મિત્રો, આજે કોઈ ક્ષોભ કે લાગણીશૂન્યતા રહેશે નહીં. તેના બદલે, હું તમને, કોઈ પ્રશ્ન પૂછ્યા વિના, સૌથી વધુ એક સાથે યુદ્ધમાં મોકલીશ પ્રચંડ વિરોધીઓ 8મા-9મા ધોરણના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં.

હા, તમે બધું બરાબર સમજી લીધું છે: અમે મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. અમે ચાર મૂળભૂત તકનીકો જોઈશું જેની મદદથી તમે આવી લગભગ 90% સમસ્યાઓ હલ કરવાનું શીખી શકશો. બાકીના 10% વિશે શું? સારું, અમે તેમના વિશે એક અલગ પાઠમાં વાત કરીશું :)

જો કે, કોઈપણ તકનીકોનું વિશ્લેષણ કરતા પહેલા, હું તમને બે હકીકતો યાદ કરાવવા માંગુ છું જે તમારે પહેલાથી જ જાણવાની જરૂર છે. નહિંતર, તમે આજના પાઠની સામગ્રીને બિલકુલ ન સમજી શકશો.

તમારે પહેલાથી શું જાણવાની જરૂર છે

કેપ્ટનની સ્પષ્ટતા એ સંકેત આપે છે કે મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતાને ઉકેલવા માટે તમારે બે બાબતો જાણવાની જરૂર છે:

અસમાનતાઓ કેવી રીતે ઉકેલાય છે;
મોડ્યુલ શું છે?

ચાલો બીજા મુદ્દાથી શરૂઆત કરીએ.

મોડ્યુલ વ્યાખ્યા

અહીં બધું સરળ છે. ત્યાં બે વ્યાખ્યાઓ છે: બીજગણિત અને ગ્રાફિકલ. સાથે શરૂ કરવા માટે - બીજગણિત:

વ્યાખ્યા. સંખ્યા $x$નું મોડ્યુલસ કાં તો તે સંખ્યા છે, જો તે બિન-ઋણાત્મક હોય, અથવા તેની વિરુદ્ધની સંખ્યા, જો મૂળ $x$ હજુ પણ નકારાત્મક હોય.

તે આ રીતે લખાયેલ છે:

\[\left| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

બોલતા સરળ ભાષામાં, મોડ્યુલસ એ "માઈનસ વગરની સંખ્યા" છે. અને તે ચોક્કસપણે આ દ્વૈતતામાં છે (કેટલીક જગ્યાએ તમારે મૂળ સંખ્યા સાથે કંઈ કરવાની જરૂર નથી, પરંતુ અન્યમાં તમારે અમુક પ્રકારની બાદબાકી દૂર કરવી પડશે) તે તે છે જ્યાં શરૂઆતના વિદ્યાર્થીઓ માટે આખી મુશ્કેલી રહે છે.

ભૌમિતિક વ્યાખ્યા પણ છે. તે જાણવું પણ ઉપયોગી છે, પરંતુ અમે ફક્ત જટિલ અને કેટલાક વિશિષ્ટ કેસોમાં જ તેના તરફ વળીશું, જ્યાં ભૌમિતિક અભિગમ બીજગણિત કરતાં વધુ અનુકૂળ છે (સ્પૉઇલર: આજે નહીં).

વ્યાખ્યા. બિંદુ $a$ ને સંખ્યા રેખા પર ચિહ્નિત થવા દો. પછી મોડ્યુલ $\left| x-a \right|$ એ આ રેખા પરના બિંદુ $x$ થી બિંદુ $a$ સુધીનું અંતર છે.

જો તમે ચિત્ર દોરો છો, તો તમને આના જેવું કંઈક મળશે:

ગ્રાફિકલ મોડ્યુલ વ્યાખ્યા

એક રીતે અથવા બીજી રીતે, મોડ્યુલની વ્યાખ્યામાંથી તેની મુખ્ય મિલકત તરત જ નીચે મુજબ છે: સંખ્યાનું મોડ્યુલસ હંમેશા બિન-ઋણાત્મક જથ્થો છે. આ હકીકત આજે આપણા સમગ્ર કથામાં એક લાલ દોરો બની રહેશે.

અસમાનતાઓનું નિરાકરણ. અંતરાલ પદ્ધતિ

હવે ચાલો અસમાનતાઓ જોઈએ. તેમાંના ઘણા બધા છે, પરંતુ અમારું કાર્ય હવે તેમાંથી ઓછામાં ઓછા સરળ ઉકેલવા માટે સક્ષમ બનવાનું છે. જેઓ નીચે આવે છે રેખીય અસમાનતાઓ, તેમજ અંતરાલ પદ્ધતિ માટે.

મારી પાસે આ વિષય પર બે મોટા પાઠ છે (માર્ગ દ્વારા, ખૂબ, ખૂબ જ ઉપયોગી - હું તેનો અભ્યાસ કરવાની ભલામણ કરું છું):

અસમાનતા માટે અંતરાલ પદ્ધતિ (ખાસ કરીને વિડિઓ જુઓ);
અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અસમાનતાઓ ખૂબ જ છે વ્યાપક પાઠ, પરંતુ તે પછી તમારી પાસે કોઈ પ્રશ્નો હશે નહીં.

જો તમે આ બધું જાણો છો, જો "ચાલો અસમાનતાથી સમીકરણ તરફ આગળ વધીએ" વાક્ય તમને તમારી જાતને દિવાલ સામે અથડાવાની અસ્પષ્ટ ઇચ્છા નથી કરતું, તો તમે તૈયાર છો: પાઠના મુખ્ય વિષય પર નરકમાં આપનું સ્વાગત છે :)

1. ફોર્મની અસમાનતા "મોડ્યુલસ કાર્ય કરતા ઓછું છે"

આ મોડ્યુલો સાથેની સૌથી સામાન્ય સમસ્યાઓમાંની એક છે. ફોર્મની અસમાનતાને ઉકેલવા માટે તે જરૂરી છે:

\[\left| f\right| \ltg\]

$f$ અને $g$ કંઈપણ હોઈ શકે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે તે બહુપદી હોય છે. આવી અસમાનતાના ઉદાહરણો:

નીચેની યોજના અનુસાર તે બધાને શાબ્દિક રીતે એક લીટીમાં હલ કરી શકાય છે:

\[\left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \અધિકાર.\જમણે)\]

તે જોવાનું સરળ છે કે આપણે મોડ્યુલથી છૂટકારો મેળવીએ છીએ, પરંતુ બદલામાં આપણને બેવડી અસમાનતા (અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે, બે અસમાનતાઓની સિસ્ટમ) મળે છે. પરંતુ આ સંક્રમણ સંપૂર્ણપણે બધું ધ્યાનમાં લે છે શક્ય સમસ્યાઓ: જો મોડ્યુલસ હેઠળની સંખ્યા હકારાત્મક હોય, તો પદ્ધતિ કાર્ય કરે છે; જો નકારાત્મક હોય, તો તે હજી પણ કાર્ય કરે છે; અને $f$ અથવા $g$ ની જગ્યાએ સૌથી અપૂરતા કાર્ય સાથે પણ, પદ્ધતિ હજુ પણ કામ કરશે.

સ્વાભાવિક રીતે, પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું તે સરળ ન હોઈ શકે? કમનસીબે, તે શક્ય નથી. આ મોડ્યુલનો આખો મુદ્દો છે.

જો કે, ફિલોસોફાઇઝિંગ સાથે પૂરતું. ચાલો કેટલીક સમસ્યાઓ હલ કરીએ:

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

\[\left| 2x+3 \જમણે| \lt x+7\]

ઉકેલ. તેથી, આપણી સમક્ષ "મોડ્યુલસ ઓછું છે" સ્વરૂપની ક્લાસિક અસમાનતા છે - પરિવર્તન માટે પણ કંઈ નથી. અમે અલ્ગોરિધમનો અનુસાર કાર્ય કરીએ છીએ:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \જમણે| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

"માઈનસ" પહેલાના કૌંસને ખોલવા માટે ઉતાવળ કરશો નહીં: તે શક્ય છે કે તમારી ઉતાવળમાં તમે અપમાનજનક ભૂલ કરશો.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

સમસ્યા બે પ્રાથમિક અસમાનતાઓ સુધી ઘટી હતી. ચાલો તેમના ઉકેલોને સમાંતર સંખ્યા રેખાઓ પર નોંધીએ:
સમૂહોનું આંતરછેદ
આ સમૂહોનું આંતરછેદ જવાબ હશે.

જવાબ: $x\in \left(-\frac(10)(3); 4 \જમણે)$

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

ઉકેલ. આ કાર્ય થોડું વધારે મુશ્કેલ છે. પ્રથમ, ચાલો બીજા શબ્દને જમણી બાજુએ ખસેડીને મોડ્યુલને અલગ કરીએ:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \જમણે)\]

દેખીતી રીતે, અમારી પાસે ફરીથી "મોડ્યુલ નાનું છે" ફોર્મની અસમાનતા છે, તેથી અમે પહેલાથી જાણીતા અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને મોડ્યુલથી છૂટકારો મેળવીએ છીએ:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

હવે ધ્યાન આપો: કોઈ કહેશે કે હું આ બધા કૌંસ સાથે થોડો વિકૃત છું. પરંતુ હું તમને ફરી એકવાર યાદ અપાવી દઉં કે અમારું મુખ્ય લક્ષ્ય છે અસમાનતાને યોગ્ય રીતે હલ કરો અને જવાબ મેળવો. પાછળથી, જ્યારે તમે આ પાઠમાં વર્ણવેલ દરેક વસ્તુમાં સંપૂર્ણ રીતે નિપુણતા મેળવી લો, ત્યારે તમે તમારી ઇચ્છા મુજબ તેને જાતે બગાડી શકો છો: કૌંસ ખોલો, ઓછા ઉમેરો વગેરે.

શરૂ કરવા માટે, અમે ફક્ત ડાબી બાજુના ડબલ માઈનસથી છૂટકારો મેળવીશું:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\ડાબે(x+1 \જમણે)\]

હવે ચાલો બધા કૌંસને ડબલ અસમાનતામાં ખોલીએ:

ચાલો બેવડી અસમાનતા તરફ આગળ વધીએ. આ વખતે ગણતરીઓ વધુ ગંભીર હશે:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(સંરેખિત કરો) \જમણે.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( સંરેખિત કરો)\જમણે.\]

બંને અસમાનતાઓ ચતુર્ભુજ છે અને અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે (એટલે જ હું કહું છું: જો તમે જાણતા ન હોવ કે આ શું છે, તો મોડ્યુલ ન લેવાનું વધુ સારું છે). ચાલો પ્રથમ અસમાનતાના સમીકરણ તરફ આગળ વધીએ:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\અંત(સંરેખિત)\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આઉટપુટ એ અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે, જે પ્રાથમિક રીતે ઉકેલી શકાય છે. હવે ચાલો સિસ્ટમની બીજી અસમાનતા જોઈએ. ત્યાં તમારે વિએટાનું પ્રમેય લાગુ કરવું પડશે:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\અંત(સંરેખિત)\]

અમે પરિણામી સંખ્યાઓને બે સમાંતર રેખાઓ પર ચિહ્નિત કરીએ છીએ (પ્રથમ અસમાનતા માટે અલગ અને બીજા માટે અલગ):
ફરીથી, કારણ કે આપણે અસમાનતાઓની સિસ્ટમ હલ કરી રહ્યા છીએ, અમને છાયાવાળા સમૂહોના આંતરછેદમાં રસ છે: $x\in \left(-5;-2 \right)$. આ જવાબ છે.
જવાબ: $x\in \left(-5;-2 \right)$

મને લાગે છે કે આ ઉદાહરણો પછી ઉકેલ યોજના અત્યંત સ્પષ્ટ છે:

અન્ય તમામ શરતો પર ખસેડીને મોડ્યુલને અલગ કરો વિરુદ્ધ ભાગઅસમાનતા આમ આપણને $\left| ફોર્મની અસમાનતા મળે છે f\right| \ltg$.
ઉપર વર્ણવેલ સ્કીમ અનુસાર મોડ્યુલમાંથી છુટકારો મેળવીને આ અસમાનતાને ઉકેલો. અમુક સમયે બેવડી અસમાનતામાંથી બેની સિસ્ટમમાં જવાનું જરૂરી બનશે સ્વતંત્ર અભિવ્યક્તિઓ, જેમાંથી દરેક પહેલેથી જ અલગથી ઉકેલી શકાય છે.
છેવટે, આ બે સ્વતંત્ર અભિવ્યક્તિઓના ઉકેલોને છેદવાનું બાકી છે - અને બસ, અમને અંતિમ જવાબ મળશે.

અસમાનતા માટે સમાન અલ્ગોરિધમ અસ્તિત્વમાં છે આગામી પ્રકાર, જ્યારે મોડ્યુલ વધુ સુવિધાઓ. જો કે, ત્યાં કેટલાક ગંભીર "પરંતુ" છે. આપણે હવે આ "પરંતુ" વિશે વાત કરીશું.

2. ફોર્મની અસમાનતા "મોડ્યુલસ કાર્ય કરતા વધારે છે"

તેઓ આના જેવા દેખાય છે:

\[\left| f\right| \gtg\]

પાછલા એક જેવું જ છે? લાગે છે. અને હજુ સુધી આવી સમસ્યાઓ સંપૂર્ણપણે અલગ રીતે હલ કરવામાં આવે છે. ઔપચારિક રીતે, યોજના નીચે મુજબ છે:

\[\left| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:

પ્રથમ, અમે ફક્ત મોડ્યુલને અવગણીએ છીએ અને સામાન્ય અસમાનતાને હલ કરીએ છીએ;
પછી, સારમાં, આપણે માઈનસ ચિહ્ન સાથે મોડ્યુલને વિસ્તૃત કરીએ છીએ, અને પછી અસમાનતાની બંને બાજુઓને −1 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, જ્યારે મારી પાસે ચિહ્ન છે.

વિકલ્પો સંયુક્ત છે ચોરસ કૌંસ, એટલે કે અમારી સમક્ષ બે આવશ્યકતાઓનું સંયોજન છે.

મહેરબાની કરીને ફરીથી નોંધ કરો: આ સિસ્ટમ નથી, પરંતુ સંપૂર્ણતા છે, તેથી જવાબમાં સેટ એકબીજાને છેદવાને બદલે જોડવામાં આવે છે. આ મૂળભૂત તફાવતપાછલા મુદ્દાથી!

સામાન્ય રીતે, ઘણા વિદ્યાર્થીઓ યુનિયનો અને આંતરછેદો સાથે સંપૂર્ણપણે મૂંઝવણમાં હોય છે, તેથી ચાલો આ મુદ્દાને એકવાર અને બધા માટે ઉકેલીએ:

"∪" એ સંઘનું ચિહ્ન છે. આવશ્યકપણે, આ એક શૈલીયુક્ત અક્ષર "યુ" છે જે અમારી પાસે આવ્યો છે અંગ્રેજી ભાષાઅને "યુનિયન" માટેનું સંક્ષેપ છે, એટલે કે. "એસોસિએશનો".
"∩" એ આંતરછેદનું ચિહ્ન છે. આ વાહિયાત ક્યાંયથી આવી નથી, પરંતુ ફક્ત "∪" ના પ્રતિબિંદુ તરીકે દેખાય છે.

તેને યાદ રાખવું વધુ સરળ બનાવવા માટે, ચશ્મા બનાવવા માટે ફક્ત આ ચિહ્નો તરફ પગ દોરો (માત્ર હવે મારા પર ડ્રગ વ્યસન અને મદ્યપાનને પ્રોત્સાહન આપવાનો આરોપ ન લગાવો: જો તમે આ પાઠનો ગંભીરતાથી અભ્યાસ કરી રહ્યાં છો, તો તમે પહેલેથી જ ડ્રગ વ્યસની છો):

આંતરછેદ અને સમૂહોના જોડાણ વચ્ચેનો તફાવત

રશિયનમાં અનુવાદિત, આનો અર્થ નીચે મુજબ છે: યુનિયન (સંપૂર્ણતા) માં બંને સમૂહોના ઘટકો શામેલ છે, તેથી તે કોઈપણ રીતે તેમાંથી દરેક કરતાં ઓછું નથી; પરંતુ આંતરછેદ (સિસ્ટમ) માં ફક્ત તે જ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે જે પ્રથમ અને બીજા બંનેમાં એકસાથે હોય છે. તેથી, સેટનો આંતરછેદ સ્ત્રોત સેટ કરતા ક્યારેય મોટો હોતો નથી.

તેથી તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું? તે મહાન છે. ચાલો પ્રેક્ટિસ તરફ આગળ વધીએ.

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

\[\left| 3x+1 \જમણે| \gt 5-4x\]

ઉકેલ. અમે યોજના અનુસાર આગળ વધીએ છીએ:

\[\left| 3x+1 \જમણે| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \જમણે) \\\end(align) \ અધિકાર.\]

અમે વસ્તીમાં દરેક અસમાનતાને હલ કરીએ છીએ:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(સંરેખિત કરો) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

અમે દરેક પરિણામી સમૂહને સંખ્યા રેખા પર ચિહ્નિત કરીએ છીએ, અને પછી તેમને જોડીએ છીએ:
સમૂહોનું સંઘ
તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે જવાબ $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ હશે

જવાબ: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

ઉકેલ. સારું? કંઈ નથી - બધું સમાન છે. અમે મોડ્યુલસ સાથેની અસમાનતામાંથી બે અસમાનતાના સમૂહમાં આગળ વધીએ છીએ:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\અંત(સંરેખિત) \જમણે.\]

અમે દરેક અસમાનતાને હલ કરીએ છીએ. કમનસીબે, ત્યાંના મૂળ ખૂબ સારા નહીં હોય:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\અંત(સંરેખિત)\]

બીજી અસમાનતા પણ થોડી જંગલી છે:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\અંત(સંરેખિત)\]

હવે તમારે આ સંખ્યાઓને બે અક્ષો પર ચિહ્નિત કરવાની જરૂર છે - દરેક અસમાનતા માટે એક અક્ષ. જો કે, તમારે પોઈન્ટને સાચા ક્રમમાં ચિહ્નિત કરવાની જરૂર છે: સંખ્યા જેટલી મોટી હશે, તેટલો પોઈન્ટ જમણી તરફ જશે.

અને અહીં એક સેટઅપ અમારી રાહ જુએ છે. જો $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (પ્રથમના અંશમાંના શબ્દો સાથે બધું સ્પષ્ટ હોય તો અપૂર્ણાંક બીજાના અંશમાંના શબ્દો કરતાં ઓછા છે, તેથી સરવાળો પણ ઓછો છે, $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) સાથે (21))(2)$ પણ કોઈ મુશ્કેલીઓ હશે નહીં (સકારાત્મક સંખ્યા દેખીતી રીતે વધુ નકારાત્મક), પછી છેલ્લા દંપતી સાથે બધું એટલું સ્પષ્ટ નથી. કયું મોટું છે: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ અથવા $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? સંખ્યા રેખાઓ પર પોઈન્ટનું પ્લેસમેન્ટ અને હકીકતમાં, જવાબ આ પ્રશ્નના જવાબ પર આધારિત છે.

તો ચાલો સરખામણી કરીએ:

\[\begin(મેટ્રિક્સ) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(મેટ્રિક્સ)\]

અમે મૂળને અલગ કર્યું, અસમાનતાની બંને બાજુએ બિન-નકારાત્મક સંખ્યાઓ મેળવી, તેથી અમને બંને બાજુઓને વર્ગીકૃત કરવાનો અધિકાર છે:

\[\begin(મેટ્રિક્સ) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \જમણે))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(મેટ્રિક્સ)\]

મને લાગે છે કે $4\sqrt(13) \gt 3$, તેથી $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, અક્ષો પર અંતિમ બિંદુઓ આ રીતે મૂકવામાં આવશે:
બિહામણું મૂળનો કેસ
ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે અમે એક સંગ્રહને હલ કરી રહ્યા છીએ, તેથી જવાબ એક સંઘ હશે, છાંયેલા સમૂહોનું આંતરછેદ નહીં.

જવાબ: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમારી યોજના બંને માટે સરસ કામ કરે છે સરળ કાર્યો, અને ખૂબ જ મુશ્કેલ લોકો માટે. એકમાત્ર વસ્તુ " નબળા બિંદુ"આ અભિગમમાં, તમારે નિપુણતાથી તુલના કરવાની જરૂર છે તર્કસંગત સંખ્યાઓ(અને મારા પર વિશ્વાસ કરો: તે માત્ર મૂળ નથી). પરંતુ એક અલગ (અને ખૂબ જ ગંભીર) પાઠ સરખામણીના મુદ્દાઓને સમર્પિત કરવામાં આવશે. અને અમે આગળ વધીએ છીએ.

3. બિન-નકારાત્મક "પૂંછડીઓ" સાથે અસમાનતા

હવે આપણે સૌથી રસપ્રદ ભાગ પર પહોંચીએ છીએ. આ ફોર્મની અસમાનતાઓ છે:

\[\left| f\right| \gt\left| g\right|\]

સામાન્ય રીતે કહીએ તો, હવે આપણે જે અલ્ગોરિધમ વિશે વાત કરીશું તે ફક્ત મોડ્યુલ માટે જ યોગ્ય છે. તે તમામ અસમાનતાઓમાં કામ કરે છે જ્યાં ડાબી અને જમણી બાજુએ ગેરંટીકૃત બિન-નકારાત્મક અભિવ્યક્તિઓ છે:

આ કાર્યો સાથે શું કરવું? ફક્ત યાદ રાખો:

બિન-નકારાત્મક "પૂંછડીઓ" સાથેની અસમાનતાઓમાં, બંને બાજુઓ કોઈપણ સુધી વધારી શકાય છે કુદરતી ડિગ્રી. ત્યાં કોઈ વધારાના નિયંત્રણો રહેશે નહીં.

સૌ પ્રથમ, અમને સ્ક્વેરિંગમાં રસ હશે - તે મોડ્યુલો અને મૂળને બાળી નાખે છે:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\અંત(સંરેખિત)\]

ફક્ત ચોરસનું મૂળ લેવાથી આને ગૂંચવશો નહીં:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

જ્યારે વિદ્યાર્થી મોડ્યુલ ઇન્સ્ટોલ કરવાનું ભૂલી ગયો ત્યારે અસંખ્ય ભૂલો થઈ! પરંતુ તે સંપૂર્ણપણે અલગ વાર્તા છે (તે જેવું છે અતાર્કિક સમીકરણો), તેથી અમે હવે આમાં જઈશું નહીં. ચાલો કેટલીક સમસ્યાઓ વધુ સારી રીતે હલ કરીએ:

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

ઉકેલ. ચાલો તરત જ બે બાબતો પર ધ્યાન આપીએ:

આ કડક અસમાનતા નથી. નંબર લાઇન પરના પોઇન્ટ્સ પંચર કરવામાં આવશે.

અસમાનતાની બંને બાજુઓ દેખીતી રીતે બિન-નકારાત્મક છે (આ મોડ્યુલની મિલકત છે: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

તેથી, અમે મોડ્યુલસથી છુટકારો મેળવવા અને સામાન્ય અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાને હલ કરવા માટે અસમાનતાની બંને બાજુઓને ચોરસ કરી શકીએ છીએ:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \જમણે))^(2))\ge ((\left(2x-1 \જમણે))^(2)). \\\અંત(સંરેખિત)\]

છેલ્લા પગલા પર, મેં થોડી છેતરપિંડી કરી: મેં મોડ્યુલની સમાનતાનો લાભ લઈને શબ્દોનો ક્રમ બદલ્યો (હકીકતમાં, મેં $1-2x$ ને −1 વડે ગુણાકાર કર્યો).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-(\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ જમણે)\જમણે)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

અમે અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ છીએ. ચાલો અસમાનતામાંથી સમીકરણ તરફ આગળ વધીએ:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\અંત(સંરેખિત)\]

અમે સંખ્યા રેખા પર મળેલા મૂળને ચિહ્નિત કરીએ છીએ. ફરી એકવાર: બધા મુદ્દાઓ શેડમાં છે કારણ કે મૂળ અસમાનતા કડક નથી!
મોડ્યુલસ ચિહ્નથી છુટકારો મેળવવો
જેઓ ખાસ કરીને હઠીલા છે તેમના માટે હું તમને યાદ કરાવું છું: અમે છેલ્લી અસમાનતાના ચિહ્નો લઈએ છીએ, જે સમીકરણ તરફ આગળ વધતા પહેલા લખવામાં આવ્યા હતા. અને અમે સમાન અસમાનતામાં જરૂરી વિસ્તારો પર રંગ કરીએ છીએ. અમારા કિસ્સામાં તે $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ છે.

બસ, બસ. સમસ્યા હલ થાય છે.

જવાબ: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

ઉકેલ. અમે બધું એકસરખું કરીએ છીએ. હું ટિપ્પણી કરીશ નહીં - ફક્ત ક્રિયાઓનો ક્રમ જુઓ.

તેને ચોરસ કરો:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right)^(2)); \\ & ((\ ડાબે(((x)^(2))+x+1 \જમણે)^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\ ડાબે(((x)^(2))+x+1 \જમણે)^(2))-(\left((x)^(2))+3x+4 \ જમણે))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

અંતરાલ પદ્ધતિ:

\[\શરૂ(સંરેખિત કરો) અને \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ રાઈટરો x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\અંત(સંરેખિત)\]

સંખ્યા રેખા પર માત્ર એક જ મૂળ છે:
જવાબ સમગ્ર અંતરાલ છે
જવાબ: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

વિશે એક નાની નોંધ છેલ્લું કાર્ય. મારા એક વિદ્યાર્થીએ સચોટપણે નોંધ્યું તેમ, આ અસમાનતામાં બંને સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓ દેખીતી રીતે હકારાત્મક છે, તેથી આરોગ્યને નુકસાન પહોંચાડ્યા વિના મોડ્યુલસ ચિહ્ન છોડી શકાય છે.

પરંતુ આ વિચારનું એક સંપૂર્ણપણે અલગ સ્તર અને એક અલગ અભિગમ છે - તેને શરતી રીતે પરિણામોની પદ્ધતિ કહી શકાય. તેના વિશે - એક અલગ પાઠમાં. હવે ચાલો આજના પાઠના અંતિમ ભાગ તરફ આગળ વધીએ અને એક સાર્વત્રિક અલ્ગોરિધમ જોઈએ જે હંમેશા કામ કરે છે. ત્યારે પણ જ્યારે અગાઉના તમામ અભિગમો શક્તિહીન હતા :)

4. વિકલ્પોની ગણતરીની પદ્ધતિ

જો આ બધી તકનીકો મદદ ન કરે તો શું? જો અસમાનતાને બિન-નકારાત્મક પૂંછડીઓમાં ઘટાડી શકાતી નથી, જો મોડ્યુલને અલગ પાડવું અશક્ય છે, જો સામાન્ય રીતે પીડા, ઉદાસી, ખિન્નતા હોય તો?

પછી તમામ ગણિતની "ભારે આર્ટિલરી" દ્રશ્ય પર આવે છે - જડ બળ પદ્ધતિ. મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતાના સંબંધમાં તે આના જેવો દેખાય છે:

બધા સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓ લખો અને તેમને શૂન્યની બરાબર સેટ કરો;
પરિણામી સમીકરણો ઉકેલો અને એક સંખ્યા રેખા પર મળેલા મૂળને ચિહ્નિત કરો;
સીધી રેખાને કેટલાક વિભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવશે, જેમાં દરેક મોડ્યુલમાં નિશ્ચિત ચિહ્ન હોય છે અને તેથી તે અનન્ય રીતે પ્રગટ થાય છે;
આવા દરેક વિભાગ પર અસમાનતા ઉકેલો (તમે પગલું 2 માં મેળવેલ મૂળ-સીમાઓને અલગથી ધ્યાનમાં લઈ શકો છો - વિશ્વસનીયતા માટે). પરિણામો ભેગા કરો - આ જવાબ હશે :)

તો કેવી રીતે? નબળા? સરળતાથી! માત્ર લાંબા સમય માટે. ચાલો વ્યવહારમાં જોઈએ:

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

\[\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

ઉકેલ. આ વાહિયાત $\left| જેવી અસમાનતાઓને ઉકળે નહીં f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ અથવા $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, તેથી અમે આગળ કાર્ય કરીએ છીએ.

અમે સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓ લખીએ છીએ, તેમને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ અને મૂળ શોધીએ છીએ:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\અંત(સંરેખિત)\]

કુલ મળીને, અમારી પાસે બે મૂળ છે જે સંખ્યા રેખાને ત્રણ વિભાગોમાં વિભાજિત કરે છે, જેમાં દરેક મોડ્યુલ અનન્ય રીતે પ્રગટ થાય છે:
સબમોડ્યુલર ફંક્શન્સના શૂન્ય દ્વારા નંબર લાઇનનું વિભાજન
ચાલો દરેક વિભાગને અલગથી જોઈએ.

1. ચાલો $x \lt -2$. પછી બંને સબમોડ્યુલર અભિવ્યક્તિઓ નકારાત્મક છે, અને મૂળ અસમાનતા નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખવામાં આવશે:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

અમને એકદમ સરળ મર્યાદા મળી છે. ચાલો તેને પ્રારંભિક ધારણા સાથે છેદન કરીએ કે $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

દેખીતી રીતે, ચલ $x$ એકસાથે −2 કરતા ઓછું અને 1.5 કરતા વધારે ન હોઈ શકે. આ વિસ્તારમાં કોઈ ઉકેલો નથી.

1.1. ચાલો બોર્ડરલાઈન કેસને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ: $x=-2$. ચાલો આ સંખ્યાને મૂળ અસમાનતામાં બદલીએ અને તપાસીએ: શું તે સાચું છે?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\જમણે|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing. \\\અંત(સંરેખિત)\]

તે સ્પષ્ટ છે કે ગણતરીઓની સાંકળ આપણને ખોટી અસમાનતા તરફ દોરી ગઈ છે. તેથી, મૂળ અસમાનતા પણ ખોટી છે, અને $x=-2$ જવાબમાં સમાવેલ નથી.

2. ચાલો હવે $-2 \lt x \lt 1$. ડાબું મોડ્યુલ પહેલેથી જ "પ્લસ" સાથે ખુલશે, પરંતુ જમણું મોડ્યુલ હજી પણ "માઈનસ" સાથે ખુલશે. અમારી પાસે છે:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\અંત(સંરેખિત)\]

ફરીથી અમે મૂળ જરૂરિયાત સાથે છેદે છે:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

અને ફરીથી ઉકેલોનો સમૂહ ખાલી છે, કારણ કે ત્યાં કોઈ સંખ્યાઓ નથી જે −2.5 કરતા ઓછી અને −2 કરતા મોટી હોય.

2.1. અને ફરીથી ખાસ કેસ: $x=1$. અમે મૂળ અસમાનતાને બદલીએ છીએ:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\જમણે| \lt \left| 0\જમણે|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing. \\\અંત(સંરેખિત)\]

અગાઉના "વિશેષ કેસ" ની જેમ જ, $x=1$ નંબર સ્પષ્ટપણે જવાબમાં સમાવેલ નથી.

3. લીટીનો છેલ્લો ભાગ: $x \gt 1$. અહીં બધા મોડ્યુલો વત્તા ચિહ્ન સાથે ખોલવામાં આવે છે:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

અને ફરીથી આપણે મૂળ અવરોધ સાથે મળેલા સમૂહને છેદે છે:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

સારું, છેવટે! અમને એક અંતરાલ મળ્યો છે જે જવાબ હશે.

જવાબ: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

છેલ્લે, એક નોંધ જે તમને વાસ્તવિક સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે મૂર્ખ ભૂલોથી બચાવી શકે છે:

મોડ્યુલી સાથેની અસમાનતાઓના ઉકેલો સામાન્ય રીતે સંખ્યા રેખા - અંતરાલ અને સેગમેન્ટ પર સતત સેટનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. ઘણું ઓછું સામાન્ય અલગ બિંદુઓ. અને તે પણ ઓછી વાર, એવું બને છે કે સોલ્યુશનની સીમા (સેગમેન્ટનો અંત) વિચારણા હેઠળની શ્રેણીની સીમા સાથે એકરુપ છે.

પરિણામે, જો જવાબમાં સીમાઓ (સમાન "વિશેષ કેસો") નો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો નથી, તો પછી આ સીમાઓની ડાબી અને જમણી બાજુના વિસ્તારો લગભગ ચોક્કસપણે જવાબમાં શામેલ કરવામાં આવશે નહીં. અને ઊલટું: સરહદ જવાબમાં દાખલ થઈ છે, જેનો અર્થ છે કે તેની આસપાસના કેટલાક વિસ્તારો પણ જવાબો હશે.

તમારા ઉકેલોની સમીક્ષા કરતી વખતે આને ધ્યાનમાં રાખો.

સંખ્યાઓનું મોડ્યુલસજો તે બિન-નકારાત્મક હોય તો આ સંખ્યા પોતે જ કહેવાય છે, અથવા જો તે નકારાત્મક હોય તો વિપરીત ચિહ્ન સાથે સમાન સંખ્યા કહેવાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 6 નું મોડ્યુલસ 6 છે, અને નંબર -6 નું મોડ્યુલસ પણ 6 છે.

એટલે કે, સંખ્યાના મોડ્યુલસને સંપૂર્ણ મૂલ્ય તરીકે સમજવામાં આવે છે, સંપૂર્ણ મૂલ્યઆ નંબર તેના ચિહ્નને ધ્યાનમાં લીધા વિના.

તે નીચે પ્રમાણે નિયુક્ત થયેલ છે: |6|, | એક્સ|, |એ| વગેરે

("નંબર મોડ્યુલ" વિભાગમાં વધુ વિગતો).

મોડ્યુલસ સાથેના સમીકરણો.

ઉદાહરણ 1 . સમીકરણ ઉકેલો|10 એક્સ - 5| = 15.

ઉકેલ.

નિયમ મુજબ, સમીકરણ બે સમીકરણોના સંયોજનને સમકક્ષ છે:

10એક્સ - 5 = 15
10એક્સ - 5 = -15

અમે નક્કી કરીએ છીએ:

10એક્સ = 15 + 5 = 20
10એક્સ = -15 + 5 = -10

એક્સ = 20: 10
એક્સ = -10: 10

એક્સ = 2
એક્સ = -1

જવાબ આપો: એક્સ 1 = 2, એક્સ 2 = -1.

ઉદાહરણ 2 . સમીકરણ ઉકેલો|2 એક્સ + 1| = એક્સ + 2.

ઉકેલ.

મોડ્યુલસ બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા હોવાથી, તો પછી એક્સ+ 2 ≥ 0. તદનુસાર:

એક્સ ≥ -2.

ચાલો બે સમીકરણો બનાવીએ:

2એક્સ + 1 = એક્સ + 2
2એક્સ + 1 = -(એક્સ + 2)

અમે નક્કી કરીએ છીએ:

2એક્સ + 1 = એક્સ + 2
2એક્સ + 1 = -એક્સ - 2

2એક્સ - એક્સ = 2 - 1
2એક્સ + એક્સ = -2 - 1

એક્સ = 1
એક્સ = -1

બંને સંખ્યાઓ -2 કરતા મોટી છે. તેથી બંને સમીકરણના મૂળ છે.

જવાબ આપો: એક્સ 1 = -1, એક્સ 2 = 1.

ઉદાહરણ 3 . સમીકરણ ઉકેલો

|એક્સ + 3| - 1
————— = 4
એક્સ - 1

ઉકેલ.

જો છેદ ન હોય તો સમીકરણ અર્થપૂર્ણ બને છે શૂન્ય બરાબર- એટલે જો એક્સ≠ 1. ચાલો આ સ્થિતિને ધ્યાનમાં લઈએ. અમારી પ્રથમ ક્રિયા સરળ છે - અમે ફક્ત અપૂર્ણાંકથી છૂટકારો મેળવતા નથી, પરંતુ મોડ્યુલને તેના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં મેળવવા માટે તેને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ:

|એક્સ+ 3| - 1 = 4 · ( એક્સ - 1),

|એક્સ + 3| - 1 = 4એક્સ - 4,

|એક્સ + 3| = 4એક્સ - 4 + 1,

|એક્સ + 3| = 4એક્સ - 3.

હવે આપણી પાસે સમીકરણની ડાબી બાજુના મોડ્યુલસ હેઠળ માત્ર એક અભિવ્યક્તિ છે. ચાલો આગળ વધીએ.
સંખ્યાનું મોડ્યુલસ એ બિન-નકારાત્મક સંખ્યા છે - એટલે કે, તે હોવી જ જોઈએ શૂન્ય કરતાં વધુઅથવા શૂન્ય બરાબર. તદનુસાર, અમે અસમાનતાને હલ કરીએ છીએ:

4એક્સ - 3 ≥ 0

4એક્સ ≥ 3

એક્સ ≥ 3/4

આમ, અમારી પાસે બીજી શરત છે: સમીકરણનું મૂળ ઓછામાં ઓછું 3/4 હોવું જોઈએ.

નિયમ અનુસાર, અમે બે સમીકરણોનો સમૂહ બનાવીએ છીએ અને તેમને હલ કરીએ છીએ:

એક્સ + 3 = 4એક્સ - 3
એક્સ + 3 = -(4એક્સ - 3)

એક્સ + 3 = 4એક્સ - 3
એક્સ + 3 = -4એક્સ + 3

એક્સ - 4એક્સ = -3 - 3
એક્સ + 4એક્સ = 3 - 3

એક્સ = 2
એક્સ = 0

અમને બે જવાબો મળ્યા. ચાલો તપાસ કરીએ કે શું તેઓ મૂળ સમીકરણના મૂળ છે.

અમારી પાસે બે શરતો હતી: સમીકરણનું મૂળ 1 ની બરાબર ન હોઈ શકે, અને તે ઓછામાં ઓછું 3/4 હોવું જોઈએ. એટલે કે એક્સ ≠ 1, એક્સ≥ 3/4. આ બંને સ્થિતિઓ પ્રાપ્ત થયેલા બે જવાબોમાંથી માત્ર એકને અનુરૂપ છે - નંબર 2. આનો અર્થ એ છે કે ફક્ત આ જ મૂળ સમીકરણનું મૂળ છે.

જવાબ આપો: એક્સ = 2.

મોડ્યુલસ સાથે અસમાનતા.

ઉદાહરણ 1 . અસમાનતા ઉકેલો| એક્સ - 3| < 4

ઉકેલ.

મોડ્યુલ નિયમ જણાવે છે:

|એ| = એ, જો એ ≥ 0.

|એ| = -એ, જો એ < 0.

મોડ્યુલમાં બિન-નકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે. તેથી આપણે બંને કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ: એક્સ- 3 ≥ 0 અને એક્સ - 3 < 0.

1) ક્યારે એક્સ- 3 ≥ 0 અમારી મૂળ અસમાનતા જેવી છે તેવી જ રહે છે, માત્ર મોડ્યુલસ ચિહ્ન વિના:
એક્સ - 3 < 4.

2) ક્યારે એક્સ - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(એક્સ - 3) < 4.

કૌંસ ખોલીને, અમને મળે છે:

-એક્સ + 3 < 4.

આમ, આ બે પરિસ્થિતિઓમાંથી આપણે અસમાનતાની બે પ્રણાલીઓના એકીકરણ પર આવ્યા છીએ:

એક્સ - 3 ≥ 0
એક્સ - 3 < 4

એક્સ - 3 < 0
-એક્સ + 3 < 4

ચાલો તેમને હલ કરીએ:

એક્સ ≥ 3
એક્સ < 7

એક્સ < 3
એક્સ > -1

તેથી, અમારો જવાબ બે સમૂહોનું જોડાણ છે:

3 ≤ એક્સ < 7 U -1 < એક્સ < 3.

સૌથી નાનું નક્કી કરો અને ઉચ્ચતમ મૂલ્ય. આ છે -1 અને 7. વધુમાં એક્સ-1 કરતા વધારે પરંતુ 7 કરતા ઓછું.
ઉપરાંત, એક્સ≥ 3. આનો અર્થ એ છે કે અસમાનતાનો ઉકેલ એ આ આત્યંતિક સંખ્યાઓને બાદ કરતાં -1 થી 7 સુધીની સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ છે.

જવાબ આપો: -1 < એક્સ < 7.

અથવા: એક્સ ∈ (-1; 7).

ઍડ-ઑન્સ.

1) આપણી અસમાનતાને હલ કરવાનો એક સરળ અને ટૂંકો રસ્તો છે - ગ્રાફિકલી. આ કરવા માટે, તમારે આડી અક્ષ (ફિગ. 1) દોરવાની જરૂર છે.

અભિવ્યક્તિ | એક્સ - 3| < 4 означает, что расстояние от точки એક્સબિંદુ 3 એ ચાર એકમો કરતા ઓછા છે. અમે ધરી પર નંબર 3 ને ચિહ્નિત કરીએ છીએ અને તેની ડાબી અને જમણી બાજુએ 4 વિભાગોની ગણતરી કરીએ છીએ. ડાબી બાજુએ આપણે પોઈન્ટ -1 પર, જમણી બાજુએ - પોઈન્ટ 7 પર આવીશું. આમ, પોઈન્ટ એક્સઅમે તેમને ગણતરી કર્યા વિના જ જોયા.

તદુપરાંત, અસમાનતાની સ્થિતિ અનુસાર, -1 અને 7 પોતે ઉકેલોના સમૂહમાં સમાવિષ્ટ નથી. આમ, અમને જવાબ મળે છે:

1 < એક્સ < 7.

2) પરંતુ બીજો ઉપાય છે જે ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ કરતાં પણ સરળ છે. આ કરવા માટે, અમારી અસમાનતા નીચેના સ્વરૂપમાં રજૂ થવી જોઈએ:

4 < એક્સ - 3 < 4.

છેવટે, મોડ્યુલસના નિયમ મુજબ તે આ રીતે છે. બિન-ઋણાત્મક સંખ્યા 4 અને સમાન નકારાત્મક સંખ્યા -4 એ અસમાનતાને ઉકેલવા માટેની સીમાઓ છે.

4 + 3 < એક્સ < 4 + 3

1 < એક્સ < 7.

ઉદાહરણ 2 . અસમાનતા ઉકેલો| એક્સ - 2| ≥ 5

ઉકેલ.

આ ઉદાહરણ અગાઉના એક કરતાં નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે. ડાબી બાજુ 5 થી વધુ અથવા બરાબર 5. સે ભૌમિતિક બિંદુદૃષ્ટિકોણથી, અસમાનતાનો ઉકેલ એ બધી સંખ્યાઓ છે જે બિંદુ 2 (ફિગ. 2) થી 5 એકમ અથવા વધુના અંતરે છે. આલેખ બતાવે છે કે આ બધી સંખ્યાઓ છે જે -3 થી ઓછી અથવા બરાબર છે અને 7 થી મોટી અથવા બરાબર છે. આનો અર્થ એ છે કે અમને પહેલાથી જ જવાબ મળી ગયો છે.

જવાબ આપો: -3 ≥ એક્સ ≥ 7.

રસ્તામાં, ચાલો ફરીથી ગોઠવણી કરીને સમાન અસમાનતાને હલ કરીએ મફત સભ્યવિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે ડાબે અને જમણે:

5 ≥ એક્સ - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ એક્સ ≥ 5 + 2

જવાબ એક જ છે: -3 ≥ એક્સ ≥ 7.

અથવા: એક્સ ∈ [-3; 7]

ઉદાહરણ ઉકેલાય છે.

ઉદાહરણ 3 . અસમાનતા ઉકેલો 6 એક્સ 2 - | એક્સ| - 2 ≤ 0

ઉકેલ.

નંબર એક્સહકારાત્મક સંખ્યા, નકારાત્મક સંખ્યા અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે. તેથી, આપણે ત્રણેય સંજોગોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે. જેમ તમે જાણો છો, તેમને બે અસમાનતાઓમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે: એક્સ≥ 0 અને એક્સ < 0. При એક્સ≥ 0 અમે ફક્ત મોડ્યુલસ ચિહ્ન વિના, અમારી મૂળ અસમાનતાને જેમ છે તેમ ફરીથી લખીએ છીએ:

6x2 - એક્સ - 2 ≤ 0.

હવે બીજા કેસ વિશે: જો એક્સ < 0. Модулем નકારાત્મક સંખ્યાવિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે સમાન સંખ્યા છે. એટલે કે, અમે મોડ્યુલસ હેઠળની સંખ્યા વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે લખીએ છીએ અને ફરીથી મોડ્યુલસ ચિહ્નથી પોતાને મુક્ત કરીએ છીએ:

6એક્સ 2 - (-એક્સ) - 2 ≤ 0.

કૌંસનું વિસ્તરણ:

6એક્સ 2 + એક્સ - 2 ≤ 0.

આમ, અમને સમીકરણોની બે સિસ્ટમો પ્રાપ્ત થઈ છે:

6એક્સ 2 - એક્સ - 2 ≤ 0
એક્સ ≥ 0

6એક્સ 2 + એક્સ - 2 ≤ 0
એક્સ < 0

આપણે સિસ્ટમોમાં અસમાનતાઓને ઉકેલવાની જરૂર છે - અને આનો અર્થ એ છે કે આપણે બેના મૂળ શોધવાની જરૂર છે ચતુર્ભુજ સમીકરણો. આ કરવા માટે, અમે અસમાનતાઓની ડાબી બાજુઓને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ.

ચાલો પ્રથમ સાથે પ્રારંભ કરીએ:

6એક્સ 2 - એક્સ - 2 = 0.

ચતુર્ભુજ સમીકરણને કેવી રીતે હલ કરવું - વિભાગ "ચતુર્ભુજ સમીકરણ" જુઓ. અમે તરત જ જવાબનું નામ આપીશું:

એક્સ 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

અસમાનતાઓની પ્રથમ સિસ્ટમમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે મૂળ અસમાનતાનો ઉકેલ એ -1/2 થી 2/3 સુધીની સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ છે. અમે ઉકેલોનું યુનિયન અહીં લખીએ છીએ એક્સ ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

હવે ચાલો બીજા ચતુર્ભુજ સમીકરણને હલ કરીએ:

6એક્સ 2 + એક્સ - 2 = 0.

તેના મૂળ:

એક્સ 1 = -2/3, એક્સ 2 = 1/2.

નિષ્કર્ષ: ક્યારે એક્સ < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

ચાલો બે જવાબોને જોડીએ અને અંતિમ જવાબ મેળવીએ: સોલ્યુશન એ -2/3 થી 2/3 સુધીની સંખ્યાઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ છે, જેમાં આ આત્યંતિક સંખ્યાઓ શામેલ છે.

જવાબ આપો: -2/3 ≤ એક્સ ≤ 2/3.

અથવા: એક્સ ∈ [-2/3; 2/3].

આ ઑનલાઇન ગણિત કેલ્ક્યુલેટર તમને મદદ કરશે મોડ્યુલી સાથે સમીકરણ અથવા અસમાનતા ઉકેલો. માટે કાર્યક્રમમોડ્યુલી સાથે સમીકરણો અને અસમાનતાઓનું નિરાકરણ માત્ર સમસ્યાનો જવાબ જ નહીં, તે દોરી જાય છેસ્પષ્ટતા સાથે વિગતવાર ઉકેલ

, એટલે કે પરિણામ મેળવવાની પ્રક્રિયા દર્શાવે છે. આ પ્રોગ્રામ હાઈસ્કૂલના વિદ્યાર્થીઓ માટે ઉપયોગી થઈ શકે છેમાધ્યમિક શાળાઓ ની તૈયારીમાંપરીક્ષણો અને પરીક્ષાઓ, જ્યારે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પહેલાં જ્ઞાનની ચકાસણી કરતી વખતે, માતાપિતા માટે ગણિત અને બીજગણિતની ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલને નિયંત્રિત કરવા માટે.અથવા કદાચ તમારા માટે શિક્ષકને ભાડે રાખવું અથવા નવા પાઠયપુસ્તકો ખરીદવા માટે તે ખૂબ ખર્ચાળ છે? અથવા તમે તેને શક્ય તેટલી ઝડપથી પૂર્ણ કરવા માંગો છો?

હોમવર્ક ગણિતમાં કે બીજગણિતમાં? આ કિસ્સામાં, તમે વિગતવાર ઉકેલો સાથે અમારા પ્રોગ્રામ્સનો પણ ઉપયોગ કરી શકો છો.આ રીતે તમે તમારી પોતાની તાલીમ અને/અથવા તમારી તાલીમ લઈ શકો છો.

નાના ભાઈઓ

અથવા બહેનો, જ્યારે સમસ્યાઓના ઉકેલના ક્ષેત્રમાં શિક્ષણનું સ્તર વધે છે.

અથવા abs(x) - મોડ્યુલ x

મોડ્યુલી સાથે સમીકરણ અથવા અસમાનતા દાખલ કરો
x^2 + 2|x-1| -6 = 0
સમીકરણ અથવા અસમાનતા ઉકેલો

તે જાણવા મળ્યું હતું કે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી કેટલીક સ્ક્રિપ્ટો લોડ કરવામાં આવી ન હતી, અને પ્રોગ્રામ કામ કરી શકશે નહીં.
તમે AdBlock સક્ષમ કરેલ હોઈ શકે છે.
આ કિસ્સામાં, તેને અક્ષમ કરો અને પૃષ્ઠને તાજું કરો.

તમારા બ્રાઉઝરમાં JavaScript અક્ષમ છે.
ઉકેલ દેખાવા માટે, તમારે JavaScript સક્ષમ કરવાની જરૂર છે.
તમારા બ્રાઉઝરમાં JavaScript ને કેવી રીતે સક્ષમ કરવું તેની સૂચનાઓ અહીં છે. કારણ કે સમસ્યા હલ કરવા માટે ઘણા બધા લોકો તૈયાર છે, તમારી વિનંતી કતારમાં છે.

થોડીવારમાં ઉકેલ નીચે દેખાશે. મહેરબાની કરીને રાહ જુઓ, પછી તમે આ વિશે ફીડબેક ફોર્મમાં લખી શકો છો.
ભૂલશો નહીં કયું કાર્ય સૂચવે છેતમે શું નક્કી કરો ક્ષેત્રોમાં દાખલ કરો.

અમારી રમતો, કોયડાઓ, અનુકરણકર્તાઓ:

થોડો સિદ્ધાંત.

મોડ્યુલી સાથે સમીકરણો અને અસમાનતાઓ

મૂળભૂત શાળા બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાં, તમે મોડ્યુલી સાથેના સરળ સમીકરણો અને અસમાનતાઓનો સામનો કરી શકો છો. તેમને ઉકેલવા માટે તમે ઉપયોગ કરી શકો છો ભૌમિતિક પદ્ધતિ, એ હકીકત પર આધારિત છે કે $|x-a| $ એ પોઈન્ટ x અને a વચ્ચેની સંખ્યા રેખા પરનું અંતર છે: $|x-a| = \rho (x;\; a)$. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ $|x-3|=2$ ઉકેલવા માટે તમારે સંખ્યા રેખા પર એવા બિંદુઓ શોધવાની જરૂર છે જે બિંદુ 3 થી 2 ના અંતરે દૂર હોય. આવા બે બિંદુઓ છે: $x_1=1 $ અને $x_2=5$ .

અસમાનતાનું નિરાકરણ \(|2x+7|

પરંતુ મોડ્યુલી સાથેના સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલવાની મુખ્ય રીત કહેવાતા "વ્યાખ્યા દ્વારા મોડ્યુલસના સાક્ષાત્કાર" સાથે સંકળાયેલ છે:
જો $a \geq 0 $, તો પછી $|a|=a $;
જો \(a નિયમ તરીકે, મોડ્યુલી સાથેનું સમીકરણ (અસમાનતા) સમીકરણોના સમૂહ (અસમાનતા) સુધી ઘટાડવામાં આવે છે જેમાં મોડ્યુલસ ચિહ્ન નથી.

ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા ઉપરાંત, નીચેના નિવેદનોનો ઉપયોગ થાય છે:
1) જો $c > 0$, તો સમીકરણ $|f(x)|=c $ સમીકરણોના સમૂહની સમકક્ષ છે: $\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(એરે)\right.
2) જો \(c > 0 $, તો અસમાનતા $|f(x)| 3) જો \(c \geq 0 $, તો અસમાનતા $|f(x)| > c $ છે અસમાનતાના સમૂહની સમકક્ષ : $\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. $
4) જો અસમાનતાની બંને બાજુ $f(x) ઉદાહરણ 1. સમીકરણ ઉકેલો \(x^2 +2|x-1| -6 = 0$.

જો $x-1 \geq 0$, તો $|x-1| = x-1$ અને આપેલ સમીકરણફોર્મ લે છે
$x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 $.
જો $x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 $.
આમ, આપેલ સમીકરણ બે દર્શાવેલ દરેક કેસમાં અલગથી ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ.
1) ચાલો $x-1 \geq 0 $, એટલે કે. $x\geq 1$. સમીકરણ $x^2 +2x -8 = 0$ પરથી આપણે $x_1=2, \; x_2=-4$ શોધીએ છીએ.
શરત $x \geq 1 $ માત્ર મૂલ્ય $x_1=2$ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે.

2) ચાલો $x-1 જવાબ: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) $

ઉદાહરણ 2. સમીકરણ ઉકેલો $|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)$.પ્રથમ માર્ગ
(વ્યાખ્યા દ્વારા મોડ્યુલ વિસ્તરણ).

ઉદાહરણ 1 ની જેમ તર્ક આપતાં, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે જો બે શરતો પૂરી થાય તો આપેલ સમીકરણને અલગથી ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે: $x^2-6x+7 \geq 0 $ અથવા $x^2-6x+7
ચાલો જોઈએ કે શું મૂલ્ય \(x_1=6$ શરતને સંતોષે છે $x^2-6x+7 \geq 0$. આ કરવા માટે, ચાલો અવેજી કરીએ ઉલ્લેખિત મૂલ્યવી ચતુર્ભુજ અસમાનતા. આપણને મળે છે: $6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 $, એટલે કે. $7 \geq 0 $ એ સાચી અસમાનતા છે. આનો અર્થ એ છે કે $x_1=6$ નું મૂળ છે.
આપેલ સમીકરણ

ચાલો જોઈએ કે શું મૂલ્ય $x_2=\frac(5)(3) $ શરતને સંતોષે છે $x^2-6x+7 \geq 0 $. આ કરવા માટે, દર્શાવેલ મૂલ્યને ચતુર્ભુજ અસમાનતામાં બદલો. આપણને મળે છે: $\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 $, એટલે કે. $\frac(25)(9) -3 \geq 0 $ એ ખોટી અસમાનતા છે. આનો અર્થ એ છે કે $x_2=\frac(5)(3)$ આપેલ સમીકરણનું મૂળ નથી.

2) જો $x^2-6x+7 મૂલ્ય \(x_3=3$ શરતને સંતોષે છે $x^2-6x+7 મૂલ્ય \(x_4=\frac(4)(3) $ સંતોષતું નથી સ્થિતિ \ (x^2-6x+7 તેથી, આપેલ સમીકરણના બે મૂળ છે: $x=6, \; x=3 $.બીજી રીત.
જો સમીકરણ $|f(x)| = h(x) $ આપેલ હોય, તો $h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = સાથે \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(એરે)\જમણે $

આ બંને સમીકરણો ઉપર ઉકેલવામાં આવ્યા હતા (આપેલ સમીકરણ ઉકેલવાની પ્રથમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને), તેમના મૂળ નીચે મુજબ છે: $6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)$. આ ચાર મૂલ્યોની સ્થિતિ $\frac(5x-9)(3) \geq 0 $ માત્ર બે દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે: 6 અને 3. આનો અર્થ એ થાય કે આપેલ સમીકરણના બે મૂળ છે: $x=6 , \; x=3 \ ).ત્રીજો રસ્તો
(ગ્રાફિક).
1) ચાલો ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવીએ \(y = |x^2-6x+7| $. પ્રથમ, ચાલો એક પેરાબોલા બનાવીએ $y = x^2-6x+7$.
અમારી પાસે $x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 $ છે. ફંક્શનનો ગ્રાફ $y = (x-3)^2-2$ ફંક્શનના ગ્રાફમાંથી મેળવી શકાય છે $y = x^2 $ તેને 3 સ્કેલ એકમો દ્વારા જમણી તરફ ખસેડીને (સાથે x-અક્ષ) અને 2 સ્કેલ એકમો નીચે (y-અક્ષ સાથે).

એ મહત્વનું છે કે એબ્સીસા અક્ષ સાથેની સીધી રેખાના આંતરછેદનો બિંદુ x = 1.8 એ એબ્સીસા અક્ષ સાથે પેરાબોલાના આંતરછેદના ડાબા બિંદુની જમણી બાજુએ સ્થિત છે - આ બિંદુ $x=3-$ છે. sqrt(2) \) (કારણ કે \(3-\sqrt(2 ) 3) ડ્રોઇંગ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, આલેખ બે બિંદુઓ - A(3; 2) અને B(6; 7) પર છેદે છે. આની અવેજીમાં આપેલ સમીકરણમાં પોઈન્ટ x = 3 અને x = 6, અમને ખાતરી છે કે અન્ય મૂલ્યમાં, સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણના બે મૂળ છે: x = 3 અને x = 6. જવાબ: 3;

ટિપ્પણી. ગ્રાફિક પદ્ધતિતેની તમામ લાવણ્ય માટે, તે ખૂબ વિશ્વસનીય નથી. ધ્યાનમાં લીધેલા ઉદાહરણમાં, તે માત્ર એટલા માટે કામ કરે છે કારણ કે સમીકરણના મૂળ પૂર્ણાંકો છે.

ઉદાહરણ 3. સમીકરણ ઉકેલો $|2x-4|+|x+3| = 8$

ઉદાહરણ 2. સમીકરણ ઉકેલો $|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)$.
બિંદુ x = 2 પર અભિવ્યક્તિ 2x–4 0 બને છે અને x = –3 બિંદુ પર x + 3 અભિવ્યક્તિ 0 બને છે. આ બે બિંદુઓ સંખ્યા રેખાને ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજીત કરે છે: \(x