વિગતવાર ઉકેલો સાથે ઑનલાઇન ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો. ટૅગ કરેલી પોસ્ટ્સ "ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો"

પાઠ 1

વિષય: 11મો ગ્રેડ (યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી)

સરળીકરણ ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓ.

સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા. (2 કલાક)

લક્ષ્યો:

ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોના ઉપયોગ અને સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને ઉકેલવા સંબંધિત વિદ્યાર્થીઓના જ્ઞાન અને કૌશલ્યોને વ્યવસ્થિત, સામાન્યીકરણ અને વિસ્તૃત કરો.

પાઠ માટે સાધનો:

પાઠ માળખું:

સંસ્થાકીય ક્ષણ
લેપટોપ પર પરીક્ષણ. પરિણામોની ચર્ચા.
ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને સરળ બનાવવું
સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા
સ્વતંત્ર કાર્ય.
પાઠ સારાંશ. હોમવર્ક સોંપણીની સમજૂતી.

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ. (2 મિનિટ.)

શિક્ષક પ્રેક્ષકોને અભિવાદન કરે છે, પાઠના વિષયની ઘોષણા કરે છે, તેમને યાદ અપાવે છે કે તેમને અગાઉ ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોનું પુનરાવર્તન કરવાનું કાર્ય આપવામાં આવ્યું હતું અને વિદ્યાર્થીઓને પરીક્ષણ માટે તૈયાર કરે છે.

2. પરીક્ષણ. (15 મિનિટ + 3 મિનિટ ચર્ચા)

ધ્યેય ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોના જ્ઞાન અને તેમને લાગુ કરવાની ક્ષમતાની ચકાસણી કરવાનો છે. દરેક વિદ્યાર્થી પાસે તેમના ડેસ્ક પર ટેસ્ટના સંસ્કરણ સાથે લેપટોપ હોય છે.

ત્યાં ઘણા બધા વિકલ્પો હોઈ શકે છે, હું તેમાંથી એકનું ઉદાહરણ આપીશ:

હું વિકલ્પ.

અભિવ્યક્તિઓ સરળ બનાવો:

a) મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખ

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) વધારાના સૂત્રો

3. sin5x - sin3x;

c) ઉત્પાદનને રકમમાં રૂપાંતરિત કરવું

6. 2sin8y cos3y;

d) ડબલ એંગલ ફોર્મ્યુલા

7. 2sin5x cos5x;

e) અડધા ખૂણા માટેના સૂત્રો

e) ટ્રિપલ એંગલ માટેના સૂત્રો

અને) સાર્વત્રિક અવેજી

h) ડિગ્રીમાં ઘટાડો

16. cos 2 (3x/7);

વિદ્યાર્થીઓ દરેક ફોર્મ્યુલાની બાજુમાં લેપટોપ પર તેમના જવાબો જુએ છે.

કમ્પ્યુટર દ્વારા તરત જ કામની તપાસ કરવામાં આવે છે. પરિણામો દરેકને જોવા માટે મોટી સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત થાય છે.

ઉપરાંત, કાર્ય પૂર્ણ કર્યા પછી, વિદ્યાર્થીઓના લેપટોપ પર સાચા જવાબો બતાવવામાં આવે છે. દરેક વિદ્યાર્થી જુએ છે કે ભૂલ ક્યાં થઈ હતી અને તેણે કયા ફોર્મ્યુલાનું પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે.

3. ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓનું સરળીકરણ. (25 મિનિટ)

ધ્યેય એપ્લીકેશનનું પુનરાવર્તન, પ્રેક્ટિસ અને મજબૂતીકરણ કરવાનો છે. મૂળભૂત સૂત્રોત્રિકોણમિતિ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાંથી B7 સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.

આ તબક્કે, વર્ગને મજબૂત વિદ્યાર્થીઓના જૂથોમાં વિભાજીત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે (અનુગામી પરીક્ષણ સાથે સ્વતંત્ર રીતે કાર્ય કરો) અને નબળા વિદ્યાર્થીઓ જેઓ શિક્ષક સાથે કામ કરે છે.

મજબૂત વિદ્યાર્થીઓ માટે સોંપણી (માટે અગાઉથી તૈયાર મુદ્રિત આધાર). મુખ્ય ભાર ઘટાડાના સૂત્રો પર છે અને ડબલ કોણયુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન 2011 મુજબ.

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો (મજબૂત વિદ્યાર્થીઓ માટે):

તે જ સમયે, શિક્ષક નબળા વિદ્યાર્થીઓ સાથે કામ કરે છે, વિદ્યાર્થીઓના શ્રુતલેખન હેઠળ સ્ક્રીન પર કાર્યોની ચર્ચા કરે છે અને હલ કરે છે.

ગણતરી કરો:

5) પાપ(270º - α) + cos (270º + α)

સરળ બનાવો:

મજબૂત જૂથના કાર્યના પરિણામોની ચર્ચા કરવાનો સમય હતો.

જવાબો સ્ક્રીન પર દેખાય છે, અને વિડિયો કેમેરાનો ઉપયોગ કરીને, 5 જુદા જુદા વિદ્યાર્થીઓનું કાર્ય પ્રદર્શિત થાય છે (દરેક માટે એક કાર્ય).

નબળા જૂથ ઉકેલની સ્થિતિ અને પદ્ધતિ જુએ છે. ચર્ચા અને વિશ્લેષણ ચાલી રહ્યું છે. ઉપયોગ કરીને તકનીકી માધ્યમોતે ઝડપથી થાય છે.

4. સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા. (30 મિનિટ)

ધ્યેય એ છે કે સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના ઉકેલનું પુનરાવર્તન, વ્યવસ્થિતકરણ અને સામાન્યીકરણ કરવું અને તેમના મૂળ લખવા. સમસ્યા B3 નો ઉકેલ.

કોઈપણ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ, ભલે આપણે તેને કેવી રીતે હલ કરીએ, તે સૌથી સરળ તરફ દોરી જાય છે.

કાર્ય પૂર્ણ કરતી વખતે, વિદ્યાર્થીઓએ વિશેષ કેસોના સમીકરણોના મૂળ લખવા પર ધ્યાન આપવું જોઈએ અને સામાન્ય દૃશ્યઅને છેલ્લા સમીકરણમાં મૂળની પસંદગી પર.

સમીકરણો ઉકેલો:

તમારા જવાબ તરીકે સૌથી નાનું હકારાત્મક મૂળ લખો.

5. સ્વતંત્ર કાર્ય (10 મિનિટ)

ધ્યેય હસ્તગત કૌશલ્યોનું પરીક્ષણ કરવું, સમસ્યાઓ, ભૂલો અને તેને દૂર કરવાની રીતો ઓળખવાનો છે.

વિદ્યાર્થીની પસંદગી માટે મલ્ટી-લેવલ વર્ક ઓફર કરવામાં આવે છે.

વિકલ્પ "3"

1) અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

2) અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) સમીકરણ ઉકેલો

"4" માટે વિકલ્પ

1) અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો

2) સમીકરણ ઉકેલો તમારા જવાબમાં સૌથી નાનું હકારાત્મક મૂળ લખો.

વિકલ્પ "5"

1) tanα જો શોધો

2) સમીકરણનું મૂળ શોધો તમારા જવાબ તરીકે સૌથી નાનું હકારાત્મક મૂળ લખો.

6. પાઠનો સારાંશ (5 મિનિટ)

શિક્ષક પાઠમાં પુનરાવર્તિત અને પ્રબલિત શું હતું તેનો સારાંશ આપે છે ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો, સરળ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા.

આગલા પાઠમાં રેન્ડમ ચેક સાથે હોમવર્ક સોંપવામાં આવે છે (અગાઉથી પ્રિન્ટેડ ધોરણે તૈયાર).

સમીકરણો ઉકેલો:

10) તમારા જવાબમાં, સૌથી નાનું હકારાત્મક મૂળ સૂચવો.

પાઠ 2

વિષય: 11મો ગ્રેડ (યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી)

ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ. રુટ પસંદગી. (2 કલાક)

લક્ષ્યો:

વિવિધ પ્રકારના ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા અંગેના જ્ઞાનનું સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણ કરો.
વિકાસને પ્રોત્સાહન આપો ગાણિતિક વિચારવિદ્યાર્થીઓ, અવલોકન, સરખામણી, સામાન્યીકરણ, વર્ગીકરણ કરવાની ક્ષમતા.
વિદ્યાર્થીઓને માનસિક પ્રવૃત્તિની પ્રક્રિયામાં મુશ્કેલીઓ દૂર કરવા, આત્મ-નિયંત્રણ અને તેમની પ્રવૃત્તિઓનું આત્મનિરીક્ષણ કરવા પ્રોત્સાહિત કરો.

પાઠ માટે સાધનો: KRMu, દરેક વિદ્યાર્થી માટે લેપટોપ.

પાઠ માળખું:

સંસ્થાકીય ક્ષણ
d/z અને સ્વની ચર્ચા. છેલ્લા પાઠમાંથી કામ કરો
ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓની સમીક્ષા.
ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા
ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોમાં મૂળની પસંદગી.
સ્વતંત્ર કાર્ય.
પાઠ સારાંશ. હોમવર્ક.

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ (2 મિનિટ)

શિક્ષક પ્રેક્ષકોને શુભેચ્છા પાઠવે છે, પાઠના વિષય અને કાર્ય યોજનાની જાહેરાત કરે છે.

2. a) વિશ્લેષણ હોમવર્ક(5 મિનિટ.)

ધ્યેય અમલની તપાસ કરવાનો છે. એક કાર્ય વિડિયો કેમેરાનો ઉપયોગ કરીને સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત થાય છે, બાકીનું શિક્ષકની તપાસ માટે પસંદગીયુક્ત રીતે એકત્રિત કરવામાં આવે છે.

b) વિશ્લેષણ સ્વતંત્ર કાર્ય(3 મિનિટ.)

ધ્યેય એ છે કે ભૂલોનું વિશ્લેષણ કરવું અને તેને દૂર કરવાની રીતો સૂચવવી.

જવાબો અને ઉકેલો સ્ક્રીન પર છે; વિશ્લેષણ ઝડપથી આગળ વધે છે.

3. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓની સમીક્ષા (5 મિનિટ.)

ધ્યેય ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓને યાદ કરવાનો છે.

વિદ્યાર્થીઓને પૂછો કે તેઓ ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા માટેની કઈ પદ્ધતિઓ જાણે છે. ભારપૂર્વક જણાવો કે કહેવાતી મૂળભૂત (વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાતી) પદ્ધતિઓ છે:

ચલ રિપ્લેસમેન્ટ,
અવયવીકરણ,
સજાતીય સમીકરણો,

અને ત્યાં લાગુ પદ્ધતિઓ છે:

સરવાળાને ઉત્પાદનમાં અને ઉત્પાદનને સરવાળામાં રૂપાંતરિત કરવા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને,
સૂત્રો અનુસાર ડિગ્રીમાં ઘટાડો,
સાર્વત્રિક ત્રિકોણમિતિ અવેજી
પરિચય સહાયક કોણ,
કેટલાક દ્વારા ગુણાકાર ત્રિકોણમિતિ કાર્ય.

તે પણ યાદ રાખવું જોઈએ કે એક સમીકરણ અલગ અલગ રીતે ઉકેલી શકાય છે.

4. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઉકેલવા (30 મિનિટ)

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાંથી C1 સોલ્યુશનની તૈયારી કરવા માટે, આ વિષય પરના જ્ઞાન અને કૌશલ્યોનું સામાન્યીકરણ અને એકીકરણ કરવાનો ધ્યેય છે.

હું દરેક પદ્ધતિ માટે વિદ્યાર્થીઓ સાથે મળીને સમીકરણો ઉકેલવા સલાહભર્યું માનું છું.

વિદ્યાર્થી ઉકેલ નક્કી કરે છે, શિક્ષક તેને ટેબ્લેટ પર લખે છે, અને સમગ્ર પ્રક્રિયા સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત થાય છે. આ તમને તમારી મેમરીમાં અગાઉ આવરી લેવામાં આવેલી સામગ્રીને ઝડપથી અને અસરકારક રીતે યાદ કરવાની મંજૂરી આપશે.

સમીકરણો ઉકેલો:

1) ચલ 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 ને બદલીને

2) અવયવીકરણ 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) સજાતીય સમીકરણો sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) સરવાળાને ઉત્પાદન cos5x + cos7x = cos(π + 6x) માં રૂપાંતરિત કરવું

5) ઉત્પાદનને સરવાળા 2sinx sin2x + cos3x = 0 માં રૂપાંતરિત કરવું

6) sin2x ડિગ્રીનો ઘટાડો - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5

7) સાર્વત્રિક ત્રિકોણમિતિ અવેજી sinx + 5cosx + 5 = 0.

આ સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, એ નોંધવું જોઈએ કે ઉપયોગ કરવો આ પદ્ધતિવ્યાખ્યા શ્રેણીના સંકુચિતતા તરફ દોરી જાય છે, કારણ કે સાઈન અને કોસાઈનને tg(x/2) દ્વારા બદલવામાં આવે છે. તેથી, જવાબ લખતા પહેલા, તમારે π + 2πn, n Z સમૂહમાંથી સંખ્યાઓ આ સમીકરણના ઘોડા છે કે કેમ તે તપાસવાની જરૂર છે.

8) સહાયક કોણ √3sinx + cosx - √2 = 0 નો પરિચય

9) કેટલાક ત્રિકોણમિતિ કાર્ય cosx cos2x cos4x = 1/8 દ્વારા ગુણાકાર.

5. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોના મૂળની પસંદગી (20 મિનિટ.)

યુનિવર્સિટીઓમાં પ્રવેશ કરતી વખતે ઉગ્ર સ્પર્ધાની પરિસ્થિતિઓમાં, એકલા પરીક્ષાનો પ્રથમ ભાગ હલ કરવો પૂરતો નથી, મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓએ બીજા ભાગ (C1, C2, C3) ના કાર્યો પર ધ્યાન આપવું જોઈએ.

તેથી, પાઠના આ તબક્કાનો ધ્યેય અગાઉ અભ્યાસ કરેલી સામગ્રીને યાદ રાખવાનો અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2011ની સમસ્યા C1ને ઉકેલવા માટે તૈયાર કરવાનો છે.

છે ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો, જેમાં જવાબ લખતી વખતે મૂળ પસંદ કરવું જરૂરી છે. આ કેટલાક પ્રતિબંધોને કારણે છે, ઉદાહરણ તરીકે: અપૂર્ણાંકનો છેદ નથી શૂન્ય બરાબર, સમ મૂળ હેઠળની અભિવ્યક્તિ બિન-નકારાત્મક છે, લઘુગણક ચિન્હ હેઠળની અભિવ્યક્તિ હકારાત્મક છે, વગેરે.

આવા સમીકરણોને સમીકરણો ગણવામાં આવે છે વધેલી જટિલતાઅને માં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાનું સંસ્કરણબીજા ભાગમાં છે, એટલે કે C1.

સમીકરણ ઉકેલો:

અપૂર્ણાંક શૂન્ય બરાબર છે જો પછી ઉપયોગ કરીને એકમ વર્તુળચાલો મૂળ પસંદ કરીએ (આકૃતિ 1 જુઓ)

આકૃતિ 1.

આપણને x = π + 2πn, n Z મળે છે

જવાબ: π + 2πn, n Z

સ્ક્રીન પર, મૂળની પસંદગી રંગની છબીમાં વર્તુળ પર બતાવવામાં આવે છે.

જ્યારે ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્ય સમાન હોય ત્યારે ઉત્પાદન શૂન્યની બરાબર હોય છે, અને આર્ક તેનો અર્થ ગુમાવતો નથી. પછી

એકમ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને, અમે મૂળ પસંદ કરીએ છીએ (આકૃતિ 2 જુઓ)

વિડિયો પાઠ "ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓનું સરળીકરણ" વિદ્યાર્થીઓની હલ કરવામાં કુશળતા વિકસાવવાનો હેતુ છે ત્રિકોણમિતિ સમસ્યાઓમૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખનો ઉપયોગ કરીને. વિડિઓ પાઠ દરમિયાન, ત્રિકોણમિતિ ઓળખના પ્રકારો અને તેનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણોની ચર્ચા કરવામાં આવી છે. અરજી કરી રહ્યા છે દ્રશ્ય સહાય, શિક્ષક માટે પાઠના ઉદ્દેશ્યો હાંસલ કરવાનું સરળ બને છે. સામગ્રીની આબેહૂબ રજૂઆત યાદને પ્રોત્સાહન આપે છે મહત્વપૂર્ણ મુદ્દાઓ. એનિમેશન ઇફેક્ટ્સ અને વૉઇસ-ઓવરનો ઉપયોગ તમને સામગ્રીને સમજાવવાના તબક્કે શિક્ષકને સંપૂર્ણપણે બદલવાની મંજૂરી આપે છે. આમ, ગણિતના પાઠોમાં આ દ્રશ્ય સહાયનો ઉપયોગ કરીને, શિક્ષક શિક્ષણની અસરકારકતામાં વધારો કરી શકે છે.

વિડિઓ પાઠની શરૂઆતમાં, તેનો વિષય જાહેર કરવામાં આવ્યો છે. પછી આપણે અગાઉ અભ્યાસ કરેલ ત્રિકોણમિતિ ઓળખને યાદ કરીએ છીએ. સ્ક્રીન સમાનતા sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t દર્શાવે છે, જ્યાં kϵZ માટે t≠π/2+πk, ctg t=cos t/sin t, t≠πk માટે યોગ્ય, જ્યાં kϵZ, tg t· ctg t=1, t≠πk/2 માટે, જ્યાં kϵZ, મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખ કહેવાય છે. એ નોંધ્યું છે કે આ ઓળખનો ઉપયોગ ઘણીવાર સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે કરવામાં આવે છે જ્યાં સમાનતા સાબિત કરવી અથવા અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવી જરૂરી છે.

નીચે આપણે સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં આ ઓળખના ઉપયોગના ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. સૌ પ્રથમ, અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાની સમસ્યાઓના નિરાકરણ પર વિચાર કરવાનો પ્રસ્તાવ છે. ઉદાહરણ 1 માં, cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવી જરૂરી છે. ઉદાહરણ ઉકેલવા માટે, પ્રથમ તેને કૌંસની બહાર મૂકો સામાન્ય ગુણક cos 2 t. કૌંસમાં આ પરિવર્તનના પરિણામે, અભિવ્યક્તિ 1- cos 2 t પ્રાપ્ત થાય છે, જેનું મૂલ્ય ત્રિકોણમિતિની મુખ્ય ઓળખમાંથી sin 2 t બરાબર છે. અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કર્યા પછી, તે સ્પષ્ટ છે કે કૌંસમાંથી એક વધુ સામાન્ય પરિબળ sin 2 t લઈ શકાય છે, જે પછી અભિવ્યક્તિ બને છે પ્રકાર પાપ 2 t(sin 2 t+cos 2 t). સમાન મૂળભૂત ઓળખમાંથી આપણે 1 ની બરાબર કૌંસમાં અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય મેળવીએ છીએ. સરળીકરણના પરિણામે, આપણે cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t = sin 2 t મેળવીએ છીએ.

ઉદાહરણ 2 માં, અભિવ્યક્તિ કિંમત/(1- સિન્ટ)+ કિંમત/(1+ સિન્ટ) ને સરળ બનાવવાની જરૂર છે. બંને અપૂર્ણાંકોના અંશમાં અભિવ્યક્તિ કિંમત હોય છે, તેથી તેને સામાન્ય પરિબળ તરીકે કૌંસમાંથી બહાર લઈ શકાય છે. પછી કૌંસમાંના અપૂર્ણાંકને ઘટાડવામાં આવે છે સામાન્ય છેદગુણાકાર (1- સિન્ટ)(1+ સિન્ટ). લાવ્યા પછી સમાન શરતોઅંશ 2 રહે છે, અને છેદ 1 - sin 2 t. સ્ક્રીનની જમણી બાજુએ, મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખ sin 2 t+cos 2 t=1 યાદ કરવામાં આવે છે. તેનો ઉપયોગ કરીને, આપણે અપૂર્ણાંક cos 2 t નો છેદ શોધીએ છીએ. અપૂર્ણાંક ઘટાડ્યા પછી, અમે અભિવ્યક્તિ કિંમત/(1- સિન્ટ)+ કિંમત/(1+ સિન્ટ)=2/કિંમતનું એક સરળ સ્વરૂપ મેળવીએ છીએ.

આગળ, અમે ઓળખના પુરાવાના ઉદાહરણો પર વિચાર કરીએ છીએ જે ત્રિકોણમિતિની મૂળભૂત ઓળખ વિશે પ્રાપ્ત જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરે છે. ઉદાહરણ 3 માં, ઓળખ સાબિત કરવી જરૂરી છે (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. સ્ક્રીનની જમણી બાજુ ત્રણ ઓળખ દર્શાવે છે જે પુરાવા માટે જરૂરી હશે - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t અને tg t=sin t/cos t પ્રતિબંધો સાથે. ઓળખ સાબિત કરવા માટે, પ્રથમ કૌંસ ખોલવામાં આવે છે, ત્યારબાદ એક ઉત્પાદન રચાય છે જે મુખ્ય ત્રિકોણમિતિ ઓળખ tg t·ctg t=1 ની અભિવ્યક્તિને પ્રતિબિંબિત કરે છે. પછી, કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યામાંથી ઓળખ અનુસાર, ctg 2 t નું રૂપાંતર થાય છે. રૂપાંતરણોના પરિણામે, અભિવ્યક્તિ 1-cos 2 t પ્રાપ્ત થાય છે. મુખ્ય ઓળખનો ઉપયોગ કરીને, આપણે અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધીએ છીએ. આમ, તે સાબિત થયું છે કે (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

ઉદાહરણ 4 માં, તમારે tg 2 t+ctg 2 t જો tg t+ctg t=6 હોય તો અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધવાની જરૂર છે. અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવા માટે, પહેલા સમાનતાની જમણી અને ડાબી બાજુનો વર્ગ કરો (tg t+ctg t) 2 =6 2. સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્ર સ્ક્રીનની જમણી બાજુએ યાદ કરવામાં આવે છે. અભિવ્યક્તિની ડાબી બાજુએ કૌંસ ખોલ્યા પછી, સરવાળો tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t બને છે, જેને રૂપાંતરિત કરવા માટે તમે એક ત્રિકોણમિતિ ઓળખ tg t·ctg t=1 લાગુ કરી શકો છો. , જેનું સ્વરૂપ સ્ક્રીનની જમણી બાજુએ યાદ કરવામાં આવે છે. રૂપાંતર પછી, સમાનતા tg 2 t+ ctg 2 t=34 પ્રાપ્ત થાય છે. સમાનતાની ડાબી બાજુ સમસ્યાની સ્થિતિ સાથે સુસંગત છે, તેથી જવાબ 34 છે. સમસ્યા હલ થઈ ગઈ છે.

પરંપરાગતમાં ઉપયોગ કરવા માટે "ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓનું સરળીકરણ" વિડિઓ પાઠની ભલામણ કરવામાં આવે છે શાળા પાઠગણિત સામગ્રી અમલમાં મૂકનાર શિક્ષકને પણ ઉપયોગી થશે અંતર શિક્ષણ. ત્રિકોણમિતિ સમસ્યાઓ હલ કરવામાં કુશળતા વિકસાવવા માટે.

ટેક્સ્ટ ડીકોડિંગ:

"ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓનું સરળીકરણ."

સમાનતાઓ

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sine square te plus cosine square te બરાબર એક)

2)tgt =, t ≠ + πk, kϵZ માટે (સ્પર્શક te એ સાઈન te અને કોસાઈન te ના ગુણોત્તર બરાબર છે અને te બરાબર નથી pi બાય બે વત્તા pi ka, ka zet નો છે)

3)ctgt = , t ≠ πk, kϵZ માટે (કોટેન્જેન્ટ te એ કોસાઇન te અને સાઇન te ના ગુણોત્તર સમાન છે અને te pi ka ની બરાબર નથી, ka zet નો છે).

4)tgt ∙ ctgt = 1 માટે t ≠ , kϵZ (કોટેન્જેન્ટ te દ્વારા સ્પર્શક te નો ગુણાંક એક સમાન છે જ્યારે te પીક કા સમાન ન હોય, બે વડે ભાગ્યા, ka ઝેટનો છે)

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખ કહેવાય છે.

તેઓ વારંવાર ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને સરળ બનાવવા અને સાબિત કરવા માટે વપરાય છે.

ચાલો ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોને સરળ બનાવવા માટે આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 1. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (ચોથા ડિગ્રી teના કોસાઇન સ્ક્વેર ટે માઇનસ કોસાઇન વત્તા ચોથા ડિગ્રી teના સાઇનની અભિવ્યક્તિ).

ઉકેલ. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1 = sin 2 t

(આપણે સામાન્ય અવયવ કોસાઇન ચોરસ te કાઢીએ છીએ, કૌંસમાં આપણને એકતા અને ચોરસ કોસાઇન te વચ્ચેનો તફાવત મળે છે, જે પ્રથમ ઓળખ દ્વારા વર્ગ સાઇન ટે જેટલો છે. આપણને ચોથા ઘાત સાઇન ટેનો સરવાળો મળે છે. ઉત્પાદન કોસાઇન ચોરસ te અને સાઇન ચોરસ te અમે સામાન્ય અવયવ સાઈન ચોરસ te ને કૌંસની બહાર કાઢીએ છીએ, કૌંસમાં આપણે કોસાઈન અને સાઈનના વર્ગોનો સરવાળો મેળવીએ છીએ, જે મૂળભૂત રીતે છે. ત્રિકોણમિતિ ઓળખએક સમાન. પરિણામે, આપણે સાઈન ટે) નો ચોરસ મેળવીએ છીએ.

ઉદાહરણ 2. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો: + .

(be એ અભિવ્યક્તિ એ છેદ એક બાદબાકી સાઈન te માં પ્રથમ કોસાઈન te ના અંશમાં બે અપૂર્ણાંકનો સરવાળો છે, બીજા એક વત્તા સાઈન te ના છેદમાં બીજા કોસાઈન te ના અંશમાં)

(ચાલો સામાન્ય પરિબળ કોસાઇન te ને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ, અને કૌંસમાં આપણે તેને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ છીએ, જે એક ઓછા સાઈન ટે બાય વન વત્તા સાઈન ટેનું ઉત્પાદન છે.

અંશમાં આપણને મળે છે: એક વત્તા સાઈન ટે વત્તા એક ઓછા સાઈન ટે, આપણે સમાન રજૂ કરીએ છીએ, સમાન લાવ્યા પછી અંશ બે બરાબર છે.

છેદમાં, તમે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્ર (ચોરસનો તફાવત) લાગુ કરી શકો છો અને એકતા અને સાઈન ટેના વર્ગ વચ્ચેનો તફાવત મેળવી શકો છો, જે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખ અનુસાર

કોસાઇન te ના ચોરસ સમાન. કોસાઇન te દ્વારા ઘટાડ્યા પછી આપણને અંતિમ જવાબ મળે છે: કોસાઇન te દ્વારા બે ભાગ્યા).

ચાલો ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો સાબિત કરતી વખતે આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાના ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 3. ઓળખ સાબિત કરો (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (સ્પર્શક te અને sine te ના વર્ગો વચ્ચેના તફાવતનો ગુણાંક કોટેન્જેન્ટ te ના વર્ગ સાથે સમાન છે. સાઈન તે).

પુરાવો.

ચાલો પરિવર્તન કરીએ ડાબી બાજુસમાનતા

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(ચાલો કૌંસ ખોલીએ; અગાઉ મેળવેલા સંબંધ પરથી તે જાણી શકાય છે કે કોટેન્જેન્ટ te દ્વારા સ્પર્શક te ના વર્ગોનું ઉત્પાદન એક સમાન છે. યાદ કરો કે કોટેન્જેન્ટ te ગુણોત્તર સમાનસાઈન ટે દ્વારા કોસાઈન te, જેનો અર્થ છે કોટેન્જેન્ટનો વર્ગ એ સાઈન ટેના વર્ગ દ્વારા કોસાઈન ટીના વર્ગનો ગુણોત્તર છે.

સાઈન સ્ક્વેર te દ્વારા ઘટાડા પછી આપણે એકતા અને કોસાઈન સ્ક્વેર te વચ્ચેનો તફાવત મેળવીએ છીએ, જે સાઈન સ્ક્વેર te ની બરાબર છે). Q.E.D.

ઉદાહરણ 4. tg 2 t + ctg 2 t જો tgt + ctgt = 6 હોય તો અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો.

(સ્પર્શક te અને કોટેન્જેન્ટ te ના વર્ગોનો સરવાળો, જો સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટનો સરવાળો છ હોય તો).

ઉકેલ. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

ચાલો મૂળ સમાનતાની બંને બાજુઓને ચોરસ કરીએ:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (સ્પર્શક te અને કોટેન્જેન્ટ te ના સરવાળાનો વર્ગ છ વર્ગ બરાબર છે). ચાલો સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર માટેનું સૂત્ર યાદ કરીએ: બે જથ્થાના સરવાળાનો વર્ગ ચોરસ સમાનપ્રથમ વત્તા પ્રથમના ગુણાંકના બમણા અને બીજા વત્તા બીજાના વર્ગ. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 આપણને tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 મળે છે (સ્પર્શક વર્ગ te વત્તા કોટેન્જેન્ટ te વત્તા કોટેન્જેન્ટ સ્ક્વેર્ડ te બરાબર વડે સ્પર્શક te ના ગુણાંકને બમણું કરો છત્રીસ).

ટેન્જેન્ટ te અને કોટેન્જેન્ટ te નું ઉત્પાદન એક સમાન હોવાથી, પછી tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (સ્પર્શક te અને કોટેન્જેન્ટ te અને બેના વર્ગોનો સરવાળો છત્રીસ બરાબર છે),

તમારી વિનંતી પર.

6. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો:

કારણ કે 90° સુધી એકબીજાના પૂરક ખૂણાઓના સહસંબંધો સમાન છે, પછી આપણે અપૂર્ણાંકના અંશમાં sin50° ને cos40° સાથે બદલીએ છીએ અને અંશ પર ડબલ દલીલની સાઈન માટેનું સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ. આપણને અંશમાં 5sin80° મળે છે. ચાલો sin80° ને cos10° થી બદલીએ, જે આપણને અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે પરવાનગી આપશે.

ફોર્મ્યુલા લાગુ: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. IN અંકગણિત પ્રગતિ, જેનો તફાવત 12 છે, અને આઠમો પદ 54 છે, નકારાત્મક પદોની સંખ્યા શોધો.

ઉકેલ યોજના. ચાલો એક ફોર્મ્યુલા બનાવીએ સામાન્ય સભ્યઆપેલ પ્રગતિ અને n નેગેટિવ શબ્દોના કયા મૂલ્યો મેળવવામાં આવશે તે શોધો. આ કરવા માટે, આપણે પ્રગતિની પ્રથમ મુદત શોધવાની જરૂર પડશે.

આપણી પાસે d=12, a 8 =54 છે. ફોર્મ્યુલા a n =a 1 +(n-1)∙d નો ઉપયોગ કરીને આપણે લખીએ છીએ:

a 8 =a 1 +7d. ચાલો ઉપલબ્ધ ડેટાને બદલીએ. 54=a 1 +7∙12;

a 1 =-30. આ મૂલ્યને ફોર્મ્યુલા a n =a 1 +(n-1)∙d માં બદલો

a n =-30+(n-1)∙12 અથવા n =-30+12n-12. ચાલો સરળ કરીએ: a n =12n-42.

અમે નકારાત્મક શબ્દોની સંખ્યા શોધી રહ્યા છીએ, તેથી અમારે અસમાનતાને હલ કરવાની જરૂર છે:

એક એન<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12 એન<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. નીચેના ફંક્શનના મૂલ્યોની શ્રેણી શોધો: y=x-|x|.

ચાલો મોડ્યુલર કૌંસ ખોલીએ. જો x≥0, તો y=x-x ⇒ y=0. આલેખ મૂળની જમણી બાજુએ ઓક્સ અક્ષ હશે. જો એક્સ<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. જમણા ગોળાકાર શંકુની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો જો તેનું જનરેટિક્સ 18 સેમી હોય અને તેના પાયાનું ક્ષેત્રફળ 36 સેમી 2 હોય.

અક્ષીય વિભાગ MAV સાથેનો શંકુ આપેલ છે. જનરેટર VM=18, S મુખ્ય. =36π. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શંકુની બાજુની સપાટીના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીએ છીએ: S બાજુ. =πRl, જ્યાં l એ જનરેટર છે અને સ્થિતિ અનુસાર 18 સેમી બરાબર છે, R એ પાયાની ત્રિજ્યા છે, આપણે તેને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીશું: S cr. = πR 2 . અમે S cr. = એસ મૂળભૂત = 36π. તેથી πR 2 =36π ⇒ R=6.

પછી એસ બાજુ. =π∙6∙18 ⇒ S બાજુ. =108π સેમી 2.

12. લઘુગણક સમીકરણ ઉકેલવું. અપૂર્ણાંક 1 ની બરાબર છે જો તેનો અંશ તેના છેદ સમાન હોય, એટલે કે.

log(x 2 +5x+4)=2logx for logx≠0. અમે સમાનતાની જમણી બાજુએ લઘુગણક ચિન્હ હેઠળ સંખ્યાની શક્તિનો ગુણધર્મ લાગુ કરીએ છીએ: lg(x 2 +5x+4)=lgx 2. આ દશાંશ લઘુગણક સમાન છે, તેથી લઘુગણક ચિન્હો હેઠળની સંખ્યાઓ સમાન છે. , તેથી:

x 2 +5x+4=x 2, તેથી 5x=-4; આપણને x=-0.8 મળે છે. જો કે, આ મૂલ્ય લઈ શકાતું નથી, કારણ કે લઘુગણકની નિશાની હેઠળ માત્ર હકારાત્મક સંખ્યાઓ જ હોઈ શકે છે, તેથી આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી. નોંધ. તમારે નિર્ણયની શરૂઆતમાં ODZ ન મળવો જોઈએ (તમારો સમય બગાડો!), અંતે તપાસવું વધુ સારું છે (જેમ આપણે અત્યારે કરી રહ્યા છીએ).

13. અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો (x o – y o), જ્યાં (x o; y o) એ સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ છે:

14. સમીકરણ ઉકેલો:

જો તમે દ્વારા વિભાજીત કરો 2 અને અપૂર્ણાંકનો અંશ અને છેદ, તમે ડબલ કોણની સ્પર્શક માટેનું સૂત્ર શીખી શકશો. પરિણામ એક સરળ સમીકરણ છે: tg4x=1.

15. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શોધો: f(x)=(6x 2 -4x) 5.

અમને એક જટિલ કાર્ય આપવામાં આવે છે. અમે તેને એક શબ્દમાં વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ - આ ડિગ્રી છે. તેથી, જટિલ કાર્યના તફાવતના નિયમ અનુસાર, આપણે ડિગ્રીનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ અને તેને સૂત્ર અનુસાર આ ડિગ્રીના આધારના વ્યુત્પન્ન દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ:

(u n)’ = n ∙ u n -1 ∙ u'.

f ‘(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)’ = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .

16. જો ફંક્શન હોય તો f ‘(1) શોધવાનું જરૂરી છે

17. સમભુજ ત્રિકોણમાં, બધા દ્વિભાજકોનો સરવાળો 33√3 સેમી છે.

સમભુજ ત્રિકોણનો દ્વિભાજક એ મધ્ય અને ઊંચાઈ બંને છે. આમ, આ ત્રિકોણની ઊંચાઈ BD ની લંબાઈ બરાબર છે

ચાલો લંબચોરસ Δ ABD માંથી બાજુ AB શોધીએ. ત્યારથી sin60° = BD : AB, પછી AB = BD : sin60°.

18. એક સમબાજુ ત્રિકોણમાં એક વર્તુળ લખેલું છે જેની ઊંચાઈ 12 સેમી છે.

વર્તુળ (O; OD) સમભુજ Δ ABC માં લખેલું છે. ઊંચાઈ BD એ દ્વિભાજક અને મધ્યક પણ છે અને વર્તુળનું કેન્દ્ર, બિંદુ O, BD પર આવેલું છે.

O – ઊંચાઈઓ, દ્વિભાજકો અને મધ્યકોના આંતરછેદનું બિંદુ શિરોબિંદુમાંથી ગણીને મધ્ય BD ને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી, OD=(1/3)BD=12:3=4. વર્તુળની ત્રિજ્યા R=OD=4 cm વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.

19. નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડની બાજુની કિનારીઓ 9 સેમી છે અને પાયાની બાજુ 8 સેમી છે પિરામિડની ઊંચાઈ શોધો.

નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડનો આધાર ચોરસ ABCD છે, ઊંચાઈ MOનો આધાર ચોરસનું કેન્દ્ર છે.

20. સરળ બનાવો:

અંશમાં, તફાવતનો વર્ગ ફોલ્ડ થયેલ છે.

અમે જૂથબદ્ધ શબ્દોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને છેદને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ છીએ.

21. ગણતરી કરો:

અંકગણિત વર્ગમૂળ કાઢવામાં સક્ષમ થવા માટે, આમૂલ અભિવ્યક્તિ સંપૂર્ણ ચોરસ હોવી આવશ્યક છે. ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બે અભિવ્યક્તિઓના વર્ગના તફાવતના સ્વરૂપમાં મૂળ ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિ રજૂ કરીએ:

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2, ધારીએ છીએ કે a 2 +b 2 =10.

22. અસમાનતા ઉકેલો:

ચાલો ઉત્પાદન તરીકે અસમાનતાની ડાબી બાજુ રજૂ કરીએ. બે ખૂણાઓના સાઈનનો સરવાળો આ ખૂણાઓના અર્ધ-સરવાળાના સાઈનના ગુણાંકના બમણા અને આ ખૂણાઓના અર્ધ-અંતરના કોસાઈન જેટલો છે.:

અમને મળે છે:

ચાલો આ અસમાનતાને ગ્રાફિકલી હલ કરીએ. અમે y=કિંમત ગ્રાફના તે બિંદુઓને પસંદ કરીએ છીએ જે સીધી રેખાની ઉપર આવેલા છે અને આ બિંદુઓના એબ્સિસાસ (શેડિંગ દ્વારા બતાવેલ) નક્કી કરીએ છીએ.