ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખાની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. મધ્ય રેખા સમસ્યા

ટ્રેપેઝોઈડની બાજુની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતી સીધી રેખા ખંડને ટ્રેપેઝોઈડની મધ્યરેખા કહેવામાં આવે છે. કેવી રીતે શોધવું તે વિશે મધ્ય રેખાટ્રેપેઝિયમ અને તે આ આકૃતિના અન્ય ઘટકો સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે, અમે નીચે વર્ણવીશું.

કેન્દ્રરેખા પ્રમેય

ચાલો એક ટ્રેપેઝોઇડ દોરીએ જેમાં એ.ડી. - મોટો આધાર,BC- નાનો આધાર, EF - મધ્યમ રેખા. ચાલો આધાર AD ને બિંદુ D થી આગળ વધારીએ. એક રેખા BF દોરો અને જ્યાં સુધી તે બિંદુ O પર આધાર AD ના વિસ્તરણ સાથે છેદે નહીં ત્યાં સુધી તેને ચાલુ રાખો. ત્રિકોણ ∆BCF અને ∆DFO ને ધ્યાનમાં લો. ખૂણાઓ ∟BCF = ∟DFO વર્ટિકલ તરીકે. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, કારણ કે VS // JSC. તેથી, ત્રિકોણ ∆BCF = ∆DFO. તેથી બાજુઓ BF = FO.

હવે ∆ABO અને ∆EBF ને ધ્યાનમાં લો. ∟ABO બંને ત્રિકોણ માટે સામાન્ય છે. BE/AB = ½ શરત પ્રમાણે, BF/BO = ½, ત્યારથી ∆BCF = ∆DFO. તેથી, ત્રિકોણ ABO અને EFB સમાન છે. તેથી પક્ષકારોનો ગુણોત્તર EF/AO = ½, તેમજ અન્ય પક્ષોનો ગુણોત્તર.

અમે EF = ½ AO શોધીએ છીએ. ડ્રોઇંગ બતાવે છે કે AO = AD + DO. DO = BC બાજુઓ તરીકે સમાન ત્રિકોણ, જેનો અર્થ થાય છે AO = AD + BC. આથી EF = ½ AO = ½ (AD + BC). તે. ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખાની લંબાઈ પાયાના અડધા સરવાળા જેટલી હોય છે.

શું ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા હંમેશા પાયાના અડધા સરવાળા જેટલી હોય છે?

ધારો કે ત્યાં આવી છે ખાસ કેસ, જ્યારે EF ≠ ½ (AD + BC). પછી BC ≠ DO, તેથી, ∆BCF ≠ ∆DCF. પરંતુ આ અશક્ય છે, કારણ કે તેમની વચ્ચે બે સમાન ખૂણા અને બાજુઓ છે. તેથી, પ્રમેય બધી પરિસ્થિતિઓમાં સાચું છે.

મધ્ય રેખા સમસ્યા

ધારો કે, આપણા ટ્રેપેઝોઇડ ABCD AD // BC માં, ∟A = 90°, ∟C = 135°, AB = 2 cm, વિકર્ણ AC બાજુ પર લંબ છે. ટ્રેપેઝોઇડ EF ની મધ્યરેખા શોધો.

જો ∟A = 90°, તો ∟B = 90°, જેનો અર્થ છે ∆ABC લંબચોરસ છે.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° સંમેલન દ્વારા, તેથી, ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

જો કાટકોણ ત્રિકોણ ∆ABC માં એક ખૂણો 45° જેટલો હોય, તો તેમાંના પગ સમાન છે: AB = BC = 2 સે.મી.

હાયપોટેન્યુઝ AC = √(AB² + BC²) = √8 cm.

ચાલો ∆ACD ને ધ્યાનમાં લઈએ. ∟ACD = 90° સ્થિતિ અનુસાર. ∟CAD = ∟BCA = 45° ટ્રેપેઝોઈડના સમાંતર પાયાના ટ્રાન્સવર્સલ દ્વારા રચાયેલા ખૂણા તરીકે. તેથી, પગ AC = CD = √8.

હાયપોટેન્યુઝ AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 સે.મી.

ટ્રેપેઝોઇડ EF ની મધ્યરેખા = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 સે.મી.

ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા અડધા સરવાળા જેટલી છેમેદાન. તે ટ્રેપેઝોઇડની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે અને હંમેશા પાયાની સમાંતર હોય છે.

જો ટ્રેપેઝોઇડના પાયા a અને b સમાન હોય, તો મધ્ય રેખા m બરાબર છે m=(a+b)/2.

જો ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર જાણીતો છે, તો પછી મધ્ય રેખા શોધી શકાય છેઅને બીજી રીતે, ટ્રેપેઝોઇડ એસના વિસ્તારને ટ્રેપેઝોઇડ h ની ઊંચાઈથી વિભાજીત કરીને:



તે જ, ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખા m=S/h

ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખાની લંબાઈ શોધવાની ઘણી રીતો છે. પદ્ધતિની પસંદગી પ્રારંભિક ડેટા પર આધારિત છે.

અહીં ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખાની લંબાઈ માટેના સૂત્રો:

ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા શોધવા માટે, તમે પાંચ ફોર્મ્યુલામાંથી એકનો ઉપયોગ કરી શકો છો (હું તેમને લખીશ નહીં, કારણ કે તે પહેલાથી જ અન્ય જવાબોમાં છે), પરંતુ આ ફક્ત એવા કિસ્સાઓમાં છે કે જ્યાં આપણને પ્રારંભિક ડેટાના મૂલ્યોની જરૂર હોય જાણીતા છે.

વ્યવહારમાં, જ્યારે અપૂરતો ડેટા હોય ત્યારે આપણે ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવી પડે છે, અને યોગ્ય કદહજુ તેને શોધવાની જરૂર છે.

અહીં આવા વિકલ્પો છે

દરેક વસ્તુને સૂત્ર હેઠળ લાવવા માટે એક પગલું દ્વારા પગલું ઉકેલ;

અન્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, જરૂરી સમીકરણો કંપોઝ કરો અને હલ કરો.

આપણને જરૂરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યની લંબાઈ શોધવીભૂમિતિ અને ઉપયોગ વિશેના અન્ય જ્ઞાનની મદદથી બીજગણિતીય સમીકરણો:

આપણી પાસે સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ છે, તેના કર્ણ કાટખૂણે છેદે છે, તેની ઊંચાઈ 9 સેમી છે.

અમે એક ડ્રોઇંગ બનાવીએ છીએ અને જોઈએ છીએ કે આ સમસ્યાને હેડ-ઓન હલ કરી શકાતી નથી (ત્યાં પૂરતો ડેટા નથી)



તેથી, અમે થોડું સરળ બનાવીશું અને કર્ણના આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા ઊંચાઈ દોરીશું.

આ પ્રથમ મહત્વપૂર્ણ પગલું છે જે ઝડપી ઉકેલ તરફ દોરી જાય છે.

ચાલો બે અજાણ્યાઓ સાથે ઊંચાઈ નિયુક્ત કરીએ, આપણે જોઈશું સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણપક્ષો સાથે એક્સઅને ખાતે



અને આપણે તેને સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ આધારોનો સરવાળોટ્રેપેઝોઇડ્સ

તે સમાન છે 2х+2у

અને માત્ર હવે આપણે જ્યાં સૂત્ર લાગુ કરી શકીએ છીએ

અને તે સમાન છે x+yઅને સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, આ ઊંચાઈની લંબાઈ બરાબર છે 9 સે.મી.

અને હવે અમે તેના માટે થોડા મુદ્દા લાવ્યા છીએ સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ, જેના કર્ણ કાટખૂણો પર છેદે છે

આવા ટ્રેપેઝોઇડ્સમાં

મધ્ય રેખા હંમેશા ઊંચાઈ જેટલી હોય છે

વિસ્તાર હંમેશા ઊંચાઈના ચોરસ જેટલો હોય છે.

ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા એ એક સેગમેન્ટ છે જે ટ્રેપેઝોઇડની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે.

જો તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરો છો તો કોઈપણ ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા શોધવાનું સરળ છે:

m = (a + b)/2

m એ ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખાની લંબાઈ છે;

a, b ટ્રેપેઝોઈડના પાયાની લંબાઈ.

તેથી, ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખાની લંબાઈ પાયાની લંબાઈના અડધા સરવાળા જેટલી હોય છે.

ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખા માટેના સૂત્ર માટે મૂળભૂત સૂત્ર: ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખાની લંબાઈ એ બેઝ a અને bના અડધા સરવાળા જેટલી છે: MN=(a+b)2 આ સૂત્રનો પુરાવો છે ત્રિકોણની મધ્યરેખા માટેનું સૂત્ર છેડાના નાના પાયાથી મોટા પાયા સુધી દોર્યા પછી રજૂ કરી શકાય છે સરળતાથી સાબિત.

ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા શોધવા માટે આપણે પાયાના મૂલ્યો જાણવાની જરૂર છે.

અમને આ મૂલ્યો મળ્યા પછી, અથવા કદાચ તે અમને જાણીતા હતા, અમે આ સંખ્યાઓ ઉમેરીએ છીએ અને તેમને અડધા ભાગમાં વહેંચીએ છીએ.

આવું જ થશે ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખા.

જ્યાં સુધી મને મારા શાળાના ભૂમિતિના પાઠ યાદ છે, ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખાની લંબાઈ શોધવા માટે, તમારે પાયાની લંબાઈ ઉમેરવાની અને બે વડે ભાગવાની જરૂર છે. આમ, ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખાની લંબાઈ પાયાના અડધા સરવાળા જેટલી છે.

આ લેખમાં, ટ્રેપેઝોઇડ સાથેની સમસ્યાઓની બીજી પસંદગી તમારા માટે કરવામાં આવી છે. શરતો કોઈક રીતે તેની મધ્ય રેખા સાથે સંબંધિત છે. માંથી લેવામાં આવેલ કાર્ય પ્રકારો ખુલ્લી બેંક લાક્ષણિક કાર્યો. જો તમે ઈચ્છો, તો તમે તમારા તાજું કરી શકો છો સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાન. બ્લોગમાં પહેલાથી જ એવા કાર્યોની ચર્ચા કરવામાં આવી છે જેની શરતો સંબંધિત છે, તેમજ. મધ્ય રેખા વિશે સંક્ષિપ્તમાં:

ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખા બાજુની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડે છે. તે પાયાની સમાંતર છે અને તેમના અડધા સરવાળાની બરાબર છે.

સમસ્યાઓ હલ કરતા પહેલા, ચાલો એક સૈદ્ધાંતિક ઉદાહરણ જોઈએ.

ટ્રેપેઝોઇડ એબીસીડી આપેલ છે. મધ્ય રેખા સાથે છેદતી વિકર્ણ AC બિંદુ K બનાવે છે, વિકર્ણ BD બિંદુ L બનાવે છે. સાબિત કરો કે સેગમેન્ટ KL અડધા સમાનઆધાર તફાવતો.

ચાલો પહેલા એ હકીકતની નોંધ લઈએ કે ટ્રેપેઝોઈડની મધ્યરેખા કોઈપણ સેગમેન્ટને દ્વિભાજિત કરે છે જેના છેડા તેના પાયા પર હોય છે. આ નિષ્કર્ષ પોતે સૂચવે છે. પાયાના બે બિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટની કલ્પના કરો તે આ ટ્રેપેઝોઇડને અન્ય બે ભાગમાં વિભાજિત કરશે. તે તારણ આપે છે કે સેગમેન્ટ પાયાની સમાંતરટ્રેપેઝોઇડ અને બીજી બાજુની બાજુની મધ્યમાંથી પસાર થતાં તેના મધ્યમાંથી પસાર થશે.

આ થેલ્સના પ્રમેય પર પણ આધારિત છે:

જો બે સીધી રેખાઓમાંથી એક પર આપણે અનેક કાવતરા કરીએ છીએ સમાન વિભાગોઅને તેમના છેડા દ્વારા બીજી લાઇનને છેદતી સમાંતર રેખાઓ દોરો, પછી તેઓ બીજી લાઇન પર સમાન ભાગોને કાપી નાખશે.

એટલે કે, માં આ બાબતે K એ AC નો મધ્ય છે અને L એ BD ની મધ્ય છે. તેથી EK એ મધ્ય રેખા છે ત્રિકોણ ABC, LF ત્રિકોણ DCB ની મધ્યરેખા છે. ત્રિકોણની મધ્યરેખાની મિલકત અનુસાર:

હવે આપણે પાયાના સંદર્ભમાં KL સેગમેન્ટને વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ:

સાબિત!

આ ઉદાહરણ એક કારણસર આપવામાં આવ્યું છે. માટે કાર્યોમાં સ્વતંત્ર નિર્ણયત્યાં માત્ર આવા કાર્ય છે. માત્ર એવું નથી કહેતું કે કર્ણના મધ્યબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ મધ્યરેખા પર આવેલો છે. ચાલો કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈએ:

27819. ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા શોધો જો તેના પાયા 30 અને 16 હોય.

અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ છીએ:

27820. ટ્રેપેઝોઈડની મધ્યરેખા 28 છે અને નાનો આધાર 18 છે. ટ્રેપેઝોઈડનો મોટો આધાર શોધો.

ચાલો મોટા આધારને વ્યક્ત કરીએ:

આમ:

27836. શિરોબિંદુમાંથી કાટખૂણે પડ્યું અસ્પષ્ટ કોણસમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડના મોટા પાયા પર, તેને 10 અને 4 લંબાઈવાળા ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે. આ ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા શોધો.

મધ્ય રેખા શોધવા માટે તમારે પાયા જાણવાની જરૂર છે. આધાર AB શોધવામાં સરળ છે: 10+4=14. ચાલો ડીસી શોધીએ.

ચાલો બીજો લંબ DF બનાવીએ:

સેગમેન્ટ્સ AF, FE અને EB અનુક્રમે 4, 6 અને 4 શા માટે હશે?

સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડમાં, મોટા પાયા સુધી નીચે આવેલા લંબ તેને ત્રણ ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. તેમાંથી બે, જેના પગ કપાયેલા છે જમણા ત્રિકોણ, એકબીજાની સમાન છે. ત્રીજો સેગમેન્ટ નાના પાયાની બરાબર છે, કારણ કે સૂચવેલ ઊંચાઈ બાંધતી વખતે, એક લંબચોરસ રચાય છે, અને લંબચોરસમાં વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાન હોય છે. આ કાર્યમાં:

આમ DC=6. અમે ગણતરી કરીએ છીએ:

27839. ટ્રેપેઝોઇડના પાયા 2:3 ના ગુણોત્તરમાં છે અને મધ્યરેખા 5 છે. નાનો આધાર શોધો.

ચાલો પ્રમાણસરતા ગુણાંક x રજૂ કરીએ. પછી AB=3x, DC=2x. અમે લખી શકીએ છીએ:

તેથી, નાનો આધાર 2∙2=4 છે.

27840. સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડની પરિમિતિ 80 છે, તેની મધ્યરેખા બાજુની બાજુની બરાબર છે. શોધો બાજુટ્રેપેઝોઇડ્સ.

શરતના આધારે, અમે લખી શકીએ છીએ:

જો આપણે x ની કિંમત દ્વારા મધ્યમ રેખા દર્શાવીએ, તો આપણને મળશે:

બીજું સમીકરણ પહેલેથી આ રીતે લખી શકાય છે:

27841. ટ્રેપેઝોઈડની મધ્યરેખા 7 છે, અને તેનો એક પાયો બીજા કરતા 4 મોટો છે.

ચાલો નાના આધાર (DC) ને x તરીકે દર્શાવીએ, પછી મોટો (AB) x+4 બરાબર હશે. અમે તેને લખી શકીએ છીએ

અમે જોયું કે નાનો આધાર પ્રારંભિક પાંચ છે, જેનો અર્થ છે કે મોટો આધાર 9 ની બરાબર છે.

27842. ટ્રેપેઝોઈડની મધ્યરેખા 12 છે. કર્ણમાંથી એક તેને બે ભાગમાં વહેંચે છે, જેનો તફાવત 2 છે. ટ્રેપેઝોઈડનો મોટો આધાર શોધો.

જો આપણે સેગમેન્ટ EO ની ગણતરી કરીએ તો આપણે ટ્રેપેઝોઈડનો મોટો આધાર સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ. તે ત્રિકોણ ADB માં મધ્યરેખા છે, અને AB=2∙EO.

આપણી પાસે શું છે? એવું કહેવાય છે કે મધ્ય રેખા 12 ની બરાબર છે અને EO અને OF ખંડ વચ્ચેનો તફાવત 2 જેટલો છે. આપણે બે સમીકરણો લખી શકીએ છીએ અને સિસ્ટમ ઉકેલી શકીએ છીએ:

તે સ્પષ્ટ છે કે આ કિસ્સામાં તમે ગણતરી કર્યા વિના સંખ્યાઓની જોડી પસંદ કરી શકો છો, આ 5 અને 7 છે. પરંતુ, તેમ છતાં, ચાલો સિસ્ટમ હલ કરીએ:

તેથી EO=12–5=7. આમ, મોટો આધાર AB=2∙EO=14 બરાબર છે.

27844. સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડમાં, કર્ણ કાટખૂણે હોય છે. ટ્રેપેઝોઇડની ઊંચાઈ 12 છે. તેની મધ્યરેખા શોધો.

ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઈડમાં કર્ણના આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા દોરવામાં આવેલી ઊંચાઈ સમપ્રમાણતાની અક્ષ પર આવેલી છે અને ટ્રેપેઝોઈડને બે સમાન ભાગમાં વહેંચે છે. લંબચોરસ ટ્રેપેઝોઇડ્સ, એટલે કે, આ ઊંચાઈના પાયા અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલા છે.

એવું લાગે છે કે મધ્ય રેખાની ગણતરી કરવા માટે આપણે કારણો શોધવા જોઈએ. અહીં એક નાનો ડેડ એન્ડ ઊભો થાય છે... આ કિસ્સામાં, ઊંચાઈ જાણીને, પાયાની ગણતરી કેવી રીતે કરવી? કોઈ રસ્તો નથી! 90 ડિગ્રીના ખૂણા પર છેદતી નિશ્ચિત ઊંચાઈ અને કર્ણ સાથે આવા ઘણા ટ્રેપેઝોઈડ છે. મારે શું કરવું જોઈએ?

ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા માટેનું સૂત્ર જુઓ. છેવટે, આપણે પોતાને કારણો જાણવાની જરૂર નથી, તે તેમના સરવાળા (અથવા અર્ધ-સરવાળા) જાણવા માટે પૂરતું છે. અમે આ કરી શકીએ છીએ.

વિકર્ણો કાટખૂણો પર છેદે હોવાથી, સમદ્વિબાજુ જમણા ત્રિકોણ ઊંચાઈ EF સાથે રચાય છે:

ઉપરથી તે અનુસરે છે કે FO=DF=FC, અને OE=AE=EB. હવે ચાલો લખીએ કે ઉંચાઈ કેટલી બરાબર છે, DF અને AE વિભાગો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવી છે:

તેથી મધ્ય રેખા 12 છે.

*સામાન્ય રીતે, આ એક કાર્ય છે, જેમ તમે સમજો છો, માટે માનસિક ગણતરી. પરંતુ મને ખાતરી છે કે પ્રસ્તુત છે વિગતવાર સમજૂતીજરૂરી અને તેથી... જો તમે આકૃતિને જુઓ (જો કે કર્ણ વચ્ચેનો કોણ બાંધકામ દરમિયાન જોવામાં આવે તો), સમાનતા FO=DF=FC, અને OE=AE=EB તરત જ તમારી આંખને પકડે છે.

પ્રોટોટાઇપ્સમાં ટ્રેપેઝોઇડ્સ સાથેના કાર્યોનો પણ સમાવેશ થાય છે. તે પાંજરામાં કાગળની શીટ પર બાંધવામાં આવે છે અને તમારે પાંજરાની બાજુ સામાન્ય રીતે 1 ની બરાબર હોય છે, પરંતુ તે અલગ મૂલ્ય હોઈ શકે છે.

27848. ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા શોધો એ બી સી ડી, જો ચોરસ કોષોની બાજુઓ 1 ની બરાબર હોય.

તે સરળ છે, અમે કોષો દ્વારા પાયાની ગણતરી કરીએ છીએ અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: (2+4)/2=3

જો પાયા સેલ ગ્રીડના ખૂણા પર બાંધવામાં આવે છે, તો ત્યાં બે રસ્તાઓ છે. દાખ્લા તરીકે!