આજે તે કવિતામાં ગાવાને લાયક છે
મૂળના ગુણધર્મો પર વિએટાનું પ્રમેય.
શું સારું છે, મને કહો, આની જેમ સુસંગતતા:
તમે મૂળનો ગુણાકાર કર્યો - અને અપૂર્ણાંક તૈયાર છે
અંશમાં સાથે, છેદમાં એ.
અને અપૂર્ણાંકના મૂળનો સરવાળો પણ સમાન છે
માઈનસ આ અપૂર્ણાંક સાથે પણ
શું સમસ્યા છે
અંશમાં વી, છેદમાં એ.
(શાળા લોકકથામાંથી)
એપિગ્રાફમાં અદ્ભુત પ્રમેય François Vieta સંપૂર્ણપણે સચોટ રીતે આપવામાં આવ્યું નથી. વાસ્તવમાં, આપણે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ લખી શકીએ જેનું કોઈ મૂળ નથી અને તેનો સરવાળો અને ઉત્પાદન લખી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ x 2 + 2x + 12 = 0 માં કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી. પરંતુ, ઔપચારિક અભિગમ અપનાવીને, અમે તેમનું ઉત્પાદન (x 1 · x 2 = 12) અને સરવાળો (x 1 + x 2 = -2) લખી શકીએ છીએ. અમારા છંદો ચેતવણી સાથેના પ્રમેયને અનુરૂપ હશે: "જો સમીકરણના મૂળ છે," એટલે કે. ડી ≥ 0.
પ્રથમ વ્યવહારુ એપ્લિકેશનઆ પ્રમેય એક ચતુર્ભુજ સમીકરણનું નિર્માણ છે જેણે મૂળ આપ્યા છે. બીજું, તે તમને ઘણા ચતુર્ભુજ સમીકરણો મૌખિક રીતે ઉકેલવા દે છે. શાળાના પાઠ્યપુસ્તકો મુખ્યત્વે આ કૌશલ્યો વિકસાવવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે.
અહીં આપણે વધુ વિચારણા કરીશું જટિલ કાર્યો, વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ 1.
5x 2 – 12x + c = 0 સમીકરણનું એક મૂળ બીજા કરતાં ત્રણ ગણું મોટું છે. એસ શોધો.
ઉકેલ.
બીજા મૂળને x 2 થવા દો.
પછી પ્રથમ મૂળ x1 = 3x 2.
વિયેટાના પ્રમેય મુજબ, મૂળનો સરવાળો 12/5 = 2.4 છે.
ચાલો સમીકરણ 3x 2 + x 2 = 2.4 બનાવીએ.
તેથી x 2 = 0.6. તેથી x 1 = 1.8.
જવાબ: c = (x 1 x 2) a = 0.6 1.8 5 = 5.4.
ઉદાહરણ 2.
તે જાણીતું છે કે x 1 અને x 2 એ x 2 – 8x + p = 0 સમીકરણના મૂળ છે, જેમાં 3x 1 + 4x 2 = 29 છે. p શોધો.
ઉકેલ.
વિએટાના પ્રમેય મુજબ, x 1 + x 2 = 8, અને શરત 3x 1 + 4x 2 = 29.
આ બે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કર્યા પછી, આપણને x 1 = 3, x 2 = 5 મૂલ્ય મળે છે.
અને તેથી p = 15.
જવાબ: p = 15.
ઉદાહરણ 3.
3x 2 + 8 x – 1 = 0 સમીકરણના મૂળની ગણતરી કર્યા વિના, x 1 4 + x 2 4 શોધો
ઉકેલ.
નોંધ કરો કે વિએટાના પ્રમેય દ્વારા x 1 + x 2 = -8/3 અને x 1 x 2 = -1/3 અને અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરો
a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
જવાબ: 4898/9.
ઉદાહરણ 4.
પરિમાણ a ના કયા મૂલ્યો પર સૌથી મોટા અને વચ્ચેનો તફાવત છે સૌથી નાના મૂળસમીકરણો
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 તેમના ઉત્પાદનની બરાબર છે.
ઉકેલ.
આ એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે. તેના 2 અલગ-અલગ મૂળ હશે જો D > 0. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 અથવા (a – 3) 2 > 0. તેથી, આપણી પાસે બધા a માટે 2 મૂળ છે, a = 3 સિવાય.
નિશ્ચિતતા માટે, આપણે ધારીશું કે x 1 > x 2 અને x 1 + x 2 = (a + 1)/2 અને x 1 x 2 = (a – 1)/2 મળશે. સમસ્યાની શરતોના આધારે x 1 – x 2 = (a – 1)/2. ત્રણેય શરતો એકસાથે પૂરી થવી જોઈએ. ચાલો પ્રથમ અને છેલ્લા સમીકરણોને સિસ્ટમ તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ. તેને બીજગણિતીય ઉમેરા દ્વારા સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે.
આપણને x 1 = a/2, x 2 = 1/2 મળે છે. ચાલો શું તપાસીએ એબીજી સમાનતા સંતુષ્ટ થશે: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. ચાલો પ્રાપ્ત મૂલ્યોને બદલીએ અને આપણી પાસે હશે: a/4 = (a – 1)/2. પછી a = 2. તે સ્પષ્ટ છે કે જો a = 2, તો બધી શરતો પૂરી થાય છે.
જવાબ: જ્યારે a = 2.
ઉદાહરણ 5.
શું બરાબર છે સૌથી નાનું મૂલ્ય a, જેના પર સમીકરણના મૂળનો સરવાળો
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 તેના મૂળના ચોરસના સરવાળા સમાન છે.
ઉકેલ.
સૌ પ્રથમ, ચાલો સમીકરણને ઘટાડીએ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. તેના મૂળ હશે જો D/4 ≥ 0. તેથી: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. અથવા (a – 1) 2 ≥ 0. અને આ છે કોઈપણ માટે માન્ય શરત a.
ચાલો વિએટાના પ્રમેયને લાગુ કરીએ: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. ચાલો ગણતરી કરીએ
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. અથવા અવેજી પછી x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. તે સમાનતા બનાવવાનું બાકી છે જે સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓને અનુરૂપ છે: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . આપણને મળે છે: 2a = 4a 2 – 4a + 2. આ ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં 2 મૂળ છે: a 1 = 1 અને a 2 = 1/2. તેમાંથી સૌથી નાનું -1/2 છે.
જવાબ: 1/2.
ઉદાહરણ 6.
સમીકરણ ax 2 + bx + c = 0 ના ગુણાંક વચ્ચેનો સંબંધ શોધો જો તેના મૂળના સમઘનનો સરવાળો આ મૂળના વર્ગોના ગુણાંક જેટલો હોય.
ઉકેલ.
અમે એ હકીકત પરથી આગળ વધીશું આપેલ સમીકરણતેના મૂળ છે અને તેથી, વિએટાનું પ્રમેય તેના પર લાગુ કરી શકાય છે.
પછી સમસ્યાની સ્થિતિ નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવશે: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. અથવા: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.
બીજા પરિબળને રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.
આપણને (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2 મળે છે. તે ગુણાંક દ્વારા મૂળના સરવાળો અને ઉત્પાદનોને બદલવાનું બાકી છે.
(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . આ અભિવ્યક્તિ સરળતાથી ફોર્મમાં કન્વર્ટ કરી શકાય છે b(3ac – b 2)/a = c 2.સંબંધ મળી ગયો છે.
ટિપ્પણી.તે ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ કે પરિણામી સંબંધ બીજાના સંતુષ્ટ થયા પછી જ ધ્યાનમાં લેવાનો અર્થપૂર્ણ છે: D ≥ 0.
ઉદાહરણ 7.
ચલ a ની કિંમત શોધો જેના માટે સમીકરણ x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 ના મૂળના વર્ગોનો સરવાળો સૌથી મોટી કિંમત છે.
ઉકેલ.
જો આ સમીકરણમાં x 1 અને x 2 મૂળ હોય, તો તેનો સરવાળો x 1 + x 2 = -2a છે, અને ગુણાંક x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2 છે.
અમે ગણતરી કરીએ છીએ x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.
હવે સ્વાભાવિક છે કે આ અભિવ્યક્તિ લે છે ઉચ્ચતમ મૂલ્ય a = 3 પર.
મૂળ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ખરેખર a = 3 પર મૂળ ધરાવે છે કે કેમ તે તપાસવાનું બાકી છે. અમે અવેજી દ્વારા તપાસીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ: x 2 + 6x + 7 = 0 અને તેના માટે D = 36 – 28 > 0.
તેથી, જવાબ છે: a = 3 માટે.
ઉદાહરણ 8.
2x 2 – 7x – 3 = 0 સમીકરણમાં x 1 અને x 2 મૂળ છે. આપેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંકનો ત્રણ ગણો સરવાળો શોધો, જેના મૂળ નંબરો X 1 = 1/x 1 અને X 2 = 1/x 2 છે. (*)
ઉકેલ.
દેખીતી રીતે, x 1 + x 2 = 7/2 અને x 1 x 2 = -3/2. ચાલો બીજા સમીકરણને તેના મૂળમાંથી x 2 + px + q = 0 સ્વરૂપમાં કંપોઝ કરીએ. આ કરવા માટે, આપણે વિયેટાના પ્રમેયની વાતચીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આપણને મળે છે: p = -(X 1 + X 2) અને q = X 1 · X 2.
(*) ના આધારે આ સૂત્રોમાં અવેજી બનાવ્યા પછી: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 અને q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.
જરૂરી સમીકરણ ફોર્મ લેશે: x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. હવે આપણે સરળતાથી તેના ગુણાંકના ત્રણ ગણા સરવાળાની ગણતરી કરી શકીએ છીએ:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. જવાબ પ્રાપ્ત થયો.
હજુ પણ પ્રશ્નો છે? વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તેની ખાતરી નથી?
શિક્ષક પાસેથી મદદ મેળવવા માટે -.
પ્રથમ પાઠ મફત છે!
blog.site, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, મૂળ સ્ત્રોતની લિંક આવશ્યક છે.
મ્યુનિસિપલ સરકાર શૈક્ષણિક સંસ્થા
"ઓચકુરોવસ્કાયા ગૌણ માધ્યમિક શાળા»
નિકોલેવસ્કી મ્યુનિસિપલ જિલ્લો વોલ્ગોગ્રાડ પ્રદેશ
વિયેટાનું પ્રમેય
દ્વારા પૂર્ણ: ક્રિસ્ટીના ઓનોપ્રિએન્કો,
8મા ધોરણનો વિદ્યાર્થી
MKOU "ઓચકુરોવસ્કાયા માધ્યમિક શાળા"
નિકોલેવસ્કી જિલ્લો
વડા: E.A. Bulba
સાથે. ઓચકુરોવકા
2015
સામગ્રીઓનું કોષ્ટક
પરિચય ………………………………………………………………………………………………………………………
મુખ્ય ભાગ
1.ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ……………………………………………………….4
2. વિયેટાના પ્રમેયનો પુરાવો………………………………………………………..6
3. વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલાયેલા સમીકરણોના બ્લોકનું સંકલન ……………….8
4. સિમ્યુલેટરનું બાંધકામ………………………………………………………10
નિષ્કર્ષ
પ્રોજેક્ટનું વ્યવહારુ મહત્વ ………………………………………... 12
તારણો……………………………………………………………………………….13
માહિતીના સ્ત્રોતોની યાદી ……………………………………………………… 14
અરજી……………………………………………………………………..15
કવિતામાં ગાવા યોગ્ય છે
મૂળના ગુણધર્મો પર વિએટાનું પ્રમેય.
શું સારું છે, મને કહો, આની જેમ સુસંગતતા:
એકવાર તમે મૂળનો ગુણાકાર કરો, અપૂર્ણાંક તૈયાર છે!
અંશ c છે, છેદ a છે.
અને અપૂર્ણાંકના મૂળનો સરવાળો પણ સમાન છે.
માઇનસ અપૂર્ણાંક સાથે પણ, શું સમસ્યા છે!
અંશમાં
b
, છેદમાં a.
પરિચય
પ્રોજેક્ટ વિષયની સુસંગતતા: વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ ઉકેલવા માટેની એક અનોખી તકનીક છે ચતુર્ભુજ સમીકરણોમૌખિક રીતે પાઠ્યપુસ્તકમાં બહુ ઓછા ચતુર્ભુજ સમીકરણો છે જે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. મારા સહપાઠીઓ અને હું ભૂલો કરીએ છીએ.
ઑબ્જેક્ટ સંશોધન બીજગણિત પાઠમાં ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાના અભિન્ન ભાગ તરીકે વિએટાનું પ્રમેય છે.
સંશોધનનો વિષય - વિયેટાનું પ્રમેય અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની કુશળતાને મજબૂત કરવા માટે સમીકરણોના બ્લોકનું સંકલન કરવું.
પૂર્વધારણા: મેં સૂચવ્યું કે તમે સિમ્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોને સચોટ રીતે ઉકેલવાનું શીખી શકો છો.
પ્રોજેક્ટ ધ્યેય : વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલાયેલા સમીકરણોનું સિમ્યુલેટર બનાવો.
કાર્યો:
વિએટાના પ્રમેયની શોધનો ઇતિહાસ શીખો;
ચોરસના ગુણાંકની અવલંબનનો અભ્યાસ કરો
સમીકરણ અને ઉત્પાદન અને તેના મૂળનો સરવાળો.
વિએટાના પ્રમેયને સાબિત કરવાનું શીખો;
વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય તેવા સમીકરણો સ્વતંત્ર રીતે બનાવો
કાગળ પર સમીકરણોનો એક બ્લોક દોરો અને ઇલેક્ટ્રોનિક સ્વરૂપમાં સિમ્યુલેટર બનાવો
વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા માટે તમારા સહપાઠીઓને સિમ્યુલેટર ઓફર કરો
પદ્ધતિઓ :
પરિણામોની સરખામણી સ્વતંત્ર કાર્યપ્રોજેક્ટ પહેલાં અને તાલીમ પછી, વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા
અભ્યાસ અને વિશ્લેષણ ઇલેક્ટ્રોનિક સ્ત્રોતોઅને સાહિત્ય
સમીકરણોના બ્લોક અને સિમ્યુલેટરનું સંકલન કરવા પર સ્વતંત્ર કાર્ય
1.ઐતિહાસિક માહિતી
ફ્રાન્કોઇસ વિયેટનો જન્મ 1540 માં ફ્રાન્સના દક્ષિણમાં નાના શહેર ફેન્ટેની-લે-કોમ્ટેમાં થયો હતો.
વિયેતના પિતા ફરિયાદી હતા. પુત્રએ તેના પિતાનો વ્યવસાય પસંદ કર્યો અને વકીલ બન્યો, પોઈટાઉની યુનિવર્સિટીમાંથી સ્નાતક થયો. 1560 માં, વીસ વર્ષના વકીલે તેની કારકિર્દીની શરૂઆત કરી વતન, પરંતુ ત્રણ વર્ષ પછી તે ઉમદા હ્યુગ્યુનોટ પરિવાર ડી પાર્થેનાયમાં સેવા આપવા ગયો. તે ઘરના માલિકનો સેક્રેટરી અને તેની બાર વર્ષની પુત્રી કેથરિનનો શિક્ષક બન્યો. તે શિક્ષણ હતું જેણે યુવાન વકીલને ગણિતમાં રસ જગાડ્યો.
જ્યારે વિદ્યાર્થી મોટો થયો અને લગ્ન કર્યા, ત્યારે વિયેટ તેના પરિવારથી અલગ થયો નહીં અને તેની સાથે પેરિસ ગયો, જ્યાં તેના માટે યુરોપના અગ્રણી ગણિતશાસ્ત્રીઓની સિદ્ધિઓ વિશે શીખવું સરળ હતું. તેણે સોર્બોન, રામુસ ખાતેના અગ્રણી પ્રોફેસર સાથે વાતચીત કરી અને ઇટાલીના મહાન ગણિતશાસ્ત્રી રાફેલ બોમ્બેલી સાથે મૈત્રીપૂર્ણ પત્રવ્યવહાર ચાલુ રાખ્યો.
1571 માં વિયેટ પર સ્વિચ કર્યું જાહેર સેવા, સંસદના સલાહકાર બન્યા અને પછી ફ્રાન્સના રાજા હેનરી III ના સલાહકાર બન્યા.
1580 માં હેનરી IIIવિયેટને રેકેટિયરના મહત્વના સરકારી પદ પર નિયુક્ત કર્યા, જેણે તેને દેશમાં ઓર્ડરના અમલીકરણને નિયંત્રિત કરવાનો અને મોટા સામંતશાહીના આદેશોને સ્થગિત કરવાનો અધિકાર આપ્યો.
1584 માં, ગુઇઝના આગ્રહથી, વિયેટાને ઓફિસમાંથી દૂર કરવામાં આવ્યો અને પેરિસમાંથી હાંકી કાઢવામાં આવ્યો. શાંતિ અને આરામ મળ્યા પછી, વૈજ્ઞાનિકે તેમના ધ્યેય તરીકે વ્યાપક ગણિતની રચના કરવાનું નક્કી કર્યું જે તેમને કોઈપણ સમસ્યાઓ હલ કરવા દે.
વિયેટે તેમના સંશોધનના કાર્યક્રમની રૂપરેખા આપી અને એક સામાન્ય ખ્યાલ દ્વારા સંયુક્ત ગ્રંથો સૂચિબદ્ધ કર્યા અને તેમાં લખ્યા ગાણિતિક ભાષા 1591 માં પ્રકાશિત વિખ્યાત "વિશ્લેષણાત્મક કલાનો પરિચય" માં નવો અક્ષર બીજગણિત. વિયેટે તેના અભિગમ પ્રજાતિના લોજિસ્ટિક્સનો આધાર ગણાવ્યો; તેણે સંખ્યાઓ, જથ્થાઓ અને સંબંધો વચ્ચે સ્પષ્ટપણે તફાવત કર્યો, તેમને "પ્રજાતિ" ની ચોક્કસ સિસ્ટમમાં એકત્રિત કર્યા. આ સિસ્ટમમાં, ઉદાહરણ તરીકે, ચલો, તેમના મૂળ, ચોરસ, સમઘન, ચોરસ-ચોરસ વગેરેનો સમાવેશ થાય છે. આ પ્રકારો માટે, વિયેટે વિશેષ પ્રતીકવાદ આપ્યો, તેમને નિયુક્ત કર્યા. મોટા અક્ષરોમાં લેટિન મૂળાક્ષરો. અજાણ્યા જથ્થાઓ માટે, સ્વરોનો ઉપયોગ થતો હતો, ચલ માટે - વ્યંજન.
Viète એ દર્શાવ્યું હતું કે પ્રતીકો સાથે કામ કરીને કોઈ પણ પરિણામ મેળવી શકે છે જે કોઈપણ અનુરૂપ જથ્થાને લાગુ પડે છે, એટલે કે, સમસ્યાનું નિરાકરણ સામાન્ય દૃશ્ય. આનાથી બીજગણિતના વિકાસમાં આમૂલ પરિવર્તનની શરૂઆત થઈ: શાબ્દિક કેલ્ક્યુલસ શક્ય બન્યું.
બહુપદીના ગુણાંક અને તેના મૂળ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરતું પ્રખ્યાત પ્રમેય 1591 માં પ્રકાશિત થયું હતું. હવે તે વિએટા નામ ધરાવે છે, અને લેખકે પોતે તેને આ રીતે ઘડ્યું છે: "જો B + D ગુણ્યા A, બાદબાકી A વર્ગ BD બરાબર છે, તો A બરાબર B અને બરાબર D."
"ભૂમિતિમાં ઉમેરણો" ગ્રંથમાં તેણે ત્રીજા અને ચોથા અંશના સમીકરણોને ઉકેલવા માટે ભૌમિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ભૌમિતિક બીજગણિતનો એક પ્રકાર બનાવવાનો પ્રયાસ કર્યો. ત્રીજી અને ચોથી ડિગ્રીનું કોઈપણ સમીકરણ, વિયેટે દલીલ કરી, ઉકેલી શકાય છે ભૌમિતિક પદ્ધતિખૂણાનું ત્રિવિભાજન અથવા બે સરેરાશ પ્રમાણસર બાંધીને.
સદીઓથી, ગણિતશાસ્ત્રીઓ ત્રિકોણ ઉકેલવાના પ્રશ્નમાં રસ ધરાવે છે, કારણ કે તે ખગોળશાસ્ત્ર, સ્થાપત્ય અને ભૂસ્તરશાસ્ત્રની જરૂરિયાતો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવ્યું હતું. વિયેટ સ્પષ્ટપણે ઘડનાર પ્રથમ હતું મૌખિક સ્વરૂપકોસાઇન્સનું પ્રમેય, જોકે સમકક્ષનો ઉપયોગ પ્રથમ સદી બીસીથી છૂટાછવાયા રીતે કરવામાં આવે છે. આપેલ બે બાજુઓ અને તેમની સામેના ખૂણાઓમાંથી એકનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણને ઉકેલવાનો કેસ, જે અગાઉ તેની મુશ્કેલી માટે જાણીતો હતો, તેને વિએટા તરફથી સંપૂર્ણ વિશ્લેષણ પ્રાપ્ત થયું હતું. બીજગણિતનું ઊંડું જ્ઞાન વિયેતાને આપ્યું મહાન લાભો. તદુપરાંત, બીજગણિતમાં તેમની રુચિ શરૂઆતમાં ત્રિકોણમિતિ અને ખગોળશાસ્ત્રની અરજીઓને કારણે હતી. બીજગણિતની દરેક નવી એપ્લિકેશને ત્રિકોણમિતિમાં નવા સંશોધનને પ્રોત્સાહન આપ્યું એટલું જ નહીં, પણ ત્રિકોણમિતિના પ્રાપ્ત પરિણામો પણ સ્ત્રોત હતા. મહત્વપૂર્ણ સફળતાઓબીજગણિત વિએટા, ખાસ કરીને, સાઇન્સ (અથવા તાર) અને બહુવિધ ચાપના કોસાઇન્સ માટેના અભિવ્યક્તિઓની વ્યુત્પત્તિ માટે જવાબદાર છે.
ફ્રાન્સના કેટલાક દરબારીઓના સંસ્મરણોમાં એવો સંકેત છે કે વિયેટના લગ્ન થયા હતા, તેમને એક પુત્રી હતી, જે એસ્ટેટની એકમાત્ર વારસદાર હતી, જેના પછી વિયેટને સિગ્ન્યુર ડે લા બિગૌટિયર કહેવામાં આવતું હતું. કોર્ટના સમાચારમાં, લેચ્યુઅલના માર્ક્વિસે લખ્યું: “... 14 ફેબ્રુઆરી, 1603 શ્રી વિયેટ, ધમાચકડી કરનાર, મહાન બુદ્ધિ અને તર્કનો માણસ અને સૌથી વધુ વૈજ્ઞાનિકો ગણિતશાસ્ત્રીઓસદીનું પેરિસમાં મૃત્યુ થયું. તેની ઉંમર સાઠ વર્ષથી વધુ હતી."
2. વિયેટાના પ્રમેયનો પુરાવો
3. સમીકરણોના બ્લોક અને ઇલેક્ટ્રોનિક સિમ્યુલેટરનું સંકલન
સંદર્ભો
બીજગણિત 8 મા ધોરણ: માટે પાઠ્યપુસ્તક શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ. જી.વી.ડોરોફીવ, એસ.બી
ગ્રેડ 8 માટે બીજગણિત પર ડિડેક્ટિક સામગ્રી. V.I. Zhokhov, Yu.N. Mindyuk. એમ.: શિક્ષણ, 2000.
ગણિત.8મો ધોરણ: ઉપદેશાત્મક સામગ્રીપાઠ્યપુસ્તક માટે "ગણિત 8. બીજગણિત" / એડ. જી.વી. ડોરોફીવા. – એમ.: બસ્ટર્ડ, 2012\
રાજ્ય અંતિમ પ્રમાણપત્ર. 9મા ધોરણ. ગણિત. વિષયોનું પરીક્ષણ કાર્યો./L.D. લપ્પો, એમ.એ. પોપોવ/-એમ.: એક્ઝામિનેશન પબ્લિશિંગ હાઉસ, 2011
આયોજિત પરિણામ
1. માહિતીપ્રદ
માહિતીનો સંગ્રહ, તેનું વિશ્લેષણ
સાહિત્યનો અભ્યાસ
પ્રોજેક્ટના સૈદ્ધાંતિક ભાગ માટે સામગ્રી
2.સંસ્થાકીય
વિશ્લેષણ, સામાન્યીકરણ
સમીકરણોના બ્લોકનો વિકાસ
કામ માટે સામગ્રી
3. તકનીકી તબક્કો
સમીકરણોની પસંદગી
સિમ્યુલેટર બનાવવું
સિમ્યુલેટર
4. અંતિમ
અનુભવનું સામાન્યીકરણ
કરવામાં આવેલ કાર્ય, પ્રોજેક્ટની ડિઝાઇન વિશેના નિષ્કર્ષ
પ્રોજેક્ટ. સંગ્રહની ડિઝાઇન. માસ્ટર ક્લાસ. સ્પર્ધામાં ભાગ લેવો.
એક્સ 2 + 17x - 38 = 0,
એક્સ 2 - 16x + 4 = 0,
3x 2 + 8x - 15 = 0,
7x 2 + 23x + 5 = 0,
એક્સ 2 + 2x - 3 = 0,
એક્સ 2 + 12x + 32 = 0,
એક્સ 2 - 7x + 10 = 0,
એક્સ 2 - 2x - 3= 0,
એક્સ 2 + 12x + 32 = 0,
2x 2 - 11x + 15 = 0,
3x 2 + 3x - 18 = 0,
2x 2 - 7x + 3 = 0,
એક્સ 2 + 17x - 18 = 0,
એક્સ 2 - 17x - 18 = 0,
એક્સ 2 - 11x + 18 = 0,
એક્સ 2 + 7x - 38 = 0,
એક્સ 2 - 9x + 18 = 0,
એક્સ 2 - 13x + 36 = 0,
એક્સ 2 - 15x + 36 = 0,
એક્સ 2 - 5x - 36 = 0.
એક્સ 2 + x – 2 = 0
એક્સ 2 + 2x – 3 =0
એક્સ 2 - 3x + 2 =0
એક્સ 2 - x – 2 = 0
એક્સ 2 - 2x – 3 =0
એક્સ 2 - 3x – 4 = 0
x 2 +17 x -18=0
x 2 + 23 x – 24=0
x 2 - 39x-40 =0
x 2 - 37x – 38=0
x 2 – 3x – 10 = 0
x 2 – 5x + 3 = 0
x 2 + 8 x – 11 = 0
x 2 + 6x + 5 = 0
x 2 – x – 12 = 0
x 2 + 5 x + 6 = 0
x 2 + 3 x – 10 = 0
x 2 – 8 x– 9 = 0
એક્સ 2 + x – 56 = 0
એક્સ 2 – 19x + 88 = 0
એક્સ 2 – 4x – 4 = 0
x 2 -15x+14=0
x 2 +8x+7=0
x 2 +9x+20=0
x 2 +18x -11 = 0
x 2 +27x – 24 = 0
5x 2 +10x – 3 = 0
3x 2 - 16x +9 = 0
x 2 +18x -11 = 0
x 2 +27x – 24 = 0
4x-21=0
4x-21=0
x 2 -15x+56=0
x 2 -4x-60=0
x 2 +5x+6=0
2x-3=0
x 2 +18x+81=0
X-20=0
x 2 +4x+21=0
x 2 -10x-24=0
x 2 + x-56=0
x 2 -x-56=0
x 2 +3x+2=0
x 2 +5x-6=0
x 2 -18x+81=0
x 2 -9x+20=0
x 2 -5 એક્સ +6=0
x 2 -4x-21=0
એક્સ 2 - 7x+6=0
x 2 -15x+56=0
એક્સ 2 – 3x + 2 = 0
એક્સ 2 – 4x + 3 = 0
એક્સ 2 - 2x + 4 = 0
એક્સ 2 – 2x + 5 = 0
એક્સ 2 - 2x + 6 = 0
એક્સ 2 – 11x + 24 = 0
એક્સ 2 + 11x – 30 = 0
એક્સ 2 + x – 12 = 0
x 2 – 6x + 8 = 0
એક્સ 2 – 15x + 14 = 0
x 2 – 15x + 14 = 0
x 2 + 4 x -21 =0
એક્સ 2 + x – 42 = 0
એક્સ 2 – x – 20 = 0
એક્સ 2 + 4 x -32=0
એક્સ 2 - 2x – 35 =0
એક્સ 2 + x - 20 =0
એક્સ 2 + 7 x + 10 =0
એક્સ 2 - x - 6=0
એક્સ 2 + 2 x+0 =0
એક્સ 2 + 6 x+0 =0
એક્સ 2 + 3x - 18=0
એક્સ 2 + 5 x -24=0
એક્સ 2 - 2 x - 24=0
એક્સ 2 – 15x + 14 = 0
એક્સ 2 + 8x + 7 =0
એક્સ 2 + 9x – 20=0
એક્સ 2 – 6x - 7 = 0
એક્સ 2
4.
પ્રોજેક્ટનું પ્રાયોગિક મહત્વ
8મા ધોરણના બીજગણિત પાઠમાં અને OGE ના અંતિમ પુનરાવર્તનમાં અરજી તારણો:
મારા કાર્યનું પરિણામ એ ચતુર્ભુજ સમીકરણોનો એક બ્લોક છે જે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. હું કામમાં વહી ગયો; હવે હું વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના મૂળને માત્ર સચોટ રીતે શોધી શકતો નથી, પણ કોઈપણ ચતુર્ભુજ સમીકરણના ઉકેલને તપાસતી વખતે પણ તેને લાગુ કરું છું. સિમ્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, મારા સહપાઠીઓને અને મેં વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાનું શીખ્યા. માહિતી સ્ત્રોતોની સૂચિ:
"અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા" - હલ કરવાની કુશળતા. કોસ્ટ્રોમા. યારોસ્લાવલ. લેડીઝેન્સ્કાયા ઓલ્ગા એલેક્ઝાન્ડ્રોવના. સ્ટેકલોવ વ્લાદિમીર એન્ડ્રીવિચ. ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ. સમાનતા. મૌખિક કાર્ય. કાઝાન. ચળવળનો પદાર્થ. ક્રિપ્ટોગ્રાફિક ટેબલ. નિઝની નોવગોરોડ. લ્યાપુનોવ એલેક્ઝાન્ડર મિખાયલોવિચ. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા. ઝડપ. બસ. ચળવળ કાર્યો.
“ગણિત “ચતુર્ભુજ સમીકરણો”” - f) a ના કેટલા મૂલ્ય પર સમીકરણ એક મૂળ ધરાવે છે? ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા. ચતુર્ભુજ સમીકરણ મૌખિક રીતે ઉકેલો. અક્ષર ગુણાંક સાથે સમીકરણ ઉકેલો. તમારા મનને બને તેટલો ખોરાક આપવાનો પ્રયાસ કરો. ધ્યેય: જોવાનું શીખો તર્કસંગત માર્ગચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા. એમ.વી. લોમોનોસોવ. કસરતો કરવી.
“François Viète and his theorem” - બે બહુપદીઓ સમાનરૂપે સમાન છે. ગાણિતિક શિક્ષણ. ગાણિતિક શોધો. વિયેટાના સૂત્રો. ફ્રાન્કોઇસ વિયેત. શિક્ષકો. માંથી શોધી કાઢો વિવિધ સ્ત્રોતોફ્રાન્કોઇસ વિયેટ કોણ છે? ભેદભાવ કરનાર. વિએટાના પ્રમેયને કોઈપણ ડિગ્રીના બહુપદીમાં સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે. ચતુર્ભુજ સમીકરણો માટે Viethe દ્વારા મેળવેલા સૂત્રો.
"ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ શોધવું" - સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો. સમીકરણ ગુણાંકના ગુણધર્મો. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા. ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળની સંખ્યા નક્કી કરવી. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણોના મૂળ શોધો. ભેદભાવ કરનારને શોધવો. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.
"વર્ગમૂળ સાથે સમીકરણો ઉકેલવા" - પરિશિષ્ટ. રેખાંકન. "થ્રો" પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલવું. ગ્રાફિક સોલ્યુશનચતુર્ભુજ સમીકરણો. ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણાંકના ગુણધર્મ. ફેક્ટરાઇઝેશન. પસંદગી પદ્ધતિ સંપૂર્ણ ચોરસ. સમીકરણ. ગુણાંક. ગુણાંકનો સરવાળો. ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ. મફત સભ્ય.
"અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા" - સમસ્યાનું નિરાકરણ. તથ્યોનો સંચય. આ સમીકરણોને 4 જૂથોમાં વહેંચો. પીઅર સમીક્ષા. પ્રાથમિક સમજણ અને અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીનો ઉપયોગ. પાઠ વિષય. તે દિવસ અથવા કલાકને કમનસીબ ગણો જેમાં તમે કંઈપણ શીખ્યા નથી. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવા. પ્રશ્ન. શીખવાનું કાર્ય સેટ કરી રહ્યું છે.
વિષયમાં કુલ 34 પ્રસ્તુતિઓ છે
ફ્રાન્કોઈસ વિયેટનો જન્મ 1540 માં ફ્રાન્સમાં ફોન્ટેને-લે-કોમ્ટેમાં થયો હતો. તાલીમ દ્વારા વકીલ. તેઓ વકીલાતમાં વ્યાપકપણે સંકળાયેલા હતા અને 1571 થી 1584 સુધી તેઓ કિંગ્સ જ્યોર્જ III અને જ્યોર્જ IV ના સલાહકાર હતા. પણ બધું તમારું છે મફત સમય, તેમણે તેમનો તમામ નવરાશનો સમય ગણિત અને ખગોળશાસ્ત્ર માટે સમર્પિત કર્યો. તેમણે 1584માં ગણિતના ક્ષેત્રમાં ખાસ કરીને સઘન કામ કરવાનું શરૂ કર્યું હતું. શાહી દરબાર. વિયેટે પ્રાચીન અને સમકાલીન ગણિતશાસ્ત્રીઓના કાર્યોનો વિગતવાર અભ્યાસ કર્યો.
ફ્રાન્કોઇસ વિયેટે અનિવાર્યપણે એક નવું બીજગણિત બનાવ્યું. તેણે તેમાં આલ્ફાબેટીક સિમ્બોલિઝમ દાખલ કર્યું. તેમના મુખ્ય વિચારો કૃતિ "વિશ્લેષણાત્મક કલા પરિચય" માં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. તેમણે લખ્યું: "બધા ગણિતશાસ્ત્રીઓ જાણતા હતા કે તેમના બીજગણિત અને અલ્મુકાબાલા હેઠળ અજોડ ખજાના છુપાયેલા છે, પરંતુ તેઓ જાણતા ન હતા કે તેમને કેવી રીતે શોધવું: તેઓ જે સમસ્યાઓને સૌથી મુશ્કેલ માનતા હતા તે અમારી કલાની મદદથી સંપૂર્ણપણે સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે."
ખરેખર, આપણે બધા જાણીએ છીએ કે તેને ઉકેલવું કેટલું સરળ છે, ઉદાહરણ તરીકે, ચતુર્ભુજ સમીકરણો. તેમને ઉકેલવા માટે તૈયાર ફોર્મ્યુલા છે. એફ. વિયેટા પહેલાં, દરેક ચતુર્ભુજ સમીકરણનો ઉકેલ તેના પોતાના નિયમો અનુસાર ખૂબ લાંબી મૌખિક દલીલો અને વર્ણનોના રૂપમાં હાથ ધરવામાં આવતો હતો, તેના બદલે બોજારૂપ ક્રિયાઓ. સમીકરણ પોતે પણ આધુનિક સ્વરૂપતે લખી શક્યા નથી. આ પણ એક જગ્યાએ લાંબા અને જટિલ જરૂરી છે મૌખિક વર્ણન. સમીકરણો ઉકેલવા માટેની તકનીકોમાં નિપુણતા મેળવવામાં વર્ષો લાગ્યાં. સામાન્ય નિયમો, આધુનિક જેવા જ, અને તેથી પણ વધુ સમીકરણો ઉકેલવા માટે કોઈ સૂત્રો નહોતા. સતત મતભેદપત્રો દ્વારા સૂચવવામાં આવ્યા ન હતા. માત્ર ચોક્કસ સંખ્યાત્મક ગુણાંક સાથેના અભિવ્યક્તિઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી.
વિયેટે બીજગણિતમાં અક્ષર પ્રતીકો રજૂ કર્યા. વિએટાની નવીનતા પછી, સૂત્રોના રૂપમાં નિયમો લખવાનું શક્ય બન્યું. સાચું, વિયેટ હજુ પણ શબ્દોમાં ઘાતાંક દર્શાવે છે, અને આનાથી કેટલીક સમસ્યાઓ હલ કરવામાં કેટલીક મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ. વિએટાના સમયે, સંખ્યાઓનો પુરવઠો હજુ પણ મર્યાદિત હતો. ફ્રાન્કોઇસ વિયેટે તેમના કાર્યોમાં પ્રથમથી ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણો ઉકેલવાના સિદ્ધાંતને ખૂબ જ વિગતવાર દર્શાવ્યો છે.
વિયેટાની મહાન યોગ્યતા એ મનસ્વીના ઘટેલા સ્વરૂપના સમીકરણોના મૂળ અને ગુણાંક વચ્ચેના સંબંધની શોધ હતી. કુદરતી ડિગ્રી. ઘટેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણ માટે અમે વિએટાના પ્રખ્યાત પ્રમેયથી સારી રીતે વાકેફ છીએ: “ઘટાડેલા સ્વરૂપના ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળનો સરવાળો બીજા ગુણાંક જેટલો છે. વિરોધી ચિહ્ન, અને આ સમીકરણના મૂળનું ઉત્પાદન બરાબર છે મફત સભ્ય" આ પ્રમેય તમને ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાની શુદ્ધતા મૌખિક રીતે તપાસવા દે છે, અને સરળ કિસ્સાઓમાં, સમીકરણોના મૂળ શોધો.
એ પણ નોંધ કરો કે વિયેટે યુરોપમાં π નંબરનું પ્રથમ વિશ્લેષણાત્મક (સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને) રજૂઆત કરી હતી.
1603 માં 63 વર્ષની વયે વિયેતનું અવસાન થયું.
વિયેટાનું પ્રમેય.
મૂળનો સરવાળો ચતુર્ભુજ ત્રિપદી x2 + px + q એ વિરોધી ચિહ્ન સાથેના તેના બીજા ગુણાંક p ની બરાબર છે, અને ઉત્પાદન મુક્ત શબ્દ q ની બરાબર છે.
પુરાવો.
x1 અને x2 ને ચતુર્ભુજ ત્રિપદી x2 + px + q ના જુદા જુદા મૂળ હોવા દો. વિયેટાનું પ્રમેય જણાવે છે કે નીચેના સંબંધો ધરાવે છે: x1 + x2 = –p x1 x2 = q
આ સાબિત કરવા માટે, ચાલો દરેક મૂળને ચતુર્ભુજ ત્રિનોમી માટે અભિવ્યક્તિમાં બદલીએ. આપણને બે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા મળે છે: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0
ચાલો આ સમાનતાઓને એકબીજામાંથી બાદ કરીએ. આપણને x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0 મળે છે
ચાલો ચોરસના તફાવતને વિસ્તૃત કરીએ અને તે જ સમયે બીજા પદને જમણી બાજુએ ખસેડીએ:
(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)
કારણ કે શરત મુજબ મૂળ x1 અને x2 અલગ છે, પછી x1 – x2 ≠ 0 અને આપણે સમાનતાને x1 – x2 વડે ભાગી શકીએ છીએ. આપણે પ્રમેયની પ્રથમ સમાનતા મેળવીએ છીએ: x1 + x2 = –p
બીજાને સાબિત કરવા માટે, ચાલો ઉપર લખેલ સમાનતાઓમાંથી એકમાં બદલીએ (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ) ગુણાંક p ને બદલે, એક સમાન સંખ્યા – (x1 + x2): x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0
ટ્રાન્સફોર્મિંગ ડાબી બાજુ, આપણને મળે છે: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
અનિયંત્રિત ચતુર્ભુજ સમીકરણના કિસ્સામાં ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =
પ્રમેય વિયેટાના પ્રમેયથી વિપરીત.
જો સમાનતા x1+x2 = અને x1x2 = સંતુષ્ટ હોય, તો સંખ્યાઓ x1 અને x2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2 + bx + c = 0 ના મૂળ છે.
પુરાવો.
સમાનતા x1+x2 = અને x1x2 = તે અનુસરે છે કે x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2.
પરંતુ x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) અને તેથી x2 + x + = (x-x1)(x-x2).
તે અનુસરે છે કે x1 અને x2 એ x2 + x + = 0 સમીકરણના મૂળ છે અને તેથી સમીકરણો ax2 + bx + c = 0 છે.
વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ.
વિયેટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ ચતુર્ભુજ સમીકરણોના મૂળ શોધવા માટે 8મા ધોરણમાં થાય છે. તમે આ પ્રમેયના ઉપયોગના અવકાશને વિસ્તૃત કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, ગ્રેડ 9-11 માં સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા અને ચતુર્ભુજ સમીકરણો અને તેમના મૂળના અભ્યાસને લગતી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે. આ સમય ઘટાડે છે અને સિસ્ટમને હલ કરવાનું સરળ બનાવે છે.
સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:
જો આપણે ધારીએ કે અમુક ચતુર્ભુજ સમીકરણના x અને y મૂળ, જેના મૂળનો સરવાળો 5 બરાબર છે, અને તેમનું ઉત્પાદન 6 બરાબર છે, તો આપણને બે પ્રણાલીઓનો સમૂહ મળે છે.
જવાબ: (2;3), (3;2).
વિદ્યાર્થીઓ ઝડપથી ઉકેલવાની આ પદ્ધતિમાં નિપુણતા મેળવે છે અને તેનો આનંદ સાથે ઉપયોગ કરે છે. આગળ, તમે સિસ્ટમને જટિલ બનાવી શકો છો અને અભ્યાસ કરતી વખતે આ તકનીકનો ઉપયોગ કરી શકો છો વિવિધ વિષયો 10-11મા ધોરણમાં.
સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:
x > 0 y > 0 શરત હેઠળ આપણને મળે છે
ચાલો અને કેટલાક ઘટાડેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ બનીએ, તો આ સિસ્ટમબે સિસ્ટમોના સંયોજનને સમકક્ષ છે
વસ્તીની બીજી સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલ નથી; પ્રથમનો ઉકેલ એ જોડી x=9,y=4 છે.
જવાબ: (9;4).
નીચે સમીકરણોની પ્રણાલીઓ છે જે વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.
જવાબ: (65;3), (5;63).
જવાબ: (23;11), (7;27).
જવાબ: (4;729), (81;4096).
જવાબ: (2;2).
5. x + y = 12 જવાબ: (8;4), (4;8).
જવાબ: (9;4), (4;9).
સમીકરણોની સમાન સિસ્ટમો શિક્ષક પોતે સંકલિત કરી શકે છે અથવા વિદ્યાર્થીઓ આમાં સામેલ થઈ શકે છે, જે વિષયમાં રસના વિકાસમાં ફાળો આપે છે.
મૌખિક ઉકેલ કાર્યો.
ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલ્યા વિના, તેમના મૂળ શોધો.
1. x2 - 6x + 8 = 0 જવાબ: 2;4.
2. x2 – 5x – 6 = 0 જવાબ: -1;6.
3. x2 + 2x - 24 = 0 જવાબ: -6;4.
4. x2 + 9x + 14 = 0 જવાબ: -7;-2.
5. x2 – 7x + 10 = 0 જવાબ: 2;5.
6. 2x2 + 7x + 5 = 0 જવાબ: -2.5;-1.
ચાલો આપણે એવી સમસ્યાઓનો વિચાર કરીએ જેમાં વિએટાના પ્રમેયનો ઉપયોગ થાય છે.
9x²+18x-8=0 સમીકરણ ઉકેલ્યા વિના, x1³+x2³ શોધો, જ્યાં x1,x2 તેના મૂળ છે.
9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0
1) ભેદભાવ કરનાર શૂન્ય કરતાં વધારે, D>0, જેનો અર્થ છે x1, x2 વાસ્તવિક મૂળ છે.
વિએટાના પ્રમેય મુજબ, તે નીચે મુજબ છે: x1+x2=-2 x1∙x2= -
3) એક્સપ્રેશન x1³+x2³: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –
X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).
ચાલો આપણે જાણીએ છીએ તે મૂલ્યોને પરિણામી સૂત્રમાં બદલીએ અને જવાબ મેળવીએ:
2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -
9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1 સમીકરણમાં k ની કેટલી કિંમત છે.
9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.
વિએટાના પ્રમેય મુજબ: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1), અમે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવી અને x2 ને બદલે 2x1 લીધું.
2x12=-k│:2 x1²=-k
3x1=2(k-1)│:3 x1=k-
ચાલો પરિણામી સમીકરણોની તુલના કરીએ:
ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીએ અને k શોધીએ:
D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1
જવાબ: k1=-1 અને k2=2 સાથે.
x1;x2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ x²+13x-17=0નું મૂળ છે. એક સમીકરણ બનાવો જેના મૂળ 2-x1 અને 2-x2 નંબરો હશે.
સમીકરણ x²+13x-17=0 ધ્યાનમાં લો.
1) ભેદભાવ D>0, જેનો અર્થ છે x1; x2 વાસ્તવિક મૂળ છે.
વિએટાના પ્રમેય દ્વારા: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17
3) આ સિસ્ટમમાં 2-x2 અને 2-x2 નંબરો બદલો.
(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17
(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17
2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13
તેથી, વિયેટાના પ્રમેયને લાગુ કરતાં, જરૂરી સમીકરણ x²-17x+13=0 છે.
જવાબ: x²-17x+13=0.
એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2+bx+c=0 આપેલ છે, જો x2>x1,x1>0,x2 હોય તો b અને cના ચિહ્નો શું છે?
x2 x1 થી, તે b>0,c ને અનુસરે છે
જવાબ: b>0,с
6) ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2+bx+c=0 જોતાં, x1 0,x2>0 હોય તો b અને cનાં ચિહ્નો શું છે.
વિએટાના પ્રમેય દ્વારા: x1+x2=-b x1∙x2=c
x1>0, x2>0, અને x2>x1 થી, તે b 0 ને અનુસરે છે.
સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે કાર્યો.
1) સમીકરણ 2x²-3x-11=0 હલ કર્યા વિના, + શોધો, જ્યાં x1;x2 તેના મૂળ છે.
2) અભિવ્યક્તિ + ની કિંમત શોધો, જ્યાં x1;x2 ત્રિનોમી x²-18x+11=0 ના મૂળ છે.
3) x1;x2 એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ x²-7x-46=0 ના મૂળ છે.
એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ લખો જેના મૂળ સંખ્યાઓ છે
2x1 +x2 અને 2x2 +x1.
જવાબ: 9x2-21x-481=0
4) k નું પૂર્ણાંક મૂલ્ય સમીકરણના મૂળમાંથી એક છે
4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 સેકન્ડ કરતાં ત્રણ ગણો ઓછો?
જવાબ: k=2.
5) ચતુર્ભુજ સમીકરણ ax2+bx+c=0 જોતાં, x1 0 હોય તો b અને cનાં ચિહ્નો શું છે.
