9 થી આધાર 4 નો લઘુગણક બરાબર છે. લઘુગણક શું છે

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

ચાલો તેને વધુ સરળ રીતે સમજાવીએ. ઉદાહરણ તરીકે, \(\log_(2)(8)\) શક્તિ સમાન, જેના માટે \(2\) મેળવવા માટે \(8\) વધારવામાં આવશ્યક છે. આના પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે \(\log_(2)(8)=3\).

લઘુગણકનો તર્ક અને આધાર

કોઈપણ લઘુગણકમાં નીચેની "શરીર રચના" હોય છે:

લઘુગણકની દલીલ સામાન્ય રીતે તેના સ્તરે લખવામાં આવે છે, અને આધાર લઘુગણક ચિહ્નની નજીક સબસ્ક્રીપ્ટમાં લખવામાં આવે છે. અને આ એન્ટ્રી આ રીતે વાંચે છે: "પચીસ થી બેઝ ફાઇવનો લઘુગણક."

લોગરીધમની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

લઘુગણકની ગણતરી કરવા માટે, તમારે આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાની જરૂર છે: દલીલ મેળવવા માટે આધારને કઈ શક્તિ સુધી વધારવો જોઈએ?

ઉદાહરણ તરીકે, લઘુગણકની ગણતરી કરો: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) મેળવવા માટે કઈ શક્તિ સુધી \(4\) વધારવાની જરૂર છે? દેખીતી રીતે બીજા એક. તેથી જ:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) મેળવવા માટે કઈ શક્તિ \(\sqrt(5)\) વધારવાની જરૂર છે? કઈ શક્તિ કોઈપણ નંબર વન બનાવે છે? શૂન્ય, અલબત્ત!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) મેળવવા માટે કઈ શક્તિ સુધી \(\sqrt(7)\) ઉભી કરવી જોઈએ? સૌપ્રથમ, પ્રથમ ઘાતની કોઈપણ સંખ્યા પોતાની સમાન હોય છે.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) મેળવવા માટે કઈ શક્તિ સુધી \(3\) વધારવાની જરૂર છે? આપણે જાણીએ છીએ કે તે શું છે અપૂર્ણાંક શક્તિ, અને તેનો અર્થ છે વર્ગમૂળ\(\frac(1)(2)\) ની શક્તિ છે.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

ઉદાહરણ : લઘુગણકની ગણતરી કરો \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

ઉકેલ :

જવાબ આપો : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

લોગરીધમની શોધ શા માટે થઈ?

આ સમજવા માટે, ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ: \(3^(x)=9\). સમાનતા કાર્ય કરવા માટે ફક્ત \(x\) સાથે મેળ કરો. અલબત્ત, \(x=2\).

હવે સમીકરણ ઉકેલો: \(3^(x)=8\).શા માટે x ની બરાબર? તે મુદ્દો છે.

હોશિયાર લોકો કહેશે: "X બે કરતા થોડો ઓછો છે." આ નંબર બરાબર કેવી રીતે લખવો? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, લઘુગણકની શોધ કરવામાં આવી હતી. તેમના માટે આભાર, અહીં જવાબ \(x=\log_(3)(8)\) તરીકે લખી શકાય છે.

હું ભારપૂર્વક કહેવા માંગુ છું કે \(\log_(3)(8)\), જેમ કોઈપણ લઘુગણક માત્ર એક સંખ્યા છે. હા, તે અસામાન્ય લાગે છે, પરંતુ તે ટૂંકું છે. કારણ કે જો આપણે તેને દશાંશ તરીકે લખવા માંગીએ છીએ, તો તે આના જેવું દેખાશે: \(1.892789260714.....\)

ઉદાહરણ : સમીકરણ ઉકેલો \(4^(5x-4)=10\)

ઉકેલ :

જવાબ આપો : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

દશાંશ અને કુદરતી લઘુગણક

લઘુગણકની વ્યાખ્યામાં જણાવ્યા મુજબ, તેનો આધાર એક \((a>0, a\neq1)\) સિવાય કોઈપણ હકારાત્મક સંખ્યા હોઈ શકે છે. અને તમામ સંભવિત આધારો પૈકી, ત્યાં બે છે જે ઘણી વાર થાય છે કે તેમની સાથે લઘુગણક માટે વિશિષ્ટ ટૂંકી સંકેતની શોધ કરવામાં આવી હતી:

પ્રાકૃતિક લઘુગણક: લઘુગણક જેનો આધાર યુલરની સંખ્યા \(e\) છે (આશરે \(2.7182818…\) ની બરાબર), અને લઘુગણક \(\ln(a)\) તરીકે લખાયેલ છે.

એટલે કે, \(\ln(a)\) એ \(\log_(e)(a)\) સમાન છે

દશાંશ લઘુગણક: એક લઘુગણક જેનો આધાર 10 લખાયેલ છે \(\lg(a)\).

એટલે કે, \(\lg(a)\) એ \(\log_(10)(a)\) સમાન છે, જ્યાં \(a\) અમુક સંખ્યા છે.

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ

લોગરીધમમાં ઘણી મિલકતો છે. તેમાંથી એકને "મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ" કહેવામાં આવે છે અને તે આના જેવો દેખાય છે:

આ ગુણધર્મ સીધી વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે. ચાલો જોઈએ કે આ સૂત્ર કેવી રીતે આવ્યું.

ચાલો યાદ કરીએ ટૂંકી નોંધલઘુગણકની વ્યાખ્યાઓ:

જો \(a^(b)=c\), તો પછી \(\log_(a)(c)=b\)

એટલે કે, \(b\) એ \(\log_(a)(c)\) સમાન છે. પછી આપણે સૂત્ર \(a^(b)=c\) માં \(b\) ને બદલે \(\log_(a)(c)\) લખી શકીએ છીએ. તે બહાર આવ્યું \(a^(\log_(a)(c))=c\) - મુખ્ય લઘુગણક ઓળખ.

તમે લઘુગણકના અન્ય ગુણધર્મો શોધી શકો છો. તેમની સહાયથી, તમે લોગરીધમ્સ સાથે અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યોને સરળ બનાવી શકો છો અને ગણતરી કરી શકો છો, જેની સીધી ગણતરી કરવી મુશ્કેલ છે.

ઉદાહરણ : અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો \(36^(\log_(6)(5))\)

ઉકેલ :

જવાબ આપો : \(25\)

લઘુગણક તરીકે સંખ્યા કેવી રીતે લખવી?

ઉપર જણાવ્યા મુજબ, કોઈપણ લઘુગણક માત્ર એક સંખ્યા છે. વાતચીત પણ સાચી છે: કોઈપણ સંખ્યાને લઘુગણક તરીકે લખી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે જાણીએ છીએ કે \(\log_(2)(4)\) બે બરાબર છે. પછી બેને બદલે તમે \(\log_(2)(4)\) લખી શકો છો.

પરંતુ \(\log_(3)(9)\) પણ \(2\) ની બરાબર છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે \(2=\log_(3)(9)\) પણ લખી શકીએ છીએ. તેવી જ રીતે \(\log_(5)(25)\), અને \(\log_(9)(81)\), વગેરે સાથે. એટલે કે, તે બહાર વળે છે

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ લોગ_(7)(49)...\)

આમ, જો આપણને જરૂર હોય, તો આપણે ગમે ત્યાં કોઈપણ આધાર સાથે લઘુગણક તરીકે બે લખી શકીએ છીએ (સમીકરણમાં પણ, અભિવ્યક્તિમાં પણ, અસમાનતામાં પણ) - આપણે ફક્ત એક દલીલ તરીકે વર્ગ આધાર લખીએ છીએ.

તે ટ્રિપલ સાથે સમાન છે – તેને \(\log_(2)(8)\), અથવા \(\log_(3)(27)\), અથવા \(\log_(4)( તરીકે લખી શકાય છે. 64) \)... અહીં આપણે ક્યુબમાં એક દલીલ તરીકે આધાર લખીએ છીએ:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ લોગ_(7)(343)...\)

અને ચાર સાથે:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ લોગ_(7)(2401)...\)

અને માઈનસ વન સાથે:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

અને ત્રીજા સાથે:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

કોઈપણ સંખ્યા \(a\) ને આધાર \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\) સાથે લઘુગણક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ : અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

ઉકેલ :

જવાબ આપો : \(1\)

જેમ તમે જાણો છો, જ્યારે અભિવ્યક્તિઓને શક્તિઓ સાથે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેમના ઘાતાંક હંમેશા ઉમેરે છે (a b *a c = a b+c). આ ગાણિતિક કાયદોઆર્કિમિડીઝ દ્વારા લેવામાં આવ્યું હતું, અને પછીથી, 8મી સદીમાં, ગણિતશાસ્ત્રી વિરાસેને પૂર્ણાંક ઘાતાંકનું કોષ્ટક બનાવ્યું હતું. તે તેઓ હતા જેમણે લઘુગણકની વધુ શોધ માટે સેવા આપી હતી. આ ફંક્શનનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો લગભગ દરેક જગ્યાએ મળી શકે છે જ્યાં સરળ ઉમેરા દ્વારા બોજારૂપ ગુણાકારને સરળ બનાવવા જરૂરી છે. જો તમે આ લેખ વાંચવામાં 10 મિનિટ પસાર કરો છો, તો અમે તમને સમજાવીશું કે લઘુગણક શું છે અને તેમની સાથે કેવી રીતે કાર્ય કરવું. સરળ અને સુલભ ભાષામાં.

ગણિતમાં વ્યાખ્યા

લઘુગણક એ નીચેના સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે: લોગ a b=c, એટલે કે, કોઈપણનું લઘુગણક બિન-નકારાત્મક સંખ્યા(એટલે ​​​​કે, કોઈપણ હકારાત્મક) તેના આધાર "a" દ્વારા "b" એ "c" ની શક્તિ તરીકે ગણવામાં આવે છે કે જેના પર આધાર "a" ને આખરે "b" મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરવા માટે વધારવો આવશ્યક છે. ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને લઘુગણકનું વિશ્લેષણ કરીએ, ચાલો કહીએ કે એક અભિવ્યક્તિ લોગ છે 2 8. જવાબ કેવી રીતે શોધવો? તે ખૂબ જ સરળ છે, તમારે એવી શક્તિ શોધવાની જરૂર છે કે 2 થી જરૂરી શક્તિ સુધી તમને 8 મળે. તમારા માથામાં થોડી ગણતરીઓ કર્યા પછી, અમને 3 નંબર મળે છે! અને તે સાચું છે, કારણ કે 2 ની ઘાત 3 નો જવાબ 8 આપે છે.

લઘુગણકના પ્રકાર

ઘણા વિદ્યાર્થીઓ અને વિદ્યાર્થીઓ માટે, આ વિષય જટિલ અને અગમ્ય લાગે છે, પરંતુ હકીકતમાં લઘુગણક એટલા ડરામણા નથી, મુખ્ય વસ્તુ તેમના સામાન્ય અર્થને સમજવા અને તેમની મિલકતો અને કેટલાક નિયમોને યાદ રાખવાની છે. ત્રણ છે વ્યક્તિગત પ્રજાતિઓલઘુગણક અભિવ્યક્તિઓ:

1. કુદરતી લઘુગણક ln a, જ્યાં આધાર યુલર નંબર છે (e = 2.7).
2. દશાંશ a, જ્યાં આધાર 10 છે.
3. કોઈપણ સંખ્યા b નું લઘુગણક a>1 આધાર.

તેમાંથી દરેક નક્કી કરવામાં આવે છે પ્રમાણભૂત રીતે, જેમાં લઘુગણક પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને એક લઘુગણકમાં સરળીકરણ, ઘટાડો અને અનુગામી ઘટાડોનો સમાવેશ થાય છે. લઘુગણકના સાચા મૂલ્યો મેળવવા માટે, તમારે તેમને હલ કરતી વખતે તેમના ગુણધર્મો અને ક્રિયાઓનો ક્રમ યાદ રાખવો જોઈએ.

નિયમો અને કેટલાક પ્રતિબંધો

ગણિતમાં, એવા કેટલાય નિયમો-અવરોધ છે જે સ્વયંસિદ્ધ તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે, એટલે કે, તેઓ ચર્ચાને પાત્ર નથી અને સત્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાઓને શૂન્ય વડે વિભાજિત કરવી અશક્ય છે, અને તેમાંથી એક સમાન મૂળ કાઢવાનું પણ અશક્ય છે. નકારાત્મક સંખ્યાઓ. લોગરીધમના પણ પોતાના નિયમો હોય છે, જેને અનુસરીને તમે લાંબા અને કેપેસિયસ લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓ સાથે પણ સરળતાથી કામ કરવાનું શીખી શકો છો:

• આધાર "a" હંમેશા હોવો જોઈએ શૂન્ય કરતાં વધુ, અને તે જ સમયે 1 ની બરાબર નથી, અન્યથા અભિવ્યક્તિ તેનો અર્થ ગુમાવશે, કારણ કે "1" અને "0" કોઈપણ ડિગ્રી માટે હંમેશા તેમના મૂલ્યો સમાન હોય છે;
• જો a > 0, પછી a b > 0, તો તે તારણ આપે છે કે "c" પણ શૂન્ય કરતા મોટો હોવો જોઈએ.

લોગરીધમ્સ કેવી રીતે ઉકેલવા?

ઉદાહરણ તરીકે, 10 x = 100 ના સમીકરણનો જવાબ શોધવા માટે કાર્ય આપવામાં આવ્યું છે. આ ખૂબ જ સરળ છે, તમારે સંખ્યા દસ વધારીને એક ઘાત પસંદ કરવાની જરૂર છે જેના પર આપણને 100 મળે છે. આ, અલબત્ત, 10 2 = છે. 100.

હવે કલ્પના કરીએ આ અભિવ્યક્તિલઘુગણક સ્વરૂપમાં. અમને લોગ 10 100 = 2 મળે છે. લઘુગણક ઉકેલતી વખતે, આપેલ સંખ્યા મેળવવા માટે લોગરીધમના આધારમાં પ્રવેશ કરવો જરૂરી છે તે શક્તિ શોધવા માટે બધી ક્રિયાઓ વ્યવહારીક રીતે એકીકૃત થાય છે.

અજ્ઞાત ડિગ્રીના મૂલ્યને ચોક્કસપણે નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે ડિગ્રીના કોષ્ટક સાથે કેવી રીતે કાર્ય કરવું તે શીખવાની જરૂર છે. તે આના જેવું દેખાય છે:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, જો તમારી પાસે ટેક્નિકલ મન અને ગુણાકાર કોષ્ટકનું જ્ઞાન હોય તો કેટલાક ઘાતાંકનો સાહજિક રીતે અનુમાન લગાવી શકાય છે. જોકે માટે મોટા મૂલ્યોતમારે ડિગ્રીના ટેબલની જરૂર પડશે. તેનો ઉપયોગ એવા લોકો દ્વારા પણ થઈ શકે છે જેઓ જટિલ વિશે બિલકુલ જાણતા નથી ગાણિતિક વિષયો. ડાબી સ્તંભમાં સંખ્યાઓ (આધાર a) હોય છે, સંખ્યાઓની ટોચની પંક્તિ એ પાવર cનું મૂલ્ય છે કે જેના પર સંખ્યા a વધે છે. આંતરછેદ પર, કોષોમાં સંખ્યાના મૂલ્યો હોય છે જે જવાબ છે (a c =b). ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, 10 નંબર સાથેનો પહેલો કોષ લઈએ અને તેનો વર્ગ કરીએ, આપણને 100 મૂલ્ય મળે છે, જે આપણા બે કોષોના આંતરછેદ પર દર્શાવેલ છે. બધું એટલું સરળ અને સરળ છે કે સૌથી સાચો માનવતાવાદી પણ સમજી જશે!

સમીકરણો અને અસમાનતાઓ

તે તારણ આપે છે કે અમુક શરતો હેઠળ ઘાતાંક લઘુગણક છે. તેથી, કોઈપણ ગાણિતિક સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓલઘુગણક સમીકરણ તરીકે લખી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, 3 4 =81 ને 81 બરાબર ચાર (લોગ 3 81 = 4) ના આધાર 3 લઘુગણક તરીકે લખી શકાય. માટે નકારાત્મક શક્તિઓનિયમો સમાન છે: 2 -5 = 1/32 આપણે તેને લઘુગણક તરીકે લખીએ છીએ, આપણને લોગ 2 (1/32) = -5 મળે છે. ગણિતના સૌથી આકર્ષક વિભાગોમાંનો એક "લોગરીધમ્સ" નો વિષય છે. અમે સમીકરણોના ગુણધર્મનો અભ્યાસ કર્યા પછી તરત જ તેના ઉદાહરણો અને ઉકેલો નીચે જોઈશું. હવે ચાલો જોઈએ કે અસમાનતાઓ કેવી દેખાય છે અને તેમને સમીકરણોથી કેવી રીતે અલગ પાડવી.

નીચેના ફોર્મની અભિવ્યક્તિ આપેલ છે: લોગ 2 (x-1) > 3 - તે છે લઘુગણક અસમાનતા, કારણ કે અજ્ઞાત મૂલ્ય "x" લઘુગણકની નિશાની હેઠળ છે. અને અભિવ્યક્તિમાં પણ બે જથ્થાઓની તુલના કરવામાં આવે છે: બેઝ બે માટે ઇચ્છિત સંખ્યાનો લઘુગણક નંબર ત્રણ કરતા વધારે છે.

લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓ વચ્ચેનો સૌથી મહત્વનો તફાવત એ છે કે લઘુગણક સાથેના સમીકરણો (ઉદાહરણ - લઘુગણક 2 x = √9) એક અથવા વધુ ચોક્કસ જવાબો સૂચવે છે સંખ્યાત્મક મૂલ્યો, જ્યારે અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે પ્રદેશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે સ્વીકાર્ય મૂલ્યો, અને આ ફંક્શનના બ્રેકપોઇન્ટ્સ. પરિણામે, જવાબ એ સમીકરણના જવાબની જેમ વ્યક્તિગત સંખ્યાઓનો સરળ સમૂહ નથી, પરંતુ સતત શ્રેણી અથવા સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

લઘુગણક વિશે મૂળભૂત પ્રમેય

લઘુગણકના મૂલ્યો શોધવાના આદિમ કાર્યોને હલ કરતી વખતે, તેના ગુણધર્મો જાણી શકાતા નથી. જો કે, જ્યારે લઘુગણક સમીકરણો અથવા અસમાનતાઓની વાત આવે છે, ત્યારે સૌ પ્રથમ, લઘુગણકના તમામ મૂળભૂત ગુણધર્મોને સ્પષ્ટપણે સમજવું અને વ્યવહારમાં લાગુ કરવું જરૂરી છે. અમે સમીકરણોના ઉદાહરણો પછીથી જોઈશું, ચાલો પહેલા દરેક મિલકતને વધુ વિગતવાર જોઈએ.

1. મુખ્ય ઓળખ આના જેવી દેખાય છે: a logaB =B. તે ત્યારે જ લાગુ થાય છે જ્યારે a 0 કરતા વધારે હોય, એકની બરાબર ન હોય અને B શૂન્ય કરતા વધારે હોય.
2. ઉત્પાદનના લઘુગણકને માં રજૂ કરી શકાય છે નીચેનું સૂત્ર: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. આ કિસ્સામાં, ફરજિયાત શરત છે: d, s 1 અને s 2 > 0; a≠1. તમે ઉદાહરણો અને ઉકેલ સાથે આ લઘુગણક સૂત્ર માટે સાબિતી આપી શકો છો. ચાલો a s 1 = f 1 લોગ કરીએ અને a s 2 = f 2 લોગ કરીએ, પછી a f1 = s 1, a f2 = s 2. આપણે મેળવીએ છીએ કે s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ની ગુણધર્મો ડિગ્રી ), અને પછી વ્યાખ્યા દ્વારા: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
3. ભાગનો લઘુગણક આના જેવો દેખાય છે: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. સૂત્રના સ્વરૂપમાં પ્રમેય નીચેનું સ્વરૂપ લે છે: log a q b n = n/q log a b.

આ સૂત્રને "લોગરિધમની ડિગ્રીની મિલકત" કહેવામાં આવે છે. તે સામાન્ય ડિગ્રીના ગુણધર્મો જેવું લાગે છે, અને તે આશ્ચર્યજનક નથી, કારણ કે તમામ ગણિત કુદરતી ધારણાઓ પર આધારિત છે. ચાલો પુરાવા જોઈએ.

ચાલો a b = t લોગ કરીએ, તે t = b બહાર આવે છે. જો આપણે બંને ભાગોને પાવર m પર વધારીએ: a tn = b n ;

પરંતુ ત્યારથી a tn = (a q) nt/q = b n, તેથી a q b n = (n*t)/t લોગ કરો, પછી a q b n = n/q લોગ a b લોગ કરો. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

સમસ્યાઓ અને અસમાનતાના ઉદાહરણો

લઘુગણક પરની સમસ્યાઓના સૌથી સામાન્ય પ્રકારો સમીકરણો અને અસમાનતાના ઉદાહરણો છે. તેઓ લગભગ તમામ સમસ્યા પુસ્તકોમાં જોવા મળે છે, અને તેમાં પણ સામેલ છે ફરજિયાત ભાગગણિતની પરીક્ષાઓ. યુનિવર્સિટીમાં પ્રવેશ અથવા પાસ થવા માટે પ્રવેશ પરીક્ષાઓગણિતમાં તમારે આવી સમસ્યાઓને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે હલ કરવી તે જાણવાની જરૂર છે.

કમનસીબે, લઘુગણકના અજ્ઞાત મૂલ્યને ઉકેલવા અને નિર્ધારિત કરવા માટે કોઈ એક યોજના અથવા યોજના નથી, પરંતુ દરેક માટે ગાણિતિક અસમાનતાઅથવા લઘુગણક સમીકરણ લાગુ કરી શકાય છે ચોક્કસ નિયમો. સૌ પ્રથમ, તમારે શોધવું જોઈએ કે શું અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવી શકાય છે અથવા દોરી શકે છે સામાન્ય દેખાવ. લાંબા મુદ્દાઓને સરળ બનાવો લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓશક્ય છે જો તમે તેમની મિલકતોનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો. ચાલો તેમને ઝડપથી જાણીએ.

લઘુગણક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, આપણે નક્કી કરવું જોઈએ કે આપણી પાસે કયા પ્રકારનું લઘુગણક છે: ઉદાહરણની અભિવ્યક્તિમાં કુદરતી લઘુગણક અથવા દશાંશ હોઈ શકે છે.

અહીં ln100, ln1026 ઉદાહરણો છે. તેમનું સોલ્યુશન એ હકીકત પર ઉકળે છે કે તેમને તે શક્તિ નક્કી કરવાની જરૂર છે કે જેના પર આધાર 10 અનુક્રમે 100 અને 1026 ની બરાબર હશે. કુદરતી લઘુગણકના ઉકેલો માટે, તમારે અરજી કરવાની જરૂર છે લઘુગણક ઓળખઅથવા તેમની મિલકતો. ચાલો ઉદાહરણો સાથે ઉકેલ જોઈએ લઘુગણક સમસ્યાઓવિવિધ પ્રકારો.

લોગરીધમ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો: ઉદાહરણો અને ઉકેલો સાથે

તેથી, ચાલો લઘુગણક વિશેના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો જોઈએ.

1. ઉત્પાદનના લઘુગણકની મિલકતનો ઉપયોગ એવા કાર્યોમાં થઈ શકે છે જ્યાં તેને વિસ્તૃત કરવું જરૂરી છે મહાન મૂલ્યસંખ્યાઓ b સરળ પરિબળોમાં. ઉદાહરણ તરીકે, લોગ 2 4 + લોગ 2 128 = લોગ 2 (4*128) = લોગ 2 512. જવાબ 9 છે.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - જેમ તમે જોઈ શકો છો, લઘુગણક શક્તિના ચોથા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, અમે એક જટિલ અને વણઉકેલાયેલી અભિવ્યક્તિને ઉકેલવામાં વ્યવસ્થાપિત છીએ. તમારે ફક્ત આધારને પરિબળ કરવાની જરૂર છે અને પછી ઘાતાંકના મૂલ્યોને લઘુગણકની નિશાનીમાંથી બહાર કાઢો.

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાંથી સોંપણીઓ

લોગરીધમ ઘણી વખત માં જોવા મળે છે પ્રવેશ પરીક્ષાઓ, ખાસ કરીને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં ઘણી બધી લઘુગણક સમસ્યાઓ ( રાજ્ય પરીક્ષાતમામ શાળા છોડનારાઓ માટે). સામાન્ય રીતે આ કાર્યો માત્ર ભાગ A (સૌથી સરળ પરીક્ષણ ભાગપરીક્ષા), પણ ભાગ સીમાં (સૌથી જટિલ અને વિશાળ કાર્યો). પરીક્ષા માટે ચોક્કસ અને જરૂરી છે સંપૂર્ણ જ્ઞાનવિષયો "કુદરતી લઘુગણક".

અધિકારીઓ પાસેથી ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓના ઉકેલો લેવામાં આવે છે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા વિકલ્પો. ચાલો જોઈએ કે આવા કાર્યો કેવી રીતે હલ થાય છે.

આપેલ લોગ 2 (2x-1) = 4. ઉકેલ:
ચાલો અભિવ્યક્તિને ફરીથી લખીએ, તેને થોડો લોગ 2 (2x-1) = 2 2 સરળ બનાવીએ, લઘુગણકની વ્યાખ્યા દ્વારા આપણને મળે છે કે 2x-1 = 2 4, તેથી 2x = 17; x = 8.5.

• બધા લોગરીધમ્સને સમાન આધાર પર ઘટાડવાનું શ્રેષ્ઠ છે જેથી ઉકેલ બોજારૂપ અને ગૂંચવણભર્યો ન હોય.
• લઘુગણક ચિન્હ હેઠળના તમામ અભિવ્યક્તિઓ સકારાત્મક તરીકે સૂચવવામાં આવે છે, તેથી, જ્યારે લઘુગણક ચિન્હ હેઠળ હોય તેવા અભિવ્યક્તિના ઘાતાંક અને તેનો આધાર ગુણક તરીકે લેવામાં આવે છે, ત્યારે લઘુગણક હેઠળ બાકી રહેલી અભિવ્યક્તિ હકારાત્મક હોવી જોઈએ.

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર વિનંતી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે એકત્રિત કરી શકીએ છીએ વિવિધ માહિતી, તમારું નામ, ફોન નંબર, સરનામું સહિત ઇમેઇલવગેરે

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમારા દ્વારા એકત્રિત વ્યક્તિગત માહિતીઅમને તમારો સંપર્ક કરવા અને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ વિશે તમને જાણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ આંતરિક હેતુઓ માટે પણ કરી શકીએ છીએ જેમ કે ઑડિટિંગ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ અભ્યાસોઅમે જે સેવાઓ પ્રદાન કરીએ છીએ તેમાં સુધારો કરવા અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયા, કાનૂની કાર્યવાહી અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે સરકારી એજન્સીઓરશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશ પર - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરો. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી વ્યક્તિગત માહિતી સુરક્ષિત છે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોનો સંચાર કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

તેથી, આપણી પાસે બે શક્તિઓ છે. જો તમે નીચેની લાઇનમાંથી નંબર લો છો, તો તમે સરળતાથી તે પાવર શોધી શકો છો કે જેના પર તમારે આ નંબર મેળવવા માટે બે વધારવા પડશે. ઉદાહરણ તરીકે, 16 મેળવવા માટે, તમારે બેથી ચોથા પાવર વધારવાની જરૂર છે. અને 64 મેળવવા માટે, તમારે બે થી છઠ્ઠી શક્તિ વધારવાની જરૂર છે. આ ટેબલ પરથી જોઈ શકાય છે.

અને હવે - વાસ્તવમાં, લઘુગણકની વ્યાખ્યા:

x નો લઘુગણકનો આધાર એ શક્તિ છે કે જેના પર x મેળવવા માટે એકને ઉભો કરવો આવશ્યક છે.

હોદ્દો: લોગ a x = b, જ્યાં a એ આધાર છે, x એ દલીલ છે, b એ છે જેની લઘુગણક વાસ્તવમાં બરાબર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 2 3 = 8 ⇒ લોગ 2 8 = 3 (8 નો આધાર 2 લઘુગણક ત્રણ છે કારણ કે 2 3 = 8). સમાન સફળતા લોગ 2 64 = 6 સાથે, 2 6 = 64 થી.

આપેલ આધાર માટે સંખ્યાના લઘુગણકને શોધવાની કામગીરીને લઘુગણકીકરણ કહેવાય છે. તેથી, ચાલો આપણા કોષ્ટકમાં એક નવી લાઇન ઉમેરીએ:

કમનસીબે, બધા લઘુગણકની ગણતરી એટલી સરળતાથી થતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, લોગ 2 5 શોધવાનો પ્રયાસ કરો. 5 નંબર કોષ્ટકમાં નથી, પરંતુ તર્ક સૂચવે છે કે લઘુગણક સેગમેન્ટ પર ક્યાંક આવેલો હશે. કારણ કે 2 2< 5 < 2 3 , а чем વધુ ડિગ્રીબે, સંખ્યા જેટલી મોટી.

આવી સંખ્યાઓને અતાર્કિક કહેવામાં આવે છે: દશાંશ બિંદુ પછીની સંખ્યાઓ અનંત લખી શકાય છે, અને તે ક્યારેય પુનરાવર્તિત થતી નથી. જો લઘુગણક અતાર્કિક હોવાનું બહાર આવે છે, તો તેને તે રીતે છોડવું વધુ સારું છે: લોગ 2 5, લોગ 3 8, લોગ 5 100.

તે સમજવું અગત્યનું છે કે લઘુગણક એ બે ચલો (આધાર અને દલીલ) સાથેની અભિવ્યક્તિ છે. શરૂઆતમાં, ઘણા લોકો મૂંઝવણમાં મૂકે છે કે આધાર ક્યાં છે અને દલીલ ક્યાં છે. ટાળવા માટે હેરાન કરતી ગેરસમજણો, ફક્ત ચિત્ર જુઓ:

આપણી સમક્ષ લઘુગણકની વ્યાખ્યા કરતાં વધુ કંઈ નથી. યાદ રાખો: લઘુગણક એક શક્તિ છે, જેમાં દલીલ મેળવવા માટે આધાર બાંધવો આવશ્યક છે. તે આધાર છે જે શક્તિ સુધી ઉભો થાય છે - તે ચિત્રમાં લાલ રંગમાં પ્રકાશિત થયેલ છે. તે તારણ આપે છે કે આધાર હંમેશા તળિયે છે! આ અદ્ભુત નિયમહું મારા વિદ્યાર્થીઓને પહેલા જ પાઠમાં કહું છું - અને ત્યાં કોઈ મૂંઝવણ નથી.

અમે વ્યાખ્યા શોધી કાઢી છે - જે બાકી છે તે શીખવાનું છે કે લઘુગણકની ગણતરી કેવી રીતે કરવી, એટલે કે. "લોગ" ચિહ્નથી છુટકારો મેળવો. શરૂઆતમાં, અમે નોંધીએ છીએ કે વ્યાખ્યામાંથી બે મહત્વપૂર્ણ તથ્યો અનુસરે છે:

1. દલીલ અને આધાર હંમેશા શૂન્ય કરતા વધારે હોવા જોઈએ. આ ડિગ્રીની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે તર્કસંગત સૂચક, જેમાં લઘુગણકની વ્યાખ્યા નીચે આવે છે.
2. આધાર એકથી અલગ હોવો જોઈએ, કારણ કે એકથી કોઈપણ ડિગ્રી હજુ પણ એક જ રહે છે. આને કારણે, "બે મેળવવા માટે એકને કઈ શક્તિ સુધી ઉભી કરવી જોઈએ" એ પ્રશ્ન અર્થહીન છે. આવી કોઈ ડિગ્રી નથી!

આવા પ્રતિબંધો કહેવામાં આવે છે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી(ODZ). તે તારણ આપે છે કે લઘુગણકનો ODZ આના જેવો દેખાય છે: લોગ a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

નોંધ કરો કે સંખ્યા b (લોગરિધમનું મૂલ્ય) પર કોઈ નિયંત્રણો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, લઘુગણક નકારાત્મક હોઈ શકે છે: લોગ 2 0.5 = −1, કારણ કે 0.5 = 2 −1.

જો કે, હવે અમે ફક્ત વિચારણા કરી રહ્યા છીએ સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓ, જ્યાં લોગરીધમનું CVD જાણવું જરૂરી નથી. કાર્યોના લેખકો દ્વારા પહેલાથી જ તમામ પ્રતિબંધો ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા છે. પરંતુ જ્યારે તેઓ જાય છે લઘુગણક સમીકરણોઅને અસમાનતા, DHS આવશ્યકતાઓ ફરજિયાત બની જશે. છેવટે, આધાર અને દલીલમાં ખૂબ જ મજબૂત બાંધકામો હોઈ શકે છે જે ઉપરોક્ત પ્રતિબંધોને અનુરૂપ હોય તે જરૂરી નથી.

હવે વિચાર કરીએ સામાન્ય યોજનાલઘુગણકની ગણતરી તે ત્રણ પગલાંઓ સમાવે છે:

1. આધાર a અને દલીલ x ને એક કરતાં વધુ ન્યૂનતમ શક્ય આધાર સાથે શક્તિ તરીકે વ્યક્ત કરો. રસ્તામાં, દશાંશથી છુટકારો મેળવવો વધુ સારું છે;
2. ચલ b માટે સમીકરણ ઉકેલો: x = a b ;
3. પરિણામી સંખ્યા b એ જવાબ હશે.

બસ! જો લઘુગણક અતાર્કિક હોવાનું બહાર આવે છે, તો આ પ્રથમ પગલામાં પહેલેથી જ દેખાશે. આધાર એક કરતા વધારે હોવો જરૂરી છે તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે: આ ભૂલની સંભાવનાને ઘટાડે છે અને ગણતરીઓને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે. સાથે જ દશાંશ: જો તમે તેને તરત જ નિયમિતમાં રૂપાંતરિત કરો છો, તો ઘણી ઓછી ભૂલો હશે.

ચાલો જોઈએ કે વિશિષ્ટ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને આ યોજના કેવી રીતે કાર્ય કરે છે:

કાર્ય. લઘુગણકની ગણતરી કરો: લોગ 5 25

1. ચાલો આધાર અને દલીલની પાંચની શક્તિ તરીકે કલ્પના કરીએ: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

ચાલો સમીકરણ બનાવીએ અને હલ કરીએ:
લોગ 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. અમને જવાબ મળ્યો: 2.

કાર્ય. લઘુગણકની ગણતરી કરો:

કાર્ય. લઘુગણકની ગણતરી કરો: લોગ 4 64

1. ચાલો બેની શક્તિ તરીકે આધાર અને દલીલની કલ્પના કરીએ: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. ચાલો સમીકરણ બનાવીએ અને હલ કરીએ:
   લોગ 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. અમને જવાબ મળ્યો: 3.

કાર્ય. લઘુગણકની ગણતરી કરો: લોગ 16 1

1. ચાલો બેની શક્તિ તરીકે આધાર અને દલીલની કલ્પના કરીએ: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. ચાલો સમીકરણ બનાવીએ અને હલ કરીએ:
   લોગ 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. અમને જવાબ મળ્યો: 0.

કાર્ય. લઘુગણકની ગણતરી કરો: લોગ 7 14

1. ચાલો આધાર અને દલીલની સાતની શક્તિ તરીકે કલ્પના કરીએ: 7 = 7 1 ; 7 1 થી, 14 ને સાતની શક્તિ તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી< 14 < 7 2 ;
2. પાછલા ફકરામાંથી તે અનુસરે છે કે લઘુગણકની ગણતરી થતી નથી;
3. જવાબ કોઈ ફેરફાર નથી: લોગ 7 14.

માટે એક નાની નોંધ છેલ્લું ઉદાહરણ. તમે કેવી રીતે ખાતરી કરી શકો કે સંખ્યા એ બીજી સંખ્યાની ચોક્કસ શક્તિ નથી? તે ખૂબ જ સરળ છે - ફક્ત તેને વિભાજિત કરો મુખ્ય પરિબળો. જો વિસ્તરણમાં ઓછામાં ઓછા બે અલગ અલગ પરિબળો હોય, તો સંખ્યા ચોક્કસ શક્તિ નથી.

કાર્ય. સંખ્યાઓ ચોક્કસ શક્તિઓ છે કે કેમ તે શોધો: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ચોક્કસ ડિગ્રી, કારણ કે ત્યાં માત્ર એક ગુણક છે;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ચોક્કસ શક્તિ નથી, કારણ કે ત્યાં બે પરિબળો છે: 3 અને 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ચોક્કસ ડિગ્રી;
35 = 7 · 5 - ફરીથી ચોક્કસ શક્તિ નથી;
14 = 7 · 2 - ફરીથી ચોક્કસ ડિગ્રી નથી;

એ પણ નોંધ કરો કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પોતે હંમેશા પોતાની ચોક્કસ શક્તિઓ હોય છે.

દશાંશ લઘુગણક

કેટલાક લઘુગણક એટલા સામાન્ય છે કે તેમની પાસે છે ખાસ નામઅને હોદ્દો.

x નો દશાંશ લઘુગણક એ આધાર 10 નો લઘુગણક છે, એટલે કે. સંખ્યા x મેળવવા માટે સંખ્યા 10 વધારવાની આવશ્યકતા છે. હોદ્દો: એલજી એક્સ.

ઉદાહરણ તરીકે, લોગ 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - વગેરે.

હવેથી, જ્યારે પાઠ્યપુસ્તકમાં “Find lg 0.01” જેવો વાક્ય દેખાય, ત્યારે જાણી લો કે આ કોઈ ટાઈપો નથી. આ દશાંશ લઘુગણક. જો કે, જો તમે આ સંકેતથી અજાણ હોવ, તો તમે હંમેશા તેને ફરીથી લખી શકો છો:
લોગ x = લોગ 10 x

સામાન્ય લઘુગણક માટે જે સાચું છે તે દશાંશ લઘુગણક માટે પણ સાચું છે.

કુદરતી લઘુગણક

ત્યાં અન્ય લોગરિધમ છે જેનું પોતાનું હોદ્દો છે. કેટલીક રીતે, તે દશાંશ કરતાં પણ વધુ મહત્વપૂર્ણ છે. તે વિશે છેકુદરતી લઘુગણક વિશે.

x નો પ્રાકૃતિક લઘુગણક એ બેઝ e માટે લઘુગણક છે, એટલે કે. સંખ્યા x મેળવવા માટે સંખ્યા e ને વધારવાની જરૂર છે. હોદ્દો: ln x .

ઘણા પૂછશે: ઇ નંબર શું છે? આ અતાર્કિક સંખ્યા, તેના ચોક્કસ મૂલ્યશોધવું અને રેકોર્ડ કરવું અશક્ય છે. હું ફક્ત પ્રથમ આંકડા આપીશ:
e = 2.718281828459...

આ નંબર શું છે અને શા માટે તેની જરૂર છે તે વિશે અમે વિગતમાં જઈશું નહીં. ફક્ત યાદ રાખો કે e કુદરતી લઘુગણકનો આધાર છે:
ln x = log e x

આમ ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - વગેરે. બીજી બાજુ, ln 2 એ અતાર્કિક સંખ્યા છે. સામાન્ય રીતે, કોઈપણનું કુદરતી લઘુગણક તર્કસંગત સંખ્યાઅતાર્કિક સિવાય, અલબત્ત, એક માટે: ln 1 = 0.

કુદરતી લઘુગણક માટે, સામાન્ય લઘુગણક માટે સાચા હોય તેવા તમામ નિયમો માન્ય છે.

log a r b r = log a bઅથવા લોગ a b= લોગ a r b r

જો લઘુગણકનો આધાર અને લઘુગણક ચિન્હ હેઠળની સંખ્યાને સમાન ઘાતમાં વધારવામાં આવે તો લઘુગણકનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં.

લઘુગણક ચિન્હ હેઠળ માત્ર સકારાત્મક સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે, અને લઘુગણકનો આધાર એક સમાન નથી.

ઉદાહરણો.

1) લોગ 3 9 અને લોગ 9 81 ની સરખામણી કરો.

લોગ 3 9=2, ત્યારથી 3 2 =9;

લોગ 9 81=2, ત્યારથી 9 2 =81.

તો લોગ 3 9 = લોગ 9 81.

નોંધ કરો કે બીજા લઘુગણકનો આધાર પ્રથમ લઘુગણકના આધારના ચોરસ જેટલો છે: 9=3 2, અને બીજા લઘુગણકની નિશાની હેઠળની સંખ્યા પ્રથમ લઘુગણકના ચિહ્ન હેઠળની સંખ્યાના વર્ગની બરાબર છે. લઘુગણક: 81=9 2. તે તારણ આપે છે કે પ્રથમ લોગરીધમ લોગ 3 9 ની સંખ્યા અને આધાર બંનેને બીજા પાવરમાં વધારવામાં આવ્યા હતા, અને લઘુગણકનું મૂલ્ય આનાથી બદલાયું નથી:

આગળ, રુટ કાઢવાથી nવચ્ચેથી મી ડિગ્રી એસંખ્યા વધારવી છે એડિગ્રી સુધી ( 1/n), તો પછી લોગ 9 81 થી તમે સંખ્યાનું વર્ગમૂળ લઈને અને લઘુગણકના પાયામાંથી લોગ 3 9 મેળવી શકો છો:

2) સમાનતા તપાસો: લોગ 4 25=લોગ 0.5 0.2.

ચાલો પ્રથમ લઘુગણક જોઈએ. આધારનું વર્ગમૂળ લેવું 4 અને વચ્ચેથી 25 ; આપણને મળે છે: log 4 25=log 2 5.

ચાલો બીજા લઘુગણક જોઈએ. લઘુગણક આધાર: 0.5= 1/2. આ લઘુગણકની નિશાની હેઠળની સંખ્યા: 0.2= 1/5. ચાલો આ દરેક સંખ્યાને માઈનસ ફર્સ્ટ પાવર સુધી વધારીએ:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

તો લોગ 0.5 0.2 = લોગ 2 5. નિષ્કર્ષ: આ સમાનતા સાચી છે.

સમીકરણ ઉકેલો:

લોગ 4 x 4 +લોગ 16 81=લોગ 2 (5x+2).ચાલો લોગરીધમને ડાબેથી બેઝ સુધી ઘટાડીએ 2 .

લોગ 2 x 2 +લોગ 2 3=લોગ 2 (5x+2). સંખ્યાનું વર્ગમૂળ અને પ્રથમ લઘુગણકનો આધાર લો. સંખ્યાના ચોથા મૂળ અને બીજા લઘુગણકનો આધાર કાઢો.

લોગ 2 (3x 2) = લોગ 2 (5x+2). લઘુગણકના સરવાળાને ઉત્પાદનના લઘુગણકમાં રૂપાંતરિત કરો.

3x 2 =5x+2. પોટેન્શિએશન પછી પ્રાપ્ત.

3x 2 -5x-2=0. ચાલો નક્કી કરીએ ચતુર્ભુજ સમીકરણદ્વારા સામાન્ય સૂત્રસંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 વાસ્તવિક મૂળ.

પરીક્ષા.

x=2.

લોગ 4 2 4 +લોગ 16 81=લોગ 2 (5∙2+2);

લોગ 2 2 2 +લોગ 2 3=લોગ 2 12;

લોગ 2 (4∙3)=લોગ 2 12;

લોગ 2 12 = લોગ 2 12;

લોગ a n b=(1/ n)∙ લોગ a b

સંખ્યાનો લઘુગણક bપર આધારિત છે એક એન ઉત્પાદન સમાનઅપૂર્ણાંક 1/ nસંખ્યાના લઘુગણક સુધી bપર આધારિત છે a.

શોધો:1) 21લોગ 8 3+40લોગ 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , જો તે જાણીતું હોય કે લોગ 2 3=b,લોગ 5 2=c.

ઉકેલ.

સમીકરણો ઉકેલો:

1) લોગ 2 x+લોગ 4 x+લોગ 16 x=5.25.

ઉકેલ.

ચાલો આ લોગરીધમને બેઝ 2 સુધી ઘટાડીએ. સૂત્ર લાગુ કરો: લોગ a n b=(1/ n)∙ લોગ a b

લોગ 2 x+(½) લોગ 2 x+(¼) લોગ 2 x=5.25;

લોગ 2 x+0.5લોગ 2 x+0.25લોગ 2 x=5.25. અહીં સમાન શરતો છે:

(1+0.5+0.25) લોગ 2 x=5.25;

1.75 લોગ 2 x=5.25 |:1.75

લોગ 2 x=3. લઘુગણકની વ્યાખ્યા દ્વારા:

2) 0.5લોગ 4 (x-2)+લોગ 16 (x-3)=0.25.

ઉકેલ. ચાલો લોગરીધમને આધાર 16 માં આધાર 4 માં રૂપાંતરિત કરીએ.

0.5લોગ 4 (x-2)+0.5લોગ 4 (x-3)=0.25 |:0.5

લોગ 4 (x-2)+લોગ 4 (x-3)=0.5. ચાલો લોગરીધમના સરવાળાને ઉત્પાદનના લઘુગણકમાં રૂપાંતરિત કરીએ.

લોગ 4 ((x-2)(x-3))=0.5;

લોગ 4 (x 2 -2x-3x+6)=0.5;

લોગ 4 (x 2 -5x+6)=0.5. લઘુગણકની વ્યાખ્યા દ્વારા:

x 2 -5x+4=0. વિએટાના પ્રમેય મુજબ:

x 1 =1; x 2 =4. x નું પ્રથમ મૂલ્ય કામ કરશે નહીં, કારણ કે x = 1 પર આ સમાનતાના લઘુગણક અસ્તિત્વમાં નથી, કારણ કે લઘુગણક ચિન્હ હેઠળ માત્ર હકારાત્મક સંખ્યાઓ જ હોઈ શકે છે.

ચાલો તપાસીએ આપેલ સમીકરણ x=4 પર.

પરીક્ષા.

0.5લોગ 4 (4-2)+લોગ 16 (4-3)=0.25

0.5લોગ 4 2+લોગ 16 1=0.25

0,5∙0,5+0=0,25

લોગ a b=log c b/log c a

સંખ્યાનો લઘુગણક bપર આધારિત છે એ લઘુગણક સમાનસંખ્યાઓ bનવા આધાર પર સાથે, જૂના આધારના લઘુગણક દ્વારા વિભાજિત એનવા આધાર પર સાથે.

ઉદાહરણો:

1) લોગ 2 3=lg3/lg2;

2) લોગ 8 7=ln7/ln8.

ગણતરી કરો:

1) લોગ 5 7, જો તે જાણીતું હોય કે lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / લોગ c a

લોગ 5 7=log7/log5≈0.8451:0.6990≈1.2090.

જવાબ: લોગ 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) લોગ 5 7 , જો તે જાણીતું હોય કે ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

ઉકેલ. સૂત્ર લાગુ કરો: log a b =log c b / લોગ c a

લોગ 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.

જવાબ: લોગ 5 7≈1,209 1≈1,209 .

x શોધો:

1) લોગ 3 x=લોગ 3 4+લોગ 5 6/લોગ 5 3+લોગ 7 8/લોગ 7 3.

અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: લોગ c b / લોગ c a = લોગ a b . અમને મળે છે:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

લોગ 3 x=લોગ 3 (4∙6∙8);

લોગ 3 x = લોગ 3 192;

x=192.

2) લોગ 7 x=lg143-લોગ 6 11/લોગ 6 10-લોગ 5 13/લોગ 5 10.

અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: લોગ c b / લોગ c a = લોગ a b . અમને મળે છે:

લોગ 7 x=lg143-lg11-lg13;

લોગ 7 x=lg143- (lg11+lg13);

લોગ 7 x=lg143-lg (11∙13);

લોગ 7 x=lg143-lg143;

x=1.

પૃષ્ઠ 1 માંથી 1 1