જ્યારે ભેદભાવ કરનાર 0 હોય ત્યારે કેવી રીતે નક્કી કરવું. હંમેશા મૂડમાં રહો

ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઘણીવાર ઉકેલ દરમિયાન દેખાય છે વિવિધ કાર્યોભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિત. આ લેખમાં આપણે આ સમાનતાઓને કેવી રીતે હલ કરવી તે જોઈશું સાર્વત્રિક રીતે"ભેદભાવ કરનાર દ્વારા". પ્રાપ્ત જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો પણ લેખમાં આપવામાં આવ્યા છે.

આપણે કયા સમીકરણો વિશે વાત કરીશું?

નીચેની આકૃતિ એક સૂત્ર બતાવે છે જેમાં x એ અજ્ઞાત ચલ છે અને લેટિન અક્ષરો a, b, c કેટલીક જાણીતી સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

આમાંના દરેક પ્રતીકને ગુણાંક કહેવામાં આવે છે. જેમ તમે જોઈ શકો છો, નંબર "a" ચલ x વર્ગ પહેલા દેખાય છે. આ મહત્તમ ડિગ્રીપ્રસ્તુત અભિવ્યક્તિની, તેથી જ તેને ચતુર્ભુજ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. તેનું બીજું નામ વારંવાર વપરાય છે: બીજા ક્રમનું સમીકરણ. એક પોતે મૂલ્ય છે ચોરસ ગુણાંક(ચલ સ્ક્વેર સાથે ઊભા રહેવું), b એ એક રેખીય ગુણાંક છે (તે પ્રથમ ઘાતમાં ઉભા કરાયેલા ચલની બાજુમાં સ્થિત છે), છેલ્લે, સંખ્યા c છે મફત સભ્ય.

નોંધ કરો કે ઉપરની આકૃતિમાં દર્શાવેલ સમીકરણનો પ્રકાર સામાન્ય શાસ્ત્રીય ચતુર્ભુજ અભિવ્યક્તિ છે. તે ઉપરાંત, બીજા બીજા ક્રમના સમીકરણો છે જેમાં b અને c ગુણાંક શૂન્ય હોઈ શકે છે.

જ્યારે પ્રશ્નમાં સમાનતાને ઉકેલવા માટે કાર્ય સુયોજિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેનો અર્થ એ છે કે x ચલના આવા મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે જે તેને સંતોષે. અહીં, તમારે જે પ્રથમ વસ્તુ યાદ રાખવાની જરૂર છે તે નીચેની વસ્તુ છે: કારણ કે X ની મહત્તમ ડિગ્રી 2 છે આ પ્રકારઅભિવ્યક્તિઓમાં 2 થી વધુ ઉકેલો હોઈ શકતા નથી. આનો અર્થ એ છે કે જો, સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, x ની 2 કિંમતો મળી આવે જે તેને સંતોષે છે, તો પછી તમે ખાતરી કરી શકો છો કે ત્યાં કોઈ ત્રીજો નંબર નથી, તેને x માટે બદલીને, સમાનતા પણ સાચી હશે. ગણિતમાં સમીકરણના ઉકેલોને તેના મૂળ કહેવામાં આવે છે.

બીજા ક્રમના સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

આ પ્રકારના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે તેમના વિશેના કેટલાક સિદ્ધાંતનું જ્ઞાન જરૂરી છે. IN શાળા અભ્યાસક્રમબીજગણિત 4 ધ્યાનમાં લે છે વિવિધ પદ્ધતિઓઉકેલો ચાલો તેમને સૂચિબદ્ધ કરીએ:

• ફેક્ટરાઇઝેશનનો ઉપયોગ કરીને;
• સંપૂર્ણ ચોરસ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને;
• અનુરૂપ ચતુર્ભુજ કાર્યનો ગ્રાફ લાગુ કરીને;
• ભેદભાવપૂર્ણ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને.

પ્રથમ પદ્ધતિનો ફાયદો એ તેની સરળતા છે; જો કે, તેનો ઉપયોગ તમામ સમીકરણો માટે કરી શકાતો નથી. બીજી પદ્ધતિ સાર્વત્રિક છે, પરંતુ કંઈક અંશે બોજારૂપ છે. ત્રીજી પદ્ધતિ તેની સ્પષ્ટતા દ્વારા અલગ પડે છે, પરંતુ તે હંમેશા અનુકૂળ અને લાગુ પડતી નથી. અને છેલ્લે, ભેદભાવપૂર્ણ સમીકરણનો ઉપયોગ કરવો એ કોઈ પણ બીજા ક્રમના સમીકરણના મૂળ શોધવાનો સાર્વત્રિક અને એકદમ સરળ રસ્તો છે. તેથી, આ લેખમાં આપણે ફક્ત તેને જ ધ્યાનમાં લઈશું.

સમીકરણના મૂળ મેળવવા માટેનું સૂત્ર

ચાલો તરફ વળીએ સામાન્ય દેખાવ ચતુર્ભુજ સમીકરણ. ચાલો તેને લખીએ: a*x²+ b*x + c =0. "ભેદભાવ દ્વારા" તેને હલ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા પહેલા, તમારે હંમેશા તેના લેખિત સ્વરૂપમાં સમાનતા લાવવી જોઈએ. એટલે કે, તેમાં ત્રણ પદો હોવા જોઈએ (અથવા જો b અથવા c 0 હોય તો ઓછા).

ઉદાહરણ તરીકે, જો ત્યાં કોઈ અભિવ્યક્તિ છે: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², તો તમારે પહેલા તેની તમામ શરતોને સમાનતાની એક બાજુએ ખસેડવી જોઈએ અને તેમાં x ચલ ધરાવતાં શબ્દો ઉમેરવા જોઈએ. સમાન શક્તિઓ.

IN આ કિસ્સામાંઆ ક્રિયા નીચેની અભિવ્યક્તિ તરફ દોરી જશે: -6*x²-4*x+8=0, જે સમીકરણ 6*x²+4*x-8=0 ની સમકક્ષ છે (અહીં આપણે તેની ડાબી અને જમણી બાજુનો ગુણાકાર કર્યો છે. -1 દ્વારા સમાનતા).

ઉપરના ઉદાહરણમાં, a = 6, b=4, c=-8. નોંધ કરો કે વિચારણા હેઠળની સમાનતાની તમામ શરતો હંમેશા એકસાથે સમાવવામાં આવે છે, તેથી જો “-” ચિહ્ન દેખાય, તો આનો અર્થ એ થાય કે અનુરૂપ ગુણાંક નકારાત્મક છે, જેમ કે આ કિસ્સામાં c નંબર.

આ મુદ્દાની તપાસ કર્યા પછી, ચાલો હવે સૂત્ર પર જ આગળ વધીએ, જે ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ મેળવવાનું શક્ય બનાવે છે. તે નીચેના ફોટામાં બતાવેલ એક જેવું લાગે છે.

જેમ કે આ અભિવ્યક્તિમાંથી જોઈ શકાય છે, તે તમને બે મૂળ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે (“±” ચિહ્ન પર ધ્યાન આપો). આ કરવા માટે, તેમાં b, c અને a ગુણાંકને બદલવા માટે તે પૂરતું છે.

ભેદભાવની વિભાવના

પાછલા ફકરામાં, એક સૂત્ર આપવામાં આવ્યું હતું જે તમને કોઈપણ બીજા-ક્રમના સમીકરણને ઝડપથી હલ કરવાની મંજૂરી આપે છે. તેમાં, આમૂલ અભિવ્યક્તિને ભેદભાવ કહેવામાં આવે છે, એટલે કે, D = b²-4*a*c.

સૂત્રનો આ ભાગ શા માટે પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યો છે, અને તે પણ છે યોગ્ય નામ? હકીકત એ છે કે ભેદભાવ સમીકરણના ત્રણેય ગુણાંકને એક જ અભિવ્યક્તિમાં જોડે છે. છેલ્લી હકીકતમતલબ કે તે સંપૂર્ણપણે મૂળ વિશેની માહિતી ધરાવે છે, જે નીચેની સૂચિમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે:

1. D>0: સમાનતા 2 ધરાવે છે વિવિધ ઉકેલો, જે બંને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
2. D=0: સમીકરણમાં માત્ર એક જ મૂળ છે, અને તે વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

ભેદભાવયુક્ત નિશ્ચય કાર્ય

ચાલો ભેદભાવ કરનારને કેવી રીતે શોધી શકાય તેનું એક સરળ ઉદાહરણ આપીએ. નીચેની સમાનતા આપવા દો: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

ચાલો તેને લાવીએ પ્રમાણભૂત દૃશ્ય, આપણને મળે છે: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, જેમાંથી આપણે સમાનતા પર આવીએ છીએ: -2*x²+ 2*x- 11 = 0. અહીં a=-2, b=2, c=-11.

હવે તમે ભેદભાવ માટે ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. પરિણામી સંખ્યા એ કાર્યનો જવાબ છે. કારણ કે ઉદાહરણમાં ભેદભાવ કરનાર શૂન્ય કરતાં ઓછું, તો પછી આપણે કહી શકીએ કે આ ચતુર્ભુજ સમીકરણનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી. તેનું નિરાકરણ માત્ર જટિલ પ્રકારની સંખ્યાઓ હશે.

ભેદભાવ કરનાર દ્વારા અસમાનતાનું ઉદાહરણ

ચાલો થોડી અલગ પ્રકારની સમસ્યાઓ હલ કરીએ: સમાનતા -3*x²-6*x+c = 0 જોતાં. c ની કિંમતો શોધવી જરૂરી છે જેના માટે D>0.

આ કિસ્સામાં, 3 માંથી માત્ર 2 ગુણાંક જાણીતા છે, તેથી ભેદભાવના ચોક્કસ મૂલ્યની ગણતરી કરવી શક્ય નથી, પરંતુ તે જાણીતું છે કે તે હકારાત્મક છે. અસમાનતા કંપોઝ કરતી વખતે આપણે છેલ્લી હકીકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. પરિણામી અસમાનતાને ઉકેલવાથી પરિણામ મળે છે: c>-3.

ચાલો પરિણામી સંખ્યા તપાસીએ. આ કરવા માટે, અમે 2 કેસ માટે Dની ગણતરી કરીએ છીએ: c=-2 અને c=-4. નંબર -2 પ્રાપ્ત પરિણામને સંતોષે છે (-2>-3), અનુરૂપ ભેદભાવકર્તા પાસે મૂલ્ય હશે: D = 12>0. બદલામાં, સંખ્યા -4 અસમાનતાને સંતોષતી નથી (-4. આમ, કોઈપણ સંખ્યા c કે જે -3 કરતાં મોટી હોય તે સ્થિતિને સંતોષશે.

સમીકરણ ઉકેલવાનું ઉદાહરણ

ચાલો એક સમસ્યા રજૂ કરીએ જેમાં માત્ર ભેદભાવ કરનારને શોધવાનો જ નહીં, પણ સમીકરણને ઉકેલવાનો પણ સમાવેશ થાય છે. સમાનતા -2*x²+7-9*x = 0 માટે મૂળ શોધવાનું જરૂરી છે.

આ ઉદાહરણમાં, ભેદભાવ કરનાર છે આગામી મૂલ્ય: D = 81-4*(-2)*7= 137. પછી સમીકરણના મૂળ નીચે પ્રમાણે નક્કી કરવામાં આવશે: x = (9±√137)/(-4). આ ચોક્કસ મૂલ્યોમૂળ, જો તમે રૂટની અંદાજે ગણતરી કરો છો, તો તમને સંખ્યાઓ મળશે: x = -5.176 અને x = 0.676.

ભૌમિતિક સમસ્યા

અમે એવી સમસ્યાનું નિરાકરણ કરીશું કે જેમાં માત્ર ભેદભાવ કરનારની ગણતરી કરવાની ક્ષમતા જ નહીં, પરંતુ કુશળતાનો ઉપયોગ કરવાની પણ જરૂર પડશે. અમૂર્ત વિચારઅને ચતુર્ભુજ સમીકરણો કેવી રીતે લખવા તેનું જ્ઞાન.

બોબ પાસે 5 x 4 મીટરની ડ્યુવેટ હતી. છોકરો સમગ્ર પરિમિતિની આસપાસ સુંદર ફેબ્રિકની સતત પટ્ટી સીવવા માંગતો હતો. જો આપણે જાણીએ કે બોબ પાસે 10 m² ફેબ્રિક છે તો આ પટ્ટી કેટલી જાડી હશે.

સ્ટ્રીપની જાડાઈ x m હોવા દો, પછી ધાબળાની લાંબી બાજુએ ફેબ્રિકનો વિસ્તાર (5+2*x)*x હશે, અને 2 લાંબી બાજુઓ હોવાથી, આપણી પાસે છે: 2*x *(5+2*x). ટૂંકી બાજુએ, સીવેલા ફેબ્રિકનું ક્ષેત્રફળ 4*x હશે, કારણ કે આમાંથી 2 બાજુઓ છે, આપણને મૂલ્ય 8*x મળે છે. નોંધ કરો કે લાંબી બાજુમાં 2*x ઉમેરવામાં આવ્યો હતો કારણ કે ધાબળાની લંબાઈ તે સંખ્યાથી વધી છે. ધાબળા પર સીવેલું ફેબ્રિકનું કુલ ક્ષેત્રફળ 10 m² છે. તેથી, આપણને સમાનતા મળે છે: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

આ ઉદાહરણ માટે, ભેદભાવ સમાન છે: D = 18²-4*4*(-10) = 484. તેનું મૂળ 22 છે. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે જરૂરી મૂળ શોધીએ છીએ: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0.5). દેખીતી રીતે, બે મૂળમાંથી, ફક્ત 0.5 નંબર જ સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર યોગ્ય છે.

આમ, બોબ તેના ધાબળાને સીવે છે તે ફેબ્રિકની પટ્ટી 50 સેમી પહોળી હશે.

ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિનોમી માટે \(3x^2+2x-7\), ભેદભાવ \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) સમાન હશે. અને ત્રિનોમી માટે \(x^2-5x+11\), તે \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\) બરાબર હશે.

ભેદભાવ કરનારને \(D\) અક્ષર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે અને તેનો વારંવાર ઉકેલમાં ઉપયોગ થાય છે. ઉપરાંત, ભેદભાવના મૂલ્ય દ્વારા, તમે સમજી શકો છો કે ગ્રાફ લગભગ કેવો દેખાય છે (નીચે જુઓ).

ભેદભાવ અને સમીકરણના મૂળ

ભેદભાવ મૂલ્ય ચતુર્ભુજ સમીકરણોની સંખ્યા દર્શાવે છે:
- જો \(D\) ધન છે, તો સમીકરણના બે મૂળ હશે;
- જો \(D\) શૂન્યની બરાબર હોય તો - ત્યાં માત્ર એક જ મૂળ છે;
- જો \(D\) નકારાત્મક હોય, તો ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

આને શીખવવાની જરૂર નથી, આવા નિષ્કર્ષ પર પહોંચવું મુશ્કેલ નથી, ફક્ત એ જાણીને કે ભેદભાવકર્તા (એટલે ​​​​કે, \(\sqrt(D)\) સમીકરણના મૂળની ગણતરી માટેના સૂત્રમાં શામેલ છે. : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) અને \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) ચાલો દરેક કેસને વધુ વિગતવાર જોઈએ.

જો ભેદભાવ હકારાત્મક છે

આ કિસ્સામાં, તેના મૂળ કેટલાક છે હકારાત્મક સંખ્યા, જેનો અર્થ થાય છે \(x_(1)\) અને \(x_(2)\) ના અલગ અલગ અર્થ હશે, કારણ કે પ્રથમ સૂત્રમાં \(\sqrt(D)\) ઉમેરવામાં આવે છે, અને બીજામાં તે બાદબાકી કરવામાં આવે છે. અને આપણી પાસે બે અલગ-અલગ મૂળ છે.

ઉદાહરણ : સમીકરણના મૂળ શોધો \(x^2+2x-3=0\)
ઉકેલ :

જવાબ આપો : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

જો ભેદભાવ શૂન્ય છે

અને ભેદભાવ રાખનાર તો કેટલાં મૂળિયાં હશે શૂન્ય બરાબર? ચાલો કારણ આપીએ.

મૂળ સૂત્રો આના જેવા દેખાય છે: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) અને \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . અને જો ભેદભાવ શૂન્ય હોય તો તેનું મૂળ પણ શૂન્ય છે. પછી તે તારણ આપે છે:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

એટલે કે, સમીકરણના મૂળના મૂલ્યો એકરૂપ થશે, કારણ કે શૂન્ય ઉમેરવા અથવા બાદબાકી કરવાથી કંઈપણ બદલાતું નથી.

ઉદાહરણ : સમીકરણના મૂળ શોધો \(x^2-4x+4=0\)
ઉકેલ :

જવાબ આપો : \(x=2\)

8મા ધોરણમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, તેથી અહીં કંઈ જટિલ નથી. તેમને હલ કરવાની ક્ષમતા એકદમ જરૂરી છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણ એ ax 2 + bx + c = 0 સ્વરૂપનું સમીકરણ છે, જ્યાં a, b અને c ગુણાંક છે મનસ્વી સંખ્યાઓ, અને a ≠ 0.

ચોક્કસ ઉકેલ પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરતા પહેલા, નોંધ લો કે તમામ ચતુર્ભુજ સમીકરણોને ત્રણ વર્ગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

1. કોઈ મૂળ નથી;
2. બરાબર એક મૂળ છે;
3. તેઓ બે અલગ અલગ મૂળ ધરાવે છે.

આ છે મહત્વપૂર્ણ તફાવતરેખીય સમીકરણોમાંથી ચતુર્ભુજ સમીકરણો, જ્યાં મૂળ હંમેશા અસ્તિત્વમાં છે અને અનન્ય છે. સમીકરણના કેટલા મૂળ છે તે કેવી રીતે નક્કી કરવું? આ માટે એક અદ્ભુત વસ્તુ છે - ભેદભાવપૂર્ણ.

ભેદભાવ કરનાર

ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 આપીએ તો ભેદભાવ ફક્ત D = b 2 − 4ac છે.

તમારે આ સૂત્રને હૃદયથી જાણવાની જરૂર છે. તે ક્યાંથી આવે છે તે હવે મહત્વનું નથી. બીજી વસ્તુ મહત્વપૂર્ણ છે: ભેદભાવની નિશાની દ્વારા તમે નક્કી કરી શકો છો કે ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં કેટલા મૂળ છે. જેમ કે:

1. જો ડી< 0, корней нет;
2. જો D = 0, તો બરાબર એક મૂળ છે;
3. જો D > 0 હોય, તો બે મૂળ હશે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: ભેદભાવ મૂળની સંખ્યા સૂચવે છે, અને તેમના બધા ચિહ્નો પર નહીં, કારણ કે કેટલાક કારણોસર ઘણા લોકો માને છે. ઉદાહરણો પર એક નજર નાખો અને તમે બધું જાતે સમજી શકશો:

કાર્ય. ચતુર્ભુજ સમીકરણો કેટલા મૂળ ધરાવે છે:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

ચાલો પ્રથમ સમીકરણ માટે ગુણાંક લખીએ અને ભેદભાવ શોધીએ:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

તેથી ભેદભાવ હકારાત્મક છે, તેથી સમીકરણ બે અલગ-અલગ મૂળ ધરાવે છે. અમે બીજા સમીકરણનું સમાન રીતે વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

ભેદભાવ નકારાત્મક છે, ત્યાં કોઈ મૂળ નથી. છેલ્લું સમીકરણ બાકી છે:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

ભેદભાવ શૂન્ય છે - મૂળ એક હશે.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે દરેક સમીકરણ માટે ગુણાંક લખવામાં આવ્યા છે. હા, તે લાંબુ છે, હા, તે કંટાળાજનક છે, પરંતુ તમે મતભેદને મિશ્રિત કરશો નહીં અને મૂર્ખ ભૂલો કરશો નહીં. તમારા માટે પસંદ કરો: ઝડપ અથવા ગુણવત્તા.

માર્ગ દ્વારા, જો તમને તે અટકી જાય, તો થોડા સમય પછી તમારે બધા ગુણાંક લખવાની જરૂર રહેશે નહીં. તમે તમારા માથામાં આવા ઓપરેશન કરશો. મોટાભાગના લોકો 50-70 ઉકેલી સમીકરણો પછી ક્યાંક આ કરવાનું શરૂ કરે છે - સામાન્ય રીતે, એટલું નહીં.

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ

હવે ચાલો ઉકેલ તરફ જ આગળ વધીએ. જો ભેદભાવ D > 0 હોય, તો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને મૂળ શોધી શકાય છે:

ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ માટે મૂળભૂત સૂત્ર

જ્યારે D = 0, તમે આમાંથી કોઈપણ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરી શકો છો - તમને તે જ નંબર મળશે, જે જવાબ હશે. છેવટે, જો ડી< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

પ્રથમ સમીકરણ:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ સમીકરણ બે મૂળ ધરાવે છે. ચાલો તેમને શોધીએ:

બીજું સમીકરણ:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ સમીકરણ ફરીથી બે મૂળ ધરાવે છે. ચાલો તેમને શોધીએ

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

છેલ્લે, ત્રીજું સમીકરણ:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ સમીકરણ એક મૂળ ધરાવે છે. કોઈપણ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ:

જેમ તમે ઉદાહરણોમાંથી જોઈ શકો છો, બધું ખૂબ સરળ છે. જો તમે સૂત્રો જાણો છો અને ગણતરી કરી શકો છો, તો કોઈ સમસ્યા રહેશે નહીં. મોટાભાગે, સૂત્રમાં નકારાત્મક ગુણાંકને સ્થાનાંતરિત કરતી વખતે ભૂલો થાય છે. અહીં ફરીથી, ઉપર વર્ણવેલ તકનીક મદદ કરશે: સૂત્રને શાબ્દિક રીતે જુઓ, દરેક પગલું લખો - અને ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં તમે ભૂલોથી છુટકારો મેળવશો.

અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો

એવું બને છે કે ચતુર્ભુજ સમીકરણ વ્યાખ્યામાં આપેલ કરતાં થોડું અલગ છે. ઉદાહરણ તરીકે:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

તે નોંધવું સરળ છે કે આ સમીકરણોમાં એક પદ ખૂટે છે. આવા ચતુર્ભુજ સમીકરણો પ્રમાણભૂત સમીકરણો કરતાં ઉકેલવા માટે પણ સરળ છે: તેમને ભેદભાવની ગણતરી કરવાની પણ જરૂર નથી. તેથી, ચાલો એક નવો ખ્યાલ રજૂ કરીએ:

સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 એ અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ કહેવાય છે જો b = 0 અથવા c = 0, એટલે કે. ચલ x અથવા મુક્ત તત્વનો ગુણાંક શૂન્યની બરાબર છે.

અલબત્ત, જ્યારે આ બંને ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય ત્યારે ખૂબ જ મુશ્કેલ કેસ શક્ય છે: b = c = 0. આ કિસ્સામાં, સમીકરણ ax 2 = 0 સ્વરૂપ લે છે. દેખીતી રીતે, આવા સમીકરણમાં એક જ મૂળ હોય છે: x = 0.

ચાલો બાકીના કેસોને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો b = 0, તો આપણને ax 2 + c = 0 ફોર્મનું અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ મળે છે. ચાલો તેને થોડું રૂપાંતરિત કરીએ:

અંકગણિત થી વર્ગમૂળથી જ અસ્તિત્વમાં છે બિન-નકારાત્મક સંખ્યા, છેલ્લી સમાનતા માત્ર (−c /a) ≥ 0 માટે અર્થપૂર્ણ છે. નિષ્કર્ષ:

1. જો ફોર્મ ax 2 + c = 0 ના અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં અસમાનતા (−c /a) ≥ 0 સંતોષાય છે, તો ત્યાં બે મૂળ હશે. સૂત્ર ઉપર આપેલ છે;
2. જો (−c /a)< 0, корней нет.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ભેદભાવની જરૂર ન હતી - અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાં ત્યાં કોઈ નથી જટિલ ગણતરીઓ. વાસ્તવમાં, અસમાનતા (−c /a) ≥ 0 યાદ રાખવાની પણ જરૂર નથી. તે x 2 ને વ્યક્ત કરવા અને સમાન ચિહ્નની બીજી બાજુ શું છે તે જોવા માટે પૂરતું છે. જો ત્યાં ધન સંખ્યા છે, તો બે મૂળ હશે. જો તે નકારાત્મક છે, તો ત્યાં કોઈ મૂળ હશે નહીં.

હવે ચાલો ફોર્મ ax 2 + bx = 0 ના સમીકરણો જોઈએ, જેમાં મુક્ત તત્વ શૂન્ય બરાબર છે. અહીં બધું સરળ છે: ત્યાં હંમેશા બે મૂળ હશે. તે બહુપદીને પરિબળ કરવા માટે પૂરતું છે:

જ્યારે ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્ય હોય ત્યારે ઉત્પાદન શૂન્ય હોય છે. આ તે છે જ્યાંથી મૂળ આવે છે. નિષ્કર્ષમાં, ચાલો આમાંના કેટલાક સમીકરણો જોઈએ:

કાર્ય. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલો:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. ત્યાં કોઈ મૂળ નથી, કારણ કે ચોરસ નકારાત્મક સંખ્યાની બરાબર ન હોઈ શકે.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.

ભેદભાવ એ બહુ-મૂલ્યવાન શબ્દ છે. આ લેખમાં આપણે બહુપદીના ભેદભાવ વિશે વાત કરીશું, જે તમને આપેલ બહુપદીમાં માન્ય ઉકેલો છે કે કેમ તે નક્કી કરવા દે છે. ચતુર્ભુજ બહુપદી માટેનું સૂત્ર બીજગણિત અને વિશ્લેષણ પરના શાળા અભ્યાસક્રમમાં જોવા મળે છે. ભેદભાવ કરનારને કેવી રીતે શોધવો? સમીકરણ ઉકેલવા માટે શું જરૂરી છે?

ચતુર્ભુજ બહુપદી અથવા બીજા અંશનું સમીકરણ કહેવાય છે i * w ^ 2 + j * w + k 0 બરાબર છે, જ્યાં "i" અને "j" અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા ગુણાંક છે, "k" એક સ્થિરાંક છે, જેને ક્યારેક "બરતરફી શબ્દ" અને "w" કહેવામાં આવે છે. ચલ છે. તેના મૂળ ચલના તમામ મૂલ્યો હશે જેના પર તે ઓળખમાં ફેરવાય છે. આવી સમાનતાને i, (w - w1) અને (w - w2) ની સમાન 0 ના ગુણાંક તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, તે સ્પષ્ટ છે કે જો ગુણાંક “i” શૂન્ય ન બને, તો પછી કાર્ય જો x મૂલ્ય w1 અથવા w2 લે તો જ ડાબી બાજુ શૂન્ય બનશે. આ મૂલ્યો બહુપદીને શૂન્યની બરાબર સેટ કરવાનું પરિણામ છે.

જેના પર ચલનું મૂલ્ય શોધવા માટે ચતુર્ભુજ બહુપદીશૂન્ય બને છે, સહાયક બાંધકામનો ઉપયોગ થાય છે, તેના ગુણાંક પર બાંધવામાં આવે છે અને તેને ભેદભાવ કહેવામાં આવે છે. આ ડિઝાઇનની ગણતરી ફોર્મ્યુલા D બરાબર j * j - 4 * i * k અનુસાર કરવામાં આવે છે. તે શા માટે વપરાય છે?

1. તેણી કહે છે કે ત્યાં કોઈ છે માન્ય પરિણામો.
2. તેણી તેમની ગણતરી કરવામાં મદદ કરે છે.

આ મૂલ્ય વાસ્તવિક મૂળની હાજરી કેવી રીતે બતાવે છે:

• જો તે હકારાત્મક છે, તો આપણે પ્રદેશમાં બે મૂળ શોધી શકીએ છીએ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ.
• જો ભેદભાવ શૂન્ય છે, તો બંને ઉકેલો સમાન છે. આપણે કહી શકીએ કે માત્ર એક જ ઉકેલ છે, અને તે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાંથી છે.
• જો ભેદભાવ શૂન્ય કરતા ઓછો હોય, તો બહુપદીના કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી.

સામગ્રીને સુરક્ષિત કરવા માટે ગણતરી વિકલ્પો

સરવાળા માટે (7 * w^2; 3 * w; 1) 0 બરાબરઆપણે સૂત્ર 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 નો ઉપયોગ કરીને Dની ગણતરી કરીએ છીએ, આપણને -19 મળે છે. શૂન્યથી નીચેનું ભેદભાવપૂર્ણ મૂલ્ય સૂચવે છે કે વાસ્તવિક રેખા પર કોઈ પરિણામો નથી.

જો આપણે 2 * w^2 - 3 * w + 1 ને 0 ની સમકક્ષ ગણીએ, પછી D ની ગણતરી (-3) વર્ગ બાદ સંખ્યાના ગુણાંક (4; 2; 1) તરીકે કરવામાં આવે છે અને 9 - 8, એટલે કે, 1 બરાબર થાય છે. હકારાત્મક મૂલ્યકહે છે કે વાસ્તવિક લાઇન પર બે પરિણામો છે.

જો આપણે સરવાળો લઈએ (w^2; 2*w; 1) અને તેને 0 સાથે સરખાવીએ, D ની ગણતરી સંખ્યાઓના ગુણાંક (4; 1; 1) ના ગુણાંકથી ઓછા બે વર્ગ તરીકે કરવામાં આવે છે. આ અભિવ્યક્તિ 4 - 4 સુધી સરળ બનશે અને શૂન્ય પર જશે. તે તારણ આપે છે કે પરિણામો સમાન છે. જો તમે નજીકથી જુઓ આ સૂત્ર, પછી તે સ્પષ્ટ થશે કે આ છે " સંપૂર્ણ ચોરસ" આનો અર્થ એ છે કે સમાનતા ફોર્મ (w + 1) ^ 2 = 0 માં ફરીથી લખી શકાય છે. તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું કે આ સમસ્યાનું પરિણામ "-1" છે. ડી 0 હોય તેવી સ્થિતિમાં, ડાબી બાજુસમાનતા હંમેશા "સરવાળાના વર્ગ" સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંકુચિત કરી શકાય છે.

મૂળની ગણતરીમાં ભેદભાવનો ઉપયોગ કરવો

આ સહાયક બાંધકામ માત્ર વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા દર્શાવે છે, પણ તેમને શોધવામાં પણ મદદ કરે છે. સામાન્ય સૂત્રબીજા ડિગ્રી સમીકરણ માટે ગણતરી છે:

w = (-j +/- d) / (2 * i), જ્યાં d એ 1/2 ની ઘાતનો ભેદભાવ છે.

ચાલો કહીએ કે ભેદભાવ શૂન્યથી નીચે છે, પછી d કાલ્પનિક છે અને પરિણામો કાલ્પનિક છે.

D શૂન્ય છે, પછી 1/2 ની ઘાત Dની બરાબર d પણ શૂન્ય છે. ઉકેલ: -j/(2*i). ફરીથી 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0 ધ્યાનમાં લેતા, અમને -2 / (2 * 1) = -1 ની સમકક્ષ પરિણામો મળે છે.

ધારો કે D > 0, પછી d - વાસ્તવિક સંખ્યા, અને અહીં જવાબ બે ભાગોમાં વિભાજીત થાય છે: w1 = (-j + d) / (2 * i) અને w2 = (-j - d) / (2 * i). બંને પરિણામો માન્ય રહેશે. ચાલો 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 જોઈએ. અહીં ભેદભાવ અને d એક છે. તે તારણ આપે છે કે w1 બરાબર છે (3 + 1) ભાગ્યા (2 * 2) અથવા 1, અને w2 બરાબર છે (3 - 1) ભાગ્યા 2 * 2 અથવા 1/2.

સમીકરણ પરિણામ ચતુર્ભુજ અભિવ્યક્તિઅલ્ગોરિધમ મુજબ શૂન્યની ગણતરી કરવામાં આવે છે:

1. જથ્થાનું નિર્ધારણ માન્ય ઉકેલો.
2. ગણતરી d = D^(1/2).
3. ફોર્મ્યુલા (-j +/- d) / (2 * i) અનુસાર પરિણામ શોધવું.
4. ચકાસણી માટે પ્રાપ્ત પરિણામને મૂળ સમાનતામાં બદલીને.

કેટલાક ખાસ કિસ્સાઓ

ગુણાંક પર આધાર રાખીને, ઉકેલ કંઈક અંશે સરળ થઈ શકે છે. દેખીતી રીતે, જો બીજી ઘાત માટે ચલનો ગુણાંક શૂન્ય હોય, તો રેખીય સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે. જ્યારે પ્રથમ ઘાત માટે ચલનો ગુણાંક શૂન્ય હોય, ત્યારે બે વિકલ્પો શક્ય છે:

1. જ્યારે મુક્ત શબ્દ નકારાત્મક હોય ત્યારે બહુપદીને વર્ગોના તફાવતમાં વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે;
2. હકારાત્મક સ્થિરાંક માટે, કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલો શોધી શકાતા નથી.

જો મુક્ત શબ્દ શૂન્ય હોય, તો મૂળ હશે (0; -j)

પરંતુ અન્ય વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ છે જે ઉકેલ શોધવાનું સરળ બનાવે છે.

ઘટાડી દ્વિતીય ડિગ્રી સમીકરણ

આપેલ કહેવાય છેજેમ કે ચતુર્ભુજ ત્રિપદી, જ્યાં અગ્રણી પદની સામે ગુણાંક એક છે. આ પરિસ્થિતિ માટે, વિયેટાનું પ્રમેય લાગુ પડે છે, જે જણાવે છે કે મૂળનો સરવાળો ચલના પ્રથમ ઘાતના ગુણાંક જેટલો છે, જે -1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને ઉત્પાદન સતત "k" ને અનુરૂપ છે.

તેથી, w1 + w2 બરાબર -j અને w1 * w2 બરાબર k થાય છે જો પ્રથમ ગુણાંક એક હોય. આ રજૂઆતની સાચીતા ચકાસવા માટે, તમે પ્રથમ સૂત્રમાંથી w2 = -j - w1 વ્યક્ત કરી શકો છો અને તેને બીજી સમાનતા w1 * (-j - w1) = k માં બદલી શકો છો. પરિણામ મૂળ સમાનતા w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0 છે.

નોંધવું અગત્યનું છે, કે i * w ^ 2 + j * w + k = 0 ને “i” વડે ભાગવાથી મેળવી શકાય છે. પરિણામ આ હશે: w^2 + j1 * w + k1 = 0, જ્યાં j1 બરાબર j/i અને k1 બરાબર k/i.

ચાલો પહેલાથી ઉકેલેલ 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 ને w1 = 1 અને w2 = 1/2 પરિણામો સાથે જોઈએ. આપણે તેને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરવાની જરૂર છે, પરિણામે w^2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. ચાલો તપાસીએ કે પ્રમેયની શરતો મળેલા પરિણામો માટે સાચી છે: 1 + 1/2 = 3/ 2 અને 1*1/2 = 1/2.

પણ બીજું પરિબળ

જો પ્રથમ ઘાત (j) ના ચલનો અવયવ 2 વડે વિભાજ્ય હોય, તો પછી ફોર્મ્યુલાને સરળ બનાવવું અને ભેદભાવ D/4 = (j/2) ^ 2 - i * k ના એક ક્વાર્ટર દ્વારા ઉકેલ શોધવાનું શક્ય બનશે. તે બહાર આવ્યું w = (-j +/- d/2) / i, જ્યાં d/2 = D/4 ની ઘાત 1/2.

જો i = 1, અને ગુણાંક j સમ હોય, તો ઉકેલ એ -1 અને ચલ w ના અડધો ગુણાંકનો ગુણાંક હશે, વત્તા/માઈનસ આ અર્ધના ચોરસના મૂળને બાદબાકી "k" ના સ્થિર. ફોર્મ્યુલા: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

ઉચ્ચ ભેદભાવપૂર્ણ હુકમ

ઉપરોક્ત ચર્ચા કરેલ બીજી ડિગ્રી ત્રિનોમીનો ભેદભાવ સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાય છે ખાસ કેસ. સામાન્ય કિસ્સામાં, બહુપદીનો ભેદભાવ છે આ બહુપદીના મૂળના તફાવતોના ગુણાકાર વર્ગો. તેથી, શૂન્ય સમાન ભેદભાવ ઓછામાં ઓછા બે બહુવિધ ઉકેલોની હાજરી સૂચવે છે.

i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0 ધ્યાનમાં લો.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

ધારો કે ભેદભાવ શૂન્યથી વધી ગયો છે. આનો અર્થ એ છે કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના પ્રદેશમાં ત્રણ મૂળ છે. શૂન્ય પર બહુવિધ ઉકેલો છે. જો ડી< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают નકારાત્મક મૂલ્યજ્યારે વર્ગીકરણ, અને એક મૂળ પણ વાસ્તવિક છે.

વિડિયો

અમારો વિડિઓ તમને ભેદભાવની ગણતરી કરવા વિશે વિગતવાર જણાવશે.

તમારા પ્રશ્નનો જવાબ મળ્યો નથી? લેખકોને વિષય સૂચવો.