બીજગણિત સમીકરણ. બીજગણિત સમીકરણો ઉકેલવા

અનસાયક્લોપીડિયામાંથી સામગ્રી

બીજગણિત સમીકરણો એ ફોર્મ P(x 1, ..., x n) = O ના સમીકરણો છે, જ્યાં P એ x 1, ..., x n ચલોમાં બહુપદી છે. આ ચલોને અજ્ઞાત કહેવામાં આવે છે. સંખ્યાઓનો ક્રમબદ્ધ સમૂહ (a 1, ..., a n) આ સમીકરણને સંતોષે છે જો, x 1 ને 1 સાથે, x 2 ને 2 સાથે બદલીને, વગેરે. સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓનો ક્રમાંકિત ટ્રિપલ (3, 4, 5) સમીકરણ x 2 + y 2 = z 2 ને સંતોષે છે, કારણ કે 3 2 + 4 2 = 5 2). જે સંખ્યા બીજગણિતીય સમીકરણને એક અજાણ્યામાં સંતોષે છે તેને તે સમીકરણનું મૂળ કહેવામાં આવે છે. આપેલ સમીકરણને સંતોષતા સંખ્યાઓના તમામ સેટનો સમૂહ આ સમીકરણના ઉકેલોનો સમૂહ છે. બે બીજગણિતીય સમીકરણો કે જેમાં ઉકેલોનો સમાન સમૂહ હોય તેને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે. બહુપદી P ની ડિગ્રીને P(x 1, ..., x n) = 0 સમીકરણની ડિગ્રી કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3x - 5y + z = c એ પ્રથમ ડિગ્રીનું સમીકરણ છે, x 2 + y 2 = z 2 એ બીજી ડિગ્રી છે, અને x 4 એ 3x 3 + 1 = 0 - ચોથી ડિગ્રી છે. પ્રથમ ડિગ્રીના સમીકરણોને રેખીય પણ કહેવામાં આવે છે (રેખીય સમીકરણો જુઓ).

એક અજાણ્યા સાથેના બીજગણિતીય સમીકરણમાં મર્યાદિત સંખ્યામાં મૂળ હોય છે અને બીજગણિત સમીકરણના ઉકેલોનો સમૂહ મોટી સંખ્યામાંઅજ્ઞાત પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે અનંત સમૂહસંખ્યાઓનો ચોક્કસ સમૂહ. તેથી, તેઓ સામાન્ય રીતે n અજ્ઞાત સાથેના વ્યક્તિગત બીજગણિત સમીકરણોને ધ્યાનમાં લેતા નથી, પરંતુ સમીકરણોની સિસ્ટમો અને સંખ્યાઓના સેટને શોધે છે જે આપેલ સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોને એક સાથે સંતોષે છે. આ બધા સમૂહોનું સંયોજન સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ બનાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણો x 2 + y 2 = 10, x 2 - y 2 = 8 સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ છે: ((3; 1), (3; -1), (-3; 1), (-3; -1)).

એક અજાણ્યા સાથે 1લી ડિગ્રીના બીજગણિત સમીકરણો પહેલેથી જ ઉકેલાઈ ગયા હતા પ્રાચીન ઇજિપ્તઅને પ્રાચીન બેબીલોન. બેબીલોનીયન શાસ્ત્રીઓ ચતુર્ભુજ સમીકરણો તેમજ સરળ પ્રણાલીઓ ઉકેલવામાં સક્ષમ હતા રેખીય સમીકરણોઅને 2જી ડિગ્રીના સમીકરણો. વિશિષ્ટ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને, તેઓએ કેટલાક તૃતીય-ડિગ્રી સમીકરણો પણ ઉકેલ્યા, ઉદાહરણ તરીકે x 3 + x = a. IN પ્રાચીન ગ્રીસચતુર્ભુજ સમીકરણો ભૌમિતિક બાંધકામોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવ્યા હતા. ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી ડાયોફન્ટસ (ત્રીજી સદી) એ બીજગણિતીય સમીકરણો અને આવા સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ વિકસાવી હતી જેમાં ઘણા અજાણ્યા હતા. તર્કસંગત સંખ્યાઓ. ઉદાહરણ તરીકે, તેણે તર્કસંગત સંખ્યામાં સમીકરણ x 4 - y 4 + z 4 = n 2, સમીકરણોની સિસ્ટમ y 3 + x 2 = u 2, z 2 + x 2 = v 3, વગેરે ઉકેલી. (જુઓ ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો).

કેટલાક ભૌમિતિક સમસ્યાઓ: સમઘનનું બમણું, ખૂણાનું ત્રિવિભાજન (જુઓ. ક્લાસિક સમસ્યાઓપ્રાચીનકાળ), નિયમિત હેપ્ટાગોનનું નિર્માણ - ઘન સમીકરણોના ઉકેલ તરફ દોરી જાય છે. ઉકેલ દરમિયાન, આંતરછેદના બિંદુઓ શોધવાનું જરૂરી હતું કોનિક વિભાગો(અંદાજ, પેરાબોલાસ અને હાયપરબોલાસ). લાભ લે છે ભૌમિતિક પદ્ધતિઓ, મધ્યયુગીન પૂર્વના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ઘન સમીકરણોના ઉકેલોનો અભ્યાસ કર્યો. જો કે, તેઓ તેમને ઉકેલવા માટે એક ફોર્મ્યુલા મેળવવામાં અસમર્થ હતા. પશ્ચિમ યુરોપીયન ગણિતની પ્રથમ મોટી શોધ 16મી સદીમાં મળી હતી. ઘન સમીકરણ ઉકેલવા માટેનું સૂત્ર. કારણ કે તે સમયે નકારાત્મક સંખ્યાઓહજુ સુધી વ્યાપક બન્યું નથી, x 3 + px = q, x 3 + q = px, વગેરે જેવા સમીકરણોના પ્રકારોનું અલગથી વિશ્લેષણ કરવું જરૂરી હતું. ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી એસ. ડેલ ફેરો (1465-1526) એ x 3 સમીકરણ હલ કર્યું. + px = q અને તેના જમાઈ અને વિદ્યાર્થી A. M. Fiore ને ઉકેલની વાત કરી, જેમણે નોંધપાત્ર સ્વ-શિક્ષિત ગણિતશાસ્ત્રી N. Tartaglia (1499-1557) ને ગણિતની ટુર્નામેન્ટમાં પડકાર્યો હતો. ટુર્નામેન્ટના થોડા દિવસો પહેલા, ટાર્ટાગ્લિયાએ ક્યુબિક સમીકરણો ઉકેલવા માટે એક સામાન્ય પદ્ધતિ શોધી કાઢી અને તેને ઓફર કરવામાં આવેલી તમામ 30 સમસ્યાઓને ઝડપથી હલ કરીને તે જીતી ગયો. જો કે, સમીકરણ x 3 + px + q = 0 ઉકેલવા માટે ટાર્ટાગ્લિયા દ્વારા મળેલ સૂત્ર

x = 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27)) + 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27))

સુધીની સંખ્યાના ખ્યાલનું બીજગણિતીય પ્રતીકવાદ અને સામાન્યીકરણનું નિર્માણ જટિલ સંખ્યાઓ XVII-XVIII સદીઓમાં મંજૂરી. સંશોધન સામાન્ય ગુણધર્મોબીજગણિતીય સમીકરણો ઉચ્ચ ડિગ્રીઓ, તેમજ એક અને અનેક ચલોમાં બહુપદીના સામાન્ય ગુણધર્મો.

સૌથી વધુ એક મહત્વપૂર્ણ કાર્યો 17મી-18મી સદીમાં બીજગણિત સમીકરણોનો સિદ્ધાંત. 5મી ડિગ્રી સમીકરણ ઉકેલવા માટે એક સૂત્ર શોધી રહ્યો હતો. 18મી સદીના ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિકના પ્રયાસો દ્વારા બીજગણિતશાસ્ત્રીઓની ઘણી પેઢીઓની નિરર્થક શોધો પછી. જે. લેગ્રેન્જ (1736-1813), ઇટાલિયન વૈજ્ઞાનિક પી. રુફિની (1765-1822) અને નોર્વેજીયન ગણિતશાસ્ત્રી એન. એબેલ XVIII ના અંતમાં - પ્રારંભિક XIXવી. તે સાબિત થયું હતું કે માત્ર અંકગણિત કામગીરી અને મૂળના નિષ્કર્ષણનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના ગુણાંક દ્વારા કોઈપણ 5મી ડિગ્રીના સમીકરણના મૂળને વ્યક્ત કરવા માટે કોઈ સૂત્ર નથી. આ અભ્યાસો ઇ. ગેલોઈસના કાર્ય દ્વારા પૂર્ણ કરવામાં આવ્યા હતા, જેની થિયરી કોઈપણ સમીકરણ માટે નિર્ધારિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે કે શું તેના મૂળ રેડિકલમાં વ્યક્ત થાય છે. આ પહેલા પણ K. F. Gauss એ અભિવ્યક્તિની સમસ્યાનું નિરાકરણ કર્યું હતું ચોરસ રેડિકલસમીકરણ x n - 1 = 0 ના મૂળ, જેમાં હોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને નિયમિત n-gon બાંધવાની સમસ્યા ઓછી થાય છે. ખાસ કરીને, આ સાધનોનો ઉપયોગ કરીને નિયમિત હેપ્ટાગોન, નાઈનગોન, વગેરેનું નિર્માણ કરવું અશક્ય છે. - આવી રચના ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે n એ ફોર્મ 2 2k + 1 ની અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય અથવા આ ફોર્મની વિવિધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાંક હોય.

ઉકેલ માટે સૂત્રોની શોધ સાથે ચોક્કસ સમીકરણોકોઈપણ બીજગણિત સમીકરણ માટે મૂળના અસ્તિત્વના પ્રશ્નની તપાસ કરવામાં આવી હતી. 18મી સદીમાં ફ્રેન્ચ ફિલસૂફ અને ગણિતશાસ્ત્રી જે. ડી'આલેમ્બર્ટે સાબિત કર્યું કે જટિલ ગુણાંક સાથે બિન-શૂન્ય ડિગ્રીનું કોઈપણ બીજગણિત સમીકરણ ઓછામાં ઓછું એક હોય છે. જટિલ મૂળ. ડી'એલેમ્બર્ટના પુરાવામાં ગાબડા હતા, જે પછી ગૌસ દ્વારા ભરવામાં આવ્યા હતા nth બહુપદી x ની શક્તિઓ n રેખીય પરિબળોના ઉત્પાદનમાં વિઘટિત થાય છે.

હાલમાં, બીજગણિતીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો સિદ્ધાંત ગણિતના સ્વતંત્ર ક્ષેત્રમાં ફેરવાઈ ગયો છે જેને બીજગણિત ભૂમિતિ કહેવાય છે. તે આવા સમીકરણોની સિસ્ટમો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ઉચ્ચ પરિમાણોની રેખાઓ, સપાટીઓ અને મેનીફોલ્ડ્સનો અભ્યાસ કરે છે.

ઉચ્ચ ક્રમના બીજગણિત સમીકરણો ઉકેલતી વખતે ગણિતમાં રસ ધરાવતા વિદ્યાર્થીઓ માટે અસરકારક પદ્ધતિઝડપથી મૂળ શોધવું, દ્વિપદી x – a અથવા ax + b વડે શેષ સાથે વિભાજન કરવું એ હોર્નરની યોજના છે.

હોર્નરની યોજનાનો વિચાર કરો.

ચાલો P(x) ને x – a વડે વિભાજિત કરતી વખતે અપૂર્ણ ભાગાંક દર્શાવીએ

Q(x) = b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1, અને બાકીનું b n છે.

ત્યારથી P(x) = Q(x)(x–) + b n, પછી સમાનતા ધરાવે છે

a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = (b 0 x n-1 + b 1 x n-2 + … + b n-1)(x–a) + b n

ચાલો જમણી બાજુએ કૌંસ ખોલીએ અને તેના માટે ગુણાંકની તુલના કરીએ સમાન ડિગ્રી x ડાબે અને જમણે. આપણે મેળવીએ છીએ કે a 0 = b 0 અને 1 પર < k < n સંબંધો a k = b k - a b k-1 હોલ્ડ. તે અનુસરે છે કે b 0 = a 0 અને b k = a k + a b k-1, 1 < k < n

અમે બહુપદી Q(x) અને બાકીના b n ના ગુણાંકની ગણતરી કોષ્ટકના રૂપમાં લખીએ છીએ:

ઉદાહરણ 1. બહુપદી 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 ને x + 1 વડે વિભાજિત કરો.

ઉકેલ. અમે હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

જ્યારે 2x 4 – 7x 3 – 3x 2 + 5x – 1 ને x + 1 વડે ભાગીએ ત્યારે આપણને 2x 3 – 9x 2 + 6x – 1 મળે છે

જવાબ: 2x 3 – 9x 2 + 6x – 1

ઉદાહરણ 2. P(3) ની ગણતરી કરો, જ્યાં P(x) = 4x 5 – 7x 4 + 5x 3 – 2x + 1

ઉકેલ. બેઝાઉટના પ્રમેય અને હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

જવાબ: P(3) = 535

વ્યાયામ

1) હોર્નરની યોજનાનો ઉપયોગ કરીને, બહુપદીને વિભાજીત કરો

x + 2 પર 4x 3 – x 5 + 132 – 8x 2;

2) બહુપદીને વિભાજીત કરો

x + 1 પર 2x 2 – 3x 3 – x + x 5 + 1;

3) x = 7 માટે બહુપદી P 5 (x) = 2x 5 – 4x 4 – x 2 + 1 ની કિંમત શોધો.

1.1. શોધો તર્કસંગત મૂળપૂર્ણાંક ગુણાંક સાથેના સમીકરણો

પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બીજગણિત સમીકરણના તર્કસંગત મૂળ શોધવા માટેની પદ્ધતિ નીચેના પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવી છે.

પ્રમેય:જો પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથેનું સમીકરણ હોય તર્કસંગત મૂળ, પછી તેઓ અગ્રણી ગુણાંકના વિભાજક દ્વારા વિભાજિત મુક્ત પદના વિભાજકનો ભાગ છે.

પુરાવો: a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = 0

ચાલો x = p/q એ તર્કસંગત મૂળ છે, q, p કોપ્રાઈમ છે.

અપૂર્ણાંક p/q ને સમીકરણમાં બદલીને અને પોતાને છેદમાંથી મુક્ત કરીને, આપણને મળે છે

a 0 p n + a 1 p n-1 q+ … + a n-1 pq n-1 + a n q n = 0 (1)

ચાલો (1) ને બે રીતે ફરીથી લખીએ:

a n q n = р(– а 0 р n-1 – а 1 р n-2 q – … – а n-1 q n-1) (2)

a 0 р n = q (– а 1 р n-1 –… – а n-1 рq n-2 – а n q n-1) (3)

સમાનતા (2) થી તે અનુસરે છે કે n q n એ p વડે વિભાજ્ય છે, અને ત્યારથી q n અને p કોપ્રાઈમ છે, પછી a n એ p વડે વિભાજ્ય છે. એ જ રીતે, સમાનતા (3) પરથી તે અનુસરે છે કે 0 એ q વડે વિભાજ્ય છે. પ્રમેય સાબિત થાય છે.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણ 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 0 ઉકેલો.

ઉકેલ. સમીકરણમાં પૂર્ણાંક મૂળ નથી; આપણે સમીકરણના તર્કસંગત મૂળ શોધીએ છીએ. અવિભાજ્ય અપૂર્ણાંક p/q એ સમીકરણનું મૂળ છે, પછી p એ મુક્ત પદના વિભાજકોમાં જોવા મળે છે, એટલે કે. સંખ્યાઓ વચ્ચે ± 1, અને q અગ્રણી ગુણાંકના હકારાત્મક વિભાજકોમાં: 1; 2.

તે. ± 1, ± 1/2 નંબરો વચ્ચે સમીકરણના તર્કસંગત મૂળ શોધવું આવશ્યક છે, P 3 (x) = 2x 3 – 7x 2 + 5x – 1, P 3 (1) 0, P 3 (–1) 0 દર્શાવો ,

P 3 (1/2) = 2/8 – 7/4 + 5/2 – 1 = 0, 1/2 એ સમીકરણનું મૂળ છે.

2x 3 – 7x 2 + 5x – 1 = 2x 3 – x 2 – 6 x 2 + 3x + 2x – 1 = 0.

આપણને મળે છે: x 2 (2x – 1) – 3x(2x – 1)+ (2x – 1) = 0; (2x – 1)(x 2 – 3x + 1) = 0.

બીજા અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવીને અને સમીકરણ ઉકેલવાથી આપણને મળે છે

કસરતો

સમીકરણો ઉકેલો:

1. 6x 3 – 25x 2 + 3x + 4 = 0;
2. 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + 2x + 1 = 0;
3. 3x 4 – 8x 3 – 2x 2 + 7x – 1 = 0;

1.2. પારસ્પરિક સમીકરણો અને ઉકેલ પદ્ધતિઓ

વ્યાખ્યા. અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં પૂર્ણાંક શક્તિઓ સાથેના સમીકરણને આવર્તક કહેવામાં આવે છે જો તેના ગુણાંક, ડાબી બાજુના છેડાથી સમાન, એકબીજા સાથે સમાન હોય, એટલે કે. ફોર્મનું સમીકરણ

аx n + bx n-1 + cx n-2 + … + cx 2 + bx + а = 0

વિષમ ડિગ્રીનું પારસ્પરિક સમીકરણ

ax 2n+1 + bx 2n + cx 2n-1 + … + cx 2 + bx + a = 0

હંમેશા રુટ x = – 1 હોય છે. તેથી, તે સમીકરણ x + 1 = 0 અને . છેલ્લું સમીકરણ એ સમ ડિગ્રીનું પારસ્પરિક સમીકરણ છે. આમ, કોઈપણ ડિગ્રીના પારસ્પરિક સમીકરણોને ઉકેલવાથી સમાન ડિગ્રીના પારસ્પરિક સમીકરણને ઉકેલવામાં ઘટાડો થાય છે.

તેને કેવી રીતે ઉકેલવું? સમ ડિગ્રીનું પારસ્પરિક સમીકરણ આપવા દો

ax 2n + bx 2n-1 + … + dx n+1 + ex n + dx n-1 + … + bx + a = 0

નોંધ કરો કે x = 0 એ સમીકરણનું મૂળ નથી. પછી આપણે સમીકરણને x n વડે ભાગીએ છીએ, આપણને મળે છે

аx n + bx n-1 + … + dx + e + dx -1 + … + bx 1-n + аx -n = 0

અમે જોડીમાં ડાબી બાજુની શરતોને જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ

a(x n + x -n) + b(x n-1 + x -(n-1) + … + d(x + x -1) + e = 0

અમે બદલીએ છીએ x + x -1 = y. x 2 + x -2 = y 2 – 2 અભિવ્યક્તિઓ બદલ્યા પછી;

x 3 + x -3 = y 3 – 3y; x 4 + x -4 = y 4 – 4y + 2 સમીકરણમાં આપણને સમીકરણ મળે છે ખાતેАу n + બાય n-1 + Cy n-2 + … + Ey + D = 0.

આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે તમારે ઘણા ઉકેલવાની જરૂર છે ચતુર્ભુજ સમીકરણોફોર્મ x + x -1 = y k, જ્યાં k = 1, 2, ... n. આમ, આપણે મૂળ સમીકરણના મૂળ મેળવીએ છીએ.

ઉદાહરણ 1. સમીકરણ x 7 + x 6 – 5x 5 – 13x 4 – 13x 3 – 5x 2 + 2x + 1 = 0 ઉકેલો.

ઉકેલ. x = – 1 એ સમીકરણનું મૂળ છે. ચાલો હોર્નરની સ્કીમ લાગુ કરીએ.

આપણું સમીકરણ ફોર્મ લેશે:

(x + 1)(x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1) = 0

1) x + 1 = 0, x = -1;

2) x 6 + x 5 – 6x 4 – 7x 3 – 6x 2 + x + 1 = 0 | : x 3 ? 0; x 3 + x 2 – 6x – 7 – 6/x + 1/x 2 + 1/x 3 =0.

જૂથીકરણ, અમને મળે છે: .

અમે રિપ્લેસમેન્ટ રજૂ કરીએ છીએ: ; ; .

આપણે પ્રમાણમાં મેળવીએ છીએ ખાતેસમીકરણ: y 3 – 3y + y 2 – 2 – 6y – 7 = 0;

y 3 + y 2 – 9y – 9 = 0; y 2 (y + 1) – 9 (y + 1) = 0; (y + 1)(y 2 – 9); y 1 = -1, y 2,3 = ± 3.

સમીકરણો ઉકેલવા , , ,

આપણને મૂળ મળે છે: , , ,

જવાબ: x 1 = -1, ,

કસરતો

સમીકરણો ઉકેલો.

1. 2x 5 + 5x 4 – 13x 3 – 13x 2 + 5x + 2 = 0;
2. 2x 4 + 3x 3 – 16x 2 + 3x + 2 = 0;
3. 15x 5 + 34x 4 + 15x 3 – 15x 2 – 34x – 15 = 0.

1.3. સમીકરણો ઉકેલવા માટે વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ

વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ એ સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિ છે. પરિવર્તનશીલ પરિવર્તન કરવાની કળા એ જોવાનું છે કે કયો ફેરફાર સૌથી વધુ અર્થપૂર્ણ છે અને વધુ ઝડપથી સફળતા તરફ દોરી જશે.

જો સમીકરણ આપવામાં આવે તો

F(f(x)) = 0, (1)

પછી અજ્ઞાત y = f(x) ને બદલીને તે પ્રથમ સમીકરણમાં ઘટાડવામાં આવે છે

અને પછી સમીકરણ (2) y 1 , y 2 , …, y n , … ના તમામ ઉકેલો શોધી કાઢ્યા પછી સમીકરણ f(x) = y 1, f(x) = y 2 ,…, f ના સમૂહને હલ કરવામાં ઘટાડો થાય છે. (x) = y 2,...

ચલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિને અમલમાં મૂકવાની મુખ્ય રીતો છે:

• અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકતનો ઉપયોગ કરીને;
• દ્વિપદીના ચોરસને પ્રકાશિત કરવું;
• સમીકરણોની સિસ્ટમમાં સંક્રમણ;
• જોડીમાં કૌંસ ખોલવા;
• જોડીમાં કૌંસ ખોલવા અને સમીકરણની બંને બાજુઓ વિભાજીત કરવી;
• સમીકરણની ડિગ્રીમાં ઘટાડો;
• ડબલ રિપ્લેસમેન્ટ.

1.3.1. સમીકરણની શક્તિ ઘટાડવી

સમીકરણ ઉકેલો (x 2 + x + 2)(x 2 + x + 3) = 6 (3)

ઉકેલ. ચાલો x 2 + x + 2 = y સૂચવીએ, પછી ચાલો y(y+1) = 6 લઈએ, બાદમાં ઉકેલીએ, આપણને y 1 = 2, y 2 = -3 મળે છે. આ સમીકરણ (3) x 2 + x + 2 = 2 સમીકરણોના સમૂહની સમકક્ષ છે

x 2 + x + 2 = -3

પ્રથમ ઉકેલવાથી, આપણને x 1 = 0, x 2 = -1 મળે છે. બીજાને ઉકેલવાથી, આપણને મળે છે ,

જવાબ: x 1 = 0, x 2 = -1,

1.3.2. ફોર્મનું ચોથું ડિગ્રી સમીકરણ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, જ્યાં a + b = c + d, અથવા a + c = b + d, અથવા a + d = b+c.

ઉદાહરણ. સમીકરણ ઉકેલો (x - 1)(x - 7)(x -4)(x + 2) = 40

ઉકેલ. – 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, કૌંસની આ જોડીનો ગુણાકાર કરવાથી, આપણને સમીકરણ મળે છે (x 2 - 5x - 14)(x 2 - 5x + 4) = 40

ચાલો બદલીનો પરિચય કરીએ: x 2 - 5x – 14 = y, આપણને y(y + 18) = 40, y 2 + 18y = 40, y 2 + 18y – 40 = 0. y 1 = -20, y સમીકરણ મળે છે. 2 = 2. મૂળ ચલ પર પાછા ફરીને, અમે સમીકરણોનો સમૂહ હલ કરીએ છીએ:

1.3.3. ફોર્મનું સમીકરણ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Ex 2,

જ્યાં ab = cd, અથવા ac = bd, અથવા ad = bc. જોડીમાં કૌંસ ખોલો અને બંને ભાગોને x 2 0 વડે વિભાજીત કરો.

ઉદાહરણ. (x - 1)(x - 2)(x - 8)(x - 4) = 4x 2

ઉકેલ. પ્રથમ અને ત્રીજા અને બીજા અને ચોથા કૌંસમાં સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન સમાન છે, એટલે કે. – 8 (- 1) = (- 2) (- 4). ચાલો કૌંસની દર્શાવેલ જોડીનો ગુણાકાર કરીએ અને સમીકરણ લખીએ (x 2 - 9x + 8)(x 2 - 6x + 8) = 4x 2.

x = 0 એ સમીકરણનું મૂળ ન હોવાથી, આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને x 2 0 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ, આપણને મળે છે: , બદલી: , મૂળ સમીકરણફોર્મ લેશે: t(t+3) =4, t 2 + 3t=4, t 2 + 3t – 4=0, t 1 =1, t 2 = - 4.

ચાલો મૂળ ચલ પર પાછા જઈએ:

આપણે પ્રથમ સમીકરણ હલ કરીએ છીએ, આપણને x 1.2 = 5 ± મળે છે

બીજા સમીકરણમાં કોઈ મૂળ નથી.

જવાબ: x 1.2 = 5 ±

1.3.4. ચોથા પ્રકારનું સમીકરણ (ax 2 + b 1 x + c)(ax 2 + b 2 x + c) = Ax 2

સમીકરણ (ax 2 + b 1 x+ c)(ax 2 + b 2 x + c) = Ax 2, જ્યાં c 0, A 0, પાસે મૂળ x = 0 નથી, તેથી, સમીકરણને x 2 વડે ભાગતા, આપણને સમકક્ષ સમીકરણ મળે છે , જે, અજાણ્યાને બદલ્યા પછી, ચોરસના રૂપમાં ફરીથી લખવામાં આવશે અને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.

નામ સમીકરણના ગુણાંક એ ડેટા છે, hnaz. અજ્ઞાત અને ઇચ્છિત છે. A. ગુણાંક (1) બધા શૂન્ય હોવાનું માનવામાં આવતું નથી. જો પછી ફોન કર્યો સમીકરણની ડિગ્રી.

અજ્ઞાતનો અર્થ X,જે સમીકરણ (1) ને સંતોષે છે, એટલે કે, જ્યારે તેને બદલે, તેઓ સમીકરણને ઓળખમાં રૂપાંતરિત કરે છે, જેને કહેવાય છે. સમીકરણના મૂળ (1), તેમજ બહુપદીના મૂળ

fn(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + ... a n .(2)

બહુપદીના મૂળ વિયેટાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને તેના ગુણાંક સાથે સંબંધિત છે (જુઓ. વિયેટાનું પ્રમેય). સમીકરણ ઉકેલવાનો અર્થ એ છે કે અજ્ઞાત મૂલ્યોની માનવામાં આવેલ શ્રેણીમાં પડેલા તેના તમામ મૂળ શોધવા.

એપ્લિકેશન્સ માટે, સૌથી મહત્વપૂર્ણ કેસ એ છે કે જ્યારે સમીકરણના ગુણાંક અને મૂળ એ એક અથવા બીજી પ્રકૃતિની સંખ્યાઓ છે (ઉદાહરણ તરીકે, તર્કસંગત, વાસ્તવિક અથવા જટિલ). જ્યારે ગુણાંક અને મૂળ એક મનસ્વી તત્વો હોય ત્યારે પણ કેસ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે ક્ષેત્રોજો આપેલ નંબર(અથવા ક્ષેત્ર તત્વ) સાથે -બહુપદીનું મૂળ fn(X) , પછી અનુસાર પ્રમેય વિના f n(x). વડે વિભાજ્ય x-sટ્રેસ વિના. હોર્નર મુજબ ડિવિઝન કરી શકાય છે

યોજના નંબર (અથવા ફીલ્ડ એલિમેન્ટ) કહેવાય છે. k-લશ્કરી માટે બહુપદી f(x)(નું મૂળ k-કુદરતી સંખ્યા x-s), જો f(x). વડે વિભાજ્ય હોય ) k , પરંતુ (x-с) k+1 વડે વિભાજ્ય નથી. ગુણાકાર 1 ના મૂળ કહેવાય છે.સરળ મૂળ

બહુપદી

દરેક બહુપદી f(x). ની ડિગ્રી n>0 ફીલ્ડના ગુણાંક સાથે Rime Pn માં મૂળ કરતાં વધુ ધરાવે છે, દરેક મૂળને તેની ગુણાકાર જેટલી ગણી ગણે છે (અને તેથી, pdifferent મૂળ કરતાં વધુ નહીં). INબીજગણિતીય રીતે બંધ ક્ષેત્ર

ડિગ્રીના દરેક બહુપદીમાં બરાબર મૂળ હોય છે (તેમની ગુણાકારની ગણતરી). ખાસ કરીને, આ જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર માટે સાચું છે. Pnaz ક્ષેત્રના ગુણાંક સાથે ડિગ્રી ps નું સમીકરણ (1). ક્ષેત્ર પર અફરઆર, Pnaz ક્ષેત્રના ગુણાંક સાથે ડિગ્રી ps નું સમીકરણ (1). ક્ષેત્ર પર અફરજો બહુપદી (2) આ ક્ષેત્ર પર અફર છે, એટલે કે ક્ષેત્ર પર અન્ય બહુપદીના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાતું નથી જેની ડિગ્રી ઓછી છેપી. નહિંતર, બહુપદી અને અનુરૂપ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. આપેલ. શૂન્ય ડિગ્રીના બહુપદીઓ પોતે ન તો ઘટાડી શકાય તેવા હોય છે કે ન તો બદલી શકાય તેવા હોય છે. આપેલ બહુપદીની મિલકત P ક્ષેત્ર પર ઘટાડી શકાય તેવી અથવા અફર કરી શકાય તેવી હોવી જોઈએ તે વિચારણા હેઠળના ક્ષેત્ર પર આધારિત છે. આમ, બહુપદી x 2 -2 એ તર્કસંગત સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર અફર છે, કારણ કે અન્યથા તે તર્કસંગત મૂળ ધરાવે છે, પરંતુ તે ક્ષેત્ર પર ઘટાડી શકાય તેવું છે.: વાસ્તવિક સંખ્યાઓ x 2 - 2=(x+)(Ts22=(x+ X- ). તેવી જ રીતે, બહુપદી x 2 + 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર અફર છે, પરંતુ જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર ઘટાડી શકાય તેવું છે. સામાન્ય રીતે, જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં માત્ર 1લી ડિગ્રીના બહુપદીઓ અફર છે, અને કોઈપણ બહુપદીનું વિઘટન કરી શકાય છે.રેખીય પરિબળો . વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં, માત્ર 1લી ડિગ્રીના બહુપદીઓ અને 2જી ડિગ્રીના બહુપદીઓ કે જેમાં વાસ્તવિક મૂળ નથી (અને દરેક બહુપદીને રેખીય અને અફર કરી શકાય તેવામાં વિઘટિત કરી શકાય છે.). તર્કસંગત સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર કોઈપણ ડિગ્રીના અવિભાજ્ય બહુપદીઓ હોય છે, જેમ કે, ફોર્મના બહુપદીઓ, તર્કસંગત સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર બહુપદીની અવિભાજ્યતા આઈઝેનસ્ટાઈન માપદંડ દ્વારા સ્થાપિત થાય છે: જો બહુપદી માટે (2) પૂર્ણાંક સહગુણાંકો સાથેની ડિગ્રી ત્યાં p એવી રીતે અસ્તિત્વમાં છે કે અગ્રણી એક વડે વિભાજ્ય નથી p,અન્ય તમામ ગુણાંકો વડે વિભાજ્ય છે, અને મુક્ત શબ્દ ત્યાં સુધીમાં વિભાજ્ય નથી હોતો આ બહુપદી તર્કસંગત સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર પર બિન-ઘટાડી શકાય તેવી હોય છે.

દો આર -કસ્ટમ ક્ષેત્ર. ક્ષેત્ર પર અફર કરી શકાય તેવી ડિગ્રીના કોઈપણ બહુપદી માટે Pnaz ક્ષેત્રના ગુણાંક સાથે ડિગ્રી ps નું સમીકરણ (1). ક્ષેત્ર પર અફરઆવી વસ્તુ છે વિસ્તરણક્ષેત્ર P, જેમાં બહુપદીનું ઓછામાં ઓછું એક મૂળ હોય છે, વધુમાં, ત્યાં એક બહુપદી છે, એટલે કે, એક ક્ષેત્ર; Pnaz ક્ષેત્રના ગુણાંક સાથે ડિગ્રી ps નું સમીકરણ (1). ક્ષેત્ર પર અફરજેમાં આ બહુપદીને રેખીય પરિબળોમાં વિઘટિત કરી શકાય છે. કોઈપણ ક્ષેત્ર બીજગણિત રીતે બંધ છે.

રેડિકલમાં બીજગણિત સમીકરણોની દ્રાવ્યતા. કોઈપણ A.u. 4 થી વધુ ન હોય તેવી ડિગ્રી રેડિકલમાં ઉકેલાય છે. 2જી અને 3જી ડિગ્રીના ચોક્કસ પ્રકારના સમીકરણો તરફ દોરી જતી સમસ્યાઓનો ઉકેલ પ્રાચીન બેબીલોન (2000 બીસી) માં મળી શકે છે (જુઓ. ચતુર્ભુજ સમીકરણ, ઘન સમીકરણ).ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાના સિદ્ધાંતની પ્રથમ રજૂઆત ડાયોફન્ટસના પુસ્તક “અંકગણિત” (3જી સદી એડી)માં આપવામાં આવી છે. 16મી સદીમાં ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા અક્ષર ગુણાંક સાથે 3જી અને 4થી ડિગ્રીના સમીકરણોના રેડિકલમાં ઉકેલ મેળવવામાં આવ્યો હતો. (સે.મી. કાર્ડાનો, ફેરારી પદ્ધતિ).આ પછી લગભગ 300 વર્ષ સુધી, રેડિકલમાં 5મી અને ઉચ્ચ શક્તિના અક્ષર ગુણાંક સાથેના સમીકરણને ઉકેલવાના અસફળ પ્રયાસો કરવામાં આવ્યા. છેવટે, 1826 માં એન. એબેલે સાબિત કર્યું કે આ અશક્ય હતું.

આધુનિક રચનાએબેલનું પ્રમેય: ચાલો (1) × શાબ્દિક ગુણાંક સાથે ડિગ્રી સમીકરણ × કોઈપણ ક્ષેત્ર અને RF ક્ષેત્ર તર્કસંગત કાર્યોથી ગુણાંક સાથે TO;પછી સમીકરણના મૂળ (1) (ક્ષેત્રના અમુક વિસ્તરણમાં પડેલા પી)નો ઉપયોગ કરીને આ સમીકરણના ગુણાંક દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાતું નથી મર્યાદિત સંખ્યાસરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકારની ક્રિયાઓ (જે ક્ષેત્રમાં અર્થપૂર્ણ છે પી)અને મૂળ ચિહ્નો (ક્ષેત્રને વિસ્તૃત કરવામાં અર્થપૂર્ણ આર).બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સામાન્ય સમીકરણડિગ્રી n>4 રેડિકલમાં વણઉકેલાયેલી છે (જુઓ, પૃષ્ઠ 226).

અબેલનું પ્રમેય બાકાત કરતું નથી, જોકે, એ હકીકત છે કે દરેક એ. ડેટા સાથે સંખ્યાત્મક ગુણાંક(અથવા માંથી ગુણાંક આ ક્ષેત્રની) રેડિકલમાં ઉકેલાય છે. કોઈપણ ચોક્કસ પ્રકારના કોઈપણ ડિગ્રીના સમીકરણો રેડિકલમાં ઉકેલાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, દ્વિપદી સમીકરણો). સંપૂર્ણ ઉકેલએ પ્રશ્ન કઈ શરતો હેઠળ A. ખાતે. રેડિકલમાં દ્રાવ્ય, સીએ. 1830 E. Galois (E. Galois).

મુખ્ય ગેલોઈસ સિદ્ધાંત A. ની દ્રાવ્યતા પર. રેડિકલમાં નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે: Η ને K ક્ષેત્રના ગુણાંક સાથે બહુપદી બનવા દો, K પર અફર કરી શકાય તેવું; પછી: 1) જો સમીકરણનું ઓછામાં ઓછું એક મૂળ આ સમીકરણના ગુણાંક દ્વારા રેડિકલમાં દર્શાવવામાં આવે છે, અને રેડિકલના ઘાતાંક શૂન્ય K ની લાક્ષણિકતા દ્વારા વિભાજ્ય નથી, તો ક્ષેત્ર પર આ સમીકરણનો ગેલોઈસ છે. ઉકેલી શકાય તેવું; 2) તેનાથી વિપરીત, જો સમીકરણનું ગેલોઈસ જૂથ f(x) = Qક્રેસ્ટિમ ક્ષેત્ર પર, અને K આ જૂથના રચના પરિબળોના તમામ ઓર્ડર કરતાં શૂન્યની બરાબર અથવા વધારે છે, પછી સમીકરણના તમામ મૂળ તેના ગુણાંક દ્વારા રેડિકલમાં રજૂ થાય છે, અને ઉદ્ભવતા રેડિકલના તમામ ઘાતાંક H છે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, અને આ રેડિકલને અનુરૂપ દ્વિપદી સમીકરણો જે ક્ષેત્રોમાં આ ઉમેરવામાં આવે છે તેના પર અફર છે.

ઇ. ગેલોઈસે આ પ્રમેયને જ્યારે કેસ માટે સાબિત કર્યો કે એચતર્કસંગત સંખ્યાઓનું ક્ષેત્ર; આ કિસ્સામાં, પ્રમેયની રચનામાં સમાવિષ્ટ ક્ષેત્ર K ની લાક્ષણિકતા પરની બધી શરતો બિનજરૂરી બની જાય છે.

એબેલનું પ્રમેય એ ગેલોઈસના પ્રમેયનું પરિણામ છે, કારણ કે ગેલોઈસ ગ્રૂપ ડિગ્રી ns ના સમીકરણો ક્ષેત્ર પર અક્ષર ગુણાંક દ્વારા કોઈપણ ક્ષેત્ર CN સપ્રમાણતાના ગુણાંક સાથેના સમીકરણના ગુણાંકના તર્કસંગત કાર્યો કરે છે. જૂથ અને માટે અનિર્ણાયક છે. કોઈપણ માટે, તર્કસંગત (અને પૂર્ણાંક પણ) ગુણાંક સાથે ડિગ્રી n ના સમીકરણો છે જે રેડિકલમાં વણઉકલ્યા છે. માટે આવા સમીકરણનું ઉદાહરણ સમીકરણ છે, જ્યાં рН એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. ગેલોઈસ સિદ્ધાંત આપેલ અલ્ગોરિધમનો ઉકેલ ઘટાડવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે. સરળ સમીકરણોની સાંકળ માટે, કહેવાય છે દ્રાવક આપેલ સમીકરણ.

રેડિકલમાં સમીકરણોની દ્રાવ્યતા ભૌમિતિકતાના પ્રશ્ન સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે. હોકાયંત્રો અને શાસકોનો ઉપયોગ કરીને બાંધકામો, ખાસ કરીને વર્તુળને વિભાજીત કરવાની સમસ્યા nસમાન ભાગો (જુઓ વર્તુળ બહુપદીનું વિભાજન, આદિમ મૂળ).

બીજગણિતીય સમીકરણો સંખ્યાત્મક ગુણાંક સાથે અજાણ્યામાં. A. u ના મૂળ શોધવા માટે. 2 થી વધુ ડિગ્રીની વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રના ગુણાંક સાથે, નિયમ તરીકે, અંદાજિત ગણતરી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, પેરાબોલા પદ્ધતિ).આ કિસ્સામાં, પ્રથમ બહુવિધ મૂળથી છુટકારો મેળવવા માટે તે અનુકૂળ છે. સંખ્યા c એ બહુપદીનું k-ફોલ્ડ રુટ છે જો અને માત્ર જો બહુપદી અને તેના ડેરિવેટિવ્સ ક્રમમાં હોય kH 1 સમાવિષ્ટ પર શૂન્ય પર જાઓ. જો સૌથી મોટા વડે ભાગ્યા હોય સામાન્ય વિભાજકઆ બહુપદી અને તેના વ્યુત્પન્ન, પછી પરિણામ એ બહુપદી છે જે બહુપદી જેવા જ મૂળ ધરાવે છે, પરંતુ માત્ર પ્રથમ ગુણાકારનું છે. તરીકે ધરાવતા બહુપદીઓ બાંધવાનું પણ શક્ય છે સરળ મૂળબહુપદીના તમામ મૂળ સમાન ગુણાકાર ધરાવે છે. બહુપદી બહુવિધ મૂળ ધરાવે છે જો અને માત્ર જો તે ભેદભાવપૂર્ણશૂન્ય બરાબર.

સીમાઓ અને મૂળની સંખ્યા નક્કી કરવામાં ઘણી વાર સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે. a ના તમામ મૂળ (વાસ્તવિક અને જટિલ બંને) ની મોડ્યુલીની ઉપરની સીમાની બહાર. (1) કોઈપણ જટિલ ગુણાંક સાથે આપણે સંખ્યા લઈ શકીએ છીએ

વાસ્તવિક ગુણાંકના કિસ્સામાં, વધુ ચોક્કસ બાઉન્ડ સામાન્ય રીતે દ્વારા આપવામાં આવે છે ન્યુટનની પદ્ધતિ.વ્યાખ્યા તરફ ઉપલી મર્યાદા હકારાત્મક મૂળપોઝિટિવની નીચલી સીમાની વ્યાખ્યા, તેમજ ઉપલા અને નીચલા સીમાને ઘટાડે છે નકારાત્મક મૂળ.

વાસ્તવિક મૂળની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે, સૌથી સહેલો રસ્તો વાપરવાનો છે ડેકાર્ટેસનું પ્રમેય.જો તે જાણીતું હોય કે આપેલ બહુપદીના તમામ મૂળ વાસ્તવિક છે (ઉદાહરણ તરીકે, વાસ્તવિક સપ્રમાણ મેટ્રિક્સના લાક્ષણિક બહુપદી માટે), તો ડેસકાર્ટેસનું પ્રમેય મૂળની ચોક્કસ સંખ્યા આપે છે. બહુપદીને ધ્યાનમાં લેતા, તમે નકારાત્મક મૂળની સંખ્યા શોધવા માટે સમાન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકો છો. આપેલ અંતરાલ પર પડેલા વાસ્તવિક મૂળની ચોક્કસ સંખ્યા (ખાસ કરીને, તમામ વાસ્તવિક મૂળની સંખ્યા) વાસ્તવિક ગુણાંક સાથેના બહુપદીના કે જેમાં બહુવિધ મૂળ ન હોય તેના દ્વારા શોધી શકાય છે. સ્ટર્મા નિયમ.ડેકાર્ટેસનું પ્રમેય એક વિશેષ કેસ છે બુડાનાએચ ફોરિયર પ્રમેય,ચોક્કસ નિશ્ચિત અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે બહુપદીના વાસ્તવિક મૂળની સંખ્યા માટે ઉપરનો અંદાજ આપવો.

કેટલીકવાર તેમને મૂળ શોધવામાં રસ હોય છે ખાસ પ્રકાર, તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, હર્વિટ્ઝ માપદંડ જરૂરી આપે છે અને પૂરતી સ્થિતિસમીકરણના તમામ મૂળ (જટિલ ગુણાંક સાથે) ને નકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગો રાખવા માટે (જુઓ. રૂસાએચ હર્વિટ્ઝ માપદંડ).

સાથે બહુપદી માટે તર્કસંગત ગુણાંકતેના તમામ તર્કસંગત મૂળની ગણતરી કરવાની એક પદ્ધતિ છે. તર્કસંગત સહગુણાંકો સાથેના બહુપદીમાં પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથેના બહુપદી જેવા જ મૂળ હોય છે, જે ગુણાંકના તમામ છેદના સામાન્ય વડે ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે અફર અપૂર્ણાંકફોર્મનું , જેના માટે rH સંખ્યાઓ છે , અને H એ સંખ્યાનો વિભાજક છે (અને માત્ર આ અપૂર્ણાંકોમાંથી તે પણ કે જેના માટે, કોઈપણ પૂર્ણાંક માટે, સંખ્યા વડે વિભાજ્ય છે).

જો , તો બહુપદીના તમામ તર્કસંગત મૂળ (જો તે બિલકુલ હોય તો) પૂર્ણાંકો છે જે વિભાજકો છે મફત સભ્ય, અને જડ બળ દ્વારા શોધી શકાય છે.

બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો. A.U સિસ્ટમો વિશે 1 લી ડિગ્રી જુઓ રેખીય સમીકરણ.

સિસ્ટમ બે એ.યુ. બે અજાણ્યા સાથે કોઈપણ ડિગ્રી x અને yઆ રીતે લખી શકાય છે:

જ્યાં એક અજ્ઞાતમાં H બહુપદી એક્સ.

જો તમે કંઈક આપો સંખ્યાત્મક મૂલ્ય, તમને સતત ગુણાંક સાથે અજાણ્યામાંથી બે સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે. પરિણામીઆ સિસ્ટમમાં નીચેના નિર્ણાયક હશે:

નીચેનું વિધાન સાચું છે: સંખ્યા એ પરિણામનું મૂળ છે જો અને માત્ર જો બહુપદીમાં સામાન્ય મૂળ હોય અથવા બંને અગ્રણી ગુણાંક શૂન્ય સમાન હોય.

આમ, સિસ્ટમ (3)ને ઉકેલવા માટે તમારે પરિણામના તમામ મૂળ શોધવાની જરૂર છે, આ દરેક મૂળને સિસ્ટમમાં બદલો (3) અને એક અજાણ્યા સાથે આ બે સમીકરણોના સામાન્ય મૂળ શોધવા. uવધુમાં, બે બહુપદીના સામાન્ય મૂળ શોધવા અને તેમને સિસ્ટમ (3) માં બદલવાની પણ જરૂર છે અને એક અજ્ઞાત સાથે પરિણામી સમીકરણો છે કે કેમ તે તપાસવું જરૂરી છે. સામાન્ય મૂળ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બે A.ની સિસ્ટમનો ઉકેલ. બે અજ્ઞાત સાથે એક સમીકરણને એક અજ્ઞાત સાથે ઉકેલવા અને એક અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોના સામાન્ય મૂળની ગણતરી કરવા માટે નીચે આવે છે (એક અજ્ઞાત સાથેના બે અથવા વધુ બહુપદીના સામાન્ય મૂળ તેમના સૌથી મોટા સામાન્ય વિભાજકના મૂળ છે). - બીજગણિત સમીકરણ, એક સમીકરણ જેને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે જેથી ડાબી બાજુએ અજાણ્યામાં બહુપદી હશે અને જમણી બાજુએ શૂન્ય હશે. બહુપદીની ડિગ્રીને સમીકરણની ડિગ્રી કહેવામાં આવે છે. સૌથી સરળ બીજગણિત સમીકરણો: રેખીય સમીકરણ... ...

સચિત્ર જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ બે સમીકરણ કરીને મેળવેલ સમીકરણબીજગણિતીય અભિવ્યક્તિઓ . ઉદાહરણ તરીકે, x2+xy+y2 =x+1. એક અજાણ્યા સાથેનું બીજગણિતીય સમીકરણ aо + a1x + ... + anxn=0 ... સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે.

મોટા જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશબીજગણિતીય સમીકરણ - - [એલ.જી. સુમેન્કો. માહિતી ટેકનોલોજી પર અંગ્રેજી-રશિયન શબ્દકોશ. એમ.: સ્ટેટ એન્ટરપ્રાઇઝ TsNIIS, 2003.] વિષયોમાહિતી ટેકનોલોજી સામાન્ય રીતે EN બહુપદી સમીકરણ... ટેકનિકલ ટ્રાન્સલેટરની હેન્ડબુક - બે બીજગણિત સમીકરણ દ્વારા મેળવેલ સમીકરણ. અભિવ્યક્તિઓ ઉદાહરણ તરીકે, x2 + xy + y2 = x + 1. A.y. એક અજાણ્યા x સાથે ફોર્મ ao + a1x+ ... + anxn = 0 માં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે ...

કુદરતી વિજ્ઞાન. જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ ગણિતમાં ચોથા ડિગ્રીનું સમીકરણ એ ફોર્મનું બીજગણિતીય સમીકરણ છે: . બીજગણિત સમીકરણો માટે ચોથી ડિગ્રી સૌથી વધુ છે કે જેના પર અસ્તિત્વમાં છેવિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ માં રેડિકલ માંસામાન્ય દૃશ્ય

(એટલે ​​કે, કોઈપણ મૂલ્ય માટે... ... વિકિપીડિયા 5 સાથે 6ઠ્ઠી ડિગ્રી બહુપદીનો આલેખનિર્ણાયક મુદ્દાઓ . છઠ્ઠી ડિગ્રી સમીકરણ એ બીજગણિતીય સમીકરણ છે જે ધરાવે છેમહત્તમ ડિગ્રી

6. સામાન્ય રીતે, તે નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે... વિકિપીડિયા

સમીકરણોના પ્રકારબીજગણિત સમીકરણો. fnફોર્મના સમીકરણો fn- એક અથવા વધુ ચલોમાં બહુપદી, જેને બીજગણિત સમીકરણો કહેવાય છે. બહુપદી એ સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે

fn = a 0 x i y j ... v k + a 1 x l y m ... v n +¼ + a s x p y q ... v r,

જ્યાં x, y, ..., વિચલ છે, અને i, j, ..., આર- ઘાતાંક (પૂર્ણાંકો) બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ). એક ચલમાં બહુપદી નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

f(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + ... + એક એન – 1 x + એક એન

અથવા, ખાસ કિસ્સામાં, 3 x 4 – x 3 + 2x 2 + 4x– 1. એક અજાણ્યા સાથેનું બીજગણિતીય સમીકરણ એ ફોર્મનું કોઈપણ સમીકરણ છે f(x) = 0. જો a 0 ¹ 0, પછી nસમીકરણની ડિગ્રી કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 2 x+ 3 = 0 – પ્રથમ ડિગ્રીનું સમીકરણ; ફંક્શનનો ગ્રાફ હોવાથી, પ્રથમ ડિગ્રીના સમીકરણોને રેખીય કહેવામાં આવે છે y = કુહાડી + bસીધી રેખા જેવો દેખાય છે. બીજી ડિગ્રીના સમીકરણોને ચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે, અને ત્રીજા ડિગ્રીના સમીકરણોને ઘન કહેવામાં આવે છે. ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો પણ સમાન નામ ધરાવે છે.

ગુણાતીત સમીકરણો.લઘુગણક, ઘાતાંકીય, અથવા જેવા ગુણાતીત કાર્યો ધરાવતા સમીકરણો ત્રિકોણમિતિ કાર્ય, ગુણાતીત કહેવાય છે. એક ઉદાહરણ હશે નીચેના સમીકરણો:

જ્યાં લોગ એ બેઝ 10 માટે લઘુગણક છે.

વિભેદક સમીકરણો. આ એક અથવા વધુ કાર્યો અને તેમના વ્યુત્પન્ન અથવા તફાવતો ધરાવતા સમીકરણોને આપવામાં આવેલ નામ છે. વિભેદક સમીકરણો કુદરતના નિયમોને સચોટ રીતે ઘડવાનું અત્યંત મૂલ્યવાન માધ્યમ સાબિત થયા છે.

અભિન્ન સમીકરણો.અવિભાજ્ય ચિહ્ન હેઠળ અજ્ઞાત કાર્ય ધરાવતા સમીકરણો, ઉદાહરણ તરીકે, f (s) = ò કે (s, t) f(t) તા, ક્યાં f(s) અને કે(s,t) આપવામાં આવે છે, અને f(t) શોધવાની જરૂર છે.

ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણો.ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણ એ પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બે અથવા વધુ અજાણ્યાઓ સાથેનું બીજગણિત સમીકરણ છે, જેનો ઉકેલ પૂર્ણાંકો અથવા તર્કસંગત સંખ્યાઓમાં માંગવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ 3 x – 5y= 1 પાસે ઉકેલ છે x = 7, y= 4; સામાન્ય રીતે, તેના ઉકેલો ફોર્મના પૂર્ણાંકો છે x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.

બીજગણિત સમીકરણો ઉકેલવા

ઉપરોક્ત તમામ પ્રકારના સમીકરણો માટે સામાન્ય પદ્ધતિઓકોઈ ઉકેલ નથી. તેમ છતાં ઘણા કિસ્સાઓમાં, ખાસ કરીને ચોક્કસ પ્રકારના બીજગણિત સમીકરણો માટે, ત્યાં પૂરતું છે સંપૂર્ણ સિદ્ધાંતતેમના નિર્ણયો.

રેખીય સમીકરણો.આ સરળ સમીકરણોને સમકક્ષ સમીકરણમાં ઘટાડીને હલ કરવામાં આવે છે જેમાંથી અજ્ઞાતનું મૂલ્ય તરત જ સ્પષ્ટ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ x+ 2 = 7 ને સમકક્ષ સમીકરણમાં ઘટાડી શકાય છે xજમણી અને ડાબી બાજુઓમાંથી સંખ્યા 2 બાદ કરીને = 5. મિશ્રણ પગલાં સરળ સમીકરણ, ઉદાહરણ તરીકે, x+ 2 = 7, સમકક્ષ, ચાર સ્વયંસિદ્ધના ઉપયોગ પર આધારિત છે.

1. જો સમાન મૂલ્યોસમાન સંખ્યામાં વધારો, પરિણામો સમાન હશે.

2. જો તમે સમાન જથ્થામાંથી સમાન સંખ્યાને બાદ કરો છો, તો પરિણામો સમાન હશે.

3. જો સમાન મૂલ્યોને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો પરિણામો સમાન હશે.

4. જો સમાન જથ્થાઓને સમાન સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે, તો પરિણામો સમાન હશે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ 2 ઉકેલવા માટે x+ 5 = 15, આપણે સ્વયંસિદ્ધ 2 નો ઉપયોગ કરીશું અને જમણી અને ડાબી બાજુઓમાંથી સંખ્યા 5 બાદ કરીશું, પરિણામે સમકક્ષ સમીકરણ 2 આવશે. x= 10. પછી આપણે સ્વયંસિદ્ધ 4 નો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને પરિણામી સમીકરણની બંને બાજુઓને 2 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ, જેના પરિણામે મૂળ સમીકરણ ફોર્મમાં ઘટે છે. x= 5, જે ઇચ્છિત ઉકેલ છે.

ચતુર્ભુજ સમીકરણો.સામાન્ય ચતુર્ભુજ સમીકરણના ઉકેલો કુહાડી 2 + bx + c= 0 ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે

આમ, ત્યાં બે ઉકેલો છે, જે ચોક્કસ કિસ્સામાં એકરૂપ થઈ શકે છે.

અન્ય બીજગણિત સમીકરણો.સ્પષ્ટ સૂત્રો, ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવા માટેના સૂત્ર જેવા જ, ત્રીજા અને ચોથા અંશના સમીકરણો માટે જ લખી શકાય છે. પરંતુ આ સૂત્રો જટિલ છે અને હંમેશા મૂળ શોધવામાં મદદ કરતા નથી. પાંચમી ડિગ્રી અથવા તેનાથી વધુના સમીકરણો માટે, તેમના માટે, એન. એબેલે 1824 માં સાબિત કર્યું હતું, તે સૂચવવું અશક્ય છે સામાન્ય સૂત્ર, જે રેડિકલનો ઉપયોગ કરીને તેના ગુણાંક દ્વારા સમીકરણના મૂળને વ્યક્ત કરશે. કેટલાક ખાસ કિસ્સાઓમાં, ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો સરળતાથી ફેક્ટર કરીને ઉકેલી શકાય છે ડાબી બાજુ, એટલે કે તેને પરિબળોમાં પરિબળ બનાવવું.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ x 3 + 1 = 0 ફેક્ટરાઇઝ્ડ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે ( x + 1)(x 2 – x+ 1) = 0. આપણે દરેક પરિબળ સેટ કરીને ઉકેલો શોધીએ છીએ શૂન્ય બરાબર:

તેથી મૂળ સમાન છે x= –1, એટલે કે માત્ર 3 મૂળ.

જો સમીકરણને પરિબળ બનાવી શકાતું નથી, તો અંદાજિત ઉકેલોનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. અંદાજિત ઉકેલો શોધવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિઓ હોર્નર, ન્યૂટન અને ગ્રીફે દ્વારા વિકસાવવામાં આવી હતી. જો કે, તમામ કિસ્સાઓમાં મજબૂત વિશ્વાસ છે કે ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે: બીજગણિત સમીકરણ n-મી ડિગ્રી બરાબર છે nમૂળ

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો.બે અજાણ્યામાં બે રેખીય સમીકરણો આ રીતે લખી શકાય

આવી સિસ્ટમનો ઉકેલ નિર્ધારકોનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે

તે અર્થમાં બનાવે છે જો જો ડી= 0, પછી બે કેસ શક્ય છે. (1) નિર્ણાયકોમાંથી ઓછામાં ઓછું એક અને શૂન્યથી અલગ છે. આ કિસ્સામાં, સમીકરણોનો કોઈ ઉકેલ નથી; સમીકરણો અસંગત છે. સંખ્યાત્મક ઉદાહરણઆવી પરિસ્થિતિ - સિસ્ટમ

(2) બંને નિર્ધારકો શૂન્ય સમાન છે. આ કિસ્સામાં, બીજું સમીકરણ ફક્ત પ્રથમનો ગુણાંક છે અને અસ્તિત્વમાં છે અનંત સંખ્યાનિર્ણયો

સામાન્ય સિદ્ધાંતવિચારી રહી છે mસાથે રેખીય સમીકરણો nચલો:

જો m = nઅને મેટ્રિક્સ ( એક ij) બિન-ડિજનરેટ છે, તો પછી ઉકેલ અનન્ય છે અને ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

જ્યાં એ જી – બીજગણિતીય પૂરકતત્વ એક ijમેટ્રિક્સમાં ( એક ij). વધુ માં સામાન્ય શબ્દોમાંનીચેના પ્રમેય અસ્તિત્વમાં છે. દો આર- મેટ્રિક્સ રેન્ક ( એક ij), s- સરહદી મેટ્રિક્સનો ક્રમ ( એક ij; b i), જેમાંથી મેળવવામાં આવે છે એક ijસંખ્યાઓની કૉલમ જોડવી b i. પછી: (1) જો r = s, પછી ત્યાં છે n–rરેખીય સ્વતંત્ર નિર્ણયો; (2) જો આર< s , પછી સમીકરણો અસંગત છે અને કોઈ ઉકેલો નથી.

બીજગણિત સમીકરણ, ફોર્મ F(x 1 ,…,x m)=0 નું સમીકરણ, જ્યાં F એ m ચલોમાં બહુપદી છે, જેને અજ્ઞાત કહેવામાં આવે છે.

એવું માનવામાં આવે છે કે બહુપદીના ગુણાંક નિશ્ચિત મુખ્ય ક્ષેત્ર K સાથે સંબંધિત છે. બીજગણિત સમીકરણનો ઉકેલ એ ક્ષેત્ર K (અથવા તેના એક્સ્ટેંશન), જે, બહુપદી F માં અવેજી પછી, તેને શૂન્યમાં ફેરવે છે. બીજગણિતીય સમીકરણોના સિદ્ધાંતનું મુખ્ય કાર્ય એ પરિસ્થિતિઓને સ્પષ્ટ કરવાનું છે જ્યારે આપેલ બીજગણિત સમીકરણમાં ઉકેલ હોય છે અને તમામ ઉકેલોના સમૂહનું વર્ણન હોય છે.

એક અજાણ્યા સાથેનું બીજગણિતીય સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે

એવું માનવામાં આવે છે કે n>0 અને a 0 ≠ 0. સંખ્યા n એ સમીકરણની ડિગ્રી કહેવાય છે, અને સંખ્યાઓ a 0, a 1 ..., અને n તેના ગુણાંક છે. અજ્ઞાત x ના મૂલ્યો જે સમીકરણના ઉકેલો છે તેને તેના મૂળ, તેમજ બહુપદી F(x) ના મૂળ કહેવામાં આવે છે. જો α એ સમીકરણ (1) નું મૂળ છે, તો બહુપદી F(x) ને (x-α) (બેઝાઉટનું પ્રમેય) દ્વારા શેષ વિના વિભાજિત કરવામાં આવે છે. જો બહુપદી F(x) એ (x-α)k વડે વિભાજ્ય ન હોય અને (x-α)k વડે વિભાજ્ય ન હોય તો મુખ્ય ક્ષેત્ર K (અથવા તેનું વિસ્તરણ) નું તત્વ α એ બીજગણિતીય સમીકરણનું k-ફોલ્ડ રુટ કહેવાય છે. +1. બહુવિધ 1 ના મૂળને સમીકરણના સરળ મૂળ પણ કહેવામાં આવે છે.

K ક્ષેત્રના ગુણાંક સાથે ડિગ્રી n ના દરેક બહુપદી K માં મૂળ n કરતાં વધુ નથી, તેમના ગુણાકારને ધ્યાનમાં લેતા મૂળની ગણતરી કરે છે. જો ક્ષેત્ર K બીજગણિતીય રીતે બંધ હોય, તો પછી આવા દરેક બહુપદીમાં તેમના ગુણાકારને ધ્યાનમાં લેતા બરાબર n મૂળ હોય છે. ખાસ કરીને, જટિલ સંખ્યાઓ C (બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય) ના ક્ષેત્ર માટે આ સાચું છે. બેઝાઉટના પ્રમેયમાંથી તે અનુસરે છે કે F(x) ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે

જ્યાં α 1,.....α n એ સમીકરણના મૂળ છે. સમીકરણના મૂળ અને ગુણાંક વિએટાના સૂત્રો દ્વારા સંબંધિત છે

ડિગ્રી n≤ 4 ના દરેક સમીકરણને રેડિકલમાં ઉકેલી શકાય છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણના મૂળ માટે સ્પષ્ટ સૂત્રો છે જે સમીકરણના ગુણાંક દ્વારા મૂળને વ્યક્ત કરે છે અને માત્ર સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર અને મૂળ નિષ્કર્ષણનો ઉપયોગ કરે છે. n=2 (ચતુર્ભુજ સમીકરણ) ના કિસ્સામાં, સૂત્રોનું સ્વરૂપ હોય છે

2જી અને 3જી ડિગ્રીના ચોક્કસ પ્રકારના સમીકરણોને ઘટાડતી સમસ્યાઓના ઉકેલો ક્યુનિફોર્મ ગ્રંથોમાં જોવા મળે છે. પ્રાચીન બેબીલોન. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાના સિદ્ધાંતની પ્રથમ રજૂઆત ડાયોફેન્ટસના અંકગણિત (3જી સદી)માં આપવામાં આવી છે. 16મી સદીમાં ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓ જી. કાર્ડાનો અને એલ. ફેરારી દ્વારા સામાન્ય સ્વરૂપમાં 3જી અને 4થી ડિગ્રીના સમીકરણોના રેડિકલમાં ઉકેલ મેળવવામાં આવ્યો હતો. શોધવા માટે લગભગ 300 વર્ષોથી પ્રયાસો કરવામાં આવી રહ્યા છે સામાન્ય ઉકેલ 4 થી વધુ ડિગ્રીના સમીકરણોના રેડિકલ્સમાં. 1826 માં, એન. એબેલે સાબિત કર્યું કે આ અશક્ય છે (જો કે, ડિગ્રી n>4 ના ચોક્કસ સમીકરણો માટે આવા સૂત્રોના અસ્તિત્વની શક્યતા બાકાત નથી). રેડિકલ્સમાં બીજગણિત સમીકરણ કઈ પરિસ્થિતિમાં ઉકેલી શકાય તેવું છે તે પ્રશ્નનો સંપૂર્ણ ઉકેલ ઈ. ગેલોઈસ (1830ની આસપાસ) દ્વારા મેળવવામાં આવ્યો હતો. રેડિકલમાં સમીકરણોની દ્રાવ્યતાનો પ્રશ્ન ના પ્રશ્ન સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે ભૌમિતિક બાંધકામોહોકાયંત્ર અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને, ખાસ કરીને વર્તુળને n સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવા સાથે, ક્યુબને બમણું કરવાની અશક્યતાના પુરાવા સાથે, ખૂણાના ત્રણ ભાગ અને વર્તુળનું વર્ગીકરણ.

એપ્લિકેશન્સ માટે, જ્યારે સમીકરણના ગુણાંક અને મૂળ સંખ્યાઓ હોય ત્યારે કેસ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે (Z પૂર્ણાંકો, Q રેશનાલ્સ, R વાસ્તવિક અથવા C જટિલ સંખ્યાઓના ક્ષેત્રોમાંથી); આ કિસ્સામાં, આ ક્ષેત્રોના વિશેષ ગુણધર્મોનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, ટોપોલોજીની હાજરી અથવા તેમાં ક્રમાંકન). આ કિસ્સામાં, વિશિષ્ટ કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને, તમે 4 થી વધુ ડિગ્રીના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે સ્પષ્ટ સૂત્રો મેળવી શકો છો.

R અને C ના ગુણાંક સાથેના સમીકરણોના મૂળને વ્યવહારીક રીતે શોધવા માટે, અંદાજિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. વાસ્તવિક ગુણાંક સાથેના સમીકરણોના વાસ્તવિક મૂળની સંખ્યા ઉપરથી અંદાજ કાઢવા માટે, તમે ડેસકાર્ટેસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકો છો: હકારાત્મક મૂળની સંખ્યા, તેમના ગુણાકારને ધ્યાનમાં લેતા, સમાન અથવા તેના દ્વારા સમ સંખ્યાસમીકરણના બિન-શૂન્ય ગુણાંકના ક્રમમાં સાઇન ફેરફારોની સંખ્યા કરતાં ઓછી.

મૂળના મૂલ્યો માટે અસંખ્ય અંદાજો છે. આમ, ફીલ્ડ C પર મૂલ્યો |α i |, i = 1, ..., n, ઓળંગતા નથી

જો ગુણાંક વાસ્તવિક હોય અને 0 ≥a 1 ≥ ... ≥a n ≥0 હોય, તો સમીકરણના તમામ મૂળ તેના પર આવેલા છે જટિલ વિમાનએકમ વર્તુળમાં.

ટકાઉપણુંના મુદ્દાના અભ્યાસના સંબંધમાં યાંત્રિક સિસ્ટમોજ્યારે આપેલ બહુપદી F(x) ના તમામ મૂળમાં નકારાત્મક વાસ્તવિક ભાગો હોય ત્યારે પ્રશ્ન ઊભો થાય છે (રુથ-હરવિટ્ઝ સમસ્યા). આવા બહુપદી F ને સ્થિર કહેવામાં આવે છે. સ્થિર બહુપદી પરના મુખ્ય પરિણામો સી. હર્માઈટ, અંગ્રેજી વૈજ્ઞાનિક ઈ. રાઉથ અને જર્મન ગણિતશાસ્ત્રીઓ એ. હુર્વિટ્ઝ અને આઈ. શૂરના છે.

બીજગણિતીય ભૂમિતિમાં કેટલાંક અજાણ્યાઓમાં બીજગણિતીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. એક અલગ વિભાગ, ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણોનો સિદ્ધાંત, ખુલ્લા ક્ષેત્રો પર બીજગણિત સમીકરણોના અભ્યાસનો સમાવેશ કરે છે, જેમ કે ક્ષેત્ર Q.

બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ એ સમીકરણોની એક સિસ્ટમ છે જેનું સ્વરૂપ છે

રેખીય બીજગણિતમાં ડિગ્રી 1 (રેખીય સમીકરણો) ના સમીકરણોની સિસ્ટમોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલોની સંખ્યા પરનું સૌથી સરળ પરિણામ એવા કિસ્સામાં લાગુ પડે છે જ્યારે k હોય સજાતીય સમીકરણો k + 1 ચલોમાંથી. બધા ઉકેલો x 1 * ,...,x x+1 k ઉકેલો λ 1 * ..., λх k+1 * ના વર્ગોમાં જોડવામાં આવે છે, જ્યાં λ≠0 ક્ષેત્ર K સાથે સંબંધિત છે. પછી બિન-ની સંખ્યા સિસ્ટમના ઉકેલોના શૂન્ય (વર્ગો) માં તેમની ગુણાકારને ધ્યાનમાં લેતા સામાન્ય કેસબહુપદી F 1, ..., F k ની શક્તિઓના ગુણાંક સમાન છે. સામાન્યતાની સ્થિતિ એ છે કે બહુપદી F 1, ..., F k ના ગુણાંક અમુક બીજગણિત વિવિધ સાથે સંબંધિત નથી. સંલગ્ન જગ્યા A (બેઝાઉટનું પ્રમેય) કરતાં સખત રીતે નાનું પરિમાણ ધરાવતા ગુણાંક.

એવા કિસ્સામાં જ્યારે અસંગત બીજગણિતીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, ત્યારે તેમના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે, ડિગ્રી કરતાં વધુ સૂક્ષ્મ અવિવર્તનનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે, એટલે કે ન્યૂટન પોલિહેડ્રા. જો

જ્યાં i=(i 1 ,..i n) Є Z n તો બહુપદી F નો ન્યુટન બહુપદી એ પોઈન્ટ i ના R n જગ્યામાં બહિર્મુખ હલ છે જેના માટે a i ≠ 0. અંકગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલોની સંખ્યા બહુપદી F 1 ના ન્યૂટન પોલિહેડ્રા દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. . . ,એફકે.

લિટ.: મિશિના એ.પી., પ્રોસ્કુર્યાકોવ I.V. ઉચ્ચ બીજગણિત. રેખીય બીજગણિત, બહુપદી સામાન્ય બીજગણિત. એમ., 1965; કુરોશ એ.જી. ઉચ્ચ બીજગણિતનો કોર્સ. એમ., 1975; કોસ્ટ્રિકિન એ.આઈ. બીજગણિતનો પરિચય. એમ., 1977; પોસ્ટનિકોવ M. M. સ્થિર બહુપદી. એમ., 1981; ફદેવ ડી.કે., ઉચ્ચ બીજગણિતમાં સોમિન્સકી આઇ.એસ. સેન્ટ પીટર્સબર્ગ, 2001.

આઇ.વી. પ્રોસ્કુર્યાકોવ, એ.એન. પરશીન.