મનસ્વી વાસ્તવિક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને ધ્યાનમાં લો

તેનું ગુણાંક મેટ્રિક્સ વાસ્તવિક સપ્રમાણ છે. તેથી (જુઓ પ્રકરણ IX, § 13) તે ઓર્થોગોનલ રીતે કેટલાક વાસ્તવિક કર્ણ મેટ્રિક્સ જેવું જ છે, એટલે કે ત્યાં એક વાસ્તવિક ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ છે જેમ કે

અહીં મેટ્રિક્સની લાક્ષણિક સંખ્યાઓ છે.

કારણ કે માટે ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ, પછી (41) માંથી તે અનુસરે છે કે ચલોના ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશન હેઠળનું સ્વરૂપ

અથવા વધુ વિગતવાર રેકોર્ડ

(42")

આકારમાં જાય છે

. (43)

પ્રમેય 7. વાસ્તવિક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપહંમેશા ઉપયોગ કરીને આપી શકાય છે ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશનથી પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ(43); આ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સની લાક્ષણિક સંખ્યાઓ છે.

કેનોનિકલ સ્વરૂપ (43) માં ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને ઘટાડીને મુખ્ય અક્ષોમાં ઘટાડો કહેવામાં આવે છે. આ નામ એ હકીકતને કારણે છે કે બીજા ક્રમના કેન્દ્રીય હાઇપરસર્ફેસનું સમીકરણ,

, (44)

ચલોના ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશન સાથે (42) પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ લે છે

. (45)

જો આપણે તેમને -પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશના કેટલાક ઓર્થોનોર્મલ આધાર પર કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે ગણીએ, તો તે સમાન જગ્યાના નવા ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે કોઓર્ડિનેટ્સ હશે, અને અક્ષોનું "પરિભ્રમણ" ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશન (42) દ્વારા કરવામાં આવે છે. નવા સંકલન અક્ષો કેન્દ્રીય સપાટીની સમપ્રમાણતાની અક્ષો છે (44) અને સામાન્ય રીતે આ સપાટીની મુખ્ય અક્ષો કહેવાય છે.

ફોર્મ્યુલા (43) પરથી તે ફોર્મની રેન્કને અનુસરે છે સંખ્યા જેટલીમેટ્રિક્સની બિન-શૂન્ય લાક્ષણિકતા સંખ્યાઓ, અને હસ્તાક્ષર મેટ્રિક્સની સકારાત્મક સંખ્યા અને નકારાત્મક લાક્ષણિકતા સંખ્યાઓની સંખ્યા વચ્ચેના તફાવતની સમાન છે.

અહીંથી, ખાસ કરીને, નીચેની દરખાસ્ત નીચે મુજબ છે:

જો, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના ગુણાંકમાં સતત ફેરફાર સાથે, તેનો ક્રમ યથાવત રહે છે, તો પછી ગુણાંકમાં આ ફેરફાર સાથે, તેની સહી પણ યથાવત રહે છે.

આ કિસ્સામાં, અમે એ હકીકતથી આગળ વધીએ છીએ કે ગુણાંકમાં સતત ફેરફાર લાક્ષણિકતા નંબરોમાં સતત ફેરફારનો સમાવેશ કરે છે. હસ્તાક્ષર ત્યારે જ બદલાઈ શકે છે જ્યારે અમુક લાક્ષણિકતા નંબર સાઇન બદલાય છે. પરંતુ પછી અમુક મધ્યવર્તી ક્ષણે પ્રશ્નમાંની લાક્ષણિકતા સંખ્યા શૂન્ય પર જશે, જે ફોર્મના ક્રમમાં ફેરફારનો સમાવેશ કરે છે.. (48)

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો સિદ્ધાંત, જે અગાઉના ફકરામાં દર્શાવેલ છે, તે બીજા ક્રમના કેન્દ્રીય વણાંકોના ભૌમિતિક સિદ્ધાંત સાથે સામ્યતા દ્વારા બાંધવામાં આવે છે, પરંતુ આ પછીના સિદ્ધાંતનું સામાન્યીકરણ ગણી શકાય નહીં. વાસ્તવમાં, અમારા સિદ્ધાંતમાં કોઈપણ બિન-અધોગતિયુક્ત રેખીય પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી છે, જ્યારે કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં બીજા ક્રમના વળાંકને ખૂબ જ રેખીય પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને પ્રાપ્ત થાય છે. ખાસ પ્રકાર(2), જે પ્લેનના પરિભ્રમણ છે. આ ભૌમિતિક સિદ્ધાંતજો કે, ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ ઓર્થોગોનલ હોવા જરૂરી કરીને વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે અજાણ્યામાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોના કિસ્સામાં સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે. આ પરિવર્તન કહેવાય છે ઓર્થોગોનલ, અને પ્રક્રિયા પોતે મુખ્ય અક્ષો પર ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોને ઘટાડવું.

પ્રમેય. દરેક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને અમુક ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશન દ્વારા પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે.

પુરાવો. આપણે અમુકના મેટ્રિક્સ તરીકે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સને જોઈશું રેખીય ઓપરેટરયુક્લિડિયન અવકાશમાં. જો મેટ્રિક્સ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું હોય, તો તે ક્રમનું સપ્રમાણ છે. જો પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશના કેટલાક ઓર્થોનોર્મલ આધાર, પછી મેટ્રિક્સ આ આધારમાં સપ્રમાણ ઓપરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. યુક્લિડિયન અવકાશમાં સપ્રમાણ ઓપરેટર્સ વિશેના મુખ્ય પ્રમેય દ્વારા, યોગ્ય ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે તેનું મેટ્રિક્સ વિકર્ણ હશે. સંક્રમણ મેટ્રિક્સને માંથી , પછી દો.

પરંતુ મેટ્રિક્સ , પ્રમેય 2 §1.6 અનુસાર એક ઓર્થોનોર્મલ આધારથી બીજામાં સંક્રમણ મેટ્રિક્સ તરીકે ઓર્થોગોનલ હશે, અને તેથી . તેથી જ. જેમ કે, આ રીતે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ રૂપાંતરિત થાય છે, મેટ્રિક્સ સાથે અજાણ્યાઓના રેખીય પરિવર્તનને આધિન છે.

તેથી, મેટ્રિક્સ ધરાવતા અજાણ્યાઓનું રૂપાંતરણ ઓર્થોગોનલ છે, અને મેટ્રિક્સ, કર્ણ હોવાથી, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને અનુરૂપ છે. પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ. □

હકીકત એ છે કે બનેલા આધારમાં રેખીય ઓપરેટરનું મેટ્રિક્સ eigenvectors, વિકર્ણ સ્વરૂપ ધરાવે છે (મુખ્ય કર્ણની સાથે એઇજેન મૂલ્યો સાથે), તે આપણને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ તેમજ આ ઓર્થોગોનલ રૂપાંતરણને વ્યવહારીક રીતે શોધવા માટેની પદ્ધતિ આપે છે.

ઉદાહરણ 2.એક ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશન શોધો જે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને ઘટાડે છે

કેનોનિકલ વ્યૂ પર જાઓ અને આ કેનોનિકલ વ્યૂ લખો.

ઉકેલ. આ ફોર્મના મેટ્રિક્સમાં ફોર્મ છે

,

ચાલો તેણીને શોધીએ લાક્ષણિક બહુપદી:

.

આમ, મેટ્રિક્સમાં ડબલ રુટ અને સરળ રુટ છે. તેથી, આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ હશે

.

ચાલો એક ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશન શોધીએ જે આ ઘટાડાને લાગુ કરે છે. આ કરવા માટે, અમને મળેલા eigenvalues ​​ને અનુરૂપ eigenvectors મળે છે , એટલે કે, અમે રેખીય સિસ્ટમો ઉકેલીએ છીએ સજાતીય સમીકરણોદરેક માટે.

જ્યારે અમારી પાસે છે

.

જ્યાં , એટલે કે ત્યાં 2 સ્વતંત્ર ચલો છે, અને મૂળભૂત સમૂહઉકેલો હશે:

તેમને ઓર્થોગોનલાઇઝેશન પ્રક્રિયા લાગુ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો સિદ્ધાંત, જે અગાઉના ફકરામાં દર્શાવેલ છે, તે બીજા ક્રમના કેન્દ્રીય વણાંકોના ભૌમિતિક સિદ્ધાંત સાથે સામ્યતા દ્વારા બાંધવામાં આવે છે, પરંતુ આ પછીના સિદ્ધાંતનું સામાન્યીકરણ ગણી શકાય નહીં. વાસ્તવમાં, અમારો સિદ્ધાંત કોઈપણ બિન-અધોગતિવાળા રેખીય પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે, જ્યારે બીજા-ક્રમના વળાંકને તેના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવવું ખૂબ જ વિશિષ્ટ પ્રકાર (2) ના રેખીય પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને પ્રાપ્ત થાય છે, જે પ્લેનનું પરિભ્રમણ છે. આ ભૌમિતિક સિદ્ધાંત, જોકે, રૂપાંતરણ મેટ્રિક્સ ઓર્થોગોનલ હોવા જરૂરી કરીને વાસ્તવિક ગુણાંક સાથે અજાણ્યામાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોના કિસ્સામાં સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે. આ પરિવર્તન કહેવાય છે ઓર્થોગોનલ, અને પ્રક્રિયા પોતે મુખ્ય અક્ષો પર ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોને ઘટાડવું.

પ્રમેય. દરેક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને અમુક ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશન દ્વારા પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે.

પુરાવો. અમે યુક્લિડિયન અવકાશમાં કેટલાક રેખીય ઓપરેટરના મેટ્રિક્સ તરીકે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સને જોઈશું. જો મેટ્રિક્સ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું હોય, તો તે ક્રમનું સપ્રમાણ છે. જો પરિમાણીય યુક્લિડિયન અવકાશના કેટલાક ઓર્થોનોર્મલ આધાર, પછી મેટ્રિક્સ આ આધારમાં સપ્રમાણ ઓપરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. યુક્લિડિયન અવકાશમાં સપ્રમાણ ઓપરેટર્સ વિશેના મુખ્ય પ્રમેય દ્વારા, યોગ્ય ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે તેનું મેટ્રિક્સ વિકર્ણ હશે. સંક્રમણ મેટ્રિક્સને માંથી , પછી દો.

પરંતુ મેટ્રિક્સ , પ્રમેય 2 §1.6 અનુસાર એક ઓર્થોનોર્મલ આધારથી બીજામાં સંક્રમણ મેટ્રિક્સ તરીકે ઓર્થોગોનલ હશે, અને તેથી . તેથી જ. જેમ કે, આ રીતે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ રૂપાંતરિત થાય છે, મેટ્રિક્સ સાથે અજાણ્યાઓના રેખીય પરિવર્તનને આધિન છે.

તેથી, મેટ્રિક્સ ધરાવતા અજાણ્યાઓનું રૂપાંતરણ ઓર્થોગોનલ છે, અને મેટ્રિક્સ, કર્ણ હોવાથી, પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને અનુરૂપ છે. □

આ હકીકત એ છે કે એઇજેનવેક્ટરના બનેલા આધારમાં રેખીય ઓપરેટરનું મેટ્રિક્સ વિકર્ણ સ્વરૂપ ધરાવે છે (મુખ્ય કર્ણની સાથે એઇજેન મૂલ્યો સાથે) આપણને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ તેમજ આ ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશનને વ્યવહારીક રીતે શોધવા માટેની પદ્ધતિ આપે છે. પોતે

ઉદાહરણ 2.એક ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશન શોધો જે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને ઘટાડે છે

કેનોનિકલ વ્યૂ પર જાઓ અને આ કેનોનિકલ વ્યૂ લખો.

ઉકેલ. આ ફોર્મના મેટ્રિક્સમાં ફોર્મ છે

,

ચાલો તેની લાક્ષણિકતા બહુપદી શોધીએ:

.

આમ, મેટ્રિક્સમાં ડબલ રુટ અને સરળ રુટ છે. તેથી, આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ હશે

.

ચાલો એક ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશન શોધીએ જે આ ઘટાડાને લાગુ કરે છે. આ કરવા માટે, અમને મળેલા eigenvalues ​​ને અનુરૂપ eigenvectors મળે છે , એટલે કે, અમે દરેક માટે રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલીશું.

જ્યારે અમારી પાસે છે

.

જ્યાં , એટલે કે ત્યાં 2 સ્વતંત્ર ચલો છે, અને ઉકેલોનો મૂળભૂત સમૂહ આ હશે:

તેમને ઓર્થોગોનલાઇઝેશન પ્રક્રિયા લાગુ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

જ્યારે અમારી પાસે છે

.

આ સિસ્ટમનીચેનાની સમકક્ષ છે:

,

જેનો ઉકેલ આવશે

- રેખીય બીજગણિત

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને મુખ્ય અક્ષો સુધી ઘટાડવું

પહેલાં, અમે વાસ્તવિક ઘટાડવાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લીધી

q(x)= \sum_(n=1)^(n) \sum_(j=1)^(n) a_(ij)x_ix_j=x^TAx

n માટે ચલ

\widetilde(q)(y)=\lambda_1y_1^2+ \lambda_2y_2^2+ \ldots+ \lambda_ny_n^2

x=Sy ચલોના બિન-ડિજનરેટ રેખીય ફેરફારનો ઉપયોગ કરીને. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે અમે ઉપયોગ કર્યો.

ચાલો ઉકેલ માટેના અન્ય અભિગમને ધ્યાનમાં લઈએ. ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ S~(S^(-1)=S^T) સાથેના ચલોના રેખીય બિન-ડિજનરેટ ફેરફાર x=Sy ને ચલોના ઓર્થોગોનલ ફેરફાર (અથવા ચલોનું ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશન) કહેવામાં આવશે.

ચાલો સમસ્યાની રચના કરીએ મુખ્ય અક્ષો પર ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને ઘટાડવું: ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (9.23) ને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ (9.24) પર લાવીને x=Sy (S^(-1)=S^T) ચલોનો ઓર્થોગોનલ ફેરફાર શોધવાની જરૂર છે.

ઉકેલવા માટે અમે નીચેનાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ ભૌમિતિક અર્થકાર્યો આપણે ચલોની ગણતરી કરીશું x_1,x_2,\ldots,x_nઓર્થોનોર્મલ ધોરણે n-પરિમાણીય યુક્લિડિયન સ્પેસ \mathbb(E) ના વેક્ટર \boldsymbol(x) ના કોઓર્ડિનેટ્સ (\boldsymbol(e))= (\boldsymbol(e)_1,\ldots,\boldsymbol(e)_n), અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ A (9.23) કેટલાકનું મેટ્રિક્સ છે રેખીય પરિવર્તન \mathcal(A)\colon \mathbb(E)\to \mathbb(E)એ જ આધાર પર. તદુપરાંત, આ પરિવર્તન સ્વ-સંલગ્ન છે, કારણ કે તેનું મેટ્રિક્સ સપ્રમાણ છે: A^T=A. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (9.23) એક સ્કેલર ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

q(\boldsymbol(x))= \bigl\langle \mathcal(A)(\boldsymbol(x)), \boldsymbol(x)\bigr\rangle= \bigl\langle \boldsymbol(x), \mathcal(A )(\boldsymbol(x))\bigr\range.

ચલનો ઓર્થોગોનલ ફેરફાર x=Sy એક ઓર્થોનોર્મલ આધારથી બીજામાં સંક્રમણને અનુરૂપ છે. ખરેખર, S એ ઓર્થોનોર્મલ બેસિસ (\boldsymbol(e)) થી ઓર્થોનોર્મલ બેસિસ પરનું સંક્રમણ મેટ્રિક્સ છે. (\boldsymbol(s)= (\boldsymbol(s)_1,\ldots,\boldsymbol(s)_n), એટલે કે (\boldsymbol(s))= (\boldsymbol(e))Sઅને S^(-1)=S^T. પછી આધાર (\boldsymbol(e)) માં વેક્ટર \boldsymbol(x) ના x કોઓર્ડિનેટ્સ અને આધાર (\boldsymbol(s)) માં સમાન વેક્ટરના y કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્ર (8.11) દ્વારા સંબંધિત છે: x= Sy .

આમ, મુખ્ય અક્ષો પર ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને ઘટાડવાની સમસ્યા નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: જગ્યા \mathbb(E) માં એક એવો આધાર શોધવો જરૂરી છે કે જેમાં સ્વ-સંલગ્ન રૂપાંતર મેટ્રિક્સ \mathcal(A) વિકર્ણ ધરાવે છે. ફોર્મ પ્રમેય 9.10 અનુસાર, સ્વ-સંલગ્ન પરિવર્તનના ઇજેનવેક્ટરમાંથી ઓર્થોનોર્મલ આધાર પસંદ કરવો જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, સંક્રમણ મેટ્રિક્સ S કેનોનિકલ ધોરણે ઓર્થોગોનલ હોવાનું બહાર આવ્યું છે: S^T=S^(-1) .

ચાલો આ પરિણામને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ માટે ઘડીએ.

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને મુખ્ય અક્ષો સુધી ઘટાડવા પર પ્રમેય (9.12)

વાસ્તવિક ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (9.23) x=Sy ચલોના ઓર્થોગોનલ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ (9.24) સુધી ઘટાડી શકાય છે, જ્યાં - eigenvaluesમેટ્રિસ એ.

પરિણામ. ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (9.23) સકારાત્મક નિશ્ચિત (બિન-નકારાત્મક નિશ્ચિત) છે જો અને માત્ર જો તેના મેટ્રિક્સના તમામ ઇજેનવેલ્યુ હકારાત્મક (બિન-નકારાત્મક) હોય.

નોંધો 9.10

1. રેખીય નોન-ડિજનરેટ રિપ્લેસમેન્ટ સાથે ચલ મેટ્રિક્સફોર્મ્યુલા (6.10): A"=S^TAS. ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ S માટે, આ ફોર્મ્યુલા A"=S^(-1)AS ફોર્મ લે છે, જે રેખીય બદલવા માટે ફોર્મ્યુલા (9.4) સાથે એકરુપ છે. આધાર બદલતી વખતે ટ્રાન્સફોર્મેશન મેટ્રિક્સ.

2. પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ (9.24) શોધવા માટે, તે બધા મૂળ નક્કી કરવા માટે પૂરતું છે \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m(જેની વચ્ચે સમાન હોઈ શકે છે) (સમીકરણો) \det(A-\lambda E)=0, જ્યાં E એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

3. પ્રમેય 9.12 ના કોરોલરીનો ઉપયોગ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના ચિહ્નનું વિશ્લેષણ કરવા માટે કરી શકાય છે:

– જો તમામ ઇજનવેલ્યુ સકારાત્મક (નકારાત્મક) હોય, તો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ હકારાત્મક (નકારાત્મક) નિશ્ચિત છે;

– જો તમામ ઇજનવેલ્યુ બિન-નકારાત્મક (બિન-હકારાત્મક) હોય, તો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ બિન-નકારાત્મક (બિન-હકારાત્મક) નિશ્ચિત છે;

- જો ત્યાં વિવિધ ચિહ્નોના ઇજેન મૂલ્યો હોય, તો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ અનિશ્ચિત (વૈકલ્પિક) છે.

4. ટિપ્પણીઓના ફકરા 3 માં ઘડવામાં આવેલા પરિણામોનો ઉપયોગ પર્યાપ્ત અને ચકાસવા માટે કરી શકાય છે જરૂરી શરતોવિધેયોની બિનશરતી સીમા શોધવાની સમસ્યામાં બીજો ક્રમ. આ કરવા માટે, તમારે eigenvalues ​​શોધવાની જરૂર છે \lambda_1, \lambda_2,\ldots,\lambda_m \dfrac(d^2f(x))(dx^Tdx)દરેકમાં સ્થિર બિંદુઓ x^(\ast) કાર્યો f(x)=f(x_1,\ldots,x_n).

જો તમામ ઇજનવેલ્યુ સકારાત્મક છે: \lambda_i>0,~ i=1,\ldots,n, પછી બિંદુ x^(\ast) પર સ્થાનિક લઘુત્તમ;

- જો તમામ ઇજનવેલ્યુ નકારાત્મક હોય તો: \lambda_i<0,~ i=1,\ldots,n , પછી બિંદુ x^(\ast) પર સ્થાનિક મહત્તમ છે;

- જો તમામ ઇજનવેલ્યુ બિન-નકારાત્મક હોય તો: \lambda_i\geqslant0, ~ i=1, \ldots, n, પછી બિંદુ x^(\ast) પર સ્થાનિક લઘુત્તમ હોઈ શકે છે;

- જો તમામ ઇજનવેલ્યુ બિન-પોઝિટિવ હોય તો: \lambda_i\leqslant0, ~ i=1, \ldots,n, પછી બિંદુ x^(\ast) પર સ્થાનિક મહત્તમ હોઈ શકે છે;

- જો eigenvalues \lambda_i,~ i=1,\ldots,n, વિવિધ ચિહ્નો, પછી બિંદુ x^(\ast) પર કોઈ સીમા નથી;

- જો તમામ ઇજનવેલ્યુ શૂન્ય છે: \lambda_i=0,~ i=1,\ldots,n, પછી વધારાના સંશોધનની જરૂર છે.

5. સ્વ-સંલગ્ન રૂપાંતરણને કર્ણ સ્વરૂપમાં ઘટાડવા માટે અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને મુખ્ય અક્ષો પર ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને ઘટાડવાની સમસ્યા હલ થાય છે. આ કિસ્સામાં, ચતુર્ભુજ સ્વરૂપના મેટ્રિક્સનું વિકર્ણ સ્વરૂપ અને x=Sy ચલોના ફેરફારનું ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ S જોવા મળે છે, જે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપને પ્રામાણિક સ્વરૂપ (મુખ્ય અક્ષો પર) લાવે છે.

ઉદાહરણ 9.7.ત્રણ ચલોના ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું ચિહ્ન નક્કી કરો

q(x)= x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+x_2^2+2x_2x_3+x_3^2

ઉકેલ.અમે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ કંપોઝ કરીએ છીએ: A=\begin(pmatrix) 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end(pmatrix). ઉદાહરણ 9.6 માં, આ મેટ્રિક્સના eigenvalues ​​મળી આવ્યા હતા: \lambda_(1,2)=0, \lambda_3=3. બધા eigenvalues ​​બિન-નકારાત્મક છે, તેથી ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ બિન-નકારાત્મક ચોક્કસ છે (રિમાર્ક્સ 9.10 નો પોઈન્ટ 4 જુઓ).

ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ મળી આવ્યું હતું

S=\begin(pmatrix) \dfrac(\sqrt(2))(2)& \dfrac(\sqrt(6))(6)& \dfrac(\sqrt(3))(3)\\ 0&-\ dfrac(\sqrt(6))(3)& \dfrac(\sqrt(3))(3)\\ -\dfrac(\sqrt(2))(2)& \dfrac(\sqrt(6))( 6)& \dfrac(\sqrt(3))(3) \end(pmatrix)\!,

મેટ્રિક્સ A ને કર્ણ સ્વરૂપમાં ઘટાડવું \Lambda= \operatorname(diag) (0,0,3). અમે ચલોના જરૂરી ઓર્થોગોનલ ફેરફાર લખીએ છીએ x=Sy:

x_1= \frac(\sqrt(2))(2)\,y_1+ \frac(\sqrt(6))(6)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3;\quad x_2= -\frac(\sqrt(6))(3)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3;\quad x_3= -\frac(\sqrt(2))(2 )\,y_1+ \frac(\sqrt(6))(6)\,y_2+ \frac(\sqrt(3))(3)\,y_3.

અને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ: \widetilde(q)(y)= 3y_3^2.

ઉદાહરણ 9.8.મેટ્રિસીસનો ઉપયોગ કરીને બે ચલોના કાર્યના સ્થાનિક આત્યંતિક બિંદુઓ શોધો

f(x)=3x_1^5+x_1^4-5x_1^3-2x_1^2x_2+x_2^2.

ઉકેલ.પગલું 1 માં, ફંક્શનનો ઢાળ મળ્યો હતો, અને પ્રથમ-ક્રમના એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી સ્થિતિથી, ત્રણ સ્થિર બિંદુઓ:

x^0= \begin(pmatrix)0&0 \end(pmatrix)^T,\qquad x^1=\begin(pmatrix) 1&1 \end(pmatrix)^T,\qquad x^2=\begin(pmatrix) - 1&1\અંત(pmatrix)^T.

\frac(df(x))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix) 60x_1^3+12x_1^2-30x_1-4x_2&-4x_1\\-4x_1&2 \end(pmatrix)\!.

ચાલો દરેક સ્થિર બિંદુ પર હેસિયન મેટ્રિક્સના ઇજેનવેલ્યુ શોધીએ:

\frac(df(x^0))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix)0&0\\ 0&2 \end(pmatrix)\!;\quad \frac(df(x^1))(dx^Tdx ) = \begin(pmatrix)38&-4\\ -4&2 \end(pmatrix)\!,\quad \frac(df(x^2))(dx^Tdx)= \begin(pmatrix) -22&4\\4&2\ અંત(pmatrix)

બિંદુએ x^0=\begin(pmatrix)0\\0 \end(pmatrix)હેસિયન મેટ્રિક્સ ફોર્મ ધરાવે છે \begin(pmatrix) 0&0\\ 0&2\end(pmatrix). Eq થી. \begin(vmatrix) -\lambda&0\\ 0&2-\lambda\end(vmatrix)=0આપણે શોધીએ છીએ \lambda_1=0, \lambda_2=2. તમામ ઇજેન મૂલ્યો બિન-નકારાત્મક હોવાથી, બિંદુ x^0 પર સ્થાનિક લઘુત્તમ હોઈ શકે છે અને અંતિમ નિષ્કર્ષ માટે વધારાના સંશોધન જરૂરી છે (ઉદાહરણ 6.13 જુઓ).

બિંદુએ x^1=\begin(pmatrix)1\\1 \end(pmatrix)હેસિયન મેટ્રિક્સ ફોર્મ ધરાવે છે \begin(pmatrix) 38&-4\\ -4&2 \end(pmatrix). Eq થી. \begin(vmatrix) 38-\lambda&-4\\ -4&2-\lambda\end(vmatrix)=0, અથવા \lambda^2-40 \lambda+60=0અમે મેળવીએ છીએ \lambda_(1,2)= 20\pm2\sqrt(85). તમામ ઇજેનમૂલ્યો સકારાત્મક હોવાથી, પછી બિંદુ x^1 પર કાર્યનું સ્થાનિક લઘુત્તમ છે.

બિંદુએ x^2=\begin(pmatrix)-1\\1 \end(pmatrix)હેસિયન મેટ્રિક્સ ફોર્મ ધરાવે છે \begin(pmatrix) -22&4\\ 4&2 \end(pmatrix). Eq થી. \begin(vmatrix) -22-\lambda&4\\ 4&2-\lambda\end(vmatrix)=0, અથવા \lambda^2+40 \lambda-60=0અમે મેળવીએ છીએ \lambda_(1,2)=-10\pm4\sqrt(10). ઇજનવેલ્યુઝમાં અલગ અલગ ચિહ્નો હોવાથી, x^2 બિંદુ પર કોઈ સીમા નથી.