સાઇન્સના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને. કોસાઇન પ્રમેય

ચાલો વર્તુળમાં અંકિત એક મનસ્વી ત્રિકોણ બનાવીએ. ચાલો તેને ABC તરીકે દર્શાવીએ.
સમગ્ર પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે, કારણ કે ત્રિકોણના પરિમાણો મનસ્વી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યા છે, તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે કે એકનો ગુણોત્તર મનસ્વી બાજુસામેના ખૂણા પર તે 2R બરાબર છે. ચાલો તેને 2R = a / sin α, એટલે કે, જો આપણે ડ્રોઇંગમાંથી 2R = BC / sin A લઈએ.

ચાલો આપણે ઘેરાયેલા વર્તુળ માટે વ્યાસ BD ની ગણતરી કરીએ. પરિણામી ત્રિકોણ BCD એ કાટકોણીય છે કારણ કે તેનું કર્ણાકાર પરિઘવાળા વર્તુળના વ્યાસ પર રહેલું છે (વર્તુળમાં અંકિત ખૂણાઓની મિલકત).

સમાન ચાપ પર આધારિત વર્તુળમાં અંકિત ખૂણાઓ સમાન હોવાથી, તો કોણ CDB કાં તો છે કોણ સમાન CAB (જો બિંદુ A અને D રેખા BC ની સમાન બાજુએ આવેલા હોય), અથવા π - CAB (અન્યથા).

ચાલો ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના ગુણધર્મો તરફ વળીએ. sin(π − α) = sin α હોવાથી, ત્રિકોણ બનાવવા માટે દર્શાવેલ વિકલ્પો હજુ પણ સમાન પરિણામ તરફ દોરી જશે.

ચાલો 2R = a / sin α, ડ્રોઇંગ 2R = BC / sin A ની કિંમતની ગણતરી કરીએ. આ કરવા માટે, sin A ને અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તર સાથે બદલો જમણો ત્રિકોણ.

2R = BC/sin A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB

અને, DB વર્તુળના વ્યાસ તરીકે બાંધવામાં આવ્યું હોવાથી, પછી સમાનતા સંતુષ્ટ છે.
ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓ માટે સમાન તર્કનું પુનરાવર્તન કરવાથી, આપણને મળે છે:

સાઈન પ્રમેય સાબિત થયું છે.

સાઇન્સનું પ્રમેય

નોંધ. આ ભૂમિતિની સમસ્યાઓ સાથેના પાઠનો એક ભાગ છે (સાઇન્સનો વિભાગ પ્રમેય). જો તમારે ભૂમિતિની સમસ્યા હલ કરવાની જરૂર હોય જે અહીં નથી, તો ફોરમમાં તેના વિશે લખો. કાર્યોમાં, "ચોરસમૂળ" પ્રતીકને બદલે, sqrt() ફંક્શનનો ઉપયોગ થાય છે, જેમાં sqrt એ પ્રતીક છે વર્ગમૂળ, અને આમૂલ અભિવ્યક્તિ કૌંસમાં દર્શાવેલ છે.

સાઇન્સનું પ્રમેય:
ત્રિકોણની બાજુઓ વિપરિત ખૂણાઓની સાઈન્સના પ્રમાણસર હોય છે, અથવા, વિસ્તૃત ફોર્મ્યુલેશનમાં:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
જ્યાં R એ ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે

સિદ્ધાંત માટે - પ્રમેયની રચના અને પુરાવા માટે, "સાઇન્સનું પ્રમેય" પ્રકરણમાં વિગતવાર જુઓ .

કાર્ય

ત્રિકોણ XYZ માં, કોણ X=30, કોણ Z=15. લંબરૂપ YQ થી ZY બાજુ XZ ને XQ અને QZ માં વિભાજિત કરે છે જો QZ = 1.5 મી

ઉકેલ.
ઊંચાઈએ બે કાટકોણ XYQ અને ZYQ બનાવેલ છે.
સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, આપણે સાઈન્સના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું.
QZ / sin(QYZ) = QY / sin(QZY)

QZY = 15 ડિગ્રી, તે મુજબ, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

ત્રિકોણની ઊંચાઈની લંબાઈ હવે જાણીતી હોવાથી, ચાલો સાઈનના સમાન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને XY શોધીએ.

QY/sin(30) = XY/sin(90)

ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ કોષ્ટક મૂલ્યોકેટલાક ત્રિકોણમિતિ કાર્યો:

30 ડિગ્રીની સાઈન એ sin(30) = 1/2 બરાબર છે
90 ડિગ્રીની સાઈન એ sin(90) = 1 બરાબર છે

QY = XY પાપ (30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2 XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0.8 મીટર

જવાબ આપો: 0.8 મીટર અથવા 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

સાઇન્સનું પ્રમેય (ભાગ 2)

નોંધ. આ ભૂમિતિની સમસ્યાઓ સાથેના પાઠનો એક ભાગ છે (સાઇન્સનો વિભાગ પ્રમેય). જો તમારે ભૂમિતિની સમસ્યા હલ કરવાની જરૂર હોય જે અહીં નથી, તો ફોરમમાં તેના વિશે લખો .

"સાઇન્સનું પ્રમેય" પ્રકરણમાં વિગતવાર સિદ્ધાંત જુઓ .

કાર્ય

બાજુ એબી ત્રિકોણ ABC 16cm ની બરાબર. કોણ A 30 ડિગ્રી છે. કોણ B 105 ડિગ્રી છે. બાજુ BC ની લંબાઈની ગણતરી કરો.

ઉકેલ.
સાઈન્સના નિયમ મુજબ, ત્રિકોણની બાજુઓ વિરોધી ખૂણાઓની સાઈન્સના પ્રમાણસર હોય છે:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ

આમ
BC/sin α = AB/sin γ

ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ડિગ્રી જેટલો છે તે હકીકતના આધારે આપણે કોણ Cનું કદ શોધીએ છીએ.
C = 180 - 30 -105 = 45 ડિગ્રી.

ક્યાં:
BC/sin 30° = 16/sin 45°

BC = 16 sin 30° / sin 45°

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના કોષ્ટકનો સંદર્ભ આપતા, અમે શોધીએ છીએ:

BC = (16 * 1 / 2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11.3 સે.મી.

જવાબ આપો: 16 / √2

કાર્ય.
ABC ત્રિકોણમાં, કોણ A = α, કોણ C = β, BC = 7cm, BN એ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે.
AN શોધો

આ લેખ સમાવે છે સાઈન, કોસાઈન્સ, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જન્ટ્સનાં કોષ્ટકો. પ્રથમ, આપણે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂળભૂત મૂલ્યોનું કોષ્ટક પ્રદાન કરીશું, એટલે કે, 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 ડિગ્રી ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πરેડિયન). આ પછી, અમે સાઇન્સ અને કોસાઇન્સનું કોષ્ટક આપીશું, તેમજ વી.એમ. બ્રાડિસ દ્વારા સ્પર્શકો અને કોટિન્જન્ટ્સનું કોષ્ટક આપીશું, અને ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના મૂલ્યો શોધતી વખતે આ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે બતાવીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

0, 30, 45, 60, 90, ... ડિગ્રીના ખૂણાઓ માટે સાઈન, કોસાઈન્સ, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટનું કોષ્ટક

સંદર્ભો.

બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 9મા ધોરણ માટે. સરેરાશ શાળા/યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; એડ. એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી - એમ.: એજ્યુકેશન, 1990. - 272 પીપી. - ISBN 5-09-002727-7
બશ્માકોવ એમ. આઇ.બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પાઠ્યપુસ્તક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સરેરાશ શાળા - 3જી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 1993. - 351 પૃષ્ઠ: બીમાર. - ISBN 5-09-004617-4.
બીજગણિતઅને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પ્રોક. 10-11 ગ્રેડ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn અને અન્ય; એડ. એ. એન. કોલમોગોરોવ - 14મી આવૃત્તિ - એમ.: એજ્યુકેશન, 2004. - 384 પીપી.
ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી.ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા): પ્રોક. ભથ્થું.- એમ.; ઉચ્ચ શાળા, 1984.-351 પૃ., બીમાર.
બ્રાડીસ વી. એમ.ચાર-અંકના ગણિત કોષ્ટકો: સામાન્ય શિક્ષણ માટે. પાઠ્યપુસ્તક સંસ્થાઓ - 2જી આવૃત્તિ. - એમ.: બસ્ટાર્ડ, 1999.- 96 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 5-7107-2667-2

પ્રમેયનો પ્રથમ ભાગ: સાઈન્સના પ્રમાણસર મનસ્વી ત્રિકોણની બાજુઓ વિરુદ્ધ ખૂણા, એટલે કે:

પ્રમેયનો બીજો ભાગ: દરેક અપૂર્ણાંક લગભગ દ્વારા ઘેરાયેલ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો છે આપેલ ત્રિકોણ, એટલે કે: .

ગણિતના શિક્ષકની ટિપ્પણી: સાઈન પ્રમેયના બીજા ભાગનો ઉપયોગ વર્તુળ પરની લગભગ દરેક બીજી સ્પર્ધાની સમસ્યામાં સામેલ છે. શા માટે? હકીકત એ છે કે સમાનતા તમને ત્રિકોણના માત્ર બે ઘટકો ધરાવતા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધવાની મંજૂરી આપે છે. આનો ઉપયોગ ઘણી વાર મજબૂત સમસ્યાઓના કમ્પાઇલર્સ દ્વારા કરવામાં આવે છે, જેઓ ખાસ કરીને શરત પસંદ કરે છે જેથી ત્રિકોણના અન્ય ઘટકો (અને સમગ્ર ચિત્ર) બિલકુલ સ્થિત ન હોય! "ચિત્ર" તરતું હશે. આ સંજોગો પરીક્ષા પરના કાર્યને મોટા પ્રમાણમાં જટિલ બનાવે છે, કારણ કે તે અંતર્ગત મિલકતની આસપાસ કાર્ય કરવાનું શક્ય બનાવતું નથી.

સાઈન્સના પ્રમેયનો પુરાવો:

Atanasyan ના પાઠ્યપુસ્તક અનુસાર
ચાલો સાબિત કરીએ કે બાજુઓ a, b, c અને વિરોધી ખૂણા A, B અને C ધરાવતા કોઈપણ ત્રિકોણ માટે, સમાનતા ધરાવે છે: .
ચાલો શિરોબિંદુ B થી ઊંચાઈ BH દોરીએ. બે કેસ શક્ય છે:
1) પોઈન્ટ H બાજુના AC પર આવેલો છે (જ્યારે અને તીક્ષ્ણ હોય ત્યારે આ શક્ય છે).
સાઈનની વ્યાખ્યા દ્વારા તીવ્ર કોણકાટકોણ ત્રિકોણ ABH માં આપણે લખીએ છીએ

એ જ રીતે, ત્રિકોણ CBH માં આપણી પાસે છે. BH માટેના સમીકરણોને એકબીજા સાથે સરખાવીને આપણને મળે છે:
2)H ને બાજુના AC ના વિસ્તરણ પર સૂવા દો (ઉદાહરણ તરીકે, A ની ડાબી બાજુએ). જો તમે મૂર્ખ હશો તો આવું થશે. એ જ રીતે, ત્રિકોણ ABH માં તીવ્ર કોણ A ની સાઈનની વ્યાખ્યા અનુસાર, આપણે સમાનતા લખીએ છીએ, પરંતુ ત્યારથી સાઈન્સ અડીને ખૂણાસમાન હોય છે, તો પછી આ સમાનતાને ની સાથે બદલીને, આપણે પહેલા કેસની જેમ જ મેળવીએ છીએ. તેથી, ખૂણા A અને C ના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લીધા વિના, સમાનતા સાચી છે.
બંને બાજુઓ દ્વારા વિભાજન કર્યા પછી આપણને મળે છે . અપૂર્ણાંકની બીજી જોડીની સમાનતા એ જ રીતે સાબિત થાય છે

પોગોરેલોવની પાઠ્યપુસ્તક અનુસાર સાઈન પ્રમેયનો પુરાવો:

ચાલો બે ખૂણા A અને C માટે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટે સૂત્ર લાગુ કરીએ:

જમણી બાજુની બાજુઓને સમાન કર્યા પછી અને ઘટાડ્યા પછી, આપણે પ્રથમ રીતે સાબિતીમાં સમાન સમાનતા મેળવીએ છીએ. તેમાંથી આપણે તે જ રીતે અપૂર્ણાંકની સમાનતા મેળવીએ છીએ.

સાઈન પ્રમેયના બીજા ભાગનો પુરાવો:

ચાલો આ ત્રિકોણની આસપાસના વર્તુળનું વર્ણન કરીએ અને તેના વ્યાસ BD ને B દ્વારા દોરીએ. કોણ D અને C સમાન ચાપ પર આરામ કરે છે, તેથી તેઓ સમાન છે (ઉતરેલા કોણ પ્રમેયનું પરિણામ). પછી . ચાલો ત્રિકોણ ABD માં કોણ D ની સાઈનની વ્યાખ્યા લાગુ કરીએ: જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

સાઈન પ્રમેયના બીજા ભાગ માટે સમસ્યાઓ:
1) ત્રિજ્યા 15 ના વર્તુળમાં ટ્રેપેઝોઇડ અંકિત થયેલ છે. ટ્રેપેઝોઇડની કર્ણની લંબાઈ અને ઊંચાઈ અનુક્રમે 20 અને 6 છે. બાજુ શોધો.
2) ટ્રેપેઝોઇડની આસપાસના વર્તુળની ત્રિજ્યા 25 છે, અને તેની કોસાઇન અસ્પષ્ટ કોણબરાબર -0.28 (માઈનસ!!!). ટ્રેપેઝોઇડનો કર્ણ આધાર સાથે એક ખૂણો બનાવે છે. ટ્રેપેઝોઇડની ઊંચાઈ શોધો.
3) ત્રિજ્યા 10 ના વર્તુળમાં ટ્રેપેઝોઇડ અંકિત થયેલ છે. ત્રાંસા લંબાઈ અને મધ્ય રેખાટ્રેપેઝોઈડ અનુક્રમે 15 અને 12 છે. ટ્રેપેઝોઈડની બાજુની લંબાઈ શોધો.
4) માં ઓલિમ્પિક્સ નાણાકીય એકેડેમી 2009 વર્તુળની તાર બિંદુ Q પર છેદે છે. તે જાણીતું છે કે વર્તુળની ત્રિજ્યા 4 સેમી છે. તાર લંબાઈ PN શોધો. નાણાકીય એકેડેમી 2009 ખાતે ઓલિમ્પિયાડ
5) ત્રિકોણ PST માં. 8 સે.મી.ની ત્રિજ્યા સાથેનું વર્તુળ તેના દ્વિભાજકો અને શિરોબિંદુઓ P અને T ના આંતરછેદના બિંદુની ફરતે ઘેરાયેલું છે. ત્રિકોણ PST (લેખકની સમસ્યા) વિશે ઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

ગણિતના શિક્ષક હંમેશા તમને સાઈન પ્રમેયનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરવામાં અને સમસ્યાઓમાં તેનો ઉપયોગ કરવા માટે જરૂરી અભ્યાસ કરવામાં મદદ કરશે. તેણીનું આયોજન શાળા અભ્યાસત્રિકોણ ઉકેલવાના વિષય પર 9મા ધોરણના ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમમાં થાય છે (તમામ કાર્યક્રમો માટે). જો તમારે ઓછામાં ઓછા 70 પોઈન્ટ્સ સાથે પરીક્ષા પાસ કરવા માટે ગણિતમાં યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારીની જરૂર હોય, તો તમારે C4 નંબરોથી મજબૂત પ્લાનિમેટ્રિક સમસ્યાઓ હલ કરવાની તાલીમ આપવી પડશે. તેમાં, સાઇન્સનું પ્રમેય ઘણીવાર અંકિત ત્રિકોણ પર લાગુ થાય છે, સંબંધને ધ્યાનમાં લેતા. આ યાદ રાખો!

આપની, કોલ્પાકોવ એલેક્ઝાન્ડર નિકોલાવિચ,
ગણિત શિક્ષક

ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ માત્ર બીજગણિતના વિભાગમાં જ નહીં - વિશ્લેષણની શરૂઆત, પણ ભૂમિતિમાં પણ થાય છે. આ સંદર્ભમાં, ત્રિકોણમિતિ કાર્યોથી સંબંધિત પ્રમેય અને તેમના પુરાવાઓનું અસ્તિત્વ ધારણ કરવું વાજબી છે. ખરેખર, કોસાઇન્સ અને સાઇન્સના પ્રમેય ત્રિકોણની બાજુઓ અને ખૂણાઓ વચ્ચેના સંબંધો ખૂબ જ રસપ્રદ અને સૌથી અગત્યનું ઉપયોગી છે.

આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તમે ત્રિકોણની કોઈપણ બાજુઓ મેળવી શકો છો:

નિવેદનનો પુરાવો પાયથાગોરિયન પ્રમેયના આધારે લેવામાં આવ્યો છે: કર્ણનો વર્ગ સરવાળો સમાનપગના ચોરસ.

મનસ્વી ત્રિકોણ ABC ને ધ્યાનમાં લો. શિરોબિંદુ C થી આપણે ઊંચાઈ h ને આકૃતિના પાયા સુધી, પર ઘટાડીએ છીએ આ કિસ્સામાંતેની લંબાઈ એકદમ મહત્વપૂર્ણ નથી. હવે, જો આપણે મનસ્વી ત્રિકોણ ACB ને ધ્યાનમાં લઈએ, તો આપણે ત્રિકોણમિતિના સંદર્ભમાં બિંદુ C ના કોઓર્ડિનેટ્સ વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ. cos કાર્યોઅને પાપ.

ચાલો કોસાઇનની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ અને ત્રિકોણ ACD ની બાજુઓનો ગુણોત્તર લખીએ: cos α = AD/AC | સમાનતાની બંને બાજુઓને AC વડે ગુણાકાર કરો; AD = AC * cos α.

અમે લંબાઈ AC ને b તરીકે લઈએ છીએ અને બિંદુ C ના પ્રથમ સંકલન માટે અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ:
x = b * cos⁡α. એ જ રીતે, આપણે ઓર્ડિનેટ C: y = b * sin α નું મૂલ્ય શોધીએ છીએ. આગળ, અમે પાયથાગોરિયન પ્રમેય લાગુ કરીએ છીએ અને ત્રિકોણ ACD અને DCB માટે વૈકલ્પિક રીતે h વ્યક્ત કરીએ છીએ:

તે સ્પષ્ટ છે કે બંને સમીકરણો (1) અને (2) એકબીજાના સમાન છે. ચાલો જમણી બાજુઓની સમાનતા કરીએ અને સમાન બાજુઓ રજૂ કરીએ:

વ્યવહારમાં આ સૂત્રદ્વારા ત્રિકોણની અજાણી બાજુની લંબાઈ શોધવા માટે તમને પરવાનગી આપે છે આપેલ ખૂણા. કોસાઇન પ્રમેયના ત્રણ પરિણામો છે: ત્રિકોણના જમણા, તીવ્ર અને સ્થૂળ ખૂણાઓ માટે.

ચાલો cos α ની કિંમત સામાન્ય ચલ x સાથે બદલીએ, પછી ત્રિકોણ ABC ના તીવ્ર કોણ માટે આપણે મેળવીએ છીએ:

જો કોણ સાચો નીકળે, તો અભિવ્યક્તિમાંથી 2bx અદૃશ્ય થઈ જશે, કારણ કે cos 90° = 0. ગ્રાફિકલી, બીજા પરિણામને નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

સ્થૂળ કોણના કિસ્સામાં, સૂત્રમાં ડબલ દલીલ પહેલાંનું “-” ચિહ્ન બદલાઈને “+” થશે:

સમજૂતી પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, સંબંધોમાં કંઈ જટિલ નથી. કોસાઇન પ્રમેય એ પાયથાગોરિયન પ્રમેયના ત્રિકોણમિતિ જથ્થામાં અનુવાદ કરતાં વધુ કંઈ નથી.

પ્રમેયનો વ્યવહારુ ઉપયોગ

કાર્ય 1. ABC ત્રિકોણ આપેલ છે, જેની બાજુ BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm અને cos α = ½ છે. તમારે બાજુ AB ની લંબાઈ શોધવાની જરૂર છે.

ગણતરી યોગ્ય રીતે કરવા માટે, તમારે કોણ α નક્કી કરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, તમારે ત્રિકોણમિતિ વિધેયો માટેના મૂલ્યોના કોષ્ટકનો સંદર્ભ લેવો જોઈએ, જે મુજબ આર્ક કોસાઈન 60°ના ખૂણા માટે 1/2 બરાબર છે. આના આધારે, અમે પ્રમેયના પ્રથમ કોરોલરીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

કાર્ય 2. ત્રિકોણ ABC માટે, બધી બાજુઓ જાણીતી છે: AB =4√2,BC=5,AC=7. તમારે આકૃતિના તમામ ખૂણા શોધવાની જરૂર છે.

આ કિસ્સામાં, તમે સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓના ચિત્ર વિના કરી શકતા નથી.

કારણ કે કોણ મૂલ્યો અજ્ઞાત રહે છે, તમારે ઉપયોગ કરવો જોઈએ સંપૂર્ણ સૂત્રતીવ્ર કોણ માટે.

સાદ્રશ્ય દ્વારા, સૂત્રો બનાવવા અને અન્ય ખૂણાઓના મૂલ્યોની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ નથી:

ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાઓનો સરવાળો 180° હોવો જોઈએ: 53 + 82 + 45 = 180, તેથી, ઉકેલ મળી આવ્યો છે.

સાઇન્સનું પ્રમેય

પ્રમેય જણાવે છે કે મનસ્વી ત્રિકોણની બધી બાજુઓ વિરોધી ખૂણાઓની સાઇન્સના પ્રમાણસર હોય છે. સંબંધો ત્રિવિધ સમાનતાના સ્વરૂપમાં લખાયેલા છે:

નિવેદનનો શાસ્ત્રીય પુરાવો વર્તુળમાં લખેલી આકૃતિના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે.

આકૃતિમાં ત્રિકોણ ABC ના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને નિવેદનની સત્યતા ચકાસવા માટે, એ હકીકતની પુષ્ટિ કરવી જરૂરી છે કે 2R = BC / sin A. પછી સાબિત કરો કે બીજી બાજુઓ વિરોધી ખૂણાઓની સાઇન્સ સાથે સંબંધિત છે, જેમ કે 2R અથવા વર્તુળનો ડી.

આ કરવા માટે, શિરોબિંદુ B થી વર્તુળનો વ્યાસ દોરો. વર્તુળમાં અંકિત ખૂણાઓના ગુણધર્મ પરથી, ∠GCB એ સીધી રેખા છે, અને ∠CGB કાં તો ∠CAB અથવા (π - ∠CAB) ની બરાબર છે. સાઈનના કિસ્સામાં, પછીનો સંજોગો નોંધપાત્ર નથી, કારણ કે sin (π –α) = sin α. ઉપરોક્ત નિષ્કર્ષોના આધારે, તે કહી શકાય કે:

sin ∠CGB = BC/ BG અથવા sin A = BC/2R,

જો આપણે આકૃતિના અન્ય ખૂણાઓને ધ્યાનમાં લઈએ, તો આપણને સાઈન્સના પ્રમેય માટે વિસ્તૃત સૂત્ર મળે છે:

સાઈન્સના પ્રમેયના જ્ઞાનની પ્રેક્ટિસ કરવા માટેના લાક્ષણિક કાર્યો ત્રિકોણની અજાણી બાજુ અથવા કોણ શોધવા માટે નીચે આવે છે.

ઉદાહરણો પરથી જોઈ શકાય છે, ઉકેલ સમાન કાર્યોમુશ્કેલીઓનું કારણ નથી અને ગાણિતિક ગણતરીઓ હાથ ધરવામાં સમાવે છે.

એક બિંદુ પર કેન્દ્રિત એ.
α - રેડિયનમાં વ્યક્ત થયેલ કોણ.

વ્યાખ્યા
સાઈન (sin α)- આ ત્રિકોણમિતિ કાર્ય, કર્ણો અને કાટકોણ ત્રિકોણના પગ વચ્ચેના કોણ α પર આધાર રાખીને, ગુણોત્તર સમાનલંબાઈ વિરુદ્ધ પગ|BC| કર્ણોની લંબાઈ સુધી |AC|.

કોસિન (cos α)એ ત્રિકોણમિતિ કાર્ય છે જે કર્ણો અને કાટકોણ ત્રિકોણના પગ વચ્ચેના કોણ α પર આધાર રાખે છે, જે અડીને પગ |AB|ની લંબાઈના ગુણોત્તર સમાન છે. કર્ણોની લંબાઈ સુધી |AC|.

સ્વીકૃત નોટેશન્સ

;
;
.

સાઈન ફંક્શનનો ગ્રાફ, y = sin x

કોસાઇન ફંક્શનનો ગ્રાફ, y = cos x

સાઈન અને કોસાઈનના ગુણધર્મો

સામયિકતા

કાર્યો y = પાપ xઅને y = cos xસમયગાળા સાથે સામયિક 2π.

સમાનતા

સાઈન ફંક્શન વિચિત્ર છે. કોસાઇન કાર્ય સમ છે.

વ્યાખ્યા અને મૂલ્યોનું ડોમેન, આત્યંતિક, વધારો, ઘટાડો

સાઈન અને કોસાઈન ફંક્શન તેમની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાં સતત છે, એટલે કે તમામ x માટે (સાતત્યનો પુરાવો જુઓ). તેમના મુખ્ય ગુણધર્મો કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે (n - પૂર્ણાંક).

	y = પાપ x	y = cos x
અવકાશ અને સાતત્ય	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
મૂલ્યોની શ્રેણી	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
વધી રહી છે
ઉતરતા
મેક્સિમા, y = 1
મિનિમા, y = - 1
શૂન્ય, y = 0
ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે ઇન્ટરસેપ્ટ પોઈન્ટ, x = 0	y = 0	y = 1