જ્યારે વિશ્લેષણ વિવિધતા શ્રેણીવિતરણ મહાન મૂલ્યકેટલી છે પ્રયોગમૂલક વિતરણસાઇન અનુલક્ષે છે સામાન્ય. આ કરવા માટે, વાસ્તવિક વિતરણની ફ્રીક્વન્સીની તુલના સૈદ્ધાંતિક સાથે કરવી જોઈએ, જે સામાન્ય વિતરણની લાક્ષણિકતા છે. આનો અર્થ એ છે કે, વાસ્તવિક ડેટાના આધારે, સામાન્ય વિતરણ વળાંકની સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝની ગણતરી કરવી જરૂરી છે, જે સામાન્યકૃત વિચલનોનું કાર્ય છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રયોગમૂલક વિતરણ વળાંકને સામાન્ય વિતરણ વળાંક સાથે સંરેખિત કરવાની જરૂર છે.

પાલનની ઉદ્દેશ્ય લાક્ષણિકતાઓ સૈદ્ધાંતિકઅને પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝખાસ ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે આંકડાકીય સૂચકાંકોજેને કહેવામાં આવે છે સંમતિ માપદંડ.

કરાર માપદંડએક માપદંડ કહેવાય છે જે તમને વિસંગતતા છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપે છે પ્રયોગમૂલકઅને સૈદ્ધાંતિકવિતરણો અવ્યવસ્થિત અથવા નોંધપાત્ર છે, એટલે કે શું અવલોકનાત્મક માહિતી આંકડાકીય પૂર્વધારણા સાથે સંમત છે અથવા સંમત નથી. વિતરણ વસ્તી, જે તેને આગળ મૂકવામાં આવેલી પૂર્વધારણાને કારણે છે, તેને સૈદ્ધાંતિક કહેવામાં આવે છે.

ઇન્સ્ટોલ કરવાની જરૂર છે માપદંડ(નિયમ) જે કોઈને એ નક્કી કરવા દે છે કે શું પ્રયોગમૂલક અને વચ્ચે વિસંગતતા છે સૈદ્ધાંતિક વિતરણોરેન્ડમ અથવા નોંધપાત્ર. જો વિસંગતતા બહાર આવે છે રેન્ડમ, પછી તેઓ માને છે કે નિરીક્ષણ ડેટા (નમૂનો) સામાન્ય વસ્તીના વિતરણ કાયદા વિશે આગળ મૂકવામાં આવેલી પૂર્વધારણા સાથે સુસંગત છે અને તેથી, પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે; જો વિસંગતતા બહાર આવે છે નોંધપાત્ર, પછી અવલોકન ડેટા પૂર્વધારણા સાથે સહમત નથી અને તેને નકારવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝ અલગ પડે છે કારણ કે:

• વિસંગતતા રેન્ડમ અને કારણે છે મર્યાદિત જથ્થોઅવલોકનો
• વિસંગતતા રેન્ડમ નથી અને તે હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે કે આંકડાકીય પૂર્વધારણા કે વસ્તી સામાન્ય રીતે વહેંચવામાં આવે છે તે ભૂલભરેલી છે.

આમ, સંમતિ માપદંડપ્રયોગમૂલક શ્રેણીમાં વિતરણની પ્રકૃતિ વિશેની શ્રેણીને સંરેખિત કરતી વખતે આગળ મૂકવામાં આવેલી પૂર્વધારણાની સાચીતાને નકારવા અથવા પુષ્ટિ કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

પ્રયોગમૂલક આવર્તનનિરીક્ષણના પરિણામે પ્રાપ્ત થાય છે. સૈદ્ધાંતિક આવર્તનસૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી.

માટે સામાન્ય વિતરણ કાયદોતેઓ નીચે પ્રમાણે શોધી શકાય છે:

• Σƒ હું - સંચિત (સંચિત) પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝનો સરવાળો
• h - બે પડોશી વિકલ્પો વચ્ચેનો તફાવત
• σ - નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન
• t–સામાન્ય (પ્રમાણભૂત) વિચલન
• φ(t)-સામાન્ય વિતરણની સંભાવના ઘનતા કાર્ય (t ના અનુરૂપ મૂલ્ય માટે જોવા મળે છે)

ત્યાં ઘણી સારી-સુખ-યોગ્ય કસોટીઓ છે, જેમાંથી સૌથી સામાન્ય છે: ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટ (પિયર્સન), કોલમોગોરોવ ટેસ્ટ, રોમનવોસ્કી ટેસ્ટ.

પીયર્સનની સારીતા-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટ χ 2– મુખ્ય પૈકી એક, જેને સૈદ્ધાંતિક (f T) અને પ્રયોગમૂલક (f) ફ્રીક્વન્સી અને સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝ વચ્ચેના તફાવતોના વર્ગોના ગુણોત્તરના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

• k એ જૂથોની સંખ્યા છે જેમાં પ્રયોગમૂલક વિતરણ વિભાજિત થયેલ છે,
• f i I-th જૂથમાં લક્ષણની અવલોકન કરેલ આવર્તન,
• f ટી - સૈદ્ધાંતિક આવર્તન.

χ 2 વિતરણ માટે, કોષ્ટકોનું સંકલન કરવામાં આવ્યું છે જે પસંદ કરેલ મહત્વના સ્તર α અને સ્વતંત્રતા df (અથવા ν) ની ડિગ્રી માટે χ 2 સારીતા-ઓફ-ફિટ માપદંડનું નિર્ણાયક મૂલ્ય સૂચવે છે.
મહત્વ સ્તર α એ સૂચિત પૂર્વધારણાને ભૂલથી નકારી કાઢવાની સંભાવના છે, એટલે કે. સાચી પૂર્વધારણા નકારવામાં આવશે તેવી સંભાવના. આર - આંકડાકીય મહત્વ દત્તક સાચી પૂર્વધારણા. આંકડાઓમાં, મહત્વના ત્રણ સ્તરોનો મોટાભાગે ઉપયોગ થાય છે:

α=0.10, પછી P=0.90 (100 માંથી 10 કેસમાં)

α=0.05, પછી P=0.95 (100 માંથી 5 કેસમાં)

α=0.01, પછી P=0.99 (100 માંથી 1 કિસ્સામાં) સાચી પૂર્વધારણાને નકારી શકાય છે

સ્વતંત્રતા df ની ડિગ્રીની સંખ્યાને વિતરણ શ્રેણીમાં જૂથોની સંખ્યાને બાદ કરતાં જોડાણોની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: df = k –z. જોડાણોની સંખ્યાને સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝની ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લેવાતી પ્રયોગમૂલક શ્રેણીના સૂચકોની સંખ્યા તરીકે સમજવામાં આવે છે, એટલે કે. પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝને જોડતા સૂચકાંકો.ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ઘંટડી વળાંક સાથે સંરેખિત થાય છે, ત્યારે ત્રણ સંબંધો હોય છે.તેથી, જ્યારે દ્વારા સંરેખિતઘંટડી વળાંકસ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યાને df =k–3 તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.મહત્વનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે, ગણતરી કરેલ મૂલ્યની સરખામણી કોષ્ટક χ સાથે કરવામાં આવે છે 2 કોષ્ટકો

સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક વિતરણના સંપૂર્ણ સંયોગ સાથે χ 2 =0, અન્યથા χ 2 >0. જો χ 2 calc > χ 2 ટેબ , તો પછી આપેલ મહત્વના સ્તર અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા માટે, અમે વિસંગતતાઓની તુચ્છતા (રેન્ડમનેસ) વિશેની પૂર્વધારણાને નકારીએ છીએ.જો χ 2 ની ગણતરી કરવામાં આવે< χ 2 табл то અમે પૂર્વધારણા સ્વીકારીએ છીએ અને P = (1-α) સંભાવના સાથે એવી દલીલ કરી શકાય છે કે સૈદ્ધાંતિક અને વચ્ચેની વિસંગતતા પ્રયોગમૂલક આવર્તનઆકસ્મિક રીતે તેથી, એવું કહેવાનું કારણ છે કે પ્રયોગમૂલક વિતરણનું પાલન કરે છે સામાન્ય વિતરણ. જો વસ્તીનું કદ પૂરતું મોટું હોય (N>50), અને દરેક જૂથની આવર્તન ઓછામાં ઓછી 5 હોવી જોઈએ, તો પીયર્સનની ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટનો ઉપયોગ થાય છે.

સંચિત પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક આવર્તન વચ્ચે મહત્તમ વિસંગતતા નક્કી કરવાના આધારે:

જ્યાં અનુક્રમે D અને d છે, સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝ અને પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક વિતરણોની સંચિત ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેનો મહત્તમ તફાવત.
કોલમોગોરોવ આંકડાઓના વિતરણ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, સંભાવના નક્કી કરવામાં આવે છે, જે 0 થી 1 સુધી બદલાઈ શકે છે. જ્યારે P(λ) = 1, ત્યાં ફ્રીક્વન્સીઝનો સંપૂર્ણ સંયોગ હોય છે, P(λ) = 0 - સંપૂર્ણ વિસંગતતા. જો મળેલ મૂલ્ય λ ના સંબંધમાં સંભાવના મૂલ્ય P નોંધપાત્ર છે, તો પછી આપણે ધારી શકીએ કે સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક વિતરણો વચ્ચેની વિસંગતતાઓ નજીવી છે, એટલે કે, તે રેન્ડમ છે.
કોલમોગોરોવ માપદંડનો ઉપયોગ કરવાની મુખ્ય શરત એ છે કે મોટી સંખ્યામાંઅવલોકનો

કોલ્મોગોરોવ-ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટ

ચાલો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે કોલ્મોગોરોવ માપદંડ (λ) ક્યારે લાગુ થાય છે સામાન્ય વિતરણની પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણસામાન્ય વસ્તી.ઘંટડી વળાંક સાથે વાસ્તવિક વિતરણને સંરેખિત કરવામાં ઘણા પગલાંઓ શામેલ છે:

1. વાસ્તવિક અને સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીની સરખામણી કરો.
2. વાસ્તવિક ડેટાના આધારે, સામાન્ય વિતરણ વળાંકની સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝ, જે સામાન્યકૃત વિચલનનું કાર્ય છે, તે નક્કી કરવામાં આવે છે.
3. તેઓ તપાસ કરે છે કે લાક્ષણિકતાનું વિતરણ સામાન્ય સાથે કેટલી હદે અનુરૂપ છે.

માટેIVકોષ્ટક કૉલમ:

MS Excel માં, નોર્મલાઇઝેશન ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને સામાન્યકૃત વિચલન (t) ની ગણતરી કરવામાં આવે છે. વિકલ્પોની સંખ્યા દ્વારા મફત કોષોની શ્રેણી પસંદ કરવી જરૂરી છે (પંક્તિઓ સ્પ્રેડશીટ). પસંદગીને દૂર કર્યા વિના, NORMALIZE ફંક્શનને કૉલ કરો. દેખાતા સંવાદ બોક્સમાં, નીચેના કોષો સૂચવો, જેમાં અનુક્રમે, અવલોકન કરેલ મૂલ્યો (X i), સરેરાશ (X) અને પ્રમાણભૂત વિચલન Ϭ હોય છે. ઓપરેશન પૂર્ણ કરવું આવશ્યક છે એક સાથે Ctrl+Shift+Enter દબાવીને

માટેવીકોષ્ટક કૉલમ:

સામાન્ય વિતરણ φ(t) નું સંભવિત ઘનતા કાર્ય સામાન્યકૃત વિચલન (t) ના અનુરૂપ મૂલ્ય માટે સ્થાનિક લેપ્લેસ કાર્યના મૂલ્યોના કોષ્ટકમાંથી જોવા મળે છે.

માટેVIકોષ્ટક કૉલમ:

કોલમોગોરોવ ગુડનેસ-ઓફ-ફીટ ટેસ્ટ (λ)મોડ્યુલને વિભાજીત કરીને નક્કી કરવામાં આવે છેમહત્તમ તફાવતઅવલોકનોની સંખ્યાના વર્ગમૂળ દ્વારા પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક સંચિત આવર્તન વચ્ચે:

કરાર માપદંડ λ માટે વિશિષ્ટ સંભાવના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, અમે નક્કી કરીએ છીએ કે મૂલ્ય λ = 0.59 એ 0.88 (λ) ની સંભાવનાને અનુરૂપ છે

પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝનું વિતરણ, સૈદ્ધાંતિક વિતરણની સંભાવના ઘનતા

નિરીક્ષણ કરેલ (અનુભાવિક) વિતરણ સૈદ્ધાંતિકને અનુરૂપ છે કે કેમ તે ચકાસવા માટે ગુડનેસ-ઓફ-ફીટ પરીક્ષણો લાગુ કરતી વખતે, વ્યક્તિએ પરીક્ષણ સરળ અને જટિલ પૂર્વધારણાઓ વચ્ચે તફાવત કરવો જોઈએ.

એક-નમૂના કોલમોગોરોવ-સ્મિરનોવ નોર્મલિટી ટેસ્ટ પર આધારિત છે મહત્તમ તફાવતસંચિત વચ્ચે પ્રયોગમૂલક વિતરણનમૂના અને ધારિત (સૈદ્ધાંતિક) સંચિત વિતરણ. જો કોલમોગોરોવ-સ્મિર્નોવ ડી આંકડા નોંધપાત્ર છે, તો અનુરૂપ વિતરણ સામાન્ય છે તેવી પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવી જોઈએ.

પણ જુઓ

રેન્ડમનેસ ચકાસવા અને બાહ્ય અવલોકનોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેના માપદંડો વ્યવહારમાં સાહિત્ય પરિચય આંકડાકીય વિશ્લેષણપ્રાયોગિક ડેટા, મુખ્ય રસ એ ચોક્કસ આંકડાઓની જ ગણતરી નથી, પરંતુ આ પ્રકારના પ્રશ્નોના જવાબો છે. તદનુસાર, પુટ ફોરવર્ડ ચકાસવા માટે ઘણા માપદંડો વિકસાવવામાં આવ્યા છે આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓ. આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરવા માટેના તમામ માપદંડો બે ભાગમાં વહેંચાયેલા છે મોટા જૂથો: પેરામેટ્રિક અને નોન-પેરામેટ્રિક.

જો આ કાર્ય તમને અનુકૂળ ન આવે, તો પૃષ્ઠના તળિયે સમાન કાર્યોની સૂચિ છે. તમે શોધ બટનનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો

ટેસ્ટ

સંમતિ માપદંડનો ઉપયોગ કરવો

પરિચય

સાહિત્ય

પરિચય

પ્રાયોગિક ડેટાના આંકડાકીય પૃથ્થકરણની પ્રેક્ટિસમાં, મુખ્ય રુચિ ચોક્કસ આંકડાઓની જ ગણતરીમાં નથી, પરંતુ આ પ્રકારના પ્રશ્નોના જવાબો છે. શું વસ્તીનો અર્થ ખરેખર ચોક્કસ સંખ્યાની બરાબર છે? શું સહસંબંધ ગુણાંક શૂન્યથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે? શું બે નમૂનાઓના તફાવતો સમાન છે? અને ચોક્કસ સંશોધન સમસ્યાના આધારે આવા ઘણા પ્રશ્નો ઉભા થઈ શકે છે. તદનુસાર, સૂચિત આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓને ચકાસવા માટે ઘણા માપદંડો વિકસાવવામાં આવ્યા છે. અમે કેટલાક સૌથી સામાન્ય મુદ્દાઓને ધ્યાનમાં લઈશું. આ મુખ્યત્વે અર્થ, ભિન્નતા, સહસંબંધ ગુણાંક અને વિપુલતા વિતરણ સાથે સંબંધિત હશે.

આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરવા માટેના તમામ માપદંડો બે મોટા જૂથોમાં વહેંચાયેલા છે: પેરામેટ્રિક અને નોન-પેરામેટ્રિક. પેરામેટ્રિક પરીક્ષણો એ ધારણા પર આધારિત છે કે નમૂનાનો ડેટા જાણીતા વિતરણ સાથેની વસ્તીમાંથી લેવામાં આવે છે, અને મુખ્ય કાર્ય આ વિતરણના પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવાનું છે. નોનપેરામેટ્રિક પરીક્ષણોને વિતરણની પ્રકૃતિ વિશે કોઈ ધારણાની જરૂર નથી, તે ધારણા સિવાય કે તે સતત છે.

ચાલો પહેલા જોઈએ પેરામેટ્રિક માપદંડ. પરીક્ષણ ક્રમમાં શૂન્ય પૂર્વધારણાની રચના અને વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા, કરવામાં આવનારી ધારણાઓની રચના, પરીક્ષણમાં ઉપયોગમાં લેવાતા નમૂનાના આંકડાઓનું નિર્ધારણ અને પરીક્ષણ કરવામાં આવતા આંકડાઓના નમૂના વિતરણની રચના, પસંદ કરેલ માપદંડ માટે નિર્ણાયક પ્રદેશોની ઓળખ અને નમૂનાના આંકડાઓ માટે વિશ્વાસ અંતરાલનું નિર્માણ.

1 અર્થ માટે યોગ્યતાના માપદંડ

ચકાસાયેલ પૂર્વધારણાને વસ્તી પરિમાણ હોવા દો. આવી તપાસની જરૂરિયાત ઊભી થઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેની પરિસ્થિતિમાં. ધારો કે, વ્યાપક સંશોધનના આધારે, અમુક નિશ્ચિત સ્થાનેથી કાંપમાં અશ્મિભૂત મોલસ્કના શેલનો વ્યાસ સ્થાપિત કરવામાં આવ્યો છે. ચાલો આપણે આપણા નિકાલ પર બીજા સ્થાને મળી આવેલા ચોક્કસ સંખ્યામાં શેલ પણ રાખીએ, અને અમે ધારણા કરીએ છીએ કે ચોક્કસ સ્થાન શેલના વ્યાસને અસર કરતું નથી, એટલે કે. કે એક સમયે નવી જગ્યાએ રહેતા મોલસ્કની સમગ્ર વસ્તી માટે શેલ વ્યાસનું સરેરાશ મૂલ્ય પ્રથમ નિવાસસ્થાનમાં આ પ્રકારના મોલસ્કનો અભ્યાસ કરતી વખતે અગાઉ પ્રાપ્ત થયેલા જાણીતા મૂલ્યની બરાબર છે.

જો આ જાણીતું મૂલ્યસમાન છે, પછી નલ પૂર્વધારણા અને વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે: ચાલો ધારીએ કે વિચારણા હેઠળની વસ્તીમાં ચલ x છે સામાન્ય વિતરણ, અને વસ્તી તફાવતની માત્રા અજ્ઞાત છે.

અમે આંકડાઓનો ઉપયોગ કરીને પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરીશું:

, (1)
નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન ક્યાં છે.

તે બતાવવામાં આવ્યું હતું કે જો સાચું હોય, તો અભિવ્યક્તિમાં t (1) સ્વતંત્રતાના n-1 ડિગ્રી સાથે વિદ્યાર્થી t-વિતરણ ધરાવે છે. જો આપણે મહત્વના સ્તર (સાચી પૂર્વધારણાને નકારવાની સંભાવના) સમાન પસંદ કરીએ, તો પછી જે ચર્ચા કરવામાં આવી હતી તે અનુસાર અગાઉનો પ્રકરણ, તમે =0 તપાસવા માટે નિર્ણાયક મૂલ્યો વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો.

IN આ કિસ્સામાં, કારણ કે વિદ્યાર્થી વિતરણ સપ્રમાણ છે, તો (1-) સ્વતંત્રતાના n-1 ડિગ્રી સાથે આ વિતરણના વળાંક હેઠળના વિસ્તારનો ભાગ પોઈન્ટ વચ્ચે સમાયેલ હશે અને, જે એકબીજા સાથે સમાન છે. સંપૂર્ણ મૂલ્ય. તેથી, બધા મૂલ્યો ઋણ કરતાં ઓછા છે અને સાથે ટી-વિતરણ માટે હકારાત્મક મૂલ્ય કરતાં વધુ છે આપેલ નંબરપસંદ કરેલા મહત્વના સ્તરે સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી નિર્ણાયક ક્ષેત્રની રચના કરશે. જો નમૂના ટી મૂલ્ય આ પ્રદેશમાં આવે છે, તો વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ for અગાઉ વર્ણવેલ પદ્ધતિ અનુસાર બાંધવામાં આવે છે અને નીચેના અભિવ્યક્તિ પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે

(2)

તેથી, ચાલો આપણા કિસ્સામાં જાણીએ કે અશ્મિભૂત મોલસ્કના શેલનો વ્યાસ 18.2 મીમી છે. અમારી પાસે અમારા નિકાલ પર 50 નવા મળેલા શેલના નમૂના હતા, જેના માટે mm, a = 2.18 mm. ચાલો તપાસીએ: =18.2 સામે આપણી પાસે છે

જો મહત્વ સ્તર પસંદ કરવામાં આવે તો = 0.05 નિર્ણાયક મૂલ્ય. તે અનુસરે છે કે તેને મહત્વના સ્તર = 0.05 પર તરફેણમાં નકારી શકાય છે. આમ, અમારા અનુમાનિત ઉદાહરણ માટે, તે કહી શકાય (કેટલીક સંભાવના સાથે, અલબત્ત) કે અશ્મિભૂત મોલસ્કના શેલનો વ્યાસ ચોક્કસ પ્રકારતેઓ જ્યાં રહેતા હતા તેના પર આધાર રાખે છે.

ટી-વિતરણ સપ્રમાણ છે તે હકીકતને કારણે, માત્ર હકારાત્મક મૂલ્યોઆ વિતરણની ટી પસંદગીના મહત્વના સ્તરો અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા પર. તદુપરાંત, માત્ર ટી મૂલ્યની જમણી બાજુના વિતરણ વળાંક હેઠળના વિસ્તારનો હિસ્સો જ નહીં, પણ તે જ સમયે -t મૂલ્યની ડાબી બાજુ પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરતી વખતે, આપણે આ વિચલનો મોટા અથવા નાના છે કે કેમ તે ધ્યાનમાં લીધા વિના, આપણે પોતાનામાં વિચલનોના મહત્વમાં રસ ધરાવીએ છીએ, એટલે કે. અમે તેની વિરુદ્ધ તપાસ કરીએ છીએ, વિરુદ્ધ નહીં: >a અથવા:

ચાલો હવે આપણા ઉદાહરણ પર પાછા ફરીએ. માટે 100(1-)% વિશ્વાસ અંતરાલ છે

18,92,01

ચાલો હવે જ્યારે બે સામાન્ય વસ્તીના માધ્યમની તુલના કરવી જરૂરી હોય ત્યારે કેસ પર વિચાર કરીએ. ચકાસાયેલ પૂર્વધારણા આના જેવો દેખાય છે: : =0, : 0. એવું પણ માનવામાં આવે છે કે તેનું સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વિતરણ છે, અને - સરેરાશ અને સમાન ભિન્નતા સાથેનું સામાન્ય વિતરણ. વધુમાં, અમે ધારીએ છીએ કે જે નમૂનાઓમાંથી સામાન્ય વસ્તી અંદાજવામાં આવે છે તે એક બીજાથી સ્વતંત્ર રીતે કાઢવામાં આવે છે અને અનુક્રમે વોલ્યુમ ધરાવે છે, અને નમૂનાઓની સ્વતંત્રતા પરથી તે અનુસરે છે કે જો આપણે તેમાંથી મોટી સંખ્યામાં લઈએ અને સરેરાશની ગણતરી કરીએ તો દરેક જોડી માટે મૂલ્યો, તો પછી સરેરાશની આ જોડીનો સમૂહ સંપૂર્ણપણે અસંબંધિત હશે.

નલ પૂર્વધારણા પરીક્ષણ આંકડાઓનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે

(3)

જ્યાં અને અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા નમૂના માટે વિચલન અંદાજ છે. તે જોવાનું સરળ છે કે (3) એ (1) નું સામાન્યીકરણ છે.

તે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે આંકડા (3) સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે વિદ્યાર્થી ટી-વિતરણ ધરાવે છે. જો અને સમાન હોય, એટલે કે. = = સૂત્ર (3) સરળ છે અને તેનું સ્વરૂપ છે

(4)

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો ધારીએ કે જ્યારે બે ઋતુઓમાં એક જ છોડની વસ્તીના સ્ટેમ પાંદડાને માપવામાં આવે છે, ત્યારે નીચેના પરિણામો પ્રાપ્ત થાય છે: અમે ધારીએ છીએ કે વિદ્યાર્થીની ટી-ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરવા માટેની શરતો, એટલે કે. વસ્તીની સામાન્યતા કે જેમાંથી નમૂનાઓ લેવામાં આવે છે, અજ્ઞાત અસ્તિત્વ પરંતુ આ વસ્તી માટે સમાન તફાવત, અને નમૂનાઓની સ્વતંત્રતા સંતુષ્ટ છે. ચાલો મહત્વના સ્તર = 0.01 પર અંદાજ લગાવીએ. અમારી પાસે છે

કોષ્ટક મૂલ્ય t = 2.58. તેથી, બે સિઝનમાં છોડની વસ્તી માટે સ્ટેમ લીફ લંબાઈના સરેરાશ મૂલ્યોની સમાનતા વિશેની પૂર્વધારણાને મહત્વના પસંદ કરેલા સ્તરે નકારી કાઢવી જોઈએ.

ધ્યાન આપો! ગાણિતિક આંકડાઓમાં શૂન્ય પૂર્વધારણા એ પૂર્વધારણા છે કે તુલનાત્મક સૂચકાંકો વચ્ચે કોઈ નોંધપાત્ર તફાવત નથી, પછી ભલે આપણે માધ્યમો, ભિન્નતાઓ અથવા અન્ય આંકડાઓ વિશે વાત કરીએ. અને આ બધા કિસ્સાઓમાં, જો માપદંડનું પ્રાયોગિક (સૂત્ર દ્વારા ગણતરી) મૂલ્ય સૈદ્ધાંતિક (કોષ્ટકોમાંથી પસંદ કરેલ) કરતા વધારે હોય, તો તે નકારવામાં આવે છે. જો પ્રયોગમૂલક મૂલ્ય ટેબ્યુલેટેડ મૂલ્ય કરતાં ઓછું હોય, તો તે સ્વીકારવામાં આવે છે.

આ બે વસ્તીના માધ્યમો વચ્ચેના તફાવત માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવા માટે, ચાલો આપણે એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે વિદ્યાર્થીની કસોટી, જેમ કે ફોર્મ્યુલા (3) પરથી જોઈ શકાય છે, તે અર્થના સાપેક્ષ વચ્ચેના તફાવતના મહત્વનું મૂલ્યાંકન કરે છે. આ તફાવતની પ્રમાણભૂત ભૂલ માટે. તે ચકાસવું સરળ છે કે (3) માં છેદ અગાઉ ચર્ચા કરેલા સંબંધો અને ધારણાઓનો ઉપયોગ કરીને આ પ્રમાણભૂત ભૂલને ચોક્કસપણે રજૂ કરે છે. હકીકતમાં, આપણે જાણીએ છીએ કે સામાન્ય કિસ્સામાં

જો x અને y સ્વતંત્ર છે, તો તે પણ છે

નમૂનાના મૂલ્યો લેવા અને x અને y ને બદલે અને ધારણાને યાદ કરીને કે બંને વસ્તીમાં સમાન તફાવત છે, આપણે મેળવીએ છીએ

(5)

વિભિન્નતાનો અંદાજ નીચેના સંબંધ પરથી મેળવી શકાય છે

(6)

(અમે વિભાજીત કરીએ છીએ કારણ કે નમૂનાઓમાંથી બે જથ્થાઓનો અંદાજ છે અને તેથી, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા બેથી ઘટાડવી જોઈએ.)

જો આપણે હવે (6) ને (5) માં બદલીએ અને વર્ગમૂળ લઈએ, તો આપણને અભિવ્યક્તિ (3) માં છેદ મળે છે.

આ વિષયાંતર પછી, ચાલો - માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવા પર પાછા ફરીએ.

અમારી પાસે છે

ચાલો ટી-ટેસ્ટના નિર્માણમાં વપરાતી ધારણાઓ સંબંધિત કેટલીક ટિપ્પણીઓ કરીએ. સૌ પ્રથમ, તે દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે સામાન્યતાની ધારણાનું ઉલ્લંઘન 30 માટે પરીક્ષણના મહત્વ અને શક્તિના સ્તર પર નજીવી અસર કરે છે. બંને વસ્તીના ભિન્નતાની એકરૂપતાની ધારણાનું ઉલ્લંઘન જેમાંથી નમૂના લેવામાં આવ્યા છે. પણ નજીવા, પરંતુ માત્ર એવા કિસ્સામાં જ્યારે નમૂનાના કદ સમાન હોય. જો બંને વસ્તીના ભિન્નતા એકબીજાથી અલગ હોય, તો પ્રથમ અને બીજા પ્રકારની ભૂલોની સંભાવનાઓ અપેક્ષિત કરતા નોંધપાત્ર રીતે અલગ હશે.

આ કિસ્સામાં, માપદંડનો ઉપયોગ ચકાસવા માટે થવો જોઈએ

(7)

સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સાથે

. (8)

નિયમ પ્રમાણે, તે અપૂર્ણાંક સંખ્યા હોવાનું બહાર આવ્યું છે, તેથી, ટી-વિતરણ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરતી વખતે, નજીકના પૂર્ણાંક મૂલ્યો માટે કોષ્ટક મૂલ્યો લેવા અને તેને અનુરૂપ t શોધવા માટે ઇન્ટરપોલેટ કરવું જરૂરી છે. એક મેળવ્યું.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. લેક દેડકાની બે પેટાજાતિઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે, શરીરની લંબાઈ અને ટિબિયા લંબાઈના ગુણોત્તરની ગણતરી કરવામાં આવી હતી. વોલ્યુમ = 49 અને = 27 સાથે બે નમૂના લેવામાં આવ્યા હતા. અમે જે સંબંધમાં રસ ધરાવીએ છીએ તેના અર્થ અને ભિન્નતા અનુક્રમે, સમાન હોવાનું બહાર આવ્યું, =2.34; =2.08; =0.21; =0.35. જો આપણે હવે સૂત્ર (2) નો ઉપયોગ કરીને પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરીએ, તો આપણે તે મેળવીએ છીએ

=0.05 ના મહત્વના સ્તરે, આપણે શૂન્ય પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવી જોઈએ (ટેબ્યુલેટેડ મૂલ્ય t = 1.995) અને ધારવું જોઈએ કે દેડકાની બે પેટાજાતિઓ માટે માપેલા પરિમાણોના સરેરાશ મૂલ્યો વચ્ચે પસંદ કરેલા મહત્વના સ્તરે આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર તફાવત છે. .

ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરતી વખતે (6) અને (7) આપણી પાસે હોય છે

આ કિસ્સામાં, સમાન મહત્વ સ્તર = 0.05 માટે, કોષ્ટક મૂલ્ય t=2.015 છે, અને શૂન્ય પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે.

આ ઉદાહરણ સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે કોઈ ચોક્કસ માપદંડ મેળવતી વખતે અપનાવવામાં આવેલી શરતોની અવગણના કરવાથી એવા પરિણામો આવી શકે છે જે વાસ્તવમાં થાય છે તેનાથી વિરુદ્ધ હોય છે. અલબત્ત, આ કિસ્સામાં, પૂર્વ-સ્થાપિત હકીકતની ગેરહાજરીમાં વિવિધ કદના નમૂનાઓ હોવાને કારણે કે બંને વસ્તીમાં માપવામાં આવેલા સૂચકના તફાવતો આંકડાકીય રીતે સમાન છે, તે ફોર્મ્યુલા (7) અને (8) નો ઉપયોગ કરવો જરૂરી હતું, જે આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર તફાવતોની ગેરહાજરી દર્શાવે છે.

તેથી, હું ફરી એક વાર પુનરાવર્તિત કરવા માંગુ છું કે ચોક્કસ માપદંડ મેળવતી વખતે કરવામાં આવેલી તમામ ધારણાઓનું પાલન તપાસવું એ તેના સાચા ઉપયોગ માટે એકદમ જરૂરી શરત છે.

ટી-ટેસ્ટના ઉપરોક્ત બંને ફેરફારોમાં સતત જરૂરિયાત એ જરૂરી હતી કે નમૂનાઓ એકબીજાથી સ્વતંત્ર હોય. જો કે, વ્યવહારમાં ઘણી વાર એવી પરિસ્થિતિઓ હોય છે જ્યારે ઉદ્દેશ્ય કારણોસર આ જરૂરિયાત પૂરી કરી શકાતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, કેટલાક સૂચકાંકો એક જ પ્રાણી અથવા પ્રદેશના ક્ષેત્ર પર બાહ્ય પરિબળની ક્રિયા પહેલાં અને પછી માપવામાં આવે છે, વગેરે. અને આ કિસ્સાઓમાં અમને પૂર્વધારણાને ચકાસવામાં રસ હોઈ શકે છે. અમે એમ માનવાનું ચાલુ રાખીશું કે બંને નમૂનાઓ સમાન ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વસ્તીમાંથી લેવામાં આવ્યા છે.

આ કિસ્સામાં, અમે એ હકીકતનો લાભ લઈ શકીએ છીએ કે સામાન્ય રીતે વિતરિત જથ્થાઓ વચ્ચેના તફાવતનું પણ સામાન્ય વિતરણ હોય છે, અને તેથી અમે (1) ના સ્વરૂપમાં વિદ્યાર્થીની ટી ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. આમ, પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરવામાં આવશે કે n તફાવત એ સામાન્ય રીતે વિતરિત વસ્તીમાંથી એક નમૂનો છે જેની સરેરાશ શૂન્ય બરાબર છે.

દ્વારા i-th તફાવત દર્શાવતા, અમારી પાસે છે

, (9)
જ્યાં

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. ઉત્તેજનાની ક્રિયા પહેલાં () અને પછી () ચોક્કસ સમય અંતરાલ દરમિયાન વ્યક્તિગત ચેતા કોષના આવેગની સંખ્યા પરના અમારા નિકાલનો ડેટા છે:

આથી, ધ્યાનમાં રાખીને કે (9)માં t-વિતરણ છે, અને = 0.01 નું મહત્વ સ્તર પસંદ કરીને, પરિશિષ્ટમાંના અનુરૂપ કોષ્ટકમાંથી આપણે શોધીએ છીએ કે n-1=10-1=9 ડિગ્રી માટે t નું નિર્ણાયક મૂલ્ય સ્વતંત્રતા 3.25 છે. સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક ટી-આંકડાઓની સરખામણી દર્શાવે છે કે ઉત્તેજના પહેલાં અને પછી ફાયરિંગ દરો વચ્ચે કોઈ આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર તફાવત ન હોવાની નલ પૂર્વધારણાને નકારવી જોઈએ. તે નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે કે આંકડાકીય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા ઉત્તેજના આવેગની આવૃત્તિમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર કરે છે.

પ્રાયોગિક અભ્યાસોમાં, ઉપર જણાવ્યા મુજબ, આશ્રિત નમૂનાઓ ઘણી વાર દેખાય છે. જો કે, આ હકીકતને ક્યારેક અવગણવામાં આવે છે અને ટી-ટેસ્ટનો ફોર્મ (3) માં ખોટી રીતે ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

અસંબંધિત અને સહસંબંધિત માધ્યમો વચ્ચેના તફાવતની પ્રમાણભૂત ભૂલોને ધ્યાનમાં લઈને આની અયોગ્યતા જોઈ શકાય છે. પ્રથમ કિસ્સામાં

અને બીજામાં

તફાવત d ની પ્રમાણભૂત ભૂલ છે

આને ધ્યાનમાં લેતા, (9) માં છેદનું સ્વરૂપ હશે

હવે ચાલો એ હકીકત પર ધ્યાન આપીએ કે અભિવ્યક્તિના અંશ (4) અને (9) એકરૂપ થાય છે:

તેથી, તેમાં t ના મૂલ્યમાં તફાવત છેદ પર આધાર રાખે છે.

આમ, જો ફોર્મ્યુલા (3) નો ઉપયોગ આશ્રિત નમૂનાઓની સમસ્યામાં કરવામાં આવે છે, અને નમૂનાઓનો સકારાત્મક સંબંધ છે, તો પરિણામી t મૂલ્યો સૂત્ર (9) નો ઉપયોગ કરતી વખતે હોવી જોઈએ તે કરતાં ઓછી હશે, અને પરિસ્થિતિ ઊભી થઈ શકે છે. જ્યાં શૂન્ય પૂર્વધારણા જ્યારે તે ખોટી હોય ત્યારે સ્વીકારવામાં આવશે. જ્યારે નમૂનાઓ વચ્ચે નકારાત્મક સહસંબંધ હોય ત્યારે વિપરીત પરિસ્થિતિ ઊભી થઈ શકે છે, એટલે કે. આ કિસ્સામાં, તફાવતોને નોંધપાત્ર તરીકે ઓળખવામાં આવશે જે હકીકતમાં નથી.

ચાલો આવેગ પ્રવૃત્તિ સાથેના ઉદાહરણ પર ફરી પાછા ફરીએ અને નમૂનાઓ સંબંધિત છે તે હકીકત પર ધ્યાન ન આપતા, ફોર્મ્યુલા (3) નો ઉપયોગ કરીને આપેલ ડેટા માટે t મૂલ્યની ગણતરી કરીએ. અમારી પાસે છે: 18 ની સમાન સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા માટે, અને મહત્વ સ્તર = 0.01 માટે, કોષ્ટક મૂલ્ય t = 2.88 છે અને, પ્રથમ નજરમાં, એવું લાગે છે કે કંઈપણ થયું નથી, ભલે તે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરતી વખતે જે અયોગ્ય હોય. આપેલ શરતો. અને આ કિસ્સામાં, ગણતરી કરેલ ટી મૂલ્ય નલ પૂર્વધારણાના અસ્વીકાર તરફ દોરી જાય છે, એટલે કે. એ જ નિષ્કર્ષ પર કે જે સૂત્ર (9) નો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવ્યું હતું, આ પરિસ્થિતિમાં યોગ્ય.

જો કે, ચાલો હાલના ડેટાને ફરીથી ફોર્મેટ કરીએ અને તેને નીચેના ફોર્મમાં રજૂ કરીએ (2):

આ સમાન મૂલ્યો છે, અને તેઓ એક પ્રયોગમાં સારી રીતે મેળવી શકાય છે. બંને નમૂનાઓમાંના તમામ મૂલ્યો સચવાયેલા હોવાથી, ફોર્મ્યુલા (3) માં વિદ્યાર્થીની ટી ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરવાથી અગાઉ મેળવેલ મૂલ્ય = 3.32 મળે છે અને તે જ નિષ્કર્ષ તરફ દોરી જાય છે જે પહેલાથી જ બનાવવામાં આવ્યું છે.

હવે ચાલો ફોર્મ્યુલા (9) નો ઉપયોગ કરીને t ની કિંમતની ગણતરી કરીએ, જેનો આ કિસ્સામાં ઉપયોગ કરવો જોઈએ. અમારી પાસે છે: પસંદ કરેલ મહત્વના સ્તરે t નું નિર્ણાયક મૂલ્ય અને સ્વતંત્રતાના નવ ડિગ્રી 3.25 છે. પરિણામે, અમારી પાસે શૂન્ય પૂર્વધારણાને નકારવાનું કોઈ કારણ નથી, અમે તેને સ્વીકારીએ છીએ, અને તે તારણ આપે છે કે આ નિષ્કર્ષ ફોર્મ્યુલા (3) નો ઉપયોગ કરતી વખતે કરવામાં આવી હતી તેની વિરુદ્ધ છે.

આ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, અમને ફરી એકવાર ખાતરી થઈ કે પ્રાયોગિક ડેટાનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે સાચા તારણો મેળવવા માટે ચોક્કસ માપદંડ નક્કી કરવા માટેનો આધાર હતો તે તમામ આવશ્યકતાઓનું સખતપણે પાલન કરવું કેટલું મહત્વપૂર્ણ છે.

વિદ્યાર્થીની કસોટીમાં ધ્યાનમાં લેવાયેલા ફેરફારોનો હેતુ બે નમૂનાઓની સરેરાશ સંબંધિત પૂર્વધારણાઓ ચકાસવા માટે છે. જો કે, પરિસ્થિતિઓ ઊભી થાય છે જ્યારે તે જ સમયે k સરેરાશની સમાનતા સંબંધિત તારણો કાઢવા જરૂરી બને છે. આ કેસ માટે, એક ચોક્કસ આંકડાકીય પ્રક્રિયા પણ વિકસાવવામાં આવી છે, જે વિભિન્નતાના વિશ્લેષણ સાથે સંબંધિત મુદ્દાઓની ચર્ચા કરતી વખતે પછીથી ચર્ચા કરવામાં આવશે.

2 ભિન્નતાઓ માટે સારીતા-ઓફ-ફીટ પરીક્ષણો

વસ્તીના ભિન્નતા સંબંધિત આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ સરેરાશની જેમ જ ક્રમમાં હાથ ધરવામાં આવે છે. ચાલો આ ક્રમને સંક્ષિપ્તમાં યાદ કરીએ.

1. એક શૂન્ય પૂર્વધારણા ઘડવામાં આવે છે (સરખામી ભિન્નતા વચ્ચે આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર તફાવતોની ગેરહાજરી વિશે).

2. આંકડાઓના નમૂના વિતરણ અંગે કેટલીક ધારણાઓ કરવામાં આવે છે જેની સાથે તે પૂર્વધારણામાં સમાવિષ્ટ પરિમાણનો અંદાજ કાઢવાનું આયોજન કરવામાં આવ્યું છે.

3. પૂર્વધારણાના પરીક્ષણ માટે મહત્ત્વનું સ્તર પસંદ કરવામાં આવ્યું છે.

4. અમને રુચિના આંકડાનું મૂલ્ય ગણવામાં આવે છે અને નલ પૂર્વધારણાની સત્યતા અંગે નિર્ણય લેવામાં આવે છે.

હવે ચાલો પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરીને શરૂ કરીએ કે વસ્તીનો તફાવત =a, એટલે કે. સામે જો આપણે ધારીએ કે ચલ x નું સામાન્ય વિતરણ છે અને કદ n નો નમૂનો વસ્તીમાંથી અવ્યવસ્થિત રીતે દોરવામાં આવ્યો છે, તો આંકડાનો ઉપયોગ નલ પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે થાય છે.

(10)

વિક્ષેપની ગણતરી માટેના સૂત્રને યાદ રાખીને, અમે નીચે પ્રમાણે (10) ફરીથી લખીએ છીએ:

. (11)

આ અભિવ્યક્તિ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે અંશ એ તેમના સરેરાશમાંથી સામાન્ય રીતે વિતરિત મૂલ્યોના વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો છે. આ દરેક વિચલનો પણ સામાન્ય રીતે વિતરિત થાય છે. તેથી, અમને જાણીતા વિતરણ અનુસાર, આંકડા (10) અને (11) ના સામાન્ય રીતે વિતરિત મૂલ્યોના વર્ગોનો સરવાળો સ્વતંત્રતાના n-1 ડિગ્રી સાથે -વિતરણ ધરાવે છે.

ટી-વિતરણના ઉપયોગ સાથે સામ્યતા દ્વારા, પસંદ કરેલ મહત્વના સ્તરની તપાસ કરતી વખતે, વિતરણ કોષ્ટકમાંથી નિર્ણાયક બિંદુઓ સ્થાપિત કરવામાં આવે છે, જે નલ પૂર્વધારણાને સ્વીકારવાની સંભાવનાઓને અનુરૂપ છે અને. પસંદ કરેલ માટે વિશ્વાસ અંતરાલ નીચે પ્રમાણે બાંધવામાં આવે છે:

. (12)

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો, વ્યાપક પ્રાયોગિક સંશોધનના આધારે, ધારીએ કે ચોક્કસ વિસ્તારમાંથી એક છોડની પ્રજાતિના આલ્કલોઇડ સામગ્રીનું વિક્ષેપ 4.37 પરંપરાગત એકમો જેટલું છે. નિષ્ણાત પાસે તેમના નિકાલ પર n = 28 આવા છોડના નમૂના છે, સંભવતઃ તે જ વિસ્તારમાંથી. વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે આ નમૂના માટે =5.01 અને અમારે એ સુનિશ્ચિત કરવાની જરૂર છે કે આ અને અગાઉ જાણીતા ભિન્નતા આંકડાકીય રીતે મહત્વના સ્તરે અસ્પષ્ટ છે = 0.1.

સૂત્ર (10) મુજબ આપણી પાસે છે

પરિણામી મૂલ્યની તુલના નિર્ણાયક મૂલ્યો /2=0.05 અને 1--/2=0.95 સાથે થવી જોઈએ. સ્વતંત્રતાના 27 ડિગ્રી સાથેના પરિશિષ્ટ કોષ્ટકમાંથી અમારી પાસે અનુક્રમે 40.1 અને 16.2 છે, જેનો અર્થ છે કે શૂન્ય પૂર્વધારણા સ્વીકારી શકાય છે. માટે અનુરૂપ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ 3.37 છે<<8,35.

વિદ્યાર્થીઓની કસોટીનો ઉપયોગ કરીને નમૂનાના અર્થને લગતી પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરતા વિપરીત, જ્યારે વસ્તીના સામાન્ય વિતરણની ધારણાનું ઉલ્લંઘન કરવામાં આવ્યું ત્યારે પ્રથમ અને બીજા પ્રકારની ભૂલો નોંધપાત્ર રીતે બદલાઈ ન હતી, જ્યારે સામાન્યતાની શરતો ન હતી ત્યારે ભિન્નતા વિશેની પૂર્વધારણાઓના કિસ્સામાં. મળ્યા, ભૂલો નોંધપાત્ર રીતે બદલાઈ ગઈ.

અમુક નિશ્ચિત મૂલ્યમાં તફાવતની સમાનતા વિશે ઉપર ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી સમસ્યા મર્યાદિત રુચિની છે, કારણ કે જ્યારે વસ્તીનો તફાવત જાણીતો હોય ત્યારે પરિસ્થિતિઓ ખૂબ જ દુર્લભ હોય છે. જ્યારે તમારે બે વસ્તીના ભિન્નતા સમાન છે કે કેમ તે તપાસવાની જરૂર હોય ત્યારે વધુ રસ એ છે, એટલે કે. વૈકલ્પિક સામે પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ. એવું માનવામાં આવે છે કે કદના નમૂનાઓ અને ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વસ્તીમાંથી રેન્ડમલી દોરવામાં આવે છે અને.

શૂન્ય પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે, ફિશરના વેરિઅન્સ રેશિયો ટેસ્ટનો ઉપયોગ થાય છે

(13)

સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલોના વર્ગ વિચલનોનો સરવાળો તેમના માધ્યમથી વહેંચાયેલો હોવાથી, (13) ના અંશ અને છેદ બંને અનુક્રમે વિભાજિત મૂલ્યો છે અને તેથી તેમના ગુણોત્તરમાં -1 અને સાથે F-વિતરણ છે. સ્વતંત્રતાની -1 ડિગ્રી.

તે સામાન્ય રીતે સ્વીકારવામાં આવે છે - અને આ રીતે F-વિતરણ કોષ્ટકો બાંધવામાં આવે છે - કે સૌથી મોટા ભિન્નતાને (13) માં અંશ તરીકે લેવામાં આવે છે, અને તેથી માત્ર એક નિર્ણાયક બિંદુ નક્કી કરવામાં આવે છે, પસંદ કરેલ મહત્વ સ્તરને અનુરૂપ.

ચાલો આપણી પાસે સામાન્ય અને અંડાકાર તળાવના ગોકળગાયની વસ્તીમાંથી વોલ્યુમ =11 અને =28 ના બે નમૂનાઓ છે, જેના માટે ઊંચાઈ-થી-પહોળાઈના ગુણોત્તરમાં ભિન્નતા = 0.59 અને =0.38 છે. = 0.05 ના મહત્વના સ્તરે અભ્યાસ કરવામાં આવતી વસ્તી માટે આ સૂચકોના આ ભિન્નતાઓની સમાનતા વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવી જરૂરી છે. અમારી પાસે છે

સાહિત્યમાં, તમે ક્યારેક એવું નિવેદન શોધી શકો છો કે વિદ્યાર્થીઓની કસોટીનો ઉપયોગ કરીને માધ્યમોની સમાનતા વિશેની પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરતા પહેલા ભિન્નતાની સમાનતા વિશેની પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરવું જોઈએ. આ ખોટી ભલામણ છે. તદુપરાંત, તે ભૂલો તરફ દોરી શકે છે જેને અનુસરવામાં ન આવે તો ટાળી શકાય છે.

ખરેખર, ફિશરની કસોટીનો ઉપયોગ કરીને ભિન્નતાની સમાનતાની પૂર્વધારણાને ચકાસવાના પરિણામો મોટાભાગે એ ધારણા પર આધાર રાખે છે કે નમૂનાઓ સામાન્ય વિતરણ સાથે વસ્તીમાંથી લેવામાં આવ્યા છે. તે જ સમયે, વિદ્યાર્થીની કસોટી સામાન્યતાના ઉલ્લંઘન માટે અસંવેદનશીલ છે, અને જો સમાન કદના નમૂનાઓ મેળવવાનું શક્ય છે, તો ભિન્નતાની સમાનતાની ધારણા પણ નોંધપાત્ર નથી. અસમાન n ના કિસ્સામાં, ચકાસણી માટે સૂત્રો (7) અને (8) નો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.

ભિન્નતાની સમાનતા વિશેની પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરતી વખતે, આશ્રિત નમૂનાઓ સાથે સંકળાયેલી ગણતરીઓમાં કેટલીક વિશેષતાઓ ઊભી થાય છે. આ કિસ્સામાં, આંકડાઓનો ઉપયોગ વૈકલ્પિક વિરુદ્ધ પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે થાય છે

(14)

જો શૂન્ય પૂર્વધારણા સાચી હોય, તો આંકડા (14) સ્વતંત્રતાના n-2 ડિગ્રી સાથે વિદ્યાર્થી ટી-વિતરણ ધરાવે છે.

35 કોટિંગ નમૂનાઓના ચળકાટને માપતી વખતે, = 134.5 નું વિક્ષેપ પ્રાપ્ત થયું હતું. બે અઠવાડિયા પછી પુનરાવર્તિત માપન =199.1 દર્શાવે છે. આ કિસ્સામાં, જોડી કરેલ માપ વચ્ચેનો સહસંબંધ ગુણાંક = 0.876 ની બરાબર હોવાનું બહાર આવ્યું. જો આપણે એ હકીકતને અવગણીએ કે નમૂનાઓ નિર્ભર છે અને પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે ફિશર ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, તો અમને F=1.48 મળશે. જો તમે =0.05 નું મહત્વ સ્તર પસંદ કરો છો, તો નલ પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવશે, કારણ કે =35-1=34 અને =35-1=34 ડિગ્રી સ્વતંત્રતા માટે F-વિતરણનું નિર્ણાયક મૂલ્ય 1.79 છે.

તે જ સમયે, જો આપણે આ કેસ માટે યોગ્ય ફોર્મ્યુલા (14) નો ઉપયોગ કરીએ, તો આપણે t = 2.35 મેળવીએ છીએ, જ્યારે 33 ડિગ્રી સ્વતંત્રતા માટે t નું નિર્ણાયક મૂલ્ય અને પસંદ કરેલ મહત્વ સ્તર = 0.05 2.03 ની બરાબર છે. તેથી, બે નમૂનાઓમાં સમાન ભિન્નતાની શૂન્ય પૂર્વધારણાને નકારવી જોઈએ. આમ, આ ઉદાહરણમાંથી તે સ્પષ્ટ છે કે, સાધનની સમાનતાની પૂર્વધારણાના પરીક્ષણના કિસ્સામાં, પ્રાયોગિક ડેટાની વિશિષ્ટતાઓને ધ્યાનમાં લેતા નથી તેવા માપદંડનો ઉપયોગ ભૂલ તરફ દોરી જાય છે.

ભલામણ કરેલ સાહિત્યમાં તમે બાર્ટલેટ ટેસ્ટ શોધી શકો છો, જેનો ઉપયોગ k ભિન્નતાઓની એક સાથે સમાનતા વિશેની પૂર્વધારણાઓ ચકાસવા માટે થાય છે. આ માપદંડના આંકડાઓની ગણતરી કરવી એ ખૂબ કપરું છે તે ઉપરાંત, આ માપદંડનો મુખ્ય ગેરલાભ એ છે કે તે વસ્તીના સામાન્ય વિતરણની ધારણામાંથી વિચલનો માટે અસામાન્ય રીતે સંવેદનશીલ છે કે જેમાંથી નમૂનાઓ દોરવામાં આવે છે. આમ, તેનો ઉપયોગ કરતી વખતે, તમે ક્યારેય ખાતરી કરી શકતા નથી કે શૂન્ય પૂર્વધારણા વાસ્તવમાં નકારી કાઢવામાં આવી છે કારણ કે ભિન્નતા આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે, અને એટલા માટે નહીં કે નમૂનાઓ સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવતાં નથી. તેથી, જો વિવિધ ભિન્નતાઓની તુલના કરવાની સમસ્યા ઊભી થાય, તો તે સમસ્યાનું સૂત્ર શોધવું જરૂરી છે જ્યાં ફિશર માપદંડ અથવા તેના ફેરફારોનો ઉપયોગ કરવો શક્ય બનશે.

3 શેર સંબંધિત કરાર માટે માપદંડ

ઘણી વાર વસ્તીનું વિશ્લેષણ કરવું જરૂરી છે જેમાં વસ્તુઓને બેમાંથી એક કેટેગરીમાં વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચોક્કસ વસ્તીમાં લિંગ દ્વારા, જમીનમાં ચોક્કસ ટ્રેસ તત્વની હાજરી દ્વારા, પક્ષીઓની કેટલીક પ્રજાતિઓમાં ઇંડાના ઘાટા અથવા આછો રંગ વગેરે.

અમે P દ્વારા ચોક્કસ ગુણવત્તા ધરાવતા તત્વોના પ્રમાણને દર્શાવીએ છીએ, જ્યાં P એ એકંદરમાંના તમામ ઑબ્જેક્ટ્સમાં અમને રસ હોય તેવી ગુણવત્તા સાથે ઑબ્જેક્ટના ગુણોત્તરને રજૂ કરે છે.

ચાલો આપણે પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરીએ કે કેટલીક પર્યાપ્ત મોટી વસ્તીમાં શેર P અમુક સંખ્યા a (0) ની બરાબર છે

ડિકોટોમસ (બે ગ્રેડેશન ધરાવતા) ​​ચલો માટે, જેમ કે અમારા કિસ્સામાં, P એ માત્રાત્મક રીતે માપવામાં આવતા ચલોની વસ્તીની સરેરાશ જેટલી જ ભૂમિકા ભજવે છે. બીજી બાજુ, અગાઉ એવું કહેવામાં આવ્યું હતું કે અપૂર્ણાંક P ની પ્રમાણભૂત ભૂલ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

પછી, જો પૂર્વધારણા સાચી હોય, તો પછી આંકડા

, (19)
જ્યાં p એ નમૂના P મૂલ્ય છે, એક એકમ સામાન્ય વિતરણ ધરાવે છે. તે તરત જ નોંધવું જોઈએ કે આવા અંદાજ માન્ય છે જો ઉત્પાદનો np અથવા (1-p)n ના ઓછા 5 કરતા વધારે હોય.

સાહિત્યમાંથી જાણીએ કે લેક ​​દેડકાની વસ્તીમાં પીઠ પર રેખાંશ પટ્ટાવાળા વ્યક્તિઓનું પ્રમાણ 62% અથવા 0.62 છે. અમારી પાસે અમારી પાસે 125 (n) વ્યક્તિઓના નમૂના હતા, જેમાંથી 93 (f) ની પાછળની બાજુએ રેખાંશની પટ્ટી છે. તે શોધવાની જરૂર છે કે જે વસ્તીમાંથી નમૂના લેવામાં આવ્યો હતો તે વસ્તીમાં અમને રસ ધરાવતા લોકોનું પ્રમાણ જાણીતા ડેટાને અનુરૂપ છે કે કેમ. અમારી પાસે છે: p=f/n=93/125=0.744, a=0.62, n(1-p)=125(1-0.744)=32>5 અને

તેથી, મહત્વના સ્તર = 0.05 અને = 0.01 બંને માટે, શૂન્ય પૂર્વધારણાને નકારવી જોઈએ, કારણ કે = 0.05 માટે નિર્ણાયક મૂલ્ય 1.96 છે, અને = 0.01 - 2.58 માટે.

જો ત્યાં બે મોટી વસ્તી હોય કે જેમાં અમને રુચિ હોય તેવી મિલકત સાથેના પદાર્થોનું પ્રમાણ અનુક્રમે અને હોય, તો તે પૂર્વધારણાને ચકાસવામાં રસ છે: = વૈકલ્પિક વિરુદ્ધ:. પરીક્ષણ માટે, વોલ્યુમો સાથેના બે નમૂનાઓ અને રેન્ડમ અને સ્વતંત્ર રીતે કાઢવામાં આવે છે. આ નમૂનાઓના આધારે, આંકડા અંદાજિત અને નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે.

(20)

પ્રથમ અને બીજા નમૂનામાં અનુક્રમે આ લાક્ષણિકતા ધરાવતા પદાર્થોની સંખ્યા ક્યાં અને છે.

સૂત્ર (20) થી તે સમજી શકાય છે કે તેના વ્યુત્પત્તિમાં તે જ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો જેનો આપણે અગાઉ સામનો કર્યો હતો. એટલે કે, આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓને ચકાસવા માટે, પ્રમાણભૂત વિચલનોની સંખ્યા જે અમને રસના સૂચકાંકો વચ્ચે તફાવત બનાવે છે તે નક્કી કરવામાં આવે છે, હકીકતમાં, મૂલ્ય (+)/(+) બંનેમાં આપેલ લાક્ષણિકતા સાથેના પદાર્થોના પ્રમાણને દર્શાવે છે; એક સાથે નમૂનાઓ. જો આપણે તેને દ્વારા સૂચિત કરીએ, તો પછી છેદ (20) ના બીજા કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ (1-) રજૂ કરે છે અને તે સ્પષ્ટ બને છે કે અભિવ્યક્તિ (20) નલ પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટેના સૂત્રની સમકક્ષ છે:

કારણ કે.

બીજી બાજુ, તે પ્રમાણભૂત ભૂલ છે. આમ, (20) તરીકે લખી શકાય

. (21)

આ આંકડા અને માધ્યમો વિશેની પૂર્વધારણાના પરીક્ષણમાં વપરાતા આંકડા વચ્ચેનો એક માત્ર તફાવત એ છે કે z પાસે t-વિતરણને બદલે એક એકમ સામાન્ય વિતરણ છે.

લોકોના સમૂહ (=82)નો અભ્યાસ બતાવીએ કે જે લોકોના ઇલેક્ટ્રોએન્સફાલોગ્રામમાં -લય છે તેમનું પ્રમાણ 0.84 અથવા 84% છે. અન્ય વિસ્તાર (=51) માં લોકોના જૂથના અભ્યાસમાં આ પ્રમાણ 0.78 હોવાનું જાણવા મળ્યું છે. = 0.05 ના મહત્વના સ્તર માટે, તે તપાસવું જરૂરી છે કે સામાન્ય વસ્તીમાં મગજની આલ્ફા પ્રવૃત્તિ ધરાવતી વ્યક્તિઓનું પ્રમાણ જેમાંથી નમૂના લેવામાં આવ્યા હતા તે સમાન છે.

સૌ પ્રથમ, ચાલો ખાતરી કરીએ કે ઉપલબ્ધ પ્રાયોગિક ડેટા અમને આંકડાઓનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે (20). અમારી પાસે છે:

અને કારણ કે z નું સામાન્ય વિતરણ છે, જેના માટે =0.05 પર નિર્ણાયક બિંદુ 1.96 છે, તો નલ પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે.

ધ્યાનમાં લેવાયેલ માપદંડ માન્ય છે જો નમૂનાઓ કે જેના માટે અમને રુચિ છે તે લાક્ષણિકતા સાથેના પદાર્થોના પ્રમાણની તુલના સ્વતંત્ર છે. જો આ જરૂરિયાત પૂરી ન થઈ હોય, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે એક સેટને ક્રમિક સમય અંતરાલોમાં ગણવામાં આવે છે, તો પછી સમાન ઑબ્જેક્ટ આ અંતરાલોમાં આ લાક્ષણિકતા ધરાવે છે અથવા ન પણ હોઈ શકે.

ચાલો આપણે 1 દ્વારા આપણને રસ ધરાવતા અમુક લક્ષણની વસ્તુની હાજરી અને તેની ગેરહાજરી 0 દ્વારા દર્શાવીએ. પછી આપણે કોષ્ટક 3 પર આવીએ, જ્યાં (a+c) એ પ્રથમ નમૂનામાં અમુક વિશેષતા ધરાવતા પદાર્થોની સંખ્યા છે. , (a+c) એ બીજા નમૂનામાં આ લાક્ષણિકતા ધરાવતા પદાર્થોની સંખ્યા છે, અને n એ તપાસેલ વસ્તુઓની કુલ સંખ્યા છે. દેખીતી રીતે, આ પહેલેથી જ જાણીતું ચાર-ક્ષેત્રનું ટેબલ છે, જે સંબંધમાં ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીને મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે

આવા ટેબલ અને નાના માટે (<10) значений в каждой клетке Р.Фишером было найдено точное распределение для, которое позволяет проверять гипотезу: =. Это распределение имеет довольно сложный вид, и его критические точки приводятся в специальных таблицах. В реальных ситуациях, как правило, значения в каждой клетке больше 10, и было показано, что в этих случаях для проверки нулевой гипотезы можно использовать статистику

(22)
જે, જો શૂન્ય પૂર્વધારણા સાચી હોય, તો તેમાં એક ડિગ્રી સ્વતંત્રતા સાથે ચી-સ્ક્વેર વિતરણ હોય છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. વર્ષના જુદા જુદા સમયે આપવામાં આવેલી મેલેરિયા રસીની અસરકારકતા બે વર્ષ દરમિયાન ચકાસવામાં આવે છે કે રસીકરણની અસરકારકતા વર્ષના સમય પર આધારિત નથી. અમારી પાસે છે

=0.05 માટે કોષ્ટક મૂલ્ય 3.84 છે, અને =0.01 માટે 6.64 છે. તેથી, આમાંના કોઈપણ મહત્વના સ્તરે, શૂન્ય પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવી જોઈએ, અને આ અનુમાનિત ઉદાહરણમાં (જો કે વાસ્તવિકતા સાથે સંબંધિત છે), તે તારણ કાઢી શકાય છે કે વર્ષના બીજા ભાગમાં કરવામાં આવેલ બેટ્સ નોંધપાત્ર રીતે વધુ અસરકારક છે.

ચાર-ક્ષેત્રના કોષ્ટક માટે જોડાણ ગુણાંકનું કુદરતી સામાન્યીકરણ, અગાઉ ઉલ્લેખ કર્યા મુજબ, ચુપ્રોવનું પરસ્પર જોડાણ ગુણાંક છે. આ ગુણાંક માટેનું ચોક્કસ વિતરણ અજ્ઞાત છે, તેથી આ વિતરણ માટેના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ સાથે ગણતરી કરેલ મૂલ્ય અને પસંદ કરેલ મહત્વના સ્તરની તુલના કરીને પૂર્વધારણાની માન્યતા નક્કી કરવામાં આવે છે. સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા અભિવ્યક્તિ (r-1)(c-1) પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે, જ્યાં r અને c એ પ્રત્યેક લાક્ષણિકતાઓ માટે ક્રમાંકની સંખ્યા છે.

ચાલો ગણતરીના સૂત્રો યાદ કરીએ

દ્રશ્ય વિસંગતતાઓ વિનાના લોકોમાં જમણી અને ડાબી આંખોમાં દ્રષ્ટિની શ્રેણીનો અભ્યાસ કરીને મેળવેલ ડેટા રજૂ કરવામાં આવે છે. પરંપરાગત રીતે, આ શ્રેણીને ચાર શ્રેણીઓમાં વહેંચવામાં આવે છે, અને અમને ડાબી અને જમણી આંખોની દ્રશ્ય શ્રેણી વચ્ચેના સંબંધની વિશ્વસનીયતામાં રસ છે. પ્રથમ, ચાલો બમણા સરવાળામાં તમામ પદો શોધીએ. આ કરવા માટે, કોષ્ટકમાં આપેલ દરેક મૂલ્યના ચોરસને પંક્તિ અને કૉલમના સરવાળા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે કે જેમાં પસંદ કરેલ નંબર સંબંધિત છે. અમારી પાસે છે

આ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને આપણને =3303.6 અને T=0.714 મળે છે.

4 વસ્તી વિતરણની સરખામણી માટે માપદંડ

ક્લાસિક વટાણાના સંવર્ધન પ્રયોગોમાં કે જે આનુવંશિકતાની શરૂઆત દર્શાવે છે, જી. મેન્ડેલે ગોળાકાર પીળા બીજ અને કરચલીવાળા લીલા બીજવાળા છોડને પાર કરીને મેળવેલા વિવિધ પ્રકારના બીજની ફ્રીક્વન્સીનું અવલોકન કર્યું.

આ અને સમાન કિસ્સાઓમાં, સામાન્ય વસ્તીના વિતરણ કાર્યોની સમાનતા વિશે શૂન્ય પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે તે રસનું છે કે જેમાંથી નમૂનાઓ દોરવામાં આવે છે, એટલે કે. સૈદ્ધાંતિક ગણતરીઓ દર્શાવે છે કે આવી સમસ્યાને ઉકેલવા માટે આંકડાઓનો ઉપયોગ કરી શકાય છે

= (23)

આ આંકડાઓનો ઉપયોગ કરીને માપદંડ કે. પીયર્સન દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યો હતો અને તેનું નામ છે. પિયર્સન ટેસ્ટનો ઉપયોગ જૂથબદ્ધ ડેટા માટે થાય છે, પછી ભલે તેનું સતત અથવા અલગ વિતરણ હોય. (23) માં, k એ જૂથ અંતરાલોની સંખ્યા છે, પ્રયોગમૂલક સંખ્યાઓ છે, અને અપેક્ષિત અથવા સૈદ્ધાંતિક સંખ્યાઓ છે (=n). જો શૂન્ય પૂર્વધારણા સાચી હોય, તો આંકડા (23) સ્વતંત્રતાના k-1 ડિગ્રી સાથેનું વિતરણ ધરાવે છે.

કોષ્ટકમાં આપેલ ડેટા માટે

=0.05 અને =0.01 માટે સ્વતંત્રતાના 3 ડિગ્રી સાથે વિતરણના નિર્ણાયક બિંદુઓ અનુક્રમે 7.81 અને 11.3 સમાન છે. પરિણામે, શૂન્ય પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે અને નિષ્કર્ષ દોરવામાં આવે છે કે સંતાનમાં વિભાજન સૈદ્ધાંતિક પેટર્નને ખૂબ સારી રીતે અનુરૂપ છે.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ. ગિનિ પિગની વસાહતમાં, જાન્યુઆરીથી શરૂ કરીને, વર્ષ દર મહિને નીચેના નર જન્મની સંખ્યા પ્રાપ્ત થઈ હતી: 65, 64, 65, 41, 72, 80, 88, 114, 80, 129, 112, 99. અમે માનીએ છીએ કે મેળવેલ ડેટા એક સમાન વિતરણને અનુરૂપ છે, એટલે કે. વિતરણ કે જેમાં વ્યક્તિગત મહિનામાં જન્મેલા પુરુષોની સંખ્યા સરેરાશ સમાન હોય છે? જો આપણે આ પૂર્વધારણા સ્વીકારીએ, તો જન્મેલા પુરુષોની અપેક્ષિત સરેરાશ સંખ્યા સમાન હશે. પછી

સ્વતંત્રતાના 11 ડિગ્રી અને = 0.01 સાથેના વિતરણનું નિર્ણાયક મૂલ્ય 24.7 છે, તેથી પસંદ કરેલા મહત્વના સ્તરે નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે. પ્રાયોગિક ડેટાનું વધુ વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે વર્ષના બીજા ભાગમાં નર ગિનિ પિગના જન્મની સંભાવના વધી જાય છે.

એવા કિસ્સામાં જ્યાં સૈદ્ધાંતિક વિતરણ એકસમાન હોવાનું માનવામાં આવે છે, ત્યાં સૈદ્ધાંતિક સંખ્યાઓની ગણતરી કરવામાં કોઈ સમસ્યા નથી. અન્ય વિતરણોના કિસ્સામાં, ગણતરીઓ વધુ જટિલ બની જાય છે. ચાલો સામાન્ય અને પોઈસન વિતરણો માટે સૈદ્ધાંતિક સંખ્યાઓની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે તેના ઉદાહરણો જોઈએ, જે સંશોધન વ્યવહારમાં એકદમ સામાન્ય છે.

ચાલો સામાન્ય વિતરણ માટે સૈદ્ધાંતિક સંખ્યાઓ નક્કી કરીને પ્રારંભ કરીએ. આ વિચાર આપણા પ્રયોગમૂલક વિતરણને શૂન્ય સરેરાશ અને એકમ ભિન્નતા સાથેના વિતરણમાં રૂપાંતરિત કરવાનો છે. સ્વાભાવિક રીતે, આ કિસ્સામાં, વર્ગ અંતરાલની સીમાઓ પ્રમાણભૂત વિચલનના એકમોમાં વ્યક્ત કરવામાં આવશે, અને પછી, યાદ રાખવું કે દરેક અંતરાલના ઉપલા અને નીચલા મૂલ્યો દ્વારા મર્યાદિત વળાંકના વિભાગ હેઠળનો વિસ્તાર સંભાવના સમાન છે. આપેલ અંતરાલમાં આવવાથી, આ સંભાવનાને કુલ સંખ્યાના નમૂના દ્વારા ગુણાકાર કરવાથી આપણે ઇચ્છિત સૈદ્ધાંતિક સંખ્યા મેળવીશું.

ધારો કે આપણી પાસે ઓકના પાંદડાઓની લંબાઈ માટે પ્રયોગમૂલક વિતરણ છે અને આપણે એ તપાસવાની જરૂર છે કે શું તેને =0.05 ના મહત્વના સ્તર સાથે ધ્યાનમાં લઈ શકાય કે આ વિતરણ સામાન્ય કરતાં નોંધપાત્ર રીતે અલગ નથી.

ચાલો સમજાવીએ કે કોષ્ટકમાં આપેલ મૂલ્યોની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવી. સૌપ્રથમ, પ્રમાણભૂત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, સમૂહિત ડેટા માટે સરેરાશ અને પ્રમાણભૂત વિચલનની ગણતરી કરવામાં આવી હતી, જે =10.3 અને =2.67 ની બરાબર હોવાનું બહાર આવ્યું હતું. આ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને, અંતરાલોની સીમાઓ પ્રમાણભૂત વિચલનના એકમોમાં મળી આવી હતી, એટલે કે. પ્રમાણિત મૂલ્યો મળી આવ્યા છે ઉદાહરણ તરીકે, અંતરાલ (46) ની સીમાઓ માટે અમારી પાસે છે: (4-10.3)/2.67=-2.36; (6-10.3)/2.67=-1.61. પછી, દરેક અંતરાલ માટે, તેમાં પડવાની સંભાવનાની ગણતરી કરવામાં આવી. ઉદાહરણ તરીકે, સામાન્ય વિતરણના કોષ્ટકમાંથી અંતરાલ (-0.110.64) માટે આપણી પાસે બિંદુની ડાબી બાજુએ છે (-0.11) એકમ સામાન્ય વિતરણના ક્ષેત્રફળનો 0.444 છે અને તેની ડાબી બાજુએ બિંદુ (0.64) આ વિસ્તારનો 0.739 છે. આમ, આ અંતરાલમાં પડવાની સંભાવના 0.739-0.444=0.295 છે. બાકીની ગણતરીઓ સ્વાભાવિક છે. n અને... વચ્ચેનો તફાવત સમજાવવો જોઈએ. તે એ હકીકતને કારણે ઉદભવે છે કે સૈદ્ધાંતિક સામાન્ય વિતરણને, વ્યવહારિક હેતુઓ માટે, અંતરાલ પર કેન્દ્રિત કરવા માટે ગણી શકાય. પ્રયોગમાં, સરેરાશ કરતાં વધુ વિચલિત કોઈ મૂલ્યો નથી. તેથી, પ્રયોગમૂલક વિતરણ વળાંક હેઠળનો વિસ્તાર એકતા સમાન નથી, જેના કારણે ભૂલ ઊભી થાય છે. જો કે, આ ભૂલ અંતિમ પરિણામોમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર કરતી નથી.

પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક વિતરણોની સરખામણી કરતી વખતે, -વિતરણ માટે સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા f=m-1-l સંબંધમાંથી જોવા મળે છે, જ્યાં m વર્ગ અંતરાલોની સંખ્યા છે, અને l એ સ્વતંત્ર વિતરણ પરિમાણોની સંખ્યા છે જેનો અંદાજ છે. નમૂના સામાન્ય વિતરણ માટે l=2, કારણ કે તે બે પરિમાણો પર આધાર રાખે છે: અને.

સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા પણ 1 થી ઘટે છે, કારણ કે કોઈપણ વિતરણ માટે એવી શરત છે કે =1, અને તેથી, સ્વતંત્ર રીતે નિર્ધારિત સંભાવનાઓની સંખ્યા k-1 જેટલી છે, k નહીં.

આપેલ ઉદાહરણ માટે, f = 8-2-1 = 5 અને સ્વતંત્રતાના 5 ડિગ્રી સાથે -વિતરણ માટે = 0.05 પર નિર્ણાયક મૂલ્ય 11.07 છે. તેથી, શૂન્ય પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે.

ચાલો ઘોડાના ખૂરથી પ્રુશિયન સૈન્યમાં દર મહિને ડ્રેગનના મૃત્યુની સંખ્યાના ઉત્તમ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પોઈસન વિતરણ સાથે પ્રયોગમૂલક વિતરણની તુલના કરવાની તકનીકને ધ્યાનમાં લઈએ. ડેટા 19મી સદીનો છે, અને મૃત્યુની સંખ્યા 0, 1, 2, વગેરે છે. લગભગ 20 વર્ષોના અવલોકન દરમિયાન પ્રુશિયન કેવેલરીમાં આ ઉદાસી, પરંતુ સદભાગ્યે પ્રમાણમાં દુર્લભ ઘટનાઓનું લક્ષણ છે.

જેમ જાણીતું છે, પોઈસન વિતરણમાં નીચેના સ્વરૂપ છે:

વિતરણ પરિમાણ સરેરાશની બરાબર ક્યાં છે,

K =0,1,2,...,n.

વિતરણ અલગ હોવાથી, અમને રસ હોય તેવી સંભાવનાઓ સીધી સૂત્રમાંથી મળી આવે છે.

ચાલો આપણે બતાવીએ, ઉદાહરણ તરીકે, k=3 માટે સૈદ્ધાંતિક સંખ્યા કેવી રીતે નક્કી થાય છે. સામાન્ય રીતે આપણે શોધીએ છીએ કે આ વિતરણમાં સરેરાશ 0.652 છે. આ મૂલ્યને જોતાં, આપણે શોધીએ છીએ

અહીંથી

જો આપણે = 0.05 પસંદ કરીએ, તો સ્વતંત્રતાના બે ડિગ્રી સાથે -વિતરણ માટેનું નિર્ણાયક મૂલ્ય 5.99 છે, અને તેથી એ પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે કે પસંદ કરેલા મહત્વના સ્તરે પ્રાયોગિક વિતરણ પોઈસન વિતરણથી અલગ નથી. આ કિસ્સામાં સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા બે છે, કારણ કે પોઈસન વિતરણ એક પરિમાણ પર આધારિત છે, અને તેથી, f = m-1-l સંબંધમાં, નમૂનામાંથી અંદાજિત પરિમાણોની સંખ્યા l = 1 છે, અને f = 4-1-1 = 2.

કેટલીકવાર વ્યવહારમાં તે જાણવું અગત્યનું છે કે બે વિતરણો એકબીજાથી અલગ છે કે કેમ, ભલે તે નક્કી કરવું મુશ્કેલ હોય કે કયું સૈદ્ધાંતિક વિતરણ તેમને અંદાજિત કરી શકે છે. આ ખાસ કરીને એવા કિસ્સાઓમાં મહત્વપૂર્ણ છે જ્યાં, ઉદાહરણ તરીકે, તેમના માધ્યમો અને/અથવા ભિન્નતા આંકડાકીય રીતે એકબીજાથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ નથી. વિતરણ પેટર્નમાં નોંધપાત્ર તફાવતો શોધવાથી સંશોધકને આ તફાવતો તરફ દોરી જતા સંભવિત પરિબળો વિશે આગાહી કરવામાં મદદ મળી શકે છે.

આ કિસ્સામાં, આંકડા (23) નો ઉપયોગ કરી શકાય છે, અને એક વિતરણના મૂલ્યોનો પ્રયોગમૂલક જથ્થા તરીકે ઉપયોગ થાય છે, અને બીજાના મૂલ્યો સૈદ્ધાંતિક રાશિઓ તરીકે. સ્વાભાવિક રીતે, આ કિસ્સામાં, વર્ગ અંતરાલમાં વિભાજન બંને વિતરણો માટે સમાન હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે બંને નમૂનાઓમાંથી તમામ ડેટા માટે, લઘુત્તમ અને મહત્તમ મૂલ્યો પસંદ કરવામાં આવે છે, પછી ભલે તે કયા નમૂનાના હોય, અને પછી, વર્ગ અંતરાલોની પસંદ કરેલી સંખ્યા અનુસાર, તેમની પહોળાઈ અને ઑબ્જેક્ટની સંખ્યા નક્કી કરવામાં આવે છે. દરેક નમૂના માટે અલગ અંતરાલમાં પડવાની ગણતરી અલગથી કરવામાં આવે છે.

આ કિસ્સામાં, તે બહાર આવી શકે છે કે કેટલાક વર્ગોમાં સમાવિષ્ટ નથી અથવા ફક્ત થોડા (35) મૂલ્યો તેમાં આવે છે. જો દરેક અંતરાલમાં ઓછામાં ઓછા 35 મૂલ્યો આવે તો પીયર્સન માપદંડનો ઉપયોગ સંતોષકારક પરિણામો આપે છે. તેથી, જો આ જરૂરિયાત પૂરી ન થાય, તો અડીને આવેલા અંતરાલોને મર્જ કરવા જોઈએ. અલબત્ત, આ બંને વિતરણો માટે કરવામાં આવે છે.

અને અંતે, ગણતરી કરેલ મૂલ્યની તુલના અને તેના માટેના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ પસંદ કરેલ મહત્વના સ્તરે સંબંધિત વધુ એક નોંધ. આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે જો >, તો નલ પૂર્વધારણા નકારી કાઢવામાં આવે છે. જો કે, નિર્ણાયક બિંદુ 1 ની નજીકના મૂલ્યો- જમણી બાજુએ આપણી શંકાઓ જગાડવી જોઈએ, કારણ કે પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક વિતરણો અથવા બે પ્રયોગમૂલક વિતરણોનો આટલો સારો સંયોગ (છેવટે, આ કિસ્સામાં સંખ્યાઓ તેનાથી ખૂબ જ અલગ હશે. એકબીજા) રેન્ડમ વિતરણ માટે થવાની શક્યતા નથી. આ કિસ્સામાં, બે વૈકલ્પિક સમજૂતીઓ શક્ય છે: કાં તો આપણે કાયદા સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, અને પછી પ્રાપ્ત પરિણામ આશ્ચર્યજનક નથી, અથવા પ્રાયોગિક ડેટા, કેટલાક કારણોસર, એકબીજા સાથે "ફીટ" છે, જેને તેમની પુનઃ ચકાસણીની જરૂર છે. .

માર્ગ દ્વારા, વટાણા સાથેના ઉદાહરણમાં આપણી પાસે બરાબર પ્રથમ કેસ છે, એટલે કે. સંતાનમાં વિવિધ સરળતા અને રંગના બીજનો દેખાવ કાયદા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, અને તેથી તે આશ્ચર્યજનક નથી કે ગણતરી કરેલ મૂલ્ય એટલું નાનું હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

હવે ચાલો બે પ્રયોગમૂલક વિતરણોની ઓળખ વિશે આંકડાકીય પૂર્વધારણાના પરીક્ષણ પર પાછા ફરીએ. વિવિધ વસવાટોમાંથી લેવામાં આવેલા એનિમોન ફૂલોની પાંખડીઓની સંખ્યાના વિતરણ પર ડેટા રજૂ કરવામાં આવે છે.

ટેબ્યુલર ડેટા પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રથમ બે અને છેલ્લા બે અંતરાલોને જોડવા જોઈએ, કારણ કે તેમાં આવતા મૂલ્યોની સંખ્યા પીયર્સન માપદંડના સાચા ઉપયોગ માટે પૂરતી નથી. આ ઉદાહરણ પરથી એ પણ સ્પષ્ટ થાય છે કે જો માત્ર વસવાટ A માંથી વિતરણનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવે, તો 4 પાંખડીઓ ધરાવતો વર્ગ-અંતર બિલકુલ અસ્તિત્વમાં ન હોત. તે હકીકતના પરિણામે દેખાય છે કે બે વિતરણો એક સાથે ગણવામાં આવે છે, અને બીજા વિતરણમાં આવા વર્ગ છે.

તેથી, ચાલો પૂર્વધારણા તપાસીએ કે આ બે વિતરણો એકબીજાથી અલગ નથી. અમારી પાસે છે

4 ની સ્વતંત્રતાની સંખ્યાબંધ ડિગ્રી અને 0.001 ની સમાન મહત્વના સ્તર માટે, નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે.

બે નમૂના વિતરણની સરખામણી કરવા માટે, તમે N.V. Smirnov દ્વારા પ્રસ્તાવિત અને A.N. Kolmogorov દ્વારા અગાઉ રજૂ કરાયેલા આંકડાઓના આધારે નોનપેરામેટ્રિક માપદંડનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો. (આ કારણે આ ટેસ્ટને ક્યારેક કોલમોગોરોવ-સ્મિરનોવ ટેસ્ટ કહેવામાં આવે છે.) આ ટેસ્ટ સંચિત ફ્રીક્વન્સીની શ્રેણીની સરખામણી પર આધારિત છે. આ માપદંડના આંકડા આ પ્રમાણે જોવા મળે છે

મહત્તમ, (24)
સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝના વિતરણ વણાંકો ક્યાં અને છે.

આંકડા (24) માટેના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ સંબંધમાંથી જોવા મળે છે

, (25)
પ્રથમ અને બીજા નમૂનાનું પ્રમાણ ક્યાં અને છે.

=0.1;=0.05; માટે નિર્ણાયક મૂલ્યો અને =0.01 અનુક્રમે 1.22 ની બરાબર છે; 1.36; 1.63. ચાલો જૂથબદ્ધ ડેટા પર સ્મિર્નોવ માપદંડનો ઉપયોગ સમજાવીએ જે બે જુદા જુદા પ્રદેશોમાંથી સમાન વયના શાળાના બાળકોની વૃદ્ધિ દર્શાવે છે.

સંચિત આવર્તન વણાંકો વચ્ચેનો મહત્તમ તફાવત 0.124 છે. જો આપણે મહત્વ સ્તર = 0.05 પસંદ કરીએ, તો સૂત્ર (25)માંથી આપણી પાસે છે

0,098.

આમ, મહત્તમ પ્રયોગમૂલક તફાવત સૈદ્ધાંતિક રીતે અપેક્ષિત કરતાં વધારે છે, તેથી, મહત્વના સ્વીકૃત સ્તરે, વિચારણા હેઠળના બે વિતરણોની ઓળખ વિશેની શૂન્ય પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે.

સ્મિર્નોવ ટેસ્ટનો ઉપયોગ બિન-ક્લસ્ટર્ડ ડેટા માટે પણ થઈ શકે છે, એકમાત્ર આવશ્યકતા એ છે કે ડેટા સતત વિતરણ સાથે વસ્તીમાંથી દોરવામાં આવવો જોઈએ. તે પણ ઇચ્છનીય છે કે દરેક નમૂનામાં મૂલ્યોની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી 40-50 હોય.

શૂન્ય પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે, જે મુજબ n અને m કદના બે સ્વતંત્ર નમૂનાઓ સમાન વિતરણ કાર્યોને અનુરૂપ છે, એફ. વિલ્કોક્સને બિન-પેરામેટ્રિક માપદંડનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો, જે જી. માન અને એફ. વ્હિટનીના કાર્યોમાં ન્યાયી હતો. તેથી, સાહિત્યમાં આ માપદંડને કાં તો વિલ્કોક્સન માપદંડ અથવા માન-વ્હીટની માપદંડ કહેવામાં આવે છે. આ માપદંડનો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે જ્યારે પ્રાપ્ત નમૂનાના કદ નાના હોય અને અન્ય માપદંડોનો ઉપયોગ અયોગ્ય હોય.

નીચેની ગણતરીઓ માપદંડ બનાવવા માટેના અભિગમને સમજાવે છે જે નમૂનાના મૂલ્યો સાથે નહીં, પરંતુ તેમની રેન્ક સાથે સંકળાયેલ આંકડાઓનો ઉપયોગ કરે છે.

ચાલો આપણા નિકાલ પર કદના n અને m મૂલ્યોના બે નમૂનાઓ રાખીએ. ચાલો તેમાંથી એક સામાન્ય ભિન્નતા શ્રેણી બનાવીએ, અને આ દરેક મૂલ્યોની તેની રેન્ક () સાથે તુલના કરીએ, એટલે કે. ક્રમાંકિત શ્રેણીમાં તે જે સીરીયલ નંબર ધરાવે છે. જો શૂન્ય પૂર્વધારણા સાચી હોય, તો પછી રેન્કનું કોઈપણ વિતરણ સમાન રીતે સંભવિત છે, અને આપેલ n અને m માટે રેન્કના સંભવિત સંયોજનોની કુલ સંખ્યા m દ્વારા N=n+m તત્વોના સંયોજનોની સંખ્યા જેટલી છે.

વિલ્કોક્સન ટેસ્ટ આંકડા પર આધારિત છે

. (26)

ઔપચારિક રીતે, શૂન્ય પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે, રેન્કના તમામ સંભવિત સંયોજનોની ગણતરી કરવી જરૂરી છે કે જેના માટે W આંકડા ચોક્કસ ક્રમાંકિત શ્રેણી માટે મેળવેલા મૂલ્યોની બરાબર અથવા ઓછા મૂલ્યો લે છે, અને આ સંખ્યાનો કુલ ગુણોત્તર શોધો. બંને નમૂનાઓ માટે રેન્કના સંભવિત સંયોજનોની સંખ્યા. પ્રાપ્ત મૂલ્યની પસંદગીના મહત્વના સ્તર સાથે સરખામણી કરવાથી તમે શૂન્ય પૂર્વધારણાને સ્વીકારી અથવા નકારી શકશો. આ અભિગમ માટેનો તર્ક એ છે કે જો એક વિતરણ બીજાની તુલનામાં પક્ષપાતી હોય, તો તે એ હકીકતમાં પોતાને પ્રગટ કરશે કે નાના રેન્ક મુખ્યત્વે એક નમૂનાને અનુરૂપ હોવા જોઈએ, અને મોટાને બીજાને અનુરૂપ હોવા જોઈએ. આના પર આધાર રાખીને, અનુરૂપ ક્રમના સરવાળો નાના કે મોટા હોવા જોઈએ તેના આધારે વૈકલ્પિક શું થાય છે.

= 0.05 ના મહત્વના સ્તર સાથે બંને માપન પદ્ધતિઓને દર્શાવતા વિતરણ કાર્યોની ઓળખ વિશેની પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરવું જરૂરી છે.

આ ઉદાહરણમાં n = 3, m = 2, N = 2+3 = 5, અને પદ્ધતિ B નો ઉપયોગ કરીને માપને અનુરૂપ રેંકનો સરવાળો 1+3 = 4 છે.

ચાલો રેન્કના તમામ =10 સંભવિત વિતરણો અને તેમના સરવાળો લખીએ:

રેન્ક: 1.2 1.3 1.4 1.5 2.3 2.4 2.5 3.4 3.5 4.5

રકમ: 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9

રેંક સંયોજનોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર, જેનો સરવાળો પદ્ધતિ B માટે 4 ના પ્રાપ્ત મૂલ્ય કરતાં વધી શકતો નથી, સંભવિત ક્રમ સંયોજનોની કુલ સંખ્યા 2/10=0.2>0.05 છે, તેથી આ ઉદાહરણ માટે નલ પૂર્વધારણા છે સ્વીકાર્યું.

n અને m ના નાના મૂલ્યો માટે, અનુરૂપ ક્રમના સરવાળોના સંયોજનોની સીધી ગણતરી કરીને નલ પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરી શકાય છે. જો કે, મોટા નમૂનાઓ માટે આ વ્યવહારીક રીતે અશક્ય બની જાય છે, તેથી ડબલ્યુ આંકડા માટે અંદાજો મેળવવામાં આવ્યો હતો, જે તે બહાર આવ્યું છે, અસમપ્રમાણ રીતે યોગ્ય પરિમાણો સાથે સામાન્ય વિતરણ તરફ વલણ ધરાવે છે. રેન્ક-આધારિત આંકડાકીય પરીક્ષણોના સંશ્લેષણ માટેના અભિગમને સમજાવવા માટે અમે આ પરિમાણોની ગણતરી કરીશું. આમ કરવાથી, અમે પ્રકરણ 37 માં પ્રસ્તુત પરિણામોનો ઉપયોગ કરીશું.

W એ નમૂનાઓમાંથી એકને અનુરૂપ રેન્કનો સરવાળો થવા દો, ઉદાહરણ તરીકે, વોલ્યુમ m સાથેનો. ચાલો આ રેન્કનો અંકગણિત સરેરાશ હોઈએ. મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા છે

કારણ કે શૂન્ય પૂર્વધારણા હેઠળ m કદના નમૂનામાં તત્વોની રેન્ક મર્યાદિત વસ્તી 1, 2,...,N (N=n+m) ના નમૂનાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. તે જાણીતું છે

તેથી જ.

ભિન્નતાની ગણતરી કરતી વખતે, અમે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કે સામાન્ય ક્રમાંકિત શ્રેણીના રેન્કના વર્ગોનો સરવાળો, બંને નમૂનાઓના મૂલ્યોથી બનેલો, સમાન છે

સામાન્ય વસ્તી અને નમૂનાઓના ભિન્નતાના અંદાજ માટે અગાઉ મેળવેલા સંબંધોને ધ્યાનમાં લેતા, અમારી પાસે છે

તે તેને અનુસરે છે

તે આંકડા દર્શાવે છે

(27)

મોટા n અને m માટે તે અસમપ્રમાણ રીતે એકમ સામાન્ય વિતરણ ધરાવે છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. બે વય જૂથો માટે રક્ત સીરમ ફિલ્ટ્રેટની પોલરોગ્રાફિક પ્રવૃત્તિ પરનો ડેટા મેળવવા દો. પૂર્વધારણાને = 0.05 ના મહત્વના સ્તર સાથે ચકાસવા માટે જરૂરી છે કે નમૂનાઓ સમાન વિતરણ કાર્યો ધરાવતી સામાન્ય વસ્તીમાંથી લેવામાં આવ્યા છે. પ્રથમ નમૂના માટે રેન્કનો સરવાળો 30 છે, બીજા માટે - 90. રેન્કના સરવાળાની ગણતરીની સાચીતા તપાસવી એ શરતની પરિપૂર્ણતા છે. અમારા કિસ્સામાં, 30+90=(7+8)(7+8+1):

:2=120. ફોર્મ્યુલા (27) અનુસાર, બીજા નમૂનાના રેન્કના સરવાળાનો ઉપયોગ કરીને, અમારી પાસે છે

જો આપણે પ્રથમ નમૂના માટે રેન્કના સરવાળાનો ઉપયોગ કરીએ, તો આપણને મૂલ્ય = -3.01 મળે છે. ગણતરી કરેલ આંકડામાં એકમ સામાન્ય વિતરણ હોવાથી, તે સ્વાભાવિક છે કે પ્રથમ અને બીજા બંને કિસ્સામાં શૂન્ય પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે, કારણ કે 5% મહત્વના સ્તર માટે નિર્ણાયક મૂલ્ય મોડ્યુલો 1.96 છે.

વિલ્કોક્સન ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરતી વખતે, જ્યારે બંને નમૂનાઓમાં સમાન મૂલ્યો જોવા મળે છે ત્યારે કેટલીક મુશ્કેલીઓ ઊભી થાય છે, કારણ કે ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ પરીક્ષણની શક્તિમાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે, કેટલીકવાર ખૂબ જ નોંધપાત્ર રીતે.

આવા કિસ્સાઓમાં ન્યૂનતમ ભૂલો ઘટાડવા માટે, નીચેના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. પ્રથમ વખત જ્યારે વિવિધ નમૂનાઓ સાથે સંબંધિત સમાન મૂલ્યો સામે આવે છે, ત્યારે તેમાંથી કયાને વિવિધતા શ્રેણીમાં પ્રથમ મૂકવું તે રેન્ડમ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, સિક્કો ફેંકીને. જો આવા ઘણા મૂલ્યો છે, તો પછી, તક દ્વારા પ્રથમ એક નક્કી કર્યા પછી, બંને નમૂનાઓમાંથી બાકીના સમાન મૂલ્યો વૈકલ્પિક છે. તે કિસ્સાઓમાં જ્યાં અન્ય સમાન મૂલ્યો જોવા મળે છે, આ કરો. જો સમાન મૂલ્યોના પ્રથમ જૂથમાં પ્રથમ મૂલ્ય એક ચોક્કસ નમૂનામાંથી અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું, તો પછી સમાન મૂલ્યોના આગલા જૂથમાં બીજા નમૂનામાંથી મૂલ્ય પ્રથમ પસંદ કરવામાં આવે છે, વગેરે.

5.અવ્યવસ્થિતતા ચકાસવા અને બાહ્ય અવલોકનોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેના માપદંડ

ઘણી વાર, ડેટા સમય અથવા અવકાશમાં શ્રેણીમાં પ્રાપ્ત થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સાયકોફિઝીયોલોજીકલ પ્રયોગો હાથ ધરવાની પ્રક્રિયામાં, જે ઘણા કલાકો, ઘણા દસ અથવા સેંકડો વખત ટકી શકે છે, પ્રસ્તુત દ્રશ્ય ઉત્તેજનાની પ્રતિક્રિયાના ગુપ્ત (ગુપ્ત સમયગાળો) માપવામાં આવે છે, અથવા ભૌગોલિક સર્વેક્ષણોમાં, જ્યારે સ્થિત સાઇટ્સ પર હોય છે. ચોક્કસ સ્થળોએ, ઉદાહરણ તરીકે, જંગલોની ધાર સાથે, ચોક્કસ પ્રકારના છોડની સંખ્યા ગણવામાં આવે છે, વગેરે. બીજી બાજુ, વિવિધ આંકડાઓની ગણતરી કરતી વખતે, એવું માનવામાં આવે છે કે સ્રોત ડેટા સ્વતંત્ર છે અને સમાન રીતે વિતરિત થાય છે. તેથી, આ ધારણાને ચકાસવામાં રસ છે.

પ્રથમ, સમાનરૂપે સામાન્ય રીતે વિતરિત મૂલ્યોની સ્વતંત્રતાની શૂન્ય પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટેના માપદંડને ધ્યાનમાં લો. આમ, આ માપદંડ પેરામેટ્રિક છે. તે ક્રમિક તફાવતોના સરેરાશ વર્ગોની ગણતરી પર આધારિત છે

. (28)

જો આપણે નવા આંકડા રજૂ કરીએ, તો પછી, સિદ્ધાંત પરથી જાણીતું છે, જો નલ પૂર્વધારણા સાચી હોય, તો આંકડા

(29)
n>10 માટે પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણ અનુસાર અસમપ્રમાણ રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. સાયકોફિઝીયોલોજીકલ પ્રયોગોમાંથી એકમાં વિષયની પ્રતિક્રિયા સમય () આપવામાં આવે છે.

અમારી પાસે છે: ક્યાંથી

કારણ કે =0.05 માટે નિર્ણાયક મૂલ્ય 1.96 છે, પરિણામી શ્રેણીની સ્વતંત્રતા વિશેની શૂન્ય પૂર્વધારણા પસંદ કરેલ મહત્વ સ્તર સાથે સ્વીકારવામાં આવે છે.

પ્રાયોગિક ડેટાનું પૃથ્થકરણ કરતી વખતે વારંવાર ઉદ્ભવતો બીજો પ્રશ્ન એ છે કે કેટલાક અવલોકનો જે મોટા ભાગના અવલોકનોથી ખૂબ જ અલગ હોય છે તેનું શું કરવું. આવા બાહ્ય અવલોકનો પદ્ધતિસરની ભૂલો, ગણતરીની ભૂલો વગેરેને કારણે થઈ શકે છે. બધા કિસ્સાઓમાં જ્યાં પ્રયોગકર્તા જાણે છે કે અવલોકનમાં ભૂલ આવી છે, તેણે આ મૂલ્યને બાકાત રાખવું જોઈએ, તેની તીવ્રતાને ધ્યાનમાં લીધા વિના. અન્ય કિસ્સાઓમાં, ભૂલની માત્ર શંકા છે, અને પછી ચોક્કસ નિર્ણય લેવા માટે યોગ્ય માપદંડોનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે, એટલે કે. બાહ્ય અવલોકનો બાકાત અથવા છોડી દો.

સામાન્ય રીતે, પ્રશ્ન નીચે મુજબ છે: શું સમાન વસ્તી પર કરવામાં આવેલા અવલોકનો છે અથવા અમુક ભાગો અથવા વ્યક્તિગત મૂલ્યો અલગ વસ્તીના છે?

અલબત્ત, વ્યક્તિગત અવલોકનોને બાકાત રાખવાનો એકમાત્ર ભરોસાપાત્ર રસ્તો એ છે કે આ અવલોકનો કયા સંજોગોમાં પ્રાપ્ત થયા હતા તેનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરવો. જો કોઈ કારણોસર શરતો પ્રમાણભૂત કરતા અલગ હોય, તો અવલોકનોને વધુ વિશ્લેષણમાંથી બાકાત રાખવું જોઈએ. પરંતુ અમુક કિસ્સાઓમાં હાલના માપદંડો, અપૂર્ણ હોવા છતાં, નોંધપાત્ર લાભ થઈ શકે છે.

અમે અહીં, પુરાવા વિના, ઘણા સંબંધો રજૂ કરીશું જેનો ઉપયોગ પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે થઈ શકે છે કે અવલોકનો સમાન વસ્તી પર તક દ્વારા કરવામાં આવે છે. અમારી પાસે છે

(30)

(31)

(32)

શંકાસ્પદ "આઉટલીયર" અવલોકન ક્યાં છે. જો શ્રેણીના તમામ મૂલ્યોને ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે, તો તેમાં સૌથી અગ્રણી અવલોકન nમું સ્થાન મેળવશે.

આંકડાઓ માટે (30), વિતરણ કાર્ય ટેબ્યુલેટેડ છે. કેટલાક n માટે આ વિતરણના નિર્ણાયક મુદ્દાઓ આપવામાં આવ્યા છે.

n પર આધાર રાખીને આંકડાઓ (31) માટે નિર્ણાયક મૂલ્યો છે

4,0; 6

4,5; 100

5.0; n>1000.

ફોર્મ્યુલા (31) ધારે છે અને શંકાસ્પદ અવલોકનને ધ્યાનમાં લીધા વિના તેની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

આંકડા (32) સાથે, પરિસ્થિતિ વધુ જટિલ છે. તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે જો તેઓ સમાનરૂપે વિતરિત કરવામાં આવે છે, તો ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતાનું સ્વરૂપ છે:

જટિલ ક્ષેત્ર નાના મૂલ્યો દ્વારા રચાય છે જે મોટા મૂલ્યોને અનુરૂપ છે. જો તમને સૌથી નાના મૂલ્યના "આઉટલીયર" માટે ચકાસવામાં રસ હોય, તો પહેલા ડેટાને રૂપાંતરિત કરો જેથી તેઓ અંતરાલ પર સમાન વિતરણ કરે, અને પછી આ સમાન મૂલ્યોના ઉમેરાને 1 માં લો અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તપાસો ( 32).

અવલોકનોની નીચેની ક્રમાંકિત શ્રેણી માટે ઉપરોક્ત માપદંડોનો ઉપયોગ કરવાનું વિચારો: 3,4,5,5,6,7,8,9,9,10,11,17. તમારે નક્કી કરવાની જરૂર છે કે શું સૌથી વધુ મૂલ્ય 17 નકારવું જોઈએ.

અમારી પાસે છે: ફોર્મ્યુલા (30) =(17-11)/3.81=1.57 મુજબ, અને નલ પૂર્વધારણા =0.01 પર સ્વીકારવી જોઈએ. સૂત્ર (31) = (17-7.0)/2.61 = 3.83 અનુસાર, અને શૂન્ય પૂર્વધારણા પણ સ્વીકારવી જોઈએ. ત્રીજા માપદંડનો ઉપયોગ કરવા માટે, અમે =5.53 શોધીએ છીએ

w આંકડા સામાન્ય રીતે શૂન્ય સરેરાશ અને એકમ ભિન્નતા સાથે વિતરિત કરવામાં આવે છે, અને તેથી = 0.05 પર નલ પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે.

આંકડા (32) નો ઉપયોગ કરવામાં મુશ્કેલી એ છે કે નમૂના મૂલ્યોના વિતરણના કાયદા વિશે પ્રાથમિક માહિતી હોવી જરૂરી છે, અને પછી વિશ્લેષણાત્મક રીતે આ વિતરણને અંતરાલ પર સમાન વિતરણમાં રૂપાંતરિત કરો.

સાહિત્ય

1. એલિસીવા I.I. આંકડાશાસ્ત્રનો સામાન્ય સિદ્ધાંત: યુનિવર્સિટીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / I.I. એલિસીવા, એમ.એમ. યુઝબાશેવ; દ્વારા સંપાદિત I.I. એલિસીવા. એમ.: ફાઇનાન્સ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 2009. 656 પૃષ્ઠ.

2. એફિમોવા એમ.આર. આંકડાશાસ્ત્રના સામાન્ય સિદ્ધાંત પર વર્કશોપ: યુનિવર્સિટીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / M.R. એફિમોવા અને અન્ય એમ.: ફાઇનાન્સ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 2007. 368 પૃષ્ઠ.

3. મેલ્કુમોવ વાય.એસ. સામાજિક-આર્થિક આંકડા: શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરની માર્ગદર્શિકા. એમ.: IMPE-પબ્લિશ, 2007. 200 પૃષ્ઠ.

4. આંકડાઓનો સામાન્ય સિદ્ધાંત: વ્યાપારી પ્રવૃત્તિના અભ્યાસમાં આંકડાકીય પદ્ધતિ: યુનિવર્સિટીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / O.E. બશીના અને અન્ય; દ્વારા સંપાદિત ઓ.ઈ. બશીના, એ.એ. સ્પિરિના. - એમ.: ફાઇનાન્સ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 2008. 440 પૃ.

5. સેલીન વી.એન. નાણાકીય અને આર્થિક પ્રોફાઇલ્સમાં નિષ્ણાતોને તાલીમ આપવા માટે આંકડાશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતનો અભ્યાસક્રમ: પાઠ્યપુસ્તક / વી.એન. સેલીન, ઇ.યુ. ચુરિલોવા. એમ.: ફાઇનાન્સ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 2007. 480 પૃ.

6. સામાજિક-આર્થિક આંકડા: વર્કશોપ: પાઠ્યપુસ્તક / વી.એન. સેલિન એટ અલ.; દ્વારા સંપાદિત વી.એન. સલીના, ઇ.પી. શ્પાકોવસ્કાયા. એમ.: ફાઇનાન્સ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 2009. 192 પૃ.

7. આંકડા: પાઠ્યપુસ્તક / A.V. બગત એટ અલ.; દ્વારા સંપાદિત વી.એમ. સિમચર્સ. એમ.: ફાઇનાન્સ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 2007. 368 પૃષ્ઠ.

8. આંકડા: પાઠ્યપુસ્તક / I.I. એલિસીવા અને અન્ય; દ્વારા સંપાદિત I.I. એલિસીવા. એમ.: ઉચ્ચ શિક્ષણ, 2008. - 566 પૃષ્ઠ.

9. આંકડાશાસ્ત્રનો સિદ્ધાંત: યુનિવર્સિટીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / આર.એ. શ્મોઇલોવા અને અન્ય; દ્વારા સંપાદિત આર.એ. શ્મોઇલોવા. - એમ.: ફાઇનાન્સ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 2007. 656 પૃ.

10. શ્મોઇલોવા આર.એ. આંકડાશાસ્ત્રના સિદ્ધાંત પર વર્કશોપ: યુનિવર્સિટીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / આર.એ. શ્મોઇલોવા અને અન્ય; દ્વારા સંપાદિત આર.એ. શ્મોઇલોવા. - એમ.: ફાઇનાન્સ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 2007. 416 પૃ.

પૃષ્ઠ \* મર્જફોર્મેટ 1

આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓ. સંમતિ માપદંડ.

શૂન્ય(મૂળભૂત)અજાણ્યા વિતરણના સ્વરૂપ વિશે અથવા જાણીતા વિતરણોના પરિમાણો વિશે આગળ મૂકવામાં આવેલી પૂર્વધારણાને કૉલ કરો. સ્પર્ધા કરે છે (વૈકલ્પિક)એક પૂર્વધારણા કહેવાય છે જે નલ પૂર્વધારણાનો વિરોધાભાસ કરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો નલ પૂર્વધારણા એ રેન્ડમ ચલ છે એક્સકાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે, તો પછી સ્પર્ધાત્મક પૂર્વધારણા રેન્ડમ ચલ હોઈ શકે છે એક્સઅલગ કાયદા અનુસાર વિતરિત.

આંકડાકીય માપદંડ(અથવા માત્ર માપદંડ) ને રેન્ડમ ચલ કહેવામાં આવે છે TO, જે નલ પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે સેવા આપે છે.

ચોક્કસ માપદંડ પસંદ કર્યા પછી, ઉદાહરણ તરીકે માપદંડ , તેના તમામ સંભવિત મૂલ્યોના સમૂહને બે અસંબંધિત ઉપગણોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: તેમાંથી એક માપદંડ મૂલ્યો ધરાવે છે જેના પર નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે, અને બીજું - જેના પર તે સ્વીકારવામાં આવે છે.

જટિલ વિસ્તારમાપદંડ મૂલ્યોનો સમૂહ છે કે જેના પર નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે. પૂર્વધારણા સ્વીકૃતિ વિસ્તાર માપદંડ મૂલ્યોના સમૂહને કૉલ કરો કે જેના પર પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે. જટિલ મુદ્દાઓ તેઓ નિર્ણાયક પ્રદેશને તે પ્રદેશથી અલગ કરતા બિંદુઓને કહે છે જ્યાં શૂન્ય પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે.

અમારા ઉદાહરણ માટે, ની કિંમત સાથે, નમૂનામાંથી ગણતરી કરેલ મૂલ્ય પૂર્વધારણાની સ્વીકૃતિના ક્ષેત્રને અનુરૂપ છે: રેન્ડમ ચલ કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે. જો ગણતરી કરેલ મૂલ્ય છે, તો તે નિર્ણાયક ક્ષેત્રમાં આવે છે, એટલે કે, કાયદા અનુસાર રેન્ડમ ચલના વિતરણ વિશેની પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે.

વિતરણના કિસ્સામાં, નિર્ણાયક પ્રદેશ અસમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, તે પ્રદેશ જ્યાં નલ પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે તે અસમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

2.6.3. કરાર માપદંડ પીયર્સન.

પ્રાણી વિજ્ઞાન અને પશુચિકિત્સા આનુવંશિક વિજ્ઞાનના કાર્યોમાંનું એક જરૂરી લાક્ષણિકતાઓ સાથે નવી જાતિઓ અને પ્રજાતિઓનું સંવર્ધન છે. ઉદાહરણ તરીકે, રોગપ્રતિકારક શક્તિમાં વધારો, રોગ સામે પ્રતિકાર અથવા રૂંવાટીનો રંગ બદલવો.

વ્યવહારમાં, પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, તે ઘણી વાર તારણ આપે છે કે વાસ્તવિક પરિણામો વધુ કે ઓછા કેટલાક સૈદ્ધાંતિક વિતરણ કાયદાને અનુરૂપ છે. વાસ્તવિક (અનુભાવિક) ડેટા અને સૈદ્ધાંતિક (કાલ્પનિક) ડેટા વચ્ચેના પત્રવ્યવહારની ડિગ્રીનું મૂલ્યાંકન કરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, એક નલ પૂર્વધારણા આગળ મૂકો: પરિણામી વસ્તી "A" કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે. અપેક્ષિત વિતરણ કાયદા વિશેની પૂર્વધારણાને ખાસ પસંદ કરેલ રેન્ડમ ચલનો ઉપયોગ કરીને ચકાસવામાં આવે છે - સારીતા-ઓફ-ફિટ માપદંડ.

કરાર માપદંડઅજ્ઞાત વિતરણના ધારિત કાયદા વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટેનો માપદંડ કહેવાય છે.

કરારના ઘણા માપદંડો છે: પીયર્સન, કોલમોગોરોવ, સ્મિર્નોવ, વગેરે. પિયર્સન ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટ સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાય છે.

ચાલો વસ્તીના સામાન્ય વિતરણ વિશેની પૂર્વધારણાના પરીક્ષણના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પીયર્સન માપદંડના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ. આ હેતુ માટે, અમે પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક (સામાન્ય વિતરણ ચાલુ રાખવાની ગણતરીમાં) ફ્રીક્વન્સીઝની તુલના કરીશું.

સામાન્ય રીતે સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સી વચ્ચે થોડો તફાવત હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે:

પ્રયોગમૂલક આવર્તન 7 15 41 93 113 84 25 13 5

સૈદ્ધાંતિક આવર્તન 5 13 36 89 114 91 29 14 6

ચાલો બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝ વચ્ચેની વિસંગતતા રેન્ડમ (નજીવી) છે, એટલે કે. સામાન્ય કાયદા અનુસાર પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝના વિતરણ વિશે પ્રસ્તાવ મૂકવો શક્ય છે;

સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝ વચ્ચેની વિસંગતતા આકસ્મિક (નોંધપાત્ર) નથી, એટલે કે. સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝની ગણતરી સામાન્ય વસ્તી વિતરણની ખોટી પૂર્વધારણાના આધારે કરવામાં આવી હતી.

પિયરસન ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીને, તમે નક્કી કરી શકો છો કે સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેની વિસંગતતા આકસ્મિક છે કે નહીં, એટલે કે. આપેલ આત્મવિશ્વાસની સંભાવના સાથે, નિર્ધારિત કરો કે વસ્તી સામાન્ય કાયદા અનુસાર વહેંચવામાં આવી છે કે નહીં.

તેથી, પ્રયોગમૂલક વિતરણને કદ n ના નમૂનામાંથી મેળવવા દો:

વિકલ્પો......

પ્રયોગમૂલક આવર્તન…….

ચાલો ધારીએ કે સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝની ગણતરી સામાન્ય વિતરણની ધારણા હેઠળ કરવામાં આવે છે. મહત્વના સ્તરે, શૂન્ય પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરવું જરૂરી છે: વસ્તી સામાન્ય રીતે વિતરિત થાય છે.

નલ પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટેના માપદંડ તરીકે, અમે રેન્ડમ ચલ લઈશું

(*)

આ જથ્થો અવ્યવસ્થિત છે, કારણ કે વિવિધ પ્રયોગોમાં તે વિવિધ, અગાઉ અજાણ્યા મૂલ્યો લે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝ જેટલી ઓછી હોય છે, માપદંડનું મૂલ્ય ઓછું હોય છે અને તેથી, અમુક હદ સુધી તે પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક વિતરણોની નિકટતા દર્શાવે છે.

તે સાબિત થયું છે કે જ્યારે રેન્ડમ ચલ (*) નો વિતરણ કાયદો, સામાન્ય વસ્તી કયા વિતરણ કાયદાને આધીન છે તેને ધ્યાનમાં લીધા વિના, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે વિતરણ કાયદા તરફ વલણ ધરાવે છે. તેથી, રેન્ડમ ચલ (*) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને માપદંડને જ "ચી-સ્ક્વેર" ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ માપદંડ કહેવામાં આવે છે.

ચાલો દ્વારા અવલોકન ડેટામાંથી ગણતરી કરેલ માપદંડનું મૂલ્ય દર્શાવીએ. આપેલ મહત્વના સ્તર અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા માટે માપદંડના ટેબ્યુલેટેડ જટિલ મૂલ્યો દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સમાનતા પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે, જ્યાં નમૂના અથવા વર્ગોના જૂથોની સંખ્યા (આંશિક અંતરાલો) છે; - અપેક્ષિત વિતરણના પરિમાણોની સંખ્યા. સામાન્ય વિતરણમાં બે પરિમાણો છે - ગાણિતિક અપેક્ષા અને પ્રમાણભૂત વિચલન. તેથી, સમાનતામાંથી સામાન્ય વિતરણ માટે સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા જોવા મળે છે

જો ગણતરી કરેલ મૂલ્ય અને કોષ્ટક મૂલ્ય અસમાનતાને સંતોષે છે , વસ્તીના સામાન્ય વિતરણ વિશે શૂન્ય પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે. જો , નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે અને વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે (વસ્તી સામાન્ય રીતે વિતરિત થતી નથી).

ટિપ્પણી.પિયર્સન ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરતી વખતે, નમૂનાનું કદ ઓછામાં ઓછું 30 હોવું જોઈએ. દરેક જૂથમાં ઓછામાં ઓછા 5 વિકલ્પો હોવા જોઈએ. જો જૂથોમાં 5 કરતાં ઓછી આવર્તન હોય, તો તે પડોશી જૂથો સાથે જોડવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, ચી-સ્ક્વેર ડિસ્ટ્રિબ્યુશન માટે સ્વતંત્રતાના ડિગ્રીની સંખ્યાને મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેમાંથી અનુરૂપ સૂચકાંકોની ગણતરી કરવામાં આવે છે, આ મૂલ્યોને જોડતી શરતોની સંખ્યાને બાદ કરો, એટલે કે. તેમની વચ્ચે ભિન્નતાની શક્યતા ઘટાડે છે. સૌથી સરળ કેસોમાં, ગણતરી કરતી વખતે, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા એક દ્વારા ઘટાડવામાં આવેલા વર્ગોની સંખ્યા જેટલી હશે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ડાયહાઇબ્રિડ વિભાજન સાથે, 4 વર્ગો મેળવવામાં આવે છે, પરંતુ માત્ર પ્રથમ વર્ગ અસંબંધિત છે, પછીના વર્ગો પહેલાથી જ અગાઉના વર્ગો સાથે સંબંધિત છે. તેથી, ડાયહાઇબ્રિડ વિભાજન માટે, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા છે.

ઉદાહરણ 1.સૈદ્ધાંતિક રીતે અપેક્ષિત એક સાથે ક્ષય રોગવાળી ગાયોની સંખ્યા દ્વારા જૂથોના વાસ્તવિક વિતરણના પાલનની ડિગ્રી નક્કી કરો, જે સામાન્ય વિતરણને ધ્યાનમાં લેતી વખતે ગણવામાં આવી હતી. સ્રોત ડેટા કોષ્ટકમાં સારાંશ આપેલ છે:

ઉકેલ.

મહત્વના સ્તર અને વિતરણના નિર્ણાયક બિંદુઓના કોષ્ટકમાંથી સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યાના આધારે (પરિશિષ્ટ 4 જુઓ), અમે મૂલ્ય શોધીએ છીએ . ત્યારથી , અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે સૈદ્ધાંતિક અને વાસ્તવિક ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેનો તફાવત રેન્ડમ છે. આમ, ક્ષય રોગથી બીમાર ગાયોની સંખ્યા દ્વારા જૂથોનું વાસ્તવિક વિતરણ સૈદ્ધાંતિક રીતે અપેક્ષિત છે.

ઉદાહરણ 2.મેન્ડેલના નિયમ અનુસાર સસલાના ડાયહાઇબ્રીડ ક્રોસિંગ દ્વારા બીજી પેઢીમાં મેળવેલ વ્યક્તિઓના ફેનોટાઇપ દ્વારા સૈદ્ધાંતિક વિતરણ 9:3:3:1 છે. સામાન્ય વાળવાળા કાળી વ્યક્તિઓને પાર કરવાથી સસલાના પ્રાયોગિક વિતરણના પત્રવ્યવહારની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. નમ્ર પ્રાણીઓ સાથે - અલ્બીનો. બીજી પેઢીમાં ક્રોસિંગ કરતી વખતે, 120 વંશજો પ્રાપ્ત થયા હતા, જેમાં ટૂંકા વાળવાળા 45 કાળા, 30 કાળા ડાઉની સસલા, 25 ટૂંકા વાળવાળા સફેદ, 20 સફેદ ડાઉની સસલાનો સમાવેશ થાય છે.

ઉકેલ.સૈદ્ધાંતિક રીતે, સંતાનમાં અપેક્ષિત અલગતા ચાર ફેનોટાઇપ્સ (9: 3: 3: 1) ના ગુણોત્તરને અનુરૂપ હોવા જોઈએ. ચાલો દરેક વર્ગ માટે સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝ (ધ્યેયોની સંખ્યા) ની ગણતરી કરીએ:

9+3+3+1=16, જેનો અર્થ છે કે આપણે અપેક્ષા રાખી શકીએ કે કાળા શોર્ટહેયર હશે ; કાળો ડાઉની - ; સફેદ ટૂંકા વાળવાળા - ; સફેદ ડાઉની -.

ફેનોટાઇપ્સનું પ્રાયોગિક (વાસ્તવિક) વિતરણ નીચે મુજબ હતું: 45; 30; 25; 20.

ચાલો નીચેના કોષ્ટકમાં આ તમામ ડેટાનો સારાંશ આપીએ:

પિયરસન ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીને, અમે મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ:

ડાયહાઇબ્રિડ ક્રોસિંગમાં સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા. મહત્વના સ્તર માટે મૂલ્ય શોધો . ત્યારથી , અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે સૈદ્ધાંતિક અને વાસ્તવિક ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેનો તફાવત રેન્ડમ નથી. પરિણામે, સસલાનું પરિણામી જૂથ ડાયહાઇબ્રીડ ક્રોસિંગ દરમિયાન મેન્ડેલના કાયદામાંથી ફેનોટાઇપ્સના વિતરણમાં વિચલિત થાય છે અને અમુક પરિબળોના પ્રભાવને પ્રતિબિંબિત કરે છે જે ક્રોસ બ્રીડ્સની બીજી પેઢીમાં ફેનોટાઇપિક અલગતાના પ્રકારને બદલે છે.

પીયર્સન ચી-સ્ક્વેર ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટનો ઉપયોગ બે એકરૂપ પ્રયોગમૂલક વિતરણની એકબીજા સાથે સરખામણી કરવા માટે પણ થઈ શકે છે, એટલે કે. જેઓ સમાન વર્ગની સીમાઓ ધરાવે છે. નલ પૂર્વધારણા એ પૂર્વધારણા છે કે બે અજાણ્યા વિતરણ કાર્યો સમાન છે. આવા કિસ્સાઓમાં ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટ ફોર્મ્યુલા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

(**)

વિતરણના કદની સરખામણી ક્યાં અને છે; અને - અનુરૂપ વર્ગોની ફ્રીક્વન્સીઝ.

નીચેના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને બે પ્રયોગમૂલક વિતરણોની સરખામણીનો વિચાર કરો.

ઉદાહરણ 3. કોયલના ઇંડાની લંબાઈ બે પ્રાદેશિક ઝોનમાં માપવામાં આવી હતી. પ્રથમ ઝોનમાં, 76 ઇંડા () ના નમૂનાની તપાસ કરવામાં આવી હતી, બીજા 54 (). નીચેના પરિણામો પ્રાપ્ત થયા:

મહત્વના સ્તરે, આપણે શૂન્ય પૂર્વધારણાને ચકાસવાની જરૂર છે કે ઇંડાના બંને નમૂનાઓ એક જ કોયલની વસ્તીના છે.

સૈદ્ધાંતિક વિતરણ કાયદાના પ્રયોગમૂલક વિતરણના પત્રવ્યવહાર વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે, વિશેષ આંકડાકીય સૂચકાંકોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે - સારા-યોગ્ય માપદંડ (અથવા અનુપાલન માપદંડ). આમાં પીયર્સન, કોલ્મોગોરોવ, રોમાનોવ્સ્કી, યાસ્ટ્રેમ્સ્કી, વગેરેના માપદંડોનો સમાવેશ થાય છે. મોટાભાગના કરાર માપદંડો સૈદ્ધાંતિક મુદ્દાઓમાંથી પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝના વિચલનોના ઉપયોગ પર આધારિત છે.

દેખીતી રીતે, આ વિચલનો જેટલા નાના હશે, તેટલું સારું સૈદ્ધાંતિક વિતરણ પ્રાયોગિક (અથવા તેનું વર્ણન) સાથે અનુરૂપ હશે.સંમતિ માપદંડ

- આ સૈદ્ધાંતિક સંભાવના વિતરણ માટે પ્રયોગમૂલક વિતરણના પત્રવ્યવહાર વિશેની પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરવા માટેના માપદંડો છે. આવા માપદંડોને બે વર્ગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: સામાન્ય અને વિશેષ. સામાન્ય સદ્ગુણ-ઑફ-ફિટ પરીક્ષણો એક પૂર્વધારણાના સૌથી સામાન્ય ફોર્મ્યુલેશન પર લાગુ થાય છે, એટલે કે, પૂર્વધારણા કે જે પરિણામોનું અવલોકન કરે છે તે કોઈપણ પૂર્વધારિત સંભાવના વિતરણ સાથે સંમત થાય છે. સ્પેશિયલ ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટમાં ખાસ નલ પૂર્વધારણાઓનો સમાવેશ થાય છે જે સંભવિતતા વિતરણના ચોક્કસ સ્વરૂપ સાથે કરાર કરે છે.

કરારના માપદંડો, સ્થાપિત વિતરણ કાયદાના આધારે, તે સ્થાપિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે જ્યારે સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝ વચ્ચેની વિસંગતતાઓને નજીવી (રેન્ડમ) અને ક્યારે - નોંધપાત્ર (નોન-રેન્ડમ) ગણવી જોઈએ. તે આનાથી અનુસરે છે કે કરારના માપદંડ પ્રાયોગિક શ્રેણીમાં વિતરણની પ્રકૃતિ વિશેની શ્રેણીને સંરેખિત કરતી વખતે આગળ મૂકવામાં આવેલી પૂર્વધારણાની સાચીતાને નકારવા અથવા પુષ્ટિ કરવાનું શક્ય બનાવે છે અને આપેલ પ્રયોગમૂલક વિતરણ માટે સ્વીકારવું શક્ય છે કે કેમ તેનો જવાબ આપવા માટે. કેટલાક સૈદ્ધાંતિક વિતરણ કાયદા દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ મોડેલ.પિયર્સન ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટ

c 2 (ચી-સ્ક્વેર) એ એગ્રીમેન્ટ માટેના મુખ્ય માપદંડોમાંનું એક છે. ઇંગ્લીશ ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ પીયર્સન (1857-1936) દ્વારા પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક વિતરણની ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેની વિસંગતતાની રેન્ડમનેસ (મહત્વ)નું મૂલ્યાંકન કરવા માટે પ્રસ્તાવિત:

સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક વિતરણોની સુસંગતતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે માપદંડ c 2 લાગુ કરવાની યોજના નીચે મુજબ છે:

1. વિસંગતતાનું ગણતરી કરેલ માપ નક્કી કરવામાં આવે છે.

2. સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા નક્કી કરવામાં આવે છે.

3. સ્વતંત્રતા n ની ડિગ્રીની સંખ્યાના આધારે, વિશિષ્ટ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, નક્કી કરવામાં આવે છે.

મહત્વ સ્તરપુટ ફોરવર્ડ પૂર્વધારણાને ભૂલથી નકારી કાઢવાની સંભાવના છે, એટલે કે. સાચી પૂર્વધારણા નકારવામાં આવશે તેવી સંભાવના. આંકડાકીય અધ્યયનમાં, હલ કરવામાં આવતી સમસ્યાઓના મહત્વ અને જવાબદારીના આધારે, નીચેના ત્રણ સ્તરના મહત્વનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

1) a = 0.1, પછી આર = 0,9;

2) a = 0.05, પછી આર = 0,95;

3) a = 0.01, પછી આર = 0,99.

કરાર માપદંડ c 2 નો ઉપયોગ કરીને, નીચેની શરતો પૂરી કરવી આવશ્યક છે:

1. અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીનો જથ્થો પૂરતો મોટો હોવો જોઈએ ( એન≥ 50), જ્યારે આવર્તન અથવા જૂથનું કદ ઓછામાં ઓછું 5 હોવું આવશ્યક છે. જો આ સ્થિતિનું ઉલ્લંઘન થાય છે, તો પ્રથમ નાની ફ્રીક્વન્સીઝ (5 કરતાં ઓછી) જોડવી જરૂરી છે.

2. પ્રયોગમૂલક વિતરણમાં રેન્ડમ સેમ્પલિંગના પરિણામે મેળવેલ ડેટાનો સમાવેશ થવો જોઈએ, એટલે કે. તેઓ સ્વતંત્ર હોવા જોઈએ.

પીયર્સન ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ માપદંડનો ગેરલાભ એ છે કે અવલોકન પરિણામોને અંતરાલોમાં જૂથબદ્ધ કરવાની જરૂરિયાત સાથે સંકળાયેલી મૂળ માહિતીના ભાગને ગુમાવવો અને થોડી સંખ્યામાં અવલોકનો સાથે વ્યક્તિગત અંતરાલોનું સંયોજન. આ સંદર્ભમાં, 2 અન્ય માપદંડો સાથે માપદંડ અનુસાર વિતરણ અનુપાલનની તપાસને પૂરક કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે. આ ખાસ કરીને પ્રમાણમાં નાના નમૂનાના કદ સાથે જરૂરી છે ( n ≈ 100).

આંકડામાં કોલ્મોગોરોવ-ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટ(કોલ્મોગોરોવ-સ્મિર્નોવ ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટ તરીકે પણ ઓળખાય છે) નો ઉપયોગ બે પ્રયોગમૂલક વિતરણો સમાન કાયદાનું પાલન કરે છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવા અથવા પરિણામી વિતરણ ધારિત મોડેલનું પાલન કરે છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવા માટે થાય છે. કોલમોગોરોવ માપદંડ સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝ અથવા પ્રયોગમૂલક અથવા સૈદ્ધાંતિક વિતરણની આવર્તન વચ્ચે મહત્તમ વિસંગતતા નક્કી કરવા પર આધારિત છે. કોલમોગોરોવ માપદંડની ગણતરી નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

જ્યાં ડીઅને ડી- તદનુસાર, સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝ વચ્ચેનો મહત્તમ તફાવત ( f – f¢) અને સંચિત આવર્તન વચ્ચે ( પી – પી¢) વિતરણની પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક શ્રેણી; એન- એકંદરમાં એકમોની સંખ્યા.

λ ના મૂલ્યની ગણતરી કર્યા પછી, સંભવિતતા નક્કી કરવા માટે એક વિશિષ્ટ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેની સાથે તે કહી શકાય કે સૈદ્ધાંતિક રાશિઓમાંથી પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝના વિચલનો રેન્ડમ છે. જો ચિહ્ન 0.3 સુધીના મૂલ્યો લે છે, તો આનો અર્થ એ છે કે ફ્રીક્વન્સીઝનો સંપૂર્ણ સંયોગ છે. મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો સાથે, કોલમોગોરોવ પરીક્ષણ પૂર્વધારણામાંથી કોઈપણ વિચલન શોધવા માટે સક્ષમ છે. આનો અર્થ એ છે કે જો ત્યાં પર્યાપ્ત મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો હશે તો નમૂના વિતરણ અને સૈદ્ધાંતિક વચ્ચેનો કોઈપણ તફાવત તેની મદદથી શોધી કાઢવામાં આવશે. આ ગુણધર્મનું વ્યવહારુ મહત્વ નોંધપાત્ર નથી, કારણ કે મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં સતત પરિસ્થિતિઓમાં મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો મેળવવા પર ગણતરી કરવી મુશ્કેલ છે, વિતરણ કાયદાનો સૈદ્ધાંતિક વિચાર કે જેનું નમૂનાએ પાલન કરવું જોઈએ તે હંમેશા અંદાજિત હોય છે, અને આંકડાકીય પરીક્ષણોની ચોકસાઈ પસંદ કરેલ મોડેલની ચોકસાઈ કરતાં વધી ન જોઈએ.

રોમાનોવ્સ્કીનો ફિટનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટપીયર્સન માપદંડના ઉપયોગ પર આધારિત છે, એટલે કે. પહેલેથી જ c 2 ના મૂલ્યો અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા મળી છે:

જ્યાં n એ વિવિધતાની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા છે.

માટે કોષ્ટકોની ગેરહાજરીમાં રોમનવોસ્કી માપદંડ અનુકૂળ છે. જો< 3, то расхождения распределений случайны, если же >3, તો પછી તે રેન્ડમ નથી અને સૈદ્ધાંતિક વિતરણ અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા પ્રયોગમૂલક વિતરણ માટે એક મોડેલ તરીકે સેવા આપી શકતું નથી.

બી.એસ. યાસ્ટ્રેમ્સ્કીએ કરારના માપદંડમાં સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા નહીં, પરંતુ જૂથોની સંખ્યા ( k), જૂથોની સંખ્યાના આધારે q નું વિશેષ મૂલ્ય અને ચી-ચોરસ મૂલ્ય. યાસ્ટ્રેમ્સ્કીનો ફિટનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટરોમનવોસ્કી માપદંડ જેવો જ અર્થ ધરાવે છે અને તે સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત થાય છે

જ્યાં c 2 એ પીયર્સનનો સારો-યોગ્ય માપદંડ છે; - જૂથોની સંખ્યા; q - ગુણાંક, 20 કરતા ઓછા જૂથોની સંખ્યા માટે, 0.6 ની બરાબર.

જો એલહકીકત > 3, સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક વિતરણો વચ્ચેની વિસંગતતાઓ રેન્ડમ નથી, એટલે કે. પ્રયોગમૂલક વિતરણ સામાન્ય વિતરણની જરૂરિયાતોને પૂર્ણ કરતું નથી. જો એલહકીકત< 3, расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями считаются случайными.

વ્યાખ્યા 51.માપદંડ કે જે તમને મૂલ્યો સુસંગત છે કે કેમ તે નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે એક્સ 1 , એક્સ 2 ,…, x nરેન્ડમ ચલ એક્સતેના વિતરણ કાર્યને લગતી પૂર્વધારણા સાથે કહેવામાં આવે છે સંમતિ માપદંડ.

સંમતિ માપદંડનો ઉપયોગ કરવાનો વિચાર

આ આંકડાકીય સામગ્રીના આધારે એક પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરવા દો એન, એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે SV એક્સઅમુક ચોક્કસ વિતરણ કાયદાનું પાલન કરે છે. આ કાયદો ક્યાં તો વિતરણ કાર્ય તરીકે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે એફ(x), અથવા વિતરણ ઘનતાના સ્વરૂપમાં f(x), અથવા સંભાવનાઓના સમૂહ તરીકે p i. આ બધા સ્વરૂપોમાંથી વિતરણ કાર્ય એફ(x) સૌથી સામાન્ય છે (DSV અને NSV બંને માટે અસ્તિત્વમાં છે) અને અન્ય કોઈપણ નક્કી કરે છે, અમે એક પૂર્વધારણા ઘડીશું એન, એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે જથ્થો એક્સવિતરણ કાર્ય ધરાવે છે એફ(x).

પૂર્વધારણા સ્વીકારવા અથવા નકારવા માટે એન, અમુક માત્રા ધ્યાનમાં લો યુ, સૈદ્ધાંતિક અને આંકડાકીય વિતરણોના વિચલન (વિચલન) ની ડિગ્રીનું લક્ષણ. તીવ્રતાયુ વિવિધ રીતે પસંદ કરી શકાય છે: 1) સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાઓના ચોરસ વિચલનોનો સરવાળો p iઅનુરૂપ ફ્રીક્વન્સીઝમાંથી, 2) કેટલાક ગુણાંક (વજન) સાથે સમાન ચોરસનો સરવાળો, 3) સૈદ્ધાંતિકમાંથી આંકડાકીય (પ્રાયોગિક) વિતરણ કાર્યનું મહત્તમ વિચલન એફ(x).

કિંમત દો યુએક અથવા બીજી રીતે પસંદ કરેલ. દેખીતી રીતે, આ કેટલાક રેન્ડમ ચલ છે. વિતરણનો કાયદો યુરેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદા પર આધાર રાખે છે એક્સ, જેના પર પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા અને પ્રયોગોની સંખ્યા પર n. જો પૂર્વધારણા એનસાચું છે, તો જથ્થાના વિતરણનો કાયદો યુજથ્થાના વિતરણના કાયદા દ્વારા નિર્ધારિત એક્સ(કાર્ય એફ(x)) અને નંબર n.

ચાલો ધારીએ કે આ વિતરણ કાયદો જાણીતો છે. પ્રયોગોની આ શ્રેણીના પરિણામે, તે શોધાયું હતું કે વિસંગતતાનું પસંદ કરેલ માપ યુઅમુક અર્થ લીધો u. પ્રશ્ન: આ રેન્ડમ કારણો દ્વારા સમજાવી શકાય છે અથવા આ વિસંગતતા પણ છે મોટી છે અને સૈદ્ધાંતિક અને આંકડાકીય (અનુભાવિક) વિતરણો વચ્ચે નોંધપાત્ર તફાવતની હાજરી સૂચવે છે અને તેથી, પૂર્વધારણાની અયોગ્યતા એન? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો ધારીએ કે પૂર્વધારણા એનસાચું છે, અને આ ધારણા હેઠળ અમે સંભાવનાની ગણતરી કરીએ છીએ કે, પ્રાયોગિક સામગ્રીની અપૂરતી માત્રા સાથે સંકળાયેલા રેન્ડમ કારણોસર, વિસંગતતાનું માપ યુપ્રાયોગિક રીતે અવલોકન કરેલ મૂલ્ય કરતાં ઓછું નહીં હોય u, એટલે કે, અમે ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરીએ છીએ: .

જો આ સંભાવના નાની છે, તો પછી પૂર્વધારણા એનથોડી બુદ્ધિગમ્ય તરીકે નકારી કાઢવી જોઈએ, પરંતુ જો આ સંભાવના નોંધપાત્ર છે, તો અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે પ્રાયોગિક ડેટા પૂર્વધારણાનો વિરોધાભાસ કરતા નથી. એન.

પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: વિસંગતતા (વિચલન) નું માપ કેવી રીતે પસંદ કરવું જોઈએ? યુ? તે તારણ આપે છે કે તેને પસંદ કરવાની કેટલીક પદ્ધતિઓ સાથે, જથ્થાના વિતરણનો કાયદો યુખૂબ જ સરળ ગુણધર્મો ધરાવે છે અને પર્યાપ્ત મોટા સાથે nકાર્યથી વ્યવહારીક સ્વતંત્ર એફ(x). તે ચોક્કસપણે આ વિસંગતતાના પગલાં છે જેનો ઉપયોગ કરારના માપદંડ તરીકે ગાણિતિક આંકડાઓમાં થાય છે.

વ્યાખ્યા 51/.કરારનો માપદંડ એ અજાણ્યા વિતરણના ધારિત કાયદા વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટેનો માપદંડ છે.

સામાન્યની નજીકના વિતરણો સાથે માત્રાત્મક ડેટા માટે, ઉપયોગ કરો પેરામેટ્રિકગાણિતિક અપેક્ષા અને પ્રમાણભૂત વિચલન જેવા સૂચકો પર આધારિત પદ્ધતિઓ. ખાસ કરીને, બે નમૂનાઓ માટેના અર્થમાં તફાવતની વિશ્વસનીયતા નક્કી કરવા માટે, વિદ્યાર્થી પદ્ધતિ (માપદંડ) નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, અને ત્રણ કે તેથી વધુ નમૂનાઓ વચ્ચેના તફાવતને નક્કી કરવા માટે, પરીક્ષણ એફ, અથવા વિચલનનું વિશ્લેષણ. જો આપણે બિન-જથ્થાત્મક ડેટા સાથે કામ કરી રહ્યા હોઈએ અથવા નમૂનાઓ વિશ્વાસ રાખવા માટે ખૂબ નાના છે કે જે વસ્તીમાંથી તેઓ લેવામાં આવ્યા છે તે સામાન્ય વિતરણને અનુસરે છે, તો પછી ઉપયોગ કરો નોનપેરામેટ્રિકપદ્ધતિઓ - માપદંડ χ 2(chi-square) અથવા ગુણાત્મક ડેટા અને ચિહ્નો, રેન્ક, માન-વ્હીટની, વિલ્કોક્સન, વગેરે ઓર્ડિનલ ડેટા માટે પરીક્ષણો માટે પીયર્સન.

વધુમાં, આંકડાકીય પદ્ધતિની પસંદગી તેના પર નિર્ભર કરે છે કે જેના માધ્યમની સરખામણી કરવામાં આવી રહી છે તે નમૂનાઓ છે કે કેમ સ્વતંત્ર(એટલે ​​​​કે, ઉદાહરણ તરીકે, વિષયોના બે જુદા જુદા જૂથોમાંથી લેવામાં આવે છે) અથવા આશ્રિત(એટલે ​​​​કે, એક્સપોઝર પહેલાં અને પછી અથવા બે અલગ અલગ એક્સપોઝર પછી વિષયોના સમાન જૂથના પરિણામોને પ્રતિબિંબિત કરે છે).

પૃષ્ઠ 1. પીયર્સન ટેસ્ટ (- ચી-સ્ક્વેર)

તેને ઉત્પન્ન થવા દો nસ્વતંત્ર પ્રયોગો, જેમાંના દરેકમાં રેન્ડમ ચલ X એ ચોક્કસ મૂલ્ય લીધું હતું, એટલે કે, રેન્ડમ ચલના અવલોકનોનો નમૂનો આપવામાં આવ્યો હતો. એક્સ(સામાન્ય વસ્તી) વોલ્યુમ n. ચાલો એક અલગ વિતરણ માટે સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્યોની નિકટતા ચકાસવાના કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે, પ્રાયોગિક ડેટા પૂર્વધારણા સાથે સુસંગત છે કે કેમ તે તપાસવું જરૂરી છે. એન 0, દર્શાવે છે કે રેન્ડમ ચલ એક્સવિતરણ કાયદો છે એફ(x) મહત્વના સ્તરે α . ચાલો આ કાયદાને "સૈદ્ધાંતિક" કહીએ.

પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે યોગ્યતાના માપદંડ પ્રાપ્ત કરતી વખતે, માપ નક્કી કરો ડીઅંદાજિત (સૈદ્ધાંતિક) વિતરણ કાર્યમાંથી આપેલ નમૂનાના પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્યનું વિચલન એફ(x).

સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતું માપ પીયર્સન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવેલ છે. ચાલો આ માપને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો રેન્ડમ ચલ મૂલ્યોના સમૂહને વિભાજિત કરીએ એક્સપર આરસમૂહો - જૂથો એસ 1 , એસ 2 ,…, સિનિયર, સામાન્ય બિંદુઓ વિના. વ્યવહારમાં, આવા પાર્ટીશનનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે ( આર- 1) સંખ્યાઓ c 1 < c 2 < … < c આર-1. આ કિસ્સામાં, દરેક અંતરાલનો અંત અનુરૂપ સમૂહમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે, અને ડાબી બાજુનો સમાવેશ થાય છે.

એસ 1 એસ 2 એસ 3 …. સિનિયર -1 સિનિયર

c 1 c 2 c 3 c આર -1

દો p i, , - સંભાવના કે SV એક્સસમૂહને અનુસરે છે એસ આઇ(દેખીતી રીતે). દો n i, , - સમૂહ સાથે જોડાયેલા અવલોકનક્ષમ પદાર્થોમાંથી મૂલ્યો (ચલ) ની સંખ્યા એસ આઇ(અનુભાવિક આવર્તન). પછી SV હિટની સંબંધિત આવર્તન એક્સઘણામાં એસ આઇખાતે nઅવલોકનો તે સ્પષ્ટ છે કે , .

ઉપરના વિભાજન માટે, p iએક વધારો છે એફ(x) સેટ પર એસ આઇ, અને ઇન્ક્રીમેન્ટ એ જ સેટ પર છે. ચાલો જૂથબદ્ધ આંકડાકીય શ્રેણીના સ્વરૂપમાં કોષ્ટકમાં પ્રયોગોના પરિણામોનો સારાંશ આપીએ.

સૈદ્ધાંતિક વિતરણ કાયદાને જાણીને, તમે દરેક જૂથમાં આવતા રેન્ડમ ચલની સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાઓ શોધી શકો છો: આર 1 , આર 2 , …, પી આર. સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક (આંકડાકીય) વિતરણોની સુસંગતતા તપાસતી વખતે, અમે સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાઓ વચ્ચેની વિસંગતતાઓમાંથી આગળ વધીશું. p iઅને અવલોકન કરેલ ફ્રીક્વન્સીઝ.

માપ માટે ડીસૈદ્ધાંતિકમાંથી પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્યની વિસંગતતાઓ (વિચલનો) સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાઓના વર્ગ વિચલનોનો સરવાળો લે છે p iચોક્કસ "વજન" સાથે લેવામાં આવતી અનુરૂપ ફ્રીક્વન્સીઝમાંથી c i: .

મતભેદ c iરજૂ કરવામાં આવે છે કારણ કે, સામાન્ય કિસ્સામાં, વિવિધ જૂથો સાથે જોડાયેલા વિચલનોને સમાન ગણી શકાય નહીં: એક વિચલન કે જે સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં સમાન હોય, જો સંભાવના પોતે p iમોટું છે, અને જો તે નાનું હોય તો ખૂબ જ ધ્યાનપાત્ર છે. તેથી, કુદરતી રીતે "વજન" c iસંભાવનાઓ માટે વિપરિત પ્રમાણસર લો. આ ગુણાંક કેવી રીતે પસંદ કરવો?

કે. પીયરસને બતાવ્યું કે જો આપણે મૂકીએ તો મોટા માટે nજથ્થો વિતરણ કાયદો યુખૂબ જ સરળ ગુણધર્મો ધરાવે છે: તે વિતરણ કાર્યથી વ્યવહારીક રીતે સ્વતંત્ર છે એફ(x) અને પ્રયોગોની સંખ્યા પર n, પરંતુ ફક્ત જૂથોની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે આર, એટલે કે, વધારો સાથે આ કાયદો nકહેવાતા ચી-સ્ક્વેર વિતરણનો સંપર્ક કરે છે .

જો તમને આ વિષય પર વધારાની સામગ્રીની જરૂર હોય, અથવા તમે જે શોધી રહ્યા હતા તે તમને મળ્યું નથી, તો અમે અમારા કાર્યોના ડેટાબેઝમાં શોધનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ:

પ્રાપ્ત સામગ્રી સાથે અમે શું કરીશું:

જો આ સામગ્રી તમારા માટે ઉપયોગી હતી, તો તમે તેને સામાજિક નેટવર્ક્સ પર તમારા પૃષ્ઠ પર સાચવી શકો છો: