માધ્યમિક શાળાના અસંખ્ય વિષયોમાં "ભૂમિતિ" જેવો એક વિષય છે. પરંપરાગત રીતે એવું માનવામાં આવે છે કે આ પદ્ધતિસરના વિજ્ઞાનના સ્થાપકો ગ્રીકો છે. આજે, ગ્રીક ભૂમિતિને પ્રાથમિક કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેણીએ જ સરળ સ્વરૂપોનો અભ્યાસ શરૂ કર્યો હતો: વિમાનો, સીધી રેખાઓ અને ત્રિકોણ. અમે અમારું ધ્યાન બાદમાં અથવા તેના બદલે આ આકૃતિના દ્વિભાજક પર કેન્દ્રિત કરીશું. જેઓ પહેલાથી જ ભૂલી ગયા છે તેમના માટે, ત્રિકોણનો દ્વિભાજક એ ત્રિકોણના એક ખૂણાના દ્વિભાજકનો એક ભાગ છે, જે તેને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે અને શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુ પર સ્થિત બિંદુ સાથે જોડે છે.

ત્રિકોણના દ્વિભાજકમાં સંખ્યાબંધ ગુણધર્મો છે જે તમારે અમુક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે જાણવાની જરૂર છે:

• કોણ દ્વિભાજક છે લોકસખૂણાને અડીને બાજુઓથી સમાન અંતરે સ્થિત બિંદુઓ.
• ત્રિકોણમાં દ્વિભાજક ખૂણાની વિરુદ્ધ બાજુને પ્રમાણસર ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે અડીને બાજુઓ. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણ MKB આપેલ છે, જ્યાં એક દ્વિભાજક કોણ K માંથી બહાર આવે છે, આ ખૂણાના શિરોબિંદુને MB વિરુદ્ધ બિંદુ A સાથે જોડે છે. વિશ્લેષણ કર્યા આ મિલકતઅને આપણો ત્રિકોણ, આપણી પાસે MA/AB=MK/KB છે.
• ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓના દ્વિભાજકો જે બિંદુ પર છેદે છે તે વર્તુળનું કેન્દ્ર છે જે સમાન ત્રિકોણમાં અંકિત છે.
• એક બાહ્ય અને બેના દ્વિભાજકોનો આધાર આંતરિક ખૂણાસમાન સીધી રેખા પર હોય છે, જો દ્વિભાજક હોય બાહ્ય ખૂણોત્રિકોણની વિરુદ્ધ બાજુની સમાંતર નથી.
• જો એકના બે દ્વિભાજકો હોય તો આ

એ નોંધવું જોઇએ કે જો ત્રણ દ્વિભાજકો આપવામાં આવે છે, તો તેમાંથી ત્રિકોણ બાંધવું, હોકાયંત્રની મદદથી પણ, અશક્ય છે.

ઘણી વાર, સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, ત્રિકોણનું દ્વિભાજક અજ્ઞાત હોય છે, પરંતુ તેની લંબાઈ નક્કી કરવી જરૂરી છે. આવી સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તમારે દ્વિભાજક અને આ ખૂણાને અડીને આવેલી બાજુઓ દ્વારા અડધા ભાગમાં વિભાજિત થયેલ કોણ જાણવાની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં, જરૂરી લંબાઈ એ ખૂણાને અડીને આવેલી બાજુઓના ઉત્પાદનના બમણા ગુણોત્તર અને ખૂણાને અડીને આવેલી બાજુઓના સરવાળાના અડધા ભાગમાં વિભાજિત ખૂણાના કોસાઈન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમાન ત્રિકોણ MKB આપેલ છે. દ્વિભાજક કોણ K માંથી બહાર આવે છે અને છેદે છે વિરુદ્ધ બાજુબિંદુ A પર MV. કોણ કે જેમાંથી દ્વિભાજક નીકળે છે તે y દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. હવે ચાલો સૂત્રના રૂપમાં શબ્દોમાં જે કહેવામાં આવે છે તે બધું લખીએ: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

જો ત્રિકોણનો દ્વિભાજક જે ખૂણામાંથી નીકળે છે તેનું મૂલ્ય અજ્ઞાત છે, પરંતુ તેની બધી બાજુઓ જાણીતી છે, તો દ્વિભાજકની લંબાઈની ગણતરી કરવા માટે આપણે વધારાના ચલનો ઉપયોગ કરીશું, જેને આપણે અર્ધ-પરિમિતિ કહીશું અને તેના દ્વારા સૂચિત કરીશું. અક્ષર P: P=1/2*(MK+KB+MB). આ પછી, આપણે પાછલા સૂત્રમાં કેટલાક ફેરફારો કરીશું જેના દ્વારા દ્વિભાજકની લંબાઈ નક્કી કરવામાં આવી હતી, એટલે કે, અપૂર્ણાંકના અંશમાં આપણે અર્ધ-પરિમિતિ દ્વારા ખૂણાને અડીને બાજુઓની લંબાઈનો બમણો ગુણાંક મૂકીએ છીએ. અને ભાગ, જ્યાં ત્રીજી બાજુની લંબાઈ અર્ધ-પરિમિતિમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે. અમે છેદને યથાવત રાખીશું. ફોર્મ્યુલાના સ્વરૂપમાં, તે આના જેવું દેખાશે: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

દ્વિભાજક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણસાથે સામાન્ય ગુણધર્મોતેના પોતાના કેટલાક છે. ચાલો યાદ કરીએ કે આ કેવા પ્રકારનો ત્રિકોણ છે. આવા ત્રિકોણની બે સરખી બાજુઓ અને આધારને અડીને સમાન ખૂણા હોય છે. તે અનુસરે છે કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની બાજુની બાજુઓ પર આવતા દ્વિભાજકો એકબીજાના સમાન છે. આ ઉપરાંત, બેઝ પર નીચું દ્વિભાજક ઊંચાઈ અને મધ્ય બંને છે.

ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાઓને ત્રિકોણ દ્વિભાજક કહેવામાં આવે છે.
ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકને તેના શિરોબિંદુ અને ત્રિકોણની વિરુદ્ધ બાજુ સાથેના દ્વિભાજકના આંતરછેદના બિંદુ વચ્ચેના ખંડ તરીકે પણ સમજવામાં આવે છે.
પ્રમેય 8. ત્રિકોણના ત્રણ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે.
ખરેખર, ચાલો પહેલા બે દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુ P પર વિચાર કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે AK 1 અને VK 2. આ બિંદુ એબી અને એસી બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છે, કારણ કે તે કોણ A ના દ્વિભાજક પર આવેલું છે, અને કોણ B ના દ્વિભાજક સાથે સંબંધિત છે તેટલું જ AB અને BC બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છે. આનો અર્થ એ છે કે તે ખૂણા B ના દ્વિભાજકથી સમાન રીતે દૂર છે. બાજુઓ AC અને BC અને ત્યાંથી ત્રીજા દ્વિભાજક CK 3 થી સંબંધિત છે, એટલે કે બિંદુ P પર ત્રણેય દ્વિભાજકો છેદે છે.
ત્રિકોણના આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાઓના દ્વિભાજકોના ગુણધર્મો
પ્રમેય 9. ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાનો દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુને બાજુની બાજુઓના પ્રમાણસર ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.
પુરાવો. ચાલો ત્રિકોણ ABC અને તેના કોણ B ના દ્વિભાજકને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો આપણે શિરોબિંદુ C દ્વારા સીધી રેખા CM દોરીએ, દ્વિભાજક BC ની સમાંતર, જ્યાં સુધી તે બાજુ AB ની ચાલુતા સાથે બિંદુ M પર છેદે નહીં. VC એ કોણ ABC નો દ્વિભાજક હોવાથી, પછી ∠ ABC = ∠ KBC. આગળ, ∠ AVK=∠ IUD, તરીકે અનુરૂપ ખૂણાસમાંતર રેખાઓ માટે, અને ∠ KVS=∠ VSM, સમાંતર રેખાઓ માટે ક્રોસવાઇઝ ખૂણા તરીકે. તેથી ∠ ВСМ=∠ ВМС, અને તેથી ત્રિકોણ ВСМ સમદ્વિબાજુ છે, તેથી ВС=ВМ. કોણની બાજુઓને છેદતી સમાંતર રેખાઓ વિશેના પ્રમેય મુજબ, આપણી પાસે AK:K C=AB:VM=AB:BC છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
પ્રમેય 10 બાહ્ય કોણ B નો દ્વિભાજક ત્રિકોણ ABCસમાન ગુણધર્મ ધરાવે છે: AL અને CL શિરોબિંદુ A અને C થી દ્વિભાજકના આંતરછેદના બિંદુ L સુધીની બાજુ AC ચાલુ રાખીને ત્રિકોણની બાજુઓના પ્રમાણસર છે: AL: સી.એલ.=AB:BC.
આ ગુણધર્મ પહેલાની જેમ જ સાબિત થાય છે: આકૃતિમાં સહાયક રેખા SM એ દ્વિભાજક BL ની સમાંતર દોરેલી છે. BMC અને BC ખૂણા સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે BMC ત્રિકોણની BM અને BC બાજુઓ સમાન છે. જેમાંથી આપણે AL:CL=AB:BC એ નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ.

પ્રમેય d4. (દ્વિભાજક માટેનું પ્રથમ સૂત્ર): જો ત્રિકોણ ABC માં સેગમેન્ટ AL એ કોણ A નો દ્વિભાજક છે, તો AL? = AB·AC - LB·LC.

પુરાવો:ત્રિકોણ ABC (ફિગ. 41) ની આસપાસના વર્તુળ સાથે M એ રેખા AL ના આંતરછેદનું બિંદુ છે. કોણ BAM શરત દ્વારા કોણ MAC બરાબર છે. BMA અને BCA એંગલ્સ એક જ તાર દ્વારા સમાવિષ્ટ કોતરેલ ખૂણાઓ તરીકે એકરૂપ છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્રિકોણ BAM અને LAC બે ખૂણામાં સમાન છે.<=>તેથી, AL: AC = AB: AM. તેથી AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC

AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. જે સાબિત કરવાની જરૂર છે. નોંધ: વર્તુળમાં છેદતી તારોના ભાગો અને અંકિત ખૂણાઓ વિશેના પ્રમેય માટે, વિષય વર્તુળ અને વર્તુળ જુઓ.
પ્રમેય d5.

પુરાવો:(દ્વિભાજક માટેનું બીજું સૂત્ર): ABC ત્રિકોણમાં બાજુઓ AB=a, AC=b અને કોણ A 2 બરાબર છે? અને દ્વિભાજક l, સમાનતા ધરાવે છે: l = (2ab / (a+b)) cos?. ABC રહેવા દો<=>આપેલ ત્રિકોણ<=>, AL એ તેનું દ્વિભાજક છે (ફિગ. 42), a=AB, b=AC, l=AL. પછી S ABC = S ALB + S ALC. તેથી, absin2? = અલસીન? +blsin?

2absin?·cos? = (a + b) lsin?

l = 2·(ab / (a+b))· cos?. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

બાહ્ય ખૂણોનો દ્વિભાજક ત્રિકોણના બાહ્ય કોણનો દ્વિભાજક તેની બાજુના વિસ્તરણને એક બિંદુ પર છેદે છે, આ બાજુના છેડા સુધીના અંતર અનુક્રમે ત્રિકોણની નજીકની બાજુઓના પ્રમાણસર છે. સી બી એ ડી

દ્વિભાજકની લંબાઈ માટેના સૂત્રો:

વિભાગોની લંબાઈ શોધવા માટેનું સૂત્ર જેમાં દ્વિભાજક ત્રિકોણની વિરુદ્ધ બાજુને વિભાજિત કરે છે

વિભાગોની લંબાઈનો ગુણોત્તર શોધવા માટેનું સૂત્ર જેમાં દ્વિભાજકને દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુથી વિભાજિત કરવામાં આવે છે

સમસ્યા 1. ત્રિકોણના દ્વિભાજકોમાંથી એકને શિરોબિંદુમાંથી ગણીને 3:2 ના ગુણોત્તરમાં દ્વિભાજકોના આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધો જો ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ 12 સે.મી.

ઉકેલ ચાલો ત્રિકોણમાં દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુથી દ્વિભાજક વિભાજિત થયેલ હોય તેવા વિભાગોની લંબાઈનો ગુણોત્તર શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:   a + c = = 18  P ∆ ABC = a + b + c = b +(a + c) = 12 + 18 = 30. જવાબ: P = 30cm.

કાર્ય 2. દ્વિભાજકો BD અને CE ∆ ABC બિંદુ O પર છેદે છે. AB=14, BC=6, AC=10. ઓ ડી શોધો.

ઉકેલ. ચાલો દ્વિભાજકની લંબાઈ શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: આપણી પાસે છે: BD = BD = = વિભાગોના ગુણોત્તર માટેના સૂત્ર અનુસાર જેમાં દ્વિભાજકને દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુથી વિભાજિત કરવામાં આવે છે: l = . કુલ 2 + 1 = 3 ભાગો.

આ ભાગ 1 છે  OD = જવાબ: OD =

સમસ્યાઓ ∆ ABC માં AL અને BK દ્વિભાજકો દોરવામાં આવ્યા છે. KL સેગમેન્ટની લંબાઈ શોધો જો AB = 15, AK =7.5, BL = 5. ∆ ABC પર એક દ્વિભાજક AD છે, અને બિંદુ D દ્વારા એક રેખા AC ની સમાંતર અને બિંદુ E પર AB ને છેદે છે. આનો ગુણોત્તર શોધો વિસ્તારો ∆ ABC અને ∆ BDE , જો AB = 5, AC = 7. દ્વિભાજકો શોધો તીક્ષ્ણ ખૂણા જમણો ત્રિકોણપગ સાથે 24 સેમી અને 18 સે.મી. કાટકોણ ત્રિકોણમાં, એક્યુટ એંગલનો દ્વિભાજક સામેના પગને 4 અને 5 સેમી લાંબા ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.

5. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, આધાર અને બાજુઅનુક્રમે 5 અને 20 cm છે, ત્રિકોણના પાયા પરના ખૂણાના દ્વિભાજકને શોધો. 6. દ્વિભાજક શોધો જમણો ખૂણોએક ત્રિકોણ જેના પગ a અને b સમાન છે. 7. બાજુની લંબાઈ a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm સાથે ત્રિકોણ ABC ના કોણ A ના દ્વિભાજકની લંબાઈની ગણતરી કરો 8. ત્રિકોણ ABC માં, બાજુઓની લંબાઈ AB, BC અને AC છે અનુક્રમે ગુણોત્તર 2:4:5. ગુણોત્તર શોધો જેમાં આંતરિક ખૂણાઓના દ્વિભાજકો તેમના આંતરછેદના બિંદુએ વિભાજિત થાય છે.

જવાબો: જવાબ: જવાબ: જવાબ: જવાબ: જવાબ: જવાબ: જવાબ: જવાબ: જવાબ: જવાબ: AP = 6 AP = 10 cm KL = CP =

સોરોકિના વીકા

ત્રિકોણના દ્વિભાજકના ગુણધર્મોના પુરાવા આપવામાં આવે છે અને સમસ્યાના ઉકેલ માટે સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

સારાટોવના વહીવટની શિક્ષણ સમિતિ, ઓક્ટ્યાબ્રસ્કી જિલ્લા મ્યુનિસિપલ સ્વાયત્ત શૈક્ષણિક સંસ્થાલિસિયમ નંબર 3 નામ આપવામાં આવ્યું છે. એ.એસ. પુષ્કિન.

મ્યુનિસિપલ વૈજ્ઞાનિક-વ્યવહારિક

પરિષદ

"પ્રથમ પગલાં"

વિષય: દ્વિભાજક અને તેના ગુણધર્મો.

આના દ્વારા પૂર્ણ થયેલ કાર્ય: 8મા ધોરણના વિદ્યાર્થી

સોરોકિના વિક્ટોરિયાસાયન્ટિફિક સુપરવાઈઝર: ઉચ્ચતમ કેટેગરીના ગણિત શિક્ષકપોપોવા નીના ફેડોરોવના.

સારાટોવ 2011

1. શીર્ષક પૃષ્ઠ………………………………………………………….1
2. સામગ્રીઓ……………………………………………………… 2
3. પરિચય અને ઉદ્દેશો ……………………………………………………………… ..3
4. દ્વિભાજકના ગુણધર્મોની વિચારણા

• બિંદુઓનું ત્રીજું સ્થાન………………………………….3
• પ્રમેય 1 ……………………………………………………………… 4
• પ્રમેય 2 ……………………………………………………………… 4
• ત્રિકોણના દ્વિભાજકની મુખ્ય મિલકત:

1. પ્રમેય 3 ……………………………………………………………… 4
2. કાર્ય 1 ………………………………………………………………….7
3. કાર્ય 2……………………………………………………….8
4. કાર્ય 3………………………………………………………………………………..9
5. કાર્ય 4……………………………………………………………….9-10

• પ્રમેય 4……………………………………………………………… 10-11
• દ્વિભાજક શોધવા માટેના સૂત્રો:

1. પ્રમેય 5……………………………………………………………….11
2. પ્રમેય 6……………………………………………………………….11
3. પ્રમેય 7 ……………………………………………………………….12
4. કાર્ય 5……………………………………………………………… 12-13

• પ્રમેય 8 ……………………………………………………………….13
• કાર્ય 6………………………………………………………….14
• કાર્ય 7 ……………………………………………………………………… 14-15
• દ્વિભાજકનો ઉપયોગ કરીને મુખ્ય દિશાઓનું નિર્ધારણ………………15

1. નિષ્કર્ષ અને નિષ્કર્ષ………………………………………………………..15
2. સંદર્ભોની યાદી………………………………………..16

દ્વિભાજક

ભૂમિતિના પાઠમાં, વિષયનો અભ્યાસ કરવો સમાન ત્રિકોણ, મને વિરુદ્ધ બાજુઓ સાથે દ્વિભાજકના સંબંધ વિશે પ્રમેય પર સમસ્યા મળી. એવું લાગે છે કે દ્વિભાજક વિષયમાં કંઈક રસપ્રદ હોઈ શકે છે, પરંતુ આ વિષયમાં મને રસ પડ્યો, અને હું તેનો ઊંડો અભ્યાસ કરવા માંગતો હતો. છેવટે, દ્વિભાજક તેનામાં ખૂબ સમૃદ્ધ છે અદ્ભુત ગુણધર્મો, વિવિધ સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મદદ કરે છે.

આ વિષય પર વિચાર કરતી વખતે, તમે જોશો કે ભૂમિતિના પાઠ્યપુસ્તકો દ્વિભાજકના ગુણધર્મો વિશે બહુ ઓછું કહે છે, પરંતુ પરીક્ષાઓમાં, તેમને જાણીને, તમે સમસ્યાઓને વધુ સરળ અને ઝડપી હલ કરી શકો છો. વધુમાં, GIA અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાઓ પાસ કરવા માટે, આધુનિક વિદ્યાર્થીઓએ પોતાને માટે અભ્યાસ કરવાની જરૂર છે વધારાની સામગ્રીથી શાળા અભ્યાસક્રમ. તેથી જ મેં દ્વિભાજક વિષયનો વધુ વિગતવાર અભ્યાસ કરવાનું નક્કી કર્યું.

દ્વિભાજક (લેટિન દ્વિ- "ડબલ", અને વિભાગોમાંથી કોણનું "કટીંગ") એ કોણના શિરોબિંદુ પર શરૂઆત સાથેનો કિરણ છે, જે ખૂણાને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. કોણનું દ્વિભાજક (તેના વિસ્તરણ સાથે) એ કોણની બાજુઓ (અથવા તેમના વિસ્તરણો) થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું સ્થાન છે)

પોઈન્ટનું ત્રીજું સ્થાન

આકૃતિ એફ અમુક ગુણધર્મ ધરાવતા બિંદુઓનું સ્થાન (બિંદુઓનો સમૂહ) છેએ, જો બે શરતો પૂરી થાય છે:

1. હકીકત એ છે કે બિંદુ આકૃતિનો છે F, તે અનુસરે છે કે તેની પાસે મિલકત છેએ;
2. હકીકત એ છે કે બિંદુ મિલકતને સંતોષે છેએ, તે અનુસરે છે કે તે આકૃતિની છેએફ.

ભૂમિતિમાં ગણવામાં આવતા બિંદુઓનું પ્રથમ સ્થાન એક વર્તુળ છે, એટલે કે. એક નિશ્ચિત બિંદુથી સમાન અંતરે સ્થિત બિંદુઓનું સ્થાન. બીજું - લંબ દ્વિભાજકસેગમેન્ટ, એટલે કે એક સેગમેન્ટના અંતથી સમાન અંતરે સ્થિત બિંદુઓનું સ્થાન. અને અંતે, ત્રીજો - દ્વિભાજક - કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનું ભૌમિતિક સ્થાન

પ્રમેય 1:

દ્વિભાજક બિંદુઓ બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છેતે ખૂણે છે.

પુરાવો:

ચાલો આર - દ્વિભાજક બિંદુએ. ચાલો બિંદુ પરથી છોડી દોપી કાટખૂણેઆરવી અને ખૂણાની બાજુઓ પર પીસી. પછી VAR = SAR કર્ણ અને તીવ્ર કોણ દ્વારા. તેથી, PB = PC

પ્રમેય 2:

જો બિંદુ P કોણ A ની બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર હોય, તો તે દ્વિભાજક પર આવેલું છે.

સાબિતી: PB = PC => VAR = CAP => BAP = CAP => AR એ દ્વિભાજક છે.

મૂળભૂત ભૌમિતિક તથ્યોમાં એ પ્રમેય છે કે દ્વિભાજક વિરોધી બાજુઓના સંબંધમાં વિરુદ્ધ બાજુને વિભાજિત કરે છે. આ હકીકત લાંબા સમય સુધી પડછાયામાં રહી, પરંતુ દરેક જગ્યાએ એવી સમસ્યાઓ છે જેનો ઉકેલ લાવવા માટે ખૂબ સરળ છે જો તમે આ અને દ્વિભાજક વિશેના અન્ય તથ્યો જાણો છો. મને રસ પડ્યો, અને મેં દ્વિભાજકની આ મિલકતને વધુ ઊંડાણપૂર્વક શોધવાનું નક્કી કર્યું.

ત્રિકોણના કોણ દ્વિભાજકની મુખ્ય મિલકત

પ્રમેય 3. દ્વિભાજક ત્રિકોણની વિરુદ્ધ બાજુને બાજુની બાજુઓના સંબંધમાં વિભાજિત કરે છે.

પુરાવા 1:

આપેલ: AL - ત્રિકોણ ABC નો દ્વિભાજક

સાબિત કરો:

સાબિતી: F હોઈ દો રેખાના આંતરછેદનું બિંદુએએલ અને બિંદુ પરથી પસાર થતી એક રેખા IN AC બાજુની સમાંતર.

પછી BFA = FAC = BAF. તેથી, B.A.F.સમદ્વિબાજુ અને AB = BF.ત્રિકોણની સમાનતામાંથી

અમારી પાસે ALC અને FLB છે

ગુણોત્તર

જ્યાં

પુરાવા 2

F એ રેખા AL દ્વારા છેદાયેલ બિંદુ અને આધાર AB ની સમાંતર C બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા હોવા દો. પછી તમે તર્કનું પુનરાવર્તન કરી શકો છો.

પુરાવા 3 K અને M ને રેખા પર મુકવામાં આવેલ લંબનો આધાર બનવા દો પોઈન્ટ B અને C થી AL
અનુક્રમે ત્રિકોણ ABL અને ACL બે ખૂણા પર સમાન છે. તેથી જ

. અને BKL અને CML ની ​​સમાનતામાંથી અમારી પાસે છે

અહીંથી

પુરાવો 4ચાલો વિસ્તાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. ચાલો ત્રિકોણના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરીએ ABL અને ACL

બે રીતે.

અહીંથી.

પુરાવા 5 ચાલો α= You,φ=

BLA. ત્રિકોણ ABL માં સાઇનના પ્રમેય દ્વારા.

અને ત્રિકોણ ACL માં

પછી, સમાનતાની બંને બાજુઓને બીજાના અનુરૂપ ભાગોમાં વિભાજીત કરીને, આપણને મળે છે.

સમસ્યા 1

આપેલ: ABC ત્રિકોણમાં, VC એ દ્વિભાજક છે, BC = 2, KS = 1,

ઉકેલ:

સમસ્યા 2

આપેલ:

24 અને 18 પગવાળા કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણાના દ્વિભાજકો શોધો

ઉકેલ:

ચાલો બાજુ AC = 18, બાજુ BC = 24,

એ.એમ. - ત્રિકોણનો દ્વિભાજક.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ,

કે AB = 30.

ત્યારથી

ચાલો એ જ રીતે બીજા દ્વિભાજકને શોધીએ.

જવાબ:

સમસ્યા 3

કાટકોણ ત્રિકોણમાંકાટકોણ B સાથે ABC કોણ દ્વિભાજકએ બાજુ પાર કરે છેબી.સી.

બિંદુએ ડી. તે જાણીતું છે કે BD = 4, DC = 6.

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધોએડીસી

ઉકેલ:

ત્રિકોણના દ્વિભાજકની મિલકત દ્વારા

ચાલો AB = 2 x, AC = 3 x સૂચવીએ. પ્રમેય દ્વારા

પાયથાગોરસ BC 2 + AB 2 = AC 2, અથવા 100 + 4 x 2 = 9 x 2

અહીંથી આપણે તે શોધીએ છીએ x = પછી AB = , S ABC=

આથી,

સમસ્યા 4

આપેલ:

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં ABC બાજુએબી 10 ની બરાબર, આધાર AC 12 છે.

ખૂણાઓના દ્વિભાજકોએ અને સી એક બિંદુ પર છેદેડી. BD શોધો.

ઉકેલ:

કારણ કે ત્રિકોણના દ્વિભાજકો પર છેદે છે

એક બિંદુ, પછી BD એ B નો દ્વિભાજક છે. ચાલો BD ચાલુ રાખીએ સાથે આંતરછેદ સુધીબિંદુ M પર AC. પછી M એ AC નો મધ્યબિંદુ છે, BM AC. તેથી જ

ત્યારથી સી.ડી - ત્રિકોણનો દ્વિભાજકત્યારે BMC

આથી,.

જવાબ:

પ્રમેય 4. ત્રિકોણના ત્રણ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે.

ખરેખર, ચાલો પહેલા બે દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુ P ને ધ્યાનમાં લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે AK 1 અને વીકે 2 . આ બિંદુ AB અને AC બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છે, કારણ કે તે દ્વિભાજક પર આવેલું છેA, અને AB અને BC બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છે, જેમ કે દ્વિભાજકથી સંબંધિત છેB. આનો અર્થ એ છે કે તે AC અને BC બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છે અને આ રીતે તે ત્રીજા દ્વિભાજક SC સાથે સંબંધિત છે 3 , એટલે કે, બિંદુ P પર ત્રણેય દ્વિભાજકો છેદે છે.

દ્વિભાજક શોધવા માટેના સૂત્રો
પ્રમેય 5: (દ્વિભાજક માટેનું પ્રથમ સૂત્ર): જો ત્રિકોણ ABC માં સેગમેન્ટ AL એ દ્વિભાજક છે A, પછી AL² = AB·AC - LB·LC.

પુરાવો: ત્રિકોણ ABC (ફિગ. 41) ની આસપાસના વર્તુળ સાથે M એ રેખા AL ના આંતરછેદનું બિંદુ છે. કોણ BAM શરત દ્વારા કોણ MAC બરાબર છે. BMA અને BCA એંગલ્સ એક જ તાર દ્વારા સમાવિષ્ટ કોતરેલ ખૂણાઓ તરીકે એકરૂપ છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્રિકોણ BAM અને LAC બે ખૂણામાં સમાન છે. તેથી, AL: AC = AB: AM. આનો અર્થ છે AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

પ્રમેય 6:. (દ્વિભાજક માટેનું બીજું સૂત્ર): ABC ત્રિકોણમાં બાજુઓ AB=a, AC=b અનેA 2α અને દ્વિભાજક l, સમાનતા ધરાવે છે:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

પુરાવો : ABC એ આપેલ ત્રિકોણ છે, AL તેનો દ્વિભાજક, a=AB, b=AC, l=AL. પછી એસ ABC = S ALB + S ALC . તેથી, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રમેય 7: જો a, b ત્રિકોણની બાજુઓ છે, તો Y તેમની વચ્ચેનો કોણ છે,આ કોણનો દ્વિભાજક છે. પછી.

ભૂમિતિ એ સૌથી જટિલ અને ગૂંચવણભર્યું વિજ્ઞાન છે. તેમાં, જે પ્રથમ નજરમાં સ્પષ્ટ લાગે છે તે ભાગ્યે જ સાચું બહાર વળે છે. દ્વિભાજકો, ઊંચાઈઓ, મધ્યક, અંદાજો, સ્પર્શકો - મોટી રકમખરેખર મુશ્કેલ શરતો, જે મૂંઝવણમાં મૂકવી ખૂબ જ સરળ છે.

હકીકતમાં, યોગ્ય ઇચ્છા સાથે, તમે કોઈપણ જટિલતાના સિદ્ધાંતને સમજી શકો છો. જ્યારે દ્વિભાજકો, મધ્યક અને ઊંચાઈની વાત આવે છે, ત્યારે તમારે સમજવાની જરૂર છે કે તે ત્રિકોણ માટે અનન્ય નથી. પ્રથમ નજરમાં આ સરળ રેખાઓ, પરંતુ તેમાંના દરેકના પોતાના ગુણધર્મો અને કાર્યો છે, જેનું જ્ઞાન મોટા પ્રમાણમાં ઉકેલને સરળ બનાવે છે ભૌમિતિક સમસ્યાઓ. તો, ત્રિકોણનું દ્વિભાજક શું છે?

વ્યાખ્યા

"દ્વિભાજક" શબ્દ પોતે સંયોજનમાંથી આવ્યો છે લેટિન શબ્દો"બે" અને "કટ", "કટ", જે પહેલેથી જ પરોક્ષ રીતે તેના ગુણધર્મો સૂચવે છે. સામાન્ય રીતે, જ્યારે બાળકોને આ કિરણનો પરિચય આપવામાં આવે છે, ત્યારે તેમને યાદ રાખવા માટે એક નાનો વાક્ય આપવામાં આવે છે: "દ્વિભાજક એ એક ઉંદર છે જે ખૂણાઓની આસપાસ ચાલે છે અને ખૂણાને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે." સ્વાભાવિક રીતે, આવી સમજૂતી વૃદ્ધ શાળાના બાળકો માટે યોગ્ય નથી, વધુમાં, તેઓને સામાન્ય રીતે કોણ વિશે નહીં, પરંતુ ભૌમિતિક આકૃતિ વિશે પૂછવામાં આવે છે. તેથી ત્રિકોણનું દ્વિભાજક એક કિરણ છે જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુથી જોડે છે, જ્યારે ખૂણાને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે. વિરુદ્ધ બાજુનો બિંદુ કે જેના માટે દ્વિભાજક આવે છે મનસ્વી ત્રિકોણઅવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ થયેલ છે.

મૂળભૂત કાર્યો અને ગુણધર્મો

આ બીમમાં થોડા મૂળભૂત ગુણધર્મો છે. પ્રથમ, કારણ કે ત્રિકોણનો દ્વિભાજક કોણને દ્વિભાજિત કરે છે, તેના પર પડેલો કોઈપણ બિંદુ ચાલુ રહેશે સમાન અંતરટોચની રચના કરતી બાજુઓમાંથી. બીજું, દરેક ત્રિકોણમાં તમે ઉપલબ્ધ ખૂણાઓની સંખ્યા અનુસાર ત્રણ દ્વિભાજકો દોરી શકો છો (તેથી, સમાન ચતુષ્કોણમાં તેમાંથી ચાર પહેલેથી જ હશે, વગેરે). ત્રણેય કિરણો જે બિંદુ પર છેદે છે તે ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

ગુણધર્મો વધુ જટિલ બની જાય છે

ચાલો સિદ્ધાંતને થોડો જટિલ કરીએ. બીજી એક વાત રસપ્રદ મિલકત: ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુને ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે, જેનો ગુણોત્તર શિરોબિંદુ બનાવતી બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો છે. પ્રથમ નજરમાં, આ જટિલ છે, પરંતુ હકીકતમાં બધું સરળ છે: સૂચિત આકૃતિમાં, RL: LQ = PR: PK. માર્ગ દ્વારા, આ મિલકતને "દ્વિભાજક પ્રમેય" કહેવામાં આવતું હતું અને તે પ્રથમ પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી યુક્લિડના કાર્યોમાં દેખાયું હતું. અમે તેમને એકમાં યાદ કર્યા રશિયન પાઠયપુસ્તકોમાત્ર સત્તરમી સદીના પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં.

તે થોડી વધુ જટિલ છે. ચતુર્ભુજમાં, દ્વિભાજક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણને કાપી નાખે છે. આ આંકડો બધું બતાવે છે સમાન ખૂણામધ્ય AF માટે.

અને ચતુષ્કોણ અને ટ્રેપેઝોઇડ્સમાં, એક બાજુવાળા ખૂણાઓના દ્વિભાજકો એકબીજાને લંબરૂપ હોય છે. બતાવેલ ચિત્રમાં, કોણ APB 90 ડિગ્રી છે.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું દ્વિભાજક એ વધુ ઉપયોગી કિરણ છે. તે તે જ સમયે અડધા ભાગમાં ખૂણાના વિભાજક જ નહીં, પણ મધ્ય અને ઊંચાઈ પણ છે.

મધ્યક એક સેગમેન્ટ છે જે કોઈ ખૂણેથી આવે છે અને વિરુદ્ધ બાજુની મધ્યમાં આવે છે, ત્યાં તેને સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે. ઊંચાઈ એ શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુએ ઉતરેલી લંબ છે; તે તેની મદદથી કોઈપણ સમસ્યાને સરળ અને આદિમ પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાં ઘટાડી શકાય છે. આ પરિસ્થિતિમાં, ત્રિકોણનો દ્વિભાજક કર્ણોના વર્ગ અને બીજા પગ વચ્ચેના તફાવતના મૂળ જેટલો છે. માર્ગ દ્વારા, આ મિલકત મોટાભાગે ભૌમિતિક સમસ્યાઓમાં આવે છે.

એકીકૃત કરવા માટે: આ ત્રિકોણમાં, દ્વિભાજક FB એ મધ્ય છે (AB = BC) અને ઊંચાઈ (કોણ FBC અને FBA 90 ડિગ્રી છે).

સામાન્ય શબ્દોમાં

તો તમારે શું યાદ રાખવાની જરૂર છે? ત્રિકોણનો દ્વિભાજક એ કિરણ છે જે તેના શિરોબિંદુને દ્વિભાજિત કરે છે. ત્રણ કિરણોના આંતરછેદ પર આ ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે (આ ગુણધર્મનો એકમાત્ર ગેરલાભ એ છે કે તેનું કોઈ વ્યવહારુ મૂલ્ય નથી અને તે ફક્ત ડ્રોઇંગના સક્ષમ અમલ માટે જ સેવા આપે છે). તે વિરુદ્ધ બાજુને ભાગોમાં પણ વિભાજિત કરે છે, જેનો ગુણોત્તર આ કિરણ પસાર થયેલી બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો છે. ચતુષ્કોણમાં, ગુણધર્મો થોડી વધુ જટિલ બની જાય છે, પરંતુ, સ્વીકાર્યપણે, તેઓ વ્યવહારીક રીતે ક્યારેય સમસ્યાઓમાં દેખાતા નથી. શાળા સ્તર, તેથી તેઓ સામાન્ય રીતે પ્રોગ્રામમાં સ્પર્શતા નથી.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું દ્વિભાજક એ કોઈપણ શાળાના બાળકનું અંતિમ સ્વપ્ન છે. તે એક મધ્યક (એટલે ​​​​કે, તે વિરુદ્ધ બાજુને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે) અને ઊંચાઈ (તે બાજુ પર લંબ) બંને છે. આવા દ્વિભાજક સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવાથી પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાં ઘટાડો થાય છે.

જ્ઞાન મૂળભૂત કાર્યોદ્વિભાજક, તેમજ તેના મૂળભૂત ગુણધર્મો, સરેરાશ અને બંનેની ભૌમિતિક સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે જરૂરી છે ઉચ્ચ સ્તરજટિલતા હકીકતમાં, આ કિરણ માત્ર પ્લાનિમેટ્રીમાં જોવા મળે છે, તેથી એવું કહી શકાય નહીં કે તેના વિશેની માહિતી યાદ રાખવાથી તમે તમામ પ્રકારના કાર્યોનો સામનો કરી શકશો.