મેટ્રિક્સનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ. પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડો

વ્યાખ્યા.બહુપદી મેટ્રિક્સ અથવા -મેટ્રિક્સ એ એક લંબચોરસ મેટ્રિક્સ છે જેના તત્વો એક ચલમાં બહુપદી છે સંખ્યાત્મક ગુણાંક સાથે.

ઉપર -મેટ્રિસિસ પ્રાથમિક પરિવર્તન કરી શકે છે. આમાં શામેલ છે:

બે -મેટ્રિસિસ
અને
સમાન કદસમકક્ષ કહેવાય છે:
, જો મેટ્રિક્સમાંથી
થી
તમે સાથે જઈ શકો છો મર્યાદિત સંખ્યા પ્રાથમિક પરિવર્તનો.

ઉદાહરણ.મેટ્રિક્સ સમાનતા સાબિત કરો

ઉકેલ.

.

.

બીજી પંક્તિને (–1) વડે ગુણાકાર કરો અને તેની નોંધ લો

.

.

દરેકને પુષ્કળ - આપેલ કદના મેટ્રિસિસ
અસંબંધિત વર્ગોમાં વહેંચાયેલું છે સમકક્ષ મેટ્રિસિસ. મેટ્રિસિસ કે જે એકબીજાની સમકક્ષ હોય છે તે એક વર્ગ બનાવે છે, અને જે સમકક્ષ નથી તે અન્ય બનાવે છે.

સમકક્ષ મેટ્રિસિસના દરેક વર્ગને પ્રમાણભૂત અથવા સામાન્ય દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, - આપેલ પરિમાણોનું મેટ્રિક્સ.

વ્યાખ્યા.પ્રમાણભૂત, અથવા સામાન્ય, - માપ મેટ્રિક્સ
કહેવાય છે -મુખ્ય કર્ણ પર બહુપદી સાથે મેટ્રિક્સ, જ્યાં આર- સંખ્યાઓ જેટલી નાની છે mઅને n (
), અને બહુપદીઓ કે જે શૂન્યની બરાબર નથી તેમાં અગ્રણી ગુણાંક 1 ની બરાબર હોય છે, અને દરેક અનુગામી બહુપદીને અગાઉના એક વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે. મુખ્ય કર્ણની બહારના બધા તત્વો 0 છે.

વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે જો બહુપદીઓમાં ડિગ્રી શૂન્યના બહુપદી હોય, તો તે મુખ્ય કર્ણની શરૂઆતમાં છે. જો ત્યાં શૂન્ય હોય, તો તે મુખ્ય કર્ણના અંતે છે.

મેટ્રિક્સ
અગાઉનું ઉદાહરણ પ્રમાણભૂત છે. મેટ્રિક્સ

કેનોનિકલ પણ.

દરેક વર્ગ -મેટ્રિક્સ એક અનન્ય પ્રમાણભૂત સમાવે છે -મેટ્રિક્સ, એટલે કે દરેક -મેટ્રિક્સ એ અનન્ય કેનોનિકલ મેટ્રિક્સની સમકક્ષ છે, જેને કેનોનિકલ સ્વરૂપ અથવા સામાન્ય સ્વરૂપઆ મેટ્રિક્સનું.

આપેલ કેનોનિકલ સ્વરૂપના મુખ્ય કર્ણ પર બહુપદી -મેટ્રિસિસને આપેલ મેટ્રિક્સના અપરિવર્તક પરિબળો કહેવામાં આવે છે.

અપરિવર્તનશીલ પરિબળોની ગણતરી માટેની પદ્ધતિઓમાંની એક આપેલને ઘટાડવાની છે - માટે મેટ્રિસિસ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ.

તેથી, મેટ્રિક્સ માટે
અગાઉના ઉદાહરણમાંથી, અસ્પષ્ટ પરિબળો છે

,
,
,
.

ઉપરોક્ત પરથી તે અનુસરે છે કે અવિવર્તી પરિબળોના સમાન સમૂહની હાજરી સમાનતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ છે. -મેટ્રિસિસ

લાવી રહ્યા છે - માટે મેટ્રિસિસ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપઅનિવાર્ય પરિબળોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ઘટાડે છે

,
;
,

જ્યાં આર- રેન્ક -મેટ્રિસિસ;
- સૌથી મોટું સામાન્ય વિભાજકસગીરો k-મો ક્રમ, 1 ની સમાન અગ્રણી ગુણાંક સાથે લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ.તેને આપવા દો -મેટ્રિક્સ

.

ઉકેલ.દેખીતી રીતે, પ્રથમ ક્રમનો સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક ડી 1 =1, એટલે કે
.

ચાલો બીજા ક્રમના સગીરોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

એકલા આ ડેટા નીચેના નિષ્કર્ષ દોરવા માટે પૂરતો છે: ડી 2 =1, તેથી,
.

અમે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ ડી 3

,

આથી,
.

આમ, આ મેટ્રિક્સનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે -મેટ્રિક્સ:

.

મેટ્રિક્સ બહુપદી એ ફોર્મની અભિવ્યક્તિ છે

જ્યાં - ચલ;
- સંખ્યાત્મક ઘટકો સાથે ક્રમ n ના ચોરસ મેટ્રિસિસ.

જો
, તે એસડિગ્રી કહેવાય છે મેટ્રિક્સ બહુપદી, n- મેટ્રિક્સ બહુપદીનો ક્રમ.

મને ચતુર્થાંશ ગમે છે -મેટ્રિક્સને મેટ્રિક્સ બહુપદી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. દેખીતી રીતે, વિરુદ્ધ નિવેદન પણ સાચું છે, એટલે કે. કોઈપણ મેટ્રિક્સ બહુપદીને અમુક ચોરસ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે -મેટ્રિસિસ.

આ નિવેદનોની માન્યતા સ્પષ્ટપણે મેટ્રિસિસ પરની કામગીરીના ગુણધર્મોને અનુસરે છે. ચાલો નીચેના ઉદાહરણો જોઈએ:

ઉદાહરણ.બહુપદી મેટ્રિક્સનું પ્રતિનિધિત્વ કરો

નીચે પ્રમાણે મેટ્રિક્સ બહુપદીના સ્વરૂપમાં

.

ઉદાહરણ.મેટ્રિક્સ બહુપદી

નીચેના બહુપદી મેટ્રિક્સ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે ( -મેટ્રિસિસ)

.

મેટ્રિક્સ બહુપદી અને બહુપદી મેટ્રિસિસની આ વિનિમયક્ષમતા પરિબળ અને ઘટક વિશ્લેષણ પદ્ધતિઓના ગાણિતિક ઉપકરણમાં નોંધપાત્ર ભૂમિકા ભજવે છે.

સમાન ક્રમના મેટ્રિક્સ બહુપદીને સંખ્યાત્મક ગુણાંક સાથે સામાન્ય બહુપદીની જેમ ઉમેરી, બાદબાકી અને ગુણાકાર કરી શકાય છે. જો કે, તે યાદ રાખવું જોઈએ કે મેટ્રિક્સ બહુપદીનો ગુણાકાર, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, વિનિમયાત્મક નથી, કારણ કે મેટ્રિક્સ ગુણાકાર વિનિમયાત્મક નથી.

બે મેટ્રિક્સ બહુપદી સમાન કહેવાય છે જો તેમના ગુણાંક સમાન હોય, એટલે કે. ચલની સમાન શક્તિઓ માટે અનુરૂપ મેટ્રિસિસ .

બે મેટ્રિક્સ બહુપદીનો સરવાળો (તફાવત).
અને
મેટ્રિક્સ બહુપદી છે જેનો ચલની દરેક ઘાત માટે ગુણાંક છે સરવાળો સમાન(તફાવત) સમાન ડિગ્રી પર ગુણાંકના બહુપદીમાં
અને
.

મેટ્રિક્સ બહુપદીનો ગુણાકાર કરવા માટે
મેટ્રિક્સ બહુપદી માટે
, તમારે મેટ્રિક્સ બહુપદીના દરેક પદની જરૂર છે
મેટ્રિક્સ બહુપદીના દરેક પદ વડે ગુણાકાર કરો
, પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરો અને સમાન શરતો લાવો.

મેટ્રિક્સ બહુપદીની ડિગ્રી - ઉત્પાદન

પરિબળોની શક્તિઓના સરવાળા કરતા ઓછા અથવા સમાન.

મેટ્રિક્સ બહુપદી પરની ક્રિયાઓ અનુરૂપ પરની કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે -મેટ્રિસિસ.

મેટ્રિક્સ બહુપદી ઉમેરવા (બાદબાકી) કરવા માટે, અનુરૂપ ઉમેરવા (બાદબાકી) કરવા માટે તે પૂરતું છે -મેટ્રિસિસ. આ જ ગુણાકારને લાગુ પડે છે. -મેટ્રિક્સ બહુપદીના ઉત્પાદનનો મેટ્રિક્સ ગુણાંક સમાન છે - પરિબળનું માપ.

ઉદાહરણ.

બીજી બાજુ
અને
ફોર્મમાં લખી શકાય છે

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર વિનિમયાત્મક ન હોવાથી, મેટ્રિક્સ બહુપદી માટે શેષ સાથે બે વિભાગો વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે - જમણે અને ડાબે.

ક્રમ n ના બે મેટ્રિક્સ બહુપદી આપવા દો

જ્યાં IN 0 એ બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ છે.

જ્યારે વિભાજન
પર
એક અનન્ય અધિકાર ભાગ છે
અને બાકીનો અધિકાર

ડિગ્રી ક્યાં છે આર 1 ઓછી ડિગ્રી
, અથવા
(શેષ વિનાનો ભાગ), તેમજ ડાબો ભાગ
અને બાકી રહે છે

ડિગ્રી ક્યાં છે
ઓછી ડિગ્રી
, અથવા
=0 (બાકી વગરનો ભાગ).

સામાન્યકૃત બેઝાઉટનું પ્રમેય.મેટ્રિક્સ બહુપદીનું વિભાજન કરતી વખતે
બહુપદી માટે
જમણી શેષ ડિવિડન્ડના યોગ્ય મૂલ્યની બરાબર છે
ખાતે
, એટલે કે મેટ્રિક્સ

અને ડાબી શેષ - ડિવિડન્ડની ડાબી કિંમત સુધી
ખાતે
, એટલે કે મેટ્રિક્સ

પુરાવો.બંને સૂત્રો (3.4.1) અને (3.4.2) ની માન્યતાનો પુરાવો એ જ રીતે, સીધા અવેજીકરણ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે. ચાલો તેમાંથી એક સાબિત કરીએ.

તેથી, ડિવિડન્ડ છે
, વિભાજક -
, ભાગ્ય તરીકે આપણી પાસે બહુપદી છે

ચાલો ઉત્પાદન વ્યાખ્યાયિત કરીએ
:

અથવા

Q.E.D.

પરિણામ.
બહુપદી વડે જમણે (ડાબે) થી વિભાજ્ય છે
પછી અને ત્યારે જ
0 બરાબર છે.

ઉદાહરણ.મેટ્રિક્સ બહુપદી બતાવો

મેટ્રિક્સ બહુપદી વડે વિભાજ્ય છે
,

જ્યાં
, બાકી વગર છોડી દીધું.

ઉકેલ.ખરેખર, સમાનતા સાચી છે

જ્યાં

ચાલો બેઝાઉટના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બાકીના બાકીના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ

મેટ્રિક્સ એ ગણિતમાં એક વિશિષ્ટ પદાર્થ છે. એક લંબચોરસ અથવા બતાવવામાં આવે છે ચોરસ ટેબલ, બનેલું છે ચોક્કસ સંખ્યાપંક્તિઓ અને કૉલમ. ગણિતમાં મેટ્રિસિસના વિવિધ પ્રકારો છે, કદ અથવા સામગ્રીમાં ભિન્ન છે. તેની પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યાને ઓર્ડર કહેવામાં આવે છે. આ ઑબ્જેક્ટ્સનો ઉપયોગ સિસ્ટમોના રેકોર્ડિંગને ગોઠવવા માટે ગણિતમાં થાય છે રેખીય સમીકરણોઅને તેમના પરિણામો માટે અનુકૂળ શોધ. મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો કાર્લ ગૌસ, ગેબ્રિયલ ક્રેમર, સગીરો અને બીજગણિત ઉમેરાઓ, તેમજ અન્ય ઘણી રીતે. મેટ્રિસિસ સાથે કામ કરતી વખતે મૂળભૂત કૌશલ્ય એ ઘટાડો છે પ્રમાણભૂત દૃશ્ય. જો કે, પ્રથમ, ચાલો આકૃતિ કરીએ કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા કયા પ્રકારના મેટ્રિસિસને અલગ પાડવામાં આવે છે.

નલ પ્રકાર

આ પ્રકારના મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો શૂન્ય છે. દરમિયાન, તેની પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યા સંપૂર્ણપણે અલગ છે.

ચોરસ પ્રકાર

આ પ્રકારના મેટ્રિક્સની કૉલમ અને પંક્તિઓની સંખ્યા સમાન છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે "ચોરસ" આકારનું ટેબલ છે. તેના કૉલમ (અથવા પંક્તિઓ) ની સંખ્યાને ક્રમ કહેવામાં આવે છે. વિશેષ કેસોમાં સેકન્ડ-ઓર્ડર મેટ્રિક્સ (2x2 મેટ્રિક્સ) ના અસ્તિત્વનો સમાવેશ થાય છે. ચોથો ક્રમ(4x4), દસમો (10x10), સત્તરમો (17x17) અને તેથી વધુ.

કૉલમ વેક્ટર

આ મેટ્રિસિસના સૌથી સરળ પ્રકારોમાંથી એક છે, જેમાં ફક્ત એક કૉલમ છે, જેમાં ત્રણનો સમાવેશ થાય છે સંખ્યાત્મક મૂલ્યો. તેણી શ્રેણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે મફત સભ્યોરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોમાં (ચલોથી સ્વતંત્ર સંખ્યાઓ).

અગાઉના એક જેવું જ જુઓ. ત્રણ સંખ્યાત્મક ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે, બદલામાં એક લીટીમાં ગોઠવાય છે.

કર્ણ પ્રકાર

મેટ્રિક્સના વિકર્ણ સ્વરૂપમાં સંખ્યાત્મક મૂલ્યો મુખ્ય કર્ણના માત્ર ઘટકો લે છે (હાઇલાઇટ કરેલ લીલો). મુખ્ય કર્ણ જમણી બાજુએ સ્થિત તત્વથી શરૂ થાય છે ટોચનો ખૂણો, અને ત્રીજી પંક્તિના ત્રીજા કૉલમમાં સંખ્યા સાથે સમાપ્ત થાય છે. બાકીના ઘટકો શૂન્ય સમાન છે. કર્ણ પ્રકાર એ અમુક ક્રમનું માત્ર ચોરસ મેટ્રિક્સ છે. વિકર્ણ મેટ્રિસીસમાં, કોઈ પણ સ્કેલરને અલગ કરી શકે છે. તેના તમામ ઘટકો લે છે સમાન મૂલ્યો.

વિકર્ણ મેટ્રિક્સનો પેટા પ્રકાર. તેણીના બધા સંખ્યાત્મક મૂલ્યોએકમો છે. એક જ પ્રકારના મેટ્રિક્સ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, વ્યક્તિ તેના મૂળભૂત રૂપાંતરણો કરે છે અથવા મેટ્રિક્સને મૂળથી વિપરીત શોધે છે.

કેનોનિકલ પ્રકાર

મેટ્રિક્સના પ્રામાણિક સ્વરૂપને મુખ્ય પૈકી એક ગણવામાં આવે છે; તેને ઘટાડવું ઘણીવાર કામ માટે જરૂરી છે. માં પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યા પ્રમાણભૂત મેટ્રિક્સઅલગ, તે જરૂરી નથી ચોરસ પ્રકાર. તે કંઈક અંશે ઓળખ મેટ્રિક્સ જેવું જ છે, પરંતુ તેના કિસ્સામાં મુખ્ય કર્ણના તમામ ઘટકો એક સમાન મૂલ્ય લેતા નથી. ત્યાં બે અથવા ચાર મુખ્ય કર્ણ એકમો હોઈ શકે છે (તે બધું મેટ્રિક્સની લંબાઈ અને પહોળાઈ પર આધારિત છે). અથવા ત્યાં કોઈ એકમો ન હોઈ શકે (પછી તેને શૂન્ય ગણવામાં આવે છે). કેનોનિકલ પ્રકારના બાકીના ઘટકો, તેમજ કર્ણ અને એકમ તત્વો, શૂન્ય સમાન છે.

ત્રિકોણાકાર પ્રકાર

મેટ્રિક્સના સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રકારોમાંનો એક, તેના નિર્ણાયકની શોધ કરતી વખતે અને સરળ કામગીરી કરતી વખતે વપરાય છે. ત્રિકોણાકાર પ્રકાર કર્ણ પ્રકારમાંથી આવે છે, તેથી મેટ્રિક્સ પણ ચોરસ છે. ત્રિકોણાકાર પ્રકારનો મેટ્રિક્સ ઉપલા ત્રિકોણાકાર અને નીચલા ત્રિકોણાકારમાં વહેંચાયેલો છે.

ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સમાં (ફિગ. 1), મુખ્ય કર્ણની ઉપરના તત્વો જ શૂન્યની બરાબર મૂલ્ય લે છે. કર્ણના ઘટકો અને તેની નીચે સ્થિત મેટ્રિક્સનો ભાગ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો ધરાવે છે.

નીચલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સમાં (ફિગ. 2), તેનાથી વિપરીત, મેટ્રિક્સના નીચલા ભાગમાં સ્થિત તત્વો શૂન્યની બરાબર છે.

મેટ્રિક્સની રેન્ક શોધવા માટે, તેમજ તેના પર પ્રારંભિક કામગીરી માટે દૃશ્ય જરૂરી છે (સાથે ત્રિકોણાકાર પ્રકાર). સ્ટેપ મેટ્રિક્સનું નામ એટલા માટે રાખવામાં આવ્યું છે કારણ કે તેમાં શૂન્યના લાક્ષણિક "પગલાઓ" છે (આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે). પગલાના પ્રકારમાં, શૂન્યનો કર્ણ રચાય છે (જરૂરી નથી કે તે મુખ્ય હોય), અને આ કર્ણ હેઠળના તમામ ઘટકોમાં પણ શૂન્ય સમાન મૂલ્યો હોય છે. પૂર્વશરત નીચે મુજબ છે: જો માં સ્ટેપ મેટ્રિક્સજો ત્યાં શૂન્ય રેખા હોય, તો તેની નીચેની બાકીની રેખાઓમાં પણ આંકડાકીય મૂલ્યો હોતા નથી.

તેથી અમે જોયું સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રકારોતેમની સાથે કામ કરવા માટે જરૂરી મેટ્રિસિસ. હવે ચાલો મેટ્રિક્સને જરૂરી ફોર્મમાં કન્વર્ટ કરવાની સમસ્યા જોઈએ.

ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડો

મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં કેવી રીતે લાવવું? મોટાભાગે કાર્યોમાં તમારે તેના નિર્ણાયકને શોધવા માટે મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે, અન્યથા નિર્ણાયક કહેવાય છે. આ પ્રક્રિયા કરતી વખતે, મેટ્રિક્સના મુખ્ય કર્ણને "સાચવવું" અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક તેના મુખ્ય કર્ણના ઘટકોના ઉત્પાદન સમાન છે. મને નિર્ણાયક શોધવા માટેની વૈકલ્પિક પદ્ધતિઓ પણ યાદ કરવા દો. ચોરસ પ્રકારનો નિર્ધારક વિશિષ્ટ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે ત્રિકોણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો. અન્ય મેટ્રિસિસ માટે, પંક્તિ, કૉલમ અથવા તેમના ઘટકો દ્વારા વિઘટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે. તમે સગીર અને બીજગણિત મેટ્રિક્સ ઉમેરણોની પદ્ધતિનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો.

ચાલો કેટલાક કાર્યોના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની પ્રક્રિયાનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીએ.

કાર્ય 1

પ્રસ્તુત મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શોધવાનું જરૂરી છે.

અમને આપેલ મેટ્રિક્સ ત્રીજા ક્રમનું ચોરસ મેટ્રિક્સ છે. તેથી, તેને કન્વર્ટ કરવા માટે ત્રિકોણાકાર આકારઆપણે પ્રથમ સ્તંભના બે ઘટકો અને બીજાના એક ઘટકને શૂન્યમાં ફેરવવાની જરૂર છે.

તેને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં લાવવા માટે, અમે મેટ્રિક્સના નીચલા ડાબા ખૂણેથી - 6 નંબરથી પરિવર્તન શરૂ કરીએ છીએ. તેને શૂન્યમાં ફેરવવા માટે, પ્રથમ પંક્તિને ત્રણ વડે ગુણાકાર કરો અને તેને છેલ્લી પંક્તિમાંથી બાદ કરો.

મહત્વપૂર્ણ! ટોચની પંક્તિ બદલાતી નથી, પરંતુ મૂળ મેટ્રિક્સની જેમ જ રહે છે. મૂળ કરતાં ચાર ગણી મોટી સ્ટ્રિંગ લખવાની જરૂર નથી. પરંતુ સ્ટ્રીંગ્સની કિંમતો જેના ઘટકોને શૂન્ય પર સેટ કરવાની જરૂર છે તે સતત બદલાતી રહે છે.

બસ બાકી છે છેલ્લું મૂલ્ય- બીજા સ્તંભની ત્રીજી પંક્તિનું તત્વ. આ નંબર (-1) છે. તેને શૂન્યમાં ફેરવવા માટે, પ્રથમ લાઇનમાંથી બીજી બાદબાકી કરો.

ચાલો તપાસીએ:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

આનો અર્થ એ છે કે કાર્યનો જવાબ -22 છે.

કાર્ય 2

મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડીને શોધવાનું જરૂરી છે.

પ્રસ્તુત મેટ્રિક્સ ચોરસ પ્રકારનું છે અને ચોથા ક્રમનું મેટ્રિક્સ છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ કૉલમના ત્રણ ઘટકો, બીજા કૉલમના બે ઘટકો અને ત્રીજાના એક ઘટકને શૂન્યમાં ફેરવવું જરૂરી છે.

ચાલો તેને નીચેના ડાબા ખૂણામાં સ્થિત તત્વમાંથી રૂપાંતરિત કરવાનું શરૂ કરીએ - નંબર 4 થી. અમારે વિપરીત કરવાની જરૂર છે. આપેલ નંબરશૂન્ય સુધી. આ કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે ટોચની લાઇનને ચાર વડે ગુણાકાર કરો અને પછી તેને ચોથીમાંથી બાદ કરો. ચાલો પરિવર્તનના પ્રથમ તબક્કાનું પરિણામ લખીએ.

તેથી ચોથી પંક્તિનો ઘટક શૂન્ય પર સેટ છે. ચાલો ત્રીજી લીટીના પ્રથમ તત્વ પર, નંબર 3 તરફ આગળ વધીએ. અમે સમાન કામગીરી કરીએ છીએ. અમે પ્રથમ લીટીને ત્રણ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, તેને ત્રીજી લીટીમાંથી બાદ કરીએ છીએ અને પરિણામ લખીએ છીએ.

અમે આ ચોરસ મેટ્રિક્સના પ્રથમ કૉલમના તમામ ઘટકોને શૂન્યમાં ફેરવવામાં વ્યવસ્થાપિત છીએ, નંબર 1 ના અપવાદ સાથે - મુખ્ય કર્ણનું એક તત્વ જેને પરિવર્તનની જરૂર નથી. હવે પરિણામી શૂન્યને સાચવવું મહત્વપૂર્ણ છે, તેથી અમે રૂપાંતરણ પંક્તિઓ સાથે કરીશું, કૉલમ સાથે નહીં. ચાલો પ્રસ્તુત મેટ્રિક્સની બીજી કોલમ પર જઈએ.

ચાલો છેલ્લી પંક્તિના બીજા કૉલમના તત્વ સાથે - તળિયેથી ફરી શરૂ કરીએ. આ સંખ્યા (-7) છે. જો કે, માં આ કિસ્સામાંત્રીજી પંક્તિના બીજા સ્તંભનું તત્વ - નંબર (-1) થી શરૂ કરવું વધુ અનુકૂળ છે. તેને શૂન્યમાં ફેરવવા માટે, ત્રીજી લાઇનમાંથી બીજી બાદબાકી કરો. પછી આપણે બીજી લીટીને સાત વડે ગુણાકાર કરીએ અને ચોથીમાંથી બાદ કરીએ. બીજા સ્તંભની ચોથી પંક્તિમાં સ્થિત તત્વને બદલે અમને શૂન્ય મળ્યું. હવે ચાલો ત્રીજી કોલમ તરફ આગળ વધીએ.

આ સ્તંભમાં આપણે માત્ર એક સંખ્યાને શૂન્યમાં ફેરવવાની જરૂર છે - 4. આ કરવું મુશ્કેલ નથી: ફક્ત તેમાં ઉમેરો છેલ્લી લીટીત્રીજું અને આપણે જોઈતા શૂન્ય જોઈએ છીએ.

તમામ રૂપાંતરણો કર્યા પછી, અમે સૂચિત મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં લાવ્યા. હવે, તેના નિર્ણાયકને શોધવા માટે, તમારે ફક્ત મુખ્ય કર્ણના પરિણામી ઘટકોનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. અમને મળે છે: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.તેથી, ઉકેલ 160 છે.

તેથી, હવે મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો પ્રશ્ન તમને પરેશાન કરશે નહીં.

સ્ટેપ્ડ ફોર્મમાં ઘટાડો

મેટ્રિસીસ પર પ્રાથમિક કામગીરી માટે, સ્ટેપ્ડ ફોર્મ ત્રિકોણાકાર કરતાં ઓછું "માગમાં" છે. મોટાભાગે તેનો ઉપયોગ મેટ્રિક્સની રેન્ક શોધવા માટે થાય છે (એટલે ​​​​કે, તેની બિન-શૂન્ય પંક્તિઓની સંખ્યા) અથવા રેખીય રીતે આશ્રિત અને સ્વતંત્ર પંક્તિઓ નક્કી કરવા માટે. જો કે, મેટ્રિક્સનો સ્ટેપ્ડ પ્રકાર વધુ સાર્વત્રિક છે, કારણ કે તે માત્ર ચોરસ પ્રકાર માટે જ નહીં, પણ અન્ય તમામ માટે પણ યોગ્ય છે.

મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ ફોર્મમાં ઘટાડવા માટે, તમારે પહેલા તેના નિર્ણાયકને શોધવાની જરૂર છે. ઉપરોક્ત પદ્ધતિઓ આ માટે યોગ્ય છે. નિર્ણાયકને શોધવાનો હેતુ એ શોધવાનો છે કે શું તેને સ્ટેપ મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. જો નિર્ણાયક વધારે હોય અથવા શૂન્ય કરતાં ઓછું, તો પછી તમે શાંતિથી કાર્ય શરૂ કરી શકો છો. જો તે શૂન્ય બરાબર, મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં ઘટાડવું શક્ય બનશે નહીં. આ કિસ્સામાં, તમારે રેકોર્ડિંગ અથવા મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશનમાં કોઈ ભૂલો છે કે કેમ તે તપાસવાની જરૂર છે. જો આવી કોઈ અચોક્કસતા ન હોય, તો કાર્ય હલ કરી શકાતું નથી.

ચાલો જોઈએ કે કેટલાંક કાર્યોના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ ફોર્મમાં કેવી રીતે ઘટાડવું.

કાર્ય 1.આપેલ મેટ્રિક્સ કોષ્ટકનો ક્રમ શોધો.

અમારા પહેલાં ચોરસ મેટ્રિક્સત્રીજો ક્રમ (3x3). અમે જાણીએ છીએ કે રેન્ક શોધવા માટે તેને એક સ્ટેપવાઇઝ ફોર્મમાં ઘટાડવું જરૂરી છે. તેથી, પ્રથમ આપણે મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને શોધવાની જરૂર છે. ચાલો ત્રિકોણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

નિર્ણાયક = 12. He શૂન્ય કરતાં વધુ, જેનો અર્થ છે કે મેટ્રિક્સને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. ચાલો તેને રૂપાંતરિત કરવાનું શરૂ કરીએ.

ચાલો તેને ત્રીજી લીટીના ડાબા સ્તંભના તત્વથી શરૂ કરીએ - નંબર 2. ટોચની લીટીને બે વડે ગુણાકાર કરો અને તેને ત્રીજીમાંથી બાદ કરો. આ ઑપરેશન માટે આભાર, અમને જરૂરી તત્વ અને નંબર 4 - ત્રીજી પંક્તિના બીજા કૉલમનું તત્વ - બંને શૂન્ય થઈ ગયા.

આપણે જોઈએ છીએ કે ઘટાડાના પરિણામે, ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સની રચના થઈ હતી. અમારા કિસ્સામાં, અમે પરિવર્તન ચાલુ રાખી શકતા નથી, કારણ કે બાકીના ઘટકોને શૂન્ય સુધી ઘટાડી શકાતા નથી.

આનો અર્થ એ છે કે આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે આ મેટ્રિક્સ (અથવા તેના ક્રમ) માં સંખ્યાત્મક મૂલ્યો ધરાવતી પંક્તિઓની સંખ્યા 3 છે. કાર્યનો જવાબ: 3.

કાર્ય 2.આ મેટ્રિક્સની રેખીય રીતે સ્વતંત્ર પંક્તિઓની સંખ્યા નક્કી કરો.

આપણે એવા શબ્દમાળાઓ શોધવાની જરૂર છે જે કોઈપણ પરિવર્તન દ્વારા શૂન્યમાં રૂપાંતરિત ન થઈ શકે. હકીકતમાં, આપણે બિન-શૂન્ય પંક્તિઓની સંખ્યા અથવા પ્રસ્તુત મેટ્રિક્સની રેન્ક શોધવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, ચાલો તેને સરળ બનાવીએ.

આપણે એક મેટ્રિક્સ જોઈએ છીએ જે ચોરસ પ્રકારનું નથી. તે 3x4 માપે છે. ચાલો નીચલા ડાબા ખૂણાના તત્વ સાથે ઘટાડો પણ શરૂ કરીએ - સંખ્યા (-1).

તેના વધુ પરિવર્તનો અશક્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે તેમાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર રેખાઓની સંખ્યા અને કાર્યનો જવાબ 3 છે.

હવે મેટ્રિક્સને સ્ટેપ્ડ ફોર્મમાં ઘટાડવું તમારા માટે અશક્ય કાર્ય નથી.

આ કાર્યોના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપ અને સ્ટેપ્ડ ફોર્મમાં ઘટાડવાની તપાસ કરી. તેને શૂન્ય બનાવવા માટે જરૂરી મૂલ્યોમેટ્રિક્સ કોષ્ટકો, માં કેટલાક કિસ્સાઓમાંતમારે તમારી કલ્પનાનો ઉપયોગ કરવાની અને તેમના કૉલમ અથવા પંક્તિઓને યોગ્ય રીતે કન્વર્ટ કરવાની જરૂર છે. ગણિતમાં અને મેટ્રિસિસ સાથે કામ કરવામાં સારા નસીબ!

વિભાગ 3. મેટ્રિસિસ

3.1 મૂળભૂત ખ્યાલો

મેટ્રિક્સસંખ્યાઓનું લંબચોરસ કોષ્ટક છે ટીસમાન લંબાઈના તાર (અથવા nસમાન લંબાઈના કૉલમ). મેટ્રિક્સ આ રીતે લખાયેલ છે:

અથવા, ટૂંકમાં,
, ક્યાં
(તે.
) - લાઇન નંબર,
(તે.
) - કૉલમ નંબર.

મેટ્રિક્સ એમેટ્રિક્સ કહેવાય છે કદ
અને લખો
. સંખ્યાઓ , મેટ્રિક્સના ઘટકોને તેના કહેવામાં આવે છે તત્વોઉપરના ડાબા ખૂણેથી કર્ણ પરના તત્વો મુખ્ય કર્ણ બનાવે છે.

ઉદાહરણ 1.તત્વ
1લી પંક્તિ અને 2જી કૉલમ અને તત્વમાં સ્થિત છે 3જી પંક્તિ અને 1લી કૉલમમાં છે.

ઉદાહરણ 2.મેટ્રિક્સ
કદ ધરાવે છે
, કારણ કે તેમાં 2 પંક્તિઓ અને 4 કૉલમ છે. મેટ્રિક્સ
કદ ધરાવે છે
, કારણ કે તેમાં 3 પંક્તિઓ અને 2 કૉલમ છે.

મેટ્રિસિસ સમાન છેએકબીજા સાથે જો તેઓ સમાન હોય બધાઆ મેટ્રિસીસના અનુરૂપ તત્વો, એટલે કે.
, જો
, જ્યાં
,
.

મેટ્રિક્સ કે જેની પંક્તિઓની સંખ્યા કૉલમની સંખ્યા જેટલી હોય તેને કહેવામાં આવે છે ચોરસ. ચોરસ માપ મેટ્રિક્સ
મેટ્રિક્સ કહેવાય છે nth ઓર્ડર.

ઉદાહરણ 3.મેટ્રિસિસ અને ઉદાહરણ 2 થી લંબચોરસ કહેવાય છે. મેટ્રિક્સ
3જી ક્રમનું ચોરસ મેટ્રિક્સ છે. તેમાં 3 પંક્તિઓ અને 3 કૉલમ છે.

એક ચોરસ મેટ્રિક્સ કે જેમાં મુખ્ય કર્ણ પરના તત્વો સિવાયના તમામ તત્વો શૂન્યની બરાબર હોય તેને કહેવામાં આવે છે કર્ણ. એક કર્ણ મેટ્રિક્સ કે જેમાં મુખ્ય કર્ણનું દરેક તત્વ એક સમાન હોય તેને કહેવામાં આવે છે એકલપત્ર દ્વારા સૂચિત ઇ.

ઉદાહરણ 4.
- 3જી ક્રમનું એકમ મેટ્રિક્સ.

ચોરસ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે ત્રિકોણાકાર, જો મુખ્ય કર્ણની એક બાજુ પર સ્થિત તમામ તત્વો શૂન્ય સમાન હોય. મેટ્રિક્સ કે જેના તત્વો બધા શૂન્ય છે તેને કહેવામાં આવે છે નલ. પત્ર દ્વારા સૂચિત વિશે.

મેટ્રિક્સ કેલ્ક્યુલસમાં, મેટ્રિસિસ વિશેઅને ઇઅંકગણિતમાં 0 અને 1 ની ભૂમિકા ભજવો.

,
.

માપ મેટ્રિક્સ
, જેમાં એક નંબરનો સમાવેશ થાય છે, તેને આ નંબરથી ઓળખવામાં આવે છે, એટલે કે.
ત્યાં 5 છે.

આપેલમાંથી મેળવેલ મેટ્રિક્સને તેની દરેક પંક્તિને સમાન નંબર સાથે કૉલમ સાથે બદલીને મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે, સ્થાનાંતરિતઆ એક માટે. નિયુક્ત
. તેથી, જો
, તે
જો
, તે
. ટ્રાન્સપોઝ્ડ મેટ્રિક્સમાં નીચેની મિલકત છે:
.

3.2 મેટ્રિસીસ પર કામગીરી

ઉમેરણ

મેટ્રિક્સ એડિશન ઑપરેશન ફક્ત સમાન કદના મેટ્રિસિસ માટે જ રજૂ કરવામાં આવ્યું છે.

બે મેટ્રિસિસનો સરવાળો
અને
મેટ્રિક્સ કહેવાય છે
જેમ કે
(
,
).

ઉદાહરણ 5. .

મેટ્રિક્સ તફાવત એ જ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે.

સંખ્યા વડે ગુણાકાર

મેટ્રિક્સ ઉત્પાદન
સંખ્યા દીઠk મેટ્રિક્સ કહેવાય છે
જેમ કે b ij = ka ij (i=
, j=).

ઉદાહરણ 6.
,
,
.

મેટ્રિક્સ
કહેવાય છે વિરુદ્ધ મેટ્રિક્સ A.

મેટ્રિક્સ તફાવત
આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:
.

મેટ્રિક્સ ઉમેરવાની અને સંખ્યા વડે મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરવાની ક્રિયાઓ નીચે મુજબ છે ગુણધર્મો:

જ્યાં એ, IN, સાથે- મેટ્રિક્સ, α અને β - સંખ્યાઓ.

પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ પરિવર્તન

પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ પરિવર્તનછે:

મેટ્રિક્સની બે સમાંતર પંક્તિઓની અદલાબદલી;

મેટ્રિક્સ પંક્તિના તમામ ઘટકોને બિનશૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવો;

મેટ્રિક્સ શ્રેણીના તમામ ઘટકોમાં સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર, સમાંતર શ્રેણીના અનુરૂપ તત્વો ઉમેરી રહ્યા છે.

બે મેટ્રિસિસ એઅને INકહેવાય છે સમકક્ષ, જો તેમાંથી એક પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને બીજામાંથી મેળવવામાં આવે છે. એ~IN.

રેકોર્ડ કરેલ પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, કોઈપણ મેટ્રિક્સને મેટ્રિક્સમાં ઘટાડી શકાય છે જેમાં મુખ્ય કર્ણની શરૂઆતમાં એક પંક્તિમાં ઘણા બધા હોય છે, અને અન્ય તમામ ઘટકો શૂન્યની બરાબર હોય છે. આવા મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છેપ્રમાણભૂત
.

, ઉદાહરણ તરીકેઉદાહરણ 7.
.

મેટ્રિક્સને કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં ઘટાડો

ઉકેલ: પ્રાથમિક પરિવર્તન કરવાથી, આપણને મળે છે
(સ્તંભો I અને III સ્વેપ કરેલ) ~
(પંક્તિ I ને લીટી II માં ઉમેરવામાં આવી હતી અને પરિણામ બીજી લીટીમાં લખવામાં આવ્યું હતું; તે લીટી પછી મને લીટી III માં ઉમેરવામાં આવ્યું હતું અને પરિણામ ત્રીજી લીટીમાં લખવામાં આવ્યું હતું) ~
(કૉલમ I નો ગુણાકાર (-3) કરવામાં આવ્યો હતો, કૉલમ II સાથે ઉમેરવામાં આવ્યો હતો અને પરિણામ કૉલમ II માં લખવામાં આવ્યું હતું; પછી કૉલમ I નો ગુણાકાર (-2) કરવામાં આવ્યો હતો, કૉલમ III સાથે ઉમેરવામાં આવ્યો હતો અને પરિણામ કૉલમ III માં લખવામાં આવ્યું હતું; તે પછી કૉલમ I ને ફરીથી ( -2) વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો અને કૉલમ IV સાથે ઉમેરવામાં આવ્યો, અને પરિણામ કૉલમ IV માં લખવામાં આવ્યું) ~
(III કૉલમનો ગુણાકાર (-2) કરવામાં આવ્યો હતો, કૉલમ II માં ઉમેરવામાં આવ્યો હતો અને કૉલમ II માં પરિણામ લખવામાં આવ્યું હતું; કૉલમ III ને 2 વડે વિભાજિત કરવામાં આવ્યું હતું અને પરિણામ કૉલમ III માં લખવામાં આવ્યું હતું; કૉલમ III નો ગુણાકાર (-1) દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો, ઉમેરવામાં આવ્યો હતો કૉલમ IV સુધી અને પરિણામ IV કૉલમમાં લખવામાં આવ્યું હતું) ~
(II લાઇનનો 3 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો, લાઇન III માં ઉમેરવામાં આવ્યો હતો અને પરિણામ III માં લખવામાં આવ્યું હતું) ~
(કૉલમ II ને (-1) વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો, કૉલમ III અને IV સાથે ક્રમિક રીતે ઉમેરવામાં આવ્યો હતો, અને પરિણામ અનુક્રમે કૉલમ III અને IV માં લખવામાં આવ્યું હતું) ~

.

અમે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ મેળવ્યું. મેટ્રિસિસનું ઉત્પાદન

બે મેટ્રિસિસના ગુણાકારની કામગીરી ફક્ત ત્યારે જ રજૂ કરવામાં આવે છે જ્યારે પ્રથમ મેટ્રિક્સના કૉલમની સંખ્યા બીજા મેટ્રિક્સની પંક્તિઓની સંખ્યા જેટલી છે. મેટ્રિક્સ A નું ઉત્પાદન ij t×p =(એ =(b ) મેટ્રિક્સ B થી ) p×r સાથે jk મેટ્રિક્સ કહેવાય છે t×r ) જેમ કે

=(સાથે t×r = ik i 1 ∙ b 1 k + ik i 2 ∙ b 2 k + ∙∙∙+ ik c ∙ b a , માં i=
, k=
,

એનકે iજ્યાં kતે તત્વ સાથે-મી લીટી અને iઉત્પાદન મેટ્રિક્સની મી કૉલમ એતત્વોના ઉત્પાદનોના સરવાળા સમાન kમેટ્રિક્સની મી પંક્તિ

અનુરૂપ તત્વો માટે એઅને INમેટ્રિક્સ B ની મી કૉલમ. જો મેટ્રિસિસઅને સમાન કદના ચોરસ, પછી ઉત્પાદનોએબી એ∙ઇ = ઇ∙એ= એવી.એ એહંમેશા અસ્તિત્વમાં છે. તે બતાવવાનું સરળ છે ઇ, ક્યાં

ઉદાહરણ 4.

=.

- ચોરસ મેટ્રિક્સ, એઅને INકહેવાય છે સમાન કદનું ઓળખ મેટ્રિક્સ છે. (મેટ્રિસિસબદલી શકાય તેવું જો મેટ્રિસિસ=સમાન કદના ચોરસ, પછી ઉત્પાદનો.

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર ધરાવે છે નીચેના ગુણધર્મો:

એ∙(IN∙સાથે) = (એ∙IN)∙સાથે;

એ∙(IN + સાથે) = જો મેટ્રિસિસ + એસી;

(એ + IN)∙સાથે = એસી + સૂર્ય;

α (જો મેટ્રિસિસ) = (αA)IN,

જો, અલબત્ત, મેટ્રિસિસના લેખિત સરવાળો અને ઉત્પાદનો અર્થપૂર્ણ છે.

ટ્રાન્સપોઝ ઓપરેશન માટે નીચેના ગુણધર્મો સાચા છે:

(એ + IN) ટી = એ T+ INટી;

(જો મેટ્રિસિસ) ટી = INટી∙ એટી.

જો બહુપદી આપવામાં આવે તો મેટ્રિક્સ બહુપદીf(એ) સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે, જ્યાં
કોઈપણ કુદરતી માટે n. f(એમેટ્રિક્સ બહુપદીનું મૂલ્ય એ) આપેલ મેટ્રિક્સ માટે

મેટ્રિક્સ છે. ચાલો રેખા તત્વ કૉલ કરીએઆત્યંતિક , જો તે બિન-શૂન્ય છે અને આ સ્ટ્રિંગના તમામ ઘટકો સ્થિત છેતેની ડાબી તરફ , શૂન્ય બરાબર છે. મેટ્રિક્સ કહેવાય છેપગલું ભર્યું

ઉદાહરણ 5., જો દરેક લીટીનું સૌથી બહારનું તત્વ પાછલી લીટીના સૌથી બહારના તત્વની જમણી બાજુએ હોય. એઅને INમેટ્રિસિસમાં

દરેક લાઇનના સૌથી બાહ્ય તત્વો ચિહ્નિત થયેલ છે:

- પગલું ભર્યું નથી

-પગલું મેટ્રિસીસ એ વિવિધ પ્રકારના ઉકેલ માટે અનુકૂળ સાધન છેબીજગણિત સમસ્યાઓ . કેટલાક જાણીનેસરળ નિયમો તેમની સાથે કામ કરવા માટે તમને મેટ્રિસિસને કોઈપણ અનુકૂળ અને જરૂરી સુધી ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છેઆ ક્ષણે

સ્વરૂપો મેટ્રિક્સના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરવો તે ઘણીવાર ઉપયોગી છે.

• સૂચનાઓ
• યાદ રાખો કે મેટ્રિક્સના પ્રામાણિક સ્વરૂપ માટે જરૂરી નથી કે સમગ્ર મુખ્ય કર્ણ સાથે હોય. વ્યાખ્યાનો સાર એ છે કે તેના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં મેટ્રિક્સના એકમાત્ર બિન-શૂન્ય ઘટકો છે. જો તેઓ હાજર હોય, તો તેઓ મુખ્ય કર્ણ પર સ્થિત છે. તદુપરાંત, તેમની સંખ્યા શૂન્યથી મેટ્રિક્સમાં લીટીઓની સંખ્યા સુધી બદલાઈ શકે છે. ભૂલશો નહીં કે પ્રારંભિક પરિવર્તન કોઈપણ મેટ્રિક્સને પ્રમાણભૂતમાં ઘટાડવાની મંજૂરી આપે છેમન
• . સૌથી મોટી મુશ્કેલી સાહજિક રીતે ક્રિયાઓની સાંકળોનો સૌથી સરળ ક્રમ શોધવાની છે અને ગણતરીમાં ભૂલો ન કરવી.
• મેટ્રિક્સમાં પંક્તિઓ અને કૉલમ સાથેની કામગીરીના મૂળભૂત ગુણધર્મો જાણો. પ્રાથમિક રૂપાંતરણોમાં ત્રણ પ્રમાણભૂત પરિવર્તનોનો સમાવેશ થાય છે. આ કોઈપણ બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા મેટ્રિક્સ પંક્તિનો ગુણાકાર છે, પંક્તિઓનો સરવાળો (એકબીજાના ઉમેરા સહિત, અમુક સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર) અને તેમની પુનઃ ગોઠવણી. આવી ક્રિયાઓ આપણને આની સમકક્ષ મેટ્રિક્સ મેળવવા દે છે. તદનુસાર, તમે સમાનતા ગુમાવ્યા વિના કૉલમ પર આવી કામગીરી કરી શકો છો.
• એકસાથે અનેક પ્રાથમિક પરિવર્તનો ન કરવાનો પ્રયાસ કરો: આકસ્મિક ભૂલોને રોકવા માટે સ્ટેજથી સ્ટેજ પર જાઓ.
• અગાઉની ભલામણને અનુસરવા માટે કિનારી સગીર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો. kth ઓર્ડર સગીર, તેમજ ડિગ્રી (k+1) ના તમામ આસપાસના સગીરોની ગણતરી કરો. જો તેઓ શૂન્ય સમાન હોય, તો મેટ્રિક્સનો ક્રમ એ નંબર k છે તે ભૂલશો નહીં કે માઇનોર મિજ એ મૂળમાંથી પંક્તિ i અને કૉલમ j ને કાઢી નાખવાથી મેળવેલ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે.

Т" = с (i), Т" = 1………….(i), Т"" = 0…1……….(i) b(λ)……….(j) 1…0… …….(જે).

યોગ્ય પ્રાથમિક કામગીરી લાગુ કરવાના પરિણામે, મેટ્રિક્સ A(λ) ને જમણી બાજુએ સંબંધિત મેટ્રિક્સ T વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે મેટ્રિક્સ T" મેટ્રિક્સ S સાથે એકરુપ છે", અને મેટ્રિક્સ T", T"" મેટ્રિક્સ S", S"" સાથે એકરુપ છે, જો સૂચકાંકો i અને j બાદમાં સ્વેપ કરવામાં આવે છે. પ્રકાર S", S", S"" (અથવા, શું સમાન છે, પ્રકાર T", T", T"") ના મેટ્રિસિસને પ્રાથમિક કહેવામાં આવે છે.

m x n સમાન કદના બે λ-મેટ્રિસિસ A(λ) અને B(λ) સમકક્ષ કહેવાય છે, A(λ) ~ B(λ), જો કોઈ મેટ્રિક્સ A(λ) થી B(λ) સુધી a નો ઉપયોગ કરીને જઈ શકે. પ્રારંભિક પરિવર્તનોની મર્યાદિત સંખ્યાની સાંકળ. સમાનતા સંબંધમાં ત્રણ મુખ્ય ગુણધર્મો છે:

1) રીફ્લેક્સિવિટી: દરેક મેટ્રિક્સ એ પોતાના સમકક્ષ છે A(λ) ~ B(λ);

2) સમપ્રમાણતા: જો A(λ) ~ B(λ), તો B(λ) ~ A(λ);

3) સંક્રમણ: જો A(λ) ~ B(λ), અને B(λ) ~ C(λ), તો A(λ) ~ C(λ).

§2. λ-મેટ્રિક્સનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ

તે ઉપર દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે સમકક્ષ સંબંધ સંક્રાન્તિક, સપ્રમાણ અને રીફ્લેક્સિવ છે. તે અનુસરે છે કે આપેલ કદના m x n ના તમામ λ-મેટ્રિસિસના સમૂહને સમકક્ષ મેટ્રિસિસના અસંબંધિત વર્ગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે. વર્ગોમાં જેમ કે સમાન વર્ગમાંથી કોઈપણ બે મેટ્રિસિસ સમકક્ષ હોય, અને થી વિવિધ વર્ગો- એકબીજાના સમકક્ષ નથી. λ-મેટ્રિક્સ લાક્ષણિકતાના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ વિશે પ્રશ્ન ઊભો થાય છે આ વર્ગસમકક્ષ λ-મેટ્રિસિસ.

m x n ના પરિમાણનું પ્રમાણભૂત વિકર્ણ λ-મેટ્રિક્સ એ λ-મેટ્રિક્સ છે જેના મુખ્ય કર્ણમાં બહુપદી E1(λ), ​​E2(λ), ..., Ep(λ), જ્યાં p એ m સંખ્યાઓમાંથી નાની છે. અને n, જે આ બહુપદીઓમાં શૂન્યની બરાબર નથી, તેમાં સૌથી વધુ ગુણાંક છે, એક સમાન, અને દરેક અનુગામી બહુપદીને અગાઉના એક વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે, તેમ છતાં મુખ્ય કર્ણની બહારના તત્વો શૂન્ય સમાન છે.

પ્રમેય 1. કોઈપણ λ-મેટ્રિક્સને પ્રાથમિક રૂપાંતરણોની મર્યાદિત સંખ્યા દ્વારા પ્રમાણભૂત કર્ણ સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે.

પુરાવો. A(λ) એક લંબચોરસ બહુપદી મેટ્રિક્સ છે. ડાબી અને જમણી બંને પ્રાથમિક ક્રિયાઓને A(λ) પર લાગુ કરવાથી આપણે કેનોનિકલ કર્ણ સ્વરૂપ તરફ દોરી જઈએ છીએ.

મેટ્રિક્સ A(λ) ના તમામ બિન-શૂન્ય તત્વો аіј(λ) પૈકી, અમે λ ના સંદર્ભમાં સૌથી નાની ડિગ્રી ધરાવતું તત્વ લઈએ છીએ અને પંક્તિઓ અને કૉલમને યોગ્ય રીતે ગોઠવીને અમે તેને a11(λ) તત્વ બનાવીએ છીએ. આ પછી, આપણે બહુપદી аі1(λ) અને а1ј(λ) ને а11(λ) વડે વિભાજિત કરવાથી અવશેષો અને અવશેષો શોધીશું:

аі1(λ) = а11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), а1ј(λ) = а11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)

(i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, …, n).

જો બાકીનામાંથી ઓછામાં ઓછું એક rі1(λ), ​​r1ј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n), ઉદાહરણ તરીકે r1ј (λ), સમાન રીતે શૂન્ય નથી, તો, પહેલા સ્તંભના j-માંથી બાદબાકી કરીને, અગાઉ q1ј(λ) દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો, અમે તત્વ a1ј(λ) ને બાકીના r1ј(λ) સાથે બદલીએ છીએ, જે a11(λ) કરતા નીચી ડિગ્રી ધરાવે છે. પછી આપણી પાસે ફરીથી મેટ્રિક્સના ઉપરના ડાબા ખૂણામાં તત્વની ડિગ્રી ઘટાડવાની તક છે આ જગ્યાએ λ ની તુલનામાં સૌથી નીચી ડિગ્રી ધરાવતું તત્વ મૂકીને.

જો બાકીના બધા r21(λ), ​​… rm1(λ); r12(λ), …, r1n(λ) સમાન રીતે શૂન્ય છે, પછી, પ્રથમ i-th પંક્તિમાંથી બાદ કરીને, અગાઉ qі1(λ) (i = 2, …, m), અને j-th માંથી ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. કૉલમ - પ્રથમ , અગાઉ q1ј(λ) (j = 2, …, n) વડે ગુણાકાર કર્યો હતો, અમે અમારા મેટ્રિક્સને ફોર્મમાં ઘટાડીએ છીએ

а11(λ) 0 … 0

0 а22(λ) … а2n(λ)

….…………………… .

0 am2(λ) … amn(λ)

જો તે જ સમયે ઓછામાં ઓછું એક તત્વ аіј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) બાકીના વિના а11(λ) વડે વિભાજ્ય ન હોય, તો પ્રથમમાં ઉમેરીને કૉલમ કૉલમ કે જે આ તત્વ ધરાવે છે, અમે પાછલા કેસ પર આવીશું અને તેથી, અમે ફરીથી a11(λ) ઘટકને ઓછી ડિગ્રીના બહુપદી સાથે બદલી શકીશું.

મૂળ તત્વ a11(λ) પાસે હોવાથી ચોક્કસ ડિગ્રીઅને આ ડિગ્રી ઘટાડવાની પ્રક્રિયા અનિશ્ચિત સમય માટે ચાલુ રાખી શકાતી નથી, તો પછી મર્યાદિત સંખ્યામાં પ્રારંભિક કામગીરી પછી આપણે ફોર્મનું મેટ્રિક્સ મેળવવું જોઈએ

(*) 0 b22(λ) … b 2n(λ)

….…………………… ,

0 bm2 (λ) …bmn (λ)

જેમાં તમામ તત્વો bіј(λ) બાકી વગર а1(λ) વડે વિભાજ્ય છે. જો આ તત્વોમાં bіј(λ) સમાન રીતે શૂન્ય ન હોય, તો પછી નંબરો 2, …, m અને નંબરો 2, …, n સાથેની પંક્તિઓ માટે સમાન ઘટાડાની પ્રક્રિયા ચાલુ રાખીને, અમે મેટ્રિક્સ (*) ને ફોર્મમાં ઘટાડીશું.

આમ, અમે સાબિત કર્યું છે કે મનસ્વી લંબચોરસ બહુપદી મેટ્રિક્સ A(λ) કેટલાક પ્રમાણભૂત વિકર્ણ મેટ્રિક્સની સમકક્ષ છે.