પ્રવેશ સ્તર

અંકગણિત પ્રગતિ. વિગતવાર સિદ્ધાંતઉદાહરણો સાથે (2019)

સંખ્યા ક્રમ

તો, ચાલો બેસીએ અને અમુક સંખ્યાઓ લખવાનું શરૂ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે:
તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે (અમારા કિસ્સામાં, તે છે). ભલે આપણે કેટલી સંખ્યાઓ લખીએ, આપણે હંમેશા કહી શકીએ છીએ કે કઈ પ્રથમ છે, કઈ બીજી છે, અને તેથી છેલ્લી સુધી, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે:

સંખ્યા ક્રમ
ઉદાહરણ તરીકે, અમારા ક્રમ માટે:

અસાઇન કરેલ નંબર અનુક્રમમાં માત્ર એક નંબર માટે વિશિષ્ટ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્રમમાં કોઈ ત્રણ બીજી સંખ્યાઓ નથી. બીજી સંખ્યા (મી સંખ્યાની જેમ) હંમેશા સમાન હોય છે.
સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમની મી પદ કહેવામાં આવે છે.

અમે સામાન્ય રીતે આખા ક્રમને અમુક અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે,) દ્વારા કૉલ કરીએ છીએ, અને આ ક્રમનો દરેક સભ્ય આ સભ્યની સંખ્યાની સમાન અનુક્રમણિકા સાથે સમાન અક્ષર છે: .

અમારા કિસ્સામાં:

ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે છે સંખ્યા ક્રમ, જેમાં સંલગ્ન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

વગેરે
આ સંખ્યા ક્રમને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે.
"પ્રોગ્રેસન" શબ્દ 6ઠ્ઠી સદીમાં રોમન લેખક બોથિયસ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો અને તે વધુ સમજવામાં આવ્યો હતો. વ્યાપક અર્થમાં, અનંત સંખ્યાના ક્રમની જેમ. "અંકગણિત" નામ સતત પ્રમાણના સિદ્ધાંતમાંથી સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવ્યું હતું, જેનો પ્રાચીન ગ્રીકો દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

આ એક સંખ્યા ક્રમ છે, જેનો દરેક સભ્ય સમાન સંખ્યામાં ઉમેરાયેલા પહેલાના સભ્ય જેટલો છે. આ સંખ્યાને તફાવત કહેવામાં આવે છે અંકગણિત પ્રગતિઅને નિયુક્ત થયેલ છે.

કઈ સંખ્યા ક્રમ એ અંકગણિત પ્રગતિ છે અને કઈ નથી તે નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરો:

a)
b)
c)
ડી)

સમજાયું? ચાલો અમારા જવાબોની તુલના કરીએ:
છેઅંકગણિત પ્રગતિ - b, c.
નથીઅંકગણિત પ્રગતિ - a, d.

ચાલો આપેલ પ્રગતિ () પર પાછા જઈએ અને તેના મી શબ્દનું મૂલ્ય શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ. અસ્તિત્વમાં છે બેતેને શોધવાની રીત.

1. પદ્ધતિ

જ્યાં સુધી આપણે પ્રગતિની મી મુદત સુધી ન પહોંચીએ ત્યાં સુધી આપણે અગાઉના મૂલ્યમાં પ્રગતિ નંબર ઉમેરી શકીએ છીએ. તે સારું છે કે અમારી પાસે સારાંશ આપવા માટે વધુ નથી - ફક્ત ત્રણ મૂલ્યો:

તેથી, વર્ણવેલ અંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ બરાબર છે.

2. પદ્ધતિ

જો આપણે પ્રગતિની મી મુદતનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર હોય તો શું? સારાંશમાં અમને એક કલાકથી વધુ સમય લાગશે, અને તે હકીકત નથી કે સંખ્યાઓ ઉમેરતી વખતે અમે ભૂલો કરતા નથી.
અલબત્ત, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ એવી રીત શોધી કાઢી છે જેમાં અગાઉના મૂલ્યમાં અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત ઉમેરવાની જરૂર નથી. દોરેલા ચિત્રને નજીકથી જુઓ... ચોક્કસ તમે પહેલેથી જ એક ચોક્કસ પેટર્ન નોંધ્યું હશે, એટલે કે:

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો જોઈએ કે આ અંકગણિત પ્રગતિના મી શબ્દનું મૂલ્ય શું છે:


બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો:

આ રીતે આપેલ અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યનું મૂલ્ય જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

શું તમે ગણતરી કરી? જવાબ સાથે તમારી નોંધોની તુલના કરો:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે જ્યારે અમે અનુક્રમે પાછલા મૂલ્યમાં અંકગણિતની પ્રગતિની શરતો ઉમેરી ત્યારે તમને અગાઉની પદ્ધતિની જેમ બરાબર એ જ નંબર મળ્યો છે.
ચાલો "વ્યક્તિગતીકરણ" કરવાનો પ્રયાસ કરીએ આ સૂત્ર- ચાલો તેને સામાન્ય સ્વરૂપમાં મૂકીએ અને મેળવીએ:

અંકગણિત પ્રગતિમાં વધારો અથવા ઘટાડો થઈ શકે છે.

વધી રહી છે- પ્રગતિ કે જેમાં શરતોનું દરેક અનુગામી મૂલ્ય પાછલા એક કરતા વધારે છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

ઉતરતા- પ્રગતિ કે જેમાં શરતોનું દરેક અનુગામી મૂલ્ય પાછલા એક કરતા ઓછું છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

વ્યુત્પન્ન સૂત્રનો ઉપયોગ અંકગણિત પ્રગતિના વધતા અને ઘટતા બંને શબ્દોમાં પદોની ગણતરીમાં થાય છે.
ચાલો વ્યવહારમાં આ તપાસીએ.
અમને નીચેની સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરતી એક અંકગણિત પ્રગતિ આપવામાં આવી છે: ચાલો તપાસીએ કે આ અંકગણિત પ્રગતિની મી સંખ્યા શું હશે જો આપણે તેની ગણતરી કરવા માટે અમારા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

ત્યારથી:

આમ, અમને ખાતરી છે કે સૂત્ર અંકગણિતની પ્રગતિ ઘટતા અને વધતા બંનેમાં કાર્ય કરે છે.
આ અંકગણિતની પ્રગતિની મી અને મી શરતો જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

ચાલો પરિણામોની તુલના કરીએ:

અંકગણિત પ્રગતિ ગુણધર્મ

ચાલો સમસ્યાને જટિલ બનાવીએ - અમે અંકગણિત પ્રગતિની મિલકત મેળવીશું.
ચાલો કહીએ કે અમને નીચેની શરત આપવામાં આવી છે:
- અંકગણિત પ્રગતિ, મૂલ્ય શોધો.
સરળ, તમે કહો અને તમે પહેલાથી જ જાણો છો તે સૂત્ર અનુસાર ગણતરી કરવાનું શરૂ કરો:

ચાલો, આહ, પછી:

બિલકુલ સાચું. તે તારણ આપે છે કે આપણે પહેલા શોધીએ છીએ, પછી તેને પ્રથમ નંબરમાં ઉમેરીએ છીએ અને આપણે જે શોધી રહ્યા છીએ તે મેળવીએ છીએ. જો પ્રગતિ નાના મૂલ્યો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તો તેમાં કંઈ જટિલ નથી, પરંતુ જો આપણને શરતમાં સંખ્યાઓ આપવામાં આવે તો શું? સંમત થાઓ, ગણતરીમાં ભૂલ થવાની સંભાવના છે.
હવે વિચારો કે શું કોઈ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને આ સમસ્યાને એક પગલામાં હલ કરવી શક્ય છે? અલબત્ત હા, અને તે જ અમે હવે બહાર લાવવાનો પ્રયત્ન કરીશું.

ચાલો આપણે અંકગણિત પ્રગતિના જરૂરી શબ્દને સૂચવીએ કારણ કે, તેને શોધવાનું સૂત્ર આપણને જાણીતું છે - આ તે જ સૂત્ર છે જે આપણે શરૂઆતમાં મેળવ્યું છે:
, પછી:

• પ્રગતિની પાછલી મુદત છે:
• પ્રગતિની આગામી મુદત છે:

ચાલો પ્રગતિની અગાઉની અને અનુગામી શરતોનો સરવાળો કરીએ:

તે તારણ આપે છે કે પ્રગતિની અગાઉની અને અનુગામી શરતોનો સરવાળો એ તેમની વચ્ચે સ્થિત પ્રગતિ શબ્દનું ડબલ મૂલ્ય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અગાઉના જાણીતા અને આપેલ પ્રગતિ શબ્દનું મૂલ્ય શોધવા માટે સળંગ મૂલ્યો, તમારે તેમને ઉમેરવાની અને તેમને વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

તે સાચું છે, અમને સમાન નંબર મળ્યો. ચાલો સામગ્રીને સુરક્ષિત કરીએ. પ્રગતિ માટેના મૂલ્યની જાતે ગણતરી કરો, તે બિલકુલ મુશ્કેલ નથી.

શાબાશ! તમે પ્રગતિ વિશે લગભગ બધું જ જાણો છો! તે માત્ર એક સૂત્ર શોધવાનું બાકી છે, જે, દંતકથા અનુસાર, તમામ સમયના મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓમાંના એક, "ગણિતશાસ્ત્રીઓના રાજા" દ્વારા સરળતાથી અનુમાનિત કરવામાં આવ્યું હતું - કાર્લ ગૌસ...

જ્યારે કાર્લ ગૌસ 9 વર્ષનો હતો, ત્યારે એક શિક્ષક, અન્ય વર્ગોમાં વિદ્યાર્થીઓનું કામ તપાસવામાં વ્યસ્ત હતો, તેણે વર્ગમાં નીચેની સમસ્યા પૂછી: “બધાના સરવાળાની ગણતરી કરો. કુદરતી સંખ્યાઓથી (અન્ય સ્ત્રોતો અનુસાર) સુધીનો સમાવેશ થાય છે.” શિક્ષકના આશ્ચર્યની કલ્પના કરો જ્યારે તેના એક વિદ્યાર્થીએ (આ કાર્લ ગૌસ હતો) એક મિનિટ પછી કાર્યનો સાચો જવાબ આપ્યો, જ્યારે ડેરડેવિલના મોટાભાગના સહપાઠીઓને, લાંબી ગણતરીઓ પછી, ખોટું પરિણામ મળ્યું...

યુવાન કાર્લ ગૌસે એક ચોક્કસ પેટર્ન નોંધ્યું જે તમે સરળતાથી નોંધી શકો છો.
ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે -th પદો ધરાવતી અંકગણિત પ્રગતિ છે: આપણે અંકગણિત પ્રગતિના આ શબ્દોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. અલબત્ત, આપણે મેન્યુઅલી તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો કરી શકીએ છીએ, પરંતુ જો કાર્યને તેની શરતોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર હોય તો શું, જેમ કે ગૌસ શોધી રહ્યા હતા?

અમને આપવામાં આવેલ પ્રગતિનું નિરૂપણ કરીએ. પ્રકાશિત સંખ્યાઓ પર નજીકથી નજર નાખો અને તેમની સાથે વિવિધ ગાણિતિક ક્રિયાઓ કરવાનો પ્રયાસ કરો.


શું તમે તેનો પ્રયાસ કર્યો છે? તમે શું નોંધ્યું? અધિકાર! તેમની રકમ સમાન છે

હવે મને કહો, અમને આપેલી પ્રગતિમાં કુલ આવી કેટલી જોડી છે? અલબત્ત, બધી સંખ્યાઓનો બરાબર અડધો, એટલે કે.
એ હકીકતના આધારે કે અંકગણિત પ્રગતિના બે પદોનો સરવાળો સમાન છે, અને સમાન જોડી સમાન છે, આપણે તે મેળવીએ છીએ કુલ રકમસમાન છે:
.
આમ, કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર આ હશે:

કેટલીક સમસ્યાઓમાં આપણે મી શબ્દ જાણતા નથી, પરંતુ આપણે પ્રગતિનો તફાવત જાણીએ છીએ. મી શબ્દના સૂત્રને સરવાળા સૂત્રમાં બદલવાનો પ્રયાસ કરો.
તમને શું મળ્યું?

શાબાશ! હવે ચાલો તે સમસ્યા પર પાછા ફરીએ જે કાર્લ ગૌસને પૂછવામાં આવી હતી: તમારી જાતે ગણતરી કરો કે th થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો અને th થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે.

તમને કેટલું મળ્યું?
ગૌસે જોયું કે શરતોનો સરવાળો સમાન છે, અને શરતોનો સરવાળો છે. તે તમે નક્કી કર્યું છે?

હકીકતમાં, અંકગણિત પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર પ્રાચીન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક ડાયોફેન્ટસ દ્વારા 3જી સદીમાં સાબિત થયું હતું, અને આ સમય દરમિયાન, વિનોદી લોકોએ અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મોનો સંપૂર્ણ ઉપયોગ કર્યો હતો.
ઉદાહરણ તરીકે, કલ્પના કરો પ્રાચીન ઇજિપ્તઅને સૌથી વધુ મોટા પાયે બાંધકામતે સમય - પિરામિડનું બાંધકામ... ચિત્ર તેની એક બાજુ બતાવે છે.

અહીં પ્રગતિ ક્યાં છે, તમે કહો છો? કાળજીપૂર્વક જુઓ અને પિરામિડ દિવાલની દરેક હરોળમાં રેતીના બ્લોક્સની સંખ્યામાં એક પેટર્ન શોધો.


શા માટે અંકગણિત પ્રગતિ નથી? જો બ્લોક ઇંટો પાયા પર મૂકવામાં આવે તો એક દિવાલ બનાવવા માટે કેટલા બ્લોકની જરૂર છે તેની ગણતરી કરો. હું આશા રાખું છું કે મોનિટર પર તમારી આંગળી ખસેડતી વખતે તમે ગણતરી કરશો નહીં, તમને છેલ્લું સૂત્ર અને અંકગણિત પ્રગતિ વિશે અમે જે કહ્યું તે બધું યાદ છે?

IN આ કિસ્સામાંપ્રગતિ આના જેવી લાગે છે: .
અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.
અંકગણિત પ્રગતિના પદોની સંખ્યા.
ચાલો આપણા ડેટાને છેલ્લા સૂત્રોમાં બદલીએ (2 રીતે બ્લોકની સંખ્યાની ગણતરી કરો).

પદ્ધતિ 1.

પદ્ધતિ 2.

અને હવે તમે મોનિટર પર ગણતરી કરી શકો છો: અમારા પિરામિડમાં રહેલા બ્લોક્સની સંખ્યા સાથે પ્રાપ્ત મૂલ્યોની તુલના કરો. સમજાયું? સારું કર્યું, તમે અંકગણિતની પ્રગતિના nમા શબ્દોના સરવાળામાં નિપુણતા મેળવી લીધી છે.
અલબત્ત, તમે બેઝ પરના બ્લોક્સમાંથી પિરામિડ બનાવી શકતા નથી, પણ ક્યાંથી? આ સ્થિતિ સાથે દિવાલ બનાવવા માટે કેટલી રેતીની ઇંટોની જરૂર છે તેની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો.
શું તમે મેનેજ કર્યું?
સાચો જવાબ બ્લોક્સ છે:

તાલીમ

કાર્યો:

1. માશા ઉનાળા માટે આકારમાં આવી રહી છે. દરરોજ તે સ્ક્વોટ્સની સંખ્યામાં વધારો કરે છે. જો તેણીએ પ્રથમ તાલીમ સત્રમાં સ્ક્વોટ્સ કર્યું હોય તો માશા અઠવાડિયામાં કેટલી વાર સ્ક્વોટ્સ કરશે?
2. સમાયેલ તમામ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે.
3. લોગ સંગ્રહ કરતી વખતે, લોગર્સ તેમને એવી રીતે સ્ટેક કરે છે કે દરેક ટોચનું સ્તરઅગાઉના એક કરતાં એક ઓછો લોગ સમાવે છે. એક ચણતરમાં કેટલા લોગ હોય છે, જો ચણતરનો પાયો લોગ હોય તો?

જવાબો:

1. ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિના પરિમાણોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. આ કિસ્સામાં
   (અઠવાડિયા = દિવસો).

   જવાબ:બે અઠવાડિયામાં, માશાએ દિવસમાં એકવાર સ્ક્વોટ્સ કરવું જોઈએ.

2. પ્રથમ વિષમ સંખ્યા, છેલ્લો નંબર.
   અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.
   માં બેકી સંખ્યાઓની સંખ્યા અડધી છે, જો કે, ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિની મી પદ શોધવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ હકીકતને તપાસીએ:

   સંખ્યાઓમાં વિષમ સંખ્યાઓ હોય છે.
   ચાલો ઉપલબ્ધ ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

   જવાબ:માં સમાયેલ તમામ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન છે.

3. ચાલો પિરામિડ વિશેની સમસ્યાને યાદ કરીએ. અમારા કેસ માટે, a , કારણ કે દરેક ટોચનું સ્તર એક લોગ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે, તો કુલ સ્તરોનો સમૂહ છે, એટલે કે.
   ચાલો ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

   જવાબ:ચણતરમાં લોગ છે.

ચાલો તેનો સરવાળો કરીએ

1. - સંખ્યા ક્રમ કે જેમાં સંલગ્ન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન હોય છે. તે વધી અથવા ઘટી શકે છે.
2. ફોર્મ્યુલા શોધવીઅંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ સૂત્ર દ્વારા લખવામાં આવે છે - , પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં છે.
3. અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની મિલકત- - સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં પ્રગતિમાં છે.
4. અંકગણિતની પ્રગતિની શરતોનો સરવાળોબે રીતે શોધી શકાય છે:
   
   , મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

અંકગણિત પ્રગતિ. મધ્યમ સ્તર

સંખ્યા ક્રમ

ચાલો બેસો અને કેટલાક નંબરો લખવાનું શરૂ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે:

તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે. પરંતુ આપણે હંમેશા કહી શકીએ કે કયું પ્રથમ છે, કયું બીજું છે, અને તેથી વધુ, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે.

સંખ્યા ક્રમસંખ્યાઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી દરેકને એક અનન્ય નંબર અસાઇન કરી શકાય છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક સંખ્યા ચોક્કસ પ્રાકૃતિક સંખ્યા અને અનન્ય સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. અને અમે આ નંબર આ સેટમાંથી અન્ય કોઈ નંબરને સોંપીશું નહીં.

સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમનો મી સભ્ય કહેવામાં આવે છે.

અમે સામાન્ય રીતે આખા ક્રમને અમુક અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે,) દ્વારા કૉલ કરીએ છીએ, અને આ ક્રમનો દરેક સભ્ય આ સભ્યની સંખ્યાની સમાન અનુક્રમણિકા સાથે સમાન અક્ષર છે: .

તે ખૂબ અનુકૂળ છે જો ક્રમનો મી શબ્દ અમુક સૂત્ર દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્ર

ક્રમ સુયોજિત કરે છે:

અને સૂત્ર નીચેનો ક્રમ છે:

ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત પ્રગતિ એ ક્રમ છે (અહીં પ્રથમ પદ સમાન છે, અને તફાવત છે). અથવા (, તફાવત).

ફોર્મ્યુલા nમી મુદત

અમે એક ફોર્મ્યુલાને રિકરન્ટ કહીએ છીએ જેમાં, મી શબ્દ શોધવા માટે, તમારે અગાઉના અથવા ઘણા પહેલાના મુદ્દાઓ જાણવાની જરૂર છે:

દાખલા તરીકે, આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રગતિનો મી શબ્દ શોધવા માટે, આપણે અગાઉના નવની ગણતરી કરવી પડશે. ઉદાહરણ તરીકે, તે દો. પછી:

સારું, હવે સ્પષ્ટ છે કે સૂત્ર શું છે?

દરેક લીટીમાં આપણે અમુક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. કયો? ખૂબ જ સરળ: આ વર્તમાન સભ્યની સંખ્યા ઓછા છે:

હવે વધુ અનુકૂળ છે, બરાબર ને? અમે તપાસીએ છીએ:

તમારા માટે નક્કી કરો:

અંકગણિતની પ્રગતિમાં, nમી પદ માટે સૂત્ર શોધો અને સોમો પદ શોધો.

ઉકેલ:

પ્રથમ પદ સમાન છે. શું તફાવત છે? અહીં શું છે:

(આ કારણે તેને તફાવત કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે પ્રગતિના ક્રમિક પદોના તફાવત સમાન છે).

તેથી, સૂત્ર:

પછી સોમો પદ સમાન છે:

થી સુધીની તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે?

દંતકથા અનુસાર, મહાન ગણિતશાસ્ત્રીકાર્લ ગૌસે, 9 વર્ષના છોકરા તરીકે, થોડીવારમાં આ રકમની ગણતરી કરી. તેણે નોંધ્યું કે પ્રથમનો સરવાળો અને છેલ્લી તારીખસમાન છે, બીજા અને ઉપાંત્યનો સરવાળો સમાન છે, ત્રીજા અને અંતથી 3જાનો સરવાળો સમાન છે, વગેરે. આવી કુલ કેટલી જોડી છે? તે સાચું છે, બધી સંખ્યાઓની બરાબર અડધી સંખ્યા, એટલે કે. તેથી,

કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર આ હશે:

ઉદાહરણ:
બધાનો સરવાળો શોધો ડબલ ડિજિટ નંબરો, ગુણાંક.

ઉકેલ:

આવો પહેલો નંબર આ છે. દરેક અનુગામી સંખ્યા અગાઉના નંબરમાં ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે. આમ, આપણને જે સંખ્યાઓમાં રસ છે તે પ્રથમ પદ અને તફાવત સાથે અંકગણિતની પ્રગતિ બનાવે છે.

આ પ્રગતિ માટે મી શબ્દનું સૂત્ર:

જો તે બધા બે-અંકના હોવા જોઈએ તો પ્રગતિમાં કેટલા પદો છે?

ખૂબ જ સરળ: .

પ્રગતિની છેલ્લી મુદત સમાન હશે. પછી સરવાળો:

જવાબ:.

હવે તમારા માટે નક્કી કરો:

1. દરરોજ રમતવીર પાછલા દિવસ કરતા વધુ મીટર દોડે છે. તે અઠવાડિયામાં કુલ કેટલા કિલોમીટર દોડશે, જો પ્રથમ દિવસે તે કિમી મીટર દોડશે?
2. સાઇકલ સવાર પાછલા દિવસ કરતાં દરરોજ વધુ કિલોમીટરની મુસાફરી કરે છે. પ્રથમ દિવસે તેણે કિ.મી. તેને એક કિલોમીટર કવર કરવા માટે કેટલા દિવસ મુસાફરી કરવાની જરૂર છે? તેની મુસાફરીના છેલ્લા દિવસ દરમિયાન તે કેટલા કિલોમીટરની મુસાફરી કરશે?
3. સ્ટોરમાં રેફ્રિજરેટરની કિંમત દર વર્ષે સમાન રકમ દ્વારા ઘટે છે. દર વર્ષે રેફ્રિજરેટરની કિંમત કેટલી ઘટે છે તે નક્કી કરો જો, રુબેલ્સ માટે વેચાણ માટે મૂકવામાં આવે, છ વર્ષ પછી તે રુબેલ્સમાં વેચવામાં આવે.

જવાબો:

1. અહીં સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે અંકગણિતની પ્રગતિને ઓળખવી અને તેના પરિમાણો નક્કી કરવા. આ કિસ્સામાં, (અઠવાડિયા = દિવસો). તમારે આ પ્રગતિની પ્રથમ શરતોનો સરવાળો નક્કી કરવાની જરૂર છે:
   .
   જવાબ:
2. અહીં તે આપવામાં આવ્યું છે: , મળવું આવશ્યક છે.
   દેખીતી રીતે, તમારે અગાઉની સમસ્યાની જેમ સમાન સરવાળા ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:
   .
   મૂલ્યો બદલો:

   રુટ દેખીતી રીતે ફિટ નથી, તેથી જવાબ છે.
   ચાલો ઠ્ઠી શબ્દના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લા દિવસે મુસાફરી કરેલ પાથની ગણતરી કરીએ:
   (કિમી).
   જવાબ:

3. આપેલ:. શોધો:.
   તે સરળ ન હોઈ શકે:
   (ઘસવું).
   જવાબ:

અંકગણિત પ્રગતિ. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

આ એક સંખ્યા ક્રમ છે જેમાં અડીને આવેલી સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન છે.

અંકગણિત પ્રગતિ વધી શકે છે () અને ઘટી રહી છે ().

ઉદાહરણ તરીકે:

અંકગણિત પ્રગતિનો nમો શબ્દ શોધવા માટેનું સૂત્ર

સૂત્ર દ્વારા લખવામાં આવે છે, જ્યાં પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા છે.

અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની મિલકત

તે તમને પ્રગતિનો શબ્દ સરળતાથી શોધવાની મંજૂરી આપે છે જો તેની પડોશી શરતો જાણીતી હોય - પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં છે.

અંકગણિત પ્રગતિના શબ્દોનો સરવાળો

રકમ શોધવાની બે રીત છે:

મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

શું મુખ્ય મુદ્દોસૂત્રો?

આ સૂત્ર તમને શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે કોઈપણ તેના નંબર દ્વારા" n" .

અલબત્ત, તમારે પ્રથમ શબ્દ પણ જાણવાની જરૂર છે a 1અને પ્રગતિ તફાવત ડી, સારું, આ પરિમાણો વિના તમે ચોક્કસ પ્રગતિ લખી શકતા નથી.

આ સૂત્રને યાદ રાખવું (અથવા ક્રાઇબિંગ) પૂરતું નથી. તમારે તેના સારને સમજવાની અને વિવિધ સમસ્યાઓમાં સૂત્ર લાગુ કરવાની જરૂર છે. અને માં ભૂલશો નહીં યોગ્ય ક્ષણ, હા...) કેવી રીતે ભૂલશો નહીં- મને ખબર નથી. પણ કેવી રીતે યાદ રાખવુંજો જરૂરી હોય તો, હું ચોક્કસપણે તમને સલાહ આપીશ. જેઓ અંત સુધી પાઠ પૂર્ણ કરે છે.)

તો, ચાલો અંકગણિત પ્રગતિના nમા પદ માટેના સૂત્રને જોઈએ.

સામાન્ય રીતે સૂત્ર શું છે? માર્ગ દ્વારા, જો તમે તે વાંચ્યું ન હોય તો એક નજર નાખો. ત્યાં બધું સરળ છે. તે શું છે તે શોધવાનું બાકી છે nમી મુદત.

માં પ્રગતિ સામાન્ય દૃશ્યસંખ્યાઓની શ્રેણી તરીકે લખી શકાય છે:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- અંકગણિત પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ સૂચવે છે, a 3- ત્રીજા સભ્ય, a 4- ચોથો, અને તેથી વધુ. જો અમને પાંચમી ટર્મમાં રસ હોય, તો ચાલો કહીએ કે અમે સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ a 5, જો એકસો વીસમી - સે એક 120.

આપણે તેને સામાન્ય શબ્દોમાં કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ? કોઈપણએક અંકગણિત પ્રગતિ શબ્દ, સાથે કોઈપણનંબર? ખૂબ જ સરળ! આની જેમ:

એક એન

આ છે અંકગણિત પ્રગતિનો nમો શબ્દ.અક્ષર n એક જ સમયે તમામ સભ્ય સંખ્યાઓને છુપાવે છે: 1, 2, 3, 4, અને તેથી વધુ.

અને આવા રેકોર્ડ આપણને શું આપે છે? જરા વિચારો, સંખ્યાને બદલે તેઓએ એક પત્ર લખ્યો...

આ પ્રવેશ અમને આપે છે શક્તિશાળી સાધનઅંકગણિત પ્રગતિ સાથે કામ કરવા માટે. નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને એક એન, અમે ઝડપથી શોધી શકીએ છીએ કોઈપણસભ્ય કોઈપણઅંકગણિત પ્રગતિ. અને અન્ય પ્રગતિ સમસ્યાઓનો સમૂહ ઉકેલો. તમે તમારા માટે આગળ જોશો.

અંકગણિત પ્રગતિના nમા પદ માટેના સૂત્રમાં:

a 1- અંકગણિત પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ;

n- સભ્ય સંખ્યા.

સૂત્ર કોઈપણ પ્રગતિના મુખ્ય પરિમાણોને જોડે છે: a n ; a 1 ; ડીઅને n. બધી પ્રગતિ સમસ્યાઓ આ પરિમાણોની આસપાસ ફરે છે.

nth શબ્દ સૂત્રનો ઉપયોગ ચોક્કસ પ્રગતિ લખવા માટે પણ થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમસ્યા કહી શકે છે કે પ્રગતિ સ્થિતિ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવી છે:

a n = 5 + (n-1) 2.

આવી સમસ્યાનો અંત આવી શકે છે... ન તો કોઈ શ્રેણી છે કે ન કોઈ તફાવત છે... પરંતુ, સૂત્ર સાથે સ્થિતિની તુલના કરીએ તો, તે સમજવું સરળ છે કે આ પ્રગતિમાં a 1 =5, અને d=2.

અને તે વધુ ખરાબ પણ હોઈ શકે છે!) જો આપણે સમાન સ્થિતિ લઈએ તો: a n = 5 + (n-1) 2,હા, કૌંસ ખોલો અને સમાન આપો? અમને મળે છે નવું સૂત્ર:

a n = 3 + 2n.

આ માત્ર સામાન્ય નહીં, પરંતુ ચોક્કસ પ્રગતિ માટે. આ તે છે જ્યાં મુશ્કેલી છૂપાય છે. કેટલાક લોકો માને છે કે પ્રથમ પદ ત્રણ છે. જો કે વાસ્તવમાં પ્રથમ પદ પાંચ છે... થોડું ઓછું આપણે આવા સંશોધિત સૂત્ર સાથે કામ કરીશું.

પ્રગતિની સમસ્યાઓમાં અન્ય સંકેત છે - a n+1. આ છે, જેમ તમે અનુમાન લગાવ્યું છે, પ્રગતિનો "n પ્લસ ફર્સ્ટ" શબ્દ. તેનો અર્થ સરળ અને નિરુપદ્રવી છે.) આ પ્રગતિનો સભ્ય છે જેની સંખ્યા એકની સંખ્યા n કરતાં મોટી છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ સમસ્યામાં આપણે લઈએ એક એનપછી પાંચમી મુદત a n+1છઠ્ઠા સભ્ય હશે. અને જેમ.

મોટેભાગે હોદ્દો a n+1પુનરાવૃત્તિ સૂત્રોમાં જોવા મળે છે. આનાથી ગભરાશો નહીં ભયંકર શબ્દ!) આ ફક્ત અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યને વ્યક્ત કરવાની એક રીત છે પાછલા એક દ્વારા.ચાલો કહીએ કે આવર્તક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અમને આ ફોર્મમાં અંકગણિતની પ્રગતિ આપવામાં આવી છે:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

ચોથો - ત્રીજા દ્વારા, પાંચમો - ચોથા દ્વારા, અને તેથી વધુ. વીસમી મુદત આપણે તરત જ કેવી રીતે ગણી શકીએ? એક 20? પરંતુ ત્યાં કોઈ રસ્તો નથી!) જ્યાં સુધી આપણે 19મી મુદત શોધીએ નહીં, ત્યાં સુધી આપણે 20મી ગણી શકીએ નહીં. આ છે મૂળભૂત તફાવત nમા પદના સૂત્રમાંથી આવર્તક સૂત્ર. દ્વારા જ રિકરન્ટ કામ કરે છે અગાઉનાટર્મ, અને nમી ટર્મનું સૂત્ર છે પ્રથમઅને પરવાનગી આપે છે તરત જકોઈપણ સભ્યને તેના નંબર દ્વારા શોધો. ક્રમમાં સંખ્યાઓની સમગ્ર શ્રેણીની ગણતરી કર્યા વિના.

અંકગણિતની પ્રગતિમાં, આવર્તક સૂત્રને નિયમિતમાં ફેરવવું સરળ છે. સળંગ પદોની જોડી ગણો, તફાવતની ગણતરી કરો ડી,જો જરૂરી હોય તો, પ્રથમ શબ્દ શોધો a 1, માં સૂત્ર લખો સામાન્ય સ્વરૂપમાં, અને તેની સાથે કામ કરો. સ્ટેટ એકેડેમી ઑફ સાયન્સમાં, આવા કાર્યોનો વારંવાર સામનો કરવો પડે છે.

અંકગણિત પ્રગતિના nમા પદ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ.

પ્રથમ, ચાલો જોઈએ સીધી અરજીસૂત્રો પાછલા પાઠના અંતે એક સમસ્યા હતી:

એક અંકગણિત પ્રગતિ (a n) આપવામાં આવે છે. 121 શોધો જો a 1 =3 અને d=1/6.

આ સમસ્યા કોઈપણ સૂત્રો વિના ઉકેલી શકાય છે, ફક્ત અંકગણિત પ્રગતિના અર્થના આધારે. ઉમેરો અને ઉમેરો... એક કે બે કલાક.)

અને સૂત્ર મુજબ, ઉકેલ એક મિનિટ કરતાં ઓછો સમય લેશે. તમે તેને સમય આપી શકો છો.) ચાલો નક્કી કરીએ.

શરતો સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટેનો તમામ ડેટા પ્રદાન કરે છે: a 1 =3, d=1/6.તે બરાબર શું છે તે શોધવાનું બાકી છે nકોઈ પ્રશ્ન નથી! આપણે શોધવાની જરૂર છે a 121. તેથી અમે લખીએ છીએ:

કૃપા કરીને ધ્યાન આપો! અનુક્રમણિકાને બદલે nચોક્કસ સંખ્યા દેખાય છે: 121. જે તદ્દન તાર્કિક છે.) અમને અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યમાં રસ છે નંબર એકસો એકવીસ.આ આપણું હશે nઆ અર્થ છે n= 121 આપણે આગળ સૂત્રમાં, કૌંસમાં બદલીશું. અમે બધી સંખ્યાઓને સૂત્રમાં બદલીએ છીએ અને ગણતરી કરીએ છીએ:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

બસ. જેટલી ઝડપથી કોઈ પાંચસો અને દસમો શબ્દ, અને હજાર અને ત્રીજો, કોઈપણ એક શોધી શકે છે. અમે તેના બદલે મૂકી n ઇચ્છિત સંખ્યાપત્રની અનુક્રમણિકામાં " a"અને કૌંસમાં, અને અમે ગણતરી કરીએ છીએ.

ચાલો હું તમને મુદ્દો યાદ કરાવું: આ સૂત્ર તમને શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે કોઈપણઅંકગણિત પ્રગતિ શબ્દ તેના નંબર દ્વારા" n" .

ચાલો સમસ્યાને વધુ ઘડાયેલું રીતે હલ કરીએ. ચાલો નીચેની સમસ્યાનો સામનો કરીએ:

અંકગણિત પ્રગતિનું પ્રથમ પદ શોધો (a n), જો a 17 =-2; d=-0.5.

જો તમને કોઈ મુશ્કેલી હોય, તો હું તમને પ્રથમ પગલું કહીશ. અંકગણિત પ્રગતિના nમા પદ માટે સૂત્ર લખો!હા, હા. તમારી નોટબુકમાં જ તમારા હાથ વડે લખો:

અને હવે, સૂત્રના અક્ષરો જોઈને, આપણે સમજીએ છીએ કે આપણી પાસે કયો ડેટા છે અને શું ખૂટે છે? ઉપલબ્ધ છે d=-0.5,ત્યાં એક સત્તરમો સભ્ય છે... શું તે છે? જો તમને લાગે કે તે છે, તો પછી તમે સમસ્યા હલ કરશો નહીં, હા...

અમારી પાસે હજુ પણ નંબર છે n! સ્થિતિમાં a 17 =-2છુપાયેલ બે પરિમાણો.આ સત્તરમા પદ (-2) અને તેની સંખ્યા (17) બંનેનું મૂલ્ય છે. તે. n=17.આ "નાનકડી વસ્તુ" ઘણીવાર માથા પરથી સરકી જાય છે, અને તેના વિના, ("નાનકડી વસ્તુ" વિના, માથાથી નહીં!) સમસ્યા હલ થઈ શકતી નથી. જોકે... અને તે પણ માથા વગર.)

હવે આપણે ફક્ત મૂર્ખતાપૂર્વક અમારા ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલી શકીએ છીએ:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

ઓહ હા, a 17આપણે જાણીએ છીએ કે તે -2 છે. ઠીક છે, ચાલો બદલીએ:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)

તે મૂળભૂત રીતે બધા છે. તે સૂત્રમાંથી અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદને વ્યક્ત કરવા અને તેની ગણતરી કરવાનું બાકી છે. જવાબ હશે: a 1 = 6.

આ તકનીક ફોર્મ્યુલા લખી રહી છે અને સરળ અવેજીજાણીતો ડેટા - ઘણી મદદ કરે છે સરળ કાર્યો. ઠીક છે, અલબત્ત, તમે ફોર્મ્યુલામાંથી ચલ વ્યક્ત કરવા સક્ષમ હોવા જોઈએ, પરંતુ શું કરવું!? આ કૌશલ્ય વિના, ગણિતનો અભ્યાસ બિલકુલ ન થઈ શકે...

અન્ય લોકપ્રિય પઝલ:

અંકગણિત પ્રગતિ (a n) નો તફાવત શોધો, જો a 1 =2; a 15 = 12.

અમે શું કરી રહ્યા છીએ? તમને આશ્ચર્ય થશે, અમે ફોર્મ્યુલા લખી રહ્યા છીએ!)

ચાલો આપણે શું જાણીએ તે ધ્યાનમાં લઈએ: a 1 =2; a 15 = 12; અને (હું ખાસ કરીને પ્રકાશિત કરીશ!) n=15. આને ફોર્મ્યુલામાં બદલવા માટે મફત લાગે:

12=2 + (15-1)ડી

અમે અંકગણિત કરીએ છીએ.)

12=2 + 14d

ડી=10/14 = 5/7

આ સાચો જવાબ છે.

તેથી, માટે કાર્યો a n, a 1અને ડીનક્કી કર્યું. નંબર કેવી રીતે શોધવો તે શીખવાનું બાકી છે:

સંખ્યા 99 એ અંકગણિત પ્રગતિ (a n) નો સભ્ય છે, જ્યાં a 1 =12; d=3. આ સભ્યનો નંબર શોધો.

અમે અમને જાણીતા જથ્થાને nth શબ્દના સૂત્રમાં બદલીએ છીએ:

a n = 12 + (n-1) 3

પ્રથમ નજરમાં, અહીં બે અજાણ્યા જથ્થાઓ છે: a n અને n.પણ એક એન- આ સંખ્યા સાથે પ્રગતિના કેટલાક સભ્ય છે n...અને આપણે પ્રગતિના આ સભ્યને જાણીએ છીએ! તે 99 છે. અમને તેનો નંબર ખબર નથી. n,તેથી આ નંબર તમારે શોધવાની જરૂર છે. અમે પ્રગતિ 99 ના શબ્દને સૂત્રમાં બદલીએ છીએ:

99 = 12 + (n-1) 3

અમે સૂત્રમાંથી વ્યક્ત કરીએ છીએ n, અમને લાગે છે. અમને જવાબ મળે છે: n=30.

અને હવે તે જ વિષય પર સમસ્યા છે, પરંતુ વધુ સર્જનાત્મક):

નંબર 117 એ અંકગણિત પ્રગતિ (a n) નો સભ્ય છે કે કેમ તે નક્કી કરો:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

ચાલો ફરીથી ફોર્મ્યુલા લખીએ. શું, ત્યાં કોઈ પરિમાણો નથી? હમ્મ... આપણને આંખો કેમ આપવામાં આવે છે?) શું આપણે પ્રગતિની પ્રથમ અવધિ જોઈએ છીએ? આપણે જોઈએ છીએ. આ -3.6 છે. તમે સુરક્ષિત રીતે લખી શકો છો: a 1 = -3.6.તફાવત ડીશું તમે શ્રેણીમાંથી કહી શકો છો? જો તમે જાણો છો કે અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત શું છે તે સરળ છે:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

તેથી, અમે સૌથી સરળ વસ્તુ કરી. તે અજાણ્યા નંબર સાથે વ્યવહાર કરવા માટે રહે છે nઅને અગમ્ય નંબર 117. અગાઉની સમસ્યામાં, ઓછામાં ઓછું તે જાણીતું હતું કે તે પ્રગતિનો શબ્દ હતો જે આપવામાં આવ્યો હતો. પણ અહીં આપણને ખબર પણ નથી પડતી... શું કરવું!? સારું, શું કરવું, શું કરવું... ચાલુ કરો સર્જનાત્મકતા!)

અમે ધારો કેતે 117, છેવટે, આપણી પ્રગતિનો સભ્ય છે. અજાણ્યા નંબર સાથે n. અને, અગાઉની સમસ્યાની જેમ, ચાલો આ નંબર શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ. તે. અમે સૂત્ર લખીએ છીએ (હા, હા!)) અને અમારી સંખ્યા બદલીએ છીએ:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

ફરીથી આપણે સૂત્રમાંથી વ્યક્ત કરીએ છીએn, અમે ગણીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

અરે! નંબર નીકળ્યો અપૂર્ણાંકએકસો દોઢ. અને અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ પ્રગતિમાં છે થતું નથી.આપણે શું નિષ્કર્ષ દોરી શકીએ? હા! નંબર 117 નથીઅમારી પ્રગતિના સભ્ય. તે એકસો અને પ્રથમ અને સો અને બીજા શબ્દો વચ્ચે ક્યાંક છે. જો નંબર કુદરતી બહાર આવ્યો, એટલે કે. સકારાત્મક પૂર્ણાંક છે, તો સંખ્યા મળેલી સંખ્યા સાથેની પ્રગતિનો સભ્ય હશે. અને અમારા કિસ્સામાં, સમસ્યાનો જવાબ હશે: ના.

કાર્ય આધારિત વાસ્તવિક વિકલ્પ GIA:

એક અંકગણિત પ્રગતિ શરત દ્વારા આપવામાં આવે છે:

a n = -4 + 6.8n

પ્રગતિના પ્રથમ અને દસમા પદો શોધો.

અહીં પ્રગતિ તદ્દન સુયોજિત નથી સામાન્ય રીતે. અમુક પ્રકારનું સૂત્ર... તે થાય છે.) જો કે, આ સૂત્ર (જેમ મેં ઉપર લખ્યું છે) - અંકગણિત પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સૂત્ર પણ!તેણી પણ પરવાનગી આપે છે પ્રગતિના કોઈપણ સભ્યને તેની સંખ્યા દ્વારા શોધો.

અમે પ્રથમ સભ્યની શોધમાં છીએ. જે વિચારે છે. કે પ્રથમ શબ્દ માઈનસ ચાર છે તે જીવલેણ ભૂલ છે!) કારણ કે સમસ્યાનું સૂત્ર સુધારેલ છે. તેમાં અંકગણિત પ્રગતિનું પ્રથમ પદ છુપાયેલતે ઠીક છે, અમે તેને હવે શોધીશું.)

અગાઉની સમસ્યાઓની જેમ, અમે અવેજી કરીએ છીએ n=1આ સૂત્રમાં:

a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

અહીં! પ્રથમ ટર્મ 2.8 છે, -4 નહીં!

અમે દસમી મુદત માટે તે જ રીતે જોઈએ છીએ:

a 10 = -4 + 6.8 10 = 64

બસ.

અને હવે, જેમણે આ લીટીઓ વાંચી છે તેમના માટે વચન આપેલ બોનસ.)

ધારો કે, રાજ્ય પરીક્ષા અથવા એકીકૃત રાજ્ય પરીક્ષાની મુશ્કેલ લડાઇની પરિસ્થિતિમાં, તમે અંકગણિત પ્રગતિના nમા પદ માટે ઉપયોગી સૂત્ર ભૂલી ગયા છો. મને કંઈક યાદ છે, પરંતુ કોઈક રીતે અનિશ્ચિતપણે... અથવા nત્યાં, અથવા n+1, અથવા n-1...કેવી રીતે બનવું!?

શાંત! આ સૂત્ર મેળવવા માટે સરળ છે. ખૂબ કડક નથી, પરંતુ આત્મવિશ્વાસ માટે અને યોગ્ય નિર્ણયચોક્કસપણે પર્યાપ્ત!) નિષ્કર્ષ પર પહોંચવા માટે, અંકગણિત પ્રગતિના પ્રારંભિક અર્થને યાદ રાખવા અને થોડી મિનિટો સમય રાખવા માટે તે પૂરતું છે. તમારે ફક્ત એક ચિત્ર દોરવાની જરૂર છે. સ્પષ્ટતા માટે.

ચાલો દોરીએ સંખ્યા અક્ષઅને તેના પર પ્રથમ ચિહ્નિત કરો. બીજું, ત્રીજું, વગેરે. સભ્યો અને અમે તફાવત નોંધીએ છીએ ડીસભ્યો વચ્ચે. આની જેમ:

અમે ચિત્રને જોઈએ છીએ અને વિચારીએ છીએ: બીજી મુદત શું સમાન છે? બીજું એક ડી:

a 2 =a 1 + 1 ડી

ત્રીજી મુદત શું છે? ત્રીજોટર્મ પ્રથમ ટર્મ વત્તા સમાન છે બે ડી.

a 3 =a 1 + 2 ડી

શું તમને તે મળે છે? તે કંઈપણ માટે નથી કે હું કેટલાક શબ્દો બોલ્ડમાં પ્રકાશિત કરું છું. ઠીક છે, એક વધુ પગલું).

ચોથી પદ શું છે? ચોથુંટર્મ પ્રથમ ટર્મ વત્તા સમાન છે ત્રણ ડી.

a 4 =a 1 + 3 ડી

તે સમજવાનો સમય છે કે ગાબડાઓની સંખ્યા, એટલે કે. ડી, હંમેશા તમે શોધી રહ્યાં છો તે સભ્યની સંખ્યા કરતાં એક ઓછી n. એટલે કે, નંબર સુધી n, જગ્યાઓની સંખ્યાકરશે n-1.તેથી, સૂત્ર હશે (ભિન્નતા વિના!):

સામાન્ય રીતે, ગણિતની ઘણી સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં દ્રશ્ય ચિત્રો ખૂબ મદદરૂપ થાય છે. ચિત્રોની અવગણના કરશો નહીં. પરંતુ જો ચિત્ર દોરવાનું મુશ્કેલ છે, તો પછી... માત્ર એક સૂત્ર!) વધુમાં, nth શબ્દનું સૂત્ર તમને ગણિતના સંપૂર્ણ શક્તિશાળી શસ્ત્રાગારને ઉકેલ - સમીકરણો, અસમાનતાઓ, સિસ્ટમો વગેરે સાથે જોડવાની મંજૂરી આપે છે. તમે સમીકરણમાં ચિત્ર દાખલ કરી શકતા નથી...

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે કાર્યો.

ગરમ કરવા માટે:

1. અંકગણિત પ્રગતિમાં (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. 3 શોધો.

સંકેત: ચિત્ર મુજબ, સમસ્યા 20 સેકન્ડમાં ઉકેલી શકાય છે... સૂત્ર મુજબ, તે વધુ મુશ્કેલ છે. પરંતુ સૂત્રમાં નિપુણતા મેળવવા માટે, તે વધુ ઉપયોગી છે.) કલમ 555 માં, આ સમસ્યા ચિત્ર અને સૂત્ર બંનેનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે. તફાવત અનુભવો!)

અને આ હવે વોર્મ-અપ નથી.)

2. અંકગણિત પ્રગતિમાં (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. 3 શોધો.

શું, તમે ચિત્ર દોરવા નથી માંગતા?) અલબત્ત! સૂત્ર મુજબ વધુ સારું, હા...

3. અંકગણિત પ્રગતિ શરત દ્વારા આપવામાં આવે છે:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. આ પ્રગતિની એકસો અને પચીસમી મુદત શોધો.

આ કાર્યમાં, પ્રગતિ પુનરાવર્તિત રીતે ઉલ્લેખિત છે. પરંતુ એકસો અને પચીસમી મુદતની ગણતરી... દરેક જણ આવી સિદ્ધિ માટે સક્ષમ નથી.) પરંતુ નવમી ટર્મનું સૂત્ર દરેકની શક્તિમાં છે!

4. એક અંકગણિત પ્રગતિ આપેલ (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

પ્રગતિના સૌથી નાના હકારાત્મક પદની સંખ્યા શોધો.

5. કાર્ય 4 ની શરતો અનુસાર, પ્રગતિની સૌથી નાની હકારાત્મક અને સૌથી મોટી નકારાત્મક શરતોનો સરવાળો શોધો.

6. વધતી અંકગણિત પ્રગતિના પાંચમા અને બારમા પદનો ગુણાંક -2.5 છે, અને ત્રીજા અને અગિયારમા પદોનો સરવાળો શૂન્ય છે. 14 શોધો.

સૌથી સરળ કાર્ય નથી, હા...) "આંગળી" પદ્ધતિ અહીં કામ કરશે નહીં. તમારે સૂત્રો લખવા પડશે અને સમીકરણો ઉકેલવા પડશે.

જવાબો (અવ્યવસ્થિતમાં):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

તે કામ કર્યું? તે સરસ છે!)

બધું કામ કરતું નથી? થાય છે. માર્ગ દ્વારા, છેલ્લા કાર્યમાં એક સૂક્ષ્મ બિંદુ છે. સમસ્યા વાંચતી વખતે કાળજી લેવી જરૂરી રહેશે. અને તર્ક.

આ બધી સમસ્યાઓના ઉકેલની વિગતવાર ચર્ચા કલમ 555 માં કરવામાં આવી છે. અને ચોથા માટે કાલ્પનિક તત્વ, અને છઠ્ઠા માટે સૂક્ષ્મ બિંદુ, અને સામાન્ય અભિગમો nth શબ્દના સૂત્રને લગતી કોઈપણ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે - બધું જ લખાયેલું છે. હું તેની ભલામણ કરું છું.

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.

ક્રમનો સામાન્ય શબ્દ $u_n=n^2$ છે. $n=1$ ને બદલીને, અમને મળે છે:

$$ u_1=1^2=1. $$

આ ક્રમનો પ્રથમ શબ્દ છે. $n=2$ ને $u_n=n^2$ માં બદલીને, અમને ક્રમનો બીજો શબ્દ મળે છે:

$$ u_2=2^2=4. $$

જો આપણે $n=3$ ને બદલીએ, તો આપણને ક્રમનો ત્રીજો શબ્દ મળે છે:

$$ u_3=3^2=9. $$

એ જ રીતે આપણે ક્રમના ચોથા, પાંચમા, છઠ્ઠા અને અન્ય પદો શોધીએ છીએ. આ રીતે આપણે અનુરૂપ સંખ્યાઓ મેળવીએ છીએ:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots $$

તે $u_n=n^3$ ક્રમની શરતોને પણ ધ્યાનમાં રાખવા યોગ્ય છે. અહીં તેના કેટલાક પ્રથમ સભ્યો છે:

\શરૂઆત(સમીકરણ)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(સમીકરણ)

વધુમાં, શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ રચવા માટે, $u_n=n!$ ક્રમનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેમાંથી પ્રથમ થોડા શબ્દો નીચે મુજબ છે:

\શરૂઆત(સમીકરણ)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \અંત(સમીકરણ)

રેકોર્ડિંગ "n!" (વાંચો "en factorial") 1 થી n સુધીની તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન સૂચવે છે, એટલે કે.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

વ્યાખ્યા પ્રમાણે, એવું માનવામાં આવે છે કે $0!=1!=1$. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો 5 શોધીએ!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિનો પણ વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. જો અંકગણિત પ્રગતિનું પ્રથમ પદ $a_1$ બરાબર હોય અને તફાવત $d$ બરાબર હોય, તો સામાન્ય સભ્યએક અંકગણિત પ્રગતિ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે:

\begin(સમીકરણ)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \અંત(સમીકરણ)

અંકગણિત પ્રગતિ શું છે? બતાવો\ છુપાવો

અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યાઓનો ક્રમ છે જેમાં આગલા અને પાછલા પદો વચ્ચેનો તફાવત સ્થિર છે. આ સતત તફાવત કહેવાય છે પ્રગતિ તફાવત

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots $$

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે આપણે પડોશી તત્વોની કોઈપણ જોડી લઈએ, પછીના અને અગાઉના સભ્યો વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા સ્થિર અને 7 જેટલો રહેશે:

\\(સંરેખિત) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\end(સંરેખિત)

આ નંબર, એટલે કે. 7, અને ત્યાં એક પ્રગતિ તફાવત છે. તે સામાન્ય રીતે $d$ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, એટલે કે. $d=7$. પ્રગતિનું પ્રથમ તત્વ $a_1=3$ છે. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રગતિનો સામાન્ય શબ્દ લખીએ છીએ. તેમાં $a_1=3$ અને $d=7$ ને બદલીને, અમારી પાસે હશે:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિના પ્રથમ થોડા શબ્દો શોધવા માટે $a_n=7n-4$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

\\(સંરેખિત) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \end(સંરેખિત)

$a_n=7n-4$ ફોર્મ્યુલામાં $n$ નંબરના કોઈપણ મૂલ્યને બદલીને, તમે અંકગણિત પ્રગતિના કોઈપણ સભ્યને મેળવી શકો છો.

તે ભૌમિતિક પ્રગતિને પણ ધ્યાનમાં લેવા યોગ્ય છે. જો પ્રગતિનો પ્રથમ શબ્દ $b_1$ ની બરાબર હોય, અને છેદ $q$ બરાબર હોય, તો ભૌમિતિક પ્રગતિનો સામાન્ય શબ્દ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:

\begin(સમીકરણ)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(સમીકરણ)

શું થયું છે ભૌમિતિક પ્રગતિ? બતાવો\ છુપાવો

ભૌમિતિક પ્રગતિ એ સંખ્યાઓનો ક્રમ છે જેમાં અનુગામી અને અગાઉના પદો વચ્ચેનો સંબંધ સ્થિર છે. આ સતત સંબંધ કહેવાય છે પ્રગતિનો છેદ. ઉદાહરણ તરીકે, નીચેના ક્રમને ધ્યાનમાં લો:

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots $$

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે ભલે આપણે પડોશી તત્વોની કઈ જોડી લઈએ, પાછલા એકના અનુગામીનો ગુણોત્તર હંમેશા સ્થિર અને 3 ની બરાબર રહેશે:

\begin(સંરેખિત) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \end(સંરેખિત)

આ નંબર, એટલે કે. 3 એ પ્રગતિનો છેદ છે. તે સામાન્ય રીતે $q$ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, એટલે કે. $q=3$. પ્રગતિનું પ્રથમ તત્વ $b_1=6$ છે. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રગતિનો સામાન્ય શબ્દ લખીએ છીએ. તેમાં $b_1=6$ અને $q=3$ ને બદલીને, અમારી પાસે હશે:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો ભૌમિતિક પ્રગતિના પ્રથમ થોડા શબ્દો શોધવા માટે $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

\begin(સંરેખિત) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \end(સંરેખિત)

$b_n=6\cdot 3^(n-1)$ માં $n$ નંબરના કોઈપણ મૂલ્યને બદલીને, તમે ભૌમિતિક પ્રગતિનો કોઈપણ શબ્દ મેળવી શકો છો.

નીચેના તમામ ઉદાહરણોમાં, અમે શ્રેણીના સભ્યોને $u_1$ (શ્રેણીનો પ્રથમ સભ્ય), $u_2$ (શ્રેણીનો બીજો સભ્ય) વગેરે અક્ષરો દ્વારા સૂચિત કરીશું. નોટેશન $u_n$ શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દને સૂચવે છે.

ઉદાહરણ નંબર 1

શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$ શોધો.

આવા કાર્યોનો સાર એ પેટર્નની નોંધ લેવી છે જે શ્રેણીના પ્રથમ સભ્યોમાં સહજ છે. અને આ પેટર્નના આધારે, સામાન્ય સભ્યના પ્રકાર વિશે નિષ્કર્ષ દોરો. શબ્દસમૂહ "સામાન્ય શબ્દ શોધો" નો અર્થ શું છે? તેનો અર્થ એ છે કે આવી અભિવ્યક્તિ શોધવા માટે જરૂરી છે, $n=1$ ને બદલીને જેમાં આપણને શ્રેણીની પ્રથમ પદ મળે છે, એટલે કે. $\frac(1)(7)$; $n=2$ ને બદલે અમને શ્રેણીની બીજી મુદત મળે છે, એટલે કે. $\frac(2)(9)$; $n=3$ ને બદલે અમને શ્રેણીની ત્રીજી ટર્મ મળે છે, એટલે કે. $\frac(3)(11)$ અને તેથી વધુ. અમે શ્રેણીના પ્રથમ ચાર શબ્દો જાણીએ છીએ:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

ચાલો ધીમે ધીમે આગળ વધીએ. અમને જાણીતી શ્રેણીના તમામ સભ્યો અપૂર્ણાંક છે, તેથી તે ધારવું વાજબી છે કે શ્રેણીના સામાન્ય સભ્ય પણ અપૂર્ણાંક દ્વારા રજૂ થાય છે:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

અમારું કાર્ય અંશ અને છેદમાં પ્રશ્ન ચિહ્ન હેઠળ શું છુપાયેલું છે તે શોધવાનું છે. ચાલો પહેલા અંશ જોઈએ. અમને જાણીતા શ્રેણીના સભ્યોના અંશ 1, 2, 3 અને 4 છે. નોંધ લો કે શ્રેણીના દરેક સભ્યની સંખ્યા અંશ જેટલી છે. પ્રથમ પદમાં એકનો અંશ છે, બીજામાં બે છે, ત્રીજામાં ત્રણ છે અને ચોથામાં ચાર છે.

તે ધારવું તાર્કિક છે કે nth શબ્દના અંશમાં $n$ હશે:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

માર્ગ દ્વારા, અમે આ નિષ્કર્ષ પર બીજી રીતે આવી શકીએ છીએ, વધુ ઔપચારિક રીતે. ક્રમ 1, 2, 3, 4 શું છે? નોંધ કરો કે આ ક્રમનો દરેક અનુગામી સભ્ય અગાઉના એક કરતા 1 મોટો છે. અમે અંકગણિત પ્રગતિના ચાર શબ્દો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, જેમાંથી પ્રથમ પદ $a_1=1$ છે, અને તફાવત છે $d=1$. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે પ્રગતિના સામાન્ય શબ્દ માટે અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

તેથી, અનુમાન લગાવવું અથવા ઔપચારિક ગણતરી એ સ્વાદની બાબત છે. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે અમે શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દનો અંશ લખ્યો છે. ચાલો છેદ તરફ આગળ વધીએ.

છેદમાં આપણી પાસે ક્રમ 7, 9, 11, 13 છે. આ અંકગણિત પ્રગતિના ચાર પદો છે, જેમાંથી પ્રથમ પદ $b_1=7$ બરાબર છે, અને તફાવત $d=2$ છે. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રગતિનો સામાન્ય શબ્દ શોધીએ છીએ:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

પરિણામી અભિવ્યક્તિ, એટલે કે. $2n+5$, અને શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દનો છેદ હશે. તેથી:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

શ્રેણીની સામાન્ય પદ પ્રાપ્ત થાય છે. ચાલો તપાસ કરીએ કે અમને $u_n=\frac(n)(2n+5)$ જે સૂત્ર મળ્યું છે તે શ્રેણીના પહેલાથી જાણીતા શબ્દોની ગણતરી કરવા માટે યોગ્ય છે કે કેમ. ચાલો $u_n=\frac(n)(2n+5)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $u_1$, $u_2$, $u_3$ અને $u_4$ શબ્દો શોધીએ. પરિણામો, કુદરતી રીતે, શરત દ્વારા અમને આપવામાં આવેલી શ્રેણીની પ્રથમ ચાર શરતો સાથે સુસંગત હોવા જોઈએ.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

તે સાચું છે, પરિણામો સમાન છે. શરતમાં ઉલ્લેખિત શ્રેણી હવે નીચેના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દનું સ્વરૂપ $u_n=\frac(n)(2n+5)$ છે.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ldots $$

શું આવી શ્રેણીને અસ્તિત્વમાં રહેવાનો અધિકાર નથી? તે હજુ પણ છે. અને આ શ્રેણી માટે આપણે તે લખી શકીએ છીએ

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

તમે બીજું ચાલુ લખી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, આ:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

અને આવા ચાલુ રાખવાથી કંઈપણ વિરોધાભાસી નથી. આ કિસ્સામાં, અમે તે લખી શકીએ છીએ

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

જો પ્રથમ બે વિકલ્પો તમને ખૂબ ઔપચારિક લાગતા હોય, તો હું ત્રીજો સૂચવીશ. ચાલો સામાન્ય શબ્દ નીચે પ્રમાણે લખીએ:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

ચાલો સૂચિત સામાન્ય શબ્દ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શ્રેણીના પ્રથમ ચાર શબ્દોની ગણતરી કરીએ:

\begin(સંરેખિત) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4) )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \end(સંરેખિત)

જેમ તમે જોઈ શકો છો, સામાન્ય શબ્દ માટે સૂચિત સૂત્ર તદ્દન સાચું છે. અને તમે આવી વિવિધતાઓની અસંખ્ય સંખ્યા સાથે આવી શકો છો, તેમની સંખ્યા અમર્યાદિત છે. IN પ્રમાણભૂત ઉદાહરણોઅલબત્ત વપરાય છે પ્રમાણભૂત સમૂહચોક્કસ જાણીતી ક્રમ (પ્રગતિ, સત્તા, ફેક્ટોરિયલ, વગેરે). જો કે, આવા કાર્યોમાં હંમેશા અનિશ્ચિતતા હોય છે, અને આને યાદ રાખવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

પછીના તમામ ઉદાહરણોમાં આ અસ્પષ્ટતા સ્પષ્ટ કરવામાં આવશે નહીં. અમે નક્કી કરીશું પ્રમાણભૂત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને, જે મોટાભાગની સમસ્યાવાળા પુસ્તકોમાં સ્વીકારવામાં આવે છે.

જવાબ આપો: શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

ઉદાહરણ નંબર 2

શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ લખો $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

અમે શ્રેણીના પ્રથમ પાંચ શબ્દો જાણીએ છીએ:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

અમને જાણીતી શ્રેણીની તમામ શરતો અપૂર્ણાંક છે, જેનો અર્થ છે કે અમે શ્રેણીના સામાન્ય પદને અપૂર્ણાંકના રૂપમાં શોધીશું:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

ચાલો તરત જ અંશ પર ધ્યાન આપીએ. બધા અંશમાં એકમો હોય છે, તેથી શ્રેણીના સામાન્ય પદના અંશમાં પણ એક હશે, એટલે કે.

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

હવે ચાલો છેદ જોઈએ. અમને જાણીતા શ્રેણીના પ્રથમ પદોના છેદમાં સંખ્યાઓના ઉત્પાદનો છે: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. આમાંના પ્રથમ નંબરો છે: 1, 3, 5, 7, 9. આ ક્રમમાં પ્રથમ શબ્દ $a_1=1$ છે, અને દરેક અનુગામી નંબર $d=2$ ઉમેરીને અગાઉના એકમાંથી મેળવવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ અંકગણિતની પ્રગતિના પ્રથમ પાંચ શબ્દો છે, જેનો સામાન્ય શબ્દ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

ઉત્પાદનોમાં $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ બીજા નંબરો છે: 5, 8, 11, 14, 17. આ છે અંકગણિત પ્રગતિના ઘટકો, જેનો પ્રથમ શબ્દ છે $b_1=5$, અને છેદ છે $d=3$. અમે સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રગતિનો સામાન્ય શબ્દ લખીએ છીએ:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

ચાલો પરિણામોને એકસાથે મૂકીએ. શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દના છેદમાં ઉત્પાદન છે: $(2n-1)(3n+2)$. અને શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દમાં નીચેનું સ્વરૂપ છે:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

પ્રાપ્ત પરિણામ તપાસવા માટે, ચાલો આપણે જાણીએ છીએ તે શ્રેણીના પ્રથમ ચાર શબ્દો શોધવા માટે $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ નો ઉપયોગ કરીએ:

\begin(સંરેખિત) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot) 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1) )(9\cdot 17). \end(સંરેખિત)

તેથી, સૂત્ર $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ તમને શ્રેણીની શરતોની ચોક્કસ ગણતરી કરવાની પરવાનગી આપે છે, જે શરતથી જાણીતી છે. જો ઇચ્છા હોય તો આપેલ શ્રેણીઆ રીતે લખી શકાય છે:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

જવાબ આપો: શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

અમે બીજા અને ત્રીજા ભાગમાં આ વિષય ચાલુ રાખીશું.

ઘણા લોકોએ અંકગણિત પ્રગતિ વિશે સાંભળ્યું છે, પરંતુ દરેકને તે શું છે તેનો સારો ખ્યાલ નથી. આ લેખમાં આપણે અનુરૂપ વ્યાખ્યા આપીશું, અને અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત કેવી રીતે શોધવો તે પ્રશ્નનો પણ વિચાર કરીશું અને સંખ્યાબંધ ઉદાહરણો આપીશું.

ગાણિતિક વ્યાખ્યા

તેથી જો અમે વાત કરી રહ્યા છીએઅંકગણિત અથવા બીજગણિત પ્રગતિ વિશે (આ વિભાવનાઓ સમાન વસ્તુને વ્યાખ્યાયિત કરે છે), તો આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં કેટલાક સંખ્યા શ્રેણી, સંતોષકારક આગામી કાયદો: શ્રેણીમાં દરેક બે અડીને સંખ્યાઓ સમાન મૂલ્યથી અલગ પડે છે. ગાણિતિક રીતે તે આ રીતે લખાયેલ છે:

અહીં n નો અર્થ એ છે કે ક્રમમાં તત્વ a n ની સંખ્યા, અને સંખ્યા d એ પ્રગતિનો તફાવત છે (તેનું નામ પ્રસ્તુત સૂત્ર પરથી અનુસરે છે).

ડી તફાવત જાણવાનો અર્થ શું છે? પડોશી સંખ્યાઓ એકબીજાથી કેટલી "દૂર" છે તે વિશે. જો કે, ડીનું જ્ઞાન જરૂરી છે, પરંતુ નહીં પૂરતી સ્થિતિસમગ્ર પ્રગતિ નક્કી કરવા (પુનઃસ્થાપિત) કરવા માટે. તમારે એક વધુ સંખ્યા જાણવાની જરૂર છે, જે પ્રશ્નમાં શ્રેણીના કોઈપણ તત્વ હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, 4, a10, પરંતુ, નિયમ પ્રમાણે, તેઓ પ્રથમ નંબરનો ઉપયોગ કરે છે, એટલે કે, 1.

પ્રગતિ તત્વો નક્કી કરવા માટેના સૂત્રો

સામાન્ય રીતે, ઉપરોક્ત માહિતી પહેલાથી જ ઉકેલ તરફ આગળ વધવા માટે પૂરતી છે ચોક્કસ કાર્યો. તેમ છતાં, અંકગણિત પ્રગતિ આપવામાં આવે તે પહેલાં, અને તેનો તફાવત શોધવા માટે જરૂરી રહેશે, અમે એક દંપતી રજૂ કરીએ છીએ ઉપયોગી સૂત્રો, ત્યાંથી સમસ્યાઓ હલ કરવાની અનુગામી પ્રક્રિયાને સરળ બનાવે છે.

તે દર્શાવવું સરળ છે કે નંબર n સાથેના ક્રમનું કોઈપણ તત્વ નીચે પ્રમાણે શોધી શકાય છે:

a n = a 1 + (n - 1) * d

ખરેખર, કોઈ પણ વ્યક્તિ આ સૂત્રને સરળ શોધ દ્વારા ચકાસી શકે છે: જો તમે n = 1 ને અવેજી કરો છો, તો તમને પ્રથમ તત્વ મળશે, જો તમે n = 2 ને બદલે છે, તો અભિવ્યક્તિ પ્રથમ સંખ્યા અને તફાવતનો સરવાળો આપે છે, વગેરે.

ઘણી સમસ્યાઓની શરતો એવી રીતે બનેલી છે કે, સંખ્યાઓની જાણીતી જોડીને જોતાં, જેની સંખ્યાઓ પણ અનુક્રમમાં આપવામાં આવી છે, તે સમગ્ર સંખ્યા શ્રેણીનું પુનર્નિર્માણ કરવું જરૂરી છે (તફાવત અને પ્રથમ તત્વ શોધો). હવે આપણે આ સમસ્યાને સામાન્ય સ્વરૂપમાં હલ કરીશું.

તો, n અને m નંબરો સાથેના બે ઘટકો આપવા દો. ઉપર મેળવેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તમે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવી શકો છો:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

અજ્ઞાત માત્રા શોધવા માટે, અમે જાણીતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ સરળ યુક્તિઆવી સિસ્ટમના ઉકેલો: જોડીમાં ડાબી અને જમણી બાજુઓને બાદ કરો, સમાનતા માન્ય રહેશે. અમારી પાસે છે:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

આમ, અમે એક અજાણ્યા (a 1) ને બાકાત રાખ્યા છે. હવે આપણે d નક્કી કરવા માટે અંતિમ સમીકરણ લખી શકીએ છીએ:

d = (a n - a m) / (n - m), જ્યાં n > m

અમને ખૂબ મળ્યું સરળ સૂત્ર: સમસ્યાની શરતો અનુસાર તફાવત d ની ગણતરી કરવા માટે, તમારે ફક્ત તત્વો અને તેમના વચ્ચેના તફાવતનો ગુણોત્તર લેવાની જરૂર છે. સીરીયલ નંબરો. એક પર ધ્યાન આપવું જોઈએ મહત્વપૂર્ણ બિંદુધ્યાન આપો: તફાવતો "વરિષ્ઠ" અને "જુનિયર" સભ્યો વચ્ચે લેવામાં આવે છે, એટલે કે, n > m ("વરિષ્ઠ" નો અર્થ ક્રમની શરૂઆતથી આગળ ઊભા રહેવું, તેના સંપૂર્ણ મૂલ્ય"જુનિયર" તત્વ કરતાં કાં તો મોટા અથવા નાના હોઈ શકે છે).

પ્રથમ પદનું મૂલ્ય મેળવવા માટે સમસ્યાના ઉકેલની શરૂઆતમાં તફાવત d પ્રગતિ માટેની અભિવ્યક્તિ કોઈપણ સમીકરણોમાં બદલવી જોઈએ.

આપણા વિકાસના યુગમાં કમ્પ્યુટર ટેકનોલોજીઘણા શાળાના બાળકો ઈન્ટરનેટ પર તેમની સોંપણીઓ માટે ઉકેલો શોધવાનો પ્રયાસ કરે છે, તેથી આ પ્રકારના પ્રશ્નો વારંવાર ઉભા થાય છે: અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત ઑનલાઇન શોધો. આવી વિનંતી માટે, શોધ એંજીન સંખ્યાબંધ વેબ પૃષ્ઠો પરત કરશે, જેના પર જઈને તમારે શરતમાંથી જાણીતો ડેટા દાખલ કરવાની જરૂર પડશે (આ કાં તો પ્રગતિના બે શબ્દો હોઈ શકે છે અથવા તેમાંથી ચોક્કસ સંખ્યાનો સરવાળો હોઈ શકે છે. ) અને તરત જ જવાબ મેળવો. જો કે, વિદ્યાર્થીના વિકાસ અને તેને સોંપેલ કાર્યના સારને સમજવાની દ્રષ્ટિએ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવાનો આ અભિગમ બિનઉત્પાદક છે.

સૂત્રોનો ઉપયોગ કર્યા વિના ઉકેલ

ચાલો આપેલ કોઈપણ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કર્યા વિના પ્રથમ સમસ્યા હલ કરીએ. શ્રેણીના ઘટકો આપવા દો: a6 = 3, a9 = 18. અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત શોધો.

જાણીતા તત્વો એક પંક્તિમાં એકબીજાની નજીક ઊભા છે. સૌથી મોટો મેળવવા માટે તફાવત d ને નાનામાં કેટલી વાર ઉમેરવો જોઈએ? ત્રણ વખત (પ્રથમ વખત d ઉમેરીને, આપણને 7મું તત્વ મળે છે, બીજી વખત - આઠમી, છેલ્લે, ત્રીજી વખત - નવમી). 18 મેળવવા માટે ત્રણ ત્રણ વખત કઈ સંખ્યા ઉમેરવાની જરૂર છે? આ નંબર પાંચ છે. ખરેખર:

આમ, અજ્ઞાત તફાવત d = 5.

અલબત્ત, ઉકેલનો ઉપયોગ કરીને પરિપૂર્ણ કરી શકાય છે અનુરૂપ સૂત્ર, પરંતુ આ ઇરાદાપૂર્વક કરવામાં આવ્યું ન હતું. વિગતવાર સમજૂતીસમસ્યાનો ઉકેલ સ્પષ્ટ થવો જોઈએ અને એક તેજસ્વી ઉદાહરણઅંકગણિત પ્રગતિ શું છે?

પાછલા એક જેવું જ કાર્ય

હવે આવી જ સમસ્યા હલ કરીએ, પરંતુ ઇનપુટ ડેટા બદલો. તેથી, તમારે શોધવું જોઈએ જો a3 = 2, a9 = 19.

અલબત્ત, તમે ફરીથી "હેડ-ઓન" સોલ્યુશન પદ્ધતિનો આશરો લઈ શકો છો. પરંતુ શ્રેણીના ઘટકો આપવામાં આવ્યા હોવાથી, જે એકબીજાથી પ્રમાણમાં દૂર છે, આ પદ્ધતિ સંપૂર્ણપણે અનુકૂળ રહેશે નહીં. પરંતુ પરિણામી સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાથી અમને ઝડપથી જવાબ તરફ દોરી જશે:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

અહીં અમે ગોળાકાર છે અંતિમ સંખ્યા. આ રાઉન્ડિંગ કેટલી હદ સુધી ભૂલ તરફ દોરી ગયું તે પરિણામ તપાસીને નક્કી કરી શકાય છે:

a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

આ પરિણામ શરતમાં આપેલા મૂલ્યથી માત્ર 0.1% અલગ છે. તેથી, નજીકના સોમાં વપરાતા રાઉન્ડિંગને સફળ પસંદગી ગણી શકાય.

શબ્દ માટે સૂત્ર લાગુ કરવામાં સમસ્યાઓ

ચાલો વિચાર કરીએ ઉત્તમ ઉદાહરણઅજ્ઞાત d નક્કી કરવાના કાર્યો: અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત શોધો જો a1 = 12, a5 = 40 હોય.

જ્યારે અજાણ્યાના બે નંબર આપવામાં આવ્યા હતા બીજગણિત ક્રમ, અને તેમાંથી એક એ 1 તત્વ છે, તો તમારે લાંબું વિચારવાની જરૂર નથી, પરંતુ તરત જ n સભ્ય માટે સૂત્ર લાગુ કરવું જોઈએ. આ કિસ્સામાં અમારી પાસે છે:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

વિભાજન કરતી વખતે અમને ચોક્કસ સંખ્યા પ્રાપ્ત થઈ છે, તેથી ગણતરી કરેલ પરિણામની ચોકસાઈ તપાસવાનો કોઈ અર્થ નથી, જેમ કે અગાઉના ફકરામાં કરવામાં આવ્યું હતું.

ચાલો બીજી સમાન સમસ્યા હલ કરીએ: આપણે અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત શોધવાની જરૂર છે જો a1 = 16, a8 = 37 હોય.

અમે પાછલા એક જેવા જ અભિગમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

તમારે અંકગણિતની પ્રગતિ વિશે બીજું શું જાણવું જોઈએ?

અજ્ઞાત તફાવત શોધવાની સમસ્યાઓ ઉપરાંત અથવા વ્યક્તિગત ઘટકો, ક્રમના પ્રથમ પદોના સરવાળાની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તે ઘણીવાર જરૂરી છે. આ કાર્યોની વિચારણા લેખના અવકાશની બહાર છે, જો કે, અમે પ્રસ્તુત કરીએ છીએ તે માહિતીની સંપૂર્ણતા માટે સામાન્ય સૂત્રશ્રેણીમાં n સંખ્યાઓના સરવાળા માટે:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2