ગાણિતિક મોર્ફોલોજીમાં માળખાકીય તત્વ. ગાણિતિક મોર્ફોલોજી

વ્યાખ્યા મોર્ફોલોજી (ગ્રીક મોર્ફેમાંથી - ફોર્મ) કરી શકે છે
"ફોર્મ", "સ્ટ્રક્ચર" માટે વપરાય છે.
ગાણિતિક મોર્ફોલોજીમાટે બનાવાયેલ છે
ચોક્કસ સમૂહોની રચનાનો અભ્યાસ
સમાન પ્રકારની વસ્તુઓ. માં કોઈપણ છબી
કમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ પણ સામાન્ય રીતે છે
પિક્સેલના સમૂહ તરીકે રજૂ થાય છે, તેથી
ગાણિતિક મોર્ફોલોજીની કામગીરી કરી શકે છે
માટે - છબી પર લાગુ કરો
તેના સ્વરૂપના કેટલાક ગુણધર્મોનું સંશોધન અને
માળખું, તેમજ તેની પ્રક્રિયા માટે.

વ્યાખ્યા 2

મૂળભૂત ખ્યાલો

SE = strel(આકાર, પરિમાણો)

માળખાકીય તત્વોના ઉદાહરણો

અલ્ગોરિધમ

વિસ્તરણ - નિર્માણ

ધોવાણ - સંકુચિત

બંધ

ઓપનિંગ

બનાવવા અને તોડવાની સરખામણી

સરહદ પસંદગી

રૂપાંતરણ સફળતા/નિષ્ફળતા (હિટ-ઓર-મિસ)

ઉદાહરણો

- બાહ્ય અને આંતરિક સીમાઓ મેળવો
- હાડપિંજરીકરણ હાથ ધરવા
- વસ્તુઓ પસંદ કરો અને તમારા પરિણામો સાથે સરખામણી કરો
(વધારામાં)
કાર્ય માટે તમે દ્વિસંગી છબીનો ઉપયોગ કરી શકો છો
https://yadi.sk/i/jXKrtZcTbskTR
અખબારના લેખની હેડલાઇન્સની પ્રક્રિયા કરો

ઑબ્જેક્ટ (ઉપસેટ્સ) ના સમૂહ પર, જેમાં સમાવેશ (Ì), સંઘ (È) અને આંતરછેદ (Ç) સંબંધો રજૂ કરવામાં આવ્યા છે તેના પર, યુક્લિડિયન સ્પેસ E N આપવા દો. ચાલો કેટલાક રૂપાંતરણને ધ્યાનમાં લઈએ: E N ®E N (ઑપરેટર Y).

Y ઓપરેટરને બોલાવવામાં આવે છે વધારો(વધતી) જો

(XÌY)Þ(Y(X)ÌY(Y)), X,YÌE N ,

એટલે કે, ઓપરેટર સભ્યપદ સંબંધ સાચવે છે.

Y ઓપરેટરને બોલાવવામાં આવે છે વિસ્તરણ(વિસ્તરણ), જો

Y(Ux i) = UY(x i), "x i МE N ,

એટલે કે, ઓપરેટર યુનિયનને સાચવે છે.

એ જ રીતે, આંતરછેદ સાચવનાર ઓપરેટરને કહેવામાં આવે છે ધોવાણ(સંકોચન), જો

Y(Çx i) = Ç(Y(x i)), "x i ÌE N .

ઓપરેટરને બોલાવવામાં આવે છે વ્યાપક, ifY(X)ÊX અને વ્યાપક વિરોધી, જો

ઑપરેટર્સની અનુક્રમિક એપ્લિકેશનને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, નીચેના ખ્યાલો રજૂ કરવામાં આવે છે:

વધારવુંઓપરેટર (Y(Y(X))RY(X));

કમજોરઓપરેટર (Y(Y(X))ÍY(X));

સમકક્ષઓપરેટર (Y(Y(X)) =Y(X)).

મોર્ફોલોજિકલ ફિલ્ટર્સ ઓપરેટર્સનો સમૂહ છે જે સમાન અને વધતા બંને છે.

બાઈનરી ઈમેજીસ પર મોર્ફોલોજિકલ કામગીરી

દ્વિસંગી ગાણિતિક મોર્ફોલોજીની કામગીરીનું શાસ્ત્રીય વર્ણન સિદ્ધાંતના સંદર્ભમાં આપવામાં આવ્યું હતું. સેટ, સેટનું યુનિયન, સેટ્સનું આંતરછેદ અને સમાવેશ સંબંધ જેવા ખ્યાલો સાથે કામ કરે છે. આ કિસ્સામાં, દ્વિસંગી છબીઓને સીધી પિક્સેલ્સના સેટ તરીકે ગણવામાં આવે છે (ફિગ. 6.1.1.).

@ ચોખા. 6.1.1. મૂળભૂત ખ્યાલોદ્વિસંગી આકૃતિઓ પર લાગુ થિયરી સેટ કરો.

ચાલો સેટ AÌE ના અનુવાદને zÎE દ્વારા ટ્રાન્સફોર્મેશન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ (ફિગ. 6.1.2.)

A z = (y| aÎA, y=a=z).

A,BÌE આપવા દો. ઓપરેશન

AB = (a=b| aÎA, bÎB) = U(B a) = U(A b)

કહેવાય છે મિન્કોવ્સ્કી ઉમેરણ. ઓપરેશન

AB= (z|B z ÍA) =U(A z )

કહેવાય છે મિન્કોવ્સ્કી બાદબાકી દ્વારા.

અમે આગળ સમૂહ B ને B નું માળખું તત્વ કહીશું. આ અભિવ્યક્તિઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કામગીરી અનુક્રમે દ્વિસંગી છબીઓના જોડાણ અને આંતરછેદને જાળવવાની આવશ્યકતાઓને સંતોષે છે, તેથી તેને પણ કહેવામાં આવે છે. વિસ્તરણ (વિસ્તરણ)અને ધોવાણ(સંકોચન)ઇમેજ X એ સ્ટ્રક્ચરિંગ એલિમેન્ટ B દ્વારા (સ્ટ્રક્ચરિંગ એલિમેન્ટ B દ્વારા) એ MM (ફિગ. 6.1.2) ની મૂળભૂત કામગીરી છે.

@ ચોખા. 6.1.2.. બાઈનરી મેથેમેટિકલ મોર્ફોલોજીની મૂળભૂત કામગીરી.

આ ઑપરેશન્સ એ અર્થમાં એકબીજા સાથે દ્વિ છે કે:

XB = (X C B V) C,

જ્યાં X С એ X નું પૂરક છે, અને B V = (–b| bОB).

પરિણામે, એક કામગીરીના સંદર્ભમાં સાબિત થયેલ તમામ જોગવાઈઓ અથવા પ્રમેય અન્ય કામગીરીના સંદર્ભમાં આપમેળે દ્વિ સ્વરૂપમાં રજૂ થઈ શકે છે.

મેથેરોન (મેથેરોનનું પ્રમેય) દ્વારા મેળવેલ મૂળભૂત પરિણામ એ છે કે કોઈપણ અનુવાદ-અચલ વધતા ઓપરેટર Y ને ધોવાણના સંઘ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

,

જ્યાં k(Y) એ Y(X) નું કર્નલ છે, એટલે કે, માળખાકીય તત્વો B નો સમૂહ જેમ કે Y(B) મૂળ ધરાવે છે.

આ પરિણામનું દ્વિ સ્વરૂપ પણ છે:

,

જ્યાં Y*(X) = (Y(X C)) C .

તે ચોક્કસપણે મેથેરોનના પ્રમેયને કારણે છે કે ધોવાણ અને વિસ્તરણ એ MM ની મૂળભૂત કામગીરી છે, એટલે કે, કોઈપણ મોર્ફોલોજિકલ ફિલ્ટરને ધોવાણના જોડાણ અથવા વિસ્તરણના આંતરછેદ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

ચાલો છેલ્લે ઓપરેશન્સનો પરિચય આપીએ ઓપનિંગ્સઅને બંધ, ઘણીવાર મોર્ફોલોજીમાં વપરાય છે. ઓપરેશન

X◦B= (XB)B(6.1.1)

B દ્વારા X ની શોધ કહેવાય છે અને તેનો સ્પષ્ટ ભૌતિક અર્થ છે:

X◦Bс = U(B z | B z ÍX).

આ ઓપરેટર વ્યાપક અને વધતા વિરોધી છે.

B દ્વારા Xને બંધ કરવાનું કહેવામાં આવે છે

X·B = (XB)B. (6.1.2)

આ ઓપરેટર વ્યાપક અને વૃદ્ધિશીલ છે.

વધુમાં, આ બંને ઓપરેટરો સમકક્ષ છે, અને તેથી, ઓપનિંગ અને ક્લોઝિંગ એ બે સૌથી સરળ મોર્ફોલોજિકલ ફિલ્ટર્સ છે (ફિગ. 6.1.3).

@ ચોખા. 6.1.3. બાઈનરી મેથેમેટિકલ મોર્ફોલોજીમાં સૌથી સરળ ફિલ્ટર્સ.

ચાલો કૃત્રિમ ઇમેજ પ્રોસેસિંગ (ફિગ. 6.1.4) ના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ગાણિતિક મોર્ફોલોજી ઓપરેટર્સના ભૌમિતિક અર્થને ધ્યાનમાં લઈએ, જે આપણે બાઈનરી ફિલ્ટરિંગ પરના વિભાગમાં પહેલાથી જ ધ્યાનમાં લીધું છે. છબી એક લંબચોરસ ઑબ્જેક્ટ બતાવે છે જેમાં "આકારની ખામી" છે જેમ કે આંતરિક "છિદ્રો" અને બાહ્ય "પ્રોટ્રુઝન". ચાલો મોર્ફોલોજિકલ માધ્યમોનો ઉપયોગ કરીને ઑબ્જેક્ટના આકારમાં આ ખામીઓને દૂર કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

@ ચોખા. 6.1.4. "છિદ્રો" અને "પ્રોટ્રુઝન" જેવી "ખામીઓ" સાથેની છબી

ઑબ્જેક્ટ આકારમાં લંબચોરસ હોવાથી, અમે એક માળખાકીય તત્વનો ઉપયોગ કરીશું જે આકારમાં પણ લંબચોરસ છે. સ્ટ્રક્ચરિંગ એલિમેન્ટના એકંદર પરિમાણો દૂર કરવાના આકારની ખામીના લાક્ષણિક "ટ્રાન્સવર્સ" કદ (ન્યૂનતમ તાર) કરતા ઓછા ન હોવા જોઈએ.

ચાલો મોલ્ડના બાહ્ય "પ્રોટ્રુશન્સ" ને દૂર કરીને પ્રારંભ કરીએ. આ કરવા માટે, ઉદઘાટન પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ થાય છે. આ પ્રક્રિયાના પ્રથમ તબક્કે, ઑબ્જેક્ટના કમ્પ્રેશન (ધોવાણ) નું ઑપરેશન કરવામાં આવે છે, જે ફોર્મના બાહ્ય "પ્રોટ્ર્યુશન" ને દૂર કરે છે ("ખાય છે"). જો કે, ઑબ્જેક્ટનું બાહ્ય કદ ઘટે છે, અને આંતરિક ખામીઓ, તેનાથી વિપરીત, કદમાં વધારો કરે છે, અને તેથી, સંકોચન પછી, સમાન માળખાકીય તત્વ સાથે ઑબ્જેક્ટને વિસ્તૃત (વિસ્તરણ) કરવું જરૂરી છે. સમગ્ર ઓપનિંગ ઑપરેશનના પરિણામે, ઑબ્જેક્ટના બાહ્ય પરિમાણો અને આકાર પુનઃસ્થાપિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ આંતરિક આકારની ખામીઓ રહે છે (ફિગ. 6.1.5, 6.1.6).

@ ચોખા. 6.1.5. કમ્પ્રેશન (ઇરોશન)નું પરિણામ @ફિગ. 6.1.6. ઑબ્જેક્ટ ઑબ્જેક્ટ ખોલવાનું પરિણામ (ફોર્મના બાહ્ય "પ્રોટ્રુઝન" ને દૂર કરવું)

ચાલો હવે આંતરિક આકારની ખામીઓ ("છિદ્રો") દૂર કરવા માટે મોર્ફોલોજિકલ તકનીકનો વિચાર કરીએ. આ કરવા માટે, બંધ કરવાની પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયાના પ્રથમ તબક્કે, ઑબ્જેક્ટને વિસ્તરણ (વિસ્તરણ) કરવાની કામગીરી કરવામાં આવે છે, જે આંતરિક "છિદ્રો" અને "ચેનલો" દૂર કરે છે ("ભરે છે"). જો કે, ઑબ્જેક્ટનું બાહ્ય કદ વધે છે, બાહ્ય ખામીઓ પણ કદમાં વધારો કરે છે, અને તેથી, વિસ્તરણ પછી, સમાન માળખાકીય તત્વ સાથે ઑબ્જેક્ટનું સંકોચન (ઇરોશન) કરવું જરૂરી છે. સમગ્ર બંધ કામગીરીના પરિણામે, ઑબ્જેક્ટના પરિમાણો અને આંતરિક અખંડિતતા પુનઃસ્થાપિત થાય છે, પરંતુ બાહ્ય આકાર ખામીઓ રહે છે (ફિગ. 6.1.7, 6.1.8).

@ ચોખા. 6.1.7. એક્સ્ટેંશનનું પરિણામ @ફિગ. 6.1.8. ઑબ્જેક્ટ ઑબ્જેક્ટને બંધ (વિસ્તરણ) કરવાનું પરિણામ (ફોર્મના આંતરિક "છિદ્રો" દૂર કરવું)

આ ઉદાહરણમાં બંને બાહ્ય અને આંતરિક આકારની ખામીઓને દૂર કરવા માટે, પ્રથમ મૂળ છબી (ફિગ. 6.1.4) પર ઓપનિંગ લાગુ કરવું જરૂરી છે, અને પછી પરિણામ પર સમાન લંબચોરસ માળખાકીય તત્વ સાથે ક્લોઝર લાગુ કરવું જરૂરી છે. ઓપનિંગ (ફિગ. 6.1.9, 6.1. 10).

@ ચોખા. 6.1.9. @ફિગ ખોલવાનું પરિણામ. 6.1.10. ખોલ્યા પછી બંધ થવાનું પરિણામ (આકારની સંપૂર્ણ પુનઃસ્થાપના)

ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે (ફિગ. 6.1.9, 6.1.10), શરૂઆત અને બંધના ક્રમિક સંયોજનથી મૂળ ભૌમિતિક આકૃતિના આકારની સંપૂર્ણ પુનઃસ્થાપના સુનિશ્ચિત થાય છે.

નિષ્કર્ષમાં આ વિભાગચાલો રાઉન્ડ (ડિસ્ક) માળખાકીય તત્વ સાથે છબીઓના મોર્ફોલોજિકલ ફિલ્ટરિંગની સુવિધાઓ ધ્યાનમાં લઈએ. ફિગ માં. 6.1.11 – 6.1.13 રાઉન્ડ સ્ટ્રક્ચરિંગ એલિમેન્ટ સાથે લંબચોરસ ઑબ્જેક્ટ ખોલવાનું પરિણામ બતાવે છે. છબીઓની સરખામણી (બાદબાકી) નું પરિણામ દર્શાવે છે કે શોધના પરિણામે, ઑબ્જેક્ટનો આકાર ચોક્કસ રીતે વિકૃત થયો હતો - લંબચોરસના ખૂણાઓ ત્રિજ્યાની ત્રિજ્યાની સમાન વક્રતાના ત્રિજ્યા સાથે ગોળાકાર હોવાનું બહાર આવ્યું છે. માળખાકીય તત્વ.

@ ચોખા. 6.1.11. મૂળ @ફિગ. 6.1.12. પરિણામ @ફિગ. 6.1.13. તફાવત

શોધ ઑબ્જેક્ટ (ઇમેજ ફિલ્ટરિંગ

રાઉન્ડ માસ્ક સાથે: અસર

ગોળાકાર ખૂણા)

આ અસર કુદરતી રીતે અનુસરે છે ભૌમિતિક અર્થઓપનિંગ ઑપરેશન્સ: ઓપનિંગનું પરિણામ એ તમામ માળખાકીય ઘટકોનું જોડાણ છે જે મૂળ ઑબ્જેક્ટમાં સંપૂર્ણપણે ફિટ છે. તે જોવાનું સરળ છે કે ડિસ્ક સ્ટ્રક્ચરિંગ તત્વ લંબચોરસના ખૂણાઓમાં સંપૂર્ણપણે ફિટ થઈ શકતું નથી. આને કારણે, મૂળ ઑબ્જેક્ટની આંતરિક (બાહ્ય) સીમા સાથે માળખાકીય તત્વને "રોલિંગ" દ્વારા મેળવેલા વળાંક તરીકે ખોલ્યા પછી (બંધ) પછી ઑબ્જેક્ટની સીમાનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું અનુકૂળ છે (ફિગ 6.1.3 પણ જુઓ. ).

ગાણિતિક મોર્ફોલોજી અને પ્રોસેસિંગ

છબીઓ

છબી વિશ્લેષણમાં પ્રમાણમાં નવી દિશાઓમાંની એક ગાણિતિક મોર્ફોલોજીનો ઉપયોગ છે. સેટ થિયરી અને ઇન્ટિગ્રલ ભૂમિતિના ખ્યાલોનો ઉપયોગ કરીને ગાણિતિક મોર્ફોલોજીની શરૂઆત ફ્રેન્ચ સંશોધકો જે. મેથેરોન અને જે. સેરેસના કાર્ય દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જેમણે ખનિજશાસ્ત્ર અને પેટ્રોગ્રાફીની સમસ્યાઓનો સામનો કર્યો હતો. તેમના સંશોધનનો હેતુ હતો માત્રાત્મક વર્ણનભૌતિક અને યાંત્રિક ગુણધર્મોતેમની ભૌમિતિક રચનાનું વિશ્લેષણ કરીને સામગ્રી. ત્યારપછીના વર્ષોમાં, ગાણિતિક મોર્ફોલોજી સામગ્રી વિજ્ઞાન, સાયટોલોજિકલ તૈયારીઓનો અભ્યાસ અને તબીબી છબીઓના વિશ્લેષણમાં મુખ્ય એપ્લિકેશનો સાથે એક ગંભીર છબી પ્રક્રિયા સાધનની સ્થિતિમાં પહોંચી ગયું છે.

અલબત્ત, કોઈપણ સુસંગત પ્રસ્તુતિ માટે એક વ્યાખ્યાનનું પ્રમાણ સંપૂર્ણપણે અપૂરતું છે. સૈદ્ધાંતિક પાયા. તેથી જ આ વ્યાખ્યાનપ્રકૃતિમાં બદલે દૃષ્ટાંતરૂપ છે. અહીં, ગાણિતિક મોર્ફોલોજીની મૂળભૂત કામગીરીઓ અને તેમના ગુણધર્મોની ચર્ચા ટુકડાઓમાં કરવામાં આવી છે, અને છબીઓની પ્રક્રિયા અને વિશ્લેષણ (મુખ્યત્વે બે-ગ્રેડેશન) માટે આ કામગીરીનો ઉપયોગ કરવાના પરિણામો રજૂ કરવામાં આવ્યા છે.

એ નોંધવું જોઇએ કે બંનેને સમર્પિત પ્રકાશનો સૈદ્ધાંતિક મુદ્દાઓઇમેજ પ્રોસેસિંગના ક્ષેત્રમાં ગાણિતિક મોર્ફોલોજી અને તેની એપ્લિકેશનો રશિયન ભાષાના સાહિત્યમાં વ્યવહારીક રીતે ગેરહાજર છે. આ સામગ્રી લખતી વખતે, અમને મોર્ફોલોજિકલ કામગીરીના કેટલાક રશિયન-ભાષાના નામો સાથે મુશ્કેલીઓ હતી જે મૂળ અંગ્રેજી-ભાષાના કાર્યોમાં રજૂ કરાયેલા નામોના અર્થને પૂરતા પ્રમાણમાં વ્યક્ત કરે છે જેના પર પ્રસ્તુતિ આધારિત છે. નોટેશન મૂળભૂત રીતે માં અપનાવવામાં આવેલ નોટેશન સાથે એકરુપ છે.

ચાલો સેટ થિયરીમાંથી કેટલીક મૂળભૂત વિભાવનાઓને યાદ કરીએ જે પછીથી જરૂર પડશે. ચાલો - n- પરિમાણીય જગ્યા. નીચે સામાન્ય રીતે એવું માનવામાં આવે છે
અથવા
, ક્યાં
- n-પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશ, અને
- n-પરિમાણીય અલગ જગ્યા ( n-પરિમાણીય જાળી). જ્યારે છબીઓ પર લાગુ થાય છે, ત્યારે સામાન્ય રીતે દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. જો
અને
- પછી સેટ કરે છે સમૂહોનું જોડાણ
અને સમૂહ કહેવાય છે , (એટલે ​​​​કે આવા તત્વોનો સમૂહ , જે અથવા ), અને સમૂહોનું આંતરછેદ
કહેવાય છે સમૂહ ઉપરાંત. તફાવત સેટ કરોઅને સમૂહ કહેવાય છે. ઘણા ખાલી કહેવામાં આવે છે જો તેમાં કોઈ તત્વો ન હોય. આ સમૂહ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે
. નીચેના સંબંધો માન્ય છે:

;

; (10.1)

.

ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ સૂચક કાર્યનીચે પ્રમાણે સેટ કરે છે:

.

ચાલો સમૂહના માપને પણ વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

- સતત જગ્યા માટે અને

- અલગ જગ્યા માટે.

છબીઓ માટે, આ વ્યાખ્યાઓનો અર્થ એ છે કે સેટનું માપ એ સતત કેસમાં તેનું ક્ષેત્રફળ અને અલગ કેસમાં સમૂહમાં સમાવિષ્ટ જાળી ગાંઠોની સંખ્યા છે.

10.1. ગાણિતિક મોર્ફોલોજીની કામગીરી

બે-ગ્રેડેશન ઇમેજને સેટના સમૂહના સૂચક કાર્ય તરીકે ગણી શકાય
(જેમ કે સમૂહનું સૂચક કાર્ય
ફિગમાં. 10.1). આપેલ સેટ માટે, આપણે અમુક તત્વને ઠીક કરી શકીએ છીએ (જરૂરી નથી કે તે આ સમૂહનું હોય), જેને આપણે સમૂહનું કેન્દ્ર (અથવા શરૂઆત) કહીશું. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ
એક સમૂહ જેનું કેન્દ્ર બિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે . ગાણિતિક મોર્ફોલોજીની મુખ્ય વિભાવનાઓમાંની એક ખ્યાલ છે માળખાકીય તત્વ. માળખાકીય તત્વ બે ડિસજોઇન્ટ સબસેટનો બનેલો સમૂહ છે અને
, જેના માટે એક સામાન્ય મૂળ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

એચએમ પરિવર્તન.

અનુસાર, મૂળભૂત પરિવર્તન કે જે તમને ગાણિતિક મોર્ફોલોજીની વિવિધ ક્રિયાઓનો સમૂહ બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે તે હિટ અથવા મિસ ટ્રાન્સફોર્મેશન છે. અમે આ નામ માટે પર્યાપ્ત અનુવાદ શોધી શક્યા નથી, તેથી હવેથી અમે "HM-રૂપાંતરણ" નામનો ઉપયોગ કરીશું. આપેલ સેટ માટે
અને આપેલ માળખાકીય તત્વ, HM રૂપાંતરણનું પરિણામ આ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે

(અહીં દ્વારા
સમૂહના પૂરકને સૂચવે છે.)

તે જોવાનું સરળ છે (ફિગ. 10. 2) કે એચએમ રૂપાંતરણના પરિણામે, મૂળ છબીમાં એવા તત્વોને ઓળખવામાં આવે છે કે જેની પડોશી માળખાકીય તત્વ સાથે એકરુપ હોય છે (નોંધ કરો કે પડોશીનો આકાર તેના આકાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. માળખાકીય તત્વ). સ્થિતિ (10.2) નીચલા સીમા પર પડેલા તત્વો માટે સંતુષ્ટ છે (ઉદાહરણ તરીકે, માળખાકીય તત્વની 1-4 સ્થિતિ). પોઝિશન 5 માં
, પરંતુ
, સ્થિતિ 6 માં, તેનાથી વિપરીત,
, પરંતુ
, અને સ્થિતિ 7 માં બંને શરતો પૂરી થતી નથી.

વિવિધ માળખાકીય તત્વો સાથે એચએમ રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને, ચોક્કસ ઓળખવું શક્ય છે ભૌમિતિક લક્ષણોછબીઓ

ધોવાણ.

એચએમ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો એક ખાસ કેસ ઓપરેશન છે ધોવાણ(ધોવાણ) . માળખાકીય તત્વમાં સબસેટ ખાલી રહેવા દો (
). આ કિસ્સામાં, શરત હંમેશા સંતુષ્ટ હોય છે, અને મૂળ સમૂહના માત્ર તે જ તત્વો કે જેના માટે શરત સંતુષ્ટ છે તે જ સમૂહમાં સમાવવામાં આવે છે.
:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો
, એ
, પછી સમૂહમાં તે ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે જેના માટે શરત સંતુષ્ટ છે
(ફિગ. 10.3).

બીજી બાજુ, જો વ્યક્તિ તમામ સંભવિત સ્થિતિઓમાંથી પસાર થાય છે, તો સ્થિતિ સંતુષ્ટ થાય છે જો અને માત્ર જો શિફ્ટ કરેલા સમૂહને અનુસરે છે
(ફિગ. 10.4). તેથી, અન્ય, સમકક્ષ, ધોવાણ કામગીરીનું પ્રતિનિધિત્વ ફોર્મ ધરાવે છે

જ્યાં
- તેના મૂળના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ સમૂહ. આ રજૂઆત ઇરોશન કામગીરીના સંખ્યાત્મક અમલીકરણમાં ઉપયોગી થઈ શકે છે.

વિસ્તરણની બીજી રજૂઆત નીચે મુજબ છે

, (10.4’)

ફિગ. 10.6 માં બતાવ્યા પ્રમાણે.

જો આપણે સમૂહને ઑબ્જેક્ટ તરીકે ગણીએ, પરંતુ છબીની પૃષ્ઠભૂમિ તરીકે, તો ઑબ્જેક્ટના વિસ્તરણને પૃષ્ઠભૂમિના ધોવાણ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે:

. (10.5)

ખરેખર,

વિસ્તરણ અને ધોવાણના બીજગણિત ગુણધર્મો.

અમે અહીં પુરાવા વિના શ્રેણી રજૂ કરીએ છીએ ઉપયોગી ગુણધર્મોકામગીરી ગણવામાં આવે છે.

a) વિતરણતા:

વિસ્તરણ એ યુનિયનને સંબંધિત વિતરક છે

, (10.6)

અને ધોવાણ - સમૂહોના આંતરછેદને સંબંધિત

. (10.6’)

ડિસ્ટ્રીબ્યુટિવ પ્રોપર્ટી, એકાઉન્ટ રિલેશન (10.5) ને ધ્યાનમાં રાખીને, તમને ટુકડાઓ પર કામગીરી કરવા દે છે, પછી યુનિયન અથવા આંતરછેદ દ્વારા પરિણામોને સંયોજિત કરે છે.

b) પુનરાવર્તિત:

આ એક અત્યંત મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મ છે, કારણ કે તે જટિલ માળખાકીય તત્વોને સરળ ઘટકોની રચનામાં વિઘટન કરવાની મંજૂરી આપે છે (ફિગ. 10.7). તદનુસાર, સાથે કામગીરી જટિલ તત્વોસરળ સાથે કામગીરીના ક્રમ દ્વારા બદલી શકાય છે. આમ, માળખાકીય તત્વ દ્વારા ચોક્કસ સમૂહનું ધોવાણ
આકૃતિ 10.7 માં બતાવેલ છે,

માળખાકીય તત્વો સાથે સતત ચાર ધોવાણ દ્વારા બદલી શકાય છે
.

c) સ્કેલમાં ફેરફાર માટે આક્રમણ:

દ્વારા આ સંબંધોમાં
,
સેટ દર્શાવેલ છે

અને (ફિગ. 10.8).

ધોવાણ અને વિસ્તરણની અરજી.

ધોવાણ અને વિસ્તરણ એ મુખ્યત્વે ઓળખવા માટે રચાયેલ કામગીરી છે મોર્ફોલોજિકલ લક્ષણોછબીઓ, અને ઓળખવા માટે વિવિધ લક્ષણોવિવિધ માળખાકીય તત્વોનો ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને ધોવાણ તમને ઇમેજમાં એવા ઑબ્જેક્ટ્સ શોધવાની મંજૂરી આપે છે જેનું ન્યૂનતમ ટ્રાંસવર્સ કદ ઓળંગે છે
. જો આપણે માળખાકીય તત્વ તરીકે બે બિંદુઓ લઈએ, તો તેની વચ્ચેનું વિસ્થાપન વેક્ટર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે , ધોવાણ તમને એવી વસ્તુઓ પસંદ કરવા દેશે કે જેની દિશામાં અને આ વેક્ટર દ્વારા ઉલ્લેખિત અંતર પર પડોશીઓ હોય (ફિગ. 10.9). (અહીં ઑબ્જેક્ટ્સ દ્વારા અમારો અર્થ ફક્ત કનેક્ટેડ સેટ છે).

વધુ રસપ્રદ એપ્લિકેશનબે-પોઇન્ટ માળખાકીય તત્વ સાથે ધોવાણ એ છે કે તેનો ઉપયોગ છબીના સ્વતઃસંબંધની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે. સૂચક કાર્ય દ્વારા ઉલ્લેખિત છબીનો સ્વતઃસંબંધ
તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

જ્યાં
સમૂહના સૂચક કાર્ય તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે
, પરિમાણ પર આધાર રાખીને , કારણ કે

.

તે ચકાસવું સરળ છે
, એટલે જ

બીજી બાજુ, ઈમેજ ધોવાણ અને વિસ્તરણ દ્વારા ફિલ્ટર કરી શકાય છે. શરતી ધોવાણચાલો ઓપરેશનને બોલાવીએ

એ શરતી વિસ્તરણ -શસ્ત્રક્રિયા

જ્યાં - કેટલાક સેટ.

ચાલો માળખાકીય તત્વોનો ક્રમ રજૂ કરીએ
અને સૂચવો (10.10)

ક્રમિક ધોવાણ અને

માળખાકીય તત્વો દ્વારા સમૂહના ક્રમિક વિસ્તરણ. ક્રમિક શરતી ધોવાણચાલો ઓપરેશનને બોલાવીએ

એ ક્રમિક શરતી વિસ્તરણ- સર્જરી

ક્રમ કાં તો મર્યાદિત અથવા અનંત હોઈ શકે છે. જો કે, અમે પુરાવા આપ્યા વિના નોંધ લઈએ છીએ કે જો સેટ બાઉન્ડેડ હોય, તો પછી ક્રમિક શરતી કામગીરી સ્થિર પરિણામ તરફ વળે છે અંતિમ સંખ્યાપગલાં

સમાન માળખાકીય તત્વોનો અનંત ક્રમ હોઈએ, કહો કે, વર્તુળની મધ્યમાં શરૂઆત સાથે ત્રિજ્યાના વર્તુળો. પછી ઓપરેશન

બાકીના ઑબ્જેક્ટના આકારને સંપૂર્ણપણે સાચવીને, તમને ઇમેજમાંથી ટ્રાંસવર્સ ડાયમેન્શન સાથેના તમામ ઑબ્જેક્ટ્સને દૂર કરવાની મંજૂરી આપે છે. તેનાથી વિપરીત, ઑબ્જેક્ટની બાહ્ય સીમાઓને યથાવત રાખીને ઑપરેશન ઑબ્જેક્ટની અંદરના પોલાણને દૂર કરે છે, જેની ટ્રાંસવર્સ સાઈઝ કરતાં ઓછી હોય છે (ફિગ. 10.10).

ભરણ અને ફરી ભરવું.

અમે તે ઉપર જોયું સામાન્ય કેસધોવાણ પછી મૂળ સમૂહને ચોક્કસ રીતે પુનઃસ્થાપિત કરવું અશક્ય છે
સમાન માળખાકીય તત્વ દ્વારા માત્ર વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને. વિસ્તરણ સમૂહના માત્ર એક ભાગને પુનઃસ્થાપિત કરે છે, જેમાં ઓછી વિગતો હોય છે, પરંતુ આકાર અને કદની લાક્ષણિકતાઓની દ્રષ્ટિએ તે સૌથી નોંધપાત્ર છે.

ચાલો ઓપરેશનને વ્યાખ્યાયિત કરીએ ભરવા(ઉદઘાટનમૂળ કાર્યોમાં) તરીકે માળખાકીય તત્વ દ્વારા સમૂહના

. (10.12)

ચાલો એ જ રીતે ઓપરેશનને વ્યાખ્યાયિત કરીએ ફરી ભરવું(બંધ) માળખાકીય તત્વ દ્વારા સેટ કરે છે:

. (10.13)

તે બતાવવાનું સરળ છે

અને
. (10.14)

જ્યારે છબીઓ પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે આ સંબંધોનો અર્થ એ થાય છે કે વસ્તુઓનું ભરણ (અનુક્રમે, ફરી ભરવું) અને પૃષ્ઠભૂમિને ફરી ભરવું (અનુક્રમે, ભરવું) એ સમાન ક્રિયાઓ છે.

ચાલો પુરાવા વિના આ કામગીરીની એક મહત્વપૂર્ણ મિલકત રજૂ કરીએ - તેમની અશક્તિ:

અને
. (10.15)

ભરવા અને ફરી ભરવાની અરજી.

ધોવાણ અને વિસ્તરણની જેમ, ભરણ અને ભરણનો ઉપયોગ છબીઓને ફિલ્ટર કરવા, ઑબ્જેક્ટની સીમાઓને સરળ બનાવવા, નાની વસ્તુઓ અને સાંકડી પૂંછડીઓ (ભરણ) દૂર કરવા અને નાના પોલાણ અને સાંકડી ચેનલો (ભરણ) દૂર કરવા માટે થઈ શકે છે. સ્મૂથિંગની ડિગ્રી અને દૂર કરેલી કલાકૃતિઓનું કદ માળખાકીય તત્વના કદ પર આધારિત છે, જે સામાન્ય રીતે સતત છબીઓ અથવા નિયમિત છબીઓ માટે વર્તુળના સ્વરૂપમાં પસંદ કરવામાં આવે છે. બહિર્મુખ બહુકોણ- એક અલગ કેસ માટે. નોંધ કરો કે જ્યારે સમાન માળખાકીય તત્વો સાથે ફિલ્ટર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ફિલિંગ (ફરી ભરવું) નો ઉપયોગ કરતી વખતે ઉપયોગી ઇમેજ વિગતોમાં રજૂ કરાયેલ વિકૃતિની ડિગ્રી ધોવાણ (અનુક્રમે, વિસ્તરણ) નો ઉપયોગ કરતી વખતે નોંધપાત્ર રીતે ઓછી હોવાનું બહાર આવ્યું છે. સરખામણી કરો, ઉદાહરણ તરીકે, ફિગ. 10.10 માં કામગીરીના પરિણામો અને
(
અને
, અનુક્રમે). કારણ કે આ ઉદાહરણમાં માળખાકીય તત્વ મૂળના પ્રતિબિંબના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, એટલે કે.
, તે
, એ
.

વસ્તુઓના આકારનું વર્ણન કરવા માટે ફિલિંગ ઓપરેશનનો ઉપયોગ વધુ રસપ્રદ છે. વિશ્લેષિત સમૂહને ત્રિજ્યાનું વર્તુળ ગણવા દો અને માળખાકીય તત્વ
- વર્તુળની મધ્યમાં શરૂઆત સાથે ત્રિજ્યાનું વર્તુળ. ચાલો ફંક્શનના વર્તનને ધ્યાનમાં લઈએ

તે સમજવું સરળ છે કે જ્યાં સુધી માળખાકીય તત્વની ત્રિજ્યા વિશ્લેષિત સમૂહની ત્રિજ્યા કરતાં વધી ન જાય,
. જલદી તે ઓળંગી જાય છે
, કારણ કે ધોવાણ, જે ભરવાનું પ્રથમ ઓપરેશન છે, તે ખાલી સેટમાં પરિણમશે. પરિણામે આપણને મળે છે

.

ચાલો હવે સમૂહને અર્ધ-અક્ષો અને , અને સાથે લંબગોળ દ્વારા બંધાયેલ પ્રદેશ છે
. લંબગોળની વક્રતાની ત્રિજ્યા તેના સુધી પહોંચે છે ન્યૂનતમ મૂલ્ય
મુખ્ય ધરી સાથે આંતરછેદ પર. તેથી, જ્યાં સુધી માળખાકીય તત્વની ત્રિજ્યા કરતાં ઓછી હોય ત્યાં સુધી
, ભરવાથી મૂળ સેટમાં ફેરફાર થશે નહીં અને તેથી. બીજી બાજુ, તે સ્પષ્ટ છે કે જેમ જેમ માળખાકીય તત્વની ત્રિજ્યા લંબગોળની અર્ધ-લઘુ ધરી કરતા વધારે થાય છે, તેમ ભરવાનું પરિણામ ખાલી સમૂહ હશે અને
શૂન્ય મૂલ્ય લેશે. થી વચ્ચે
થી એકવિધ રીતે ઘટશે
શૂન્ય સુધી. તેથી જ
ફોર્મ લેશે:

,

જ્યાં
- એકવિધ રીતે ઘટતું કાર્ય (
).

કેટલીકવાર ફંક્શનનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ હોય છે
, જે વિશ્લેષિત સમૂહના માપમાં ફેરફારને લાક્ષણિકતા આપે છે જ્યારે તે એકવિધ રીતે વધતા માળખાકીય તત્વોના પરિવારથી ભરેલો હોય છે. આકૃતિ 10.11 વસ્તુઓના ઉદાહરણો બતાવે છે વિવિધ આકારોઅને તેમના અનુરૂપ કાર્યો
.

ફંક્શનની ગણતરી એક ઑબ્જેક્ટ માટે નહીં, પરંતુ, કહો, ઘણી ઑબ્જેક્ટ ધરાવતી છબી માટે કરી શકાય છે. એવું માની શકાય છે કે જો બધી વસ્તુઓ સમાન કદ ધરાવે છે, તો તે યુનિમોડલ હશે, અને જો વસ્તુઓ કદ દ્વારા ઘણા જૂથો બનાવે છે, તો આ કદને અનુરૂપ મૂલ્યો પર ઘણા ઉચ્ચારણ શિખરો દેખાશે.

એ જ રીતે ફંક્શનની રચના કરીને

ઑગમેન્ટેશન ઑપરેશન માટે, તમે ઑબ્જેક્ટ્સ વચ્ચેના અંતરનું વિશ્લેષણ કરવા અને ઑબ્જેક્ટના અવકાશી જૂથોને શોધવા માટે તેનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

10.2. અલગ જગ્યામાં મોર્ફોલોજિકલ કામગીરી

સામાન્ય રીતે -પરિમાણીય અલગ ડેટાને પૂર્ણાંક પરિમાણો અનુસાર ઓર્ડર કરવામાં આવે છે, જે કેટલાક બનાવે છે અવકાશી માળખું. જો આ પરિમાણો નિયમિતપણે બદલાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, કૉલમ અને પંક્તિ નંબરો અલગ છબી), માળખું જાળીના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે. ચાલો નીચે પ્રમાણે દ્વિ-પરિમાણીય જાળી બનાવીએ: આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ
બે રેખીય સ્વતંત્ર વેક્ટર અને . જાળી એ ફોર્મના તમામ સંભવિત વેક્ટરના શિરોબિંદુઓનો સમૂહ છે
, ક્યાં
- પૂર્ણાંકો. સૌથી સામાન્ય જાળીના ઉદાહરણો ફિગ. 10.12 માં બતાવ્યા છે.

સતતથી અલગ અવકાશમાં સંક્રમણ માત્ર ઔપચારિક જ નહીં, પરંતુ વ્યવહારિક પ્રકૃતિની પણ અનેક સમસ્યાઓ ઊભી કરે છે. અલગ જગ્યાની મૂળભૂત એનિસોટ્રોપી તેને અશક્ય બનાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ફેરવવાનું મનસ્વી કોણ. અંતર નક્કી કરવામાં પણ સમસ્યા ઊભી થાય છે, જેમાં સતત જગ્યાએકદમ કુદરતી રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે. કેટલાક પ્રકારની જાળીઓ માટે, પડોશીની વિભાવનાને અસ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. છેલ્લો સંજોગ આકૃતિ 10.13 માં દર્શાવેલ છે. ચાલો કનેક્ટેડ સેટને કૉલ કરીએ જો તેના એક બિંદુથી અન્ય કોઈપણ બિંદુ સુધી ફક્ત આ સમૂહ સાથે જોડાયેલા બિંદુઓમાંથી પસાર થતો પાથ મૂકવો શક્ય છે, અને પાથ પરનો દરેક અનુગામી બિંદુ વર્તમાનની બાજુમાં હોવો જોઈએ.

ડાબી બાજુની આકૃતિ 10.13a લંબચોરસ જાળી માટે પડોશીની ત્રણ સંભવિત વ્યાખ્યાઓ દર્શાવે છે: જાળીની બાજુઓ દ્વારા પડોશી, જાળીના ગાંઠો દ્વારા પડોશી અને બાજુઓ અને ગાંઠો દ્વારા પડોશી. જો આપણે પડોશીની પ્રથમ વ્યાખ્યા સ્વીકારીએ, તો આપણે જોશું કે આકૃતિની જમણી બાજુએ સફેદ ક્ષેત્ર બે ભાગો ધરાવે છે જે એકબીજા સાથે જોડાયેલા નથી. તેથી, તેઓ જોડાયેલા કાળા પ્રદેશ દ્વારા અલગ હોવા જોઈએ. દરમિયાન, એવો કોઈ વિસ્તાર નથી, કારણ કે કાળા રૂપરેખાના બિંદુઓ પણ એકબીજા સાથે જોડાયેલા નથી. જો આપણે પડોશીની બીજી વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, તો આપણને કોઈ ઓછી વિરોધાભાસી પરિસ્થિતિ મળે છે: હવે કનેક્ટેડ કોન્ટૂરની બહાર અને અંદર બંને બિંદુઓ સરળ રીતે જોડાયેલા પ્રદેશના છે. આ જ પરિસ્થિતિ પડોશીની ત્રીજી વ્યાખ્યા સાથે ઊભી થાય છે.

આ વિરોધાભાસને ઉકેલવાનો એક માર્ગ એ છે કે સફેદ અને કાળા વિસ્તારો માટે પડોશીને અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવી, કહો કે, સફેદ વિસ્તારો માટે બાજુઓ દ્વારા પડોશને વ્યાખ્યાયિત કરો અને કાળા વિસ્તારો માટે ગાંઠો દ્વારા. પરંતુ પછી તેજમાં એકબીજાની તુલનામાં ઊંધી છબીઓ પર કરવામાં આવતી સમાન ક્રિયાઓ વિવિધ પરિણામો તરફ દોરી શકે છે. બીજી રીત એ છે કે એક પ્રકારની ગ્રિલ પસંદ કરવી જે આ સમસ્યાને બિલકુલ બનાવતી નથી. આ પ્રકાર ષટ્કોણ જાળી છે (ફિગ. 10.13b). તેથી, અમે નીચે આ જાળીનો ઉપયોગ કરીશું.

અલગ જગ્યા એનિસોટ્રોપીનો પ્રભાવ આકૃતિ 10.14 માં દર્શાવવામાં આવ્યો છે. આ એક અલગ અંદાજનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી ઑબ્જેક્ટ પર ગણતરી કરેલ કાર્યનું વર્તન દર્શાવે છે સમભુજ ત્રિકોણષટ્કોણ જાળી પર. ત્રિજ્યાના વર્તુળનું એક અલગ એનાલોગ - એક ષટ્કોણ - માળખાકીય તત્વ તરીકે વપરાય છે
, ષટ્કોણ બાજુની લંબાઈ ક્યાં છે (ડાબી બાજુએ ફિગ 10.14a જુઓ). પ્રથમ કિસ્સામાં (ફિગ. 10.14a), ત્રિકોણની બાજુઓ જાળીના આધાર વેક્ટર અને વેક્ટરની સમાંતર હોય છે.
, જે જાળીની ત્રીજી મુખ્ય દિશા નિર્દિષ્ટ કરે છે. બીજા કિસ્સામાં (ફિગ. 10.14b), ત્રિકોણને 90ના ખૂણા પર ફેરવવામાં આવે છે.

સ્વતંત્ર જગ્યામાં ઉપર રજૂ કરાયેલ મોર્ફોલોજિકલ કામગીરીને અમલમાં મૂકતી વખતે આ સુવિધાઓ ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે. ત્યાં સંખ્યાબંધ કામગીરી છે જે સતત અવકાશમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, પરંતુ તેનો ઉપયોગ ફક્ત જાળી પર જ વ્યવહારુ અર્થમાં બનાવે છે. આમાંની એક કામગીરી અમને પહેલેથી જ જાણીતી છે. આ એચએમ ટ્રાન્સફોર્મેશન છે. એચએમ ટ્રાન્સફોર્મેશન, જે વિવિધ માળખાકીય ઘટકોનો ઉપયોગ કરે છે, તમને છબીમાં વિશિષ્ટ બિંદુઓ પસંદ કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ષટ્કોણ જાળી પર રેખાઓના શાખા બિંદુઓ માત્ર ફિગ. 10.15 માં બતાવેલ રૂપરેખાંકનોમાં જ દેખાઈ શકે છે, રૂપરેખાંકનો 1-2, 3-8 અને 9-14 કેન્દ્રીય બિંદુની આસપાસ પરિભ્રમણ સુધી સમાન હોય છે. તેથી, રૂપરેખાંકનો 1, 3 અને 9 ના આધારે બાંધવામાં આવેલા માળખાકીય તત્વોનો ઉપયોગ કરીને HM પરિવર્તન કોઈપણ શાખા બિંદુઓને ઓળખવાનું શક્ય બનાવે છે.

કનેક્ટેડ ઘટકોની સંખ્યાની ગણતરી.

પોલાણસમૂહોને સમૂહના જોડાયેલા ઘટકો કહેવામાં આવે છે. ષટ્કોણ જાળી પર, જોડાયેલા ઘટકોની સંખ્યા અને પોલાણની સંખ્યા સમૂહો સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે

, (10.18)

જ્યાં પ્રતીક દ્વારા
રૂપરેખાંકનોની સંખ્યા દર્શાવેલ છે વિપુલ પ્રમાણમાં જોવા મળે છે. આ નિવેદનનો પુરાવો આમાં મળી શકે છે. જો ઘટકોમાં પોલાણ ન હોય, તો તે ફક્ત તેમની સંખ્યાની બરાબર છે, કારણ કે આ કિસ્સામાં તે એક જોડાયેલ ઘટક ધરાવે છે અને તેથી,
. પરંતુ, આપણે અગાઉ જોયું તેમ, HM રૂપાંતરણ મૂળ સમૂહમાં પોઈન્ટ પસંદ કરે છે જેની પડોશી માળખાકીય તત્વ સાથે એકરુપ હોય છે. HM રૂપાંતરણમાં આકૃતિ 10.16 માં દર્શાવેલ માળખાકીય તત્વોનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ

પાતળું અને જાડું થવું.

ઓપરેશન પાતળું (પાતળું) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

અને ઓપરેશન જાડું થવું (જાડું થવું) - કેવી રીતે

જ્યાં
- એક માળખાકીય તત્વ જેમાં બે અસંબંધિત સબસેટ્સનો સમાવેશ થાય છે અને .

નોંધ કરો કે જો માળખાકીય તત્વની શરૂઆત , તો પછી
, જો શરૂઆત ની છે, તો પછી
. તેથી, પ્રથમ કિસ્સામાં
કોઈપણ માટે, અને બીજામાં -
કોઈપણ સમયે આ તુચ્છ પરિણામો મેળવવાનું ટાળવા માટે, અમે હંમેશા માની લઈશું કે જ્યારે પાતળા (અનુક્રમે, જાડું થવું) ઓપરેશન કરી રહ્યા છીએ, ત્યારે માળખાકીય તત્વની શરૂઆત (અનુક્રમે, ) સાથે સંબંધિત નથી. તદુપરાંત, તે બતાવી શકાય છે
, ક્યાં
. પાતળા અને જાડું કરવાની કામગીરીના ઉદાહરણો આકૃતિ 10.17 માં દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

અંગ્રેજીમાંથી અનુવાદ:ઇવાનોવા આઇ. આઇ.
સ્ત્રોત: [ઇલેક્ટ્રોનિક સંસાધન]// ઍક્સેસ મોડ: http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-1-4419-0211-5_23

ટીકા

ગાણિતિક મોર્ફોલોજી છે બિનરેખીય પદ્ધતિબાઈનરી મોર્ફોલોજી, ગ્રેસ્કેલ મોર્ફોલોજી અને કલર મોર્ફોલોજી સહિત દ્વિ-પરિમાણીય કન્વોલ્યુશન ઓપરેશન્સનો ઉપયોગ કરીને ઇમેજ પ્રોસેસિંગ. ધોવાણ, વિસ્તરણ, ઉદઘાટન અને શોષણ બંધ કામગીરી એ ગાણિતિક મોર્ફોલોજીનો આધાર છે. મેથેમેટિકલ મોર્ફોલોજીનો ઉપયોગ એજ ડિટેક્શન, ઈમેજ સેગ્મેન્ટેશન, નોઈઝ, એલિમિનેશન, ફીચર એક્સટ્રેક્શન અને અન્ય ઈમેજ પ્રોસેસિંગ કાર્યો માટે થઈ શકે છે. ઇમેજ પ્રોસેસિંગના ક્ષેત્રમાં તેનો વ્યાપક ઉપયોગ થાય છે. વર્તમાન પ્રગતિના આધારે, આ થીસીસ ગાણિતિક મોર્ફોલોજિકલ વર્ગીકરણ અને રોગની ઓળખ માટે એપ્લિકેશનનું વ્યાપક સમજૂતી પ્રદાન કરે છે. પરિણામે, સમસ્યાની શોધ અને ગાણિતિક મોર્ફોલોજીમાં વધુ સંશોધન સંબંધિત છે.

મુખ્ય શબ્દો:

દ્વિસંગીનું મોર્ફોલોજી, હાફટોન ઈમેજીસ, મોર્ફોલોજી, કલર મોર્ફોલોજી, ધોવાણ, વિસ્તરણ, પાકના રોગોનો વિકાસ.

પરિચય

ગાણિતિક મોર્ફોલોજી છે નવો સિદ્ધાંતઅને એક પદ્ધતિ જેનો ઉપયોગ ડિજિટલ ઇમેજ પ્રોસેસિંગ અને માન્યતાના ક્ષેત્રમાં થાય છે. હર ગાણિતિક આધારઅને ભાષા એ સિદ્ધાંતનો સમૂહ છે. મેથેમેટિકલ મોર્ફોલોજી 1964 માં દેખાયો, તે પ્રથમ વિદ્યાર્થી વૈજ્ઞાનિક જે. સેરા અને તેમના દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો. વૈજ્ઞાનિક સુપરવાઈઝરજી. મેઝોન. તેઓએ સૈદ્ધાંતિક સ્તરે મોર્ફોલોજીની અભિવ્યક્તિ રજૂ કરી, "રૂપાંતરણોને હિટ/સ્કિપિંગ" કરવાની દરખાસ્ત કરી, અને કણોના વિશ્લેષણ માટેની પદ્ધતિની સ્થાપના કરી. 1968 માં તેઓએ શોધ કરી સંશોધન સંસ્થાફોન્ટેનબ્લ્યુનું ગાણિતિક મોર્ફોલોજી. આ સંસ્થાના સંશોધકો અને અન્ય દેશના સંશોધકોની મહેનતના આધારે, ગાણિતિક મોર્ફોલોજી ધીમે ધીમે વિકસિત થઈ અને પોતાની રીતે એક વિજ્ઞાન બની ગયું. 1970 ના દાયકામાં, અનાજ વિશ્લેષકની વ્યાવસાયિક એપ્લિકેશનો અને "રેન્ડમ અને સહજ સમૂહ" પર મેઝોનના પ્રકાશન સાથે, ગાણિતિક મોર્ફોલોજીનો વિકાસ ગ્રે-લેવલ પાસાઓ પર કેન્દ્રિત હતો. 1982 માં, જે. સેરા દ્વારા "ઇમેજ વિશ્લેષણ અને ગાણિતિક મોર્ફોલોજી" ના પ્રકાશન સાથે, ગાણિતિક મોર્ફોલોજી વિશ્વ વિખ્યાત બન્યું. ત્યારબાદ ગાણિતિક મોર્ફોલોજીનો ઝડપથી વિકાસ થયો. કારણ કે ગાણિતિક મોર્ફોલોજી અલ્ગોરિધમ સમાંતર અમલીકરણ માળખું ધરાવે છે જે મોર્ફોલોજી વિશ્લેષણ અને સમાંતર પ્રક્રિયા અલ્ગોરિધમ્સને સમજે છે, અને પદ્ધતિને હાર્ડવેર દૃષ્ટિકોણથી સરળતાથી અમલમાં મૂકી શકાય છે, જે છબી વિશ્લેષણ પ્રક્રિયાની ઝડપને સુધારે છે.

ગાણિતિક મોર્ફોલોજીમાં તેઓએ એક સ્વતંત્ર ગાણિતિક સિદ્ધાંત શોધ્યો અને તેના વિચારો અને પદ્ધતિઓ મહાન પ્રભાવઇમેજ થિયરી અને ટેક્નોલોજી પર, અને ઘણા ક્ષેત્રોમાં ઇમેજ વિશ્લેષણની પ્રક્રિયામાં પણ ઉપયોગમાં લેવાય છે. તદુપરાંત, ગાણિતિક મોર્ફોલોજીના ઉપયોગથી ક્ષેત્રમાં નોંધપાત્ર સુધારાઓ થયા છે કૃષિ. એપ્લિકેશન ઘઉં, કપાસ, શાકભાજી વગેરે સહિતના પાકોના રોગની ઓળખ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. આ લેખમાં, લેખક કૃષિ ક્ષેત્રે ગાણિતિક મોર્ફોલોજીના ઉપયોગનો સારાંશ આપે છે અને ખુલ્લી સમસ્યાઓ અને ભાવિ સંશોધનની ચર્ચા કરે છે.

ગાણિતિક મોર્ફોલોજીનું વર્ગીકરણ

માનવીય પ્રયત્નોને આભારી, ગાણિતિક મોર્ફોલોજીનો ઉપયોગ બાઈનરી ઈમેજીંગમાં થઈ રહ્યો છે, જો કે મોર્ફોલોજી મૂળરૂપે માત્ર ગ્રેસ્કેલ ઈમેજીસને જ લાગુ પડતી હતી. પરંતુ સિદ્ધાંતમાં ઝડપી પ્રગતિ, અને પહેલાથી જ ગાણિતિક મોર્ફોલોજી અન્ય અભ્યાસોમાં લાગુ કરી શકાય છે. તાજેતરમાં, ગાણિતિક મોર્ફોલોજીમાં સંશોધન રંગીન ચિત્રો પર આધાર રાખે છે અને અત્યાર સુધી તેમાં કેટલીક પ્રગતિ થઈ છે. સંશોધન ઑબ્જેક્ટની વર્ણન પદ્ધતિ અને પ્રદર્શન ફોર્મેટ અનુસાર, આ લેખ ગાણિતિક મોર્ફોલોજીને ટ્રેસ પ્રકારોમાં વર્ગીકૃત કરે છે: બાઈનરી મોર્ફોલોજી, ગ્રેસ્કેલ મોર્ફોલોજી અને કલર મોર્ફોલોજી.

દ્વિસંગી મોર્ફોલોજી

મેજોર્ન અને સેરા દ્વારા આગળ મૂકવામાં આવેલ ગાણિતિક મોર્ફોલોજીએ દ્વિસંગી છબીઓનું અન્વેષણ કર્યું હતું અને તેને દ્વિસંગી કહેવામાં આવતું હતું. ગાણિતિક મોર્ફોલોજીમાં બાઈનરી ઈમેજના મોર્ફોલોજિકલ ટ્રાન્સફોર્મેશન એ સૂત્રોનો સમૂહ છે જે આ રૂપાંતરણોનું વર્ણન કરે છે. મોર્ફોલોજિકલ ઑપરેટરનો અર્થ સેટ વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયામાં છે જે ઑબ્જેક્ટનું વર્ણન કરે છે, તેના આકાર અને બંધારણના તત્વના આકારમાં સિગ્નલના આકાર વિશેની માહિતી હોઈ શકે છે. મોર્ફોલોજિકલ ઇમેજ પ્રોસેસિંગ એ ઇમેજમાં માળખાકીય તત્વને ખસેડવાની અને પછી તત્વની રચના અને દ્વિસંગી ઇમેજ વચ્ચે રૂપાંતરિત અથવા સંયોજનની કામગીરીનો સમૂહ છે. મુખ્ય મોર્ફોલોજિકલ કામગીરી ધોવાણ અને વિસ્તરણ (વિસ્તરણ) છે.

મોર્ફોલોજિકલ ઓપરેશનમાં, સ્ટ્રક્ચર એલિમેન્ટ એ સૌથી મૂળભૂત અને મહત્વપૂર્ણ ઘટક છે, જે સિગ્નલ પ્રક્રિયામાં વેવ ફિલ્ટરિંગની ભૂમિકા ભજવે છે. જો B(x) રચનાના તત્વને વ્યક્ત કરે છે, તો કાર્યક્ષેત્ર E ના દરેક બિંદુ X માટે, ધોવાણ અને વિસ્તરણને અનુક્રમે આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

આકૃતિ 1 – ધોવાણ અને વિસ્તરણ નક્કી કરવા માટેના સૂત્રો

સમાંતર પ્રક્રિયાના અમલીકરણની શક્યતાને કારણે અને હાર્ડવેર,એક બાઈનરી ઈમેજને ઘણી રીતે પ્રોસેસ કરી શકાય છે, જેમ કે ધાર નિષ્કર્ષણ, ઈમેજ સેગ્મેન્ટેશન, થિનિંગ, ફીચર એક્સટ્રેક્શન અને આકાર વિશ્લેષણ. જો કે, અન્ય શરતો હેઠળ, ડિઝાઇન તત્વની પસંદગી અને અનુરૂપ અલ્ગોરિધમનો અલગ છે. માળખાકીય તત્વનું કદ અને આકારની પસંદગી મોર્ફોલોજિકલ કામગીરીની છબીના પરિણામને પ્રભાવિત કરશે.

હુઆંગ એટ અલ.નું મોર્ફોલોજી ગોળાકાર, ત્રિકોણાકાર, ચોરસ અને અન્ય મૂળભૂત માટે સ્વીકારવામાં આવ્યું છે ભૌમિતિક આકારોકેટલાક કિસ્સાઓમાં બાઈનરી ફાઈલોની રચનાના તત્વ તરીકે, તેઓ મોર્ફોલોજિકલ પેટર્ન સાથે ફિલ્ટર ઈમેજ સેગ્મેન્ટેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ષટ્કોણ કાઢે છે. પરિણામ દર્શાવે છે કે વિભાજન અલ્ગોરિધમ વધુ સારું પરિણામ આપી શકે છે અને છબીમાં રોગની ઓળખ માટે પ્રારંભિક સ્થાન સ્થાપિત કરી શકે છે.

બુયાનાયા એટ અલ.એ 2008 માં યુક્લિડિયન અવકાશમાં અવકાશી-ચલ ગાણિતિક મોર્ફોલોજી ઓપરેટરની શોધ કરી અને અવકાશી ચલના આધારે તત્વોનું ભૌમિતિક માળખું રજૂ કર્યું, પરિણામ એ સિદ્ધાંતનું અનુકરણ કર્યું અને ઘણી પ્રકારની છબી પ્રક્રિયા એપ્લિકેશન્સમાં વિશાળ સંભાવના સાબિત કરી.

ગ્રેસ્કેલ છબીઓ માટે મોર્ફોલોજી

આ પ્રકારનું મોર્ફોલોજી એ ગ્રે ટોનમાં દ્વિસંગી છબીઓનો કુદરતી વિકાસ છે; તેમાં અભિવ્યક્તિઓનો સમૂહ નથી, પરંતુ છબીઓનું કાર્ય છે. આવા મોર્ફોલોજી માટે, આંતરછેદ અને યુનિયન, જેનો ઉપયોગ બાઈનરી મોર્ફોલોજીમાં થાય છે, તેને મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કામગીરી દ્વારા બદલવામાં આવે છે. ગ્રેસ્કેલ ઇમેજના ધોવાણ અને વિસ્તરણની ગણતરી આવી ઇમેજના ફંક્શન અને સ્ટ્રક્ચર એલિમેન્ટ પરથી સીધી કરી શકાય છે. જો g(x,y) કોઈ માળખાકીય તત્વને વ્યક્ત કરે છે, તો પ્રતિ ઈમેજ એક બિંદુ f(x,y) માટે, ધોવાણ અને વિસ્તરણની ગણતરી આ રીતે કરવામાં આવે છે:

આકૃતિ 2 – ધોવાણ અને વિસ્તરણ નક્કી કરવા માટેના સૂત્રો

આ પ્રકારના મોર્ફોલોજીનો વ્યવહારિક ઉપયોગ કરવા માટે, કેટલાક વૈજ્ઞાનિકો ઘણા સુધારેલા અલ્ગોરિધમ્સ પ્રસ્તાવિત કરી રહ્યા છે. કાહ્ન એટ અલ.એ 2006 માં સમસ્યા માટે ગાણિતિક મોર્ફોલોજીની વિસ્તૃત વ્યાખ્યાનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો, જે ધાર શોધવાની પદ્ધતિઓ ક્લાસિકલ મોર્ફોલોજી પર આધારિત હોવા છતાં, સારી અવાજ દૂર કરવાની ક્ષમતા ધરાવે છે, પરંતુ તેનું અલ્ગોરિધમ ઑબ્જેક્ટની તમામ સીમાઓને શોધી શક્યું નથી. અને તેઓએ અદ્યતન ગાણિતિક મોર્ફોલોજીના આધારે સીમાઓ નક્કી કરવા માટેની પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો.

સિમ્યુલેશન પરિણામ દર્શાવે છે કે આ પદ્ધતિ માત્ર અવાજને દૂર કરવામાં અસરકારક નથી, પરંતુ ઑબ્જેક્ટની સીમાઓ શોધવામાં પણ સારી છે. 2008 માં બોવયાનયા એટ અલ. માળખાકીય કાર્ય. સિમ્યુલેશન પરિણામો ઇમેજ વિશ્લેષણ એપ્લિકેશન્સમાં આ સિદ્ધાંતની સંભવિત શક્તિ દર્શાવે છે.

રંગીન છબીઓની મોર્ફોલોજી

રંગ ઇમેજ પ્રોસેસિંગના ક્ષેત્રમાં મોર્ફોલોજીસ પર ઘણા અભ્યાસો નથી. જોકે કેટલાક વૈજ્ઞાનિકોએ કલર ઇમેજિંગ માટે ઉપયોગમાં લેવાતી કેટલીક મોર્ફોલોજી તકનીકો રજૂ કરી છે. તેમાંના મોટાભાગના દરેક ઇમેજ વેક્ટરને અલગથી ધ્યાનમાં લે છે, વેક્ટર વચ્ચેના સંબંધોની અવગણના કરે છે. પિક્સેલ રંગોનો ઉપયોગ કરીને પ્રક્રિયા કરવા માટે આ એક કાર્યક્ષમ અને સ્માર્ટ સંશોધન અભિગમ છે વેક્ટર પદ્ધતિઓ, દરેક વેક્ટર વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે. રંગ અવકાશના મોર્ફોલોજીમાં પરિવર્તનનો અભ્યાસ ગ્રેસ્કેલ ઈમેજીસના મોર્ફોલોજી સાથે તેનું જોડાણ સૂચવી શકે છે.

કલર ઈમેજ માટે (V(x), x є X, X є DV), જ્યાં DV એ RGB માં ઈમેજનો વિસ્તાર છે રંગ જગ્યા. તત્વ B ની રચના માટે રંગ મોર્ફોલોજીમાં ધોવાણ અને વિસ્તરણને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

IN તાજેતરના વર્ષોઘણા વૈજ્ઞાનિકો રંગ મોર્ફોલોજી પરના તેમના સંશોધન પર ધ્યાન આપે છે. ઝાંગ 2006 માં ગાણિતિક મોર્ફોલોજી પર આધારિત સીમાઓ નક્કી કરવા માટેની પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો. આ પદ્ધતિમાં, ઇમેજને પૂર્વ-પ્રક્રિયા કરવામાં આવે છે અને પછી ગાણિતિક મોર્ફોલોજીનો ઉપયોગ કરીને ગ્રેડિયન્ટ ટ્રાન્સફોર્મેશન કરવામાં આવે છે. પછી, આંકડાકીય માહિતીના આધારે ધાર શોધવાની પદ્ધતિ દ્વારા કિનારીઓ શોધવામાં આવે છે. પદ્ધતિ લાઇટિંગને કારણે પડછાયાની કિનારીઓને દૂર કરે છે, ઑબ્જેક્ટની સીમાઓને સીધી બહાર કાઢે છે અને પૃષ્ઠભૂમિ અવાજના દમન પર અસર કરે છે.

ગાણિતિક મોર્ફોલોજીનો ઉપયોગ કરીને એપ્લિકેશન

ગાણિતિક મોર્ફોલોજીનો મૂળ વિચાર અને તેની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ ઈમેજ પ્રોસેસિંગના ક્ષેત્રમાં કોઈપણ પાસામાં થઈ શકે છે. કોમ્પ્યુટર, ઈમેજ પ્રોસેસીંગ, પેટર્ન રેકગ્નિશન અને કોમ્પ્યુટર વિઝનના વિકાસ સાથે, ગાણિતિક મોર્ફોલોજી ઝડપથી વિકસી રહી છે અને એપ્લિકેશનનું ક્ષેત્ર વ્યાપક બની રહ્યું છે. ખાસ કરીને પાક રોગની ઓળખના ક્ષેત્રમાં. IN હાલની સિસ્ટમો સોફ્ટવેરગાણિતિક મોર્ફોલોજીના ઘણા અમલીકરણો. મેથેમેટિકલ મોર્ફોલોજીનો ઉપયોગ ઘણા ક્ષેત્રોમાં થાય છે જેમ કે ઑબ્જેક્ટ એજ ડિટેક્શન, ઈમેજ સેગ્મેન્ટેશન, નોઈઝ રિમૂવલ, ફીચર એક્સટ્રક્શન વગેરે.

ઑબ્જેક્ટની સીમાઓને હાઇલાઇટ કરવી

ગાણિતિક મોર્ફોલોજી સેટ એંગલના આધારે ઇમેજનું નિરૂપણ કરે છે અને તેનું વિશ્લેષણ કરે છે, કાઢી નાખવા માટે "ટ્રાયલ" સેટ (સ્ટ્રક્ચરલ એલિમેન્ટ) નો ઉપયોગ કરીને લક્ષ્ય પદાર્થો માટે ભૌમિતિક રૂપાંતર કરે છે. જરૂરી માહિતી. સતત વિકાસ અને સુધારણા સાથે ગાણિતિક સિદ્ધાંતમોર્ફોલોજી, મેથેમેટિકલ મોર્ફોલોજીનું સંશોધન કરવામાં આવે છે અને ઇમેજ એજ ડિટેક્શનમાં વ્યાપકપણે લાગુ કરવામાં આવે છે.

પરંપરાગત ઈમેજ એજ ડિટેક્શન એલ્ગોરિધમ્સ (સોબેલ ઓપરેટર અથવા પ્રુઈટ ઓપરેટર વગેરે) ની સરખામણીમાં, મોર્ફોલોજી એજ ડિટેક્શનમાં એક અનન્ય ફાયદો ધરાવે છે અને હાંસલ કરે છે. શ્રેષ્ઠ પરિણામો. મોર્ફોલોજિકલ ઇમેજ એજ ડિટેક્શન પદ્ધતિ વિગતવાર ઇમેજ લાક્ષણિકતાઓને સાચવી શકે છે, અને એજ ડિટેક્શનની ચોકસાઈ અને અવાજ વિરોધી કામગીરીના સંકલનની સમસ્યાને હલ કરે છે.

ઝોઉ એ ગ્રેસ્કેલ મોર્ફોલોજીનો ઉપયોગ કરીને કલર ઈમેજ પ્રોસેસિંગ કરનાર સૌપ્રથમ હતા, પછી ધાર શોધવા માટે ગાણિતિક મોર્ફોલોજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો, જ્યાં માળખાકીય તત્વ 3x3 ચોરસ હતું. આ પદ્ધતિ ઘોંઘાટને દૂર કરવા અને સંગ્રહિત અનાજમાં જંતુઓની સીમાઓ શોધવાની સમસ્યાઓ હલ કરવામાં સક્ષમ હતી. કાંગે 2006 માં ઑબ્જેક્ટ બાઉન્ડ્રી રેકગ્નિશનની ગુણવત્તાની સમસ્યાને ઉકેલવા માટે ગાણિતિક મોર્ફોલોજીનો ઉપયોગ કરીને ઑબ્જેક્ટના રૂપરેખા શોધવા માટેની અદ્યતન પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો. ઓપરેટરની અંતર વ્યાખ્યાની પસંદગી આપવામાં આવી હતી અને વિસ્તૃત મોર્ફોલોજિકલ પદ્ધતિમાં બહુ-રિઝોલ્યુશન વિશ્લેષણનો ખ્યાલ લાગુ કરવામાં આવ્યો હતો. પરિણામો દર્શાવે છે કે આ પદ્ધતિ સારી કાર્યક્ષમતા ધરાવે છે.

લક્ષણ નિષ્કર્ષણ

સામાન્ય રીતે, લક્ષણ નિષ્કર્ષણ એ એક પરિવર્તન છે જે પરિમાણની ડિગ્રી ઘટાડવા માટે ઉચ્ચ-પરિમાણીય જગ્યાઓમાંથી નીચી-પરિમાણીય જગ્યાઓમાં પેટર્નને નકશા અથવા સ્થાનાંતરિત કરે છે. કૃષિ રોગની ઓળખ માટે, છોડની લાક્ષણિકતાઓ જેમ કે રંગ, રચના અને આકારનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. ગાણિતિક મોર્ફોલોજીનો ઉપયોગ કરીને, IS માત્ર રોગ રચના ગુણધર્મો જેમ કે ઊર્જા, એન્ટ્રોપી, જડતાની ક્ષણ જ નહીં, પરંતુ રોગના આકારના લક્ષણો જેમ કે પરિમિતિ, વિસ્તાર, ગોળાકારતાની ડિગ્રી, લંબાઈ-થી-પહોળાઈનો ગુણોત્તર પણ કાઢશે. હુઆંગ (2007) એ ફલેનોપ્સિસના રોપાઓના ફલેનોપ્સિસ રોગો માટે સમાન પદ્ધતિ લાગુ કરી અને ફોકલ પોઈન્ટ, વિસ્તાર, ગોળાકારતાની ડિગ્રી જેવા કાર્યો મેળવ્યા. ઝેંગ એટ અલ.એ પ્રક્રિયામાં માળખાકીય તત્વ તરીકે 3x3 ચોરસ ટેમ્પલેટ મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને કપાસના ચાર આકારના કાર્યોને પ્રાપ્ત કરવા માટે ગાણિતિક મોર્ફોલોજીનો ઉપયોગ કર્યો.

અને અન્ય ઘણી અવકાશી રચનાઓ.

બાઈનરી મોર્ફોલોજી

દ્વિસંગી મોર્ફોલોજીમાં, દ્વિસંગી ઇમેજ, કાળા અને સફેદ બિંદુઓ (પિક્સેલ્સ) અથવા 0 અને 1 ના ઓર્ડર કરેલ સેટ (ઓર્ડર કરેલ સેટ) તરીકે રજૂ થાય છે. એક ઇમેજ એરિયા સામાન્ય રીતે ઇમેજ પોઈન્ટના કેટલાક સબસેટ તરીકે સમજવામાં આવે છે. બાઈનરી મોર્ફોલોજીની દરેક કામગીરી આ સમૂહનું અમુક રૂપાંતરણ છે. ઇનપુટ ડેટા એ બાઈનરી ઈમેજ B અને કેટલાક માળખાકીય તત્વ S છે. ઓપરેશનનું પરિણામ પણ બાઈનરી ઈમેજ છે.

માળખાકીય તત્વ

માળખાકીય તત્વ કેટલીક બાઈનરી ઈમેજ (ભૌમિતિક આકાર) દર્શાવે છે. તે કોઈપણ કદ અને માળખું હોઈ શકે છે. મોટેભાગે, સપ્રમાણ તત્વોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેમ કે નિશ્ચિત કદનો લંબચોરસ (BOX(l, w)), અથવા અમુક વ્યાસનું વર્તુળ (DISK (d)). દરેક તત્વનું એક વિશિષ્ટ બિંદુ હોય છે જેને મૂળ કહેવાય છે. તે તત્વમાં (અને તેની બહાર) ગમે ત્યાં સ્થિત હોઈ શકે છે, જો કે સપ્રમાણતાવાળાઓમાં તે સામાન્ય રીતે કેન્દ્રિય પિક્સેલ હોય છે.

મૂળભૂત કામગીરી

શરૂઆતમાં, પરિણામી સપાટી 0 થી ભરેલી હોય છે, જે સંપૂર્ણપણે સફેદ છબી બનાવે છે. પછી મૂળ ઇમેજનું પ્રોબિંગ અથવા સ્કેનિંગ પિક્સેલ બાય પિક્સેલ દ્વારા માળખાકીય તત્વ દ્વારા કરવામાં આવે છે. દરેક પિક્સેલની તપાસ કરવા માટે, ઇમેજ પર એક માળખાકીય તત્વને "ઓવરલેડ" કરવામાં આવે છે જેથી કરીને ચકાસણી અને પ્રારંભિક બિંદુઓ ગોઠવાયેલ હોય. પછી માળખાકીય તત્વના પિક્સેલ્સના પત્રવ્યવહાર અને "તેની નીચે" ઇમેજ પોઇન્ટ માટે ચોક્કસ સ્થિતિ તપાસવામાં આવે છે. જો શરત પૂરી થાય છે, તો પરિણામી ઇમેજમાં અનુરૂપ સ્થાને 1 મૂકવામાં આવે છે (કેટલાક કિસ્સાઓમાં, ફક્ત એક જ પિક્સેલ ઉમેરવામાં આવશે નહીં, પરંતુ માળખાકીય તત્વમાંથી બધા જ).

ઉપર ચર્ચા કરેલ યોજના મુજબ, મૂળભૂત કામગીરી. આવા ઓપરેશન્સ વિસ્તરણ અને સંકોચન છે. વ્યુત્પન્ન કામગીરી એ ક્રમિક રીતે કરવામાં આવતી મૂળભૂત કામગીરીના કેટલાક સંયોજન છે. મુખ્ય લોકો ઉદઘાટન અને બંધ છે.

મૂળભૂત કામગીરી

ટ્રાન્સફર

પિક્સેલ X ના સમૂહના X t ને વેક્ટર t માં સ્થાનાંતરિત કરવાની કામગીરી X t =(x+t|x∈X) તરીકે સ્પષ્ટ થયેલ છે. પરિણામે, દ્વિસંગી ઇમેજમાં સિંગલ પિક્સેલ્સના સેટને ખસેડવાથી સેટના તમામ પિક્સેલને આપેલ અંતર દ્વારા ખસેડવામાં આવે છે. અનુવાદ વેક્ટર t ને ક્રમબદ્ધ જોડી (∆r,∆c) તરીકે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, જ્યાં ∆r એ પંક્તિની દિશામાં અનુવાદ વેક્ટરનો ઘટક છે, અને ∆c એ કૉલમ્સની દિશામાં અનુવાદ વેક્ટરનો ઘટક છે. છબીની.

બિલ્ડીંગ

માળખાકીય તત્વ B દ્વારા બાઈનરી ઈમેજ A નું વિસ્તરણ સૂચવવામાં આવે છે texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): A \oplus Bઅને અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવે છે:

IN આ અભિવ્યક્તિયુનિયન ઓપરેટરને પિક્સેલ્સની પડોશમાં લાગુ કરાયેલ ઓપરેટર ગણી શકાય. સ્ટ્રક્ચર એલિમેન્ટ B બાઈનરી ઈમેજના તમામ પિક્સેલ પર લાગુ થાય છે. જ્યારે પણ માળખાકીય તત્વની ઉત્પત્તિ એક બાઈનરી પિક્સેલ સાથે સંરેખિત થાય છે, ત્યારે દ્વિસંગી ઈમેજના અનુરૂપ પિક્સેલ સાથે સમગ્ર માળખાકીય તત્વ પર અનુવાદ અને અનુગામી લોજિકલ ઉમેરણ (લોજિકલ OR) લાગુ કરવામાં આવે છે. તાર્કિક ઉમેરણના પરિણામો આઉટપુટ બાઈનરી ઈમેજ પર લખવામાં આવે છે, જે શરૂઆતમાં શૂન્ય મૂલ્યો સાથે શરૂ થાય છે.

ધોવાણ

માળખાકીય તત્વ B દ્વારા બાઈનરી ઈમેજ A નું ધોવાણ સૂચવવામાં આવે છે અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; સેટઅપ મદદ માટે ગણિત/README જુઓ.): A \ominus Bઅને અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવે છે:

ધોવાણની કામગીરી કરતી વખતે, માળખાકીય તત્વ પણ છબીના તમામ પિક્સેલમાંથી પસાર થાય છે. જો અમુક સ્થાને માળખાકીય તત્વનો દરેક એક પિક્સેલ બાઈનરી ઈમેજના એક પિક્સેલ સાથે એકરુપ હોય, તો આઉટપુટ ઈમેજના અનુરૂપ પિક્સેલ સાથે માળખાકીય તત્વના કેન્દ્રીય પિક્સેલનો તાર્કિક ઉમેરો કરવામાં આવે છે. ઇરોશન ઑપરેશન લાગુ કરવાના પરિણામે, માળખાકીય તત્વ કરતાં નાની બધી વસ્તુઓ ભૂંસી નાખવામાં આવે છે, પાતળી રેખાઓ દ્વારા જોડાયેલ ઑબ્જેક્ટ્સ ડિસ્કનેક્ટ થઈ જાય છે, અને તમામ ઑબ્જેક્ટના કદમાં ઘટાડો થાય છે.

વ્યુત્પન્ન કામગીરી

બંધ

માળખાકીય તત્વ B દ્વારા દ્વિસંગી ઇમેજ A નું બંધ સૂચવવામાં આવે છે અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ.): A \bullet Bઅને અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવે છે:

સ્નેપિંગ ઑપરેશન ઇમેજમાં નાના આંતરિક "છિદ્રો"ને "બંધ" કરે છે અને વિસ્તારની કિનારીઓ પરના ઇન્ડેન્ટેશનને દૂર કરે છે. જો આપણે સૌપ્રથમ ગ્રોથ ઑપરેશનને ઇમેજ પર લાગુ કરીએ, તો પછી આપણે નાના છિદ્રો અને તિરાડોથી છુટકારો મેળવી શકીએ છીએ, પરંતુ તે જ સમયે ઑબ્જેક્ટની રૂપરેખા વધશે. સમાન માળખાકીય તત્વ સાથે વિસ્તરણ પછી તરત જ કરવામાં આવતી ઇરોશન સર્જરી દ્વારા આ વધારો ટાળી શકાય છે.

ઓપનિંગ

માળખાકીય તત્વ B દ્વારા દ્વિસંગી ઇમેજ A ખોલીને, અમે સૂચવીએ છીએ અભિવ્યક્તિનું વિશ્લેષણ કરવામાં અસમર્થ (એક્ઝિક્યુટેબલ ફાઇલ texvcમળ્યું નથી; ગણિત/README જુઓ - સેટઅપમાં મદદ.): A \circ Bઅને અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવે છે:

ઇરોશન ઑપરેશન નાની વસ્તુઓ અને વિવિધ અવાજો દૂર કરવા માટે ઉપયોગી છે, પરંતુ આ ઑપરેશનનો ગેરલાભ એ છે કે બાકીની બધી ઑબ્જેક્ટ કદમાં ઓછી થઈ જાય છે. આ અસરને ટાળી શકાય છે જો, ઇરોશન ઓપરેશન પછી, સમાન માળખાકીય તત્વ સાથે બિલ્ડ-અપ ઓપરેશનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે. અનલૉક કરવાથી માળખાકીય તત્વ કરતાં નાની બધી વસ્તુઓ દૂર થાય છે, પરંતુ તે જ સમયે તે વસ્તુઓના કદને મોટા પ્રમાણમાં ઘટાડવાનું ટાળવામાં મદદ કરે છે. બ્રેકિંગ એ રેખાઓને દૂર કરવા માટે પણ આદર્શ છે જેની જાડાઈ માળખાકીય તત્વના વ્યાસ કરતાં ઓછી હોય. તે યાદ રાખવું પણ મહત્વપૂર્ણ છે કે આ ઓપરેશન પછી વસ્તુઓના રૂપરેખા સરળ બને છે.

શરતી બિલ્ડઅપ

સરહદ પસંદગી

પણ જુઓ

લેખ "ગાણિતિક મોર્ફોલોજી" વિશે સમીક્ષા લખો

નોંધો

સાહિત્ય

• એલ. શાપિરો, જે. સ્ટોકમેન.કમ્પ્યુટર દ્રષ્ટિ. સંપાદન - એમ.: બીનોમ. નોલેજ લેબોરેટરી, 2006. - 752 પૃ.
• ડી. ફોર્સીથ, જે. પોન્સ.કમ્પ્યુટર દ્રષ્ટિ. આધુનિક અભિગમ. સંપાદન - એમ.: વિલિયમ્સ, 2004. - 928 પૃ.

લિંક્સ

ગાણિતિક મોર્ફોલોજીને દર્શાવતો એક અવતરણ