"સપાટ આંકડાઓ અને ત્રિ-પરિમાણીય સંસ્થાઓ" (ગ્રેડ 3) વિષય પર ગણિતમાં પાઠ યોજનાનો વિકાસ. "સપાટ અને વોલ્યુમેટ્રિક ભૌમિતિક સંસ્થાઓ" વિષય પર ગણિતનો પાઠ

વિસ્તાર શોધવાની સમસ્યાની જેમ, તમારે આત્મવિશ્વાસપૂર્ણ ચિત્ર કૌશલ્યની જરૂર છે - આ લગભગ સૌથી મહત્વની વસ્તુ છે (કારણ કે અવિભાજ્ય ઘણીવાર સરળ હશે). માસ્ટર સાક્ષર અને ઝડપી ટેકનોલોજીઉપયોગ કરીને પ્લોટીંગ કરી શકાય છે શિક્ષણ સામગ્રીઅને આલેખનું ભૌમિતિક પરિવર્તન. પરંતુ, હકીકતમાં, મેં પહેલેથી જ વર્ગમાં ઘણી વખત રેખાંકનોના મહત્વ વિશે વાત કરી છે.

સામાન્ય રીતે માં અભિન્ન કલનઉપયોગ કરીને ઘણી બધી રસપ્રદ એપ્લિકેશનો છે ચોક્કસ અભિન્નતમે આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરી શકો છો, ક્રાંતિના શરીરનું પ્રમાણ, આર્ક લંબાઈ, ક્રાંતિની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને ઘણું બધું. તેથી તે આનંદદાયક હશે, કૃપા કરીને આશાવાદી રહો!

કેટલાક સપાટ આકૃતિની કલ્પના કરો સંકલન વિમાન. પરિચય આપ્યો? ... મને આશ્ચર્ય છે કે કોણે શું રજૂ કર્યું... =))) અમને તેનો વિસ્તાર પહેલેથી જ મળી ગયો છે. પરંતુ તે ઉપરાંત આ આંકડોતમે બે રીતે ફેરવી શકો છો અને ફેરવી શકો છો:

- એબ્સીસા અક્ષની આસપાસ;
- ઓર્ડિનેટ અક્ષની આસપાસ.

આ લેખ બંને કેસોની તપાસ કરશે. પરિભ્રમણની બીજી પદ્ધતિ ખાસ કરીને રસપ્રદ છે; તે સૌથી વધુ મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે, પરંતુ વાસ્તવમાં ઉકેલ લગભગ સમાન છે જે x-અક્ષની આસપાસ વધુ સામાન્ય પરિભ્રમણમાં છે. બોનસ તરીકે હું પરત આવીશ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની સમસ્યા, અને હું તમને કહીશ કે બીજી રીતે વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો - ધરી સાથે. તે એટલું બોનસ નથી કારણ કે સામગ્રી વિષયમાં સારી રીતે બંધબેસે છે.

ચાલો સૌથી લોકપ્રિય પ્રકારના પરિભ્રમણથી પ્રારંભ કરીએ.

ધરીની આસપાસ સપાટ આકૃતિ

ઉદાહરણ 1

અક્ષની આસપાસ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિને ફેરવીને મેળવેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો.

ઉકેલ: વિસ્તાર શોધવાની સમસ્યાની જેમ, ઉકેલ સપાટ આકૃતિના ચિત્ર સાથે શરૂ થાય છે. એટલે કે, પ્લેન પર રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિ બનાવવી જરૂરી છે, અને ભૂલશો નહીં કે સમીકરણ અક્ષને સ્પષ્ટ કરે છે. ચિત્રને વધુ કાર્યક્ષમ રીતે અને ઝડપથી કેવી રીતે પૂર્ણ કરવું તે પૃષ્ઠો પર મળી શકે છે પ્રાથમિક કાર્યોના આલેખ અને ગુણધર્મોઅને ચોક્કસ અભિન્ન. આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. આ એક ચીની રીમાઇન્ડર છે અને ચાલુ છે આ ક્ષણેહું હવે રોકાતો નથી.

અહીં રેખાંકન એકદમ સરળ છે:

ઇચ્છિત સપાટ આકૃતિ વાદળી રંગમાં છાંયો છે; પરિભ્રમણના પરિણામે, અક્ષની આસપાસ સપ્રમાણતાવાળી સહેજ અંડાકાર ઉડતી રકાબી છે. હકીકતમાં, શરીરનું ગાણિતિક નામ છે, પરંતુ હું સંદર્ભ પુસ્તકમાં કંઈપણ સ્પષ્ટ કરવા માટે ખૂબ આળસુ છું, તેથી અમે આગળ વધીએ છીએ.

ક્રાંતિના શરીરના જથ્થાની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

ક્રાંતિના શરીરના જથ્થાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે:

સૂત્રમાં, સંખ્યા અવિભાજ્ય પહેલા હાજર હોવી આવશ્યક છે. તેથી તે થયું - જીવનમાં જે બધું ફરે છે તે આ અચલ સાથે જોડાયેલું છે.

મને લાગે છે કે પૂર્ણ થયેલ ડ્રોઇંગમાંથી "a" અને "be" એકીકરણની મર્યાદા કેવી રીતે સેટ કરવી તે અનુમાન લગાવવું સરળ છે.

કાર્ય... આ કાર્ય શું છે? ચાલો ડ્રોઇંગ જોઈએ. પ્લેન આકૃતિ ટોચ પર પેરાબોલાના ગ્રાફ દ્વારા બંધાયેલ છે. આ તે કાર્ય છે જે સૂત્રમાં સૂચિત છે.

IN વ્યવહારુ કાર્યોસપાટ આકૃતિ કેટલીકવાર ધરીની નીચે સ્થિત હોઈ શકે છે. આનાથી કંઈપણ બદલાતું નથી - સૂત્રમાં એકીકૃત વર્ગ છે: , આમ અભિન્ન હંમેશા બિન-નકારાત્મક હોય છે, જે ખૂબ જ તાર્કિક છે.

ચાલો ઉપયોગ કરીને ક્રાંતિના શરીરના વોલ્યુમની ગણતરી કરીએ આ સૂત્ર:

મેં પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, અભિન્ન લગભગ હંમેશા સરળ બને છે, મુખ્ય વસ્તુ સાવચેત રહેવાની છે.

જવાબ આપો:

તમારા જવાબમાં, તમારે પરિમાણ - ઘન એકમો સૂચવવું આવશ્યક છે. એટલે કે, આપણા પરિભ્રમણના શરીરમાં લગભગ 3.35 “ક્યુબ્સ” છે. શા માટે ઘન એકમો? કારણ કે મોટાભાગના સાર્વત્રિક રચના. હોઈ શકે છે ઘન સેન્ટીમીટર, ત્યાં હોઈ શકે છે ઘન મીટર, કદાચ ક્યુબિક કિલોમીટર વગેરે., તમારી કલ્પના ઉડતી રકાબીમાં કેટલા નાના લીલા માણસો મૂકી શકે છે.

ઉદાહરણ 2

શરીરનું પ્રમાણ શોધો, પરિભ્રમણ દ્વારા રચાય છેરેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ આકૃતિની ધરીની આસપાસ, ,

માટે આ એક ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય. સંપૂર્ણ ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ.

ચાલો બે વધુ ધ્યાનમાં લઈએ જટિલ કાર્યો, જે ઘણીવાર વ્યવહારમાં પણ જોવા મળે છે.

ઉદાહરણ 3

રેખાઓ , અને

ઉકેલ: ચાલો ચિત્રમાં રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિનું નિરૂપણ કરીએ , , , એ ભૂલ્યા વિના કે સમીકરણ ધરીને વ્યાખ્યાયિત કરે છે:

ઇચ્છિત આકૃતિ વાદળી રંગમાં છાંયો છે. જ્યારે તે તેની ધરીની આસપાસ ફરે છે, ત્યારે તે ચાર ખૂણાઓ સાથે અતિવાસ્તવ ડોનટ તરીકે બહાર આવે છે.

ચાલો આપણે ક્રાંતિના શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરીએ શરીરના જથ્થામાં તફાવત.

પ્રથમ, ચાલો લાલ રંગમાં વર્તુળાકાર આકૃતિ જોઈએ. જ્યારે તે અક્ષની આસપાસ ફરે છે, ત્યારે એક કપાયેલ શંકુ પ્રાપ્ત થાય છે. ચાલો આપણે આ કાપેલા શંકુના જથ્થાને દ્વારા દર્શાવીએ.

પરિક્રમા કરવામાં આવેલ આકૃતિને ધ્યાનમાં લો લીલો. જો તમે આ આકૃતિને ધરીની આસપાસ ફેરવો છો, તો તમને એક કપાયેલો શંકુ પણ મળશે, ફક્ત થોડો નાનો. ચાલો તેના વોલ્યુમ દ્વારા દર્શાવીએ.

અને, દેખીતી રીતે, વોલ્યુમમાં તફાવત એ આપણા "ડોનટ" ની બરાબર વોલ્યુમ છે.

પરિભ્રમણના મુખ્ય ભાગનું પ્રમાણ શોધવા માટે અમે પ્રમાણભૂત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

1) લાલ રંગમાં ફરતી આકૃતિ ઉપર એક સીધી રેખાથી બંધાયેલ છે, તેથી:

2) લીલા રંગમાં ફરતી આકૃતિ ઉપર એક સીધી રેખાથી બંધાયેલ છે, તેથી:

3) પરિભ્રમણના ઇચ્છિત શરીરનું વોલ્યુમ:

જવાબ આપો:

તે વિચિત્ર છે કે માં આ કિસ્સામાંઉપયોગ કરીને ઉકેલ ચકાસી શકાય છે શાળા સૂત્રકાપેલા શંકુના જથ્થાની ગણતરી કરવા માટે.

નિર્ણય પોતે ઘણીવાર ટૂંકા લખવામાં આવે છે, કંઈક આના જેવું:

હવે ચાલો થોડો આરામ કરીએ અને તમને ભૌમિતિક ભ્રમણા વિશે જણાવીએ.

લોકો ઘણીવાર વોલ્યુમો સાથે સંકળાયેલા ભ્રમણા ધરાવે છે, જે પુસ્તકમાં પેરેલમેન (બીજા) દ્વારા નોંધવામાં આવ્યું હતું મનોરંજક ભૂમિતિ . ઉકેલાયેલ સમસ્યામાં સપાટ આકૃતિ જુઓ - તે ક્ષેત્રફળમાં નાનું લાગે છે, અને ક્રાંતિના મુખ્ય ભાગનું પ્રમાણ માત્ર 50 ઘન એકમોથી વધુ છે, જે ખૂબ મોટું લાગે છે. માર્ગ દ્વારા, સરેરાશ વ્યક્તિ તેના સમગ્ર જીવનમાં 18 ના વિસ્તારવાળા રૂમની સમકક્ષ પ્રવાહી પીવે છે. ચોરસ મીટર, જે, તેનાથી વિપરિત, વોલ્યુમ ખૂબ નાનું લાગે છે.

સામાન્ય રીતે, યુએસએસઆરમાં શિક્ષણ પ્રણાલી ખરેખર શ્રેષ્ઠ હતી. પેરેલમેનનું એ જ પુસ્તક, જે 1950 માં પાછું પ્રકાશિત થયું હતું, તે ખૂબ જ સારી રીતે વિકસિત થાય છે, જેમ કે હાસ્યલેખક કહે છે, વિચારવું અને તમને મૂળ શોધવાનું શીખવે છે. બિન-માનક ઉકેલોસમસ્યાઓ મેં તાજેતરમાં કેટલાક પ્રકરણો ખૂબ રસ સાથે ફરીથી વાંચ્યા, હું તેની ભલામણ કરું છું, તે માનવતાવાદીઓ માટે પણ સુલભ છે. ના, તમારે સ્મિત કરવાની જરૂર નથી કે મેં મફત સમય ઓફર કર્યો, જ્ઞાન અને સંદેશાવ્યવહારમાં વ્યાપક ક્ષિતિજો એ એક મહાન વસ્તુ છે.

પછી ગીતાત્મક વિષયાંતરતે નક્કી કરવું યોગ્ય છે સર્જનાત્મક કાર્ય:

ઉદાહરણ 4

રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિની ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણ દ્વારા બનેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો, જ્યાં.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે તમામ કેસો બેન્ડમાં થાય છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એકીકરણની તૈયાર મર્યાદા વાસ્તવમાં આપવામાં આવે છે. ત્રિકોણમિતિ વિધેયોના આલેખને યોગ્ય રીતે દોરો, ચાલો હું તમને પાઠ સામગ્રીની યાદ અપાવીશ આલેખનું ભૌમિતિક પરિવર્તન: જો દલીલને બે વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે: , તો આલેખ ધરી સાથે બે વાર ખેંચાય છે. ઓછામાં ઓછા 3-4 પોઈન્ટ શોધવાની સલાહ આપવામાં આવે છે ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટકો અનુસારચિત્રને વધુ સચોટ રીતે પૂર્ણ કરવા માટે. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ. માર્ગ દ્વારા, કાર્યને તર્કસંગત રીતે હલ કરી શકાય છે અને ખૂબ તર્કસંગત રીતે નહીં.

પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી
ધરીની આસપાસ સપાટ આકૃતિ

બીજો ફકરો પહેલા કરતા પણ વધુ રસપ્રદ હશે. ઓર્ડિનેટ અક્ષની આસપાસ ક્રાંતિના શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરવાનું કાર્ય પણ એકદમ વારંવાર મહેમાન છે. પરીક્ષણો. રસ્તામાં તે ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે આકૃતિનો વિસ્તાર શોધવાની સમસ્યાબીજી પદ્ધતિ એ ધરી સાથે એકીકરણ છે, આ તમને ફક્ત તમારી કુશળતા સુધારવા માટે જ નહીં, પણ તમને સૌથી વધુ નફાકારક ઉકેલ માર્ગ શોધવાનું પણ શીખવશે. આમાં એક વ્યવહારુ મુદ્દો પણ છે. જીવનનો અર્થ! ગણિત શીખવવાની પદ્ધતિઓ પરના મારા શિક્ષકે સ્મિત સાથે યાદ કર્યા, ઘણા સ્નાતકોએ તેમનો આ શબ્દો સાથે આભાર માન્યો: “તમારા વિષયે અમને ખૂબ મદદ કરી, હવે અમે અસરકારક મેનેજરોઅને અમારા સ્ટાફને શ્રેષ્ઠ રીતે મેનેજ કરો.” આ તકને લઈને, હું તેમના પ્રત્યેનો મારો ખૂબ આભાર પણ વ્યક્ત કરું છું, ખાસ કરીને કારણ કે હું પ્રાપ્ત જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરું છું સીધો હેતુ =).

હું દરેકને તેની ભલામણ કરું છું, સંપૂર્ણ ડમી પણ. તદુપરાંત, બીજા ફકરામાં શીખેલી સામગ્રી ડબલ ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરવામાં અમૂલ્ય સહાય પૂરી પાડશે..

ઉદાહરણ 5

સપાટ આંકડો આપ્યો રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ , , .

1) આ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો.
2) ધરીની ફરતે આ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિને ફેરવીને મેળવેલા શરીરનું પ્રમાણ શોધો.

ધ્યાન આપો!જો તમે માત્ર બીજો મુદ્દો વાંચવા માંગતા હો, તો પણ પ્રથમ આવશ્યકપણેપ્રથમ વાંચો!

ઉકેલ: કાર્ય બે ભાગો ધરાવે છે. ચાલો ચોરસ સાથે શરૂ કરીએ.

1) ચાલો એક ચિત્ર બનાવીએ:

તે જોવાનું સરળ છે કે ફંક્શન પેરાબોલાની ઉપરની શાખાને સ્પષ્ટ કરે છે, અને ફંક્શન પેરાબોલાની નીચેની શાખાને સ્પષ્ટ કરે છે. આપણી સમક્ષ એક તુચ્છ પેરાબોલા છે જે "તેની બાજુમાં આવેલું છે."

ઇચ્છિત આકૃતિ, જે વિસ્તાર જોવાનો છે તે વાદળી રંગમાં છાંયો છે.

આકૃતિનો વિસ્તાર કેવી રીતે શોધવો? તે "સામાન્ય" રીતે મળી શકે છે, જેની વર્ગમાં ચર્ચા કરવામાં આવી હતી ચોક્કસ અભિન્ન. આકૃતિના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. તદુપરાંત, આકૃતિનો વિસ્તાર વિસ્તારોના સરવાળા તરીકે જોવા મળે છે:
- સેગમેન્ટ પર ;
- સેગમેન્ટ પર.

તેથી જ:

આ કિસ્સામાં શું ખરાબ છે? સામાન્ય રીતઉકેલો? સૌપ્રથમ, અમને બે અભિન્ન ભાગો મળ્યા. બીજું, અવિભાજ્ય મૂળ છે, અને અવિભાજ્યમાં મૂળ એ ભેટ નથી, અને તે ઉપરાંત, તમે એકીકરણની મર્યાદાઓને બદલવામાં મૂંઝવણમાં પડી શકો છો. હકીકતમાં, ઇન્ટિગ્રલ્સ, અલબત્ત, ખૂની નથી, પરંતુ વ્યવહારમાં બધું વધુ ઉદાસી હોઈ શકે છે, મેં સમસ્યા માટે ફક્ત "વધુ સારા" કાર્યો પસંદ કર્યા છે.

ત્યાં વધુ છે તર્કસંગત માર્ગઉકેલો: તે તરફ જવાનો સમાવેશ થાય છે વ્યસ્ત કાર્યોઅને ધરી સાથે એકીકરણ.

વ્યસ્ત કાર્યો કેવી રીતે મેળવવું? સામાન્ય રીતે કહીએ તો, તમારે "x" ને "y" દ્વારા વ્યક્ત કરવાની જરૂર છે. પ્રથમ, ચાલો પેરાબોલાને જોઈએ:

આ પર્યાપ્ત છે, પરંતુ ચાલો ખાતરી કરીએ કે સમાન કાર્ય નીચલા શાખામાંથી મેળવી શકાય છે:

તે સીધી રેખા સાથે સરળ છે:

હવે ધરી જુઓ: કૃપા કરીને સમયાંતરે તમારા માથાને જમણી બાજુએ 90 ડિગ્રી તરફ નમાવો જેમ તમે સમજાવો છો (આ મજાક નથી!). આપણને જે આકૃતિની જરૂર છે તે સેગમેન્ટ પર આવેલું છે, જે લાલ ડોટેડ લાઇન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સેગમેન્ટ પર સીધી રેખા પેરાબોલાની ઉપર સ્થિત છે, જેનો અર્થ છે કે આકૃતિનો વિસ્તાર તમને પહેલાથી જ પરિચિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધવો જોઈએ: . ફોર્મ્યુલામાં શું બદલાયું છે? માત્ર એક પત્ર અને વધુ કંઈ નહીં.

! નોંધ: ધરી સાથે એકીકરણની મર્યાદા સેટ કરવી જોઈએ નીચેથી ઉપર સુધી સખત!

વિસ્તાર શોધો:

સેગમેન્ટ પર, તેથી:

કૃપા કરીને નોંધો કે મેં એકીકરણ કેવી રીતે કર્યું, આ સૌથી વધુ છે તર્કસંગત માર્ગ, અને કાર્યના આગળના ફકરામાં તે શા માટે સ્પષ્ટ થશે.

એકીકરણની શુદ્ધતા પર શંકા કરતા વાચકો માટે, હું ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીશ:

મૂળ એકીકરણ કાર્ય પ્રાપ્ત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે એકીકરણ યોગ્ય રીતે કરવામાં આવ્યું હતું.

જવાબ આપો:

2) ચાલો ધરીની આસપાસ આ આકૃતિના પરિભ્રમણથી બનેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરીએ.

હું ડ્રોઇંગને થોડી અલગ ડિઝાઇનમાં ફરીથી દોરીશ:

તેથી, વાદળી રંગમાં શેડ કરેલી આકૃતિ ધરીની આસપાસ ફરે છે. પરિણામ એ "હોવરિંગ બટરફ્લાય" છે જે તેની ધરીની આસપાસ ફરે છે.

પરિભ્રમણના શરીરનું પ્રમાણ શોધવા માટે, અમે ધરી સાથે સંકલિત કરીશું. પ્રથમ આપણે વ્યસ્ત કાર્યો પર જવાની જરૂર છે. આ પહેલાથી જ કરવામાં આવ્યું છે અને અગાઉના ફકરામાં વિગતવાર વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે.

હવે અમે અમારા માથાને ફરીથી જમણી તરફ નમાવીએ છીએ અને અમારી આકૃતિનો અભ્યાસ કરીએ છીએ. દેખીતી રીતે, પરિભ્રમણના શરીરનું વોલ્યુમ વોલ્યુમમાં તફાવત તરીકે શોધવું જોઈએ.

અમે ધરીની આસપાસ લાલ રંગમાં પરિભ્રમણ કરેલ આકૃતિને ફેરવીએ છીએ, પરિણામે એક કાપવામાં આવેલ શંકુ દેખાય છે. ચાલો આ વોલ્યુમ દ્વારા દર્શાવીએ.

અમે ધરીની આસપાસ લીલા રંગમાં પરિભ્રમણ કરેલ આકૃતિને ફેરવીએ છીએ અને પરિભ્રમણના પરિણામી ભાગના વોલ્યુમ દ્વારા તેને સૂચિત કરીએ છીએ.

આપણા બટરફ્લાયનું પ્રમાણ તફાવત સમાનવોલ્યુમો

ક્રાંતિના શરીરનું પ્રમાણ શોધવા માટે અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

પાછલા ફકરામાં સૂત્રથી શું તફાવત છે? માત્ર પત્રમાં.

પરંતુ એકીકરણનો ફાયદો, જેના વિશે મેં તાજેતરમાં વાત કરી છે, તે શોધવાનું ખૂબ સરળ છે , પહેલા 4થી પાવરમાં ઇન્ટિગ્રેન્ડ વધારવાને બદલે.

જવાબ આપો:

જો કે, બીમાર બટરફ્લાય નથી.

નોંધ કરો કે જો સમાન સપાટ આકૃતિ ધરીની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે, તો તમને કુદરતી રીતે, એક અલગ જથ્થા સાથે, પરિભ્રમણનું સંપૂર્ણપણે અલગ શરીર મળશે.

ઉદાહરણ 6

રેખાઓ અને અક્ષ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિ આપેલ છે.

1) ઇન્વર્સ ફંક્શન્સ પર જાઓ અને ચલ પર એકીકૃત કરીને આ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સમતલ આકૃતિનો વિસ્તાર શોધો.
2) ધરીની ફરતે આ રેખાઓ દ્વારા બંધાયેલ સપાટ આકૃતિને ફેરવીને મેળવેલા શરીરના જથ્થાની ગણતરી કરો.

આ તમારા માટે એક ઉદાહરણ છે જે તમે તમારી જાતે હલ કરી શકો છો. રસ ધરાવનારાઓ "સામાન્ય" રીતે આકૃતિનો વિસ્તાર પણ શોધી શકે છે, ત્યાંથી બિંદુ 1 તપાસે છે). પરંતુ જો, હું પુનરાવર્તન કરું છું, તમે ધરીની આસપાસ એક સપાટ આકૃતિ ફેરવો છો, તો તમને એક અલગ વોલ્યુમ સાથે પરિભ્રમણનું સંપૂર્ણપણે અલગ શરીર મળશે, માર્ગ દ્વારા, સાચો જવાબ (જેઓ સમસ્યાઓ હલ કરવાનું પસંદ કરે છે તેમના માટે પણ).

કાર્યના બે સૂચિત મુદ્દાઓનો સંપૂર્ણ ઉકેલ પાઠના અંતે છે.

હા, અને પરિભ્રમણના શરીર અને એકીકરણની મર્યાદાઓને સમજવા માટે તમારા માથાને જમણી તરફ નમાવવાનું ભૂલશો નહીં!

વોલ્યુમેટ્રિક સંસ્થાઓ. તમારી આસપાસ જુઓ અને તમને દરેક જગ્યાએ ત્રિ-પરિમાણીય શરીર મળશે. આ ભૌમિતિક આકારો છે જેમાં ત્રણ પરિમાણો છે: લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ. ઉદાહરણ તરીકે, બહુમાળી ઇમારતની કલ્પના કરવા માટે, તે કહેવું પૂરતું છે: "આ ઘર ત્રણ પ્રવેશદ્વાર લાંબુ છે, બે બારીઓ પહોળી છે અને છ માળ ઉંચી છે." થી તમારા માટે જાણીતા છે પ્રાથમિક શાળા ક્યુબોઇડઅને સમઘનનું સંપૂર્ણ રીતે ત્રણ પરિમાણો દ્વારા વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે. આપણી આસપાસના તમામ પદાર્થોના ત્રણ પરિમાણ છે, પરંતુ તે બધાને લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ નામ આપી શકાતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, એક વૃક્ષ માટે આપણે માત્ર ઊંચાઈ, દોરડા માટે - લંબાઈ, છિદ્ર માટે - ઊંડાઈનો ઉલ્લેખ કરી શકીએ છીએ. અને બોલ માટે? શું તેના પણ ત્રણ પરિમાણ છે? અમે કહીએ છીએ કે શરીરના ત્રણ પરિમાણ હોય છે (વોલ્યુમેટ્રિક હોય છે) જો તેમાં ક્યુબ અથવા બોલ મૂકી શકાય.

પ્રસ્તુતિ સાથે આર્કાઇવનું કદ 1207 KB છે.

અન્ય પ્રસ્તુતિઓ "ભૌમિતિક પરિભ્રમણના શરીર" - વિઝ્યુલાઇઝેશન.વ્યવહારુ ભાગ . જોબસર્જનાત્મક જૂથ . સિદ્ધાંતનું પુનરાવર્તન. લોકોસર્જનાત્મક વ્યવસાયો . અનુભવની આપ-લે. પ્રેરણા.સંસ્થાકીય ક્ષણ . શીખવાનો એકમાત્ર રસ્તો છે આનંદ કરવો. ભૌમિતિક સોલિડ્સનું મ્યુઝિયમ. જે લોકો વિજ્ઞાન માટે પોતાને સમર્પિત કરે છે. શરીરો. વિજ્ઞાનના લોકો કામ કરી રહ્યા છે. એક ઋષિ ચાલતા હતા. સારાંશ.નળાકાર સપાટી

. કાર્યકારી વ્યવસાયના લોકો. વિદ્યાર્થીઓનું જ્ઞાન. પરિભ્રમણ સંસ્થાઓ. મૂળભૂત જ્ઞાન. "ત્રણ લંબનો પ્રમેય" - બિંદુ. રેખાઓની લંબરૂપતા. વિચારતા. ત્રણ લંબનો પ્રમેય. સમાંતરગ્રામના સમતલને લંબરૂપ. સીધું. પગ. લંબરૂપ. પ્રમેય. કર્ણના આંતરછેદો. સેગમેન્ટ. ત્રિકોણના પ્લેન પર લંબ છે. સમચતુર્ભુજની બાજુ. ત્રિકોણની બાજુઓ. અંતર. રેખાઓ માટે લંબ. તે વિશે વિચારો. MA સેગમેન્ટ. બાંધકામ કાર્યો. પુરાવો.કન્વર્ઝ પ્રમેય

. TTP નો ઉપયોગ કરવા માટેના કાર્યો. "ગોળાકાર વિસ્તાર" - બોલનો વ્યાસ (d=2R). ત્રિજ્યાબોલની ત્રિજ્યા છે. સ્તર=vsh.Seg.1-vsh.Seg.2. સેગમેન્ટની ઊંચાઈ (h). ત્રિજ્યા સાથે ગોળાની સપાટીનો વિસ્તાર. સેગમેન્ટ બેઝ. Vsh. ક્ષેત્રો = 2/3PR2h. ગોળાનું કેન્દ્ર (C). બોલનું પ્રમાણ બોલ સેગમેન્ટઅને ગોળાકાર સ્તર. પ્રથમનો વિસ્તાર ત્રિજ્યા દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. વખત વધુ વિસ્તારએક મહાન વર્તુળની સપાટી. , અને ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 4РR2 છે. બોલ વર્ણવેલ છે. ગોળાની માત્રા 288 છે.

"પોલિહેડ્રાની દુનિયામાં" - પોલિહેડ્રા. ક્યુબની ટોચ. પોલિહેડ્રાની દુનિયા. કેપ્લર-પોઇન્સોટ સંસ્થાઓ. ગણિત. રોયલ કબર. યુલર લાક્ષણિકતા. ટેટ્રાહેડ્રોન. ભૂમિતિ. ફારોસ દીવાદાંડી. બહિર્મુખ પોલિહેડ્રા. આર્કિમિડીઝના શરીર. કલામાં પોલિહેડ્રા. આગ. સ્ટેલેટેડ ડોડેકેહેડ્રોન. મેગ્નસ વેનિન્જર. યુલરનું પ્રમેય. એલેક્ઝાન્ડ્રિયા લાઇટહાઉસ. નિયમિત પોલિહેડ્રા. પાંચ બહિર્મુખ નિયમિત પોલિહેડ્રા. કેટલાક પોલિહેડ્રાના વિકાસ.

"ફિલોસોફર પાયથાગોરસ" - સંગીતની મૂળભૂત બાબતોનું જ્ઞાન. "ફિલોસોફર" શબ્દ. જીવન અને વૈજ્ઞાનિક શોધોપાયથાગોરસ. પાયથાગોરસ ફારસી જાદુગરો સાથે મળ્યા. ગણિત. ફ્લાઇટ દિશા. સૂત્ર. ઇજિપ્તીયન મંદિરો. વિચાર્યું. સ્થાપક આધુનિક ગણિત. સાચું. અમર વિચાર. મેનેસર્કસ. પાયથાગોરસ.

"કોઓર્ડિનેટ્સમાં સમસ્યાઓ" - વેક્ટર a ની લંબાઈ શોધો જો તેમાં કોઓર્ડિનેટ હોય તો: (-5; -1; 7). કોઓર્ડિનેટ્સમાં સૌથી સરળ સમસ્યાઓ. વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદન. વેક્ટર AB. સમસ્યાઓનું નિરાકરણ: ​​(કાર્ડનો ઉપયોગ કરીને). તેના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી વેક્ટરની લંબાઈની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. પાઠ હેતુઓ. શું કહેવાય છે સ્કેલર ઉત્પાદનવેક્ટર પોઈન્ટ A અને B વચ્ચેનું અંતર. વેક્ટર Aમાં કોઓર્ડિનેટ્સ છે (-3; 3; 1). M – સેગમેન્ટ AB ની મધ્યમાં. પાઠ યોજના. સેગમેન્ટના મધ્યબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે શોધવા.

ભૌમિતિક વોલ્યુમેટ્રિક આકૃતિઓ છે ઘન, જે યુક્લિડિયન (ત્રિ-પરિમાણીય) જગ્યામાં બિન-શૂન્ય વોલ્યુમ ધરાવે છે. આ આંકડાઓનો અભ્યાસ ગણિતની શાખા દ્વારા કરવામાં આવે છે જેને "અવકાશી ભૂમિતિ" કહેવાય છે. ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિઓના ગુણધર્મો વિશેના જ્ઞાનનો ઉપયોગ એન્જિનિયરિંગ અને કુદરતી વિજ્ઞાનમાં થાય છે. લેખમાં આપણે ભૌમિતિક ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિઓ અને તેમના નામોના પ્રશ્ન પર વિચારણા કરીશું.

ભૌમિતિક ઘન

આ સંસ્થાઓનું ત્રણ અવકાશી દિશાઓમાં મર્યાદિત પરિમાણ હોવાથી, ભૂમિતિમાં તેનું વર્ણન કરવા માટે ત્રણની સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સંકલન અક્ષો. આ અક્ષો ધરાવે છે નીચેના ગુણધર્મો:

1. તેઓ એકબીજા માટે ઓર્થોગોનલ છે, એટલે કે, લંબરૂપ છે.
2. આ અક્ષો નોર્મલાઇઝ્ડ છે, એટલે કે દરેક અક્ષના આધાર વેક્ટર સમાન લંબાઈ છે.
3. કોઈપણ સંકલન અક્ષ પરિણામ છે વેક્ટર ઉત્પાદનઅન્ય બે.

ભૌમિતિક બોલતા વોલ્યુમેટ્રિક આકૃતિઓઅને તેમના નામો, એ નોંધવું જોઈએ કે તેઓ બધા 2 મોટા વર્ગોમાંથી એકના છે:

1. પોલિહેડ્રાનો વર્ગ. વર્ગના નામ પર આધારિત આ આંકડાઓ સીધી કિનારીઓ અને સપાટ ચહેરાઓ ધરાવે છે. ચહેરો એ પ્લેન છે જે આકારને મર્યાદિત કરે છે. બિંદુ જ્યાં બે ચહેરા જોડાય છે તેને ધાર કહેવામાં આવે છે, અને બિંદુ જ્યાં ત્રણ ચહેરા જોડાય છે તેને શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે. પોલિહેડ્રામાં ક્યુબ, ટેટ્રાહેડ્રોન, પ્રિઝમ અને પિરામિડની ભૌમિતિક આકૃતિનો સમાવેશ થાય છે. આ આંકડાઓ માટે, યુલરનું પ્રમેય માન્ય છે, જે દરેક પોલિહેડ્રોન માટે બાજુઓની સંખ્યા (C), ધાર (P) અને શિરોબિંદુઓ (B) વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરે છે. ગાણિતિક રીતે, આ પ્રમેય નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે: C + B = P + 2.
2. રાઉન્ડ બોડી અથવા ક્રાંતિના શરીરનો વર્ગ. આ આંકડાઓમાં ઓછામાં ઓછી એક સપાટી છે જે વક્ર છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક બોલ, એક શંકુ, એક સિલિન્ડર, ટોરસ.

વોલ્યુમેટ્રિક આકૃતિઓના ગુણધર્મો માટે, તેમાંના બે સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રકાશિત કરવા જોઈએ:

1. ચોક્કસ વોલ્યુમની હાજરી કે જે આકૃતિ અવકાશમાં ધરાવે છે.
2. દરેક ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિની હાજરી

દરેક આકૃતિ માટે બંને ગુણધર્મો ચોક્કસ ગાણિતિક સૂત્રો દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.

ચાલો આપણે નીચે સૌથી સરળ ભૌમિતિક વોલ્યુમેટ્રિક આકૃતિઓ અને તેમના નામો ધ્યાનમાં લઈએ: ક્યુબ, પિરામિડ, પ્રિઝમ, ટેટ્રાહેડ્રોન અને બોલ.

ક્યુબ આકૃતિ: વર્ણન

ભૌમિતિક આકૃતિ ક્યુબ એ ત્રિ-પરિમાણીય શરીર છે જે 6 ચોરસ વિમાનો અથવા સપાટીઓ દ્વારા રચાય છે. આ આકૃતિને નિયમિત હેક્ઝાહેડ્રોન પણ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેની 6 બાજુઓ છે, અથવા લંબચોરસ સમાંતર છે, કારણ કે તે 3 જોડી ધરાવે છે. સમાંતર બાજુઓ, જે એકબીજાને પરસ્પર લંબ છે. તેઓ તેને ક્યુબ કહે છે જેનો આધાર ચોરસ હોય છે અને જેની ઊંચાઈ પાયાની બાજુની બરાબર હોય છે.

ક્યુબ એ બહુહેડ્રોન અથવા બહુહેડ્રોન હોવાથી, તેની કિનારીઓની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે યુલરનું પ્રમેય તેના પર લાગુ કરી શકાય છે. એ જાણીને કે બાજુઓની સંખ્યા 6 છે, અને ક્યુબમાં 8 શિરોબિંદુઓ છે, ધારની સંખ્યા છે: P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12.

જો આપણે ક્યુબની બાજુની લંબાઈને "a" અક્ષર દ્વારા દર્શાવીએ, તો તેના વોલ્યુમ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળ માટેના સૂત્રો અનુક્રમે V = a 3 અને S = 6*a 2 જેવા દેખાશે.

પિરામિડ આકૃતિ

પિરામિડ એ બહુહેડ્રોન છે જેમાં એક સરળ પોલિહેડ્રોન (પિરામિડનો આધાર) અને ત્રિકોણ હોય છે જે આધાર સાથે જોડાય છે અને એક હોય છે. સામાન્ય ટોચ(પિરામિડની ટોચ). ત્રિકોણને પિરામિડના બાજુના ચહેરા કહેવામાં આવે છે.

પિરામિડની ભૌમિતિક લાક્ષણિકતાઓ તેના આધાર પર કયો બહુકોણ છે તેના પર તેમજ પિરામિડ સીધો છે કે ત્રાંસી છે તેના પર આધાર રાખે છે. એક સીધો પિરામિડ એ પિરામિડ તરીકે સમજવામાં આવે છે જેના માટે પિરામિડની ટોચ પરથી દોરવામાં આવેલી આધારને લંબરૂપ સીધી રેખા તેના આધારને છેદે છે. ભૌમિતિક કેન્દ્ર.

એક સરળ પિરામિડએક ચતુષ્કોણીય સીધો પિરામિડ છે, જેના પાયામાં બાજુ "a" સાથેનો ચોરસ છે, આ પિરામિડની ઊંચાઈ "h" છે. આ પિરામિડ આકૃતિ માટે, વોલ્યુમ અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સમાન હશે: V = a 2 *h/3 અને S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2, અનુક્રમે. તેના માટે અરજી કરીને, એ હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા કે ચહેરાઓની સંખ્યા 5 છે, અને શિરોબિંદુઓની સંખ્યા 5 છે, અમે ધારની સંખ્યા મેળવીએ છીએ: P = 5 + 5 - 2 = 8.

ટેટ્રાહેડ્રોન આકૃતિ: વર્ણન

ભૌમિતિક આકૃતિ ટેટ્રાહેડ્રોનને 4 ચહેરાઓ દ્વારા રચાયેલ ત્રિ-પરિમાણીય શરીર તરીકે સમજવામાં આવે છે. અવકાશના ગુણધર્મોના આધારે, આવા ચહેરા ફક્ત ત્રિકોણનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે. આમ, ટેટ્રાહેડ્રોન એ પિરામિડનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે, જેના આધાર પર ત્રિકોણ છે.

જો ટેટ્રાહેડ્રોનના ચહેરા બનાવતા તમામ 4 ત્રિકોણ સમભુજ અને એકબીજાના સમાન હોય, તો આવા ટેટ્રાહેડ્રોનને નિયમિત કહેવામાં આવે છે. આ ટેટ્રાહેડ્રોનમાં 4 ચહેરા અને 4 શિરોબિંદુઓ છે, કિનારીઓ ની સંખ્યા 4 + 4 - 2 = 6 છે. પ્રમાણભૂત સૂત્રોપ્રશ્નમાંની આકૃતિ માટે સમતલ ભૂમિતિમાંથી, આપણે મેળવીએ છીએ: V = a 3 * √2/12 અને S = √3*a 2, જ્યાં a એ સમભુજ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ છે.

એ નોંધવું રસપ્રદ છે કે પ્રકૃતિમાં કેટલાક પરમાણુઓનું સ્વરૂપ હોય છે નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન. ઉદાહરણ તરીકે, મિથેન પરમાણુ CH 4, જેમાં હાઇડ્રોજન પરમાણુ ટેટ્રાહેડ્રોનના શિરોબિંદુ પર સ્થિત છે અને સહસંયોજક દ્વારા કાર્બન અણુ સાથે જોડાયેલા છે. રાસાયણિક બોન્ડ. કાર્બન અણુ ટેટ્રાહેડ્રોનના ભૌમિતિક કેન્દ્રમાં સ્થિત છે.

ટેટ્રાહેડ્રોન આકાર, જે ઉત્પાદનમાં સરળ છે, તેનો ઉપયોગ એન્જિનિયરિંગમાં પણ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ટેટ્રાહેડ્રલ આકારનો ઉપયોગ જહાજના એન્કરના ઉત્પાદનમાં થાય છે. તેની નોંધ લો અવકાશ તપાસનાસાનું માર્સ પાથફાઈન્ડર, જે 4 જુલાઈ, 1997ના રોજ મંગળની સપાટી પર ઉતર્યું હતું, તેનો આકાર પણ ટેટ્રાહેડ્રોન જેવો હતો.

પ્રિઝમ આકૃતિ

આ ભૌમિતિક આકૃતિબે પોલિહેડ્રા લઈને, તેમને અવકાશના જુદા જુદા પ્લેન્સમાં એકબીજાની સમાંતર મૂકીને અને તે મુજબ તેમના શિરોબિંદુઓને એકબીજા સાથે જોડીને મેળવી શકાય છે. પરિણામ પ્રિઝમ હશે, બે પોલિહેડ્રાને તેના પાયા કહેવામાં આવે છે, અને આ પોલિહેડ્રાને જોડતી સપાટીઓ સમાંતરગ્રામનો આકાર ધરાવે છે. પ્રિઝમને સ્ટ્રેટ કહેવામાં આવે છે જો તે બાજુઓ(સમાંતરગ્રામ) લંબચોરસ છે.

પ્રિઝમ એ બહુહેડ્રોન છે, તેથી યુલરનું પ્રમેય તેના માટે સાચું છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ષટ્કોણ પ્રિઝમના પાયા પર આવેલું હોય, તો પ્રિઝમની બાજુઓની સંખ્યા 8 છે, અને શિરોબિંદુઓની સંખ્યા 12 છે. કિનારીઓની સંખ્યા સમાન હશે: P = 8 + 12 - 2 = 18. h ઊંચાઈના સીધા પ્રિઝમ માટે, જેના પાયા પર બાજુ a સાથે નિયમિત ષટ્કોણ આવેલું છે, વોલ્યુમ બરાબર: V = a 2 *h*√3/4, સપાટીનું ક્ષેત્રફળ બરાબર: S = 3*a*(a *√3 + 2*h).

સરળ ભૌમિતિક વોલ્યુમેટ્રિક આકૃતિઓ અને તેમના નામો વિશે બોલતા, આપણે બોલનો ઉલ્લેખ કરવો જોઈએ. એક વોલ્યુમેટ્રિક બોડી જેને બોલ કહેવાય છે તે એક બોડી તરીકે સમજવામાં આવે છે જે એક ગોળા સુધી મર્યાદિત હોય છે. બદલામાં, ગોળા એ એક બિંદુથી સમાન અંતરે અવકાશમાં બિંદુઓનો સંગ્રહ છે, જેને ગોળાના કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.

બોલ ગોળાકાર શરીરના વર્ગનો હોવાથી, તેના માટે બાજુઓ, કિનારીઓ અને શિરોબિંદુઓનો કોઈ ખ્યાલ નથી. બોલને ઘેરી લેતા ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે: S = 4*pi*r 2, અને દડાના જથ્થાની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરી શકાય છે: V = 4*pi*r 3/3, જ્યાં pi એ નંબર pi (3.14) છે, r એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે (બોલ).

કોમ્પ્યુટરમાં વોલ્યુમેટ્રિક બોડી મેળવી શકાય છે વિવિધ રીતે. સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી પદ્ધતિ બેઝ બોડીને જોડવાની છે.  

ઉપર વર્ણવેલ બંડલનું વોલ્યુમેટ્રિક બોડી, કુદરતી રીતે, એક આદર્શ યોજના છે.  

આ વોલ્યુમેટ્રિક બોડીમાં વિભાગો તરીકે ઓળખાતા ભાગોનો સમાવેશ થાય છે. પ્રથમ વિભાગ અડીને આવેલા આઇસો-પ્લાસ્ટરમાંથી પસાર થતા બે સંલગ્ન સ્તરના વિમાનો વચ્ચે બંધાયેલ છે અને તે કાપેલા લંબગોળ શંકુનો આકાર ધરાવે છે. આવા વિભાગોનો સમાવેશ કરતી વોલ્યુમેટ્રિક બોડી સેવા આપે છે ભૌમિતિક મોડેલજળાશય સ્તર. અમે આ વોલ્યુમેટ્રિક બોડીને ગેસ ફિલિંગ (CG મોડલ) નું શંકુ-એલિપ્સ મોડલ કહીશું, જે એવી રીતે બાંધવું જોઈએ કે તે ઑબ્જેક્ટ માટે વોલ્યુમેટ્રિકલી આઇસોમોર્ફિક હોવાનું બહાર આવ્યું છે, એટલે કે. જેથી મોડેલ વિભાગના વોલ્યુમો અને જળાશયના અનુરૂપ ભાગ સમાન હોય.  

જો એક સપાટ વિસ્તાર A ના પરિભ્રમણ દ્વારા વોલ્યુમેટ્રિક બોડી બનાવવામાં આવે છે જે તેના સમતલમાં પડેલી ધરીની આસપાસ હોય છે પરંતુ તેને છેદતી નથી, તો તે રિંગનો આકાર ધરાવશે. આવી રીંગને વાયરથી લપેટી દો, જેના વળાંક રીંગની ધરીમાંથી પસાર થતા પ્લેનમાં સ્થિત છે; પછી વાયર સ્તરનું વર્તમાન કાર્ય φ (1 / 2π) π & ની બરાબર હશે, જ્યાં π છે સંપૂર્ણ સંખ્યાવળે છે, નરક એ એઝિમુથલ કોણ છે જે રિંગની ધરીની આસપાસ માપવામાં આવે છે.  

વોલ્યુમેટ્રિક બોડીના મોડલ, આ સ્કીમ અનુસાર ટોનલી રિઝોલ્યુશન, ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યા છે. 1.5.4. જો કે અલ્ગોરિધમ પડછાયાઓને ધ્યાનમાં લેતું નથી, તેમ છતાં, ચહેરો ઓર્થોગોનલી ઓરિએન્ટેડ પ્લેનની એક અથવા બીજી સિસ્ટમનો છે તે દર્શાવવાની નિશ્ચિતતાને કારણે છબીની એકંદર અભિવ્યક્તિ ખૂબ ઊંચી રહે છે. જો ઉપરોક્ત ત્રણ ક્ષેત્રો આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે વિવિધ રંગો, પછી અસર પણ વધારે હશે. ભૌતિક મોડેલજેમ કે ગ્રાફિક ઉકેલફિગમાં બતાવેલ છે. 1.5.5. તે ત્રણ સ્ત્રોતો સાથે ઑબ્જેક્ટને પ્રકાશિત કરવાના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે વિવિધ રંગો, ઓર્થોગોનલ પ્લેનની અપનાવેલી સિસ્ટમ અનુસાર સ્થિત છે.  

હાલના નક્કર શરીર માટે, મર્યાદિત તત્વ પ્રકાર અને સામગ્રીનો ઉલ્લેખ કરીને વિશેષતાઓ સેટ કરો.  

વોલ્યુમેટ્રિક સંસ્થાઓના કિસ્સામાં, આ પ્રક્રિયા ત્રણ વખત થવી જોઈએ. ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર શરીરની અંદર અને બહાર બંને જગ્યાએ હોઈ શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જાડા સજાતીય વાયરથી બનેલી અર્ધ-રિંગમાં ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર શરીરની બહાર હોય છે.  

ત્રિ-પરિમાણીય શરીરનું નિરૂપણ કરતી વખતે, વિદ્યાર્થીઓ મોટાભાગે ઘેરી પૃષ્ઠભૂમિ પર પ્રકાશ સિલુએટ બનાવીને ઊંડાણ દર્શાવવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે. કેટલીકવાર આ પદ્ધતિ વોલ્યુમેટ્રિક-અવકાશી સ્વરૂપની પ્રકૃતિ વિશે ગેરસમજ તરફ દોરી જાય છે. આ કિસ્સામાં છબી વાસ્તવિક સ્વરૂપની ધારણાની પ્રકૃતિને અનુરૂપ છે.  

વોલ્યુમેટ્રિક બોડીઝના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર નક્કી કરવું એ સમપ્રમાણતાના પ્લેન અને અક્ષની વિભાવનાઓ સાથે સંકળાયેલું છે. સમપ્રમાણતાનું પ્લેન એ એક પ્લેન છે જે આપેલ શરીરને બે ભાગમાં વહેંચે છે જે કદ અને આકારમાં સંપૂર્ણપણે સમાન હોય છે. આ કારણોસર, સપ્રમાણ શરીરના ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર સમપ્રમાણતાના સમતલમાં રહેલું છે.