લઘુગણક 2 જ્યારે બરાબર છે. લઘુગણક શું છે

• કોલ્મોગોરોવ એ.એન., અબ્રામોવ એ.એમ., ડુડનિટ્સિન યુ.પી. અને અન્ય બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના ધોરણ 10 - 11 માટે પાઠ્યપુસ્તક.
• ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી. ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા).

બેઝ a (a>0, a 1 ની બરાબર નથી) ની સકારાત્મક સંખ્યા b નો લઘુગણક એ સંખ્યા c છે જેમ કે c = b: લોગ a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

નોંધ કરો કે બિન-ધન સંખ્યાનો લઘુગણક અવ્યાખ્યાયિત છે. વધુમાં, લઘુગણકનો આધાર ધન સંખ્યા હોવી જોઈએ જે 1 ની બરાબર ન હોય. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે -2 નો વર્ગ કરીએ, તો આપણને 4 નંબર મળે છે, પરંતુ તેનો અર્થ એ નથી કે 4 ના આધાર -2 માટે લઘુગણક 2 ની બરાબર છે.

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ

તે મહત્વનું છે કે આ સૂત્રની જમણી અને ડાબી બાજુઓની વ્યાખ્યાનો અવકાશ અલગ છે. ડાબી બાજુ ફક્ત b>0, a>0 અને a ≠ 1 માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે. જમણી બાજુ કોઈપણ b માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે, અને તે બિલકુલ a પર નિર્ભર નથી. આમ, સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે મૂળભૂત લઘુગણક "ઓળખ" નો ઉપયોગ OD માં ફેરફાર તરફ દોરી શકે છે.

લઘુગણકની વ્યાખ્યાના બે સ્પષ્ટ પરિણામો

ખરેખર, જ્યારે a ને પ્રથમ ઘાત સુધી વધારીએ છીએ, ત્યારે આપણને સમાન સંખ્યા મળે છે, અને જ્યારે તેને શૂન્ય ઘાત સુધી વધારીએ છીએ, ત્યારે આપણને એક મળે છે.

ગુણાંકનો લઘુગણક અને ભાગનો લઘુગણક

લોગ a b c = લોગ a b − લોગ a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે હું આ સૂત્રોનો વિચાર વગર ઉપયોગ કરવા સામે શાળાના બાળકોને ચેતવણી આપવા માંગુ છું. જ્યારે "ડાબેથી જમણે" તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ODZ સંકુચિત થાય છે, અને જ્યારે લઘુગણકના સરવાળા અથવા તફાવતથી ઉત્પાદન અથવા ભાગના લઘુગણક સુધી ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે ODZ વિસ્તરે છે.

ખરેખર, અભિવ્યક્તિ લોગ a (f (x) g (x)) બે કિસ્સાઓમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: જ્યારે બંને કાર્યો સખત હકારાત્મક હોય અથવા જ્યારે f (x) અને g (x) બંને શૂન્ય કરતા ઓછા હોય.

આ અભિવ્યક્તિને સરવાળા લોગ a f(x) + log a g (x) માં રૂપાંતરિત કરીને, અમને ફક્ત f(x)>0 અને g(x)>0 સુધી મર્યાદિત રાખવાની ફરજ પડી છે. સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીમાં સંકુચિતતા છે, અને આ સ્પષ્ટપણે અસ્વીકાર્ય છે, કારણ કે તે ઉકેલોની ખોટ તરફ દોરી શકે છે. ફોર્મ્યુલા (6) માટે સમાન સમસ્યા અસ્તિત્વમાં છે.

લઘુગણકના ચિહ્નમાંથી ડિગ્રી લઈ શકાય છે

અને ફરીથી હું ચોકસાઈ માટે કૉલ કરવા માંગુ છું. નીચેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લો:

લોગ a (f (x) 2 = 2 લોગ a f (x)

સમાનતાની ડાબી બાજુ સ્પષ્ટપણે શૂન્ય સિવાય f(x) ના તમામ મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. જમણી બાજુ માત્ર f(x)>0 માટે છે! લઘુગણકમાંથી ડિગ્રી લઈને, અમે ફરીથી ODZ ને સંકુચિત કરીએ છીએ. વિપરીત પ્રક્રિયા સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીના વિસ્તરણ તરફ દોરી જાય છે. આ બધી ટીપ્પણી માત્ર પાવર 2 પર જ નહીં, પણ કોઈપણ સમ શક્તિને પણ લાગુ પડે છે.

નવા ફાઉન્ડેશન પર જવા માટેની ફોર્મ્યુલા

તે દુર્લભ કેસ જ્યારે પરિવર્તન દરમિયાન ODZ બદલાતું નથી. જો તમે બેઝ સીને સમજદારીપૂર્વક પસંદ કર્યું છે (ધનાત્મક અને 1 ની બરાબર નથી), તો નવા આધાર પર જવા માટેની ફોર્મ્યુલા સંપૂર્ણપણે સલામત છે.

જો આપણે b ને નવા આધાર c તરીકે પસંદ કરીએ, તો આપણને સૂત્ર (8) નો મહત્વનો વિશેષ કેસ મળે છે:

લોગ a b = 1 લોગ b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

લઘુગણક સાથેના કેટલાક સરળ ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1. ગણતરી કરો: log2 + log50.
ઉકેલ. log2 + log50 = log100 = 2. અમે લઘુગણક સૂત્ર (5) નો સરવાળો અને દશાંશ લઘુગણકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કર્યો.

ઉદાહરણ 2. ગણતરી કરો: lg125/lg5.
ઉકેલ. log125/log5 = log 5 125 = 3. અમે નવા આધાર (8) પર જવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો.

લઘુગણકથી સંબંધિત સૂત્રોનું કોષ્ટક

જેમ તમે જાણો છો, જ્યારે અભિવ્યક્તિઓને શક્તિઓ સાથે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમના ઘાતાંક હંમેશા ઉમેરે છે (a b *a c = a b+c). આ ગાણિતિક કાયદો આર્કિમિડીઝ દ્વારા લેવામાં આવ્યો હતો અને પાછળથી, 8મી સદીમાં, ગણિતશાસ્ત્રી વિરાસેને પૂર્ણાંક ઘાતાંકનું કોષ્ટક બનાવ્યું હતું. તે તેઓ હતા જેમણે લઘુગણકની વધુ શોધ માટે સેવા આપી હતી. આ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો લગભગ દરેક જગ્યાએ મળી શકે છે જ્યાં સરળ ઉમેરા દ્વારા બોજારૂપ ગુણાકારને સરળ બનાવવા જરૂરી છે. જો તમે આ લેખ વાંચવામાં 10 મિનિટ પસાર કરો છો, તો અમે તમને સમજાવીશું કે લઘુગણક શું છે અને તેમની સાથે કેવી રીતે કાર્ય કરવું. સરળ અને સુલભ ભાષામાં.

ગણિતમાં વ્યાખ્યા

લઘુગણક એ નીચેના સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે: લોગ a b=c, એટલે કે, કોઈપણ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા (એટલે ​​કે કોઈપણ ધન) નું લઘુગણક "b" તેના આધાર "a" ની શક્તિ "c" તરીકે ગણવામાં આવે છે. " જેના પર આખરે "b" મૂલ્ય મેળવવા માટે આધાર "a" વધારવો જરૂરી છે. ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને લઘુગણકનું વિશ્લેષણ કરીએ, ચાલો કહીએ કે એક અભિવ્યક્તિ લોગ છે 2 8. જવાબ કેવી રીતે શોધવો? તે ખૂબ જ સરળ છે, તમારે એવી શક્તિ શોધવાની જરૂર છે કે 2 થી જરૂરી શક્તિ સુધી તમને 8 મળે. તમારા માથામાં થોડી ગણતરીઓ કર્યા પછી, અમને 3 નંબર મળે છે! અને તે સાચું છે, કારણ કે 2 ની ઘાત 3 નો જવાબ 8 આપે છે.

લઘુગણકના પ્રકાર

ઘણા વિદ્યાર્થીઓ અને વિદ્યાર્થીઓ માટે, આ વિષય જટિલ અને અગમ્ય લાગે છે, પરંતુ હકીકતમાં લઘુગણક એટલા ડરામણા નથી, મુખ્ય વસ્તુ તેમના સામાન્ય અર્થને સમજવા અને તેમની મિલકતો અને કેટલાક નિયમોને યાદ રાખવાની છે. લોગરીધમિક અભિવ્યક્તિઓના ત્રણ અલગ પ્રકારો છે:

1. કુદરતી લઘુગણક ln a, જ્યાં આધાર યુલર નંબર છે (e = 2.7).
2. દશાંશ a, જ્યાં આધાર 10 છે.
3. કોઈપણ સંખ્યા b નું લઘુગણક a>1 આધાર.

તેમાંના દરેકને પ્રમાણભૂત રીતે ઉકેલવામાં આવે છે, જેમાં લઘુગણક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને એક લઘુગણકમાં સરળીકરણ, ઘટાડો અને અનુગામી ઘટાડોનો સમાવેશ થાય છે. લઘુગણકના સાચા મૂલ્યો મેળવવા માટે, તમારે તેમને હલ કરતી વખતે તેમના ગુણધર્મો અને ક્રિયાઓનો ક્રમ યાદ રાખવો જોઈએ.

નિયમો અને કેટલાક પ્રતિબંધો

ગણિતમાં, એવા કેટલાય નિયમો-અવરોધ છે જે સ્વયંસિદ્ધ તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે, એટલે કે, તેઓ ચર્ચાને પાત્ર નથી અને સત્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓને શૂન્યથી વિભાજિત કરવી અશક્ય છે, અને નકારાત્મક સંખ્યાઓના સમાન મૂળને કાઢવાનું પણ અશક્ય છે. લોગરીધમના પણ પોતાના નિયમો હોય છે, જેને અનુસરીને તમે લાંબા અને કેપેસિયસ લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓ સાથે પણ સરળતાથી કામ કરવાનું શીખી શકો છો:

• આધાર "a" હંમેશા શૂન્ય કરતા મોટો હોવો જોઈએ, અને 1 ની બરાબર ન હોવો જોઈએ, અન્યથા અભિવ્યક્તિ તેનો અર્થ ગુમાવશે, કારણ કે કોઈપણ ડિગ્રી માટે "1" અને "0" હંમેશા તેમના મૂલ્યોની સમાન હોય છે;
• જો a > 0, પછી a b > 0, તો તે તારણ આપે છે કે "c" પણ શૂન્ય કરતા મોટો હોવો જોઈએ.

લોગરીધમ્સ કેવી રીતે ઉકેલવા?

ઉદાહરણ તરીકે, 10 x = 100 ના સમીકરણનો જવાબ શોધવા માટે કાર્ય આપવામાં આવ્યું છે. આ ખૂબ જ સરળ છે, તમારે સંખ્યા દસ વધારીને એક ઘાત પસંદ કરવાની જરૂર છે જેના પર આપણને 100 મળે છે. આ, અલબત્ત, 10 2 = છે. 100.

હવે ચાલો આ અભિવ્યક્તિને લઘુગણક સ્વરૂપમાં રજૂ કરીએ. અમને લોગ 10 100 = 2 મળે છે. લઘુગણક ઉકેલતી વખતે, આપેલ સંખ્યા મેળવવા માટે લોગરીધમના આધારમાં પ્રવેશ કરવો જરૂરી છે તે શક્તિ શોધવા માટે બધી ક્રિયાઓ વ્યવહારીક રીતે એકીકૃત થાય છે.

અજ્ઞાત ડિગ્રીના મૂલ્યને ચોક્કસપણે નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે ડિગ્રીના કોષ્ટક સાથે કેવી રીતે કાર્ય કરવું તે શીખવાની જરૂર છે. તે આના જેવું દેખાય છે:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, જો તમારી પાસે ટેક્નિકલ મન અને ગુણાકાર કોષ્ટકનું જ્ઞાન હોય તો કેટલાક ઘાતાંકનો સાહજિક રીતે અનુમાન લગાવી શકાય છે. જો કે, મોટા મૂલ્યો માટે તમારે પાવર ટેબલની જરૂર પડશે. જેઓ જટિલ ગાણિતિક વિષયો વિશે બિલકુલ જાણતા નથી તેઓ પણ તેનો ઉપયોગ કરી શકે છે. ડાબી સ્તંભમાં સંખ્યાઓ (આધાર a) હોય છે, સંખ્યાઓની ટોચની પંક્તિ એ પાવર cનું મૂલ્ય છે કે જેના પર સંખ્યા a વધે છે. આંતરછેદ પર, કોષોમાં સંખ્યાના મૂલ્યો હોય છે જે જવાબ છે (a c =b). ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, 10 નંબર સાથેનો પહેલો કોષ લઈએ અને તેનો વર્ગ કરીએ, આપણને 100 મૂલ્ય મળે છે, જે આપણા બે કોષોના આંતરછેદ પર દર્શાવેલ છે. બધું એટલું સરળ અને સરળ છે કે સૌથી સાચો માનવતાવાદી પણ સમજી જશે!

સમીકરણો અને અસમાનતાઓ

તે તારણ આપે છે કે અમુક શરતો હેઠળ ઘાતાંક લઘુગણક છે. તેથી, કોઈપણ ગાણિતિક સંખ્યાત્મક સમીકરણો લઘુગણક સમાનતા તરીકે લખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3 4 =81 ને 81 બરાબર ચાર (લોગ 3 81 = 4) ના આધાર 3 લઘુગણક તરીકે લખી શકાય. નકારાત્મક શક્તિઓ માટે નિયમો સમાન છે: 2 -5 = 1/32 આપણે તેને લઘુગણક તરીકે લખીએ છીએ, આપણને લોગ 2 (1/32) = -5 મળે છે. ગણિતના સૌથી આકર્ષક વિભાગોમાંનો એક "લોગરીધમ્સ" નો વિષય છે. અમે સમીકરણોના ગુણધર્મનો અભ્યાસ કર્યા પછી તરત જ તેના ઉદાહરણો અને ઉકેલો નીચે જોઈશું. હવે ચાલો જોઈએ કે અસમાનતાઓ કેવી દેખાય છે અને તેમને સમીકરણોથી કેવી રીતે અલગ પાડવી.

નીચેની અભિવ્યક્તિ આપવામાં આવી છે: લોગ 2 (x-1) > 3 - તે લઘુગણક અસમાનતા છે, કારણ કે અજ્ઞાત મૂલ્ય "x" લઘુગણક ચિન્હ હેઠળ છે. અને અભિવ્યક્તિમાં પણ બે જથ્થાઓની તુલના કરવામાં આવે છે: બેઝ બે માટે ઇચ્છિત સંખ્યાનો લઘુગણક નંબર ત્રણ કરતા વધારે છે.

લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓ વચ્ચેનો સૌથી મહત્વનો તફાવત એ છે કે લઘુગણક સાથેના સમીકરણો (ઉદાહરણ તરીકે, લઘુગણક 2 x = √9) જવાબમાં એક અથવા વધુ ચોક્કસ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો સૂચવે છે, જ્યારે અસમાનતાને ઉકેલતી વખતે, બંને સ્વીકાર્ય શ્રેણી મૂલ્યો અને બિંદુઓ આ કાર્યને તોડીને નક્કી કરવામાં આવે છે. પરિણામે, જવાબ એ સમીકરણના જવાબની જેમ વ્યક્તિગત સંખ્યાઓનો સરળ સમૂહ નથી, પરંતુ સતત શ્રેણી અથવા સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

લઘુગણક વિશે મૂળભૂત પ્રમેય

લઘુગણકના મૂલ્યો શોધવાના આદિમ કાર્યોને હલ કરતી વખતે, તેના ગુણધર્મો જાણી શકાતા નથી. જો કે, જ્યારે લઘુગણક સમીકરણો અથવા અસમાનતાઓની વાત આવે છે, ત્યારે સૌ પ્રથમ, લઘુગણકના તમામ મૂળભૂત ગુણધર્મોને સ્પષ્ટપણે સમજવું અને વ્યવહારમાં લાગુ કરવું જરૂરી છે. અમે સમીકરણોના ઉદાહરણો પછીથી જોઈશું, ચાલો પહેલા દરેક મિલકતને વધુ વિગતવાર જોઈએ.

1. મુખ્ય ઓળખ આના જેવી દેખાય છે: a logaB =B. તે ત્યારે જ લાગુ થાય છે જ્યારે a 0 કરતા વધારે હોય, એકની બરાબર ન હોય અને B શૂન્ય કરતા વધારે હોય.
2. ઉત્પાદનના લઘુગણકને નીચેના સૂત્રમાં રજૂ કરી શકાય છે: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. આ કિસ્સામાં, ફરજિયાત સ્થિતિ છે: d, s 1 અને s 2 > 0; a≠1. તમે ઉદાહરણો અને ઉકેલ સાથે આ લઘુગણક સૂત્ર માટે સાબિતી આપી શકો છો. ચાલો a s 1 = f 1 લોગ કરીએ અને a s 2 = f 2 લોગ કરીએ, પછી a f1 = s 1, a f2 = s 2. આપણે મેળવીએ છીએ કે s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ની ગુણધર્મો ડિગ્રી ), અને પછી વ્યાખ્યા દ્વારા: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
3. ભાગનો લઘુગણક આના જેવો દેખાય છે: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. સૂત્રના સ્વરૂપમાં પ્રમેય નીચેનું સ્વરૂપ લે છે: log a q b n = n/q log a b.

આ સૂત્રને "લોગરિધમની ડિગ્રીની મિલકત" કહેવામાં આવે છે. તે સામાન્ય ડિગ્રીના ગુણધર્મો જેવું લાગે છે, અને તે આશ્ચર્યજનક નથી, કારણ કે તમામ ગણિત કુદરતી ધારણાઓ પર આધારિત છે. ચાલો પુરાવા જોઈએ.

ચાલો a b = t લોગ કરીએ, તે t = b બહાર આવે છે. જો આપણે બંને ભાગોને પાવર m પર વધારીએ: a tn = b n ;

પરંતુ ત્યારથી a tn = (a q) nt/q = b n, તેથી a q b n = (n*t)/t લોગ કરો, પછી a q b n = n/q લોગ a b લોગ કરો. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

સમસ્યાઓ અને અસમાનતાના ઉદાહરણો

લઘુગણક પરની સમસ્યાઓના સૌથી સામાન્ય પ્રકારો સમીકરણો અને અસમાનતાના ઉદાહરણો છે. તે લગભગ તમામ સમસ્યાવાળા પુસ્તકોમાં જોવા મળે છે, અને તે ગણિતની પરીક્ષાનો આવશ્યક ભાગ પણ છે. યુનિવર્સિટીમાં પ્રવેશવા અથવા ગણિતમાં પ્રવેશ પરીક્ષાઓ પાસ કરવા માટે, તમારે આવા કાર્યોને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે ઉકેલવા તે જાણવાની જરૂર છે.

કમનસીબે, લઘુગણકના અજ્ઞાત મૂલ્યને ઉકેલવા અને નક્કી કરવા માટે કોઈ એક યોજના અથવા યોજના નથી, પરંતુ દરેક ગાણિતિક અસમાનતા અથવા લઘુગણક સમીકરણ પર અમુક નિયમો લાગુ કરી શકાય છે. સૌ પ્રથમ, તમારે એ શોધવું જોઈએ કે શું અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવી શકાય છે અથવા સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે. જો તમે તેમના ગુણધર્મનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો છો તો તમે લાંબા લઘુગણક સમીકરણોને સરળ બનાવી શકો છો. ચાલો તેમને ઝડપથી જાણીએ.

લઘુગણક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, આપણે નક્કી કરવું જોઈએ કે આપણી પાસે કયા પ્રકારનું લઘુગણક છે: ઉદાહરણની અભિવ્યક્તિમાં કુદરતી લઘુગણક અથવા દશાંશ હોઈ શકે છે.

અહીં ln100, ln1026 ઉદાહરણો છે. તેમનું સોલ્યુશન એ હકીકત પર ઉકળે છે કે તેમને તે શક્તિ નક્કી કરવાની જરૂર છે કે જેના પર આધાર 10 અનુક્રમે 100 અને 1026 ની બરાબર હશે. કુદરતી લઘુગણકને ઉકેલવા માટે, તમારે લઘુગણક ઓળખ અથવા તેમના ગુણધર્મો લાગુ કરવાની જરૂર છે. ચાલો વિવિધ પ્રકારની લઘુગણક સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણો જોઈએ.

લોગરીધમ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો: ઉદાહરણો અને ઉકેલો સાથે

તેથી, ચાલો લઘુગણક વિશેના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો જોઈએ.

1. ઉત્પાદનના લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ એવા કાર્યોમાં થઈ શકે છે જ્યાં તે સંખ્યા b ના મોટા મૂલ્યને સરળ પરિબળોમાં વિઘટન કરવું જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, લોગ 2 4 + લોગ 2 128 = લોગ 2 (4*128) = લોગ 2 512. જવાબ 9 છે.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - જેમ તમે જોઈ શકો છો, લઘુગણક શક્તિના ચોથા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, અમે એક જટિલ અને વણઉકેલાયેલી અભિવ્યક્તિને ઉકેલવામાં વ્યવસ્થાપિત છીએ. તમારે ફક્ત આધારને પરિબળ કરવાની જરૂર છે અને પછી ઘાતાંકના મૂલ્યોને લઘુગણકની નિશાનીમાંથી બહાર કાઢો.

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાંથી સોંપણીઓ

પ્રવેશ પરીક્ષાઓમાં લોગરીધમ ઘણીવાર જોવા મળે છે, ખાસ કરીને યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષા (તમામ શાળા સ્નાતકો માટે રાજ્ય પરીક્ષા)માં ઘણી લઘુગણક સમસ્યાઓ. સામાન્ય રીતે, આ કાર્યો માત્ર ભાગ A (પરીક્ષાનો સૌથી સરળ પરીક્ષણ ભાગ) માં જ નહીં, પણ ભાગ C (સૌથી જટિલ અને વિશાળ કાર્યો) માં પણ હાજર હોય છે. પરીક્ષા માટે "કુદરતી લઘુગણક" વિષયનું સચોટ અને સંપૂર્ણ જ્ઞાન જરૂરી છે.

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના અધિકૃત સંસ્કરણોમાંથી ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓના ઉકેલો લેવામાં આવે છે. ચાલો જોઈએ કે આવા કાર્યો કેવી રીતે હલ થાય છે.

આપેલ લોગ 2 (2x-1) = 4. ઉકેલ:
ચાલો અભિવ્યક્તિને ફરીથી લખીએ, તેને થોડો લોગ 2 (2x-1) = 2 2 સરળ બનાવીએ, લઘુગણકની વ્યાખ્યા દ્વારા આપણને મળે છે કે 2x-1 = 2 4, તેથી 2x = 17; x = 8.5.

• બધા લોગરીધમ્સને સમાન આધાર પર ઘટાડવાનું શ્રેષ્ઠ છે જેથી ઉકેલ બોજારૂપ અને ગૂંચવણભર્યો ન હોય.
• લઘુગણક ચિન્હ હેઠળના તમામ અભિવ્યક્તિઓ સકારાત્મક તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, તેથી, જ્યારે લઘુગણક ચિન્હ હેઠળ હોય તેવા અભિવ્યક્તિના ઘાતાંક અને તેનો આધાર ગુણક તરીકે લેવામાં આવે છે, ત્યારે લઘુગણક હેઠળ બાકી રહેલી અભિવ્યક્તિ હકારાત્મક હોવી જોઈએ.

આધાર a સાથે લઘુગણક y નું કાર્ય છે (x) = લોગ a x, આધાર a: x સાથે ઘાતાંકીય ફંક્શનને વ્યુત્ક્રમ (y) = a y.

દશાંશ લઘુગણકસંખ્યાના આધાર માટે લઘુગણક છે 10 : લોગ x ≡ લોગ 10 x.

કુદરતી લઘુગણક e ના આધાર માટે લઘુગણક છે: ln x ≡ લોગ e x.

2,718281828459045... ;
.