રિક્સ A અને B ના વર્તમાન બ્લોકનો ગુણાકાર કરે છે અને મેટ્રિક્સ C ના બ્લોકના વર્તમાન મૂલ્યમાં ગુણાકારના પરિણામો ઉમેરે છે. કરવામાં આવેલી ધારણાઓને ધ્યાનમાં લેતા, આ કેસમાં કરવામાં આવેલ કામગીરીની કુલ સંખ્યા n 3/p ના ક્રમની હશે. પરિણામે, અલ્ગોરિધમના પ્રવેગક અને કાર્યક્ષમતા સૂચકાંકો આ સ્વરૂપ ધરાવે છે:

એકંદર જટિલતા વિશ્લેષણ ફરીથી આદર્શ સમાંતર કમ્પ્યુટિંગ કાર્યક્ષમતા મેટ્રિક્સ પ્રદાન કરે છે. ચાલો આપણે મેળવેલા સંબંધોને સ્પષ્ટ કરીએ - આ માટે અમે અલ્ગોરિધમના કોમ્પ્યુટેશનલ ઑપરેશન્સની સંખ્યા વધુ ચોક્કસપણે સૂચવીશું અને અમલના ખર્ચને ધ્યાનમાં લઈશું. ડેટા ટ્રાન્સફર કામગીરીપ્રોસેસરો વચ્ચે.

ચાલો કોમ્પ્યુટેશનલ ઓપરેશન્સની સંખ્યા નક્કી કરીએ. અમલમાં મુશ્કેલી સ્કેલર ગુણાકારમેટ્રિક્સ B ના બ્લોકના સ્તંભ દીઠ મેટ્રિક્સ A ના બ્લોકની પંક્તિઓ 2(n/q)-1 તરીકે અંદાજી શકાય છે. બ્લોક્સમાં પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યા n/q ની બરાબર છે અને પરિણામે, બ્લોક ગુણાકારની ક્રિયાની જટિલતા (n 2 /p)(2n/q-1) ની બરાબર છે. બ્લોક્સ ઉમેરવા માટે n 2 /p કામગીરીની જરૂર છે. ઉપરોક્ત તમામ અભિવ્યક્તિઓ ધ્યાનમાં લેતા, ફોક્સ અલ્ગોરિધમના કોમ્પ્યુટેશનલ ઑપરેશન્સના અમલના સમયનો અંદાજ નીચે મુજબ કરી શકાય છે:

(યાદ કરો કે એક પ્રાથમિક સ્કેલર ઓપરેશન માટે અમલનો સમય છે).

ચાલો અમલીકરણ ખર્ચનો અંદાજ કાઢીએ ડેટા ટ્રાન્સફર કામગીરીપ્રોસેસરો વચ્ચે. અલ્ગોરિધમના દરેક પુનરાવૃત્તિ પર, બ્લોકનો ગુણાકાર કરતા પહેલા, પ્રોસેસર ગ્રીડની એક પંક્તિમાં એક પ્રોસેસર તેની પંક્તિના બાકીના પ્રોસેસરોને મેટ્રિક્સ A ના બ્લોક મોકલે છે. અગાઉ નોંધ્યું તેમ, હાયપરક્યુબ અથવા સંપૂર્ણ ગ્રાફના સ્વરૂપમાં નેટવર્ક ટોપોલોજી સાથે, આ કામગીરી લોગ 2 q સ્ટેપ્સમાં પૂર્ણ કરી શકાય છે, અને ટ્રાન્સમિટેડ બ્લોક્સનું વોલ્યુમ n 2 /p જેટલું છે. પરિણામે, હોકની મોડેલનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સ A ના બ્લોક્સને સ્થાનાંતરિત કરવાની કામગીરીના અમલના સમયનો અંદાજ આ રીતે કરી શકાય છે.

વિલંબ ક્યાં છે, ડેટા નેટવર્કનું થ્રુપુટ છે, અને w એ બાઇટ્સમાં મેટ્રિક્સ તત્વનું કદ છે. એવા કિસ્સામાં જ્યારે પ્રોસેસર ગ્રીડની પંક્તિઓની ટોપોલોજી એક રિંગ હોય, ત્યારે મેટ્રિક્સ A ના બ્લોક્સના ટ્રાન્સમિશન સમયનો અંદાજ કાઢવા માટેની અભિવ્યક્તિ આ સ્વરૂપ લે છે:

પછી, મેટ્રિક્સ બ્લોક્સનો ગુણાકાર કર્યા પછી, પ્રોસેસર્સ તેમના મેટ્રિક્સ B ના બ્લોક્સને પ્રોસેસર જાળીના કૉલમ સાથે અગાઉના પ્રોસેસરોમાં ટ્રાન્સમિટ કરે છે (કૉલમ્સમાંના પ્રથમ પ્રોસેસર્સ તેમના ડેટાને જાળીના કૉલમમાં છેલ્લા પ્રોસેસર્સને ટ્રાન્સમિટ કરે છે). આ કામગીરી પ્રોસેસરો દ્વારા સમાંતર રીતે કરી શકાય છે, અને આમ આવા સંચાર કામગીરીનો સમયગાળો છે:

(યાદ કરો કે પેરામીટર q પ્રોસેસર ગ્રીડનું કદ નક્કી કરે છે અને ).