સ્વયંસિદ્ધ શું છે, સ્વયંસિદ્ધ ઉદાહરણો. તીવ્ર અને સ્થૂળ કોણ

સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિનો સાર

યુક્લિડ

પી. ડીરાક

જો કોઈ પ્રમેય સાબિત ન થઈ શકે, તો તે સ્વયંસિદ્ધ બની જાય છે.

ગણિત વિભાવનાઓના આધારે બનાવવામાં આવ્યું છે. ખ્યાલો વ્યાખ્યાયિત અથવા અવ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. હેઠળ વ્યાખ્યા ચોક્કસ ખ્યાલની ચોક્કસ રચના સમજો. ગાણિતિક વિભાવનાને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો અર્થ એ છે કે તેની લાક્ષણિકતાઓ અથવા ગુણધર્મોને સૂચવવું જે આ ખ્યાલને બાકીના કરતા અલગ પાડે છે. નક્કી કરવાની સામાન્ય રીત ગાણિતિક ખ્યાલસૂચવવામાં સમાવે છે: 1) નિકટવર્તી જીનસ, એટલે કે, વધુ સામાન્ય ખ્યાલ કે જેનો ખ્યાલ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે સંબંધિત છે; 2) જાતિના તફાવતો, એટલે કે, તે લાક્ષણિક લક્ષણોઅથવા ગુણધર્મો કે જે આ ચોક્કસ ખ્યાલમાં સહજ છે.

ઉદાહરણ 1.વ્યાખ્યા: "ચોરસ એ એક લંબચોરસ છે જેની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે." સૌથી નજીકની જીનસ, એટલે કે, વધુ સામાન્ય ખ્યાલ, લંબચોરસનો ખ્યાલ છે, અને ચોક્કસ તફાવત એ સંકેત હશે કે ચોરસની બધી બાજુઓ સમાન છે. બદલામાં, લંબચોરસ માટે વધુ સામાન્ય ખ્યાલ એ સમાંતરગ્રામની વિભાવના છે, સમાંતરચતુષ્કોણ માટે - ચતુર્ભુજની વિભાવના, ચતુર્ભુજ માટે - બહુકોણની વિભાવના, વગેરે. પરંતુ આ સાંકળ અનંત નથી.

એવી વિભાવનાઓ છે જે અન્ય, વધુ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતી નથી સામાન્ય ખ્યાલો. ગણિતમાં તેમને કહેવામાં આવે છે મૂળભૂત અવ્યાખ્યાયિત ખ્યાલો . મૂળભૂત વિભાવનાઓના ઉદાહરણો બિંદુ, રેખા, સમતલ, અંતર, સમૂહ અને તેથી વધુ છે.

મૂળભૂત વિભાવનાઓ વચ્ચેના જોડાણો અને સંબંધો સ્વયંસિદ્ધનો ઉપયોગ કરીને ઘડવામાં આવે છે.

સ્વયંસિદ્ધઆપેલ સિદ્ધાંતમાં પુરાવા વિના સ્વીકારવામાં આવેલ ગાણિતિક પ્રસ્તાવ છે.

સ્વયંસિદ્ધોની સિસ્ટમ માટે કે જેના પર એક અથવા બીજી બનાવવામાં આવી છે ગાણિતિક સિદ્ધાંત, સુસંગતતા, સ્વતંત્રતા અને સંપૂર્ણતા માટે જરૂરીયાતો છે.

સ્વયંસિદ્ધ સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે સુસંગત , જો તેમાંથી એકસાથે બે પરસ્પર વિશિષ્ટ વાક્યો મેળવવાનું અશક્ય છે: એ, noA.

સ્વયંસિદ્ધ સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે સ્વતંત્ર , જો આ સિસ્ટમના કોઈપણ સ્વયંસિદ્ધ આ સિસ્ટમના અન્ય સ્વયંસિદ્ધનું પરિણામ નથી.

સ્વયંસિદ્ધ સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે સંપૂર્ણ , જો તેમાં બેમાંથી એક વસ્તુ આવશ્યકપણે સાબિત થાય છે: કાં તો નિવેદન એ, અથવા notA

એક પ્રસ્તાવ જે સ્વયંસિદ્ધ સૂચિમાં નથી તે સાબિત કરવું આવશ્યક છે. આવી દરખાસ્ત કહેવામાં આવે છે પ્રમેય .

પ્રમેયએક ગાણિતિક પ્રસ્તાવ છે જેનું સત્ય તર્કની પ્રક્રિયા દ્વારા સ્થાપિત થાય છે જેને સાબિતી કહેવાય છે.

સ્વયંસિદ્ધ: "જે પણ રેખા હોય, ત્યાં એવા બિંદુઓ છે જે આ રેખાના છે અને બિંદુઓ છે જે તેની સાથે જોડાયેલા નથી."

પ્રમેય: "જો ચતુષ્કોણના કર્ણ એકબીજાને છેદે છે અને છેદનના બિંદુથી દ્વિભાજિત છે, તો આ ચતુર્ભુજ એક સમાંતરગ્રામ છે."

મુખ્ય પદ્ધતિઓમાંની એક આધુનિક ગણિતછે સ્વયંસિદ્ધ પદ્ધતિ . તેનો સાર નીચે મુજબ છે.

1) નિર્માણાધીન સિદ્ધાંતની મુખ્ય અવ્યાખ્યાયિત વિભાવનાઓ અને સંબંધો સૂચિબદ્ધ છે (સંબંધોના ઉદાહરણો: અનુસરો..., વચ્ચે આવેલા...);

2) સ્વયંસિદ્ધ ઘડવામાં આવે છે, પુરાવા વિના આ સિદ્ધાંતમાં સ્વીકારવામાં આવે છે, જે મૂળભૂત ખ્યાલો અને તેમના સંબંધો વચ્ચેના જોડાણને વ્યક્ત કરે છે;

3) મૂળભૂત ખ્યાલો અને મૂળભૂત સંબંધોમાં ન હોય તેવા વાક્યોને વ્યાખ્યાયિત કરવું આવશ્યક છે;

4) પ્રસ્તાવનાઓ કે જે સ્વયંસિદ્ધ સૂચિમાં નથી તે આ સ્વયંસિદ્ધ અને અગાઉ સાબિત થયેલા પ્રસ્તાવના આધારે સાબિત થવી જોઈએ.

1.2 યુક્લિડની ભૂમિતિ - પ્રથમ કુદરતી વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંત

ઐતિહાસિક ઝાંખીભૂમિતિનું સમર્થન.ભૂમિતિ, એક સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંત બનતા પહેલા, પ્રયોગમૂલક વિકાસના લાંબા માર્ગમાંથી પસાર થઈ હતી.

ભૂમિતિ વિશેની પ્રથમ માહિતી સંસ્કૃતિઓ દ્વારા પ્રાપ્ત થઈ હતી પ્રાચીન પૂર્વ(ઇજિપ્ત, ચીન, ભારત) કૃષિના વિકાસ, મર્યાદિત ફળદ્રુપ જમીનો વગેરેના સંબંધમાં. આ દેશોમાં, ભૂમિતિ પ્રાયોગિક પ્રકૃતિની હતી અને ઉકેલ માટે અલગ "રેસીપી-નિયમો" ના સમૂહનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી હતી. ચોક્કસ કાર્યો. પહેલેથી જ 2 જી સહસ્ત્રાબ્દી બીસીમાં. ઇજિપ્તવાસીઓ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ, કાપેલા પિરામિડના જથ્થા, વર્તુળના ક્ષેત્રફળની સચોટ ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે જાણતા હતા અને બેબીલોનિયનો પાયથાગોરિયન પ્રમેય જાણતા હતા. નોંધ કરો કે ત્યાં કોઈ પુરાવા નહોતા, પરંતુ ગણતરી માટેના નિયમો હતા.

ગ્રીક સમયગાળો 7મી-6મી સદીમાં ભૂમિતિનો વિકાસ શરૂ થયો. પૂર્વે. ઇજિપ્તવાસીઓના પ્રભાવ હેઠળ. ગ્રીક ગણિતના પિતા તરીકે ગણવામાં આવે છે પ્રખ્યાત ફિલસૂફથેલ્સ (640-548 બીસી). થેલ્સ, અથવા બદલે, તેને ગણિત શાળાગુણધર્મોના પુરાવા સાથે સંબંધિત છે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ, ઊભી ખૂણો. બાદમાં એક જીઓમીટર પ્રાચીન ગ્રીસઆધુનિકની લગભગ તમામ સામગ્રીને આવરી લેતા પરિણામો પ્રાપ્ત થયા હતા શાળા અભ્યાસક્રમભૂમિતિ

પાયથાગોરસ (570-471 બીસી) ની ફિલોસોફિકલ શાખાએ ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેય શોધ્યો, પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાબિત કર્યો, અને પાંચ પ્રકારના નિયમિત પોલિહેડ્રા અને અસંતુલિત સેગમેન્ટ્સનું અસ્તિત્વ સ્થાપિત કર્યું. ડેમોક્રિટસ (470-370 બીસી) એ પિરામિડ અને શંકુના વોલ્યુમો પર પ્રમેય શોધ્યા. યુડોક્સસ (410-356 બીસી) એ બનાવ્યું ભૌમિતિક સિદ્ધાંતપ્રમાણ (એટલે ​​​​કે પ્રમાણસર સંખ્યાઓનો સિદ્ધાંત).

મેનાચેમસ અને એપોલોનિયસે કોનિક વિભાગોનો અભ્યાસ કર્યો. આર્કિમિડીઝ (289-212 બીસી) એ બોલ અને અન્ય આંકડાઓની સપાટીના ક્ષેત્રફળ અને વોલ્યુમની ગણતરી માટેના નિયમોની શોધ કરી. તેને π નંબરની અંદાજિત કિંમત પણ મળી.

ખાસ મેરિટપ્રાચીન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિકો એ છે કે તેઓ પ્રથમ હતા જેમણે ભૌમિતિક જ્ઞાનને સખત રીતે બાંધવાની સમસ્યા ઊભી કરી અને તેને પ્રથમ અંદાજ સુધી ઉકેલી. પ્લેટો (428-348 બીસી) દ્વારા આ સમસ્યા ઊભી થઈ હતી. એરિસ્ટોટલ (384-322 બીસી) - મહાન ફિલસૂફ, સ્થાપક ઔપચારિક તર્ક- માત્ર તર્કશાસ્ત્રના નિયમોના આધારે એકથી બીજાને અનુસરતા દરખાસ્તોની સાંકળના સ્વરૂપમાં ભૂમિતિ બનાવવાના વિચારની સ્પષ્ટ રચના સાથે સંબંધિત છે. ઘણા ગ્રીક વૈજ્ઞાનિકો (હિપ્પોક્રેટ્સ, ફેડિયસ) એ આ સમસ્યાને હલ કરવાનો પ્રયાસ કર્યો.

યુક્લિડ (330-275 બીસી) - પ્રાચીનકાળનો સૌથી મોટો ભૌગોલિક, પ્લેટોની શાળાના સ્નાતક, ઇજિપ્તમાં (એલેક્ઝાન્ડ્રિયામાં) રહેતા હતા. તેમના દ્વારા સંકલિત "સિદ્ધાંતો" ભૂમિતિના સિદ્ધાંતોની વ્યવસ્થિત રજૂઆત પ્રદાન કરે છે, જે આના પર કરવામાં આવે છે. વૈજ્ઞાનિક સ્તરકે ઘણી સદીઓથી ભૂમિતિનું શિક્ષણ તેમના કાર્ય અનુસાર હાથ ધરવામાં આવ્યું હતું. "સિદ્ધાંતો" માં 13 પુસ્તકો (પ્રકરણો) છે:

I-VI - પ્લાનિમેટ્રી;

VII-IX - ભૌમિતિક પ્રસ્તુતિમાં અંકગણિત;

X - અસંતુલિત સેગમેન્ટ્સ;

HI-HII - સ્ટીરિયોમેટ્રી.

ભૂમિતિમાં જાણીતી બધી માહિતી તત્વોમાં સમાવવામાં આવી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, આ પુસ્તકોમાં શામેલ નથી: સિદ્ધાંત કોનિક વિભાગો, ઉચ્ચ ઓર્ડરના વણાંકો.

દરેક પુસ્તક તેમાં દેખાતા ખ્યાલોની વ્યાખ્યા સાથે શરૂ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પુસ્તક I માં 23 વ્યાખ્યાઓ છે. અહીં પ્રથમ ચાર ખ્યાલોની વ્યાખ્યાઓ છે:

1 બિંદુ એવી વસ્તુ છે જેમાં કોઈ ભાગ નથી.

2 એ રેખા પહોળાઈ વગરની લંબાઈ છે.

3 રેખાની સીમાઓ બિંદુઓ છે.

યુક્લિડ પુરાવા વિના સ્વીકૃત દરખાસ્તો આપે છે, તેમને અનુમાન અને સ્વયંસિદ્ધમાં વિભાજિત કરે છે. તેની પાસે પાંચ અનુમાન અને સાત સ્વયંસિદ્ધ છે. અહીં તેમાંથી કેટલાક છે:

IV અને જેથી કરીને બધા કાટકોણ સમાન હોય.

V અને તેથી જ્યારે પણ કોઈ સીધી રેખા, અન્ય બે સીધી રેખાઓ સાથે છેદતી વખતે, તેમની સાથે આંતરિક એકતરફી ખૂણા બનાવે છે, જેનો સરવાળો બે સીધી રેખા કરતા ઓછો હોય છે, આ સીધી રેખાઓ જે બાજુ પર આ સરવાળો ઓછો હોય છે તેને છેદે છે. બે સીધી રેખાઓ કરતાં.

સ્વયંસિદ્ધ

I વ્યક્તિગત રીતે ત્રીજાની સમાન એકબીજાની સમાન છે.

II અને જો આપણે બરાબરીમાં બરાબર ઉમેરીએ, તો આપણને બરાબર મળે છે.

VII અને જે ભેગા થાય છે તે સમાન છે.

યુક્લિડે પોસ્ટ્યુલેટ્સ અને એક્સિઓમ્સ વચ્ચેનો તફાવત સૂચવ્યો નથી. હજુ પણ ના અંતિમ નિર્ણયઆ પ્રશ્ન.

યુક્લિડે ગ્રીક વૈજ્ઞાનિકો, ખાસ કરીને એરિસ્ટોટલ, એટલે કે, દ્વારા આવશ્યકતા મુજબ ભૂમિતિનો સિદ્ધાંત નક્કી કર્યો. પ્રમેય એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે છે કે દરેક અનુગામી એક માત્ર અગાઉના મુદ્દાઓના આધારે સાબિત થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, યુક્લિડ ભૌમિતિક સિદ્ધાંત વિકસાવે છે કડક રીતે તાર્કિક રીતે. આ યુક્લિડની વિજ્ઞાનની ઐતિહાસિક યોગ્યતા છે.

યુક્લિડના "તત્વો" એ ગણિત અને સમગ્ર માનવ સંસ્કૃતિના ઇતિહાસમાં મોટી ભૂમિકા ભજવી હતી. આ પુસ્તકો વિશ્વની તમામ મુખ્ય ભાષાઓમાં અનુવાદિત થયા છે; 1482 પછી તેઓ લગભગ 500 આવૃત્તિઓમાંથી પસાર થયા.

યુક્લિડ સિસ્ટમના ગેરફાયદા.આધુનિક ગણિતના દૃષ્ટિકોણથી, તત્વોની રજૂઆતને અપૂર્ણ ગણવી જોઈએ. ચાલો આ સિસ્ટમના મુખ્ય ગેરફાયદાને નામ આપીએ:

1) ઘણી વિભાવનાઓમાં તે સમાવેશ થાય છે જે બદલામાં વ્યાખ્યાયિત થવો જોઈએ (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રકરણ 1 ની વ્યાખ્યા 1-4 માં પહોળાઈ, લંબાઈ, સરહદની વિભાવનાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જે પણ વ્યાખ્યાયિત હોવા જોઈએ);

2) ભૂમિતિને સખત તાર્કિક રીતે બાંધવા માટે સ્વયંસિદ્ધ અને ધારણાઓની સૂચિ અપૂરતી છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ સૂચિમાં ક્રમના સ્વયંસિદ્ધિઓ શામેલ નથી, જેના વિના ભૂમિતિમાં ઘણા પ્રમેય સાબિત થઈ શકતા નથી; ચાલો નોંધ લઈએ કે ગૌસે આ સંજોગો તરફ ધ્યાન દોર્યું. આ સૂચિમાં ચળવળની વિભાવના (સંયોજન) અને ચળવળના ગુણધર્મોની વ્યાખ્યાઓનો પણ અભાવ છે, એટલે કે. ગતિના સ્વયંસિદ્ધ યાદીમાંથી આર્કિમિડીઝનું સ્વયંસિદ્ધ (સતતતાના બે સ્વયંસિદ્ધમાંથી એક) પણ ખૂટે છે, જે ભજવે છે મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકાસેગમેન્ટ્સની લંબાઈ, આકૃતિઓના વિસ્તારો અને શરીરના પદાર્થોને માપવાના સિદ્ધાંતમાં. નોંધ કરો કે યુક્લિડના સમકાલીન આર્કિમિડીઝ દ્વારા આની નોંધ લેવામાં આવી હતી;

3) પોસ્ટ્યુલેટ IV સ્પષ્ટપણે અનાવશ્યક છે; તે પ્રમેય તરીકે સાબિત થઈ શકે છે. ચાલો આપણે ખાસ કરીને પાંચમી ધારણાની નોંધ લઈએ. તત્વોના પુસ્તક I માં, પ્રથમ 28 દરખાસ્તો પાંચમા અનુમાનના સંદર્ભ વિના સાબિત થાય છે. સ્વયંસિદ્ધ અને ધારણાઓની સૂચિને ઘટાડવાનો પ્રયાસ, ખાસ કરીને પોસ્ટ્યુલેટ V ને પ્રમેય તરીકે સાબિત કરવા માટે, યુક્લિડના સમયથી જ હાથ ધરવામાં આવે છે. પ્રોક્લસ (5મી સદી એડી), ઓમર ખય્યામ (1048-1123), વોલિસ (17મી સદી), સેચેરી અને લેમ્બર્ટ (18મી સદી), લિજેન્ડ્રે (1752-1833) એ પણ પોસ્ટ્યુલેટ V ને પ્રમેય તરીકે સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો. તેમના પુરાવા ખામીયુક્ત હતા, પરંતુ તે તરફ દોરી ગયા હકારાત્મક પરિણામો- વધુ બે ભૂમિતિઓ (રીમેન અને લોબાચેવ્સ્કી) ના જન્મ સુધી.

નોન-યુક્લિડિયન ભૌમિતિક સિસ્ટમો.એન. લોબાચેવ્સ્કી (1792-1856), જેમણે શોધ કરી હતી નવી ભૂમિતિ- લોબાચેવ્સ્કીની ભૂમિતિ, પોસ્ચ્યુલેટ V સાબિત કરવાના પ્રયાસથી પણ શરૂ થઈ.

નિકોલાઈ ઇવાનોવિચે વિરોધાભાસ મેળવવાની આશામાં "સિદ્ધાંતો" ના વોલ્યુમમાં તેની સિસ્ટમ વિકસાવી. તેને તે મળ્યું નહીં, પરંતુ 1826 માં તેણે સાચો નિષ્કર્ષ કાઢ્યો: યુક્લિડની ભૂમિતિથી અલગ ભૂમિતિ છે.

પ્રથમ નજરમાં, આ નિષ્કર્ષ અપર્યાપ્ત રીતે પ્રમાણિત લાગે છે: કદાચ, તેને વધુ વિકસિત કરવાથી, કોઈ વિરોધાભાસ પર આવી શકે છે. પરંતુ આ જ પ્રશ્ન યુક્લિડિયન ભૂમિતિને લાગુ પડે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે તાર્કિક સુસંગતતાના પ્રશ્નનો સામનો કરવામાં આવે ત્યારે બંને ભૂમિતિ સમાન હોય છે. વધુ સંશોધન દર્શાવે છે કે એક ભૂમિતિની સુસંગતતા બીજી ભૂમિતિની સુસંગતતા સૂચવે છે, એટલે કે. લોજિકલ સિસ્ટમ્સની સમાનતા છે.

લોબાચેવ્સ્કી પ્રથમ હતા, પરંતુ માત્ર એક જ ન હતા, જેમણે તારણ કાઢ્યું કે બીજી ભૂમિતિ અસ્તિત્વમાં છે. ગૌસે (1777-1855) આ વિચાર 1816 ની શરૂઆતમાં ખાનગી પત્રોમાં વ્યક્ત કર્યો હતો, પરંતુ સત્તાવાર પ્રકાશનોમાં નિવેદન આપ્યું ન હતું.

લોબાચેવ્સ્કીના પરિણામોના પ્રકાશનના ત્રણ વર્ષ પછી (1829 માં), એટલે કે. 1832 માં, હંગેરિયન જે. બોલ્યાઇ (1802-1860) નું કાર્ય પ્રકાશિત થયું હતું, જેઓ 1823 માં એક અલગ ભૂમિતિના અસ્તિત્વ વિશે નિષ્કર્ષ પર આવ્યા હતા, પરંતુ તેને પછીથી અને લોબાચેવ્સ્કી કરતા ઓછા વિકસિત સ્વરૂપમાં પ્રકાશિત કર્યું હતું. તેથી, તે વાજબી છે કે આ ભૂમિતિ લોબાચેવ્સ્કીનું નામ ધરાવે છે.

લોબાચેવ્સ્કીની ભૂમિતિની સામાન્ય સ્વીકૃતિ લોબાચેવ્સ્કી પછી જીઓમીટરના કામ દ્વારા ખૂબ જ સરળ બની હતી. 1868 માં, ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી ઇ. બેલ્ટ્રામી (1825-1900) એ સાબિત કર્યું કે લોબાચેવ્સ્કી ભૂમિતિ સતત નકારાત્મક વક્રતા (કહેવાતા સ્યુડોસ્ફિયર) ની સપાટી ધરાવે છે. બેલ્ટ્રામીના અર્થઘટનના આધારે લોબાચેવ્સ્કીની ભૂમિતિની સુસંગતતાના પુરાવાનો નબળો મુદ્દો એ હતો કે, ડી. હિલ્બર્ટ (1862-1943) બતાવ્યા પ્રમાણે, ત્યાં કોઈ નથી. સંપૂર્ણ સપાટીલક્ષણો વિના સતત નકારાત્મક વળાંક. તેથી, સતત નકારાત્મક વક્રતાની સપાટી પર, સપાટ લોબાચેવ્સ્કી ભૂમિતિનો માત્ર એક ભાગ જ અર્થઘટન કરી શકાય છે. આ ખામી એ. પોઈનકેરે (1854-1912) અને એફ. ક્લેઈન (1849-1925) દ્વારા દૂર કરવામાં આવી હતી.

લોબાચેવ્સ્કીની ભૂમિતિની સુસંગતતાનો પુરાવો તે જ સમયે અન્ય લોકોથી પાંચમા પોસ્ટ્યુલેટની સ્વતંત્રતાનો પુરાવો હતો. ખરેખર, પરાધીનતાના કિસ્સામાં, લોબાચેવ્સ્કીની ભૂમિતિ વિરોધાભાસી હશે, કારણ કે તેમાં બે પરસ્પર વિશિષ્ટ નિવેદનો હશે.

યુક્લિડિયન ભૂમિતિના વધુ અભ્યાસોએ યુક્લિડની સ્વયંસિદ્ધ અને અનુમાનની સિસ્ટમની અપૂર્ણતા દર્શાવી હતી. હિલ્બર્ટ દ્વારા 1899 માં યુક્લિડના અક્ષીયશાસ્ત્રનો અભ્યાસ પૂર્ણ કરવામાં આવ્યો હતો.

હિલ્બર્ટના અક્ષીયશાસ્ત્રમાં પાંચ જૂથો છે:

જોડાણના સ્વયંસિદ્ધ (સંબંધિત);

ક્રમના સ્વયંસિદ્ધ;

સુસંગતતા (સમાનતા, સંયોગ);

સાતત્યના સ્વયંસિદ્ધ;

સમાંતરતાનું સ્વયંસિદ્ધ.

આ સ્વયંસિદ્ધ (કુલ 20 છે) ત્રણ પ્રકારના પદાર્થોનો સંદર્ભ આપે છે: બિંદુઓ, રેખાઓ, વિમાનો, તેમજ તેમની વચ્ચેના ત્રણ સંબંધોનો સંદર્ભ આપે છે: "સંબંધિત છે", "વચ્ચે આવેલું છે", "સમાન્ય". ચોક્કસ અર્થબિંદુઓ, રેખાઓ, વિમાનો અને સંબંધો ઉલ્લેખિત નથી. તેઓ પરોક્ષ રીતે સ્વયંસિદ્ધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આનો આભાર, હિલ્બર્ટના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના આધારે બાંધવામાં આવેલી ભૂમિતિ વિવિધ ચોક્કસ અમલીકરણો માટે પરવાનગી આપે છે.

સૂચિબદ્ધ ધરીઓ પર બનેલ ભૌમિતિક સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે યુક્લિડિયન ભૂમિતિ,કારણ કે તે તત્વોમાં યુક્લિડ દ્વારા સમજાવવામાં આવેલી ભૂમિતિ સાથે એકરુપ છે.

યુક્લિડિયન સિવાયની ભૌમિતિક પ્રણાલીઓ કહેવામાં આવે છે બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ.અનુસાર સામાન્ય સિદ્ધાંતસાપેક્ષતા, અવકાશમાં ન તો એક કે અન્ય એકદમ સચોટ છે, પરંતુ નાના ભીંગડા પર (પૃથ્વી ભીંગડા પણ તદ્દન "નાના" છે) તે જગ્યાનું વર્ણન કરવા માટે એકદમ યોગ્ય છે. યુક્લિડિયન સૂત્રો વ્યવહારમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે તેનું કારણ તેમની સરળતા છે.

હિલ્બર્ટે તેમની સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીની વ્યાપકપણે તપાસ કરી અને દર્શાવ્યું કે જો અંકગણિત અસંગત ન હોય તો તે સુસંગત છે (એટલે ​​​​કે, હકીકતમાં, વાસ્તવિક અથવા કહેવાતી બાહ્ય સુસંગતતા સાબિત થાય છે). તેમણે ભૂમિતિને સાબિત કરવા માટે જીઓમીટર દ્વારા સદીઓ સુધીનું સંશોધન પૂર્ણ કર્યું. આ કાર્યની ખૂબ પ્રશંસા કરવામાં આવી હતી અને તેને 1903 માં લોબાચેવ્સ્કી પુરસ્કાર આપવામાં આવ્યો હતો.

યુક્લિડની ભૂમિતિની આધુનિક સ્વયંસિદ્ધ પ્રસ્તુતિમાં, હિલ્બર્ટના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોનો હંમેશા ઉપયોગ થતો નથી: ભૂમિતિના પાઠ્યપુસ્તકો આ સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીના વિવિધ ફેરફારો પર બાંધવામાં આવે છે.

20મી સદીમાં તે જાણવા મળ્યું કે લોબાચેવ્સ્કી ભૂમિતિ માત્ર નથી મહત્વપૂર્ણઅમૂર્ત ગણિત માટે સંભવિત ભૂમિતિઓમાંની એક તરીકે, પણ તે સીધી રીતે ગણિતના કાર્યક્રમો સાથે સંબંધિત છે. તે બહાર આવ્યું છે કે અવકાશ અને સમય વચ્ચેનો સંબંધ, એ. આઈન્સ્ટાઈન અને અન્ય વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા શોધાયેલ વિશેષ સિદ્ધાંતસાપેક્ષતા, લોબાચેવ્સ્કી ભૂમિતિ સાથે સીધી રીતે સંબંધિત છે.

પાછળ શું છે એક રહસ્યમય શબ્દ"એક્સિઓમ", તે ક્યાંથી આવ્યું અને તેનો અર્થ શું છે? 7મા-8મા ધોરણનો વિદ્યાર્થી આ પ્રશ્નનો જવાબ સરળતાથી આપી શકે છે, કારણ કે તાજેતરમાં જ, જ્યારે નિપુણતા મેળવે છે મૂળભૂત અભ્યાસક્રમપ્લાનિમેટ્રી, તેણે પહેલેથી જ કાર્યનો સામનો કર્યો હતો: "કયા નિવેદનોને સ્વયંસિદ્ધ કહેવામાં આવે છે, ઉદાહરણો આપો." પુખ્ત વ્યક્તિનો સમાન પ્રશ્ન મોટે ભાગે મુશ્કેલી તરફ દોરી જશે. અભ્યાસ કર્યા પછી જેટલો સમય પસાર થાય છે, વિજ્ઞાનની મૂળભૂત બાબતો યાદ રાખવી તેટલી જ અઘરી બને છે. તે જ સમયે, "સ્વતત્ય" શબ્દનો વારંવાર રોજિંદા જીવનમાં ઉપયોગ થાય છે.

શબ્દની વ્યાખ્યા

તો કયા વિધાનોને સ્વયંસિદ્ધ કહેવામાં આવે છે? સ્વયંસિદ્ધ ઉદાહરણો ખૂબ જ વૈવિધ્યસભર છે અને તે વિજ્ઞાનના કોઈપણ એક ક્ષેત્ર સુધી મર્યાદિત નથી. ઉલ્લેખિત શબ્દ આવે છે પ્રાચીન ગ્રીક ભાષાઅને માં શાબ્દિક અનુવાદ"સ્વીકૃત સ્થિતિ" સૂચવે છે.

આ શબ્દની કડક વ્યાખ્યા જણાવે છે કે સ્વયંસિદ્ધ એ સિદ્ધાંતનો મુખ્ય થીસીસ છે જેને પુરાવાની જરૂર નથી. આ ખ્યાલ ગણિતમાં (અને ખાસ કરીને ભૂમિતિમાં), તર્કશાસ્ત્ર અને ફિલસૂફીમાં વ્યાપક છે.

વધુ પ્રાચીન ગ્રીકએરિસ્ટોટલે જણાવ્યું હતું કે સ્પષ્ટ હકીકતોકોઈ પુરાવાની જરૂર નથી. ઉદાહરણ તરીકે, કોઈને શંકા નથી સૂર્યપ્રકાશમાત્ર દિવસ દરમિયાન જ દેખાય છે. આ સિદ્ધાંત બીજા ગણિતશાસ્ત્રી - યુક્લિડ દ્વારા વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. કદી એકબીજાને છેદતા નથી તેવા સ્વયંસિદ્ધોનું ઉદાહરણ તેમનું છે.

સમય જતાં, શબ્દની વ્યાખ્યા બદલાઈ ગઈ છે. હવે સ્વયંસિદ્ધને માત્ર વિજ્ઞાનની શરૂઆત તરીકે જ નહીં, પણ પ્રાપ્ત થયેલ કંઈક તરીકે પણ માનવામાં આવે છે જે આગળના સિદ્ધાંત માટે પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે સેવા આપે છે.

શાળા અભ્યાસક્રમમાંથી નિવેદનો

શાળાના બાળકોને ગણિતના પાઠમાં પુષ્ટિની જરૂર પડતી નથી તેવી ધારણાઓ સાથે રજૂ કરવામાં આવે છે. તેથી, જ્યારે ઉચ્ચ શાળાના સ્નાતકોને કાર્ય આપવામાં આવે છે: "એક્સિઓમના ઉદાહરણો આપો," ત્યારે તેઓ મોટાભાગે ભૂમિતિ અને બીજગણિત અભ્યાસક્રમો યાદ રાખે છે. અહીં સામાન્ય જવાબોના ઉદાહરણો છે:

• લીટી માટે એવા બિંદુઓ છે જે તેની સાથે સંબંધિત છે (એટલે ​​​​કે, લીટી પર આવેલા છે) અને તેની સાથે સંબંધિત નથી (લાઇન પર જૂઠું બોલશો નહીં);
• કોઈપણ બે બિંદુઓ દ્વારા સીધી રેખા દોરી શકાય છે;
• પ્લેનને બે અર્ધ-વિમાનોમાં વિભાજીત કરવા માટે, તમારે સીધી રેખા દોરવાની જરૂર છે.

બીજગણિત અને અંકગણિત સ્પષ્ટપણે આવા વિધાનોનો પરિચય આપતા નથી, પરંતુ આ વિજ્ઞાનમાં સ્વયંસિદ્ધનું ઉદાહરણ મળી શકે છે:

• કોઈપણ સંખ્યા પોતે સમાન છે;
• એક બધી કુદરતી સંખ્યાઓ આગળ આવે છે;
• જો k=l, તો l=k.

આમ, સરળ થીસીસ દ્વારા વધુ જટિલ ખ્યાલો, કોરોલરીઓ બનાવવામાં આવે છે અને પ્રમેય પ્રાપ્ત થાય છે.

સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો પર આધારિત વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંતનું નિર્માણ

બનાવવું વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંત(આપણે સંશોધનના કયા ક્ષેત્ર વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ તે કોઈ વાંધો નથી), અમને એક પાયાની જરૂર છે - ઇંટો જેમાંથી તે બનાવવામાં આવશે. સાર એ છે કે શબ્દોનો શબ્દકોશ બનાવવામાં આવે છે, સ્વયંસિદ્ધનું ઉદાહરણ ઘડવામાં આવે છે, જેના આધારે બાકીની ધારણાઓ લેવામાં આવે છે.

એક વૈજ્ઞાનિક શબ્દાવલિ હોવી જોઈએ પ્રાથમિક ખ્યાલો, એટલે કે, જે અન્ય લોકો દ્વારા નક્કી કરી શકાતા નથી:

• દરેક શબ્દને સતત સમજાવીને અને તેના અર્થો સુયોજિત કરવાથી, વ્યક્તિ કોઈપણ વિજ્ઞાનના પાયા સુધી પહોંચે છે.
• આગળનું પગલું એ નિવેદનોના મૂળભૂત સમૂહને ઓળખવાનું છે જે સિદ્ધાંતના બાકીના નિવેદનોને સાબિત કરવા માટે પૂરતા હોવા જોઈએ. મૂળભૂત ધારણાઓ પોતાને ન્યાયી ઠેરવ્યા વિના સ્વીકારવામાં આવે છે.
• અંતિમ પગલું એ પ્રમેયનું નિર્માણ અને તાર્કિક વ્યુત્પત્તિ છે.

વિવિધ વિજ્ઞાનમાંથી અનુમાન

પુરાવા વિના અભિવ્યક્તિઓ માત્ર માં અસ્તિત્વમાં નથી ચોક્કસ વિજ્ઞાન, પણ સામાન્ય રીતે માનવતાવાદી તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે તેમાં પણ. એક આકર્ષક ઉદાહરણ- એક ફિલસૂફી જે સ્વયંસિદ્ધને એક નિવેદન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે વ્યવહારિક જ્ઞાન વિના જાણી શકાય છે.

માં સ્વયંસિદ્ધનું ઉદાહરણ છે કાનૂની વિજ્ઞાન: "તમે તમારી પોતાની ક્રિયાઓનો ન્યાય કરી શકતા નથી." આ નિવેદનના આધારે, ધોરણો તારવેલા છે નાગરિક કાયદો- ન્યાયિક કાર્યવાહીની નિષ્પક્ષતા, એટલે કે, ન્યાયાધીશ કેસને ધ્યાનમાં લઈ શકતા નથી જો તે પ્રત્યક્ષ અથવા પરોક્ષ રીતે તેમાં રસ ધરાવતા હોય.

બધું જ ગ્રાન્ટેડ નથી

સાચા સ્વયંસિદ્ધ અને વચ્ચેનો તફાવત સમજવા માટે સરળ અભિવ્યક્તિઓ, જે સાચા હોવાનું જાહેર કરવામાં આવ્યું છે, તેમના પ્રત્યેના વલણનું વિશ્લેષણ કરવું જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે ધર્મ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, જ્યાં દરેક વસ્તુ વિશ્વાસ પર લેવામાં આવે છે, ત્યાં સિદ્ધાંત વ્યાપક છે સંપૂર્ણ પ્રતીતિકે કંઈક સાચું છે કારણ કે તે સાબિત કરી શકાતું નથી. અને વૈજ્ઞાનિક સમુદાયમાં તેઓ કોઈપણ સ્થિતિને ચકાસવાની અશક્યતા વિશે વાત કરે છે, તે સ્વયંસિદ્ધ હશે. શંકા કરવાની અને બે વાર તપાસ કરવાની ઈચ્છા એ સાચા વૈજ્ઞાનિકને અલગ પાડે છે.

અક્ષીયશાસ્ત્રના ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો પ્લેનની ભૂમિતિ લઈએ. સરળતા ખાતર, અમે માત્ર સ્થિતિગત ભૂમિતિના સ્વયંસિદ્ધ (જે હિલ્બર્ટના "જ્યોમેટ્રીના પાયા"માં જોડાણ અને ક્રમના સ્વયંસિદ્ધ નામ હેઠળ આપવામાં આવ્યા છે) અને સમાંતરના સ્વયંસિદ્ધને ધ્યાનમાં લઈશું. તે જ સમયે, અમારા હેતુઓ માટે હિલ્બર્ટની સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલીમાંથી કંઈક અંશે વિચલિત થવું અનુકૂળ રહેશે: અમે બિંદુઓ અને રેખાઓથી બે બનાવતી વસ્તુઓ તરીકે શરૂ કરીશું નહીં. વિવિધ સિસ્ટમો, પરંતુ ચાલો વ્યક્તિગત તરીકે ફક્ત પોઈન્ટ્સ લઈએ. "બિંદુઓ અને y એક સીધી રેખા નક્કી કરે છે" સંબંધને બદલે, આપણી પાસે ત્રણ ગણો સંબંધ હશે: બિંદુઓ સમાન સીધી રેખા પર આવેલા છે," જેના માટે આપણે સંકેતનો ઉપયોગ કરીશું. આ સંબંધની સાથે, બીજા મુખ્ય સંબંધ તરીકે, આપણે ક્રમના સંબંધને લઈશું: જૂઠાણું કે જેની વચ્ચે આપણે આગળ નીકળીશું, તર્ક સાથે સંબંધિત ખ્યાલ તરીકે, આપણે આને દર્શાવવા માટે સમાનતાના સંબંધનો સામનો કરીશું સંબંધ, આપણે સામાન્ય સમાન ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીશું:

સ્વયંસિદ્ધના સાંકેતિક રેકોર્ડિંગ માટે, આપણને તાર્કિક ચિહ્નોની પણ જરૂર પડશે અને, સૌથી ઉપર, સાર્વત્રિકતા અને અસ્તિત્વને વ્યક્ત કરવા માટે ચિહ્નોની જરૂર પડશે; જો કોઈ વ્યક્તિગત x સાથે સંબંધિત કોઈ પૂર્વધારણા હોય, તો તેનો અર્થ એ થશે કે "તમામ x પાસે મિલકત છે , અને - "ત્યાં એક x છે જેની મિલકત છે. ચિહ્નને "સાર્વત્રિકતાનું પરિમાણ" અને "અસ્તિત્વનું પરિમાણ" કહેવામાં આવે છે. યુનિવર્સલ ક્વોન્ટિફાયર અને

અસ્તિત્વ સમાન રીતેવેરીએબલ x અને અન્ય કેટલાક વેરીએબલનો ઉલ્લેખ કરી શકે છે. એકીકરણ ચલએક અભિન્ન ચિન્હ દ્વારા જોડાયેલ છે, જેથી સમગ્ર વિધાન હવે આ ચલના કોઈપણ મૂલ્ય પર નિર્ભર રહેતું નથી.

આગામી તાર્કિક ચિહ્નો તરીકે, અમે વિધાનને સંયોજિત કરવા માટે નકારાત્મકતા અને ચિહ્નો ઉમેરીશું. નિવેદનને નકારવા માટે, અમે આ નિવેદનની પહેલાની નિશાનીનો ઉપયોગ કરીશું. 1 (x = y) ને બદલે, સંક્ષિપ્તતા માટે આપણે ચિહ્ન લખીશું & (“અને”), બે વિધાનો વચ્ચે ઊભા રહેવાનો અર્થ એ થશે કે આ બંને વિધાન સાચા છે (સંયોજન). બે વિધાનો વચ્ચે ઊભા રહેલા ચિહ્ન ("અથવા"ના અર્થમાં "વેલ")નો અર્થ એવો થશે કે આમાંથી ઓછામાં ઓછું એક વિધાન સાચું છે (વિસંવાદ).

બે નિવેદનો વચ્ચેની નિશાનીનો અર્થ એ થશે કે તેમાંના પ્રથમનું સત્ય બીજાના સત્યને સમાવિષ્ટ કરે છે અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ નિવેદનોમાંથી પ્રથમ વિધાન બીજા પણ સાચા (અર્થાર્થ) વિના સાચું ન હોઈ શકે. જે કહેવામાં આવ્યું છે તે મુજબ, બે વિધાનો 21 અને 95 ની સૂચિતાર્થ જો 21 સાચા અને ખોટા હોય તો જ ખોટા છે; અન્ય કિસ્સાઓમાં તે સાચું છે.

સાર્વત્રિક ક્વોન્ટિફાયર સાથે સંયોજનમાં સૂચિત ચિહ્ન સામાન્ય રીતે હકારાત્મક અનુમાનિત દરખાસ્તો દર્શાવે છે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્ર

x અને y વચ્ચેના કેટલાક સંબંધો ક્યાં અને છે, તે નીચેના વાક્યને રજૂ કરે છે: “વ્યક્તિઓની દરેક જોડી માટે જેમ કે તે પણ સાચું છે

તેમની પાસેથી સૂત્રો બાંધતી વખતે ઘટકોઅમે કૌંસ મૂકવાની સામાન્ય પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીશું. તેમને બચાવવા માટે, અમે સંમત થઈશું કે ચિહ્ન ચિહ્નો કરતાં વધુ મજબૂત રીતે વિભાજિત થાય છે, જે કરતાં વધુ મજબૂત રીતે વિભાજિત થાય છે, અને સાર્વત્રિકતા અને અસ્તિત્વના પરિમાણ કરતાં ચિહ્નો અને V વધુ મજબૂત રીતે વિભાજિત થાય છે. જ્યાં આનાથી ગેરસમજ ન થાય ત્યાં અમે કૌંસને છોડી દેવા માટે પણ સંમત થઈશું. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિને બદલે

જ્યાં x અને y વચ્ચેનો કોઈપણ સંબંધ સૂચવે છે, અમે ફક્ત લખીશું કારણ કે આ અભિવ્યક્તિ ફક્ત એક રીતે વાંચી શકાય છે: “દરેક x માટે એક y છે જેના માટે સંબંધ સાચો છે

હવે આપણે પહેલાથી જ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને વિચારણા હેઠળની સ્વયંસિદ્ધ સિસ્ટમ લખી શકીએ છીએ. વાંચવાની સરળતા માટે, સૌપ્રથમ આપણે સ્વાભાવિક ભાષાનો ઉપયોગ કરીને લખેલા તેમના સ્વરૂપો સાથે સ્વયંસિદ્ધિઓની સાથે કરીશું.

નીચે આપેલા સ્વયંસિદ્ધોનું જૂથોમાં વિભાજન હિલ્બર્ટના "ભૂમિતિના સિદ્ધાંતો" માં અપનાવવામાં આવેલા વિભાજનને તદ્દન અનુરૂપ નથી. તેથી, અમે હિલ્બર્ટ દ્વારા આપવામાં આવેલા સ્વયંસિદ્ધ સૂત્રોના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અહીં વ્યક્ત કરાયેલા સ્વયંસિદ્ધોના સંબંધ પર ભાષ્ય સાથે સ્વયંસિદ્ધોના દરેક જૂથને પ્રદાન કરીશું.

I. જોડાણ (એસેસરીઝ):

(હંમેશા એ જ સીધી રેખા પર સૂવું).

(જો પોઈન્ટ x, y, z એ જ લીટી પર આવેલા છે, તો પોઈન્ટ y, x, z અને પોઈન્ટ પણ એ જ લીટી પર આવેલા છે).

(જો x અને y અલગ-અલગ બિંદુઓ હોય અને જો x, y, z અને બિંદુ x, y, અને એક જ રેખા પર આવેલા હોય, તો x, z અને એ જ રેખા પર આવેલા હોય).

(ત્યાં પોઈન્ટ x, y, z છે જે સમાન લીટી પર આવેલા નથી).

Axioms 1) અને 2) બદલો - સીધી રેખાની વિભાવનાને નાબૂદને ધ્યાનમાં લેતા - Axiom I 1); axiom 3) axiom I 3 ના બીજા ભાગના સ્વયંસિદ્ધને અનુલક્ષે છે).

II. ક્રમના સ્વયંસિદ્ધ

(જો બિંદુઓ અલગ હોય, તો હંમેશા એક બિંદુ હોય છે જે y અને z વચ્ચે આવેલું હોય છે).

સ્વયંસિદ્ધ 1) અને 2), એકસાથે ગણવામાં આવે છે, હિલ્બર્ટના સ્વયંસિદ્ધ II 1 ના પ્રથમ ભાગની રચના કરે છે); 3) હિલ્બર્ટના સ્વયંસિદ્ધ II ના છેલ્લા ભાગનું જોડાણ છે 1) સ્વયંસિદ્ધ II 3 સાથે); 4) પ્લેન ક્રમ II 4) નું સ્વયંસિદ્ધ સ્વયંસિદ્ધ છે.

III. સમાંતર વિશે સ્વયંસિદ્ધ. આપણી ધરીની યાદીમાં એકાગ્રતા સ્વયંસિદ્ધ દેખાતા ન હોવાથી, આપણે નીચે આપેલા વિસ્તૃત ફોર્મ્યુલેશનમાં અહીં સમાંતર સ્વયંસિદ્ધ રજૂ કરવું પડશે: કોઈપણ રેખા અને તેની બહાર પડેલા બિંદુ માટે, આ બિંદુમાંથી પસાર થતી એક અને માત્ર એક જ રેખા છે અને મૂળને સીધું છેદતું નથી.

આ સ્વયંસિદ્ધની સાંકેતિક રચનાને સરળ બનાવવા માટે, અમે સંક્ષેપ: પ્રતીક રજૂ કરીએ છીએ

"સ્ટીરીઓમેટ્રીના ફંડામેન્ટલ્સ" - પ્લેન પર અવકાશી આકૃતિઓની છબી. ઓક્ટાહેડ્રોન. અવકાશમાં સીધી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો. સમવર્તી એન્જિનિયરિંગ. પિરામિડ. સમાંતર અંદાજો સપાટ આંકડા. ડોડેકેહેડ્રોન. બોલનું પ્રમાણ. સમાંતર વિમાનોના ચિહ્નો. અવકાશમાં સીધી રેખાઓ અને વિમાનો વચ્ચેના ખૂણા. પાયથાગોરસ. સ્ટીરિયોમેટ્રીના મૂળભૂત આંકડા.

"અવકાશમાં વિમાનો" - ગુણાંક B=C=D=0. અવકાશમાં સીધી રેખાના સમીકરણો. 1. સામાન્ય સમીકરણસીધા 2. પ્લેનનું સામાન્ય સમીકરણ. ગુણાંક A, B, Cસમીકરણ સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરે છે: આપેલ છે: પ્લેનનું બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટર સમીકરણ: વિમાનોનું સંકલન કરો. 3. સમાંતર રેખાઓ માટેની સ્થિતિ. 4. રેખાઓની લંબરૂપતાની સ્થિતિ.

"વિમાન પર અવકાશી આકૃતિઓ" - પ્રોજેક્શન પદ્ધતિ. કેન્દ્ર પ્રક્ષેપણ. સમાંતર અને છેદતી રેખાઓમાં સામાન્ય બિંદુઓ હોતા નથી. કાર્યો. શેડો પ્લે. બે વિમાનો બે સમાંતર રેખાઓ દ્વારા છેદે છે. ગેરાર્ડ દેસર્ગ્યુસ. સમાંતર પ્રક્ષેપણ. એક્સોનોમેટ્રિક પ્રક્ષેપણ. સીધી રેખાઓ અને પ્લેનનો ગુણધર્મ એકબીજા સાથે કોણ બનાવે છે.

"સ્ટીરીઓમેટ્રીનો પરિચય" - સ્ટીરીઓમેટ્રી -. આંકડા. મેગેઝિન "ક્વાન્ટ". શરીરો. ચાલો 6 મેચો લઈએ. શાળા ભૂમિતિ. ભારતીયોના ફરતા રહેઠાણને ટીપીસ કહેવામાં આવે છે. ભૌમિતિક જ્ઞાનલાગુ કરવામાં આવ્યા હતા. ક્રોસવર્ડ. અંકગણિત. વિમાન. ચાલો તેને ચોરસની ભાષામાં અનુવાદિત કરીએ. પ્લાનિમેટ્રી. પાઠનો સારાંશ. ભૌમિતિક જ્ઞાન મદદ કરે છે.

"ભૂમિતિના સ્વયંસિદ્ધ" - તમે આપેલ લંબાઈના એક સેગમેન્ટ અને માત્ર એકને પ્લોટ કરી શકો છો. ટપકાં. વિવિધ વિમાનો છે સામાન્ય બિંદુ. વ્યવહારુ કામ. ટેસ્ટના જવાબો. દરેક સેગમેન્ટની ચોક્કસ લંબાઈ હોય છે. બે વિવિધ વિમાનોએક સામાન્ય મુદ્દો છે. તમે પ્લેન પર વધુમાં વધુ એક સીધી રેખા દોરી શકો છો. થી કોઈપણ અર્ધ-લાઇન પર પ્રારંભિક બિંદુતમે ખૂણાને બાજુ પર મૂકી શકો છો.

"સ્ટીરીઓમેટ્રીનો વિષય" - પેન્ટાગ્રામ. બ્રહ્માંડ. સ્ટીરિયોમેટ્રીની મૂળભૂત વિભાવનાઓ. ઈતિહાસમાંથી. યુક્લિડ. સ્ટીરીઓમેટ્રી. શું તમને પાયથાગોરિયન પ્રમેય યાદ છે? દિશાઓ. પાયથાગોરિયન પ્રમેય. વિઝ્યુઅલ રજૂઆતો. સ્ટીરિયોમેટ્રીના સ્વયંસિદ્ધ અવ્યાખ્યાયિત ખ્યાલો. નિયમિત પોલિહેડ્રા. ભૂમિતિ. સ્ટીરીઓમેટ્રી વિજ્ઞાન ખ્યાલ. અદ્રશ્ય બાજુ.

વિષયમાં કુલ 15 પ્રસ્તુતિઓ છે

મહત્વપૂર્ણ નોંધો!
1. જો તમને સૂત્રોને બદલે ગોબ્લેડીગુક દેખાય, તો તમારી કેશ સાફ કરો. તમારા બ્રાઉઝરમાં આ કેવી રીતે કરવું તે અહીં લખ્યું છે:
2. તમે લેખ વાંચવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, સૌથી વધુ માટે અમારા નેવિગેટર પર ધ્યાન આપો ઉપયોગી સંસાધનમાટે

1. પ્લાનિમેટ્રીની મૂળભૂત વિભાવનાઓ

શા માટે બધું ચિત્રોમાં અને શબ્દો વિના છે? શું શબ્દોની જરૂર છે? મને લાગે છે કે શરૂઆતમાં તેઓ ખૂબ જરૂરી નથી. ખરેખર, ગણિતશાસ્ત્રીઓ, અલબત્ત, બધું જ શબ્દોમાં કેવી રીતે વર્ણવવું તે જાણે છે, અને તમે નીચેના સ્તરના સિદ્ધાંતમાં આવા વર્ણનો શોધી શકો છો, પરંતુ હવે ચાલો ચિત્રો સાથે ચાલુ રાખીએ.

બીજું શું? ઓહ હા, આપણે સેગમેન્ટ્સ અને એન્ગલ કેવી રીતે માપવા તે શીખવાની જરૂર છે.

દરેક સેગમેન્ટની લંબાઈ હોય છે - એક નંબર કે જેને આ સેગમેન્ટ (કોઈ કારણોસર...) સોંપવામાં આવ્યો હતો. લંબાઈ સામાન્ય રીતે માપવામાં આવે છે ... એક શાસક સાથે, અલબત્ત, સેન્ટિમીટર, મિલીમીટર, મીટર અને કિલોમીટરમાં પણ.

અને હવે ખૂણા માપવા. કેટલાક કારણોસર, ખૂણા સામાન્ય રીતે ડિગ્રીમાં માપવામાં આવે છે. શા માટે? તે માટે કંઈક છે ઐતિહાસિક કારણો, પરંતુ અમે હવે ઇતિહાસ સાથે વ્યવહાર કરી રહ્યા નથી. તેથી, અમારે ફક્ત નીચે આપેલા કરારને ગ્રાન્ટેડ લેવો પડશે.

ડિગ્રીના વિકસિત કોણમાં.

સંક્ષિપ્તતા માટે તેઓ લખે છે: . આ કિસ્સામાં, અલબત્ત, અન્ય તમામ ખૂણાઓની તીવ્રતા શોધી શકાય છે જો તમે શોધી કાઢો કે ખુલેલા કોણનો ભાગ કયો છે. આપેલ કોણ. ખૂણા માપવાના સાધનને પ્રોટ્રેક્ટર કહેવામાં આવે છે. મને લાગે છે કે તમે તેને તમારા જીવનમાં એક કરતા વધુ વાર જોયો હશે.

2. ખૂણા વિશે બે મૂળભૂત હકીકતો

I. સંલગ્ન ખૂણા ઉમેરે છે.

આ સંપૂર્ણપણે કુદરતી છે, તે નથી? છેવટે, અડીને આવેલા ખૂણાઓ એકસાથે વિપરીત કોણ બનાવે છે!

II. વર્ટિકલ કોણ સમાન છે.

શા માટે? અને જુઓ:

હવે શું? ઠીક છે, અલબત્ત, તે તેને અનુસરે છે. (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ સમાનતામાંથી બીજાને બાદ કરવા માટે તે પૂરતું છે. પરંતુ હકીકતમાં, તમે ફક્ત ચિત્રને જોઈ શકો છો).

કાટકોણનું કદ કેટલું છે?

સારું, અલબત્ત,! અંતમાં.

4. તીવ્ર અને સ્થૂળ કોણ.

પ્રારંભ કરવા માટે તમારે ફક્ત એટલું જ જાણવાની જરૂર છે. આપણે સ્વયંસિદ્ધ વિશે એક શબ્દ કેમ ન કહ્યું?

Axioms એ પ્લેનિમેટ્રીના મૂળભૂત પદાર્થો સાથેની ક્રિયાના નિયમો છે, જે બિંદુઓ અને રેખાઓ વિશેના પ્રથમ નિવેદનો છે. આ નિવેદનોને આધાર તરીકે લેવામાં આવ્યા છે, સાબિત નથી.

શા માટે આપણે હજી પણ તેમની રચના અને ચર્ચા કરતા નથી? તમે જુઓ, પ્લાનિમેટ્રીના સ્વયંસિદ્ધ, એક અર્થમાં, સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ સંબંધોને બદલે લાંબા સમય સુધી વર્ણવે છે ગાણિતિક ભાષા. જ્યારે તમને આદત પડી જાય છે, ત્યારે થોડા સમય પછી, axiomatics ની સ્પષ્ટ સમજ જરૂરી છે ભૌમિતિક ખ્યાલોસામાન્ય જ્ઞાનના સ્તરે. પછી - સ્વાગત છે - ત્યાં સ્વયંસિદ્ધની એક સુંદર વિગતવાર ચર્ચા છે. તે દરમિયાન, યુક્લિડના સમય પહેલા, ખૂબ જ પ્રાચીન ગ્રીકોની જેમ કાર્ય કરવાનો પ્રયાસ કરો - ફક્ત તેનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ હલ કરો સામાન્ય અર્થમાં. હું તમને ખાતરી આપું છું, તમારા માટે ઘણા કાર્યો શક્ય બનશે!

સરેરાશ સ્તર

કલ્પના કરો કે તમે અચાનક તમારી જાતને બીજા ગ્રહ પર શોધી શકો છો, અથવા... કમ્પ્યુટર ગેમમાં.

તમારી સામે અજાણ્યા ઉત્પાદનોનો સમૂહ છે, અને તમારું કાર્ય આ સમૂહમાંથી શક્ય તેટલી સ્વાદિષ્ટ વાનગીઓ તૈયાર કરવાનું છે. તમને શું જરૂર પડશે? અલબત્ત, નિયમો, સૂચનાઓ - ચોક્કસ ઉત્પાદનો સાથે શું કરી શકાય છે. જો તમે અચાનક એવી વસ્તુ રાંધો કે જે ફક્ત કાચી જ ખાવામાં આવે છે અથવા, તેનાથી વિપરિત, કચુંબરમાં એવી વસ્તુ મૂકો કે જેને ચોક્કસપણે બાફેલી અથવા તળવાની જરૂર છે? તેથી, સૂચનાઓ વિના - ક્યાંય!

ઠીક છે, પણ આવો પરિચય કેમ? ભૂમિતિને તેની સાથે શું લેવાદેવા છે? તમે જુઓ, ભૂમિતિમાં તમામ પ્રકારની આકૃતિઓ વિશે ઘણાં બધાં નિવેદનો એ ઘણી બધી "વાનગીઓ" છે જેને આપણે રાંધવાનું શીખવું જોઈએ. પણ શેનાથી? ભૂમિતિના મૂળ પદાર્થોમાંથી! પરંતુ તેમના "ઉપયોગ" માટેની સૂચનાઓ કહેવામાં આવે છે હોંશિયાર શબ્દો સાથે "સિદ્ધાંતની સિસ્ટમ".

તેથી, ધ્યાન આપો!

બેઝિક ઑબ્જેક્ટ્સ અને પ્લેનિમેટ્રીના સ્વયંસિદ્ધ.

બિંદુ અને રેખા

આ પ્લાનિમેટ્રીની સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિભાવનાઓ છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહે છે કે આ "અનિશ્ચિત ખ્યાલો" છે. કેવી રીતે? પરંતુ તેથી, તમારે ક્યાંકથી શરૂ કરવું પડશે.

હવે બિંદુઓ અને રેખાઓ સંભાળવા માટેના પ્રથમ નિયમો. ગણિતના આ નિયમો કહેવાય છે "સિદ્ધાંત"- નિવેદનો કે જે એક આધાર તરીકે લેવામાં આવે છે, જેમાંથી પછી મૂળભૂત બધું અનુમાનિત કરવામાં આવશે (યાદ રાખો કે અમારી પાસે ભૂમિતિને "રસોઈ" કરવાનું એક મોટું રાંધણ મિશન છે?). તેથી, સ્વયંસિદ્ધની પ્રથમ શ્રેણી કહેવામાં આવે છે

I. સંબંધના સ્વયંસિદ્ધ.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો, આ સ્વયંસિદ્ધ તમને આના જેવું દોરવાની મંજૂરી આપે છે:

આની જેમ: ત્યાં બે મુદ્દા હતા:

અને પછી એક સીધી રેખા મળી:

પરંતુ બીજું નથી કરતું!

જો આ બધું તમને ખૂબ જ સ્પષ્ટ લાગતું હોય, તો યાદ રાખો કે તમે બીજા ગ્રહ પર છો અને અત્યાર સુધી તમને વસ્તુઓ સાથે શું કરવું તે વિશે બિલકુલ ખ્યાલ નહોતો. "બિંદુ"અને "સીધુ".

રે, સેગમેન્ટ, કોણ.

હવે આપણે લીટીઓ પર પોઈન્ટ મૂકવાનું અને પોઈન્ટ દ્વારા લીટીઓ દોરવાનું શીખી લીધું છે, તેથી આપણે પહેલાથી જ પ્રથમ સરળ “વાનગીઓ” તૈયાર કરી શકીએ છીએ -, રેખાખંડ,ખૂણો

1) બીમ

અહીં તે છે,

2) કાપો

હવે ચાલો વસ્તુઓને ક્રમમાં મૂકીએ. સ્વયંસિદ્ધની આગળની શ્રેણી કહેવામાં આવે છે:

II. ક્રમના સ્વયંસિદ્ધ.

હવે - આગલું સ્તર. અમને સૂચનાઓની જરૂર છે માપવિભાગો અને ખૂણા. આ સ્વયંસિદ્ધ કહેવામાં આવે છે

III. સેગમેન્ટ્સ અને ખૂણાઓ માટેના માપના સ્વયંસિદ્ધ.

અને હવે તે સંપૂર્ણપણે વિચિત્ર છે.

IV. આપેલ એક સમાન ત્રિકોણના અસ્તિત્વ માટે સ્વયંસિદ્ધ.

આ સ્વયંસિદ્ધની બે કોરોલરીઓ સ્પષ્ટ છે:

સારું, છેલ્લું એક સુપ્રસિદ્ધ છે સમાંતર સ્વયંસિદ્ધ!

પરંતુ પ્રથમ વ્યાખ્યા:

V. સમાંતરનો સ્વયંસિદ્ધ.

ઠીક છે, તે સમાપ્ત થઈ ગયું છે પ્લાનિમેટ્રીના સ્વયંસિદ્ધ! શું તેમાંના ઘણા બધા છે? પરંતુ કલ્પના કરો, તેઓ બધા જરૂરી છે. તેમાંના દરેક માટે એક ઘડાયેલું, ઘડાયેલું તર્ક છે, જે બતાવે છે કે જો આ સ્વયંસિદ્ધ દૂર કરવામાં આવે, તો ભૂમિતિની આખી ઇમારત તૂટી જશે! સારું, અથવા કંઈક એવું રહેશે જે આપણે જે ટેવાયેલા છીએ તેનાથી સંપૂર્ણપણે અલગ છે.

હવે, ખૂણા વિશે બે મૂળભૂત હકીકતો!

અડીને અને ઊભી કોણ.

કોણ બનાવે છે તે કિરણોને કોણની બાજુઓ કહેવામાં આવે છે, અને તેમના સામાન્ય શરૂઆત- ટોચ

આ સંપૂર્ણપણે છે સરળ પ્રમેય, સત્ય?

અંતમાં સામાન્ય બાજુ અડીને ખૂણાસરળ રીતે સીધા ખૂણાને બે ખૂણામાં વિભાજિત કરે છે અને તેથી (ધ્યાન: Axiom 3.2 કામ કરે છે!)અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો એ ખુલેલા ખૂણાના કદ જેટલો છે, એટલે કે.

વર્ણન કરવા કરતાં દોરવાનું સરળ છે - ચિત્ર જુઓ.

આ પણ એક સરળ પ્રમેય છે. ખાત્રિ કર:

તીવ્ર અને સ્થૂળ કોણ.

સંક્ષિપ્ત વર્ણન અને મૂળભૂત સૂત્રો

સંબંધના સિદ્ધાંતો:

• સ્વયંસિદ્ધ 1. રેખા ગમે તે હોય, ત્યાં એવા બિંદુઓ છે જે આ રેખાના છે અને બિંદુઓ છે જે તેની સાથે જોડાયેલા નથી.
• Axiom 2. કોઈપણ બે બિંદુઓ દ્વારા તમે સીધી રેખા દોરી શકો છો, અને માત્ર એક.

ક્રમના સિદ્ધાંતો:

• Axiom 3. રેખા પરના ત્રણ બિંદુઓમાંથી, એક અને માત્ર એક જ અન્ય બે વચ્ચે આવેલું છે.
• Axiom 4. પ્લેનમાં પડેલી સીધી રેખા આ પ્લેનને બે અર્ધ-પ્લેનમાં વિભાજિત કરે છે. જો સેગમેન્ટના છેડા સમાન અર્ધ-વિમાનના હોય, તો સેગમેન્ટ રેખાને છેદે નહીં. જો સેગમેન્ટના છેડા જુદા જુદા અર્ધ-વિમાનોના છે, તો સેગમેન્ટ એક રેખાને છેદે છે.

સેગમેન્ટ્સ અને એંગલ માટેનાં પગલાંનાં સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો:

• Axiom 5. દરેક સેગમેન્ટની ચોક્કસ લંબાઈ હોય છે, જે શૂન્ય કરતા વધારે હોય છે. સેગમેન્ટની લંબાઈ તે ભાગોની લંબાઈના સરવાળા જેટલી હોય છે જેમાં તેને તેના કોઈપણ બિંદુઓ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
• Axiom 6. દરેક ખૂણો ચોક્કસ ડિગ્રી માપ ધરાવે છે, શૂન્ય કરતાં વધારે. સીધો કોણ સમાન છે. કોણનું ડિગ્રી માપ સરવાળો જેટલું છે ડિગ્રી માપદંડખૂણા કે જેમાં તે તેની બાજુઓ વચ્ચે પસાર થતા કોઈપણ કિરણ દ્વારા વિભાજિત થાય છે.

આપેલ એક સમાન ત્રિકોણના અસ્તિત્વ માટેના સિદ્ધાંતો:

સમાંતર સ્વયંસિદ્ધ:

• Axiom 8. પ્લેન પર, આપેલ રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, તમે આપેલ રેખાની સમાંતર વધુમાં વધુ એક સીધી રેખા દોરી શકો છો.

ખૂણા વિશે મૂળભૂત હકીકતો:

• પ્રમેય.

અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો સમાન છે.

બસ, વિષય પૂરો થયો. જો તમે આ લાઈનો વાંચી રહ્યા છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તમે ખૂબ જ શાનદાર છો.

કારણ કે માત્ર 5% લોકો જ પોતાના પર કંઈક માસ્ટર કરવામાં સક્ષમ છે. અને જો તમે અંત સુધી વાંચો છો, તો તમે આ 5% માં છો!

હવે સૌથી મહત્વની વાત.

તમે આ વિષય પરનો સિદ્ધાંત સમજી ગયા છો. અને, હું પુનરાવર્તન કરું છું, આ... આ માત્ર સુપર છે! તમે તમારા મોટા ભાગના સાથીદારો કરતા પહેલાથી જ સારા છો.

સમસ્યા એ છે કે આ પૂરતું નથી...

શેના માટે? માટેસફળ સમાપ્તિ

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા, બજેટમાં કૉલેજમાં પ્રવેશ માટે અને, સૌથી મહત્વપૂર્ણ, જીવન માટે.

હું તમને કંઈપણ સમજાવીશ નહીં, હું ફક્ત એક વાત કહીશ ... જે લોકો પ્રાપ્ત થયા હતાસારું શિક્ષણ

, જેમણે તે પ્રાપ્ત કર્યું નથી તેના કરતા ઘણું વધારે કમાઓ. આ આંકડા છે.

પરંતુ આ મુખ્ય વસ્તુ નથી. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વધુ ખુશ છે (ત્યાં આવા અભ્યાસો છે). કદાચ કારણ કે તેમની આગળ ઘણું બધું ખુલ્લું છેવધુ શક્યતાઓ

અને જીવન તેજસ્વી બને છે? ખબર નથી...

પણ તમારા માટે વિચારો ...

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં અન્ય કરતા વધુ સારા બનવા માટે અને આખરે... વધુ ખુશ થવા માટે શું જરૂરી છે?

આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરીને તમારો હાથ મેળવો.

પરીક્ષા દરમિયાન તમને થિયરી માટે પૂછવામાં આવશે નહીં. તમને જરૂર પડશે.

સમય સામે સમસ્યાઓ ઉકેલો

અને, જો તમે તેમને ઉકેલ્યા નથી (ઘણું!), તો તમે ચોક્કસપણે ક્યાંક મૂર્ખ ભૂલ કરશો અથવા તમારી પાસે સમય નહીં હોય.

તે રમતગમતની જેમ છે - ખાતરી માટે જીતવા માટે તમારે તેને ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે. તમે ઇચ્છો ત્યાં સંગ્રહ શોધો, આવશ્યકપણે ઉકેલો સાથે, વિગતવાર વિશ્લેષણ

અને નક્કી કરો, નક્કી કરો, નક્કી કરો!

અમારા કાર્યોનો વધુ સારી રીતે ઉપયોગ કરવા માટે, તમે હાલમાં વાંચી રહ્યાં છો તે YouClever પાઠ્યપુસ્તકનું આયુષ્ય વધારવામાં મદદ કરવાની જરૂર છે.

કેવી રીતે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

1. આ લેખમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોને અનલૉક કરો -
2. પાઠ્યપુસ્તકના તમામ 99 લેખોમાં તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસને અનલૉક કરો - પાઠ્યપુસ્તક ખરીદો - 499 RUR

હા, અમારી પાઠ્યપુસ્તકમાં આવા 99 લેખો છે અને તમામ કાર્યોની ઍક્સેસ છે અને તેમાં છુપાયેલા તમામ પાઠો તરત જ ખોલી શકાય છે.

સાઇટના સમગ્ર જીવન માટે તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

નિષ્કર્ષમાં...

જો તમને અમારા કાર્યો પસંદ નથી, તો અન્યને શોધો. ફક્ત સિદ્ધાંત પર અટકશો નહીં.

"સમજ્યું" અને "હું હલ કરી શકું છું" એ સંપૂર્ણપણે અલગ કુશળતા છે. તમારે બંનેની જરૂર છે.

સમસ્યાઓ શોધો અને તેમને હલ કરો!