ખ્યાલ જમણો ત્રિકોણ
પ્રથમ, ચાલો મનસ્વી ત્રિકોણની વિભાવના જોઈએ.
વ્યાખ્યા 1
આપણે તેને ત્રિકોણ કહીશું ભૌમિતિક આકૃતિ, જે સેગમેન્ટ્સ દ્વારા જોડાયેલા ત્રણ બિંદુઓથી બનેલું છે (ફિગ. 1).
વ્યાખ્યા 2
વ્યાખ્યા 1 ના માળખામાં, આપણે બિંદુઓને ત્રિકોણના શિરોબિંદુ કહીશું.
વ્યાખ્યા 3
વ્યાખ્યા 1 ના માળખામાં, વિભાગોને ત્રિકોણની બાજુઓ કહેવામાં આવશે.
દેખીતી રીતે, કોઈપણ ત્રિકોણમાં 3 શિરોબિંદુઓ, તેમજ ત્રણ બાજુઓ હશે.
હવે ચાલો, સીધી રીતે, કાટકોણ ત્રિકોણનો ખ્યાલ આપીએ.
વ્યાખ્યા 4
જો તેનો એક ખૂણો $90^\circ$ બરાબર હોય તો આપણે ત્રિકોણને લંબચોરસ કહીશું.
આ કિસ્સામાં, બાજુઓ જે જમણા ખૂણાને અડીને છે તેને પગ કહેવામાં આવશે, અને ત્રીજી બાજુને કર્ણ કહેવામાં આવશે (ફિગ. 2).
કોઈપણ ત્રિકોણની જેમ, નીચેના પ્રમેય લંબચોરસ માટે ધરાવે છે:
પ્રમેય 1
કોઈપણ પર ખૂણાઓનો સરવાળો મનસ્વી ત્રિકોણ$180^\circ$ બરાબર.
કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મો
ચાલો પ્રમેયના રૂપમાં કાટકોણ ત્રિકોણ માટે મૂળભૂત ગુણધર્મો ઘડીએ.
પ્રમેય 2
તીક્ષ્ણ ખૂણામનસ્વી કાટકોણ ત્રિકોણમાં કુલ $90^\circ$ છે.
પુરાવો.
ચાલો ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણાઓને $α$ અને $β$ દ્વારા દર્શાવીએ. પછી, આપણો ત્રિકોણ જમણો ખૂણો હોવાથી, પ્રમેય 1 દ્વારા, આપણને મળે છે
$α+β+90^\circ=180^\circ$
$α+β=90^\circ$
પ્રમેય સાબિત થયો છે.
પ્રમેય 3
જો કાટકોણ ત્રિકોણમાંનો પગ $30^\circ$ ના સમાન તીવ્ર ખૂણાની વિરુદ્ધ હોય, તો આવો પગ અડધા કર્ણોની બરાબર હશે.
પુરાવો.
ચાલો આપણે એક સમકક્ષ ત્રિકોણ $DAB$ આપીએ, જેમાં $∠A=90^\circ$, અને $∠B=30^\circ$. ચાલો તેમાં એક ત્રિકોણ $ABC$ ઉમેરીએ, જે હશે ત્રિકોણ સમાન$DAB$ (ફિગ. 3).
ત્યારથી $∠A=90^\circ$, અને $∠B=30^\circ$, પછી, પ્રમેય 1 દ્વારા, આપણને મળે છે
$∠D=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ$
તેવી જ રીતે, $∠C=60^\circ$.
આપણે એ પણ જોઈએ છીએ કે $∠B=∠DBA+∠CBA=30^\circ+30^\circ=60^\circ$.
અમે શોધીએ છીએ કે ત્રિકોણ $DBC$ સમભુજ છે, તેથી $DC=AB$. આનો અર્થ એ થયો કે $DA=AC$, પછી $DA=\frac(1)(2) AB$.
પ્રમેય સાબિત થયો છે.
વાતચીત પ્રમેય પણ સાચું છે:
પ્રમેય 4
જો કાટકોણ ત્રિકોણમાંનો પગ અડધા કર્ણાકાર જેટલો હોય, તો તેની સામેનો ખૂણો $30^\circ$ બરાબર છે.
પુરાવો.
ચાલો આપણે એક સમકોણ ત્રિકોણ $DAB$ આપીએ, જેમાં $∠A=90^\circ$ અને $DA=\frac(1)(2) AB$. ચાલો તેમાં ત્રિકોણ $ABC$ ઉમેરીએ, જે આકૃતિ 3 ની જેમ ત્રિકોણ $DAB$ બરાબર હશે.
$DA=\frac(1)(2) AB$, અને $DA=AC$, અમને તે $DC=DB=CB$ મળે છે.
અમે શોધીએ છીએ કે ત્રિકોણ $DBC$ સમભુજ છે, તેથી, તેમાંના તમામ ખૂણા $60^\circ$ સમાન છે. આનો અર્થ એ થયો કે મૂળ ત્રિકોણમાં, $∠B=30^\circ$.
પ્રમેય સાબિત થયો છે.
જમણા ત્રિકોણના ચિહ્નો
ચાલો હવે પ્રમેયનો પરિચય કરીએ જેને કાટકોણ ત્રિકોણ માટે માપદંડ કહેવામાં આવે છે. અમે આ લેખના માળખામાં તેમના પુરાવાઓને ધ્યાનમાં લઈશું નહીં.
પ્રમેય 5
જો બે જમણા ત્રિકોણના પગ જોડીમાં સમાન હોય, તો આ ત્રિકોણ પણ સમાન છે.
પ્રમેય 6
જો કાટકોણ ત્રિકોણનો એક પગ, તેમજ તેની બાજુમાં આવેલો તીવ્ર કોણ, એક પગ સમાન હોય અને બીજા કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુમાં આવેલો તીવ્ર કોણ હોય, તો આ ત્રિકોણ પણ સમાન હશે.
તમારા માટે ઘણા કાર્યો છે - શરતમાં કાટકોણ ત્રિકોણ છે. શરત ખૂણાઓની ગણતરી વિશે વાત કરે છેઊંચાઈ અને દ્વિભાજક વચ્ચે, મધ્યક અને દ્વિભાજક, ઊંચાઈ અને મધ્યમાંથી દોરેલા જમણો ખૂણો.
કાર્યોના આ જૂથમાં શામેલ છે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની રચનાગણિતમાં. સમસ્યાઓ મુશ્કેલ નથી; તમારે ફક્ત ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળા, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મો અને થોડા તર્કશાસ્ત્રના જ્ઞાનની જરૂર છે. હા! ત્યાં એક ચેતવણી છે - સમસ્યાઓ કે જે કર્ણને દોરવામાં આવેલા મધ્યક વિશે વાત કરે છે તેને એક મિલકત જાણવાની જરૂર છે, સિદ્ધાંત શક્ય છે. ચાલો પ્રારંભ કરીએ!
કાટકોણ ત્રિકોણનો એક તીવ્ર કોણ બીજા કરતા 4 ગણો મોટો હોય છે. મોટો તીવ્ર કોણ શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો.
ચાલો આપણે કાટકોણ ત્રિકોણના ઓછા તીવ્ર કોણને વડે દર્શાવીએx. પછી મોટા તીવ્ર કોણ આપેલ ત્રિકોણ 4 ની બરાબર હશેએક્સ.
કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મ અનુસાર, તેના તીવ્ર ખૂણાઓનો સરવાળો 90 ડિગ્રી જેટલો હોય છે. અહીંથી આપણને સમીકરણ x + 4x = 90 o મળે છે.
અમે ગણતરી કરીએ છીએ, અમને 5x = 90 o, x = 18 o મળે છે.
આથી મોટો કોણ 18 o ∙ 4 = 72 o બરાબર હશે
જવાબ: 72
કાટકોણ ત્રિકોણનો તીવ્ર કોણ 32° છે. આના દ્વિભાજકો અને ત્રિકોણના કાટખૂણો દ્વારા રચાયેલ તીવ્ર કોણ શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો.
આપણે કોણ COD શોધવાની જરૂર છે. શરત દ્વારા, તે જાણીતું છે કે CE અને AD એ દ્વિભાજકો છે (કોણને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરે છે). આનો અર્થ એ છે કે કોણ CAD 32° છે અને કોણ ACO 45° છે. ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળા પર પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કોણ AOC અને પછી કોણ COD શોધી શકીએ છીએ. તેથી, તે જાણીતું છે કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે, તેથી
ખૂણા AOC અને COD અડીને છે, એટલે કે તેમનો સરવાળો 180 છેઓ . આમ, ઇચ્છિત કોણ (આ દ્વિભાજકો વચ્ચેનો તીવ્ર કોણ) 61 ડિગ્રી છે.
જવાબ: 61
* જો અંદર હોય સમાન કાર્યોજો તમને સોલ્યુશનની પ્રગતિ તરત જ દેખાતી નથી, તો પછી તે ઘટકો માટે જુઓ જે પ્રથમ સ્થાને સ્થિતિના આધારે મળી શકે છે. અને પછી મળેલ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરો.
કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણાના દ્વિભાજકો વચ્ચેનો તીવ્ર કોણ શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો.
શરતમાં, કોણ C સાચો છે તે હકીકત સિવાય અમને કોઈપણ માત્રા આપવામાં આવતી નથી. આ સૂચવે છે કે તેમને દાખલ કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, માં આ કિસ્સામાંઆપણે ચલ દ્વારા એક ખૂણો દર્શાવી શકીએ છીએ અને પછી કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મો અને કોણ સરવાળા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
ચાલો ખૂણો CAD તરીકે દર્શાવીએ એક્સ. પછી કોણ CBA 90° બરાબર હશે - એક્સ.
ત્રિકોણ AOB ને ધ્યાનમાં લો:
આપણે કોણ AOB શોધી શકીએ છીએ:
આનો અર્થ એ છે કે દ્વિભાજકો વચ્ચેનો તીવ્ર કોણ 45° જેટલો હશે, આ છે અડીને ખૂણો 135 ઓ.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, સ્થિતિમાં સંખ્યાત્મક મૂલ્યોની હંમેશા જરૂર હોતી નથી. ગુણધર્મો જાણવા માટે તે પૂરતું છે, તર્ક ચાલુ કરો અને સમસ્યા હલ થઈ જશે.
જવાબ: 45
કાટકોણ ત્રિકોણમાં, ઉંચાઈ અને દ્વિભાજક વચ્ચેનો ખૂણો જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી દોરવામાં આવે છે તે 21 ડિગ્રી છે. આ ત્રિકોણનો સૌથી નાનો કોણ શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો.
ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે CDH ત્રિકોણમાં આપણે બે ખૂણા જાણીએ છીએ. ત્રિકોણ કોણ સરવાળા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે કોણ CDH શોધી શકીએ છીએ. તે છે:
હવે આપણે ત્રિકોણ CDB માં કોણ B શોધી શકીએ છીએ. CD એ દ્વિભાજક હોવાથી, કોણ BCD 45 છેઓ , અમને કોણ CDB મળ્યો.
તો કોણ B 180 છે o –45 o –69 o =66 o. કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મ અનુસાર: તેના તીવ્ર ખૂણાઓનો સરવાળો 90 ડિગ્રી છે.
તેથી અન્ય તીવ્ર કોણ 24 ની બરાબર હશેઓ .
જવાબ: 24
દ્વિભાજક અને કાટકોણના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા કાટકોણ ત્રિકોણના મધ્યક વચ્ચેનો ખૂણો 14 ડિગ્રી છે. આ ત્રિકોણનો સૌથી નાનો કોણ શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો.
અમને 14 ની બરાબર MCD એંગલ આપવામાં આવ્યો છેઓ . આપણે કોણ DCB પણ જાણીએ છીએ, તે 45 ની બરાબર છેઓ , કારણ કે CD એ દ્વિભાજક છે. આપણે કોણ MCB: 14 શોધી શકીએ છીએ o + 45 o = 59 o.
પહેલેથી જ કહ્યું તેમ, કાટકોણથી કર્ણ તરફ દોરેલા કાટકોણ ત્રિકોણમાં મધ્ય તેના અડધા બરાબર છે. એટલે કે, તે કાટકોણ ત્રિકોણને બે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે, આ કિસ્સામાં AMC અને BMC. તે જાણીતું છે કે માં સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણઆધાર પરના ખૂણાઓ સમાન છે, એટલે કે કોણ MBC કોણ સમાનબીસીએમ. આમ,
એટલે કે, નાનો કોણ 31 o છે.
જવાબ: 31
કાટકોણ ત્રિકોણનો એક તીવ્ર કોણ બીજા કરતા 32° મોટો છે. મોટો તીવ્ર કોણ શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો.
IN ત્રિકોણ ABCકોણ સી 90°, CH - ઊંચાઈ, કોણ A બરાબર 34° . BCH કોણ શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો.
ત્રિકોણમાં ABC સીડી- મધ્ય, કોણ A.C.બી 90°, કોણ બરાબર IN 58 ઓ ની બરાબર. કોણ શોધો A.C.ડી. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો.
કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણા 29° અને 61° છે. જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા ઊંચાઈ અને દ્વિભાજક વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો.
4. એવી સમસ્યાઓમાં જ્યાં ખૂણાઓની સંખ્યાત્મક કિંમતો સ્થિતિમાં આપવામાં આવી નથી, તેમને ચલ(ઓ) દ્વારા દર્શાવો અને પછી તમને જાણીતા ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરો.
5. જો તમે સોલ્યુશન કેવી રીતે બનાવવું તે જોતા નથી, અને તમે તર્કની તાર્કિક સાંકળ તરત જ જોઈ શકતા નથી, તો પરિસ્થિતિમાંના ડેટાના આધારે, તમે શું શોધી શકો છો તે જુઓ. એકવાર તમારી પાસે નવા મૂલ્યો આવી ગયા પછી, તેનો ઉપયોગ કરતી વખતે તમે શું શોધી શકો છો તે પણ જુઓ.
બસ એટલું જ. તમને શુભકામનાઓ!
શ્રેષ્ઠ સાદર, એલેક્ઝાન્ડર
P.S: જો તમે મને સામાજિક નેટવર્ક્સ પરની સાઇટ વિશે જણાવશો તો હું આભારી થઈશ.
કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણા 29° અને 61° છે. જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા ઊંચાઈ અને દ્વિભાજક વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો 29 o 61 o શરત અનુસાર, ASV = 90 o; CD - દ્વિભાજક ACD = BCD = 45 o 45 o ASN - લંબચોરસ. ASN = 90 o – 29 o = 61 o 61 o જરૂરી DCH = 61 o – 45 o = 16 o 16 o ઉકેલની 2જી પદ્ધતિ: VSN – લંબચોરસ. BCH = 90 o – 61 o = 29 o 29 o જરૂરી DCH = 45 o – 29 o = 16 o જવાબ: કાર્ય B6 નો પ્રોટોટાઇપ (27770)
ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о in pr" title=" કાટકોણ ત્રિકોણનો તીવ્ર ખૂણો 86 o અને 4 o છે. જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા ઊંચાઈ અને દ્વિભાજક વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. જવાબ આપો" class="link_thumb"> 5 !}કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણા 86° અને 4° છે. જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા ઊંચાઈ અને દ્વિભાજક વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો 86 o CD એ લંબચોરસ ABC ના કાટખૂણાનો દ્વિભાજક છે. > ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о લંબચોરસ ACH માં: ACH = 90 o – 4 o = 86 o 86 o જરૂરી DCH = 86 o – 45 o = 41 o જવાબ: Tasks B6 (47625) PROTOTYPE PROTOTYPE 7270 ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о માં pr "> АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о લંબચોરસ ACH માં: AСН = 90 o – 4 o = 86 o 86 o જરૂરી DCH = 86 o – 45 o = 41 o જવાબ : 41 1.2 Tasks B6 (47625) PROTOTYPE 27770 PROTOTYPE 27770 "> АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о pr" શીર્ષક = " કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણા અને o 86 o શોધો. જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા ઊંચાઈ અને દ્વિભાજક વચ્ચેનો ખૂણો 86 o CD એ લંબચોરસ ABC > ACD = BCD = 45 o 45 o 4о4о V જમણા ખૂણાનો દ્વિભાજક છે."> title="કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણા 86° અને 4° છે. જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા ઊંચાઈ અને દ્વિભાજક વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો 86 o CD એ લંબચોરસ ABC ના કાટખૂણાનો દ્વિભાજક છે. > АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о V અધિકાર"> !}
કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણા 69° અને 21° છે. જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા ઊંચાઈ અને દ્વિભાજક વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. તમારો જવાબ 21 o ડિગ્રીમાં આપો લંબચોરસ BCH માં: BCH = 90 o – 69 o = 21 o 69 o 21 o CD એ લંબચોરસ ABC ના જમણા ખૂણોનો દ્વિભાજક છે. 45 o જરૂરી DC Н = 45 о – 21 о = 24 о જવાબ: Tasks B6 (47659) PROTOTYPE PROTOTYPE 27770
કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણા 53° અને 37° છે. જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા ઊંચાઈ અને દ્વિભાજક વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. તમારો જવાબ ડિગ્રીમાં આપો 53 o 37 o એક લંબચોરસ ASN માં: ASN = 90 o – 37 o = 53 o યાદ રાખો: કાટકોણ ત્રિકોણના જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુથી નીચેની ઊંચાઈ ત્રિકોણને બે સમાન જમણા ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. CD એ લંબચોરસ ABC ના જમણા ખૂણાનું દ્વિભાજક છે. 45 o જરૂરી DC Н = 53 о – 45 о = 8 о જવાબ: 8 8о8о ASN VSN 1.4 Tasks B6 (47665) PROTOTYPE 27770 PROTOTYPE 27770
કાટકોણ ત્રિકોણના તીવ્ર ખૂણા 67° અને 23° છે. જમણા ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા ઊંચાઈ અને દ્વિભાજક વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. તમારો જવાબ 67 અથવા 23 ડિગ્રીમાં આપો સૈદ્ધાંતિક માહિતીસંકેત ઉકેલ 45 o ADC = 112 o; CDH = 68 o લંબચોરસ DCH માં: DCH = 90 – 68 = 22 o જવાબ: o 1.5 Tasks B6 (47635) PROTOTYPE 27770 PROTOTYPE 27770
