કરાર માટે માપદંડ (અનુપાલન)

સૈદ્ધાંતિક વિતરણ કાયદાના પ્રયોગમૂલક વિતરણના પત્રવ્યવહાર વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે, વિશેષ આંકડાકીય સૂચકાંકો- કરાર માપદંડ (અથવા પાલન માપદંડ). આમાં પીયર્સન, કોલ્મોગોરોવ, રોમાનોવ્સ્કી, યાસ્ટ્રેમ્સ્કી, વગેરેના માપદંડોનો સમાવેશ થાય છે. મોટાભાગના કરાર માપદંડો સૈદ્ધાંતિક મુદ્દાઓમાંથી પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝના વિચલનોના ઉપયોગ પર આધારિત છે. દેખીતી રીતે, આ વિચલનો જેટલા નાના હશે, તેટલું સારું સૈદ્ધાંતિક વિતરણ પ્રાયોગિક (અથવા તેનું વર્ણન) સાથે અનુરૂપ હશે.

સંમતિ માપદંડ -આ સૈદ્ધાંતિક સંભાવના વિતરણ માટે પ્રયોગમૂલક વિતરણના પત્રવ્યવહાર વિશે પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ કરવા માટેના માપદંડો છે. આવા માપદંડોને બે વર્ગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: સામાન્ય અને વિશેષ. સામાન્ય સદ્ગુણ-ઓફ-ફિટ પરીક્ષણો એક પૂર્વધારણાના સૌથી સામાન્ય ફોર્મ્યુલેશન પર લાગુ થાય છે, એટલે કે પૂર્વધારણા કે જે અવલોકન કરાયેલ પરિણામો કોઈપણ પ્રાથમિક ધારણા કરેલ સંભાવના વિતરણ સાથે સંમત થાય છે. સ્પેશિયલ ગુડનેસ-ઓફ-ફીટ ટેસ્ટ માટે ખાસ નલ પૂર્વધારણાઓની જરૂર પડે છે જે સાથે કરાર કરે છે ચોક્કસ સ્વરૂપસંભાવના વિતરણ.

પર આધારિત સંમતિ માપદંડ સ્થાપિત કાયદોવિતરણો એ સ્થાપિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે કે સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝ વચ્ચે વિસંગતતા ક્યારે નજીવી (રેન્ડમ) ગણવી જોઈએ અને ક્યારે - નોંધપાત્ર (નોન-રેન્ડમ). તે આનાથી અનુસરે છે કે કરારના માપદંડ પ્રાયોગિક શ્રેણીમાં વિતરણની પ્રકૃતિ વિશેની શ્રેણીને સંરેખિત કરતી વખતે આગળ મૂકવામાં આવેલી પૂર્વધારણાની સાચીતાને નકારવા અથવા પુષ્ટિ કરવાનું શક્ય બનાવે છે અને આપેલ પ્રયોગમૂલક વિતરણ માટે સ્વીકારવું શક્ય છે કે કેમ તેનો જવાબ આપવા માટે. કેટલાક સૈદ્ધાંતિક વિતરણ કાયદા દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ મોડેલ.

પીયર્સનનું χ 2 (ચી-સ્ક્વેર) ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટ એ ફિટ-ઓફ-ફિટ પરીક્ષણોમાંની એક છે. ઇંગ્લીશ ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ પીયર્સન (1857-1936) દ્વારા પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક વિતરણની ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેની વિસંગતતાની રેન્ડમનેસ (મહત્વ)નું મૂલ્યાંકન કરવા માટે પ્રસ્તાવિત:

જ્યાં k-જૂથોની સંખ્યા કે જેમાં પ્રયોગમૂલક વિતરણ વિભાજિત થયેલ છે; fi-માં લક્ષણની પ્રયોગમૂલક આવર્તન i-મું જૂથ; / ts °р - સાઇન ઇનની સૈદ્ધાંતિક આવર્તન i-thજૂથ

માપદંડ લાગુ કરવા માટેની યોજના y)સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક વિતરણોની સુસંગતતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે નીચે મુજબ આવે છે.

• 1. વિસંગતતાનું ગણતરી કરેલ માપ % 2 acch નક્કી કરવામાં આવે છે.
• 2. સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા નક્કી કરવામાં આવે છે.
• 3. સ્વતંત્રતા v ની ડિગ્રીની સંખ્યાના આધારે, %^bl વિશિષ્ટ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે
• 4. જો % 2 asch > x 2 abl હોય, તો આપેલ મહત્વના સ્તર a અને સ્વતંત્રતા v ની ડિગ્રીની સંખ્યા માટે, વિસંગતતાઓની તુચ્છતા (રેન્ડમનેસ) વિશેની પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે. નહિંતર, પૂર્વધારણાને પ્રાયોગિક ડેટા સાથે વિરોધાભાસી નથી તરીકે ઓળખી શકાય છે અને સંભાવના (1 - a) સાથે એવી દલીલ કરી શકાય છે કે સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝ વચ્ચેની વિસંગતતાઓ રેન્ડમ છે.

મહત્વ સ્તર -આ પુટ ફોરવર્ડ પૂર્વધારણાને ભૂલથી નકારી કાઢવાની સંભાવના છે, એટલે કે. સાચી પૂર્વધારણા નકારવામાં આવશે તેવી સંભાવના. IN આંકડાકીય સંશોધનહલ કરવામાં આવતા કાર્યોના મહત્વ અને જવાબદારીના આધારે, નીચેના ત્રણ સ્તરના મહત્વનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

• 1) a = 0.1, પછી પી = 0,9;
• 2) a = 0.05, પછી પી = 0,95;
• 3) a = 0.01, પછી પી = 0,99.

યોગ્યતાના માપદંડનો ઉપયોગ કરવો y),નીચેની શરતો પૂરી કરવી આવશ્યક છે.

• 1. અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીનું પ્રમાણ સ્થિતિને સંતોષતું હોવું જોઈએ p> 50, જ્યારે આવર્તન અથવા જૂથનું કદ ઓછામાં ઓછું 5 હોવું આવશ્યક છે. જો આ સ્થિતિનું ઉલ્લંઘન કરવામાં આવે છે, તો પ્રથમ નાની ફ્રીક્વન્સીઝ (5 કરતાં ઓછી) જોડવી જરૂરી છે.
• 2. પ્રયોગમૂલક વિતરણમાં રેન્ડમ સેમ્પલિંગના પરિણામે મેળવેલ ડેટાનો સમાવેશ થવો જોઈએ, એટલે કે. તેઓ સ્વતંત્ર હોવા જોઈએ.

પીયર્સન ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ માપદંડનો ગેરલાભ એ છે કે અવલોકન પરિણામોને અંતરાલોમાં જૂથબદ્ધ કરવાની જરૂરિયાત સાથે સંકળાયેલી મૂળ માહિતીના ભાગને ગુમાવવો અને થોડી સંખ્યામાં અવલોકનો સાથે વ્યક્તિગત અંતરાલોનું સંયોજન. આ સંદર્ભમાં, માપદંડ સાથે વિતરણ અનુપાલનની ચકાસણીને પૂરક બનાવવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે. y)અન્ય માપદંડ. જ્યારે નમૂનાનું કદ હોય ત્યારે આ ખાસ કરીને જરૂરી છે n ~ 100.

આંકડાઓમાં, કોલ્મોગોરોવ ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટ (કોલ્મોગોરોવ-સ્મિરનોવ ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટ તરીકે પણ ઓળખાય છે) નો ઉપયોગ બે પ્રયોગમૂલક વિતરણો સમાન કાયદાનું પાલન કરે છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવા માટે થાય છે, અથવા પરિણામી વિતરણ ધારિત મોડેલનું પાલન કરે છે કે કેમ તે નક્કી કરવા માટે થાય છે. . કોલમોગોરોવ માપદંડ સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝ અથવા પ્રયોગમૂલક અથવા સૈદ્ધાંતિક વિતરણની આવર્તન વચ્ચે મહત્તમ વિસંગતતા નક્કી કરવા પર આધારિત છે. કોલમોગોરોવ માપદંડની ગણતરી નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

જ્યાં ડીઅને ડી-તદનુસાર, સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝ (/-/") અને સંચિત ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેનો મહત્તમ તફાવત ( આરઆર") વિતરણની પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક શ્રેણી; એન-એકંદરમાં એકમોની સંખ્યા.

મૂલ્યની ગણતરી કર્યા પછી X,સંભવિતતા નક્કી કરવા માટે એક વિશેષ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જેની સાથે તે કહી શકાય કે સૈદ્ધાંતિક રાશિઓમાંથી પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝના વિચલનો રેન્ડમ છે. જો ચિહ્ન 0.3 સુધીના મૂલ્યો લે છે, તો આનો અર્થ એ છે કે ફ્રીક્વન્સીઝનો સંપૂર્ણ સંયોગ છે. મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો સાથે, કોલમોગોરોવ પરીક્ષણ પૂર્વધારણામાંથી કોઈપણ વિચલન શોધવા માટે સક્ષમ છે. આનો અર્થ એ છે કે જો ત્યાં પર્યાપ્ત મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો હશે તો નમૂના વિતરણ અને સૈદ્ધાંતિક વચ્ચેનો કોઈપણ તફાવત તેની મદદથી શોધી કાઢવામાં આવશે. આ ગુણધર્મનું વ્યવહારિક મહત્વ નજીવું છે, કારણ કે મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં સતત પરિસ્થિતિઓમાં મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો મેળવવા પર ગણતરી કરવી મુશ્કેલ છે, વિતરણ કાયદાનો સૈદ્ધાંતિક વિચાર કે જેનું નમૂનાએ પાલન કરવું જોઈએ તે હંમેશા અંદાજિત હોય છે, અને આંકડાકીય પરીક્ષણોની ચોકસાઈ પસંદ કરેલ મોડેલની ચોકસાઈ કરતાં વધી ન જોઈએ.

રોમનવોસ્કી ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટ પીયર્સન માપદંડના ઉપયોગ પર આધારિત છે, એટલે કે. પહેલેથી જ મૂલ્યો x 2 > અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા મળી છે:

જ્યાં v એ વિવિધતાની સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા છે.

રોમનવોસ્કી માપદંડ x2 માટે કોષ્ટકોની ગેરહાજરીમાં અનુકૂળ છે. જો કે આર TO? > 3, પછી તેઓ બિન-રેન્ડમ છે અને સૈદ્ધાંતિક વિતરણ અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા પ્રયોગમૂલક વિતરણ માટેના નમૂના તરીકે સેવા આપી શકતું નથી.

બી.એસ. યાસ્ટ્રેમ્સ્કીએ કરારના માપદંડમાં સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા નહીં, પરંતુ જૂથોની સંખ્યા ( k), એક વિશિષ્ટ મૂલ્ય 0, જૂથોની સંખ્યાના આધારે, અને ચી-સ્ક્વેર મૂલ્ય. યાસ્ટ્રેમ્સ્કી એગ્રીમેન્ટ માપદંડનો અર્થ રોમનવોસ્કી માપદંડ જેવો જ છે અને તે સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત થાય છે.

જ્યાં x 2 એ પીયર્સનની સારીતા-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટ છે; /e gr - જૂથોની સંખ્યા; 0 - ગુણાંક, 0.6 ની બરાબર 20 કરતા ઓછા જૂથોની સંખ્યા માટે.

જો 1ph એક્ટ > 3, તો સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક વિતરણો વચ્ચેની વિસંગતતાઓ રેન્ડમ નથી, એટલે કે. પ્રયોગમૂલક વિતરણ સામાન્ય વિતરણની જરૂરિયાતોને પૂર્ણ કરતું નથી. જો 1f એક્ટ

ચોક્કસ વિતરણની પ્રકૃતિ વિશેની તમામ ધારણાઓ પૂર્વધારણાઓ છે અને સ્પષ્ટ નિવેદનો નથી, તેથી તેઓ સ્વાભાવિક રીતે કહેવાતા ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ માપદંડનો ઉપયોગ કરીને આંકડાકીય પરીક્ષણને આધિન હોવા જોઈએ.

કરારના માપદંડો, સ્થાપિત વિતરણ કાયદાના આધારે, તે સ્થાપિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે જ્યારે સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝ વચ્ચેની વિસંગતતાઓને નજીવી (રેન્ડમ) અને ક્યારે - નોંધપાત્ર (નોન-રેન્ડમ) ગણવી જોઈએ. આમ, કરારના માપદંડ શ્રેણીને સંરેખિત કરતી વખતે આગળ મૂકવામાં આવેલી પૂર્વધારણાની સાચીતાને નકારવા અથવા પુષ્ટિ કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

પ્રયોગમૂલક શ્રેણીમાં વિતરણની પ્રકૃતિ વિશે અને જવાબ આપો કે શું આપેલ પ્રયોગમૂલક વિતરણ માટે કેટલાક સૈદ્ધાંતિક વિતરણ કાયદા દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ મોડેલ સ્વીકારવું શક્ય છે.

સંખ્યાબંધ સંમતિ માપદંડો છે. સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા માપદંડો પીયર્સન, રોમનવોસ્કી અને કોલમોગોરોવ છે. ચાલો તેમને જોઈએ.

પીયર્સનનું ફિટનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટ %2 (ચી-સ્ક્વેર) એ ફિટનેસ-ઓફ-ફિટ પરીક્ષણોમાંનું એક છે. ઇંગ્લીશ ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ પીયર્સન (1857-1936) દ્વારા પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક વિતરણની ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેની વિસંગતતાની રેન્ડમનેસ (મહત્વ)નું મૂલ્યાંકન કરવા માટે માપદંડની દરખાસ્ત કરવામાં આવી હતી. પીયર્સન માપદંડ જ્યાં કે

જૂથોની સંખ્યા કે જેમાં પ્રયોગમૂલક વિતરણ વિભાજિત થયેલ છે;

જૂથ I માં લક્ષણની અવલોકન કરેલ આવર્તન; ધારેલા વિતરણમાંથી ગણતરી કરેલ સૈદ્ધાંતિક આવર્તન. y ના વિતરણ માટે) કોષ્ટકોનું સંકલન કરવામાં આવ્યું છે જ્યાં તે સૂચવવામાં આવ્યું છેનિર્ણાયક મૂલ્ય પસંદ કરેલ મહત્વ સ્તર a અનેઆપેલ નંબર

સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી V (જુઓ પરિશિષ્ટ 4).

મહત્વ સ્તર a - સૂચિત પૂર્વધારણાને ભૂલથી નકારવાની સંભાવના, એટલે કે. સાચી પૂર્વધારણા નકારવામાં આવશે તેવી સંભાવના. આંકડાકીય અધ્યયનમાં, ઉકેલવામાં આવતી સમસ્યાઓના મહત્વ અને જવાબદારીના આધારે, નીચેના ત્રણ સ્તરના મહત્વનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: 1)

a = 0.10, પછી P = 0.90; 2)

a = 0.05, પછી P = 0.95; 3)

a = 0.01, પછી P = 0.99. ઉદાહરણ તરીકે, 0.01 ની સંભાવનાનો અર્થ એ છે કે 100 માંથી એક કિસ્સામાં સાચી પૂર્વધારણાને નકારી શકાય છે. INઆર્થિક સંશોધન

0.05 ની ભૂલની સંભાવના વ્યવહારીક રીતે સ્વીકાર્ય માનવામાં આવે છે, એટલે કે. 100 માંથી 5 કેસમાં સાચી પૂર્વધારણાને નકારી શકાય છે.

વધુમાં, કોષ્ટકમાંથી નિર્ધારિત %2 માપદંડ પણ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે. સ્વતંત્રતા V ની ડિગ્રીની સંખ્યાને વિતરણ શ્રેણી k માં જૂથોની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે V સાથે જોડાણોની સંખ્યા બાદ

જોડાણોની સંખ્યાને સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝની ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લેવાતી પ્રયોગમૂલક શ્રેણીના સૂચકોની સંખ્યા તરીકે સમજવામાં આવે છે, એટલે કે. પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક / l ને જોડતા સૂચકાંકો

જે ફ્રીક્વન્સીઝ

તેથી, સામાન્ય વિતરણ વળાંક સાથે ગોઠવણીના કિસ્સામાં, ત્રણ જોડાણો છે:

x ~ x" " SU = a" * x W = U

EMF થિયર' EMF TeOr> ^ 1EMF ^ /theor*

તેથી, જ્યારે સામાન્ય વિતરણ વળાંક સાથે સંરેખિત થાય છે, ત્યારે સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા V = k - 3 તરીકે નિર્ધારિત થાય છે, જ્યાં k એ શ્રેણીમાં જૂથોની સંખ્યા છે.

પોઈસન વળાંક સાથે ગોઠવણીના કિસ્સામાં, V = k - 2, કારણ કે ફ્રીક્વન્સીઝ બનાવતી વખતે બે મર્યાદિત જોડાણોનો ઉપયોગ થાય છે: x, 1tr /

જો સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક વિતરણો સંપૂર્ણપણે એકરૂપ થાય છે, તો %2 = 0, અન્યથા %2 > 0.

જો આપેલ સ્તરના મહત્વ a અને સ્વતંત્રતા V ની ડિગ્રીની સંખ્યા માટે Hrasch > Xtab’ T0, તો અમે વિસંગતતાઓની તુચ્છતા (રેન્ડમનેસ) વિશેની પૂર્વધારણાને નકારી કાઢીએ છીએ.

જો %2acc ^ X2tabL’ અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે પ્રયોગમૂલક શ્રેણી અપેક્ષિત વિતરણ વિશેની પૂર્વધારણા સાથે સારી રીતે સંમત છે અને સંભાવના (1 - a) સાથે અમે દાવો કરી શકીએ છીએ કે સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝ વચ્ચેની વિસંગતતા રેન્ડમ છે.

કરારના માપદંડનો ઉપયોગ કરીને?2, નીચેની શરતો પૂરી કરવી આવશ્યક છે: 1)

અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીનો જથ્થો પૂરતો મોટો હોવો જોઈએ (VU> 50), અને દરેક જૂથની આવર્તન અથવા કદ ઓછામાં ઓછું 5 હોવું જોઈએ. જો આ સ્થિતિનું ઉલ્લંઘન થાય છે, તો પ્રથમ નાની ફ્રીક્વન્સીઝને જોડવી જરૂરી છે; 2)

પ્રયોગમૂલક વિતરણમાં રેન્ડમ સેમ્પલિંગના પરિણામે મેળવેલ ડેટાનો સમાવેશ થવો જોઈએ, એટલે કે. તેઓ સ્વતંત્ર હોવા જોઈએ.

જો પ્રયોગમૂલક શ્રેણીમાં વિતરણ ફ્રીક્વન્સીઝ / \ t દ્વારા ઉલ્લેખિત છે.

પછી y) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવી જોઈએ

રોમનવોસ્કી Kr માપદંડ પીયર્સન માપદંડ %2 ના ઉપયોગ પર આધારિત છે, એટલે કે. પહેલેથી જ મૂલ્યો %2 મળી આવ્યા છે, અને સ્વતંત્રતા vની ડિગ્રીની સંખ્યા:

જો %2 માટે કોઈ કોષ્ટકો ન હોય તો તે ખૂબ અનુકૂળ છે.

જો Kr 3, તો તે રેન્ડમ નથી

અને, તે મુજબ, સૈદ્ધાંતિક વિતરણ અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા પ્રયોગમૂલક વિતરણના નમૂના તરીકે સેવા આપી શકતું નથી.

કોલ્મોગોરોવ X માપદંડ સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝ અથવા પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક વિતરણોની આવર્તન વચ્ચે મહત્તમ વિસંગતતા નક્કી કરવા પર આધારિત છે:

X = -2= અથવા X = , iN

જ્યાં ડૂડ, અનુક્રમે, સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝ (F - F") અને સંચિત વચ્ચેનો મહત્તમ તફાવત

વિતરણની પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક શ્રેણીની ny ફ્રીક્વન્સીઝ (p - p");

N એ એકંદરમાં એકમોની સંખ્યા છે.

કોષ્ટક P(k) નો ઉપયોગ કરીને X ની કિંમતની ગણતરી કર્યા પછી (જુઓ.

પરિશિષ્ટ 6) સંભવિતતા નક્કી કરો કે જેની સાથે તે કહી શકાય કે સૈદ્ધાંતિક રાશિઓમાંથી પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝના વિચલનો રેન્ડમ છે. સંભાવના P(k) 0 થી 1 સુધી બદલાઈ શકે છે. જ્યારે P(k) = 1, ફ્રીક્વન્સીનો સંપૂર્ણ સંયોગ હોય છે, અને જ્યારે P(k) = 0 હોય, ત્યારે સંપૂર્ણ વિસંગતતા હોય છે. જો A 0.3 સુધી મૂલ્યો લે છે, તો P(k) = 1.

કોલમોગોરોવ માપદંડનો ઉપયોગ કરવાની મુખ્ય શરત એ છે કે મોટી સંખ્યામાંઅવલોકનો

ઉદાહરણ. કોષ્ટકમાંથી ડેટાનો ઉપયોગ કરીને. 5.17, સામાન્ય વિતરણના કાયદા અનુસાર પ્રદેશમાં ભરતીના વિતરણ વિશે આગળ મૂકવામાં આવેલી પૂર્વધારણાની સાચીતા તપાસો. કરારના માપદંડની ગણતરી કરવા માટે જરૂરી મૂલ્યો કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યા છે. 5.19.

કોષ્ટક 5.19

પિયર્સન કરાર માપદંડ x2 અને કોલમોગોરોવ X ઊંચાઈ, વિતરણ શ્રેણીની cm ફ્રીક્વન્સીઝ (/n - t")2 t" F F" k-r,\t t" A 1 2 3 4 5 6 156 નક્કી કરવા માટે મૂલ્યોની ગણતરી -160 8 5 1 , 8 8 5 3 161-165 17 16 0.1 25 21 4 166-170 42 40 0.1 67 61 61 61-175 54 65 1.9 121 121 175 1216173 9 5 181-185 57 57 0 251 256 5 186-190 38 30 2.1 289 286 3 191-195 11 11 0 300 297 3 X 300 297 6.0 પ્રથમ, ચાલો પીયર્સન ક્રિટરની ગણતરી કરીએ

પછી આપણે મહત્વ સ્તર a = 0.05 પસંદ કરીએ છીએ અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા નક્કી કરીએ છીએ V. B આપેલ વિતરણત્યાં 8 જૂથો છે અને જોડાણોની સંખ્યા (પેરામીટર્સ) 3 છે, તેથી, V = 8 - 3 = 5. પરિશિષ્ટ 4 માં કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે a = 0.05 અને V = 5 માટે પીયર્સન માપદંડ %2 = 11.07 શોધીએ છીએ.

%2calc થી ચાલો રોમનવોસ્કી માપદંડનો ઉપયોગ કરીને પૂર્વધારણા તપાસીએ:

I X2 - V I 16.0 - 5 I 1

kr = ] Г=^ = 1 = --г = 0.3.

કારણ કે Kp Romanovsky માપદંડ પણ પુષ્ટિ કરે છે કે પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક આવર્તન વચ્ચેની વિસંગતતાઓ નજીવી છે.

ચાલો હવે કોલમોગોરોવ માપદંડ A ના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ. જેમ ટેબલ પરથી જોઈ શકાય છે. 5.19, સંચિત ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેનો મહત્તમ તફાવત 6 છે, એટલે કે. B = ચેક!/1- P"\ = 6. તેથી, કોલમોગોરોવ માપદંડ

X = -?= = = 0.35.

પરિશિષ્ટ 6 માં કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, અમે X = 0.35: P(X) = 0.9997 પર સંભાવના મૂલ્ય શોધીએ છીએ. આનો અર્થ એ છે કે એકની નજીકની સંભાવના સાથે, એવું કહી શકાય કે સામાન્ય વિતરણની પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવતી નથી, અને પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક વિતરણો વચ્ચેની વિસંગતતાઓ રેન્ડમ છે.

હવે, ઉપયોગ કરીને આગળ મૂકવામાં આવેલી પૂર્વધારણાની સાચીતાની પુષ્ટિ કર્યા પછી જાણીતા માપદંડકરાર, તમે વ્યવહારિક પ્રવૃત્તિઓ માટે વિતરણ પરિણામોનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

ઉદાહરણ. કોષ્ટકમાંથી ડેટાનો ઉપયોગ કરીને. 5.18, પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરો કે કારમાં ખામીઓની સંખ્યાનું વિતરણ પોઈસન કાયદાનું પાલન કરે છે.

કરારના માપદંડો નક્કી કરવા માટે જરૂરી મૂલ્યોની પ્રારંભિક માહિતી અને ગણતરી કોષ્ટકમાં આપવામાં આવી છે. 5.20.

ચાલો %2:2 ની કિંમતની ગણતરી કરીએ

Dfasch^/9

(કોષ્ટક 5.20 જુઓ). xXtable = 9>49

(જુઓ પરિશિષ્ટ 4).

%2calc થી આમ, પોઈસનના કાયદા અનુસાર કારમાં ખામીઓની સંખ્યાના વિતરણ વિશે આગળની પૂર્વધારણાને નકારવામાં આવી નથી.

આંકડાકીય પૂર્વધારણાઓ. સંમતિ માપદંડ.

શૂન્ય(મૂળભૂત)પ્રજાતિઓ વિશે આગળ મૂકવામાં આવેલી પૂર્વધારણાને કૉલ કરો અજ્ઞાત વિતરણ, અથવા જાણીતા વિતરણોના પરિમાણો વિશે. સ્પર્ધા કરે છે (વૈકલ્પિક)એક પૂર્વધારણા કહેવાય છે જે નલ પૂર્વધારણાનો વિરોધાભાસ કરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો નલ પૂર્વધારણા એ રેન્ડમ ચલ છે એક્સકાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે, તો પછી સ્પર્ધાત્મક પૂર્વધારણા રેન્ડમ ચલ હોઈ શકે છે એક્સઅલગ કાયદા અનુસાર વિતરિત.

આંકડાકીય માપદંડ (અથવા માત્ર માપદંડ) ને રેન્ડમ ચલ કહેવામાં આવે છે TO, જે નલ પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે સેવા આપે છે.

પસંદગી પછી ચોક્કસ માપદંડ, ઉદાહરણ તરીકે, એક માપદંડ, તેના બધાનો સમૂહ શક્ય મૂલ્યોબે ડિસજોઇન્ટ સબસેટમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: તેમાંના એકમાં માપદંડ મૂલ્યો છે કે જેના પર નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે, અને બીજું - જેના પર તે સ્વીકારવામાં આવે છે.

જટિલ વિસ્તારમાપદંડ મૂલ્યોનો સમૂહ છે કે જેના પર નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે. પૂર્વધારણા સ્વીકૃતિ વિસ્તાર માપદંડ મૂલ્યોના સમૂહને કૉલ કરો કે જેના પર પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે. જટિલ મુદ્દાઓ તેઓ નિર્ણાયક પ્રદેશને તે પ્રદેશથી અલગ કરતા બિંદુઓને કહે છે જ્યાં શૂન્ય પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે.

અમારા ઉદાહરણ માટે, ની કિંમત સાથે, નમૂનામાંથી ગણતરી કરેલ મૂલ્ય પૂર્વધારણાની સ્વીકૃતિના ક્ષેત્રને અનુરૂપ છે: રેન્ડમ ચલ કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે. જો ગણતરી કરેલ મૂલ્ય છે, તો તે નિર્ણાયક ક્ષેત્રમાં આવે છે, એટલે કે, વિતરણ વિશેની પૂર્વધારણા રેન્ડમ ચલકાયદેસર રીતે નામંજૂર.

વિતરણના કિસ્સામાં, નિર્ણાયક પ્રદેશ અસમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, તે પ્રદેશ જ્યાં નલ પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે તે અસમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

2.6.3. કરાર માપદંડ પીયર્સન.

પ્રાણી વિજ્ઞાન અને પશુચિકિત્સા આનુવંશિક વિજ્ઞાનના કાર્યોમાંનું એક જરૂરી લાક્ષણિકતાઓ સાથે નવી જાતિઓ અને પ્રજાતિઓનું સંવર્ધન છે. ઉદાહરણ તરીકે, રોગપ્રતિકારક શક્તિમાં વધારો, રોગ સામે પ્રતિકાર અથવા રૂંવાટીનો રંગ બદલવો.

વ્યવહારમાં, પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, તે ઘણી વાર તારણ આપે છે કે વાસ્તવિક પરિણામો વધુ કે ઓછા કેટલાક સૈદ્ધાંતિક વિતરણ કાયદાને અનુરૂપ છે. વાસ્તવિક (અનુભાવિક) ડેટા અને સૈદ્ધાંતિક (કાલ્પનિક) ડેટા વચ્ચેના પત્રવ્યવહારની ડિગ્રીનું મૂલ્યાંકન કરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, એક નલ પૂર્વધારણા આગળ મૂકો: પરિણામી વસ્તી "A" કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે. અપેક્ષિત વિતરણ કાયદા વિશેની પૂર્વધારણાને ખાસ પસંદ કરેલ રેન્ડમ ચલનો ઉપયોગ કરીને ચકાસવામાં આવે છે - સારીતા-ઓફ-ફિટ માપદંડ.

કરાર માપદંડઅજ્ઞાત વિતરણના ધારિત કાયદા વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટેનો માપદંડ કહેવાય છે.

કરારના ઘણા માપદંડો છે: પીયર્સન, કોલમોગોરોવ, સ્મિર્નોવ, વગેરે. પિયર્સન ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટ સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાય છે.

ચાલો સામાન્ય વિતરણ કાયદા વિશે પૂર્વધારણાના પરીક્ષણના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પીયર્સન માપદંડના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ. વસ્તી. આ હેતુ માટે, અમે પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક (સામાન્ય વિતરણ ચાલુ રાખવાની ગણતરીમાં) ફ્રીક્વન્સીઝની તુલના કરીશું.

સામાન્ય રીતે સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સી વચ્ચે થોડો તફાવત હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે:

પ્રયોગમૂલક આવર્તન 7 15 41 93 113 84 25 13 5

સૈદ્ધાંતિક આવર્તન 5 13 36 89 114 91 29 14 6

ચાલો બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝ વચ્ચેની વિસંગતતા રેન્ડમ (નજીવી) છે, એટલે કે. અનુસાર પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝના વિતરણ વિશે પ્રસ્તાવ મૂકવો શક્ય છે સામાન્ય કાયદો;

સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સીઝ વચ્ચેની વિસંગતતા આકસ્મિક (નોંધપાત્ર) નથી, એટલે કે. સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝની ગણતરી સામાન્ય વસ્તી વિતરણની ખોટી પૂર્વધારણાના આધારે કરવામાં આવી હતી.

પિયરસન ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીને, તમે નક્કી કરી શકો છો કે સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેની વિસંગતતા આકસ્મિક છે કે નહીં, એટલે કે. આપેલ સાથે આત્મવિશ્વાસની સંભાવનાનક્કી કરો કે વસ્તી સામાન્ય કાયદા અનુસાર વહેંચવામાં આવી છે કે નહીં.

તેથી, પ્રયોગમૂલક વિતરણને કદ n ના નમૂનામાંથી મેળવવા દો:

વિકલ્પો......

પ્રયોગમૂલક આવર્તન…….

ચાલો ધારીએ કે સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝની ગણતરી સામાન્ય વિતરણની ધારણા હેઠળ કરવામાં આવે છે. મહત્વના સ્તરે, શૂન્ય પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરવું જરૂરી છે: વસ્તી સામાન્ય રીતે વિતરિત થાય છે.

નલ પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટેના માપદંડ તરીકે, અમે રેન્ડમ ચલ લઈશું

(*)

આ મૂલ્ય રેન્ડમ છે, ત્યારથી માં વિવિધ અનુભવોતે વિવિધ, અગાઉ અજાણ્યા મૂલ્યો લે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝ જેટલી ઓછી હોય છે, માપદંડનું મૂલ્ય ઓછું હોય છે અને તેથી, તે અમુક હદ સુધીપ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક વિતરણોની નિકટતા દર્શાવે છે.

તે સાબિત થયું છે કે જ્યારે રેન્ડમ ચલ (*) નો વિતરણ કાયદો, સામાન્ય વસ્તી કયા વિતરણ કાયદાને આધીન છે તેને ધ્યાનમાં લીધા વિના, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી સાથે વિતરણ કાયદા તરફ વલણ ધરાવે છે. તેથી, રેન્ડમ ચલ (*) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને માપદંડને જ "ચી-સ્ક્વેર" ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ માપદંડ કહેવામાં આવે છે.

ચાલો દ્વારા અવલોકન ડેટામાંથી ગણતરી કરેલ માપદંડનું મૂલ્ય દર્શાવીએ. માટે ટેબ્યુલેટ કરેલ નિર્ણાયક માપદંડ મૂલ્યો આ સ્તરમહત્વ અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા દર્શાવે છે. આ કિસ્સામાં, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા સમાનતાથી નક્કી કરવામાં આવે છે, જ્યાં જૂથોની સંખ્યા ( આંશિક અંતરાલો) નમૂનાઓ અથવા વર્ગો; - અપેક્ષિત વિતરણના પરિમાણોની સંખ્યા. સામાન્ય વિતરણમાં બે પરિમાણો છે - ગાણિતિક અપેક્ષાઅને સરેરાશ પ્રમાણભૂત વિચલન. તેથી, સમાનતામાંથી સામાન્ય વિતરણ માટે સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા જોવા મળે છે

જો ગણતરી કરેલ મૂલ્ય માટે અને કોષ્ટક મૂલ્યઅસમાનતા ધરાવે છે , વસ્તીના સામાન્ય વિતરણ વિશે શૂન્ય પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે. જો , નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે અને વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે (વસ્તી સામાન્ય રીતે વિતરિત થતી નથી).

ટિપ્પણી.પિયર્સન ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરતી વખતે, નમૂનાનું કદ ઓછામાં ઓછું 30 હોવું જોઈએ. દરેક જૂથમાં ઓછામાં ઓછા 5 વિકલ્પો હોવા જોઈએ. જો જૂથોમાં 5 કરતાં ઓછી આવર્તન હોય, તો તે પડોશી જૂથો સાથે જોડવામાં આવે છે.

IN સામાન્ય કેસચી-સ્ક્વેર વિતરણ માટે સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા દ્વારા આપવામાં આવે છે કુલ સંખ્યાજથ્થાઓ કે જેના દ્વારા અનુરૂપ સૂચકાંકોની ગણતરી કરવામાં આવે છે, આ જથ્થાઓને જોડતી શરતોની સંખ્યા બાદ કરો, એટલે કે. તેમની વચ્ચે ભિન્નતાની શક્યતા ઘટાડે છે. સૌથી સરળ કેસોમાં, ગણતરી કરતી વખતે, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા એક દ્વારા ઘટાડવામાં આવેલા વર્ગોની સંખ્યા જેટલી હશે. તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ડાયહાઇબ્રિડ વિભાજન સાથે, 4 વર્ગો મેળવવામાં આવે છે, પરંતુ માત્ર પ્રથમ વર્ગ અસંબંધિત છે, પછીના વર્ગો પહેલાથી જ અગાઉના વર્ગો સાથે સંબંધિત છે. તેથી, ડાયહાઇબ્રિડ વિભાજન માટે, સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા છે.

ઉદાહરણ 1.સૈદ્ધાંતિક રીતે અપેક્ષિત એક સાથે ક્ષય રોગવાળી ગાયોની સંખ્યા દ્વારા જૂથોના વાસ્તવિક વિતરણના પાલનની ડિગ્રી નક્કી કરો, જે સામાન્ય વિતરણને ધ્યાનમાં લેતી વખતે ગણવામાં આવી હતી. સ્રોત ડેટા કોષ્ટકમાં સારાંશ આપેલ છે:

ઉકેલ.

મહત્વના સ્તર અને ટેબલમાંથી સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા અનુસાર નિર્ણાયક મુદ્દાઓવિતરણ (પરિશિષ્ટ 4 જુઓ) આપણે મૂલ્ય શોધીએ છીએ . ત્યારથી , અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે સૈદ્ધાંતિક અને વાસ્તવિક ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેનો તફાવત રેન્ડમ છે. આમ, ક્ષય રોગથી બીમાર ગાયોની સંખ્યા દ્વારા જૂથોનું વાસ્તવિક વિતરણ સૈદ્ધાંતિક રીતે અપેક્ષિત છે.

ઉદાહરણ 2. સૈદ્ધાંતિક વિતરણમેન્ડેલના કાયદા અનુસાર સસલાના ડાયહાઇબ્રિડ ક્રોસિંગ દ્વારા બીજી પેઢીમાં મેળવેલ વ્યક્તિઓના ફેનોટાઇપ અનુસાર, તે 9: 3: 3: 1 છે. સામાન્ય સાથે કાળા વ્યક્તિઓને પાર કરવાથી સસલાના પ્રયોગમૂલક વિતરણના પત્રવ્યવહારની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. નમ્ર પ્રાણીઓ સાથેના વાળ - આલ્બિનો. બીજી પેઢીમાં ક્રોસિંગ કરતી વખતે, 120 વંશજો પ્રાપ્ત થયા હતા, જેમાં ટૂંકા વાળવાળા 45 કાળા, 30 કાળા ડાઉની સસલા, 25 ટૂંકા વાળવાળા સફેદ, 20 સફેદ ડાઉની સસલાનો સમાવેશ થાય છે.

ઉકેલ.સૈદ્ધાંતિક રીતે, સંતાનમાં અપેક્ષિત અલગતા ચાર ફેનોટાઇપ્સ (9: 3: 3: 1) ના ગુણોત્તરને અનુરૂપ હોવા જોઈએ. ચાલો દરેક વર્ગ માટે સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝ (ધ્યેયોની સંખ્યા) ની ગણતરી કરીએ:

9+3+3+1=16, જેનો અર્થ છે કે આપણે અપેક્ષા રાખી શકીએ કે કાળા શોર્ટહેયર હશે ; કાળો ડાઉની - ; સફેદ ટૂંકા વાળવાળા - ; સફેદ ડાઉની -.

ફેનોટાઇપ્સનું પ્રાયોગિક (વાસ્તવિક) વિતરણ નીચે મુજબ હતું: 45; 30; 25; 20.

ચાલો નીચેના કોષ્ટકમાં આ તમામ ડેટાનો સારાંશ આપીએ:

પિયરસન ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીને, અમે મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ:

ડાયહાઇબ્રિડ ક્રોસિંગમાં સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા. મહત્વના સ્તર માટે મૂલ્ય શોધો . ત્યારથી , અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે સૈદ્ધાંતિક અને વાસ્તવિક ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેનો તફાવત રેન્ડમ નથી. પરિણામે, સસલાનું પરિણામી જૂથ ડાયહાઇબ્રીડ ક્રોસિંગ દરમિયાન મેન્ડેલના કાયદામાંથી ફેનોટાઇપ્સના વિતરણમાં વિચલિત થાય છે અને અમુક પરિબળોના પ્રભાવને પ્રતિબિંબિત કરે છે જે ક્રોસ બ્રીડ્સની બીજી પેઢીમાં ફેનોટાઇપિક અલગતાના પ્રકારને બદલે છે.

પીયર્સન ચી-સ્ક્વેર ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ ટેસ્ટનો ઉપયોગ બે એકરૂપ પ્રયોગમૂલક વિતરણની એકબીજા સાથે સરખામણી કરવા માટે પણ થઈ શકે છે, એટલે કે. જેઓ સમાન વર્ગની સીમાઓ ધરાવે છે. નલ પૂર્વધારણા એ પૂર્વધારણા છે કે બે અજાણ્યા વિતરણ કાર્યો સમાન છે. આવા કિસ્સાઓમાં ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટ ફોર્મ્યુલા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે

(**)

વિતરણના કદની સરખામણી ક્યાં અને છે; અને - અનુરૂપ વર્ગોની ફ્રીક્વન્સીઝ.

નીચેના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને બે પ્રયોગમૂલક વિતરણોની સરખામણીનો વિચાર કરો.

ઉદાહરણ 3. કોયલના ઈંડાની લંબાઈ બેનો ઉપયોગ કરીને માપવામાં આવી હતી પ્રાદેશિક ઝોન. પ્રથમ ઝોનમાં, 76 ઇંડા () ના નમૂનાની તપાસ કરવામાં આવી હતી, બીજા 54 (). નીચેના પરિણામો પ્રાપ્ત થયા:

મહત્વના સ્તરે, આપણે શૂન્ય પૂર્વધારણાને ચકાસવાની જરૂર છે કે ઇંડાના બંને નમૂનાઓ એક જ કોયલની વસ્તીના છે.

યોગ્યતા-ઓફ-ફિટ માપદંડ એ એક મહત્વનો માપદંડ છે જેનો ઉપયોગ વસ્તીના વિતરણ કાયદા વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે થાય છે જેમાંથી નમૂના લેવામાં આવે છે.

મોટેભાગે, સંશોધક પ્રાયોગિક ડેટાનું વિતરણ સામાન્ય કાયદાને અનુરૂપ છે કે કેમ તે અંગે રસ ધરાવે છે. તેથી, ઉદાહરણો સામાન્યતા માટે પ્રાયોગિક વિતરણના પરીક્ષણ સાથે સંબંધિત હશે.

• શાપિરો-વિલ્કી ટેસ્ટ
• ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટ
• કોલમોગોરોવ-સ્મિર્નોવ લેમ્બડા માપદંડ

શાપિરો-વિલ્કી માપદંડ

એપ્લિકેશન શરતો: નાના નમૂનાનું કદ

H 0 - સામાન્ય વસ્તીનું વિતરણ જેમાંથી વસ્તીના નમૂના મેળવવામાં આવ્યા હતા તે સામાન્ય કાયદાને અનુરૂપ છે.

H 1 - સામાન્ય વસ્તીનું વિતરણ જેમાંથી વસ્તીના નમૂના મેળવવામાં આવ્યા હતા તે સામાન્ય કાયદાને અનુરૂપ નથી.

કોષ્ટક 1 - શાપિરો-વિલ્કી માપદંડની ગણતરી માટે અલ્ગોરિધમ.

શાપિરો-વિલ્કી માપદંડની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયા

1. અમે સામાન્ય વસ્તીના વિતરણના પત્રવ્યવહાર વિશે પૂર્વધારણા H 0 ઘડીએ છીએ જેમાંથી ડેટા સામાન્ય કાયદામાં મેળવવામાં આવ્યો હતો. અમે મહત્વ સ્તર α=0.05 અસાઇન કરીએ છીએ.
2. અમે પ્રાયોગિક ડેટાનો નમૂનો મેળવીએ છીએ (કોષ્ટક 1 ની કૉલમ 1). અમારા કિસ્સામાં n=10.
3. મૂલ્યની ગણતરી કરો નમૂના તફાવત. ઉદાહરણ તરીકે, S 2 =0.37.
4. અમે નમૂનાને ચડતા અને ઉતરતા ક્રમમાં ક્રમાંક આપીએ છીએ (કૉલમ 2 અને 3)
5. અમે તફાવતો ગણીએ છીએ Δk (કૉલમ 5)
6. પરિશિષ્ટના કોષ્ટક 6માંથી (જુઓ વી.એસ. ઇવાનવ, 1990) આપણે ગુણાંકના મૂલ્યો શોધીએ છીએ (કૉલમ 6)
7. ઉત્પાદન ankΔk શોધો
8. b=સમ ankΔk= 1.7966 ની ગણતરી કરો
9. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને Wf માપદંડના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ:

1. ટેબલ પરથી 7 પરિશિષ્ટ (જુઓ વી.એસ. ઇવાનવ, 1990) અમે α = 0.05 Wcrit = 0.842 માટે શાપિરો-વિલ્કી માપદંડનું નિર્ણાયક મૂલ્ય શોધીએ છીએ.
2. નિષ્કર્ષ. Wf>Wcrit થી, અમે કહી શકીએ કે પ્રાયોગિક ડેટા 0.05 ના મહત્વના સ્તરે સામાન્ય કાયદાને અનુરૂપ છે.

ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટ

દ્વારા ડિઝાઇન કરવામાં આવી છે કાર્લ પીયર્સન. અંતરાલના બાંધકામના આધારે વિવિધતા શ્રેણીઅને પ્રયોગમૂલક (n em) અને સૈદ્ધાંતિક (n t) ફ્રીક્વન્સીઝની સરખામણી (ફિગ. 1).

ફિગ.1. પ્રયોગમૂલક વિતરણ અને સામાન્ય વિતરણની સંભાવના ઘનતા કાર્યને દર્શાવતો હિસ્ટોગ્રામ.

આંકડાકીય પૂર્વધારણા: વસ્તીની વિતરણ ઘનતા જેમાંથી નમૂના લેવામાં આવે છે તેને અનુરૂપ છે સૈદ્ધાંતિક મોડેલસામાન્ય વિતરણ.

વાસ્તવિક ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટનું મૂલ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:

જો વાસ્તવિક મૂલ્યચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટ એ ચી-સ્ક્વેર ટેસ્ટના નિર્ણાયક મૂલ્ય કરતા વધારે અથવા બરાબર છે, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે પ્રાયોગિક વિતરણ મહત્વના સ્તર α પર સામાન્ય કાયદાને અનુરૂપ નથી.

લેમ્બડા કોલમોગોરોવ-સ્મિરનોવ માપદંડ

એન્ડ્રે નિકોલાવિચ દ્વારા વિકસિત કોલમોગોરોવઅને નિકોલાઈ વાસિલીવિચ સ્મિર્નોવ.

આંકડાકીય પૂર્વધારણા: વસ્તીનું વિતરણ કાર્ય (ફિગ. 2) જેમાંથી નમૂના લેવામાં આવે છે તે સામાન્ય કાયદાના વિતરણ કાર્યને અનુરૂપ છે.

ફિગ.2. લાલ ટપકાં એ પ્રાયોગિક ડેટાના આધારે બાંધવામાં આવેલ ક્યુમ્યુલેટ છે, વાદળી વળાંક એ સૈદ્ધાંતિક વિતરણ કાર્ય (સામાન્ય વિતરણ) છે.

માપદંડ λ f નું મૂલ્ય સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

નિષ્કર્ષ: જો λ f > λ ક્રિટ - પ્રયોગમૂલક વિતરણ સામાન્યને અનુરૂપ નથીમહત્વના સ્તરે α.

સાહિત્ય

1. ઉચ્ચ ગણિત અને ગાણિતિક આંકડા: યુનિવર્સિટીઓ / એડ માટે પાઠ્યપુસ્તક. સંપાદન જી.આઈ. પોપોવા. - એમ. શારીરિક સંસ્કૃતિ, 2007.- 368 પૃષ્ઠ.
2. ગાણિતિક આંકડાઓની મૂળભૂત બાબતો: ટ્યુટોરીયલભૌતિકશાસ્ત્રની સંસ્થા માટે. સંપ્રદાય / એડ. વી.એસ. ઇવાનોવા - એમ.: શારીરિક સંસ્કૃતિ અને રમતગમત, 1990. 176 પૃષ્ઠ.

વ્યાખ્યા 51.માપદંડ કે જે તમને મૂલ્યો સુસંગત છે કે કેમ તે નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે એક્સ 1 , એક્સ 2 ,…, x nરેન્ડમ ચલ એક્સતેના વિતરણ કાર્યને લગતી પૂર્વધારણા સાથે કહેવામાં આવે છે સંમતિ માપદંડ.

સંમતિ માપદંડનો ઉપયોગ કરવાનો વિચાર

આ આંકડાકીય સામગ્રીના આધારે એક પૂર્વધારણાનું પરીક્ષણ કરવા દો એન, એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે SV એક્સઅમુક ચોક્કસ વિતરણ કાયદાનું પાલન કરે છે. આ કાયદો ક્યાં તો વિતરણ કાર્ય તરીકે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે એફ(x), અથવા વિતરણ ઘનતાના સ્વરૂપમાં f(x), અથવા સંભાવનાઓના સમૂહ તરીકે p i. આ બધા સ્વરૂપોમાંથી વિતરણ કાર્ય એફ(x) સૌથી સામાન્ય છે (DSV અને NSV બંને માટે અસ્તિત્વમાં છે) અને અન્ય કોઈપણ નક્કી કરે છે, અમે એક પૂર્વધારણા ઘડીશું એન, એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે જથ્થો એક્સવિતરણ કાર્ય ધરાવે છે એફ(x).

પૂર્વધારણા સ્વીકારવા અથવા નકારવા માટે એન, અમુક માત્રા ધ્યાનમાં લો યુ, સૈદ્ધાંતિક અને વચ્ચેની વિસંગતતા (વિચલન) ની ડિગ્રીનું લક્ષણ આંકડાકીય વિતરણો. તીવ્રતાયુ પસંદ કરી શકાય છે વિવિધ રીતે : 1) સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાઓના ચોરસ વિચલનોનો સરવાળો p iઅનુરૂપ ફ્રીક્વન્સીઝમાંથી, 2) કેટલાક ગુણાંક (વજન) સાથે સમાન ચોરસનો સરવાળો, 3) સૈદ્ધાંતિકમાંથી આંકડાકીય (પ્રાયોગિક) વિતરણ કાર્યનું મહત્તમ વિચલન એફ(x).

કિંમત દો યુએક અથવા બીજી રીતે પસંદ કરેલ. દેખીતી રીતે, આ કેટલાક રેન્ડમ ચલ છે. વિતરણનો કાયદો યુરેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદા પર આધાર રાખે છે એક્સ, જેના પર પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા અને પ્રયોગોની સંખ્યા પર n. જો પૂર્વધારણા એનસાચું છે, તો જથ્થાના વિતરણનો કાયદો યુજથ્થાના વિતરણના કાયદા દ્વારા નિર્ધારિત એક્સ(કાર્ય એફ(x)) અને નંબર n.

ચાલો ધારીએ કે આ વિતરણ કાયદો જાણીતો છે. પ્રયોગોની આ શ્રેણીના પરિણામે, તે શોધાયું હતું કે વિસંગતતાનું પસંદ કરેલ માપ યુઅમુક અર્થ લીધો u. પ્રશ્ન: આ રેન્ડમ કારણો દ્વારા સમજાવી શકાય છે અથવા આ વિસંગતતા પણ છે મોટી છે અને સૈદ્ધાંતિક અને આંકડાકીય (અનુભાવિક) વિતરણો વચ્ચે નોંધપાત્ર તફાવતની હાજરી સૂચવે છે અને તેથી, પૂર્વધારણાની અયોગ્યતા એન? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો ધારીએ કે પૂર્વધારણા એનસાચું છે, અને આ ધારણા હેઠળ અમે સંભાવનાની ગણતરી કરીએ છીએ કે, પ્રાયોગિક સામગ્રીની અપૂરતી માત્રા સાથે સંકળાયેલા રેન્ડમ કારણોસર, વિસંગતતાનું માપ યુપ્રાયોગિક રીતે અવલોકન કરેલ મૂલ્ય કરતાં ઓછું નહીં હોય u, એટલે કે, અમે ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરીએ છીએ: .

જો આ સંભાવના નાની છે, તો પછી પૂર્વધારણા એનથોડી બુદ્ધિગમ્ય તરીકે નકારી કાઢવી જોઈએ, પરંતુ જો આ સંભાવના નોંધપાત્ર છે, તો અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે પ્રાયોગિક ડેટા પૂર્વધારણાનો વિરોધાભાસ કરતા નથી. એન.

પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: વિસંગતતા (વિચલન) નું માપ કેવી રીતે પસંદ કરવું જોઈએ? યુ? તે તારણ આપે છે કે તેને પસંદ કરવાની કેટલીક પદ્ધતિઓ સાથે, જથ્થાના વિતરણનો કાયદો યુખૂબ છે સરળ ગુણધર્મોઅને પર્યાપ્ત મોટા સાથે nકાર્યથી વ્યવહારીક સ્વતંત્ર એફ(x). તે ચોક્કસપણે આ વિસંગતતાના પગલાં છે જેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે ગાણિતિક આંકડાસંમતિ માપદંડ તરીકે.

વ્યાખ્યા 51/.કરારનો માપદંડ એ અજાણ્યા વિતરણના ધારિત કાયદા વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટેનો માપદંડ છે.

સામાન્યની નજીકના વિતરણો સાથે માત્રાત્મક ડેટા માટે, ઉપયોગ કરો પેરામેટ્રિકગાણિતિક અપેક્ષા જેવા સૂચકો પર આધારિત પદ્ધતિઓ અને પ્રમાણભૂત વિચલન. ખાસ કરીને, બે નમૂનાઓ માટેના અર્થમાં તફાવતની વિશ્વસનીયતા નક્કી કરવા માટે, વિદ્યાર્થી પદ્ધતિ (માપદંડ) નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, અને ત્રણ અથવા વચ્ચેના તફાવતોને નક્કી કરવા માટે મોટી સંખ્યામાંનમૂનાઓ, - પરીક્ષણ એફ, અથવા વિચલનનું વિશ્લેષણ. જો આપણે બિન-જથ્થાત્મક ડેટા સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ અથવા નમૂનાઓ એટલા નાના છે કે તે વિશ્વાસ રાખવા માટે કે જે વસ્તીમાંથી તેઓ લેવામાં આવ્યા છે તે તેનું પાલન કરે છે સામાન્ય વિતરણ, પછી ઉપયોગ કરો નોનપેરામેટ્રિકપદ્ધતિઓ - માપદંડ χ 2(chi-square) અથવા ગુણાત્મક ડેટા અને ચિહ્નો, રેન્ક, માન-વ્હીટની, વિલ્કોક્સન, વગેરે ઓર્ડિનલ ડેટા માટે પરીક્ષણો માટે પીયર્સન.

વધુમાં, પસંદગી આંકડાકીય પદ્ધતિજેના માધ્યમની તુલના કરવામાં આવી છે તે નમૂનાઓ છે કે કેમ તેના પર આધાર રાખે છે સ્વતંત્ર(એટલે ​​​​કે, ઉદાહરણ તરીકે, વિષયોના બે જુદા જુદા જૂથોમાંથી લેવામાં આવે છે) અથવા આશ્રિત(એટલે ​​​​કે, એક્સપોઝર પહેલાં અને પછી અથવા બે અલગ અલગ એક્સપોઝર પછી વિષયોના સમાન જૂથના પરિણામોને પ્રતિબિંબિત કરે છે).

પૃષ્ઠ 1. પીયર્સન ટેસ્ટ (- ચી-સ્ક્વેર)

તેને ઉત્પન્ન થવા દો nસ્વતંત્ર પ્રયોગો, જેમાંના દરેકમાં રેન્ડમ ચલ X એ ચોક્કસ મૂલ્ય લીધું હતું, એટલે કે, રેન્ડમ ચલના અવલોકનોનો નમૂનો આપવામાં આવ્યો હતો. એક્સ(સામાન્ય વસ્તી) વોલ્યુમ n. ચાલો સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્યોની નિકટતા તપાસવાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ સ્વતંત્ર વિતરણ, એટલે કે, પ્રાયોગિક ડેટા પૂર્વધારણા સાથે સુસંગત છે કે કેમ તે તપાસવું જરૂરી છે એન 0, દર્શાવે છે કે રેન્ડમ ચલ એક્સવિતરણ કાયદો છે એફ(x) મહત્વના સ્તરે α . ચાલો આ કાયદાને "સૈદ્ધાંતિક" કહીએ.

પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે યોગ્યતાના માપદંડ પ્રાપ્ત કરતી વખતે, માપ નક્કી કરો ડીઅંદાજિત (સૈદ્ધાંતિક) વિતરણ કાર્યમાંથી આપેલ નમૂનાના પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્યનું વિચલન એફ(x).

સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતું માપ પીયર્સન દ્વારા રજૂ કરવામાં આવેલ છે. ચાલો આ માપને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો રેન્ડમ ચલ મૂલ્યોના સમૂહને વિભાજિત કરીએ એક્સપર આરસમૂહો - જૂથો એસ 1 , એસ 2 ,…, સિનિયર, વગર સામાન્ય બિંદુઓ. વ્યવહારમાં, આવા પાર્ટીશનનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે ( આર- 1) સંખ્યાઓ c 1 < c 2 < … < c આર-1. આ કિસ્સામાં, દરેક અંતરાલનો અંત અનુરૂપ સમૂહમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે, અને ડાબી બાજુનો સમાવેશ થાય છે.

એસ 1 એસ 2 એસ 3 …. સિનિયર -1 સિનિયર

c 1 c 2 c 3 c આર -1

દો p i, , - સંભાવના કે SV એક્સસમૂહને અનુસરે છે એસ આઇ(દેખીતી રીતે). દો n i, , - અવલોકન કરેલ રાશિઓમાંથી જથ્થા (ચલ) ની સંખ્યા, ઘણા સાથે જોડાયેલા એસ આઇ (પ્રયોગમૂલક આવર્તન). પછી SV હિટની સંબંધિત આવર્તન એક્સઘણામાં એસ આઇખાતે nઅવલોકનો તે સ્પષ્ટ છે કે , .

ઉપરના વિભાજન માટે, p iએક વધારો છે એફ(x) સેટ પર એસ આઇ, અને ઇન્ક્રીમેન્ટ એ જ સેટ પર છે. ચાલો જૂથબદ્ધ આંકડાકીય શ્રેણીના સ્વરૂપમાં કોષ્ટકમાં પ્રયોગોના પરિણામોનો સારાંશ આપીએ.

જાણીને સૈદ્ધાંતિક કાયદોવિતરણ, તમે દરેક જૂથમાં આવતા રેન્ડમ ચલની સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાઓ શોધી શકો છો: આર 1 , આર 2 , …, પી આર. સૈદ્ધાંતિક અને પ્રયોગમૂલક (આંકડાકીય) વિતરણોની સુસંગતતા તપાસતી વખતે, અમે સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાઓ વચ્ચેની વિસંગતતાઓમાંથી આગળ વધીશું. p iઅને અવલોકન કરેલ ફ્રીક્વન્સીઝ.

માપ માટે ડીસૈદ્ધાંતિકમાંથી પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્યની વિસંગતતાઓ (વિચલનો) સૈદ્ધાંતિક સંભાવનાઓના વર્ગ વિચલનોનો સરવાળો લે છે p iચોક્કસ "વજન" સાથે લેવામાં આવતી અનુરૂપ ફ્રીક્વન્સીઝમાંથી c i: .

મતભેદ c iરજૂ કરવામાં આવે છે કારણ કે, સામાન્ય રીતે, સંબંધિત વિચલનો વિવિધ જૂથો, મહત્વમાં સમાન ગણી શકાય નહીં: માં સમાન સંપૂર્ણ મૂલ્યજો સંભાવના પોતે હોય તો વિચલન નજીવું હોઈ શકે છે p iમોટું છે, અને જો તે નાનું હોય તો ખૂબ જ ધ્યાનપાત્ર છે. તેથી, કુદરતી રીતે "વજન" c iસંભાવનાઓ માટે વિપરિત પ્રમાણસર લો. આ ગુણાંક કેવી રીતે પસંદ કરવો?

કે. પીયરસને બતાવ્યું કે જો આપણે મૂકીએ તો મોટા માટે nજથ્થો વિતરણ કાયદો યુખૂબ જ સરળ ગુણધર્મો ધરાવે છે: તે વિતરણ કાર્યથી વ્યવહારીક રીતે સ્વતંત્ર છે એફ(x) અને પ્રયોગોની સંખ્યા પર n, પરંતુ ફક્ત જૂથોની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે આર, એટલે કે, વધારો સાથે આ કાયદો nકહેવાતા ચી-સ્ક્વેર વિતરણનો સંપર્ક કરે છે .

જો તમને જરૂર હોય વધારાની સામગ્રીઆ વિષય પર, અથવા તમે જે શોધી રહ્યા હતા તે તમને મળ્યું નથી, અમે અમારા કાર્યોના ડેટાબેઝમાં શોધનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ:

પ્રાપ્ત સામગ્રી સાથે અમે શું કરીશું:

જો આ સામગ્રી તમારા માટે ઉપયોગી હતી, તો તમે તેને સામાજિક નેટવર્ક્સ પર તમારા પૃષ્ઠ પર સાચવી શકો છો: