તર્કસંગત કાર્ય એ સ્વરૂપનો અપૂર્ણાંક છે, જેનો અંશ અને છેદ બહુપદી અથવા બહુપદીના ઉત્પાદનો છે.

ઉદાહરણ 1. પગલું 2.

.

અમે અનિર્ધારિત ગુણાંકનો બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ જે આ વ્યક્તિગત અપૂર્ણાંકમાં નથી, પરંતુ જે અન્ય પરિણામી અપૂર્ણાંકમાં છે:

અમે કૌંસ ખોલીએ છીએ અને પરિણામી અભિવ્યક્તિ સાથે મૂળ એકીકરણના અંશને સમાન કરીએ છીએ:

સમાનતાની બંને બાજુએ, આપણે x ની સમાન શક્તિઓ સાથેના શબ્દો શોધીએ છીએ અને તેમાંથી સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ:

.

અમે તમામ X રદ કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ સમકક્ષ સિસ્ટમસમીકરણો

.

આમ, સરવાળામાં એકીકરણનું અંતિમ વિસ્તરણ સરળ અપૂર્ણાંક:

.

ઉદાહરણ 2. પગલું 2.પગલું 1 પર, અમે અંશમાં અનિશ્ચિત ગુણાંક સાથેના સરળ અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં મૂળ અપૂર્ણાંકનું નીચેનું વિઘટન મેળવ્યું:

.

હવે આપણે અનિશ્ચિત ગુણાંક શોધવાનું શરૂ કરીએ છીએ. આ કરવા માટે, અમે ફંક્શન એક્સપ્રેશનમાં મૂળ અપૂર્ણાંકના અંશને સામાન્ય છેદમાં અપૂર્ણાંકના સરવાળાને ઘટાડ્યા પછી મેળવેલા અભિવ્યક્તિના અંશ સાથે સરખાવીએ છીએ:

હવે તમારે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવવાની અને ઉકેલવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, અમે ચલના ગુણાંકને કાર્યની મૂળ અભિવ્યક્તિના અંશમાં અનુરૂપ ડિગ્રી અને અગાઉના પગલા પર મેળવેલ અભિવ્યક્તિમાં સમાન ગુણાંકની સમાનતા કરીએ છીએ:

અમે પરિણામી સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ:

તેથી, અહીંથી

.

ઉદાહરણ 3. પગલું 2.પગલું 1 પર, અમે અંશમાં અનિશ્ચિત ગુણાંક સાથેના સરળ અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં મૂળ અપૂર્ણાંકનું નીચેનું વિઘટન મેળવ્યું:

અમે અનિશ્ચિત ગુણાંક શોધવાનું શરૂ કરીએ છીએ. આ કરવા માટે, અમે ફંક્શન એક્સપ્રેશનમાં મૂળ અપૂર્ણાંકના અંશને સામાન્ય છેદમાં અપૂર્ણાંકના સરવાળાને ઘટાડ્યા પછી મેળવેલા અભિવ્યક્તિના અંશ સાથે સરખાવીએ છીએ:

અગાઉના ઉદાહરણોની જેમ, અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ:

અમે x ને ઘટાડીએ છીએ અને સમીકરણોની સમકક્ષ સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

સિસ્ટમ ઉકેલવા, અમે મેળવીએ છીએ નીચેના મૂલ્યોઅનિશ્ચિત ગુણાંક:

અમે સરળ અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં એકીકરણનું અંતિમ વિઘટન મેળવીએ છીએ:

.

ઉદાહરણ 4. પગલું 2.પગલું 1 પર, અમે અંશમાં અનિશ્ચિત ગુણાંક સાથેના સરળ અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં મૂળ અપૂર્ણાંકનું નીચેનું વિઘટન મેળવ્યું:

.

અપૂર્ણાંકને સાદા અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં વિઘટિત કર્યા પછી અને આ રકમને સામાન્ય છેદમાં લાવીને મેળવેલા અંશમાંના અભિવ્યક્તિ સાથે મૂળ અપૂર્ણાંકના અંશને કેવી રીતે સરખાવવું તે આપણે અગાઉના ઉદાહરણો પરથી જાણીએ છીએ. તેથી, માત્ર નિયંત્રણ હેતુઓ માટે, અમે પરિણામી સમીકરણોની સિસ્ટમ રજૂ કરીએ છીએ:

સિસ્ટમને હલ કરીને, અમે અનિશ્ચિત ગુણાંકના નીચેના મૂલ્યો મેળવીએ છીએ:

અમે સરળ અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં એકીકરણનું અંતિમ વિઘટન મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 5. પગલું 2.પગલું 1 પર, અમે અંશમાં અનિશ્ચિત ગુણાંક સાથેના સરળ અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં મૂળ અપૂર્ણાંકનું નીચેનું વિઘટન મેળવ્યું:

.

અમે સ્વતંત્ર રીતે આ સરવાળાને એક સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીએ છીએ, આ અભિવ્યક્તિના અંશને મૂળ અપૂર્ણાંકના અંશ સાથે સરખાવીએ છીએ. પરિણામ આવવું જોઈએ આગામી સિસ્ટમસમીકરણો

સિસ્ટમને હલ કરીને, અમે અનિશ્ચિત ગુણાંકના નીચેના મૂલ્યો મેળવીએ છીએ:

.

અમે સરળ અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં એકીકરણનું અંતિમ વિઘટન મેળવીએ છીએ:

.

ઉદાહરણ 6. પગલું 2.પગલું 1 પર, અમે અંશમાં અનિશ્ચિત ગુણાંક સાથેના સરળ અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં મૂળ અપૂર્ણાંકનું નીચેનું વિઘટન મેળવ્યું:

અમે અગાઉના ઉદાહરણોની જેમ આ રકમ સાથે સમાન ક્રિયાઓ કરીએ છીએ. પરિણામ નીચેની સમીકરણોની સિસ્ટમ હોવી જોઈએ:

સિસ્ટમને હલ કરીને, અમે અનિશ્ચિત ગુણાંકના નીચેના મૂલ્યો મેળવીએ છીએ:

.

અમે સરળ અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં એકીકરણનું અંતિમ વિઘટન મેળવીએ છીએ:

.

ઉદાહરણ 7. પગલું 2.પગલું 1 પર, અમે અંશમાં અનિશ્ચિત ગુણાંક સાથેના સરળ અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં મૂળ અપૂર્ણાંકનું નીચેનું વિઘટન મેળવ્યું:

.

પરિણામી રકમ સાથે અમુક ક્રિયાઓ કર્યા પછી, નીચેની સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવવી જોઈએ:

સિસ્ટમને હલ કરીને, અમે અનિશ્ચિત ગુણાંકના નીચેના મૂલ્યો મેળવીએ છીએ:

અમે સરળ અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં એકીકરણનું અંતિમ વિઘટન મેળવીએ છીએ:

.

ઉદાહરણ 8. પગલું 2.પગલું 1 પર, અમે અંશમાં અનિશ્ચિત ગુણાંક સાથેના સરળ અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં મૂળ અપૂર્ણાંકનું નીચેનું વિઘટન મેળવ્યું:

.

સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવવા માટે જે ક્રિયાઓ પહેલાથી જ સ્વચાલિતતામાં લાવવામાં આવી છે તેમાં કેટલાક ફેરફારો કરીએ. ત્યાં એક કૃત્રિમ તકનીક છે જે કેટલાક કિસ્સાઓમાં બિનજરૂરી ગણતરીઓ ટાળવામાં મદદ કરે છે. અપૂર્ણાંકના સરવાળાને સામાન્ય છેદમાં લાવીને, અમે આ અભિવ્યક્તિના અંશને મૂળ અપૂર્ણાંકના અંશ સાથે મેળવીએ છીએ અને તેની સમાનતા કરીએ છીએ, અમે મેળવીએ છીએ.

બાશકોર્ટો સ્ટેન પ્રજાસત્તાકનું વિજ્ઞાન અને શિક્ષણ મંત્રાલય

SAOU SPO બશ્કીર કોલેજ ઓફ આર્કિટેક્ચર અને સિવિલ એન્જિનિયરિંગ

ખલીયુલિન અસ્કત એડેલઝ્યાનોવિચ,

બશ્કિર્સ્કી ખાતે ગણિત શિક્ષક

કૉલેજ ઑફ આર્કિટેક્ચર અને સિવિલ એન્જિનિયરિંગ

યુએફએ

2014

પરિચય ___________________________________________________3

પ્રકરણ આઈ. સૈદ્ધાંતિક પાસાઓપદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અનિશ્ચિત ગુણાંક ______________________________________________4

પ્રકરણ II. અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બહુપદીની સમસ્યાઓના ઉકેલો માટે શોધે છે_________________________________

2.1.બહુપદીનું પરિબળ ________________________ 7

2.2. પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ ____________________________________ 10

2.3. સમીકરણો ઉકેલવા ________________________________________________14

2.4. કાર્યાત્મક સમીકરણો ______________________________19

નિષ્કર્ષ ______________________________________________________23

વપરાયેલ સાહિત્યની યાદી__________________________________________24

અરજી ________________________________________________25

પરિચય.

આ કામશાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ દાખલ કરવાના સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ પાસાઓને સમર્પિત છે. આ વિષયની સુસંગતતા નીચેના સંજોગો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

કોઈ પણ એ હકીકત સાથે દલીલ કરશે નહીં કે વિજ્ઞાન તરીકે ગણિત એક જગ્યાએ નથી, તે સતત વિકસિત થઈ રહ્યું છે, નવી સમસ્યાઓ દેખાય છે. વધેલી જટિલતા, જે ઘણીવાર કેટલીક મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે કારણ કે આ કાર્યો સામાન્ય રીતે સંશોધન સાથે સંબંધિત હોય છે. માં આવા કાર્યો તાજેતરના વર્ષોશાળા, જિલ્લા અને પ્રજાસત્તાક ખાતે ઓફર કરવામાં આવી હતી ગાણિતિક ઓલિમ્પિયાડ્સ, તેઓ પણ ઉપલબ્ધ છે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા વિકલ્પો. તેથી તે જરૂરી હતું ખાસ પદ્ધતિ, જે ઓછામાં ઓછા તેમાંથી કેટલાકને સૌથી ઝડપથી, કાર્યક્ષમતાપૂર્વક અને સસ્તું ઉકેલવા દેશે. આ કાર્ય સ્પષ્ટપણે અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિની સામગ્રીને રજૂ કરે છે, જેનો ઉપયોગ ગણિતના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં વ્યાપકપણે થાય છે, જેમાં સામાન્ય શિક્ષણ અભ્યાસક્રમમાં સમાવિષ્ટ પ્રશ્નોથી લઈને તેના સૌથી અદ્યતન ભાગો સુધીનો સમાવેશ થાય છે. ખાસ કરીને, પરિમાણો, અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અને કાર્યાત્મક સમીકરણો સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો ઉપયોગ ખાસ કરીને રસપ્રદ અને અસરકારક છે; તેઓ ગણિતમાં રસ ધરાવતા કોઈપણને સરળતાથી રસ લઈ શકે છે. મુખ્ય ધ્યેયસૂચિત કાર્ય અને સમસ્યાઓની પસંદગી એ ટૂંકા અને નવીન ઉકેલો શોધવાની ક્ષમતાને સુધારવા અને વિકસાવવાની પૂરતી તક પૂરી પાડવાનો છે.

આ કાર્ય બે પ્રકરણો ધરાવે છે. પ્રથમ ઉપયોગના સૈદ્ધાંતિક પાસાઓની ચર્ચા કરે છે

અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ, અને બીજું, આવા ઉપયોગના વ્યવહારિક અને પદ્ધતિસરના પાસાઓ.

કાર્યના જોડાણમાં શરતો શામેલ છે ચોક્કસ કાર્યોમાટે સ્વતંત્ર નિર્ણય.

પ્રકરણ આઈ . ઉપયોગના સૈદ્ધાંતિક પાસાઓઅનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ

"માણસ... માસ્ટર બનવા માટે જન્મ્યો છે,

શાસક, પ્રકૃતિનો રાજા, પરંતુ શાણપણ,

જેની સાથે તેણે શાસન કરવું જોઈએ તે તેને આપવામાં આવ્યું નથી

જન્મથી: તે શીખવાથી પ્રાપ્ત થાય છે"

એન.આઇ.લોબાચેવ્સ્કી

છે વિવિધ રીતેઅને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ, પરંતુ સૌથી અનુકૂળ, સૌથી અસરકારક, મૂળ, ભવ્ય અને તે જ સમયે ખૂબ જ સરળ અને દરેકને સમજી શકાય તેવી એક અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ છે. અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ એ ગણિતમાં વપરાતી એક પદ્ધતિ છે જેનું સ્વરૂપ અગાઉથી જાણીતું હોય તેવા અભિવ્યક્તિઓના ગુણાંક શોધવા માટે.

વિવિધ પ્રકારની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લેતા પહેલા, અમે સંખ્યાબંધ સૈદ્ધાંતિક માહિતી રજૂ કરીએ છીએ.

તેમને આપવા દો

એ n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ··· + a n-1 x + a n

બી m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

બહુપદી સંબંધિત એક્સકોઈપણ મતભેદ સાથે.

પ્રમેય. એક અને પર આધાર રાખીને બે બહુપદી સમાન દલીલ સમાનરૂપે સમાન છે જો અને માત્ર જોn = m અને તેમના અનુરૂપ ગુણાંક સમાન છેa 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,··· , a n -1 = b m -1 , a n = b m અને ટી. ડી.

દેખીતી રીતે, સમાન બહુપદી બધા મૂલ્યો માટે લે છે એક્સ સમાન મૂલ્યો. તેનાથી વિપરીત, જો બે બહુપદીના મૂલ્યો તમામ મૂલ્યો માટે સમાન હોય એક્સ, પછી બહુપદી સમાન છે, એટલે કે, તેમના ગુણાંક પર સમાન ડિગ્રી એક્સમેળ

તેથી, સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિને લાગુ કરવાનો વિચાર નીચે મુજબ છે.

ચાલો જાણીએ કે કેટલાક પરિવર્તનના પરિણામે અભિવ્યક્તિ પ્રાપ્ત થાય છે ચોક્કસ પ્રકારઅને આ અભિવ્યક્તિમાં માત્ર ગુણાંક અજ્ઞાત છે. પછી આ ગુણાંક અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે અને અજ્ઞાત તરીકે ગણવામાં આવે છે. પછી આ અજાણ્યાઓને નક્કી કરવા માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદીના કિસ્સામાં, આ સમીકરણો સમાન શક્તિઓ માટે ગુણાંક સમાન હોય તેવી સ્થિતિથી બનાવવામાં આવે છે. એક્સબે સમાન બહુપદી માટે.

ઉપર શું કહેવામાં આવ્યું હતું તે અમે નીચેનામાં બતાવીશું ચોક્કસ ઉદાહરણો, અને ચાલો સૌથી સરળ સાથે શરૂ કરીએ.

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, સૈદ્ધાંતિક વિચારણાઓના આધારે, અપૂર્ણાંક

રકમ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

, ક્યાં a , b અને c - ગુણાંક નક્કી કરવા. તેમને શોધવા માટે, અમે બીજા અભિવ્યક્તિને પ્રથમ સાથે સરખાવીએ છીએ:

=

અને જાતને છેદથી મુક્ત કરી અને ડાબી બાજુની સમાન શક્તિઓ સાથે શરતો એકત્રિત કરી એક્સ, અમને મળે છે:

(a + b + c )એક્સ 2 + ( b - c )x - a = 2એક્સ 2 – 5 એક્સ– 1

કારણ કે છેલ્લી સમાનતા તમામ મૂલ્યો માટે સાચી હોવી જોઈએ એક્સ, પછી સમાન ડિગ્રી પર ગુણાંકએક્સજમણે અને ડાબે સમાન હોવા જોઈએ. આમ, ત્રણ અજાણ્યા ગુણાંક નક્કી કરવા માટે ત્રણ સમીકરણો મેળવવામાં આવે છે:

a+b+c = 2

b - c = - 5

એ= 1, ક્યાંથી a = 1 , b = - 2 , c = 3

આથી,

=
,

આ સમાનતાની માન્યતા સીધી રીતે ચકાસવી સરળ છે.

ધારો કે તમારે અપૂર્ણાંકને પણ રજૂ કરવાની જરૂર છે

ફોર્મમાં a + b
+ c
+ ડી
, ક્યાં a , b , c અને ડી- અજ્ઞાત તર્કસંગત ગુણાંક. અમે બીજા અભિવ્યક્તિને પ્રથમ સાથે સરખાવીએ છીએ:

a + b
+ c
+ ડી
=
અથવા, છેદથી છૂટકારો મેળવવો, જ્યાં શક્ય હોય ત્યાં, તર્કસંગત પરિબળોને મૂળના ચિહ્નો નીચેથી બહાર કાઢવું ​​અને લાવવું સમાન સભ્યોડાબી બાજુએ, અમને મળે છે:

(a- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 ડી )
+ (a+c - 2 ડી )
+

+ (b - c + ડી )
= 1 +
-
.

પરંતુ આવી સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે બંને ભાગોના તર્કસંગત શબ્દો અને સમાન રેડિકલના ગુણાંક સમાન હોય. આમ, અજાણ્યા ગુણાંક શોધવા માટે ચાર સમીકરણો મેળવવામાં આવે છે a , b , c અને ડી :

a- 2b+ 3c = 1

- a+b +3 ડી = 1

a+c - 2 ડી = - 1

b - c + ડી= 0, ક્યાંથી a = 0 ; b = - ; c = 0 ; ડી=, એટલે કે
= -
+
.

પ્રકરણ II. બહુપદી સાથેની સમસ્યાઓના ઉકેલો શોધે છે અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ.

“કોઈ પણ વિષયની નિપુણતામાં વધુ સારી રીતે ફાળો આપતું નથી

તેની સાથે જે પ્રકારની ક્રિયા વિવિધ પરિસ્થિતિઓ »

વિદ્વાન બી.વી. ગેનેડેન્કો

2. 1. બહુપદીનું પરિબળ બનાવવું.

બહુપદીના પરિબળ માટેની પદ્ધતિઓ:

1) સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકવું 2) જૂથ પદ્ધતિ; 3) અરજી મૂળભૂત સૂત્રોગુણાકાર; 4) સહાયક શરતોનો પરિચય 5) ચોક્કસ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને આપેલ બહુપદીનું પ્રારંભિક પરિવર્તન; 6) આપેલ બહુપદીના મૂળ શોધીને વિસ્તરણ; 7) પરિમાણ દાખલ કરવાની પદ્ધતિ; 8)અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ.

સમસ્યા 1. બહુપદીને વાસ્તવિક અવયવોમાં પરિબળ કરો એક્સ 4 + એક્સ 2 + 1 .

ઉકેલ. આ બહુપદીના મુક્ત શબ્દના વિભાજકોમાં કોઈ મૂળ નથી. આપણે અન્ય પ્રાથમિક માધ્યમો દ્વારા બહુપદીના મૂળ શોધી શકતા નથી. તેથી, આ બહુપદીના મૂળને પ્રથમ શોધીને જરૂરી વિસ્તરણ કરવું શક્ય નથી. સહાયક શરતો રજૂ કરીને અથવા અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ દ્વારા સમસ્યાનું સમાધાન શોધવાનું બાકી છે. તે સ્પષ્ટ છે કે એક્સ 4 + એક્સ 2 + 1 = એક્સ 4 + એક્સ 3 + એક્સ 2 - એક્સ 3 - એક્સ 2 - એક્સ + એક્સ 2 + એક્સ + 1 =

= એક્સ 2 (એક્સ 2 + એક્સ + 1) - એક્સ (એક્સ 2 + એક્સ + 1) + એક્સ 2 + એક્સ + 1 =

= (એક્સ 2 + એક્સ + 1)(એક્સ 2 - એક્સ + 1).

પરિણામી ચતુર્ભુજ ત્રિકોણમાં કોઈ મૂળ નથી અને તેથી તે વાસ્તવિક રેખીય પરિબળોમાં અવિભાજ્ય છે.

વર્ણવેલ પદ્ધતિ તકનીકી રીતે સરળ છે, પરંતુ તેની કૃત્રિમતાને કારણે મુશ્કેલ છે. ખરેખર, જરૂરી સહાયક શરતો સાથે આવવું ખૂબ જ મુશ્કેલ છે. માત્ર એક અનુમાનથી અમને આ વિઘટન શોધવામાં મદદ મળી. પણ

ત્યાં વધુ છે વિશ્વસનીય પદ્ધતિઓઆવી સમસ્યાઓના ઉકેલો.

કોઈ આ રીતે આગળ વધી શકે છે: ધારો કે આપેલ બહુપદીનું ઉત્પાદનમાં વિઘટન થાય છે

(એક્સ 2 + એ એક્સ + b )(એક્સ 2 + c એક્સ + ડી )

પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે બે ચોરસ ત્રિનોમિયા.

આમ, અમારી પાસે તે હશે

એક્સ 4 + એક્સ 2 + 1 = (એક્સ 2 + એ એક્સ + b )(એક્સ 2 + c એક્સ + ડી )

તે ગુણાંક નક્કી કરવા માટે રહે છેa , b , c અને ડી .

છેલ્લી સમાનતાની જમણી બાજુએ બહુપદીઓનો ગુણાકાર કરવાથી, આપણને મળે છે:એક્સ 4 + એક્સ 2 + 1 = એક્સ 4 +

+ (a + c ) એક્સ 3 + (b + એ c + ડી ) એક્સ 2 + (જાહેરાત + પૂર્વે ) x + bd .

પરંતુ કારણ કે આપણે જરૂર છે જમણી બાજુઆ સમાનતા એ જ બહુપદીમાં ફેરવાઈ ગઈ છે, જે ડાબી બાજુ છે, અમને પરિપૂર્ણતાની જરૂર છે નીચેની શરતો:

a + c = 0

b + એ c + ડી = 1

જાહેરાત + પૂર્વે = 0

bd = 1 .

પરિણામ એ ચાર અજ્ઞાત સાથે ચાર સમીકરણોની સિસ્ટમ છેa , b , c અને ડી . આ સિસ્ટમમાંથી ગુણાંક શોધવાનું સરળ છેa = 1 , b = 1 , c = -1 અને ડી = 1.

હવે સમસ્યા સંપૂર્ણપણે હલ થઈ ગઈ છે. અમને પ્રાપ્ત થયું:

એક્સ 4 + એક્સ 2 + 1 = (એક્સ 2 + એક્સ + 1)(એક્સ 2 - એક્સ + 1).

સમસ્યા 2. બહુપદીને વાસ્તવિક અવયવોમાં પરિબળ કરો એક્સ 3 – 6 એક્સ 2 + 14 એક્સ – 15 .

ઉકેલ. ચાલો આ બહુપદીને ફોર્મમાં રજૂ કરીએ

એક્સ 3 – 6 એક્સ 2 + 14 એક્સ – 15 = (એક્સ + એ )(એક્સ 2 + bx + c), ક્યાં a , b અને સાથે - ગુણાંક હજુ સુધી નિર્ધારિત નથી. કારણ કે બે બહુપદી સમાન રીતે સમાન હોય છે જો અને માત્ર જો સમાન શક્તિઓના ગુણાંક હોયએક્સ સમાન છે, તો પછી, અનુક્રમે ગુણાંકની સમાનતાએક્સ 2 , એક્સ અને મફત શરતો, અમને સિસ્ટમ મળે છે ત્રણ સમીકરણોત્રણ અજાણ્યાઓ સાથે:

a+b= - 6

ab + c = 14

એસી = - 15 .

જો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે નંબર 3 (મુક્ત શબ્દનો વિભાજક) મૂળ છે તો આ સિસ્ટમનો ઉકેલ ખૂબ જ સરળ બનશે. આપેલ સમીકરણ, અને તેથીa = - 3 ,

b = - 3 અને સાથે = 5 .

પછી એક્સ 3 – 6 એક્સ 2 + 14 એક્સ – 15 = (એક્સ – 3)(એક્સ 2 – 3 x + 5).

સહાયક શરતો રજૂ કરવાની ઉપરોક્ત પદ્ધતિની તુલનામાં, અનિશ્ચિત ગુણાંકની લાગુ પદ્ધતિમાં કૃત્રિમ કંઈપણ શામેલ નથી, પરંતુ તેને ઘણા ઉપયોગની જરૂર છે. સૈદ્ધાંતિક જોગવાઈઓઅને તેની સાથે ખૂબ મોટી ગણતરીઓ છે. બહુપદી માટે વધુ ઉચ્ચ ડિગ્રીઅનિશ્ચિત ગુણાંકની આ પદ્ધતિ સમીકરણોની બોજારૂપ પ્રણાલીઓ તરફ દોરી જાય છે.

2.2.કાર્યો અને પરિમાણો સાથે.

તાજેતરના વર્ષોમાં, યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાના સંસ્કરણોએ પરિમાણો સાથે કાર્યોની ઓફર કરી છે. તેમનો ઉકેલ ઘણીવાર ચોક્કસ મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે. પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, અન્ય પદ્ધતિઓ સાથે, તમે અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો ખૂબ અસરકારક રીતે ઉપયોગ કરી શકો છો. બરાબર આ પદ્ધતિતમને તેમના ઉકેલને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવવા અને ઝડપથી જવાબ મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

કાર્ય 3. પરિમાણના કયા મૂલ્યો પર નિર્ધારિત કરો એસમીકરણ 2 એક્સ 3 – 3 એક્સ 2 – 36 એક્સ + એ – 3 = 0 બરાબર બે મૂળ ધરાવે છે.

ઉકેલ. 1 રસ્તો. વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને.

ચાલો આ સમીકરણને બે કાર્યોના રૂપમાં રજૂ કરીએ

2x 3 – 3 એક્સ 2 – 36 એક્સ – 3 = – એ .

f (x) = 2x 3 – 3 એક્સ 2 – 36 એક્સ– 3 અને φ( એક્સ ) = – એ .

ચાલો ફંક્શનનું અન્વેષણ કરીએf (x) = 2x 3 – 3 એક્સ 2 – 36 એક્સ – 3 વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને અને તેનો આલેખ યોજનાકીય રીતે બાંધો (ફિગ. 1.).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). કાર્ય સમ કે વિષમ નથી.

3. ચાલો શોધીએ નિર્ણાયક મુદ્દાઓકાર્ય, તેના વધતા અને ઘટવાના અંતરાલો, આત્યંતિક. f / (x ) = 6 x 2 – 6 એક્સ – 36. ડી (f / ) = આર , તેથી આપણે સમીકરણ ઉકેલીને ફંક્શનના તમામ નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધીશું f / (x ) = 0 .

6(એક્સ 2 – એક્સ– 6) = 0 ,

એક્સ 2 – એક્સ– 6 = 0 ,

એક્સ 1 = 3 , એક્સ 2 = - 2 પ્રમેય દ્વારા, પ્રમેયની વાતચીતવિએટા.

f / (x ) = 6(એક્સ – 3)(એક્સ + 2).

+ મહત્તમ - મિનિટ +

2 3 x

f / (x) > બધા માટે 0 એક્સ< - 2 અને એક્સ > 3 અને કાર્ય પોઈન્ટ પર સતત છેx =- 2 અને એક્સ = 3, તેથી, તે દરેક અંતરાલો પર વધે છે (- ; - 2] અને [ 3 ; ).

f / (x ) < 0 પર - 2 < એક્સ< 3, તેથી, તે અંતરાલ પર ઘટે છે [- 2; 3 ].

એક્સ = - 2જી મહત્તમ બિંદુ, કારણ કે આ બિંદુએ થી વ્યુત્પન્ન ફેરફારોની નિશાની"+" થી "-".

f (– 2) = 2· (– 8) – 3·4 – 36· (– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 ન્યૂનતમ બિંદુ, કારણ કે આ બિંદુએ વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન"-" થી "+".

f (3) = 2·27 – 3·9 – 36·3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84.

ફંક્શનનો ગ્રાફ φ(એક્સ ) = – એ x-અક્ષની સમાંતર અને કોઓર્ડિનેટ્સ (0.) સાથેના બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે; – એ ). આલેખમાં બે છે સામાન્ય બિંદુઓખાતે -એ= 41, એટલે કે. a =– 41 અને – એ= – 84, એટલે કે. એ = 84 .

ખાતે

41φ( એક્સ)

2 3 એક્સ

3 f ( x ) = 2x 3 – 3 એક્સ 2 – 36 એક્સ – 3

પદ્ધતિ 2. અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ.

કારણ કે, સમસ્યાની શરતો અનુસાર, આ સમીકરણમાં ફક્ત બે મૂળ હોવા જોઈએ, સમાનતા સ્પષ્ટ છે:

2એક્સ 3 – 3 એક્સ 2 – 36 એક્સ + એ – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2એક્સ 3 – 3 એક્સ 2 – 36 એક્સ + એ – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 પૂર્વે ) x + b 2 c ,

હવે સમાન ડિગ્રી પર ગુણાંકને સમકક્ષ કરો એક્સ, આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc = - 36

b 2 c = a – 3 .

સિસ્ટમના પ્રથમ બે સમીકરણોમાંથી આપણે શોધીએ છીએb 2 + b – 6 = 0, ક્યાંથી b 1 = - 3 અથવા b 2 = 2. અનુરૂપ મૂલ્યોસાથે 1 અને સાથે 2 સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાંથી શોધવાનું સરળ છે:સાથે 1 = 9 અથવા સાથે 2 = - 11. છેલ્લે, પેરામીટરનું ઇચ્છિત મૂલ્ય સિસ્ટમના છેલ્લા સમીકરણમાંથી નક્કી કરી શકાય છે:

એ = b 2 c + 3 , a 1 = - 41 અથવા a 2 = 84.

જવાબ: આ સમીકરણમાં બરાબર બે અલગ અલગ છે

રુટ ખાતે એ= - 41 અને એ= 84 .

સમસ્યા 4. શોધો ઉચ્ચતમ મૂલ્યપરિમાણએ , જેના માટે સમીકરણએક્સ 3 + 5 એક્સ 2 + ઓહ + b = 0

પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે ત્રણ જુદા જુદા મૂળ છે, જેમાંથી એક - 2 ની બરાબર છે.

ઉકેલ. 1 રસ્તો. અવેજીમાં એક્સ= - 2 વી ડાબી બાજુસમીકરણો, આપણને મળે છે

8 + 20 – 2 એ + b= 0, જેનો અર્થ થાય છે b = 2 a – 12 .

સંખ્યા - 2 મૂળ હોવાથી, આપણે કાઢી શકીએ છીએ સામાન્ય ગુણક એક્સ + 2:

એક્સ 3 + 5 એક્સ 2 + ઓહ + b = એક્સ 3 + 2 એક્સ 2 + 3 એક્સ 2 + ઓહ + (2 a – 12) =

= x 2 (એક્સ + 2) + 3 x (એક્સ + 2) – 6 x + ઓહ + (2 a – 12) =

= x 2 (એક્સ + 2) + 3 x (એક્સ + 2) + (a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2 a - 12) =

= (એક્સ + 2)(એક્સ 2 + 3 x + (a – 6) ) .

શરત પ્રમાણે, સમીકરણના વધુ બે મૂળ છે. આનો અર્થ એ થયો કે બીજા પરિબળનો ભેદભાવ હકારાત્મક છે.

ડી =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0, એટલે કે એ < 8,25 .

લાગે છે કે જવાબ મળશે a = 8. પરંતુ જ્યારે નંબર 8 ને બદલે છે મૂળ સમીકરણઅમને મળે છે:

એક્સ 3 + 5 એક્સ 2 + ઓહ + b = એક્સ 3 + 5 એક્સ 2 + 8 એક્સ + 4 = (એક્સ + 2)(એક્સ 2 + 3 x + 2 ) =

= (એક્સ + 1) (એક્સ + 2) 2 ,

એટલે કે, સમીકરણ માત્ર બે અલગ-અલગ મૂળ ધરાવે છે. પરંતુ જ્યારે a = 7 વાસ્તવમાં ત્રણ અલગ અલગ મૂળ પેદા કરે છે.

પદ્ધતિ 2. અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ.

જો સમીકરણ એક્સ 3 + 5 એક્સ 2 + ઓહ + b = 0 પાસે મૂળ છે એક્સ = - 2, પછી તમે હંમેશા નંબરો પસંદ કરી શકો છોc અને ડી જેથી બધાની સામેએક્સ સમાનતા સાચી હતી

એક્સ 3 + 5 એક્સ 2 + ઓહ + b = (એક્સ + 2)(એક્સ 2 + સાથે x + ડી ).

નંબરો શોધવા માટેc અને ડી ચાલો જમણી બાજુએ કૌંસ ખોલીએ, સમાન શબ્દો ઉમેરીએ અને મેળવીએ

એક્સ 3 + 5 એક્સ 2 + ઓહ + b = એક્સ 3 + (2 + સાથે ) એક્સ 2 +(2 s + ડી ) એક્સ + 2 ડી

અનુરૂપ શક્તિઓ પર ગુણાંકની સમાનતા એક્સઅમારી પાસે સિસ્ટમ છે

2 + સાથે = 5

2 સાથે + ડી = a

2 ડી = b , જ્યાં c = 3 .

આથી, એક્સ 2 + 3 x + ડી = 0 , ડી = 9 – 4 ડી > 0 અથવા

ડી < 2.25, તેથી ડી (- ; 2 ].

સમસ્યાની શરતો મૂલ્ય દ્વારા સંતુષ્ટ છે ડી = 1. પરિમાણનું અંતિમ ઇચ્છિત મૂલ્યએ = 7.

જવાબ: ક્યારે a = 7 આ સમીકરણના ત્રણ અલગ-અલગ મૂળ છે.

2.3. સમીકરણો ઉકેલવા.

"યાદ રાખો કે નાની સમસ્યાઓ હલ કરીને તમે

મોટા અને મુશ્કેલનો સામનો કરવા માટે તમારી જાતને તૈયાર કરો

નવા કાર્યો."

એકેડેમિશિયન એસ.એલ. સોબોલેવ

કેટલાક સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, તમે કોઠાસૂઝ અને સમજશક્તિ બતાવી શકો છો અને જોઈએ અને ખાસ તકનીકોનો ઉપયોગ કરી શકો છો. વિવિધ પરિવર્તન તકનીકોમાં નિપુણતા અને તાર્કિક તર્કને અમલમાં મૂકવાની ક્ષમતા ગણિતમાં ખૂબ મહત્વ ધરાવે છે. આમાંની એક યુક્તિ એ છે કે કેટલીક સારી રીતે પસંદ કરેલી અભિવ્યક્તિ અથવા સંખ્યા ઉમેરવા અને બાદ કરવી. ઉલ્લેખિત હકીકત પોતે, અલબત્ત, દરેકને સારી રીતે જાણીતી છે - મુખ્ય મુશ્કેલી એ છે કે ચોક્કસ રૂપરેખાંકનમાં સમીકરણોના તે રૂપાંતરણોને જોવાનું છે કે જેમાં તેને લાગુ કરવું અનુકૂળ અને યોગ્ય છે.

ચાલો એક સરળ બીજગણિતીય સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને એક સમજાવીએ બિન-માનક તકનીકસમીકરણો ઉકેલવા.

સમસ્યા 5. સમીકરણ ઉકેલો

=
.

ઉકેલ. ચાલો આ સમીકરણની બંને બાજુઓને 5 વડે ગુણાકાર કરીએ અને તેને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીએ

= 0 ; એક્સ 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 અથવા
= 0

ચાલો અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પરિણામી સમીકરણોને હલ કરીએ

એક્સ 4 - એક્સ 3 –7 એક્સ – 3 = (એક્સ 2 + આહ + b )(x 2 + cx + ડી ) = 0

એક્સ 4 - એક્સ 3 –7 એક્સ – 3 = એક્સ 4 + (a + c ) એક્સ 3 + (b + એ c + ડી ) એક્સ 2 + (જાહેરાત + પૂર્વે ) x++ bd

પર ગુણાંકની સમાનતા એક્સ 3 , એક્સ 2 , એક્સઅને મફત શરતો, અમને સિસ્ટમ મળે છે

a + c = -1

b + એ c + ડી = 0

જાહેરાત + પૂર્વે = -7

bd = -3, જ્યાંથી આપણે શોધીએ છીએ:એ = -2 ; b = - 1 ;

સાથે = 1 ; ડી = 3 .

તેથી એક્સ 4 - એક્સ 3 –7એક્સ– 3 = (એક્સ 2 – 2 એક્સ – 1)(એક્સ 2 + એક્સ + 3) = 0 ,

એક્સ 2 – 2 એક્સ– 1 = 0 અથવા એક્સ 2 + એક્સ + 3 = 0

એક્સ 1,2 =
કોઈ મૂળ નથી.

એ જ રીતે આપણી પાસે છે

એક્સ 4 – 12એક્સ – 5 = (એક્સ 2 – 2 એક્સ – 1)(એક્સ 2 + 2એક્સ + 5) = 0 ,

જ્યાં એક્સ 2 + 2 એક્સ + 5 = 0 , ડી = - 16 < 0 , нет корней.

જવાબ: એક્સ 1,2 =

સમસ્યા 6. સમીકરણ ઉકેલો

= 10.

ઉકેલ. આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે તમારે સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની જરૂર છેએઅને b જેથી બંને અપૂર્ણાંકના અંશ સમાન હોય. તેથી, અમારી પાસે સિસ્ટમ છે:

= 0 , એક્સ 0; -1 ; -

= - 10

તેથી કાર્ય સંખ્યાઓને મેચ કરવાનું છેએઅને b , જેના માટે સમાનતા છે

(a + 6) એક્સ 2 + આહ - 5 = એક્સ 2 + (5 + 2 b ) x + b

હવે, બહુપદીઓની સમાનતા પરના પ્રમેય મુજબ, તે જરૂરી છે કે આ સમાનતાની જમણી બાજુ એ જ બહુપદીમાં ફેરવાય જે ડાબી બાજુ છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંબંધો સંતુષ્ટ હોવા જોઈએ

a + 6 = 1

એ = 5 + 2 b

– 5 = b , જ્યાંથી આપણે મૂલ્યો શોધીએ છીએએ = - 5 ;

b = - 5 .

આ મૂલ્યો પરએઅને b સમાનતા એ + b = - 10 પણ વાજબી છે.

= 0 , એક્સ 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(એક્સ 2 – 5એક્સ– 5)(એક્સ 2 + 3એક્સ + 1) = 0 ,

એક્સ 2 – 5એક્સ– 5 = 0 અથવા એક્સ 2 + 3એક્સ + 1 = 0 ,

એક્સ 1,2 =
, એક્સ 3,4 =

જવાબ: એક્સ 1,2 =
, એક્સ 3,4 =

સમસ્યા 7. સમીકરણ ઉકેલો

= 4

ઉકેલ. આ સમીકરણ અગાઉના સમીકરણો કરતાં વધુ જટિલ છે અને તેથી અમે તેને આ રીતે જૂથબદ્ધ કરીશું: એક્સ 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

બે બહુપદીઓની સમાનતાની સ્થિતિથી

ઓહ 2 + (a + 6) એક્સ + 12 = એક્સ 2 + (b + 11) x – 3 b ,

અમે અજ્ઞાત ગુણાંક માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ અને ઉકેલીએ છીએએઅને b :

એ = 1

a + 6 = b + 11

12 = – 3 b , ક્યાં a = 1 , b = - 4 .

બહુપદી - 3 – 6એક્સ + cx 2 + 8 cxઅને એક્સ 2 + 21 + 12 ડી – ડીએક્સ એકબીજાની સમાન હોય ત્યારે જ

સાથે = 1

8 સાથે - 6 = - ડી

3 = 21 + 12 ડી , સાથે = 1 , ડી = - 2 .

મૂલ્યો સાથેa = 1 , b = - 4 , સાથે = 1 , ડી = - 2

સમાનતા
= - 4 સાચો છે.

પરિણામે, આ સમીકરણ નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

= 0 અથવા
= 0 અથવા
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

ધ્યાનમાં લેવાયેલા ઉદાહરણો પરથી, તે સ્પષ્ટ છે કે અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો કુશળ ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે,

એક જટિલ, અસામાન્ય સમીકરણના ઉકેલને સરળ બનાવવામાં મદદ કરે છે.

2.4. કાર્યાત્મક સમીકરણો.

« સર્વોચ્ચ નિમણૂકગણિત... સમાવે છે

માં છુપાયેલ ઓર્ડર શોધવાનો છે

અરાજકતા જે આપણને ઘેરી વળે છે"

એન. વિનર

કાર્યાત્મક સમીકરણો ખૂબ જ છે સામાન્ય વર્ગસમીકરણો જેમાં જરૂરી કાર્ય ચોક્કસ કાર્ય છે. માં કાર્યાત્મક સમીકરણ હેઠળ સંકુચિત અર્થમાંશબ્દો એવા સમીકરણોને સમજે છે જેમાં માંગેલા કાર્યો સંબંધિત છે જાણીતા કાર્યોએક અથવા વધુ ચલો જટિલ ફંક્શન બનાવવાની કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને. કાર્યાત્મક સમીકરણને ચોક્કસ વર્ગના કાર્યોની લાક્ષણિકતા દર્શાવતી મિલકતની અભિવ્યક્તિ તરીકે પણ ગણી શકાય

[ઉદાહરણ તરીકે, કાર્યાત્મક સમીકરણ f ( x ) = f (- x ) સમ વિધેયોના વર્ગ, કાર્યાત્મક સમીકરણને દર્શાવે છેf (x + 1) = f (x ) – અવધિ 1, વગેરે ધરાવતાં કાર્યોનો વર્ગ.].

સૌથી સરળ કાર્યાત્મક સમીકરણોમાંનું એક સમીકરણ છેf (x + y ) = f (x ) + f (y ). આ કાર્યાત્મક સમીકરણના સતત ઉકેલોનું સ્વરૂપ છે

f (x ) = સીx . જો કે, વર્ગમાં અવ્યવસ્થિત કાર્યોઆ કાર્યાત્મક સમીકરણમાં અન્ય ઉકેલો છે. ગણવામાં આવેલ કાર્યાત્મક સમીકરણ સાથે સંકળાયેલ છે

f (x + y ) = f (x ) · f (y ), f (x y ) = f (x ) + f (y ), f (x y ) = f (x )· f (y ),

સતત ઉકેલો, જે અનુક્રમે સ્વરૂપ ધરાવે છે

ઇ cx , સાથેlnx , x α (x > 0).

તેથી આ કાર્યાત્મક સમીકરણોઘાતાંકીય, લઘુગણક અને પાવર કાર્યો નક્કી કરવા માટે વાપરી શકાય છે.

સૌથી વધુ વ્યાપકજટિલ કાર્યોમાં મેળવેલ સમીકરણો કે જેના માટે બાહ્ય કાર્યોની માંગણી છે. સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ કાર્યક્રમો

તે ચોક્કસપણે આ સમીકરણો હતા જેણે પૂછ્યું હતું ઉત્કૃષ્ટ ગણિતશાસ્ત્રીઓતેમના અભ્યાસ માટે.

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ખાતેગોઠવણી

f 2 (x) = f (x - y)· f (x + y)

એન.આઇ.લોબાચેવ્સ્કીમારી ભૂમિતિમાં સમાંતરનો કોણ નક્કી કરતી વખતે વપરાય છે.

તાજેતરના વર્ષોમાં, કાર્યાત્મક સમીકરણોને ઉકેલવા સંબંધિત સમસ્યાઓ ઘણી વાર ગાણિતિક ઓલિમ્પિયાડ્સમાં ઓફર કરવામાં આવે છે. તેમના ઉકેલ માટે ગણિતના કાર્યક્રમના અવકાશની બહારના જ્ઞાનની જરૂર નથી માધ્યમિક શાળાઓ. જો કે, વિધેયાત્મક સમીકરણો ઉકેલવાથી ઘણી વાર અમુક મુશ્કેલીઓ ઊભી થાય છે.

કાર્યાત્મક સમીકરણોના ઉકેલો શોધવાની એક રીત એ અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ છે. જ્યારે તેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે દેખાવસમીકરણો નક્કી કરી શકાય છે સામાન્ય દૃશ્યઇચ્છિત કાર્ય. આ, સૌ પ્રથમ, તે કિસ્સાઓમાં લાગુ પડે છે જ્યારે પૂર્ણાંકો અથવા અપૂર્ણાંકો વચ્ચે સમીકરણોના ઉકેલો શોધવા જોઈએ. તર્કસંગત કાર્યો.

ચાલો નીચેની સમસ્યાઓ હલ કરીને આ તકનીકના સારને રૂપરેખા આપીએ.

કાર્ય 8. કાર્યf (x ) એ બધા વાસ્તવિક x માટે વ્યાખ્યાયિત છે અને બધા માટે સંતોષાય છેએક્સ આર સ્થિતિ

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

શોધોf (x ).

ઉકેલ. આ સમીકરણની ડાબી બાજુએ સ્વતંત્ર ચલ x અને ફંક્શનના મૂલ્યો ઉપર હોવાથીf માત્ર ચલાવવામાં આવે છે રેખીય કામગીરી, અને સમીકરણની જમણી બાજુ છે ચતુર્ભુજ કાર્ય, તો પછી એવું માનવું સ્વાભાવિક છે કે જરૂરી કાર્ય પણ ચતુર્ભુજ છે:

f (એક્સ) = કુહાડી 2 + bx + c , ક્યાંa, b, c - નિર્ધારિત કરવાના ગુણાંક, એટલે કે, અનિશ્ચિત ગુણાંક.

ફંક્શનને સમીકરણમાં બદલીને, અમે ઓળખ પર પહોંચીએ છીએ:

3(કુહાડી 2 + bx+ સી) – 2(a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

કુહાડી 2 + (5 b + 4 a) x + (c – 2 a – 2 b) = x 2 .

બે બહુપદી સમાન હશે તો સમાન હશે

ચલની સમાન શક્તિઓ માટે ગુણાંક:

a = 1

5b + 4a = 0

c– 2 a – 2 b = 0.

આ સિસ્ટમમાંથી આપણે ગુણાંક શોધીએ છીએ

a = 1 , b = - , સી = , પણસંતુષ્ટ કરે છેસમાનતા

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 બધાના સમૂહ પર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. તે જ સમયે, ત્યાં આવા છેx 0 કાર્ય 9. કાર્યy =f(x) બધા માટે x વ્યાખ્યાયિત, સતત અને સ્થિતિને સંતોષે છેf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . આવા બે કાર્યો શોધો.

ઉકેલ. ઇચ્છિત કાર્ય પર બે ક્રિયાઓ કરવામાં આવે છે - એક જટિલ કાર્ય કંપોઝ કરવાની કામગીરી અને

બાદબાકી સમીકરણની જમણી બાજુ એક રેખીય કાર્ય છે તે ધ્યાનમાં લેતા, એવું માનવું સ્વાભાવિક છે કે ઇચ્છિત કાર્ય પણ રેખીય છે:f(x) = આહ +b , ક્યાંએ અનેb - અનિશ્ચિત ગુણાંક. માં આ કાર્યને બદલીનેf (f ( (x ) = - એક્સ - 1 ;

f 2 (x ) = 2 એક્સ+ , જે કાર્યાત્મક સમીકરણના ઉકેલો છેf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

નિષ્કર્ષ.

નિષ્કર્ષમાં, એ નોંધવું જોઈએ કે આ કાર્ય ચોક્કસપણે મૂળના વધુ અભ્યાસમાં ફાળો આપશે અને અસરકારક પદ્ધતિવિવિધ ઉકેલો ગાણિતિક સમસ્યાઓ, જે કાર્યો છે વધેલી મુશ્કેલીઅને ગણિતના શાળા અભ્યાસક્રમનું ઊંડું જ્ઞાન અને ઉચ્ચ તાર્કિક સંસ્કૃતિની જરૂર હોય છે જેઓ સ્વતંત્ર રીતે ગણિતના તેમના જ્ઞાનને વધુ ઊંડું કરવા માંગે છે તે પણ આ કાર્ય સામગ્રીમાં પ્રતિબિંબ અને રસપ્રદ કાર્યો, જેનો ઉકેલ લાભ અને સંતોષ લાવશે.

વર્તમાન અંદર કામ શાળા અભ્યાસક્રમઅને અસરકારક અનુભૂતિ માટે સુલભ સ્વરૂપમાં, અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ રજૂ કરવામાં આવી છે, જે ગણિતમાં શાળા અભ્યાસક્રમને વધુ ઊંડો કરવામાં મદદ કરે છે.

અલબત્ત, અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિની તમામ શક્યતાઓ એક કાર્યમાં દર્શાવી શકાતી નથી. હકીકતમાં, પદ્ધતિને હજુ વધુ અભ્યાસ અને સંશોધનની જરૂર છે.

વપરાયેલ સાહિત્યની સૂચિ.

ગ્લેઝર જી.આઇ..શાળામાં ગણિતનો ઇતિહાસ.-એમ.: શિક્ષણ, 1983.

ગોમોનોવ એસ.એ. માં કાર્યાત્મક સમીકરણો શાળા અભ્યાસક્રમગણિત // શાળામાં ગણિત. - 2000. -№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.H.. ગણિત પર મેન્યુઅલ - M.: નૌકા, 1972.

કુરોશ એ.જી. આર્બિટરી ડિગ્રીના બીજગણિત સમીકરણો - એમ.: નૌકા, 1983.

લિખ્ટાર્નિકોવ L.M. કાર્યાત્મક સમીકરણોનો પ્રાથમિક પરિચય. - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ. : લેન, 1997.

મન્તુરોવ ઓ.વી., સોલન્ટસેવ યુ.કે., સોરોકિન યુ.આઈ., ફેડિન એન.જી. ગાણિતિક શબ્દોનો સ્પષ્ટીકરણ શબ્દકોશ.-એમ.: શિક્ષણ, 1971

મોડેનોવ વી.પી.. ગણિત પર મેન્યુઅલ. ભાગ 1.-એમ.: મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટી, 1977.

મોડેનોવ વી.પી.. પરિમાણો સાથે સમસ્યાઓ - એમ.: પરીક્ષા, 2006.

પોટાપોવ એમ.કે., એલેક્ઝાન્ડ્રોવ વી.વી., પાસિચેન્કો પી.આઈ.. બીજગણિત અને પ્રાથમિક કાર્યોનું વિશ્લેષણ - એમ.: નૌકા, 1980.

ખલીયુલિન એ.એ.. તમે તેને સરળ રીતે હલ કરી શકો છો // શાળામાં ગણિત. – 2003 . - №8 .

ખલીયુલિન.

4. બહુપદી 2 વિસ્તૃત કરોએક્સ 4 – 5એક્સ 3 + 9એક્સ 2 – 5એક્સપૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે ગુણક માટે + 3.

5. કયા મૂલ્ય પર એ એક્સ 3 + 6એક્સ 2 + ઓહ+ 12 પ્રતિ એક્સ+ 4 ?

6. પરિમાણના કયા મૂલ્ય પરએ સમીકરણએક્સ 3 +5 એક્સ 2 + + ઓહ + b પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે = 0 બે અલગ-અલગ મૂળ ધરાવે છે, જેમાંથી એક 1 છે ?

7. બહુપદીના મૂળ વચ્ચે એક્સ 4 + એક્સ 3 – 18એક્સ 2 + ઓહ + b પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે ત્રણ સમાન પૂર્ણાંકો છે. મૂલ્ય શોધો b .

8. પરિમાણનું સૌથી મોટું પૂર્ણાંક મૂલ્ય શોધો એ,જેના પર સમીકરણ એક્સ 3 – 8એક્સ 2 + આહ +b પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે = 0 ત્રણ અલગ-અલગ મૂળ ધરાવે છે, જેમાંથી એક 2 ની બરાબર છે.

9. કયા મૂલ્યો પર એઅને b વિભાજન બાકી વગર કરવામાં આવે છે એક્સ 4 + 3એક્સ 3 – 2એક્સ 2 + ઓહ + b ચાલુ એક્સ 2 – 3એક્સ + 2 ?

10. પરિબળ બહુપદી:

એ)એક્સ 4 + 2 એક્સ 2 – એક્સ + 2 વી)એક્સ 4 – 4એક્સ 3 +9એક્સ 2 –8એક્સ + 5 ડી)એક્સ 4 + 12એક્સ – 5

b)એક્સ 4 + 3એક્સ 2 + 2એક્સ + 3 જી)એક્સ 4 – 3એક્સ –2 e)એક્સ 4 – 7એક્સ 2 + 1 .

11. સમીકરણો ઉકેલો:

એ)
= 2 = 2 f (1 – એક્સ ) = એક્સ 2 .

શોધો f (એક્સ) .

13. કાર્ય ખાતે= f (એક્સ) દરેકની સામે એક્સવ્યાખ્યાયિત, સતત અને સ્થિતિને સંતોષે છે f ( f (એક્સ)) = f (એક્સ) + એક્સ.આવા બે કાર્યો શોધો.

કોઈપણ સંખ્યાના ચલોના લોજિકલ બીજગણિત કાર્યોને ઘટાડવા માટે પદ્ધતિ લાગુ પડે છે.

ચાલો ત્રણ ચલોના કેસને ધ્યાનમાં લઈએ. DNF માં બુલિયન ફંક્શનને DNF માં સમાવી શકાય તેવા તમામ પ્રકારના સંયોજક શબ્દોના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે:

જ્યાં kO(0,1) ગુણાંક છે. પદ્ધતિમાં ગુણાંકને એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે પરિણામી DNF ન્યૂનતમ હોય.

જો આપણે હવે ચલોની તમામ સંભવિત કિંમતો 000 થી 111 સુધી સેટ કરીએ, તો ગુણાંક નક્કી કરવા માટે આપણને 2 n (2 3 =8) સમીકરણો મળે છે. k:

જે સેટ માટે ફંક્શન શૂન્ય મૂલ્ય લે છે તે સેટને ધ્યાનમાં લેતા, 0 ની બરાબર હોય તેવા ગુણાંકો નક્કી કરો અને તેમને સમીકરણોમાંથી બહાર કાઢો જેની જમણી બાજુએ 1 હોય છે. દરેક સમીકરણમાં બાકીના ગુણાંકમાંથી, એક ગુણાંક એક સાથે સમાન છે, જે નિર્ધારિત કરે છે સૌથી નીચા ક્રમનું જોડાણ. બાકીના ગુણાંક 0 ની બરાબર છે. તેથી, એકમ ગુણાંક kયોગ્ય લઘુત્તમ ફોર્મ નક્કી કરો.

ઉદાહરણ. આપેલ કાર્યને નાનું કરો

જો મૂલ્યો જાણીતા છે:
;
;
;
;
;
;
;
.

ઉકેલ.

શૂન્ય ગુણાંકને પાર કર્યા પછી આપણને મળે છે:

=1;

=1;

=1;

=1.

ચાલો ગુણાંકને એકતા સાથે સરખાવીએ , સૌથી નીચા ક્રમના જોડાણને અનુરૂપ અને છેલ્લા ચાર સમીકરણોને 1 માં ફેરવવા માટે, અને પ્રથમ સમીકરણમાં ગુણાંકને 1 સાથે સમાન કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. . બાકીના ગુણાંક 0 પર સેટ છે.

જવાબ આપો: ન્યૂનતમ કાર્યનો પ્રકાર.

એ નોંધવું જોઇએ કે જ્યારે ચલોની સંખ્યા નાની હોય અને 5-6 કરતા વધી ન હોય ત્યારે અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ અસરકારક હોય છે.

બહુપરીમાણીય ક્યુબ

ચાલો બહુપરીમાણીય ક્યુબના રૂપમાં ફંક્શનની ગ્રાફિકલ રજૂઆતને ધ્યાનમાં લઈએ. દરેક શિખર n-ડાયમેન્શનલ ક્યુબને એકમના ઘટક સાથે પત્રવ્યવહારમાં મૂકી શકાય છે.

ચિહ્નિત શિરોબિંદુઓનો સબસેટ એ મેપિંગ છે n-માંથી બુલિયન ફંક્શનનું પરિમાણીય ક્યુબ n SDNF માં ચલો.

થી ફંક્શન દર્શાવવા માટે nકોઈપણ DNF માં પ્રસ્તુત ચલો, તેના લઘુત્તમ અને તત્વો વચ્ચે પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરવો જરૂરી છે n- પરિમાણીય સમઘન.

(n-1)મા ક્રમનો લઘુતમ
બે મિનિટર્મ્સને ગ્લુઇંગ કરવાના પરિણામ તરીકે ગણી શકાય n-મો ક્રમ, એટલે કે.

=

ચાલુ n-પરિમાણીય ક્યુબ આ બે શિરોબિંદુઓને બદલવાને અનુરૂપ છે જે ફક્ત સંકલન મૂલ્યોમાં અલગ છે એક્સ i, આ શિરોબિંદુઓને ધાર સાથે જોડે છે (એક ધારને તેની સાથે શિરોબિંદુની ઘટનાને આવરી લેવા માટે કહેવામાં આવે છે).

આમ, લઘુચિત્રો ( n-1)મો ક્રમ n-પરિમાણીય ક્યુબની કિનારીઓને અનુલક્ષે છે.

તેવી જ રીતે, મિનિટર્મ્સનો પત્રવ્યવહાર ( n-2)મા ક્રમના ચહેરાઓ n-પરિમાણીય સમઘન, જેમાંથી દરેક ચાર શિરોબિંદુઓ (અને ચાર ધાર) આવરી લે છે.

તત્વો n-પરિમાણીય સમઘન, દ્વારા લાક્ષણિકતા એસમાપન કહેવાય છે એસ-ક્યુબ્સ

તેથી શિરોબિંદુઓ 0-ક્યુબ્સ છે, કિનારીઓ 1-ક્યુબ્સ છે, ચહેરા 2-ક્યુબ્સ છે, વગેરે.

સારાંશ માટે, આપણે કહી શકીએ કે લઘુત્તમ ( n-એસ) કાર્ય માટે DNF માં રેન્ક nચલો પ્રદર્શિત થાય છે એસ-એક સમઘન, દરેક એસ-ક્યુબ નીચલા પરિમાણના તે બધા સમઘનને આવરી લે છે જે ફક્ત તેના શિરોબિંદુઓ સાથે જોડાયેલા છે.

ઉદાહરણ. ફિગ માં. મેપિંગ આપ્યું છે

અહીં મિનિટર્મ્સ છે
અને
1-ક્યુબ્સને અનુરૂપ ( એસ=3-2=1), અને લઘુત્તમ એક્સ 3 2-ક્યુબ્સમાં પ્રદર્શિત ( એસ=3-1=2).

તેથી, કોઈપણ DNF સાથે મેપ થયેલ છે n-કુલ પરિમાણીય સમઘન એસ-સઘન કે જે ઘટક એકમો (0-ક્યુબ) ને અનુરૂપ તમામ શિરોબિંદુઓને આવરી લે છે.

ઘટકો. ચલો માટે એક્સ 1 ,એક્સ 2 ,…એક્સ nઅભિવ્યક્તિ
એકમના ઘટક કહેવાય છે, અને
- શૂન્યનો ઘટક ( ક્યાં તો , અથવા ).

એક (શૂન્ય) નો આ ઘટક ચલ મૂલ્યોના એક અનુરૂપ સમૂહ સાથે જ એક (શૂન્ય) માં ફેરવાય છે, જે પ્રાપ્ત થાય છે જો બધા ચલોને એક (શૂન્ય) ની બરાબર લેવામાં આવે, અને તેમની નકારાત્મકતા શૂન્ય (એક) ની બરાબર હોય.

ઉદાહરણ તરીકે: ઘટક એકમ
સમૂહ (1011) ને અનુરૂપ છે, અને ઘટક શૂન્ય છે
- સેટ (1001).

SD(K)NF એ એક (શૂન્ય) ના ઘટકોનું વિભાજન (સંયોજન) હોવાથી, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે તે જે બુલિયન કાર્ય રજૂ કરે છે f(x 1 , x 2 ,…, x n) માત્ર ચલ મૂલ્યોના સેટ માટે એક (શૂન્ય) તરફ વળે છે x 1 , x 2 ,…, x n, આ copstitutes ને અનુરૂપ. અન્ય સેટ પર આ કાર્ય 0 (એક) માં ફેરવાય છે.

વિરુદ્ધ નિવેદન પણ સાચું છે, જેના પર તે આધારિત છે કોઈપણને રજૂ કરવાની રીતકોષ્ટક દ્વારા ઉલ્લેખિત બુલિયન કાર્ય.

આ કરવા માટે, એક (શૂન્ય) ના ઘટકોના વિભાજન (સંયોજન) લખવા જરૂરી છે, ચલોના મૂલ્યોના સેટને અનુરૂપ, જેના પર કાર્ય એક (શૂન્ય) ની બરાબર મૂલ્ય લે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, કોષ્ટક દ્વારા આપવામાં આવેલ કાર્ય

અનુરૂપ

પરિણામી અભિવ્યક્તિઓ તર્કશાસ્ત્રના બીજગણિતના ગુણધર્મોના આધારે બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે.

વાતચીતનું નિવેદન પણ સાચું છે: જો કેટલાક સંગ્રહ એસ-ક્યુબ્સ ફંક્શનના એકમ મૂલ્યોને અનુરૂપ તમામ શિરોબિંદુઓના સમૂહને આવરી લે છે, પછી આને અનુરૂપ વિભાજન એસ-મિનિટર્મ્સના ક્યુબ્સ એ DNF માં આ કાર્યની અભિવ્યક્તિ છે.

તેઓ કહે છે કે આવા સંગ્રહ એસ-ક્યુબ્સ (અથવા તેમના અનુરૂપ મિનિટર્મ્સ) ફંક્શનનું આવરણ બનાવે છે. ન્યૂનતમ સ્વરૂપની ઇચ્છાને આવા આવરણ, સંખ્યાની શોધ તરીકે સાહજિક રીતે સમજવામાં આવે છે એસ-જેમાંથી ઓછા ક્યુબ્સ અને તેમના પરિમાણો હશે એસ- વધુ. લઘુત્તમ સ્વરૂપને અનુરૂપ કવરેજને લઘુત્તમ કવરેજ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય માટે ખાતે=
કોટિંગ બિન-ન્યૂનતમ આકારને અનુરૂપ છે:

ચોખા a) ખાતે=,

ચોખા પર કોટિંગ b) ખાતે=
, ચોખા c) ખાતે=
ન્યૂનતમ

ચોખા. કાર્ય કવરેજ ખાતે=:

એ) બિન-ન્યૂનતમ; b), c) ન્યૂનતમ.

પર કાર્ય પ્રદર્શિત કરી રહ્યું છે n-પરિમાણીય રીતે સ્પષ્ટ અને સરળ રીતે n3. ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ચાર-પરિમાણીય સમઘનનું નિરૂપણ કરી શકાય છે, જે ચાર ચલોનું કાર્ય અને અભિવ્યક્તિને અનુરૂપ તેનું લઘુત્તમ કવરેજ દર્શાવે છે. ખાતે=

જ્યારે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો n>4 ને આવા જટિલ બાંધકામોની જરૂર છે કે તે તેના તમામ ફાયદા ગુમાવે છે.

એકીકરણ અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય.
અનિશ્ચિત ગુણાંક પદ્ધતિ

અમે અપૂર્ણાંકને એકીકૃત કરવા પર કામ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. આપણે પાઠમાં અમુક પ્રકારનાં અપૂર્ણાંકોના અભિન્ન ભાગોને પહેલેથી જ જોયા છે, અને અમુક અર્થમાં આ પાઠને ચાલુ ગણી શકાય. સામગ્રીને સફળતાપૂર્વક સમજવા માટે, મૂળભૂત એકીકરણ કૌશલ્ય જરૂરી છે, તેથી જો તમે હમણાં જ ઇન્ટિગ્રલ્સનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કર્યું છે, એટલે કે, તમે શિખાઉ છો, તો તમારે લેખ સાથે પ્રારંભ કરવાની જરૂર છે. અનિશ્ચિત અભિન્ન. ઉકેલોના ઉદાહરણો.

વિચિત્ર રીતે, હવે આપણે અવિભાજ્ય શોધવામાં એટલા વ્યસ્ત રહીશું નહીં, પરંતુ... સિસ્ટમો ઉકેલવામાં રેખીય સમીકરણો. આ સંદર્ભે તાત્કાલિકહું પાઠમાં હાજરી આપવાની ભલામણ કરું છું, એટલે કે, તમારે અવેજી પદ્ધતિઓ ("શાળા" પદ્ધતિ અને સિસ્ટમ સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશન (બાદબાકી)ની પદ્ધતિમાં સારી રીતે વાકેફ હોવું જરૂરી છે.

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય શું છે? સાદા શબ્દોમાં, અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્ય એ એક અપૂર્ણાંક છે જેના અંશ અને છેદમાં બહુપદી અથવા બહુપદીના ઉત્પાદનો હોય છે. તદુપરાંત, અપૂર્ણાંકો લેખમાં ચર્ચા કરાયેલ કરતાં વધુ વ્યવહારદક્ષ છે કેટલાક અપૂર્ણાંક એકીકૃત.

યોગ્ય અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યને એકીકૃત કરવું

તરત જ એક ઉદાહરણ અને પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમનોઅપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના અભિન્ન ઉકેલો.

ઉદાહરણ 1

પગલું 1.અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના અવિભાજ્યને હલ કરતી વખતે આપણે હંમેશા જે કરીએ છીએ તે પ્રથમ વસ્તુ શોધવાનું છે આગામી પ્રશ્ન: શું અપૂર્ણાંક યોગ્ય છે? આ પગલુંમૌખિક રીતે કરવામાં આવે છે, અને હવે હું સમજાવીશ કે કેવી રીતે:

પહેલા આપણે અંશને જોઈએ અને શોધી કાઢીએ વરિષ્ઠ ડિગ્રીબહુપદી

અંશની અગ્રણી શક્તિ બે છે.

હવે આપણે છેદ જોઈએ અને શોધીએ વરિષ્ઠ ડિગ્રીછેદ સ્પષ્ટ માર્ગ કૌંસ ખોલવા અને લાવવા છે સમાન શરતો, પરંતુ તમે તેને સરળ રીતે કરી શકો છો દરેકકૌંસમાં ઉચ્ચતમ ડિગ્રી શોધો

અને માનસિક રીતે ગુણાકાર કરો: - આમ, છેદની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી ત્રણ જેટલી છે. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે જો આપણે ખરેખર કૌંસ ખોલીએ, તો આપણને ત્રણ કરતા વધારે ડિગ્રી મળશે નહીં.

નિષ્કર્ષ: અંશની મુખ્ય ડિગ્રી કડકાઈથીછેદની સર્વોચ્ચ શક્તિ કરતાં ઓછી છે, જેનો અર્થ છે કે અપૂર્ણાંક યોગ્ય છે.

જો માં આ ઉદાહરણમાંઅંશમાં બહુપદી 3, 4, 5, વગેરે શામેલ છે. ડિગ્રી, પછી અપૂર્ણાંક હશે ખોટું.

હવે આપણે ફક્ત સાચા અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈશું. જ્યારે પાઠના અંતે અંશની ડિગ્રી છેદની ડિગ્રી કરતા વધારે અથવા સમાન હોય ત્યારે અમે કેસની તપાસ કરીશું.

પગલું 2.ચાલો છેદનું અવયવીકરણ કરીએ. ચાલો આપણા છેદને જોઈએ:

સામાન્ય રીતે કહીએ તો, આ પહેલેથી જ પરિબળોનું ઉત્પાદન છે, પરંતુ, તેમ છતાં, આપણે આપણી જાતને પૂછીએ છીએ: શું બીજું કંઈક વિસ્તૃત કરવું શક્ય છે? ત્રાસનો ઉદ્દેશ નિઃશંકપણે ચોરસ ત્રિપદી હશે. ચાલો નક્કી કરીએ ચતુર્ભુજ સમીકરણ:

ભેદભાવ કરનાર શૂન્ય કરતાં વધુ, જેનો અર્થ છે કે ત્રિનોમી ખરેખર પરિબળ બની શકે છે:

સામાન્ય નિયમ: દરેક વસ્તુ જે છેદમાં પરિબળ કરી શકાય છે - અમે તેને પરિબળ કરીએ છીએ

ચાલો ઉકેલો ઘડવાનું શરૂ કરીએ:

પગલું 3.અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે એકીકરણને સરળ (પ્રાથમિક) અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં વિસ્તૃત કરીએ છીએ. હવે તે વધુ સ્પષ્ટ થશે.

ચાલો આપણા ઇન્ટિગ્રન્ડ ફંક્શનને જોઈએ:

અને, તમે જાણો છો, કોઈક રીતે એક સાહજિક વિચાર પૉપ અપ થાય છે કે આપણું હોવું સરસ રહેશે મોટો અપૂર્ણાંકઘણા નાનામાં ફેરવો. ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ:

પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે શું આવું કરવું પણ શક્ય છે? ચાલો રાહતનો શ્વાસ લઈએ, અનુરૂપ પ્રમેય ગાણિતિક વિશ્લેષણભારપૂર્વક જણાવે છે - તે શક્ય છે. આવા વિઘટન અસ્તિત્વમાં છે અને અનન્ય છે.

ત્યાં માત્ર એક કેચ છે, મતભેદ છે બાયઅમે જાણતા નથી, તેથી નામ - અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ.

જેમ તમે અનુમાન લગાવ્યું છે, અનુગામી શરીરની હિલચાલ તે જેવી છે, કેકલ કરશો નહીં! તેઓ શું સમાન છે તે શોધવા માટે - ફક્ત તેમને ઓળખવાનો હેતુ હશે.

સાવચેત રહો, હું ફક્ત એક જ વાર વિગતવાર સમજાવીશ!

તો, ચાલો નાચવાનું શરૂ કરીએ:

ડાબી બાજુએ આપણે અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડીએ છીએ:

હવે આપણે સંપ્રદાયોથી સુરક્ષિત રીતે છુટકારો મેળવી શકીએ છીએ (કારણ કે તેઓ સમાન છે):

ડાબી બાજુએ આપણે કૌંસ ખોલીએ છીએ, પરંતુ હમણાં માટે અજાણ્યા ગુણાંકને સ્પર્શ કરશો નહીં:

તે જ સમયે, અમે બહુપદીના ગુણાકારના શાળા નિયમનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ. જ્યારે હું શિક્ષક હતો, ત્યારે મેં આ નિયમને સીધા ચહેરા સાથે ઉચ્ચારવાનું શીખ્યા: બહુપદીને બહુપદી વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે એક બહુપદીના દરેક પદને અન્ય બહુપદીના પ્રત્યેક પદ વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે..

દૃષ્ટિકોણથી સ્પષ્ટ સમજૂતીગુણાંકને કૌંસમાં મૂકવું વધુ સારું છે (જોકે સમય બચાવવા માટે હું વ્યક્તિગત રીતે આવું ક્યારેય કરતો નથી):

અમે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ.
પહેલા આપણે વરિષ્ઠ ડિગ્રીઓ જોઈએ છીએ:

અને અમે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં અનુરૂપ ગુણાંક લખીએ છીએ:

નીચેના મુદ્દાને સારી રીતે યાદ રાખો. જો જમણી બાજુએ s ના હોત તો શું થશે? ચાલો કહીએ કે, શું તે કોઈ ચોરસ વગર જ બતાવશે? આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમના સમીકરણમાં જમણી બાજુએ શૂન્ય મૂકવું જરૂરી રહેશે: . શૂન્ય કેમ? પરંતુ કારણ કે જમણી બાજુએ તમે હંમેશા આ જ ચોરસને શૂન્ય સાથે અસાઇન કરી શકો છો: જો જમણી બાજુએ કોઈ ચલો ન હોય અને/અથવા મફત સભ્ય, પછી આપણે સિસ્ટમના અનુરૂપ સમીકરણોની જમણી બાજુએ શૂન્ય મૂકીએ છીએ.

અમે સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં અનુરૂપ ગુણાંક લખીએ છીએ:

અને છેલ્લે, ખનિજ જળ, અમે મફત સભ્યો પસંદ કરીએ છીએ.

અરે... હું મજાક કરતો હતો. જોક્સ બાજુ પર રાખો - ગણિત એ ગંભીર વિજ્ઞાન છે. અમારા ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ગ્રૂપમાં, જ્યારે મદદનીશ પ્રોફેસરે કહ્યું કે તે સંખ્યારેખા સાથે શબ્દોને વેરવિખેર કરશે અને સૌથી મોટી પસંદ કરશે ત્યારે કોઈ હસ્યું નહીં. ચાલો ગંભીર થઈએ. જો કે... જે પણ આ પાઠનો અંત જોવા માટે જીવે છે તે હજુ પણ શાંતિથી સ્મિત કરશે.

સિસ્ટમ તૈયાર છે:

અમે સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ:

(1) પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે તેને સિસ્ટમના 2જા અને 3જા સમીકરણમાં વ્યક્ત અને બદલીએ છીએ. હકીકતમાં, અન્ય સમીકરણમાંથી (અથવા અન્ય અક્ષર) વ્યક્ત કરવું શક્ય હતું, પરંતુ માં આ કિસ્સામાં 1લા સમીકરણમાંથી સ્પષ્ટપણે વ્યક્ત કરવું ફાયદાકારક છે, કારણ કે ત્યાંથી સૌથી નાના મતભેદ.

(2) અમે 2જી અને 3જી સમીકરણોમાં સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ છીએ.

(3) અમે 2જી અને 3જી સમીકરણ શબ્દને ટર્મ દ્વારા ઉમેરીએ છીએ, સમાનતા મેળવીએ છીએ, જેમાંથી તે અનુસરે છે

(4) આપણે બીજા (અથવા ત્રીજા) સમીકરણમાં બદલીએ છીએ, જ્યાંથી આપણને તે મળે છે

(5) અવેજી કરો અને પ્રથમ સમીકરણમાં મેળવો.

જો તમને સિસ્ટમ ઉકેલવાની પદ્ધતિઓમાં કોઈ મુશ્કેલીઓ હોય, તો વર્ગમાં તેનો અભ્યાસ કરો. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી?

સિસ્ટમ ઉકેલ્યા પછી, તે હંમેશા તપાસવા માટે ઉપયોગી છે - મળેલ મૂલ્યોને બદલો દરેકસિસ્ટમનું સમીકરણ, પરિણામે બધું "કન્વર્જ" થવું જોઈએ.

લગભગ ત્યાં છે. ગુણાંક મળી આવ્યા હતા, અને:

સમાપ્ત થયેલ કાર્ય આના જેવું કંઈક દેખાવું જોઈએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, કાર્યની મુખ્ય મુશ્કેલી એ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કંપોઝ (યોગ્ય રીતે!) અને ઉકેલ (યોગ્ય રીતે!) હતી. અને અંતિમ તબક્કે બધું એટલું મુશ્કેલ નથી: અમે રેખીયતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અનિશ્ચિત અભિન્નઅને એકીકૃત. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે દરેક ત્રણ અવિભાજ્ય હેઠળ અમારી પાસે "ફ્રી" છે જટિલ કાર્ય, મેં વર્ગમાં તેના એકીકરણની વિશેષતાઓ વિશે વાત કરી અનિશ્ચિત અભિન્નમાં ચલ પરિવર્તન પદ્ધતિ.

તપાસો: જવાબમાં તફાવત કરો:

મૂળ સંકલન કાર્ય પ્રાપ્ત થયું છે, જેનો અર્થ છે કે પૂર્ણાંક યોગ્ય રીતે મળી આવ્યો છે.
ચકાસણી દરમિયાન, અમારે અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવાની હતી, અને આ આકસ્મિક નથી. અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ અને અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવા એ પરસ્પર વિપરીત ક્રિયાઓ છે.

ઉદાહરણ 2

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો.

ચાલો પ્રથમ ઉદાહરણમાંથી અપૂર્ણાંક પર પાછા આવીએ: . એ નોંધવું સહેલું છે કે છેદમાં તમામ પરિબળો અલગ-અલગ છે. પ્રશ્ન ઊભો થાય છે, જો, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેનો અપૂર્ણાંક આપવામાં આવે તો શું કરવું: ? અહીં આપણી પાસે છેદમાં ડિગ્રી છે, અથવા, ગાણિતિક રીતે, ગુણાંક. વધુમાં, ત્યાં એક ચતુર્ભુજ ત્રિપદી છે જેને પરિબળ બનાવી શકાતું નથી (તે ચકાસવું સરળ છે કે સમીકરણનો ભેદભાવ ઋણાત્મક છે, તેથી ત્રિનોમીનું પરિબળ બનાવી શકાતું નથી). શું કરવું? પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના સરવાળામાં વિસ્તરણ કંઈક આના જેવું દેખાશે ટોચ પર અજાણ્યા ગુણાંક સાથે અથવા બીજું કંઈક?

ઉદાહરણ 3

કાર્યનો પરિચય આપો

પગલું 1.અમારી પાસે યોગ્ય અપૂર્ણાંક છે કે કેમ તે તપાસી રહ્યાં છીએ
મુખ્ય અંશ: 2
છેદની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી: 8
, જેનો અર્થ છે અપૂર્ણાંક સાચો છે.

પગલું 2.શું છેદમાં કંઈક પરિબળ કરવું શક્ય છે? દેખીતી રીતે નથી, બધું પહેલેથી જ નાખ્યો છે. સ્ક્વેર ત્રિપદીઉપર જણાવેલ કારણોસર કામમાં વિઘટન થતું નથી. હૂડ. ઓછું કામ.

પગલું 3.ચાલો પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યની કલ્પના કરીએ.
આ કિસ્સામાં, વિસ્તરણ નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે:

ચાલો આપણા છેદને જોઈએ:
અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યને પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં વિઘટન કરતી વખતે, ત્રણ મૂળભૂત મુદ્દાઓને ઓળખી શકાય છે:

1) જો છેદમાં પ્રથમ શક્તિ (અમારા કિસ્સામાં) માટે "એકલા" પરિબળ હોય, તો અમે ટોચ પર એક અનિશ્ચિત ગુણાંક મૂકીએ છીએ (અમારા કિસ્સામાં). ઉદાહરણો નંબર 1, 2 માં ફક્ત આવા "એકલા" પરિબળોનો સમાવેશ થાય છે.

2) જો છેદ હોય બહુવિધગુણક, પછી તમારે તેને આ રીતે વિઘટન કરવાની જરૂર છે:
- એટલે કે, અનુક્રમે પ્રથમથી nમી ડિગ્રી સુધી "X" ની બધી ડિગ્રીઓમાંથી પસાર થાઓ. અમારા ઉદાહરણમાં બે બહુવિધ પરિબળો છે: અને, મેં આપેલા વિસ્તરણ પર બીજી નજર નાખો અને ખાતરી કરો કે તેઓ આ નિયમ અનુસાર બરાબર વિસ્તરણ કરે છે.

3) જો છેદમાં બીજી ડિગ્રી (અમારા કિસ્સામાં) ના અવિભાજ્ય બહુપદી હોય, તો જ્યારે અંશમાં વિઘટન થાય ત્યારે તમારે લખવાની જરૂર છે રેખીય કાર્યઅનિશ્ચિત ગુણાંક સાથે (અમારા કિસ્સામાં અનિશ્ચિત ગુણાંક અને ).

હકીકતમાં, બીજો 4થો કેસ છે, પરંતુ હું તેના વિશે મૌન રાખીશ, કારણ કે વ્યવહારમાં તે અત્યંત દુર્લભ છે.

ઉદાહરણ 4

કાર્યનો પરિચય આપો અજાણ્યા ગુણાંક સાથે પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. સંપૂર્ણ ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ.
સખત રીતે અલ્ગોરિધમનો અનુસરો!

જો તમે સિદ્ધાંતોને સમજો છો કે જેના દ્વારા તમારે અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યને સરવાળામાં વિસ્તૃત કરવાની જરૂર છે, તો તમે વિચારણા હેઠળના પ્રકારના લગભગ કોઈપણ અભિન્ન ભાગને ચાવી શકો છો.

ઉદાહરણ 5

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો.

પગલું 1.દેખીતી રીતે અપૂર્ણાંક સાચો છે:

પગલું 2.શું છેદમાં કંઈક પરિબળ કરવું શક્ય છે? કરી શકે છે. અહીં સમઘનનો સરવાળો છે . સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને છેદને અવયવિત કરો

પગલું 3.અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે પ્રારંભિક અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં એકીકરણને વિસ્તૃત કરીએ છીએ:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બહુપદીને પરિબળ બનાવી શકાતું નથી (તપાસો કે ભેદભાવ નકારાત્મક છે), તેથી ટોચ પર અમે અજ્ઞાત ગુણાંક સાથે રેખીય કાર્ય મૂકીએ છીએ, અને માત્ર એક અક્ષર નહીં.

અમે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ છીએ:

ચાલો સિસ્ટમ કંપોઝ અને હલ કરીએ:

(1) અમે પ્રથમ સમીકરણમાંથી વ્યક્ત કરીએ છીએ અને તેને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ (આ સૌથી તર્કસંગત રીત છે).

(2) અમે બીજા સમીકરણમાં સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ છીએ.

(3) અમે ટર્મ દ્વારા સિસ્ટમ ટર્મના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણો ઉમેરીએ છીએ.

આગળની બધી ગણતરીઓ, સૈદ્ધાંતિક રીતે, મૌખિક છે, કારણ કે સિસ્ટમ સરળ છે.

(1) અમે મળેલા ગુણાંક અનુસાર અપૂર્ણાંકનો સરવાળો લખીએ છીએ.

(2) અમે અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકના રેખીયતા ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. બીજા અભિન્નમાં શું થયું? તમે પાઠના છેલ્લા ફકરામાં આ પદ્ધતિથી પોતાને પરિચિત કરી શકો છો. કેટલાક અપૂર્ણાંક એકીકૃત.

(3) ફરી એકવાર આપણે રેખીયતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ત્રીજા અભિન્નમાં આપણે અલગ થવાનું શરૂ કરીએ છીએ સંપૂર્ણ ચોરસ(પાઠનો અંતિમ ફકરો કેટલાક અપૂર્ણાંક એકીકૃત).

(4) આપણે બીજું અભિન્ન લઈએ છીએ, ત્રીજામાં આપણે સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ છીએ.

(5) ત્રીજો અભિન્ન લો. તૈયાર છે.

આ સેવા ફોર્મના અપૂર્ણાંકને વિઘટિત કરવા માટે રચાયેલ છે:

સરળ અપૂર્ણાંકોના સરવાળા માટે. આ સેવા ઇન્ટિગ્રલ્સ ઉકેલવા માટે ઉપયોગી થશે. ઉદાહરણ જુઓ.

સૂચનાઓ. અપૂર્ણાંકનો અંશ અને છેદ દાખલ કરો. ઉકેલ બટન પર ક્લિક કરો.

ફંક્શન દાખલ કરવા માટેના નિયમો

ફંક્શન દાખલ કરવા માટેના નિયમો

અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ માટે અલ્ગોરિધમ

1. છેદ ફેક્ટરિંગ.
2. અનિર્ધારિત ગુણાંક સાથેના સરળ અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે અપૂર્ણાંકનું વિઘટન.
3. x ની સમાન શક્તિઓ સાથે અંશનું જૂથ બનાવવું.
4. અજ્ઞાત તરીકે અનિશ્ચિત ગુણાંક સાથે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવવી.
5. SLAE નો ઉકેલ: ક્રેમર પદ્ધતિ, ગૌસ પદ્ધતિ, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અથવા અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિ.

ઉદાહરણ. અમે સૌથી સરળમાં વિઘટનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ચાલો ફંક્શનને તેના સરળ શબ્દોમાં તોડીએ:


ચાલો અંશની સમાનતા કરીએ અને ધ્યાનમાં લઈએ કે ગુણાંક સમાન શક્તિઓ પર છે એક્સ, ડાબી અને જમણી બાજુએ ઊભા રહેવું મેચ થવું જોઈએ
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A -2B + C + 4D = 0
તેને હલ કરીને, અમે શોધીએ છીએ:
A = 1/16 ;B = - 1/9 ;C = - 5/12 ;D = 7/144 ;