સંકલન અક્ષો પર વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ કેવી રીતે નક્કી થાય છે? વેક્ટર અને તેમના મૂળભૂત ગુણધર્મો પર રેખીય કામગીરી

બે વેક્ટરને અવકાશમાં આપવા દો. ચાલો મનસ્વી મુદ્દાથી મુલતવી રાખીએ ઓવેક્ટર અને . કોણવેક્ટર વચ્ચેના ખૂણાને સૌથી નાનો કહેવામાં આવે છે. નિયુક્ત .

ધરીનો વિચાર કરો lઅને તેના પર એક એકમ વેક્ટર (એટલે કે, એક વેક્ટર જેની લંબાઈ એક સમાન છે) બનાવો.

વેક્ટર અને ધરી વચ્ચેના ખૂણા પર lવેક્ટર અને વચ્ચેનો કોણ સમજો.

તો ચાલો lઅમુક ધરી છે અને વેક્ટર છે.

ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ એ 1અને બી 1ધરી પર અંદાજો lઅનુક્રમે પોઈન્ટ એઅને બી. ચાલો માની લઈએ કે એ 1સંકલન ધરાવે છે x 1, એ બી 1- સંકલન x 2ધરી પર l.

પછી પ્રક્ષેપણઅક્ષ દીઠ વેક્ટર lતફાવત કહેવાય છે x 1 – x 2આ અક્ષ પર વેક્ટરના અંત અને શરૂઆતના અંદાજોના કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચે.

ધરી પર વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ lઅમે સૂચવીશું.

તે સ્પષ્ટ છે કે જો વેક્ટર અને ધરી વચ્ચેનો કોણ lપછી મસાલેદાર x 2> x 1, અને પ્રક્ષેપણ x 2 – x 1> 0; જો આ કોણ અસ્પષ્ટ છે, તો પછી x 2< x 1અને પ્રક્ષેપણ x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, તે x 2= x 1અને x 2– x 1=0.

આમ, ધરી પર વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ lસેગમેન્ટની લંબાઈ છે A 1 B 1, ચોક્કસ ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે. તેથી, ધરી પર વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ એ સંખ્યા અથવા સ્કેલર છે.

એક વેક્ટરનું બીજા પર પ્રક્ષેપણ એ જ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, આ વેક્ટરના છેડાના અંદાજો જે રેખા પર 2 જી વેક્ટર આવેલું છે તે જોવા મળે છે.

ચાલો કેટલાક મૂળભૂત જોઈએ અંદાજોના ગુણધર્મો.

લીનિયરલી ડિપેન્ડન્ટ અને રેખીય રીતે સ્વતંત્ર વેક્ટર સિસ્ટમ્સ

ચાલો કેટલાક વેક્ટરને ધ્યાનમાં લઈએ.

રેખીય સંયોજનઆ વેક્ટર્સમાંથી ફોર્મનું કોઈપણ વેક્ટર છે, જ્યાં કેટલીક સંખ્યાઓ છે. સંખ્યાઓને રેખીય સંયોજન ગુણાંક કહેવામાં આવે છે. તેઓ એમ પણ કહે છે કે આ કિસ્સામાં તે આ વેક્ટર દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે, એટલે કે. રેખીય ક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને તેમની પાસેથી મેળવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો ત્રણ વેક્ટર આપવામાં આવે, તો નીચેના વેક્ટર્સને તેમના રેખીય સંયોજન તરીકે ગણી શકાય:

જો કોઈ વેક્ટરને કેટલાક વેક્ટરના રેખીય સંયોજન તરીકે દર્શાવવામાં આવે, તો તે કહેવાય છે બહાર નાખ્યોઆ વેક્ટર સાથે.

વેક્ટર કહેવામાં આવે છે રેખીય રીતે નિર્ભર, જો ત્યાં સંખ્યાઓ હોય, તો બધા શૂન્ય સમાન નથી, જેમ કે . તે સ્પષ્ટ છે કે આપેલ વેક્ટર્સ રેખીય રીતે આધારિત હશે જો આમાંના કોઈપણ વેક્ટરને અન્યની દ્રષ્ટિએ રેખીય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે.

નહિંતર, એટલે કે. જ્યારે ગુણોત્તર ત્યારે જ કરવામાં આવે છે , આ વેક્ટર કહેવાય છે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર.

પ્રમેય 1.કોઈપણ બે વેક્ટર રેખીય રીતે નિર્ભર હોય છે જો અને માત્ર જો તેઓ સમરેખા હોય.

પુરાવો:

નીચેની પ્રમેય સમાન રીતે સાબિત થઈ શકે છે.

પ્રમેય 2.ત્રણ વેક્ટર રેખીય રીતે આધાર રાખે છે જો અને માત્ર જો તેઓ કોપ્લાનર હોય.

પુરાવો.

આધાર

આધારરેખીય રીતે બિન-શૂન્યનો સંગ્રહ છે સ્વતંત્ર વેક્ટર. અમે આધારના ઘટકોને દ્વારા સૂચિત કરીશું.

પાછલા ફકરામાં, આપણે જોયું કે પ્લેન પરના બે નોન-લાઇનર વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. તેથી, અગાઉના ફકરાના પ્રમેય 1 મુજબ, પ્લેન પરનો આધાર એ આ પ્લેન પરના કોઈપણ બે નોન-કોલિનિયર વેક્ટર છે.

એ જ રીતે, કોઈપણ ત્રણ નોન-કોપ્લાનર વેક્ટર અવકાશમાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. પરિણામે, આપણે ત્રણ નોન-કોપ્લાનર વેક્ટરને અવકાશમાં આધાર તરીકે ઓળખીએ છીએ.

નીચેનું વિધાન સાચું છે.

પ્રમેય.અવકાશમાં આધાર આપવા દો. પછી કોઈપણ વેક્ટરને રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે , ક્યાં x, y, z- કેટલીક સંખ્યાઓ. આ એકમાત્ર વિઘટન છે.

પુરાવો.

આમ, આધાર દરેક વેક્ટરને સંખ્યાના ત્રણ ગણા સાથે અનન્ય રીતે સંકળાયેલા રહેવાની મંજૂરી આપે છે - આધાર વેક્ટરમાં આ વેક્ટરના વિસ્તરણના ગુણાંક: . વાતચીત પણ સાચી છે, દરેક ત્રણ સંખ્યાઓ માટે x, y, zઆધારનો ઉપયોગ કરીને, જો તમે રેખીય સંયોજન કરો છો તો તમે વેક્ટરની તુલના કરી શકો છો .

જો આધાર અને , પછી નંબરો x, y, zકહેવાય છે સંકલનઆપેલ ધોરણે વેક્ટર. વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ

અવકાશમાં એક બિંદુ આપવા દો ઓઅને ત્રણ નોન-કોપ્લાનર વેક્ટર.

કાર્ટેશિયન સિસ્ટમસંકલનઅવકાશમાં (વિમાન પર) એ બિંદુ અને આધારનો સંગ્રહ છે, એટલે કે. એક બિંદુનો સમૂહ અને ત્રણ નોન-કોપ્લાનર વેક્ટર (2 નોન-કોલિનિયર વેક્ટર) આ બિંદુમાંથી નીકળે છે.

ડોટ ઓમૂળ કહેવાય છે; બેઝિસ વેક્ટરની દિશામાં કોઓર્ડિનેટના મૂળમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓને કોઓર્ડિનેટ અક્ષ કહેવામાં આવે છે - એબ્સીસા, ઓર્ડિનેટ અને એપ્લિકેટ એક્સિસ. સંકલન અક્ષોમાંથી પસાર થતા વિમાનોને કોઓર્ડિનેટ પ્લેન કહેવામાં આવે છે.

ચાલો પસંદ કરેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વિચાર કરીએ મનસ્વી બિંદુ એમ. ચાલો બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સનો ખ્યાલ રજૂ કરીએ એમ. મૂળને બિંદુ સાથે જોડતો વેક્ટર એમ. કહેવાય છે ત્રિજ્યા વેક્ટરપોઈન્ટ એમ.

પસંદ કરેલા આધારમાં વેક્ટર સંખ્યાના ત્રણ ગણા સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે - તેના કોઓર્ડિનેટ્સ: .

બિંદુના ત્રિજ્યા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ એમ. કહેવાય છે બિંદુ M ના કોઓર્ડિનેટ્સ. વિચારણા હેઠળ સંકલન સિસ્ટમમાં. M(x,y,z). પ્રથમ કોઓર્ડિનેટને એબ્સીસા કહેવાય છે, બીજાને ઓર્ડિનેટ કહેવાય છે અને ત્રીજાને એપ્લીકેટ કહેવાય છે.

એ જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સપ્લેનમાં. અહીં બિંદુ માત્ર બે કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે - abscissa અને ordinate.

તે જોવાનું સરળ છે કે જ્યારે આપેલ સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ, દરેક બિંદુ ચોક્કસ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. બીજી બાજુ, સંખ્યાઓના દરેક ત્રિવિધ માટે એક અનન્ય બિંદુ છે જેમાં આ સંખ્યાઓ કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે છે.

જો પસંદ કરેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં આધાર તરીકે લેવામાં આવેલા વેક્ટરની એકમ લંબાઈ હોય અને તે જોડીમાં લંબરૂપ હોય, તો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે. કાર્ટેશિયન લંબચોરસ.

તે બતાવવાનું સરળ છે.

વેક્ટરની દિશા કોસાઇન્સ તેની દિશા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત કરે છે, પરંતુ તેની લંબાઈ વિશે કશું કહેતા નથી.

અને અક્ષ અથવા કોઈ અન્ય વેક્ટર પર તેના ભૌમિતિક પ્રક્ષેપણ અને સંખ્યાત્મક (અથવા બીજગણિતીય) પ્રક્ષેપણની વિભાવનાઓ છે. ભૌમિતિક પ્રક્ષેપણનું પરિણામ વેક્ટર હશે, અને બીજગણિત પ્રક્ષેપણનું પરિણામ બિન-નકારાત્મક હશે વાસ્તવિક સંખ્યા. પરંતુ આપણે આ વિભાવનાઓ તરફ આગળ વધીએ તે પહેલાં, ચાલો યાદ કરીએ જરૂરી માહિતી.

પ્રાથમિક માહિતી

મુખ્ય ખ્યાલ એ વેક્ટરનો ખ્યાલ છે. ભૌમિતિક વેક્ટરની વ્યાખ્યા રજૂ કરવા માટે, ચાલો યાદ કરીએ કે સેગમેન્ટ શું છે. ચાલો નીચેની વ્યાખ્યા રજૂ કરીએ.

વ્યાખ્યા 1

સેગમેન્ટ એ સીધી રેખાનો એક ભાગ છે જે બિંદુઓના સ્વરૂપમાં બે સીમાઓ ધરાવે છે.

એક સેગમેન્ટમાં 2 દિશાઓ હોઈ શકે છે. દિશા દર્શાવવા માટે, આપણે સેગમેન્ટની સીમાઓમાંથી એકને તેની શરૂઆત અને બીજી સીમાને તેનો અંત કહીશું. દિશા તેની શરૂઆતથી સેગમેન્ટના અંત સુધી દર્શાવેલ છે.

વ્યાખ્યા 2

વેક્ટર અથવા નિર્દેશિત સેગમેન્ટ એ એક સેગમેન્ટ હશે જેના માટે તે જાણીતું છે કે સેગમેન્ટની કઈ સીમાઓને શરૂઆત માનવામાં આવે છે અને તેનો અંત કયો છે.

હોદ્દો: બે અક્ષરોમાં: $\overline(AB)$ – (જ્યાં $A$ તેની શરૂઆત છે, અને $B$ તેનો અંત છે).

એક નાના અક્ષરમાં: $\overline(a)$ (ફિગ. 1).

ચાલો વેક્ટરની વિભાવના સાથે સંબંધિત થોડા વધુ ખ્યાલો રજૂ કરીએ.

વ્યાખ્યા 3

અમે બે બિન-શૂન્ય વેક્ટરને સમકક્ષ કહીશું જો તેઓ સમાન રેખા પર અથવા એકબીજાની સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા હોય (ફિગ. 2).

વ્યાખ્યા 4

અમે બે બિન-શૂન્ય વેક્ટર્સને સહનિર્દેશક કહીશું જો તેઓ બે શરતોને સંતોષે છે:

આ વેક્ટર કોલિનિયર છે.
જો તેઓ એક દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે (ફિગ. 3).

નોટેશન: $\overline(a)\overline(b)$

વ્યાખ્યા 5

અમે બે બિન-શૂન્ય વેક્ટરને વિરુદ્ધ નિર્દેશિત કહીશું જો તેઓ બે શરતોને સંતોષે છે:

આ વેક્ટર કોલિનિયર છે.
જો તેઓને નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે વિવિધ બાજુઓ(ફિગ. 4).

નોટેશન: $\overline(a)↓\overline(d)$

વ્યાખ્યા 6

વેક્ટર $\overline(a)$ ની લંબાઈ $a$ સેગમેન્ટની લંબાઈ હશે.

નોટેશન: $|\overline(a)|$

ચાલો બે વેક્ટરની સમાનતા નક્કી કરવા આગળ વધીએ

વ્યાખ્યા 7

જો તેઓ બે શરતોને સંતોષે તો અમે બે વેક્ટરને સમાન કહીશું:

તેઓ સહ-દિશાયુક્ત છે;
તેમની લંબાઈ સમાન છે (ફિગ. 5).

ભૌમિતિક પ્રક્ષેપણ

આપણે અગાઉ કહ્યું તેમ, ભૌમિતિક પ્રક્ષેપણનું પરિણામ વેક્ટર હશે.

વ્યાખ્યા 8

અક્ષ પર $\overline(AB)$ વેક્ટરનું ભૌમિતિક પ્રક્ષેપણ એ એક વેક્ટર છે જે નીચે પ્રમાણે પ્રાપ્ત થાય છે: વેક્ટર $A$નું મૂળ બિંદુ આ અક્ષ પર પ્રક્ષેપિત છે. અમે બિંદુ $A"$ - ઇચ્છિત વેક્ટરની શરૂઆત મેળવીએ છીએ. વેક્ટર $B$નો અંતિમ બિંદુ આ અક્ષ પર અંદાજવામાં આવે છે. અમે બિંદુ $B"$ પ્રાપ્ત કરીએ છીએ - ઇચ્છિત વેક્ટરનો અંત. વેક્ટર $\overline(A"B")$ એ ઇચ્છિત વેક્ટર હશે.

ચાલો સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ:

ઉદાહરણ 1

બિલ્ડ ભૌમિતિક પ્રક્ષેપણ$\overline(AB)$ $l$ અક્ષ સુધી, આકૃતિ 6 માં બતાવેલ છે.

ચાલો બિંદુ $A$ થી ધરી $l$ સુધી લંબ દોરીએ, આપણે તેના પર બિંદુ $A"$ મેળવીએ. આગળ, આપણે બિંદુ $B$ થી ધરી $l$ સુધી લંબ દોરીએ, આપણે બિંદુ $B મેળવીએ "$ તેના પર (ફિગ. 7).

અને અક્ષ અથવા અન્ય કોઈ વેક્ટર પર તેના ભૌમિતિક પ્રક્ષેપણ અને સંખ્યાત્મક (અથવા બીજગણિતીય) પ્રક્ષેપણની વિભાવનાઓ છે. ભૌમિતિક પ્રક્ષેપણનું પરિણામ વેક્ટર હશે, અને બીજગણિત પ્રક્ષેપણનું પરિણામ બિન-નકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા હશે. પરંતુ આ ખ્યાલો પર આગળ વધતા પહેલા, ચાલો જરૂરી માહિતી યાદ રાખીએ.

પ્રાથમિક માહિતી

વ્યાખ્યા 1

સેગમેન્ટ એ સીધી રેખાનો એક ભાગ છે જે બિંદુઓના સ્વરૂપમાં બે સીમાઓ ધરાવે છે.

વ્યાખ્યા 2

હોદ્દો: બે અક્ષરોમાં: $\overline(AB)$ – (જ્યાં $A$ તેની શરૂઆત છે, અને $B$ તેનો અંત છે).

એક નાના અક્ષરમાં: $\overline(a)$ (ફિગ. 1).

ચાલો વેક્ટરની વિભાવના સાથે સંબંધિત થોડા વધુ ખ્યાલો રજૂ કરીએ.

વ્યાખ્યા 3

વ્યાખ્યા 4

અમે બે બિન-શૂન્ય વેક્ટર્સને સહનિર્દેશક કહીશું જો તેઓ બે શરતોને સંતોષે છે:

આ વેક્ટર કોલિનિયર છે.
જો તેઓ એક દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે (ફિગ. 3).

નોટેશન: $\overline(a)\overline(b)$

વ્યાખ્યા 5

આ વેક્ટર કોલિનિયર છે.
જો તેઓ જુદી જુદી દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે (ફિગ. 4).

નોટેશન: $\overline(a)↓\overline(d)$

વ્યાખ્યા 6

વેક્ટર $\overline(a)$ ની લંબાઈ $a$ સેગમેન્ટની લંબાઈ હશે.

નોટેશન: $|\overline(a)|$

ચાલો બે વેક્ટરની સમાનતા નક્કી કરવા આગળ વધીએ

વ્યાખ્યા 7

જો તેઓ બે શરતોને સંતોષે તો અમે બે વેક્ટરને સમાન કહીશું:

તેઓ સહ-દિશાયુક્ત છે;
તેમની લંબાઈ સમાન છે (ફિગ. 5).

ભૌમિતિક પ્રક્ષેપણ

આપણે અગાઉ કહ્યું તેમ, ભૌમિતિક પ્રક્ષેપણનું પરિણામ વેક્ટર હશે.

વ્યાખ્યા 8

ચાલો સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ:

ઉદાહરણ 1

આકૃતિ 6 માં બતાવેલ $l$ ધરી પર $\overline(AB)$ ભૌમિતિક પ્રક્ષેપણ બનાવો.

રેખાંકનોમાં ચિત્રો ભૌમિતિક સંસ્થાઓપ્રોજેક્શન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે. પરંતુ આ માટે એક છબી પૂરતી નથી, ઓછામાં ઓછા બે અંદાજો જરૂરી છે. તેમની સહાયથી, અવકાશમાં બિંદુઓ નક્કી કરવામાં આવે છે. તેથી, તમારે બિંદુનું પ્રક્ષેપણ કેવી રીતે શોધવું તે જાણવાની જરૂર છે.

બિંદુ પ્રક્ષેપણ

આ કરવા માટે તમારે જગ્યા ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર પડશે ડાયહેડ્રલ કોણ, અંદર સ્થિત બિંદુ (A) સાથે. અહીં આડા P1 અને ઊભી P2 પ્રોજેક્શન પ્લેનનો ઉપયોગ થાય છે. બિંદુ (A) પ્રક્ષેપણ વિમાનો પર ઓર્થોગોનલી અંદાજવામાં આવે છે. કાટખૂણે પ્રક્ષેપિત કિરણોની વાત કરીએ તો, તેઓ એક પ્રક્ષેપણ વિમાનમાં જોડાય છે, વિમાનોને લંબરૂપઅંદાજો આમ, જ્યારે આડા P1 અને આગળના P2 વિમાનોને P2/P1 અક્ષ સાથે ફેરવીને સંયોજિત કરીએ છીએ, ત્યારે અમે એક સપાટ રેખાંકન મેળવીએ છીએ.

પછી તેના પર સ્થિત પ્રક્ષેપણ બિંદુઓ સાથેની રેખા અક્ષને લંબરૂપ બતાવવામાં આવે છે. તેથી તે બહાર વળે છે જટિલ ચિત્ર. તેના પર બાંધવામાં આવેલા સેગમેન્ટ્સ માટે આભાર અને ઊભી રેખાકનેક્શન, તમે પ્રોજેક્શન પ્લેનથી સંબંધિત બિંદુની સ્થિતિ સરળતાથી નક્કી કરી શકો છો.

પ્રક્ષેપણ કેવી રીતે શોધવું તે સમજવામાં સરળ બનાવવા માટે, તમારે ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે જમણો ત્રિકોણ. તેની ટૂંકી બાજુ પગ છે, અને તેની લાંબી બાજુ કર્ણ છે. જો તમે કર્ણ પર પગ મૂકશો, તો તે બે ભાગોમાં વિભાજિત થશે. તેમની કિંમત નક્કી કરવા માટે, તમારે પ્રારંભિક ડેટાના સમૂહની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. ચાલો જોઈએ આપેલ ત્રિકોણ, મુખ્ય અંદાજોની ગણતરી માટેની પદ્ધતિઓ.

નિયમ પ્રમાણે, આ સમસ્યામાં તેઓ પગ N ની લંબાઈ અને કર્ણ D ની લંબાઈ સૂચવે છે, જેનું પ્રક્ષેપણ શોધવું જરૂરી છે. આ કરવા માટે, અમે પગના પ્રક્ષેપણને કેવી રીતે શોધવું તે શોધીશું.

ચાલો પગ (A) ની લંબાઈ શોધવા માટેની પદ્ધતિનો વિચાર કરીએ. પગના પ્રક્ષેપણનો ભૌમિતિક સરેરાશ અને કર્ણોની લંબાઈ આપણે જે પગની કિંમત શોધી રહ્યા છીએ તે સમાન છે તે ધ્યાનમાં લેતા: N = √(D*Nd).

પ્રક્ષેપણ લંબાઈ કેવી રીતે શોધવી

ઉત્પાદનના મૂળને ઇચ્છિત પગ (N) ની લંબાઈના વર્ગીકરણ દ્વારા શોધી શકાય છે, અને પછી તેને કર્ણોની લંબાઈથી વિભાજિત કરી શકાય છે: Nd = (N / √ D)² = N² / D. મૂલ્યોનો ઉલ્લેખ કરતી વખતે સ્ત્રોત ડેટામાં માત્ર પગ D અને N ના, લંબાઈના અંદાજો પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને શોધવા જોઈએ.
ચાલો D ની લંબાઈ શોધીએ. આ કરવા માટે, તમારે પગના મૂલ્યો √ (N² + T²) નો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, અને પછી પ્રક્ષેપણ શોધવા માટે પરિણામી મૂલ્યને નીચેના સૂત્રમાં બદલો: Nd = N² / √ (N² + T²).

જ્યારે સ્ત્રોત ડેટામાં લેગ RD ના પ્રક્ષેપણની લંબાઈ પરનો ડેટા તેમજ કર્ણ D ના મૂલ્ય પરનો ડેટા હોય છે, ત્યારે બીજા પગના ND ના પ્રક્ષેપણની લંબાઈની ગણતરી સરળ બાદબાકી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને થવી જોઈએ: ND = ડી - આરડી.

ઝડપનું પ્રક્ષેપણ

ચાલો જોઈએ કે વેગનું પ્રક્ષેપણ કેવી રીતે શોધવું. આપેલ વેક્ટર માટે ચળવળના વર્ણનને રજૂ કરવા માટે, તેને પ્રક્ષેપણમાં મૂકવું જોઈએ સંકલન અક્ષો. એક સંકલન અક્ષ (રે), બે સંકલન અક્ષ (પ્લેન) અને ત્રણ સંકલન અક્ષ (જગ્યા) છે. પ્રક્ષેપણ શોધતી વખતે, વેક્ટરના છેડાથી અક્ષ પર લંબ નીચું કરવું જરૂરી છે.

પ્રક્ષેપણનો અર્થ સમજવા માટે, તમારે વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ કેવી રીતે શોધવું તે જાણવાની જરૂર છે.

વેક્ટર પ્રક્ષેપણ

જ્યારે શરીર અક્ષ પર લંબ તરફ જાય છે, ત્યારે પ્રક્ષેપણ એક બિંદુ તરીકે રજૂ થશે અને તેનું મૂલ્ય હશે શૂન્ય બરાબર. જો ચળવળ સંકલન અક્ષની સમાંતર હાથ ધરવામાં આવે છે, તો પ્રક્ષેપણ વેક્ટર મોડ્યુલ સાથે સુસંગત રહેશે. એવા કિસ્સામાં જ્યારે શરીર એવી રીતે આગળ વધે છે કે વેગ વેક્ટર (x) અક્ષની સાપેક્ષ φ કોણ પર નિર્દેશિત થાય છે, ત્યારે આ અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપણ એક સેગમેન્ટ હશે: V(x) = V cos(φ), જ્યાં V એ વેગ વેક્ટરનું મોડલ છે જ્યારે વેગ વેક્ટર અને કોઓર્ડિનેટ અક્ષની દિશાઓ એકરૂપ થાય છે, ત્યારે પ્રક્ષેપણ ધન છે, અને ઊલટું.

ચાલો નીચે મુજબ લઈએ સંકલન સમીકરણ: x = x(t), y = y(t), z = z(t). આ કિસ્સામાં, સ્પીડ ફંક્શનને ત્રણ અક્ષો પર પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવશે અને તેનું નીચેનું સ્વરૂપ હશે: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). તે અનુસરે છે કે ઝડપ શોધવા માટે ડેરિવેટિવ્ઝ લેવા જરૂરી છે. સ્પીડ વેક્ટર પોતે નીચેના ફોર્મના સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે: V = V(x) i + V(y) j + V(z) k અહીં i, j, k છે એકમ વેક્ટરસંકલન અક્ષો અનુક્રમે x, y, z. આમ, વેગ મોડ્યુલ દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવે છે નીચેનું સૂત્ર: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).

ધરી એ દિશા છે. આનો અર્થ એ છે કે ધરી પર અથવા નિર્દેશિત રેખા પર પ્રક્ષેપણ સમાન વસ્તુ ગણવામાં આવે છે. પ્રક્ષેપણ બીજગણિત અથવા ભૌમિતિક હોઈ શકે છે. ભૌમિતિક દ્રષ્ટિએ, ધરી પર વેક્ટરના પ્રક્ષેપણને વેક્ટર તરીકે સમજવામાં આવે છે, અને બીજગણિતની દ્રષ્ટિએ, તે સંખ્યા છે. એટલે કે, ધરી પર વેક્ટરના પ્રક્ષેપણ અને ધરી પર વેક્ટરના સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણની વિભાવનાઓનો ઉપયોગ થાય છે.

Yandex.RTB R-A-339285-1

જો આપણી પાસે L અક્ષ અને બિન-શૂન્ય વેક્ટર A B → હોય, તો પછી આપણે વેક્ટર A 1 B 1 ⇀ બનાવી શકીએ છીએ, જે તેના બિંદુ A 1 અને B 1 ના અંદાજો દર્શાવે છે.

A 1 B → 1 એ વેક્ટર A B → L પર પ્રક્ષેપણ હશે.

વ્યાખ્યા 1

ધરી પર વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણએક વેક્ટર છે જેની શરૂઆત અને અંત એ શરૂઆત અને અંતની બહારના અંદાજો છે આપેલ વેક્ટર. n p L A B → → પ્રક્ષેપણ A B → ને L પર દર્શાવવાનો રિવાજ છે. L પર પ્રક્ષેપણ બાંધવા માટે, લંબને L પર નાખવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1

ધરી પર વેક્ટર પ્રક્ષેપણનું ઉદાહરણ.

ચાલુ સંકલન વિમાનલગભગ x y બિંદુ M 1 (x 1 , y 1) ઉલ્લેખિત છે. બિંદુ M 1 ના ત્રિજ્યા વેક્ટરની છબી બનાવવા માટે O x અને O y પર અંદાજો બાંધવા જરૂરી છે. આપણને વેક્ટર (x 1, 0) અને (0, y 1) ના કોઓર્ડિનેટ્સ મળે છે.

જો અમે વાત કરી રહ્યા છીએબિન-શૂન્ય b → પર a → ના પ્રક્ષેપણ વિશે અથવા b → દિશા તરફ a → ના પ્રક્ષેપણ વિશે, તો અમારો અર્થ એ છે કે ધરી પર a → ના પ્રક્ષેપણ જેની સાથે b → દિશા એકરુપ છે. b → દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખા પર a → ના પ્રક્ષેપણને n p b → a → → નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. તે જાણીતું છે કે જ્યારે a → અને b → , n p b → a → → અને b → વચ્ચેનો ખૂણો સહદિશ ગણી શકાય. એવા કિસ્સામાં જ્યાં કોણ સ્થૂળ હોય, n p b → a → → અને b → વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. લંબરૂપતાની પરિસ્થિતિમાં a → અને b →, અને a → શૂન્ય છે, b → દિશામાં a →નું પ્રક્ષેપણ શૂન્ય વેક્ટર છે.

અક્ષ પર વેક્ટરના પ્રક્ષેપણની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા એ આપેલ ધરી પર વેક્ટરનું સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણ છે.

વ્યાખ્યા 2

ધરી પર વેક્ટરનું સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણએક એવી સંખ્યા છે જે આપેલ વેક્ટરની લંબાઈના ગુણાંક અને આપેલ વેક્ટર અને વેક્ટર વચ્ચેના કોણના કોસાઈન જે અક્ષની દિશા નિર્ધારિત કરે છે.

A B → પર L નું સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણ n p L A B → , અને a → on b → - n p b → a → સૂચવવામાં આવે છે.

સૂત્રના આધારે, આપણે n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ મેળવીએ છીએ, જ્યાંથી a → એ વેક્ટર a → , a ⇀ , b → ^ એ વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો છે a → અને b →

અમે સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણની ગણતરી માટે સૂત્ર મેળવીએ છીએ: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . તે જાણીતી લંબાઈ a → અને b → અને તેમની વચ્ચેના કોણ માટે લાગુ પડે છે. ફોર્મ્યુલા જાણીતા કોઓર્ડિનેટ્સ a → અને b → માટે લાગુ પડે છે, પરંતુ એક સરળ સ્વરૂપ છે.

ઉદાહરણ 2

b → દિશામાં એક સીધી રેખા પર a → 8 ની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેનો 60 ડિગ્રીનો ખૂણો સાથેનો સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણ શોધો. શરત પ્રમાણે આપણી પાસે a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 ° છે. તેથી, ચાલો અવેજી કરીએ સંખ્યાત્મક મૂલ્યોસૂત્રમાં n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

જવાબ: 4.

જાણીતા cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → સાથે, આપણી પાસે a → , b → તરીકે છે ડોટ ઉત્પાદન a → અને b → . n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ સૂત્રને અનુસરીને, આપણે b → વેક્ટર સાથે નિર્દેશિત સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણ a → શોધી શકીએ છીએ અને n p b → a → = a → , b → b → મેળવી શકીએ છીએ. સૂત્ર ફકરાની શરૂઆતમાં આપેલી વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે.

વ્યાખ્યા 3

વેક્ટર a → એક ધરી પર b → ની દિશામાં એકરૂપ થતા વેક્ટરનું સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણ એ a → અને b → વેક્ટરના સ્કેલર ગુણોત્તર અને લંબાઈ b → છે. સૂત્ર n p b → a → = a → , b → b → એ → a → અને b → કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે, b → સાથે દિશામાં એકરૂપ થતી રેખા પર a → ના સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણ શોધવા માટે લાગુ પડે છે.

ઉદાહરણ 3

આપેલ b → = (- 3 , 4) . સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણ a → = (1, 7) ને L પર શોધો.

ઉકેલ

કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર n p b → a → = a → , b → b → n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , a → = (a x , a y ) સાથે અને b → = b x , b y . L અક્ષ પર a → વેક્ટરનું સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણ શોધવા માટે, તમારે આની જરૂર છે: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( - 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

જવાબ: 5.

ઉદાહરણ 4

b → દિશા સાથે એકરુપ હોય, જ્યાં a → = - 2, 3, 1 અને b → = (3, - 2, 6) હોય ત્યાં a → to L નું પ્રક્ષેપણ શોધો. ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા ઉલ્લેખિત છે.

ઉકેલ

આપેલ a → = a x , a y , a z અને b → = b x , b y , b z , અમે સ્કેલર ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ છીએ: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . લંબાઈ b → સૂત્ર b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 નો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે. તે અનુસરે છે કે સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણ a → નક્કી કરવા માટેનું સૂત્ર હશે: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

સંખ્યાત્મક મૂલ્યો બદલો: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

જવાબ:- 6 7.

ચાલો a → on L અને પ્રક્ષેપણ a → L પરની લંબાઈ વચ્ચેના જોડાણને જોઈએ. ચાલો L પરના બિંદુમાંથી a → અને b → ઉમેરીને એક ધરી L દોરીએ, જેના પછી આપણે છેડે a → થી L સુધી લંબ રેખા દોરીએ અને L પર પ્રક્ષેપણ દોરીએ. છબીની 5 વિવિધતાઓ છે:

પ્રથમ a → = n p b → a → → એનો અર્થ એ છે કે a → = n p b → a → → , તેથી n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

બીજુંઆ કેસ n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → નો ઉપયોગ સૂચવે છે, જેનો અર્થ થાય છે n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

ત્રીજોકેસ સમજાવે છે કે જ્યારે n p b → a → → = 0 → આપણે n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , પછી n p b → a → → = 0 મેળવીએ છીએ અને n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

ચોથુંકેસ બતાવે છે n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

પાંચમુંકેસ બતાવે છે a → = n p b → a → → , જેનો અર્થ a → = n p b → a → → છે, તેથી આપણી પાસે n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

વ્યાખ્યા 4

L અક્ષ પર a → વેક્ટરનું સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણ, જે b → ની જેમ જ નિર્દેશિત છે, તેની નીચેની કિંમત છે:

વેક્ટર a → ને L પરના પ્રક્ષેપણની લંબાઈ, જો કે a → અને b → વચ્ચેનો ખૂણો 90 ડિગ્રી કરતા ઓછો અથવા 0 ની બરાબર હોય: n p b → a → = n p b → a → → 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
શૂન્ય જો કે a → અને b → લંબ છે: n p b → a → = 0, જ્યારે (a → , b → ^) = 90 °;
પ્રક્ષેપણની લંબાઈ a → to L પર, -1 વડે ગુણાકાર, જ્યારે a → અને b → વેક્ટરનો સ્થૂળ અથવા સીધો કોણ હોય: n p b → a → = - n p b → a → → 90 ° ની સ્થિતિ સાથે< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

ઉદાહરણ 5

પ્રક્ષેપણની લંબાઈને જોતાં a → L પર, 2 બરાબર. સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણ a → શોધો જો કે કોણ 5 π 6 રેડિયન હોય.

ઉકેલ

શરત પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આપેલ કોણસ્થૂળ છે: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

જવાબ:- 2.

ઉદાહરણ 6

વેક્ટર લંબાઈ a → 6 3, b → (- 2, 1, 2) 30 ડિગ્રીના ખૂણો સાથે સમતલ O x y z આપેલ છે. L અક્ષ પર પ્રક્ષેપણ a → ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

ઉકેલ

પ્રથમ, આપણે વેક્ટર a → ના સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણની ગણતરી કરીએ છીએ: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

સ્થિતિ પ્રમાણે, કોણ તીવ્ર છે, પછી સંખ્યાત્મક પ્રક્ષેપણ a → = વેક્ટર a →: n p L a → = n p L a → → = 9 વેક્ટરના પ્રક્ષેપણની લંબાઈ. આ કેસબતાવે છે કે વેક્ટર્સ n p L a → → અને b → સહ-નિર્દેશિત છે, જેનો અર્થ છે કે ત્યાં સંખ્યા t છે જેના માટે સમાનતા સાચી છે: n p L a → → = t · b → . અહીંથી આપણે જોઈએ છીએ કે n p L a → → = t · b → , જેનો અર્થ છે કે આપણે પરિમાણની કિંમત શોધી શકીએ છીએ t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

પછી n p L a → → = 3 · b → વેક્ટર a → ના પ્રક્ષેપણના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે L અક્ષ પર b → = (- 2 , 1 , 2) , જ્યાં મૂલ્યોનો ગુણાકાર કરવો જરૂરી છે 3. આપણી પાસે n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) છે. જવાબ: (- 6, 3, 6).

વેક્ટર્સની સમન્વયતાની સ્થિતિ વિશે અગાઉ શીખેલી માહિતીનું પુનરાવર્તન કરવું જરૂરી છે.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો