અફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશન b એ પ્લેનનું રૂપાંતર છે જે દરેક લીટીને સીધી લીટીમાં રૂપાંતરિત કરે છે અને તે સંબંધને સાચવે છે જેમાં બિંદુ એક સેગમેન્ટને વિભાજિત કરે છે.
ફિગ. 1 માં: L"= b(L), A"=b(A), B"=b(B), C"=b(C), |
રૂપાંતરણ - ગતિ અને સમાનતા - સંલગ્નતાના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ છે, કારણ કે, ગતિ અને સમાનતાના ગુણધર્મોને લીધે, તેમના માટે સંલગ્ન રૂપાંતરણોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટેની બધી આવશ્યકતાઓ પૂરી થાય છે.
ચાલો આપણે એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશનનું ઉદાહરણ આપીએ જે અગાઉ ધ્યાનમાં લેવાયેલા લોકો માટે ઘટાડી શકાય તેવું નથી. આ માટે, આપણે સૌ પ્રથમ પ્લેન પર પ્લેનનાં સમાંતર પ્રક્ષેપણને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
પ્લેન્સ આપવા દો: w અને w1 સીધી રેખા l (ડિઝાઇનની દિશા), આમાંના કોઈપણ પ્લેનની સમાંતર નહીં (ફિગ. 2). Aєw બિંદુને A1єw1 બિંદુનું પ્રક્ષેપણ કહેવામાં આવે છે, જો AA1||l, તો AA1 રેખાને પ્રક્ષેપણ રેખા કહેવામાં આવે છે. સમાંતર ડિઝાઇન એ w1 પ્લેનનું w પર મેપિંગ છે.
ચાલો નીચેના ગુણધર્મોની નોંધ લઈએ સમાંતર ડિઝાઇન.
1) કોઈપણ રેખા a1 ની છબી સીધી રેખા છે.
વાસ્તવમાં, રેખા a1 ના પ્રક્ષેપણ બિંદુઓ એક પ્લેન બનાવે છે (તે l ની a1 સમાંતરમાંથી પસાર થાય છે), જે જ્યારે w સાથે છેદે છે, ત્યારે રેખા a1 - રેખા a (ફિગ. 2) ની છબી આપે છે.
2) સંબંધ કે જેમાં બિંદુ સેગમેન્ટને વિભાજિત કરે છે તે સાચવેલ છે, એટલે કે.
તે સમાંતર રેખાઓ દ્વારા ખૂણાની બાજુઓના આંતરછેદ વિશેના પ્રમેયમાંથી તરત જ અનુસરે છે.
ચાલો આપણે સીધું જ એફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશનનું ઉદાહરણ બાંધવા આગળ વધીએ.
ચાલો ડબલ્યુ પ્લેનની બે નકલો લઈએ અને તેમાંથી એકને બીજી સ્થિતિ w1 પર લઈ જઈએ (ફિગ. 3). ચાલો કોઈપણ બિંદુ Aєw ની નવી સ્થિતિને A1єw1 તરીકે દર્શાવીએ. હવે આપણે પ્લેન w1 ને અમુક સ્થિતિમાં w પર પ્રક્ષેપિત કરીએ છીએ અને A દ્વારા બિંદુ A1 ના પ્રક્ષેપણને દર્શાવીએ છીએ."
પરિણામ એ પ્લેન ડબલ્યુનું પોતાના પર રૂપાંતર છે, જેમાં. સમાંતર પ્રક્ષેપણના સપ્રમાણ ગુણધર્મોને લીધે, આ રૂપાંતરણ માટે ચોક્કસ સંલગ્ન રૂપાંતરણની બંને આવશ્યકતાઓ સંતોષાય છે, તેથી, હવે રચાયેલ પરિવર્તન પરિપ્રેક્ષ્ય-સંબંધિત છે.
3) મુખ્ય પ્રમેય. બે અફિન ફ્રેમ્સ ગમે તે હોય અને, ત્યાં એક અનોખું એફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશન છે જે પ્રથમને બીજામાં રૂપાંતરિત કરે છે.
અસ્તિત્વ. ચાલો આપણે રૂપાંતરણ aને ધ્યાનમાં લઈએ, જે એક મનસ્વી બિંદુ Aને રૂપાંતરિત કરે છે, જે ફ્રેમ R માં કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y) ધરાવે છે, બિંદુ A પર, જે ફ્રેમ R (ફિગ. 4) માં સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. દેખીતી રીતે, a(R) = R. ચાલો બતાવીએ કે a એ અફીન ટ્રાન્સફોર્મેશન છે.
ફ્રેમ R માં ax+vy+c=0 સમીકરણ ધરાવતી સીધી રેખા l ની છબી એ રેખા l હશે", જે R" માં સમાન સમીકરણ ધરાવે છે. આનો અર્થ એ થાય કે l" એક સીધી રેખા છે (ફિગ. 5). પરિણામે, મનસ્વી સીધી રેખાની છબી એક સીધી રેખા છે.
ચાલો હવે બિંદુ C(x,y) બિંદુ A(x1,y1), B(x2,y2) ને જોડતા સેગમેન્ટને સંબંધમાં વિભાજીત કરીએ.
અને કારણ કે આ બિંદુઓની છબીઓ - A", B", C" સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (અલગ સિસ્ટમમાં), તો, તેથી,
તેથી, b ના રૂપાંતરણ માટે, વ્યાખ્યાની બંને આવશ્યકતાઓ પૂરી થાય છે, જેનો અર્થ છે b એ સંલગ્ન પરિવર્તન છે.
વિરોધાભાસ દ્વારા અનન્ય સાબિતી. ચાલો ત્યાં બે સંલગ્ન રૂપાંતરણો b1 અને b2, જે હેઠળ. પછી ત્યાં એક બિંદુ A જેમ કે, જ્યાં (ફિગ. 6). ચાલો K દ્વારા રેખાઓ OA અને E1E2 ના આંતરછેદના બિંદુને દર્શાવીએ (જો આ રેખાઓ સમાંતર હોય, તો આપણે E1A, OE2 લેવાની જરૂર છે, જો આ રેખાઓ સમાંતર હોય, તો આપણે E2A અને OE1 લેવાની જરૂર છે). કારણ કે, બિંદુ K ની છબી બિંદુ K"1 હશે - રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ. સંલગ્ન પરિવર્તનની વ્યાખ્યાના આધારે:
એ જ રીતે ટ્રાન્સફોર્મેશન b2 માટે.
આમ
આમાંની પ્રથમ સમાનતા દર્શાવે છે કે બિંદુઓ K"1 અને K"2 એકરૂપ થાય છે, અને પછી બીજાથી તે A"1=A"2ને અનુસરે છે, જે A નો વિરોધાભાસ કરે છે. પરિણામી વિરોધાભાસ પ્રમેયને સાબિત કરે છે.
મુખ્ય પ્રમેયને અલગ રીતે ઘડી શકાય છે: બે ત્રિકોણ ગમે તે હોય, ત્યાં એક અનોખું સંલગ્ન રૂપાંતર છે જે એકને બીજામાં પરિવર્તિત કરે છે.
સાબિત થયેલ મુખ્ય પ્રમેય એફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશનની વિભાવનાને રચનાત્મક બનાવે છે. અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન મનસ્વી એફાઇન ફ્રેમની જોડી દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.
4) સંલગ્ન પરિવર્તન સમીકરણો મુખ્ય પ્રમેય અને રૂપાંતરણ સૂત્રોમાંથી મેળવવામાં આવે છે affine કોઓર્ડિનેટ્સગતિ અને સમાનતાના સમીકરણોની જેમ. બે સંદર્ભ બિંદુઓ દો અને આપવામાં આવે (ફિગ. 7).
નીચેના સમીકરણો પ્રાપ્ત થાય છે:
આ સમીકરણો લખેલા છે affine સિસ્ટમસંકલન ખાસ કરીને, તેઓ લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં પણ કાર્ય કરે છે.
છબીની રચના અને તેની સાથેની વિવિધ ક્રિયાઓ માટે વપરાશકર્તાને જાણવાની જરૂર છે ગાણિતિક સાક્ષરતા. ભૌમિતિક ખ્યાલો, પ્લેન અને ત્રિ-પરિમાણીય કેસોને લગતા સૂત્રો અને તથ્યો કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ સમસ્યાઓમાં ભજવે છે વિશેષ ભૂમિકા. સિદ્ધાંતો વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિસતત વિસ્તરી રહેલી તકો સાથે કમ્પ્યુટર ટેકનોલોજીછે એક અખૂટ સ્ત્રોતકમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સના વિકાસમાં નોંધપાત્ર પ્રગતિ, તેના અસરકારક ઉપયોગ CAD માં.
રાસ્ટર અને વેક્ટર છબીઓ
ત્યાં બે પ્રકારની છબીઓ છે: રાસ્ટર અને વેક્ટર.
રાસ્ટર ઇમેજમાં ઘણા બધા બિંદુઓ હોય છે - પિક્સેલ (અંગ્રેજી પિક્સેલ - પિક્ચર એલિમેન્ટમાંથી), દરેક પિક્સેલનો ચોક્કસ રંગ હોય છે. પિક્સેલ્સ જેટલા ગીચ છે, તેમના કદ જેટલા નાના છે, અને વધુરંગો, ઉચ્ચ ચિત્ર ગુણવત્તા. ઉદાહરણો રાસ્ટર છબીઓ: ઑફસેટ (અખબાર) પ્રિન્ટીંગ, કમ્પ્યુટર સ્ક્રીન પરની છબી, સ્કેન કરેલ ચિત્ર. ગ્રાફિક આઉટપુટ ઉપકરણોના સારા રિઝોલ્યુશન સાથે, ખૂબ ઉચ્ચ ગુણવત્તારાસ્ટર છબીઓ, પરંતુ, કમનસીબે, તેમની સાથે કામ કરવું અત્યંત અસુવિધાજનક છે, અને જ્યારે સ્કેલિંગ, ગુણવત્તા ખોવાઈ જાય છે.
સૌથી સરળ કિસ્સામાં, વેક્ટર ઇમેજમાં પોઈન્ટનો સમાવેશ થતો નથી, પરંતુ ઘણા સીધા ભાગોનો સમાવેશ થાય છે, કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છેતેમના છેડા. આવી ઇમેજ ગુણવત્તાની ખોટ વિના સરળતાથી માપવામાં આવે છે અને પ્રક્રિયા કરવા માટે સરળ છે. CAD માં વપરાતા લગભગ તમામ ગ્રાફિક્સ પેકેજોમાં, માહિતી વેક્ટર સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે છે.
પ્લેન પર Affine પરિવર્તનો
ધારો કે પ્લેનમાં એક રેક્ટિલિનિયર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ રજૂ કરવામાં આવી છે. પછી દરેક બિંદુ M સંખ્યાઓની ક્રમબદ્ધ જોડી સાથે સંકળાયેલ છે (x, y)તેના કોઓર્ડિનેટ્સ (ફિગ. 1). પ્લેન પર બીજી રેક્ટિલિનિયર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો પરિચય આપીએ છીએ, ચાલો એ જ બિંદુ M - પર સંખ્યાઓની બીજી જોડી અસાઇન કરીએ. (x*, y*).
પ્લેન પર એક રેક્ટિલિનિયર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાંથી બીજામાં સંક્રમણ નીચેના સંબંધો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે:
(*)
ક્યાં - મનસ્વી સંખ્યાઓઅસમાનતા દ્વારા સંબંધિત:
નીચેનામાં આપણે સૂત્રો (*) ને એક નિયમ તરીકે ધ્યાનમાં લઈશું જે મુજબ માં આપેલ સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ, પ્લેનના બિંદુઓ રૂપાંતરિત થાય છે.
સંલગ્ન રૂપાંતરણોમાં, ઘણા મહત્વપૂર્ણ વિશિષ્ટ કેસો દ્વારા એક વિશેષ ભૂમિકા ભજવવામાં આવે છે જેમાં સારી રીતે શોધી શકાય તેવી ભૌમિતિક લાક્ષણિકતાઓ હોય છે.
A. વળો પ્રારંભિક બિંદુકોણ j દ્વારા (ફિગ. 2a) સૂત્રો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે
B. સાથે તણાવ (સંકોચન). સંકલન અક્ષો(ફિગ. 2b) આ રીતે સેટ કરી શકાય છે:
B. x-અક્ષ (ફિગ. 2c) ને સંબંધિત પ્રતિબિંબ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ઉલ્લેખિત છે
ડી. ટ્રાન્સફર (ફિગ. 2d) ગુણોત્તર દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે
વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં સાબિત થયું છે તેમ, ફોર્મ (*) ના કોઈપણ રૂપાંતરણને હંમેશા A, B, C અને D ફોર્મના સરળ પરિવર્તનના અનુક્રમિક અમલ (સુપરપોઝિશન) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.
આનો અસરકારક ઉપયોગ કરવા માટે જાણીતા સૂત્રોકમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ સમસ્યાઓમાં, તેમનું મેટ્રિક્સ નોટેશન વધુ અનુકૂળ છે. કેસ A, B અને C માટે મેટ્રિસિસ સરળતાથી બનાવવામાં આવે છે અને અનુક્રમે નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે:
સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે, મેટ્રિક્સ અભિગમ સાથે તમામ ચાર સરળ પરિવર્તનો (ટ્રાન્સફર સહિત) આવરી લેવા ખૂબ જ ઇચ્છનીય છે, અને તેથી, સામાન્ય સંલગ્ન પરિવર્તન. આ પ્લેન પરના મનસ્વી બિંદુનું વર્ણન બે કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા નહીં, જેમ કે ઉપર કરવામાં આવ્યું હતું, પરંતુ સંખ્યાના ત્રણ ગણા ક્રમાંક દ્વારા કરી શકાય છે.
સજાતીય બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ
દો એમ- કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પ્લેનનો મનસ્વી બિંદુ xઅને y, આપેલ રેક્ટિલિનિયર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની તુલનામાં ગણતરી કરેલ. આ બિંદુના સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સ એ સંખ્યાઓની કોઈપણ ત્રિવિધ સંખ્યા છે જે એકસાથે શૂન્ય સાથે અસમાન હોય છે x1, x2, x3,થી સંબંધિત આપેલ નંબરો xઅને yનીચેના સંબંધો:
કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, સામાન્ય રીતે એકરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ નીચે પ્રમાણે દાખલ કરવામાં આવે છે: મનસ્વી બિંદુ M(x, y)પ્લેનને એક બિંદુ સોંપેલ છે M*(x, y, 1)અવકાશમાં (ફિગ. 3).
ત્રિપુટીનો ઉપયોગ કરવો સજાતીય કોઓર્ડિનેટ્સઅને થર્ડ-ઓર્ડર મેટ્રિસીસ, પ્લેન પરના કોઈપણ એફીન ટ્રાન્સફોર્મેશનનું વર્ણન કરી શકાય છે. સમીકરણ (*) અને નીચેનાની સરખામણી, મેટ્રિક્સ:
,
તે જોવાનું સરળ છે કે છેલ્લા સંબંધની જમણી બાજુના અભિવ્યક્તિઓનો ગુણાકાર કર્યા પછી, બંને સૂત્રો (*) અને ઓળખ 1=1 પ્રાપ્ત થાય છે. આમ, તુલનાત્મક રેકોર્ડ સમકક્ષ છે.
અવકાશમાં સંલગ્ન પરિવર્તન
કરવા માટે અવકાશી બાંધકામો, દ્વિ-પરિમાણીય સમસ્યા સમાન, ત્રણ બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y, z)ચાર નંબરો દ્વારા બદલવામાં આવે છે (x, y, z, 1). આનાથી લાભ લેવાનું શક્ય બને છે મેટ્રિક્સ નોટેશનઅને વધુ જટિલ ત્રિ-પરિમાણીય સમસ્યાઓમાં.
ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કોઈપણ સંલગ્ન રૂપાંતરણને પરિભ્રમણ, ખેંચાણ, પ્રતિબિંબ અને અનુવાદના સુપરપોઝિશન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. ગાણિતિક રીતે, તમામ પરિવર્તનો મેટ્રિક્સ ગુણાકારમાં ઘટાડવામાં આવે છે ચોથો ક્રમ. ઉદાહરણ તરીકે, કોણ j દ્વારા x-અક્ષની ફરતે પરિભ્રમણ મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપ છે:
.
પ્રક્ષેપણના પ્રકારો
ચિત્ર પ્લેન પર ત્રિ-પરિમાણીય વસ્તુઓની છબી અન્ય ભૌમિતિક કામગીરી સાથે સંકળાયેલી છે - સીધી રેખાઓના સમૂહનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્ષેપણ.
IN કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સઘણા લાગુ પડે છે વિવિધ પ્રકારોપ્રક્ષેપણ સમાંતર અને કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણનો સૌથી વધુ ઉપયોગ થાય છે.
પિક્ચર પ્લેન પર ઑબ્જેક્ટના અંદાજો મેળવવા માટે, આપેલ પ્રોજેક્શન બીમમાંથી તેના દરેક બિંદુઓ દ્વારા સીધી રેખા દોરવી જરૂરી છે અને પછી ચિત્ર પ્લેન સાથે આ રેખાના આંતરછેદના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો. કિસ્સામાં કેન્દ્રીય પ્રક્ષેપણબધી સીધી રેખાઓ એક બિંદુથી આવે છે - બીમનું કેન્દ્ર. મુ સમાંતર પ્રક્ષેપણએવું માનવામાં આવે છે કે બીમનું કેન્દ્ર અનંત પર સ્થિત છે (ફિગ. 4). ગાણિતિક રીતે, પ્રક્ષેપણ કામગીરી અનુરૂપ મેટ્રિસીસના ગુણાકારમાં પણ ઘટાડો કરે છે.
ચાલો પ્લેન પર (અથવા અવકાશમાં) કેટલાક વેક્ટર લઈએ (ફિગ. 142). મુ સંલગ્ન રૂપાંતરપોઈન્ટ તદનુસાર પોઈન્ટ પર જાય છે કે જે નવા સંદર્ભ બિંદુની તુલનામાં સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે જે પોઈન્ટ જૂના એકની તુલનામાં હતા. વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ તેના શરૂઆતના બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને તેના અંતના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી બાદ કરીને મેળવવામાં આવતા હોવાથી, નવા બેન્ચમાર્કને લગતા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ જૂના બેન્ચમાર્કને સંબંધિત વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન હોય છે. તેથી:
સંલગ્ન રૂપાંતરણ દરમિયાન, વેક્ટર એવા વેક્ટર સાથે સંકળાયેલું હોય છે જે, નવી ફ્રેમની સાપેક્ષમાં, તે જ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે જે વેક્ટર પાસે જૂના ફ્રેમની તુલનામાં હોય છે.
અહીંથી તે તરત જ તેને અનુસરે છે affine ટ્રાન્સફોર્મેશન હેઠળ સમાન વેક્ટરસમાન મેળ ખાય છે, તેથી:
2° પ્લેન (અવકાશ) નું સંલગ્ન રૂપાંતરણ પ્લેનના તમામ મુક્ત વેક્ટર (રેસ્પ. સ્પેસ) ની વિવિધતા V નું એક-થી-એક મેપિંગ બનાવે છે.
આ પરિવર્તન છે નીચેની મિલકતરેખીયતા: જો આપેલ પરિવર્તન સાથે, વેક્ટર u, v વેક્ટર u, v ને અનુરૂપ હશે, તો વેક્ટર વેક્ટરને અનુરૂપ હશે, અને વેક્ટર લાઇ વેક્ટરને અનુરૂપ હશે (આ તરત જ પર જઈને સાબિત કરી શકાય છે. કોઓર્ડિનેટ્સ). રેખીયતાની મિલકતમાંથી તે નીચે મુજબ છે:
જો આપેલ અફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશન માટે વેક્ટર્સ વેક્ટરને અનુરૂપ હોય, તો કોઈપણ રેખીય સંયોજન
વેક્ટર્સ રેખીય સંયોજનને અનુરૂપ છે
વેક્ટર્સ (સમાન ગુણાંક સાથે).
affine રૂપાંતર હેઠળ થી શૂન્ય વેક્ટરદેખીતી રીતે શૂન્યને અનુલક્ષે છે, પછી તે જે સાબિત થયું હતું તેના પરથી તે અનુસરે છે:
4° એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન સાથે રેખીય અવલંબનવેક્ટર્સ સાચવેલ છે, જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ બે કોલિનિયર વેક્ટર કોલિનિયરમાં ફેરવાય છે, કોઈપણ ત્રણ કોપ્લાનર વેક્ટરકોપ્લાનર બનો).
5° વિપરીત રૂપાંતરણસંલગ્ન રૂપાંતર માટે એક સંલગ્ન પરિવર્તન છે.
વાસ્તવમાં, જો પ્લેનનું આપેલ અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન A એ ફ્રેમથી ફ્રેમમાં સંક્રમણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો ફ્રેમથી ફ્રેમમાં સંક્રમણ દ્વારા આપવામાં આવેલ અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન, જોવામાં સરળ છે તેમ, ટ્રાન્સફોર્મેશન A થી રૂપાંતર વિપરિત છે.
તે જ જગ્યા માટે જાય છે.
અમે જોયું છે કે અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન હેઠળ વેક્ટરની રેખીય અવલંબન સચવાય છે. સાચવેલ અને રેખીય સ્વતંત્રતાવેક્ટર્સ:
6° એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન A હેઠળ, દરેક રેખીય આશ્રિત સિસ્ટમતેમના વેક્ટર્સ, . રેખીય રીતે સ્વતંત્ર એકમાં પસાર થાય છે - અન્યથા, A ના affine રૂપાંતરણ વિપરિત સાથે, એક રેખીય રીતે આધારિત સિસ્ટમ અને, . રેખીય રીતે સ્વતંત્ર બનશે, જે આપણે જાણીએ છીએ, અશક્ય છે.
કારણ કે ફ્રેમ એક રેખીય સિસ્ટમ છે સ્વતંત્ર વેક્ટર(બે પ્લેન પર, ત્રણ અવકાશમાં) આપેલ બિંદુ O પર લાગુ કરવામાં આવે છે, પછી એફાઇન ટ્રાન્સફોર્મેશન હેઠળ દરેક ફ્રેમ એક ફ્રેમ બની જાય છે. વધુમાં, એક દરખાસ્ત છે
7° એફાઈન મેપિંગ સાથે (ફ્રેમ I થી ફ્રેમમાં સંક્રમણ દ્વારા આપવામાં આવે છે) દરેક ફ્રેમ II ફ્રેમમાં જાય છે [ અને દરેક બિંદુ M (દરેક વેક્ટર u) બિંદુ M (વેક્ટર પર) જાય છે અને ફ્રેમને સંબંધિત સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુ M અને વેક્ટર અને બેન્ચમાર્ક II ના સાપેક્ષ હતા.
પ્લેનના કિસ્સામાં અને અવકાશના કિસ્સામાં સાબિતી સમાન છે. ચાલો આપણે આપણી જાતને વિમાનના કિસ્સામાં મર્યાદિત કરીએ. ચાલો II ને ફ્રેમ (ફિગ. 143) બનાવીએ, અને ફ્રેમને પ્રથમ વેક્ટરને લગતું નિવેદન બનવા દો. જો વેક્ટરમાં સંદર્ભ ફ્રેમની તુલનામાં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય, તો . પરંતુ પછી વેક્ટરની છબી 3° ગુણધર્મ દ્વારા, વેક્ટર છે
બેન્ચમાર્કને સંબંધિત કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. ચાલો બિંદુ M પાસે સંદર્ભ બિંદુને સંબંધિત કોઓર્ડિનેટ્સ હોય.
પછી, જેથી, અગાઉના એક અનુસાર, સંદર્ભ બિંદુને સંબંધિત, સેક્ટર OM, અને તેથી બિંદુ M, કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. નિવેદન સાબિત થયું છે.
સાબિત થયેલ નિવેદન નોંધપાત્ર છે: તે તેના પરથી અનુસરે છે કે, અમુક ફ્રેમથી ફ્રેમમાં સંક્રમણ દ્વારા એક અફીન ટ્રાન્સફોર્મેશનને વ્યાખ્યાયિત કર્યા પછી, અમે કોઈપણ ફ્રેમને પ્રારંભિક તરીકે લઈને અને તે કઈ ફ્રેમમાં જવું જોઈએ તે સૂચવીને તેને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ.
હમણાં જ કરેલી ટિપ્પણીની અરજી તરીકે, અમે સાબિત કરીએ છીએ કે બે સંલગ્ન રૂપાંતરણોનું ઉત્પાદન એ એક સંલગ્ન પરિવર્તન છે.
ખરેખર, ફ્રેમ I થી ફ્રેમ II માં સંક્રમણ દ્વારા affine ટ્રાન્સફોર્મેશન આપવામાં આવે છે. હમણાં જ જે સાબિત થયું છે તે મુજબ, આપણે ફ્રેમ II થી અમુક ફ્રેમ III માં ખસેડીને એક અફાઇન ટ્રાન્સફોર્મેશનને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. પછી ફ્રેમ I થી ફ્રેમ III માં સંક્રમણ દ્વારા આપવામાં આવેલ અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન દેખીતી રીતે રૂપાંતર અને રૂપાંતરનું ઉત્પાદન છે.
રિમાર્ક 1. 1° - 7° અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશનના માત્ર સાબિત ગુણધર્મો દેખીતી રીતે એક પ્લેનથી બીજા પ્લેન સાથેના affine મેપિંગ માટે પણ ધરાવે છે (એક ઉદાહરણ ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાબીજાને).
પ્લેન અથવા અવકાશનું સમાન રૂપાંતર એ દેખીતી રીતે જ એક સંલગ્ન પરિવર્તન છે. યાદ કરો કે એફીનમાં રૂપાંતર વિપરિત એફીન છે. છેવટે, જેમ આપણે હમણાં જ સાબિત કર્યું છે, બે સંલગ્ન રૂપાંતરણોનું ઉત્પાદન એ એક સંલગ્ન પરિવર્તન છે. અહીંથી - § 6, ફકરો 6, પરિશિષ્ટમાં આપેલ શરતના આધારે - નીચેનો મુખ્ય સિદ્ધાંત તરત જ અનુસરે છે:
પ્રમેય 1. તમામ સમતલ (અવકાશ) રૂપાંતરણોના જૂથમાં, સંલગ્ન પરિવર્તનો પેટાજૂથ બનાવે છે.
સંલગ્ન પરિવર્તનોમાં, હલનચલન એ હકીકત દ્વારા અલગ પડે છે કે તેઓ એકમાંથી સંક્રમણ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. લંબચોરસ સિસ્ટમબીજા સાથે સંકલન કરે છે, તે પણ લંબચોરસ અને સમાન સ્કેલ ધરાવે છે. ગતિમાં વ્યસ્ત રૂપાંતર એ ગતિ છે, અને બે ગતિનું ઉત્પાદન ગતિ છે. કારણ કે ઓળખ પરિવર્તનછે ખાસ કેસગતિ, તો પછી (પ્રમેય 1 સાથે સંપૂર્ણ સામ્યતામાં) આપણી પાસે પણ છે
પ્રમેય 1. તમામ સંલગ્ન રૂપાંતરણોના જૂથમાં, ગતિ એક પેટાજૂથ બનાવે છે.
અમે અફાઈન ટ્રાન્સફોર્મેશન્સ અને મેપિંગના સરળ ગુણધર્મોને સૂચિબદ્ધ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ.
ત્રણ બિંદુઓ સમરેખા હોય છે અને જો વેક્ટર સમરેખા હોય તો જ. અને સબંધિત રૂપાંતરણ દરમિયાન વેક્ટર્સની સમન્વય સચવાયેલી હોવાથી, બિંદુઓની સમકક્ષતા પણ સચવાય છે. તે આમાંથી નીચે મુજબ છે:
અફાઈન મેપિંગ (પ્લેન અથવા સ્પેસનું) સાથે, એક સીધી રેખા સીધી રેખા બની જાય છે.
હવે અમે આ હકીકતનો બીજો પુરાવો આપીશું.
એક affine મેપિંગ આપવા દો. તે એ હકીકતમાં સમાવે છે કે દરેક બિંદુ M કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે (માં સંકલન સિસ્ટમ) બિંદુ M પર જાય છે, જે બીજી સિસ્ટમમાં સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. તે આમાંથી નીચે મુજબ છે:
9° આપેલ અફિન મેપિંગ સાથે (ફ્રેમથી ફ્રેમમાં સંક્રમણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત), તમામ બિંદુઓનો સમૂહ જેના કોઓર્ડિનેટ્સ (સંકલન સિસ્ટમમાં) કેટલાક સમીકરણને સંતોષે છે તે બિંદુઓના સમૂહમાં જાય છે જેના સિસ્ટમમાં કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન સંતોષે છે. સમીકરણ
ખાસ કરીને, સમીકરણ સાથે સીધી રેખા
(સિસ્ટમમાં) એક સીધી રેખામાં જશે જે સમાન સમીકરણ ધરાવે છે, પરંતુ માત્ર સંકલન સિસ્ટમમાં.
એ જ રીતે, જગ્યાના સંલગ્ન પરિવર્તન સાથે (ફ્રેમથી ફ્રેમમાં સંક્રમણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત), સિસ્ટમમાં સમીકરણ ધરાવતું પ્લેન
સમાન સમીકરણ (2) ધરાવતા પ્લેનમાં જાય છે, પરંતુ માત્ર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં.
અવકાશમાં તેના "સામાન્ય સમીકરણ" દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સીધી રેખા
અથવા તેનું એક અથવા બીજું વિશિષ્ટ સંસ્કરણ, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમાણભૂત સમીકરણ
આપેલ અફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન સાથે, તે એક સીધી રેખામાં રૂપાંતરિત થશે જે સમાન સમીકરણો ધરાવે છે, પરંતુ માત્ર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં. તેથી તે સાબિત થયું છે
પ્રમેય 2. વિમાનના અનુક્રમે અવકાશના સંલગ્ન રૂપાંતર સાથે, સીધી રેખાઓ સીધી રેખાઓમાં જાય છે, વિમાનો વિમાનોમાં જાય છે.
તે જ સમયે, સમાનતા જાળવી રાખવામાં આવે છે.
વાસ્તવમાં, જો બે સીધી રેખાઓ (અથવા બે વિમાનો, અથવા એક સીધી રેખા અને એક સમતલ) સમાંતર હોય, તો ફ્રેમને સંબંધિત તેમના સમીકરણો જાણીતી સમાંતર સ્થિતિને સંતોષે છે; પરંતુ આ રેખાઓ (વિમાન) ની છબીઓ ફ્રેમના સંદર્ભમાં સમાન સમીકરણો ધરાવે છે, અને તેથી, સમાન સમાનતાની સ્થિતિને સંતોષે છે.
રિમાર્ક 2. એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન હેઠળ સમાનતાની જાળવણી એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીને પણ અનુમાન કરી શકાય છે કે એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન એક-થી-એક છે.
ખરેખર, કોઈપણ એક-થી-એક મેપિંગ માટે (ઉદાહરણ તરીકે, પોતાના પર એક જગ્યા), બે (કોઈપણ) સમૂહોના આંતરછેદની છબી એ આ સમૂહોની છબીઓનું આંતરછેદ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ એક-થી-એક મેપિંગ હેઠળ બે છેદતા સમૂહો છેદે છે.
તે અનુસરે છે કે પ્લેનના સંલગ્ન રૂપાંતરણ સાથે ત્યાં બે સમાંતર રેખાઓ હોય છે, અને જગ્યાના સંલગ્ન મેપિંગ સાથે બે હોય છે. સમાંતર વિમાનોસમાંતર બની; સીધી રેખા અને વિમાન વચ્ચેની સમાંતરતાની મિલકત પણ સચવાય છે.
અવકાશમાં બે સમાંતર રેખાઓ આપવા દો; તેઓ એક જ પ્લેનમાં આવેલા છે અને છેદે નથી. અવકાશના સંલગ્ન રૂપાંતર સાથે, આ બે રેખાઓ બે રેખાઓમાં ફેરવાઈ જશે જે એક જ પ્લેનમાં પણ છે અને છેદતી નથી, એટલે કે બે સમાંતર રેખાઓમાં.
પ્રમેય 3. જ્યારે પ્લેન (અવકાશ) નું સંલગ્ન રૂપાંતર રેખા d ને રેખામાં રૂપાંતરિત કરે છે, ત્યારે રેખા d નો એક સેગમેન્ટ રેખાના સેગમેન્ટમાં જાય છે અને રેખા d ના બિંદુ M સેગમેન્ટને વિભાજિત કરે છે આ સંદર્ભે K, બિંદુ પર જાય છે
M એ સમાન ગુણોત્તરમાં સેગમેન્ટને વિભાજીત કરતી સીધી રેખા d છે (ફિગ. 144).
પુરાવો. સકારાત્મક A માટે આપણે સેગમેન્ટની અંદર પડેલા પોઈન્ટ્સ મેળવીએ છીએ (અનુક્રમે, અને ઋણ માટે - આ સેગમેન્ટની બહાર), પછી પ્રથમ પ્રમેય 3 ના બીજા વિધાનમાંથી અનુસરે છે. અમે પ્રમેય 3 ના બીજા વિધાનને સાબિત કરીએ છીએ, પોતાને આ કિસ્સામાં મર્યાદિત કરીએ છીએ. પ્લેન (સંકલન સિસ્ટમમાં) આપણી પાસે છે
કારણ કે બિંદુ M એ સેગમેન્ટને , પછીના સંબંધમાં વિભાજિત કરે છે
અવકાશમાં આ સમાનતાઓ સમાનતા દ્વારા પૂરક બનશે. આ સંલગ્ન રૂપાંતરણ સાથે, પોઈન્ટ પોઈન્ટ જેવા જ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પોઈન્ટમાં ફેરવાઈ જશે, પરંતુ માત્ર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં. આ કોઓર્ડિનેટ્સ હજુ પણ સંબંધો (3) દ્વારા જોડાયેલા છે, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે સેગમેન્ટ MM ગુણોત્તરમાં વિભાજીત થાય છે. આ પ્રમેય 3 સાબિત કરે છે.
ચાલો, અવકાશના એફિન ટ્રાન્સફોર્મેશન A હેઠળ, પ્લેનને પ્લેન પર મેપ કરવામાં આવે. ચાલો પ્લેનમાં કેટલાક સંદર્ભ બિંદુ લઈએ, એટલે કે, અમુક બિંદુ o (ફિગ. 145) પર લાગુ બિન-કોલીરી વેક્ટર્સની જોડી. A ને રૂપાંતર કરતી વખતે, પ્લેન વિશેનો બિંદુ પ્લેન વિશેના બિંદુમાં જશે, નોન-કોલિનિયર વેક્ટર્સ નોન-કોલિનિયર વેક્ટર્સમાં જશે, એટલે કે, પ્લેનમાંથી સંદર્ભ બિંદુ પ્લેનના સંદર્ભ બિંદુ પર જશે.
પ્લેનમાં પડેલું કોઈપણ વેક્ટર પછી તે સંદર્ભ બિંદુને સંબંધિત સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પ્લેનમાં પડેલા વેક્ટરમાં ફેરવાઈ જશે જે વેક્ટર સંદર્ભ બિંદુને સંબંધિત હતું. તે આનાથી અનુસરે છે કે પ્લેનનો કોઈપણ બિંદુ M પ્લેનના એક બિંદુ M પર જશે, જે સંદર્ભ બિંદુને સંબંધિત છે, તે જ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે જે બિંદુ M પાસે સંદર્ભ બિંદુની તુલનામાં પ્લેનમાં હતો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રમેય 4. ચાલો, અવકાશના સંલગ્ન રૂપાંતરણ હેઠળ, પ્લેન i પ્લેનમાં રૂપાંતરિત થાય છે. પછી રૂપાંતરણ A ચોક્કસ સંદર્ભ સમતલમાં મનસ્વી સંદર્ભ પ્લેનનો નકશો બનાવે છે અને પ્લેનના દરેક બિંદુ M ને પ્લેનનો એક બિંદુ M અસાઇન કરે છે, જે સંદર્ભ બિંદુની સાપેક્ષમાં, બિંદુ M પાસે સંદર્ભની તુલનામાં સમાન કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે. બિંદુ બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો: રૂપાંતરણ A પ્લેન અને પ્લેનનું એફિન મેપિંગ બનાવે છે.
